Arquitetura de Computadores - Aritmética Computacional

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO
Arquitetura e Organização de
Computadores
Aritmética Computacional
Prof. Sílvio Fernandes
Unidade Lógica e Aritmética (ULA)
• Do inglês ALU
• Faz os cálculos.
• Tudo o mais no computador existe para atender
a essa unidade.
• Trata de inteiros.
• Pode tratar de números de ponto flutuante
(reais).
• Pode ser FPU separada (coprocessador
matemático).
• Pode estar em chip de FPU separado (486DX +).
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Unidade Lógica e Aritmética (ALU)
3
Representação de Números Inteiros
• No sistema de numeração binária, é possível
representar números inteiros negativos
usando:
– Dígitos 0 e 1
– Sinal de subtração
– Vírgula
• Exemplo:
-1101,01012 = -13,312510
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Representação de Números Inteiros
• Para armazenar e processar números inteiros
negativos no computador, são usados apenas
os dígitos 0 e 1
• Se uma sequencia de n bits de dígitos binários
na-1 na-2 ... a1 a0 for um inteiro sem sinal A, seu
valor é
n 1
A   2 ai
i
i 0
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Representação de Números Inteiros
• Como representar números negativos?
– Representação Sinal-Magnitude
– Representação em Complemento de Dois
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Representação Sinal-Magnitude
• Em uma palavra de n bits
– O bit mais à esquerda representa o sinal do
número inteiro
– Os n-1 bits mais à direita representam a
magnitude do número inteiro
• Exemplo:
+18 = 00010010
-18 = 10010010
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Representação Sinal-Magnitude
• Há duas representações para o zero
+0 = 00000000
-0 = 10000000
• É mais difícil testar se um valor é igual a zero
do que no caso em que há apenas uma
representação para o zero
• Por isso, essa representação raramente é
usada na implementação da parte inteira de
uma ULA
8
Representação em Complemento de Dois
9
Representação em Complemento de Dois
n2
A  2n 1 an 1   2i ai
i 0
– Para números inteiros positivos, an-1 = 0
– O número 0 é tratado como um número inteiro
positivo
• Usada para representar números na faixa -2n
↔ 2n-1
• Usada quase universalmente para representar
números inteiros dentro do µP
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Representação em Complemento de Dois
Decimal
S-M
C-2
Decimal
S-M
C-2
+8
+7
+6
+5
+4
+3
+2
+1
+0
0111
0110
0101
0100
0011
0010
0001
0000
0111
0110
0101
0100
0011
0010
0001
0000
-0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
-
1111
1110
1101
1100
1011
1010
1001
1000
Representação em Complemento de Dois
• Conversão complemento de 2 → decimal
-128
64
32
16
8
4
2
1
1
0
0
0
0
0
1
1
+2
+1 = -125
-128
• Conversão decimal→ complemento de 2
-120 =
-128
64
32
16
8
4
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
-128
+8
12
Representação em Complemento de Dois
• Às vezes é desejável converter a
representação de um número inteiro com n
bits para sua representação com m bits, onde
m>n
• Na representação sinal-magnitude, isso pode
ser feito facilmente
– Basta mover o bit de sinal para a posição mais à
esquerda e preencher as demais posições novas
com 0
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Representação em Sinal-Magnitude
• Exemplos:
+18 =
00010010 (s-m, 8 bits)
+18 = 0000000000010010 (s-m, 16 bits)
-18 =
10010010 (s-m, 8 bits)
-18 = 1000000000010010 (s-m, 16 bits)
• Esse procedimento não funciona para
números inteiros negativos representados em
complemento de dois
14
Representação em Complemento de Dois
• Exemplos:
+18 =
00010010 (c-2, 8 bits)
+18 = 0000000000010010 (c-2, 16 bits)
-18 =
11101110 (c-2, 8 bits)
-32.658 = 1000000001101110 (c-2, 16 bits)
• A regra é mover o bit de sinal para a posição
mais à esquerda e preencher as demais com
valor igual ao bit de sinal
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Representação em Complemento de Dois
• Exemplos:
+18 =
00010010 (c-2, 8 bits)
+18 = 0000000000010010 (c-2, 16 bits)
-18 =
11101110 (c-2, 8 bits)
-18 = 1111111111101110 (c-2, 16 bits)
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Representação em Complemento de Dois
• Negação
– Para representação s-m, basta inverter o valor do
bit de sinal
– Para a representação em complemento de dois:
• Toma-se o complemento booleano de cada bit do
número
• Adiciona-se 1 ao resultado
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Representação em Complemento de Dois
• Exemplos:
+18 = 00010010 (c-2)
Complemento booleano = 11101101
+1
11101110 = -18
-18 = 11101110 (c-2)
Complemento booleano = 00010001
+1
00010010 = +18
18
Representação em Complemento de Dois
• Casos especiais de negação
0 = 00000000 (c-2)
Complemento booleano = 11111111
+1
100000000 = 0
Bit “vai um” (carry in)
- é ignorado
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Representação em Complemento de Dois
• Casos especiais de negação (cont.)
-128 = 10000000 (c-2)
Complemento booleano = 01111111
+1
10000000 = -128 
– Anomalia se deve ao fato que uma palavra de n
bits pode conter 2n representações distintas
• 2n é um número par
• Sendo representados números positivos, negativos e o
0, a qtde de números positivos e negativos são
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diferentes
Representação em Complemento de Dois
• Adição
1001
+0101
1110
(a) (-7) + (+5) = -2
1100
+0100
10000
(b) (-4) + (+4) = 0
0011
+0100
0111
(c) (+3) + (+4) = +7
1100
+1111
11011
(d) (-4) + (-1) = -5
0101
+0100
1001
(e) (+5) + (+4) = +9 (overflow)
1001
+1010
10011
(f) (-7) + (-6) = -13 (overflow)
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Representação em Complemento de Dois
• Subtração
0010
+1001
1011
(a) M = 2 = 0010
S = 7 = 0111
-S = -7 = 1001
(+2) + (-7) = -5
1011
+1110
11001
(c) M = -5 = 1011
S = 2 = 0010
-S = -2 = 1110
(-5) + (-2) = -7
0111
+0111
1110
(e) M = 7
S = -7 = 1001
-S = 7 = 0111
(+7) + (+7) = 14 (overflow)
0101
+1110
10011
(b) M = 5 = 0101
S = 2 = 0010
-S = -2 = 1110
(+5) + (-2) = +3
0101
+0010
0111
(d) M = 5 = 0101
S = -2 = 1110
-S = 2 = 0010
(+5) + (+2) = +7
1010
+1100
10110
(f) M = -6 = 1010
S = 4 = 0100
-S = -4 = 1100
(-6) + (-4) = -10 (overflow)
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Representação em Complemento de Dois
23
Representação em Complemento de
Dois
• Hardware para adição e subtração
24
Representação em Complemento de
Dois
• Multiplicação
– Complexa.
– Calcule produto parcial para cada dígito.
– Cuidado com o valor da casa (coluna).
– Some produtos parciais.
25
Representação em Complemento de
Dois
• Exemplo de Multiplicação
Nota: precisa de resultado com tamanho duplo.
26
Representação em Complemento de
Dois
• Hardware para Multiplicação
27
Representação em Complemento de
Dois
• Multiplicação de 1101 e 1011
28
Representação em Complemento de
Dois
• Fluxograma para Multiplicação
29
Representação em Complemento de
Dois
• Multiplicando número negativos
– Isso não funciona!
– Solução 1:
• Converta para positivo, se for preciso.
• Multiplique como antes.
• Se sinais diferentes, negue a resposta.
– Solução 2:
• Algoritmo de Booth.
30
Representação em Complemento de
Dois
• Fluxograma do algoritmo de Booth
31
Representação em Complemento de
Dois
• Exemplo do algoritmo de Booth (7 x 3)
Nota: É usado deslocamento aritmético para preservar o sinal
32
Representação em Complemento de
Dois
• Exemplo do algoritmo de Booth para
negativos
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Representação em Complemento de
Dois
• Divisão
– Mais complexa que a multiplicação.
– Números negativos são realmente maus!
– Baseada na divisão longa.
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Representação em Complemento de
Dois
• Divisão de inteiros sem sinal
Divisor
1011
00001101
Quociente
10010011
Dividendo
1011
Restos
Parciais
001110
1011
001111
1011
100
Resto
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Representação em Complemento de
Dois
• Divisão de inteiros sem sinal
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Representação de Ponto Flutuante
• Usada para representar números muito
grandes ou muito pequenos
– Para números decimais, usa-se a notação
científica
• 976.000.000.000.000 = 9,76 x 1014
• 0,0000000000000976 = 9,76 x 10-14
• Para números binários, temos:
 M B
Sinal
Mantissa
E
Expoente
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Representação de Ponto Flutuante
• Um mesmo número pode ser
representações em ponto flutuante
várias
24 = 0,110 x 25 = 110 x 22 = 0,0110 x 26
• Para simplificar as operações, é requerido que
os números sejam normalizados
 1,1 b0b1b2 ...bn  2
E
Dígitos binários
implícito
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Representação de Ponto Flutuante
Sinal da
mantissa
8 bits
23 bits
Expoente
polarizado
Significando
32 bits
• o sinal é armazenado no primeiro bit da palavra
• o primeiro bit da significando verdadeira é sempre 1
- por isso não precisa ser armazenado
• o valor 127 é adicionado ao expoente verdadeiro,
sendo o resultado denominado Expoente Polarizado
Exemplos:
• 856.064 = 0,11010001 x 210100 = 0
• -856.064 = -0,11010001 x 210100 = 1
• 209 x 2-28 = 0,11010001 x 2-10100 = 0
• -209 x 2-28 = -0,11010001 x 2-10100 = 1
10010011
10010011
01101011
01101011
10100010000000000000000
10100010000000000000000
10100010000000000000000
10100010000000000000000
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Representação de Ponto Flutuante
• Intervalos de representação para 32 bits:
– Números negativos:
• [-(1-2-24) x 2128 , -0,5 x 2-127]
-(1-2-24) x 2128 = 1 11111111 11111111111111111111111
-0,5 x 2-127 = 1 00000000 00000000000000000000000
– Números positivos:
• [0,5 x 2-127 , (1-2-24) x 2128]
0,5 x 2-127 = 0 00000000 00000000000000000000000
(1-2-24) x 2128 = 0 11111111 11111111111111111111111
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Representação de Ponto Flutuante
Overflow em
Números Negativos
Overflow em
Números Positivos
Números inteiros
representáveis
-231
0
Underflow em
Números Negativos
231-1
Underflow em
Números Positivos
Overflow em
Números Negativos
Overflow em
Números Positivos
Números negativos
representáveis
-(1-2-24) x 2128
-0,5 x 2-127
Números positivos
representáveis
0 -0,5 x 2-127
-(1-2-24) x 2128
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Representação de Ponto Flutuante
• O underflow é menos crítico que o overflow,
pois o valor pode ser aproximado para 0
• Não há, à princípio, representação para 0
– Na verdade, há um padrão de bits especial para
representação do 0
• O número máximo de valores distintos
representáveis continua sendo 232
– A representação em ponto flutuante apenas
divide esses valores em duas faixas
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Representação de Ponto Flutuante
• Há uma relação estreita entre os tamanhos
dos campos reservados ao significando e ao
expoente
• Para um tamanho fixo de palavra:
– Se o número de bits reservados ao significando
aumentar, aumenta-se a precisão, mas diminui-se
a faixa de valores representáveis
– Se o número de bits reservados ao expoente
aumentar, aumenta-se a faixa de valores
representáveis, mas diminui-se a precisão
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Representação de Ponto Flutuante
• Padrão IEEE 754
8 bits
Formato
Simples
Expoente
polarizado
Sinal do
significando
Significando
32 bits
Sinal do
significando
Formato
Duplo
23 bits
11 bits
52 bits
Expoente
polarizado
Significando
64 bits
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Representação de Ponto Flutuante
• Valores especiais definidos no IEEE 754
Expoente Polarizado
Sinal
Formato
Simples
Formato
Duplo
Mantissa
Valor
0
0
0
0
0
1
0
0
0
-0
0
255
2047
0
∞
1
255
2047
0
-∞
0 ou 1
255
2047
≠0
NaN
45
Representação de Ponto Flutuante
• Parâmetros do formato IEEE 754
Parâmetro
Formato Simples
Formato Duplo
Tamanho da palavra
32
64
Tamanho do expoente
8
11
Polarização do expoente
127
1023
Expoente máximo
127
1023
Expoente mínimo
-126
-1022
Tamanho da mantissa
23
52
Número de expoentes
254
2046
Número de mantissas
223
252
Número de valores
1,98 x 231
1,99 x 263
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Referências
• STALLINGS, W. Arquitetura e organização de
computadores: projeto para o desempenho. 8.
ed. Prentice Hall, 2009.
• DELGADO, J.; RIBEIRO, C. Arquitetura de
Computadores. 2 ed. LTC, 2009.
• PATTERSON, D. A. ; HENNESSY, J.L. Organização
e projeto de computadores – a interface
hardware software. 3. ed. Editora Campus,
2005.
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