gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III
MATEMÁTICA – 3ª SÉRIE
COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR
PROFESSOR: WALTER TADEU
LISTA DE PROBABILIDADES
LISTA DE NÚMEROS COMPLEXOS - GABARITO
1) A forma mais simples do número complexo z 
2  2i
é:
2  2i
Solução. Multiplicando o número pelo conjugado do denominador em ambos os termos,
temos:
(2  2i)( 2  2i) 4  4  8i  8i


 i.
(2  2i)( 2  2i)
44
8
2) Calcule o valor de i1996.
Solução. É preciso encontrar a potência de (i4). Dividindo 1996 ÷ 4 = 499 exatos. Logo
podemos escrever: i1996 = (i4)499 = 1499 = 1.
3) Se o número complexo z é tal que z = i45 + i28 calcule z.
Solução. Calculando as divisões das potências por 4, temos:
i) 45 ÷ 4 = 11 resta 1
ii) 28 ÷ 4 = 7 exatos
Logo, i45 + i28 = (i4)11 . (i) + (i4)7 = (1).(i) + 1 = 1 + i.
4) Calcule o conjugado de
2i
.
i
Solução. Multiplicando o número do denominador em ambos os termos, temos:
z
(2  i)i 2i  i 2 2i  (1) 1  2i



 1  2i  z  1  2i.
i.i
1
1
i2
5) Seja z 
i
2  3i

, onde i2 = -1. Calcule z.
i2 i2
Solução. Simplificando a expressão com a igualdade de denominadores, temos:
z
i
2  3i i(i  2)  (i  2).(2  3i) i 2  2i  (2i  3i 2  4  6i) 4i 2  4  6i  4  4  6i 6i





 .
i2 i2
(i  2)(i  2)
5
5
5
i2  4
6) Calcule o produto (5 + 7i).(3 - 2i).
2
Solução. Multiplicando, temos: (5  7i).(3  2i)  15  10i  21i  14i  11i  15  14  29  11i.
7) Que relação há entre x e y, reais, para que o produto (x + yi).(2 + 3i) seja um número real.
Solução. O produto será real se a parte imaginária for nula. Multiplicando, temos:
( x  yi).(2  3i)  2 x  3xi  2 yi  3 yi 2  (2 x  3 y)  (3x  2 y)i. Logo, a parte imaginária será
nula se 3x + 2y = 0 .
8) Se o número complexo z é
1
3

i calcule z2.
2 2
1
2
Solução. Calculando z2 temos: ( 
3 2 1
3  2  2 3i  1  3i
i )   2 3i  

.
2
4
4
4
2
9) Sendo z1 = 7 - 2i e z2 = -3 + 5i, calcule | z1 + z2 |.
2
2
Solução. Calculando: (7  2i)  (3  5i)  (4  3i)  (4)  (3)  25  5.
10) Calcule o módulo do número z = 5 - 2i.
Solução. Basta calcular a raiz:
(5) 2  (2) 2  29.
11) Calcule o módulo do número complexo z, tal que z.z  7 .
Solução. Seja o complexo a + bi. Seu conjugado será: a – bi. Então temos:
z.z  (a  bi)( a  bi)  a 2  b 2  7  a 2  b 2  7 .
12) Calcule o módulo de
i 3
.
3 1
Solução. O módulo será:
i 3
3 1

(i  3 ).( 3  1)
( 3  1).( 3  1)
Efetuando, vem:
(

3i  i  3  3
3  3 1 3
3  3 2 1 3 2


i  (
) (
) .
3 1
2
2
2
2
3  3 2 1 3 2
9  6 3  3 1 2 3  3
16  8 3
) (
) 

 42 3 .
2
2
4
4
Aplicando a fórmula dos radicais duplos:
4  2 3  4  12 
13) Qual o módulo de
A  A2  B

2
4  16  12
4  16  12


2
2
A  A2  B
, vem:
2
42
42

 3 1
2
2
a  bi
, para a e b reais? 1
a  bi
Solução. Simplificando, vem:
Logo o módulo será:
A B 
a  bi (a  bi)(a  bi) a 2  2abi  b 2 a 2  b 2
2ab


 2
 2
i.
2
2
2
a  bi (a  bi)(a  bi)
a b
a b
a  b2
a2  b2
2ab
( a 2  b 2 ) 2  4a 2 b 2
(a 2  b 2 ) 2

i


 1.
a2  b2 a2  b2
(a 2  b 2 ) 2
(a 2  b 2 ) 2
(OBS: (a 4  2a 2 b 2  b 4  4a 2 b 2 )  a 4  2a 2 b 2  b 4  (a 2  b 2 ) 2 )