Solução de Modelos Descritos por Equações Diferenciais

Solução de Modelos Descritos por
Equações Diferenciais
José Paulo Mota
Requimte/CQFB, Departamento de Química, Faculdade de Ciências e
Tecnologia, Universidade Nova de Lisboa, 2829-516 Caparica, Portugal
e-mail:
[email protected]
Conteúdo
1 Classicação dos modelos processuais em Engenharia Química
1.1
Relativamente à dependência temporal das variáveis:
1.2
Relativamente ao número de variáveis independentes ou coordenadas:
1.2.1
Classicação e caracterização das PDE's
2
. . . . . . . . . . . .
2
. . .
2
. . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Métodos numéricos para resolução de PDE's
3
2.1
Método das diferenças nitas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.2
Método dos volumes nitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3
Método dos resíduos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3.1
Método de colocação
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.2
Método de sub-domínio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.3.3
Método de mínimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3.4
Método dos momentos
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.3.5
Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3.6
Método de colocação ortogonal
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Solução de sistemas mistos de equações diferenciais ordinárias e algébricas
26
1
1 Classicação dos modelos processuais em Engenharia
Química
1.1 Relativamente à dependência temporal das variáveis:
•
Modelos
estacionários ;
se nenhuma das variáveis dependentes do modelo varia
com o tempo. Neste caso, modelo é composto por um sistema de equações algébricas,
que podem ser lineares, não lineares, ou mistas.
•
Modelos
instacionários (ou de estado transiente) ;
se uma ou mais variáveis
dependentes do modelo variam com o tempo. Este tipo de modelo é constituído por
um sistema de equações diferenciais ordinárias (ODE's)lineares, não lineares, ou
mistasque pode ser complementado por um conjunto de equações algébricas.
1.2 Relativamente ao número de variáveis independentes ou coordenadas:
•
Modelos de
parâmetros agregados ;
se as variáveis do modelo são constantes ou
se só dependem da coordenada temporal. Neste caso, o modelo é descrito por um
sistema de equações algébricas, por um sistema de equações diferenciais ordinárias
(ODE's), ou por um sistema misto.
•
Modelos
com parâmetros distribuídos ;
se as equações envolvem uma ou mais
variáveis independentes ou coordenadas (normalmente espaciais) para além da coordenada temporal.
Um modelo deste tipo é regido por um sistema de equações
diferenciais às derivadas parciais (PDE's).
1.2.1 Classicação e caracterização das PDE's
A forma genérica de uma PDE linear de segunda ordem pode ser escrita da seguinte
forma:
P
∂ 2z
∂ 2z
∂ 2z
+
Q
+
R
= S.
∂x2
∂x∂y
∂y 2
Na eq. (1), a variável dependente é
coordenadas) são
x
e
y;
z = z(x, y);
os coecientes
2
P, Q
e
R
(1)
as variáveis independentes (ou
só podem depender de
x
e
y,
enquanto que
S
pode depender de
x, y , z , ∂z/∂x
e
∂z/∂y .
A PDE pode ser classicada de acordo com o sinal do seu determinante,
∆ = Q2 − 4 P R.
A PDE é
elíptica
se
∆ < 0; parabólica
se
∆ = 0;
(2)
e
hiperbólica
se
∆ > 0.
Seguem-se alguns exemplos típicos de diferentes tipos de PDE's que podem ocorrer
em problemas de Engenharia Química.
Segunda lei de Fick:
em que
C(t, x)
∂C
∂ 2C
=D 2,
∂t
∂x
(3)
é a concentração de um soluto (no instante
sua difusividade molecular; esta PDE é parabólica porque
t
e posição
x)
P = D, Q = 0
e
e
D
é a
R = 0.
Lei de Newton para movimento ondulatório:
∂ 2u
∂ 2u
=
ρ
,
∂t2
∂x2
em que
u(t, x)
é a velocidade do uído (no instante
densidade; esta PDE é hiperbólica porque
(4)
t
P = 1, Q = 0
e posição
e
x)
e
ρ
é a sua
R = −ρ.
Equação de Laplace para condução de calor:
∂ 2T
∂ 2T
+
= 0,
∂x2
∂y 2
em que
T (x, y)
(5)
é um campo bidimensional de temperatura (x e
nadas cartesianas); esta PDE é elíptica porque
P = 1, Q = 0
e
y
são duas coorde-
R = 1.
2 Métodos numéricos para resolução de PDE's
Os métodos apresentados em seguida serão ilustrados com a resolução numérica do problema estacionário de difusão e reacção química de primeira ordem numa partícula de
catalisador com forma de placa plana; a geometria do sistema está ilustrada na Fig. 1.
O balanço material diferencial ao reagente, em estado estacionário, origina
De
d2 C
− kC = 0,
dr2
3
(6)
em que
C(r)
é a concentração do reagente ao longo da placa de catalisador,
vidade efectiva do reagente na partícula de catalisador, e
k
De
a difusi-
a constante cinética (kC é a
velocidade de reacção por unidade de volume do catalisador). O domínio do problema é
{r : 0 ≤ r ≤ R}; r = 0
corresponde ao centro da placa e
r=R
corresponde à superfície
externa da placa que está em contacto com o uído externo; a concentração do reagente
no seio do uído externo é
C0 .
A eq. (6) é uma PDE de segunda ordem, estando por isso sujeita a duas condições
fronteira, cada uma delas aplicável num dos extremo do domínio.
As duas condições
fronteira são as seguintes:
dC
=0
dr
C = C0
para
r = 0;
(7)
para
r = R.
(8)
A primeira condição é uma condição de simetria, porque
C(−r) = C(r),
que impõe a
ausência de uxo material no centro da placa de catalisador (como o reagente se desloca
por difusão, o seu uxo é
J = −D∂C/∂r); a segunda condição corresponde a uma situação
de uxo convectivo elevado junto à superfície da partícula de catalisador, o que faz com
que a concentração do reagente nesse ponto seja sempre igual à concentração
C0
no seio
do uído em torno da partícula.
Por uma questão de conveniência, procede-se à adimensionalização da equação. Para
Figura 1: Difusão e reacção química numa placa plana de catalisador.
4
isso, introduz-se as seguintes variáveis adimensionais:
y = C/C0 ;
A variável
y
x = r/R.
passa a ser a variável dependente adimensional e
x
passa a ser a variável
independente (ou coordenada) adimensional; o domínio do problema passa a ser
{x : 0 ≤
x ≤ 1}.
Fazendo estas substituições no balanço diferencial e nas condições fronteira obtém-se
d2 y
− ϕ2 y = 0,
dx2
dy
=0
dx
y=1
Na eq. (9), o parâmetro
ϕ = (kR2 /De )1/2
(9)
para
x = 0;
(10)
para
x = 1.
(11)
é denominado
módulo de Thiele ; este parâmetro
mede a razão entre a velocidade da reacção e o uxo difusional.
(k
≫ De /R2 ),
Quando
ϕ
é grande
a conversão do reagente é controlada pelo uxo difusional do reagente
junto à parede do catalisador; quando
ϕ é pequeno (k ≪ De /R2 ), a conversão do reagente
é controlada pela cinética da reacção química.
A quantidade que nos interessa é a velocidade aparente, ou efectiva, da reacção:
(kC)eff =
∫ 1
1 ∫
k ∫R
kC dV =
C(r) dr = kC0
y(x) dx,
V V
R 0
0
O integral adimensional,
∫
(12)
1
η=
y(x) dx,
(13)
0
é denominado
factor de eciência ;
introduzindo este factor na expressão da velocidade
aparente da reacção obtém-se
(kC)eff = kC0 · η
ou
η=
(kC)eff
.
kC0
Convém lembrar que existe uma expressão alternativa para o cálculo de
(14)
η ; Da denição
deste parâmetro e da eq. (9) obtém-se
∫
1
η =
0
(
)
1 ∫1 2
1 ∫ 1 d2 y
1 ∫ x=1
dy
y(x) dx = 2
ϕ y(x) dx = 2
dx = 2
d
ϕ 0
ϕ 0 dx2
ϕ x=0
dx
[
1 dy
=
ϕ2 dx
]x=1
x=0
1
= 2
ϕ
(
dy
dx
)
.
(15)
x=1
5
A solução analítica da eq. (9), sujeita às condições fronteira das eqs. (10) e (11), é
y(x) =
cosh(ϕx)
,
cosh(ϕ)
(16)
o que permite calcular o factor de eciência:
∫
1
η=
0
1
y(x) dx = 2
ϕ
(
dy
dx
)
=
x=1
tanh(ϕ)
.
ϕ
(17)
2.1 Método das diferenças nitas
Este método consiste na substituição das variáveis dependentes, que são contínuas, por
variáveis discretas; em vez de se determinar uma solução contínua em todo o domínio
do problema, determina-se uma solução discreta, que consiste nos valores das variáveis
dependentes em determinados pontos do domínio.
Considere-se a expansão em série de Taylor de uma função
ponto
y(x + ∆x)
em torno do
x:
y(x + ∆x) = y(x) +
A notação
O(∆x3 )
dy(x)
1 d2 y(x)
∆x +
(∆x)2 + O(∆x3 ).
dx
2 dx2
(18)
signica que a série contínua indenidamente, mas que a soma dos
termos não explicitados é proporcionl a
de AM I, o termo correcto é
(∆x)3
[para ser mais preciso, e se se lembrarem
(1/6)(∆x)3 (d3 y/dx3 )x=ξ ; ξ
é desconhecido, mas sabe-se que
ξ ∈ (x, x + ∆x)].
Se os termos de ordem 2 e superior forem ignorados, obtém-se
dy(x)
y(x + ∆x) − y(x)
y(x + ∆x) − y(x)
=
+ O(∆x) ≈
.
dx
∆x
∆x
De forma semelhante, a expansão da função
y(x − ∆x) = y(x) −
y(x − ∆x)
em torno de
x
(19)
origina
1 d2 y(x)
dy(x)
∆x +
(∆x)2 + O(∆x3 ).
2
dx
2 dx
(20)
Desta formula, obtém-se a seguinte aproximação:
y(x) − y(x − ∆x)
y(x) − y(x − ∆x)
dy(x)
=
+ O(∆x) ≈
.
dx
∆x
∆x
(21)
Subtraindo as eqs. (18) e (20) obtém-se uma aproximação alternativa da primeira
derivada:
y(x + ∆x) − y(x − ∆x)
y(x + ∆x) − y(x − ∆x)
dy(x)
=
+ O(∆x2 ) ≈
.
dx
2∆x
2∆x
6
(22)
Esta aproximação é mais precisa do que as aproximações expressas nas eqs. (19) e (21),
porque na eq. (22) o erro da aproximação é proporcional a
eqs. (19) e (21) ele é proporcional a
(∆x)2
enquanto que nas
∆x.
Para obter uma aproximação da segunda derivada, adicionam-se as eqs. (19) e (21) e
desprezam-se os termos de ordem superior a 2. A expressão assim obtida é
d2 y(x)
y(x − ∆x) − 2y(x) + y(x + ∆x)
=
+ O(∆x2 ).
2
dx
(∆x)2
Na prática divide-se o domínio do problema,
{x : xL ≤ x ≤ xU }
(23)
, em
N
intervalos
uniformes, sendo o comprimento de cada um deles dado por
∆x =
xU − xL
.
N
(24)
Indexam-se os pontos em função do valor da coordenada
como sendo o ponto com coordenada
xL + i(∆x)
x;
isto é, dene-se o ponto
e chama-se a esse ponto
xi ;
i
o conjunto
de pontos assim obtido é
xi = xL + i(∆x)
Desta forma,
para
i = 0, 1, 2, . . . , N.
(25)
x0 = xL , xN = xU , xi+1 = xL + (i + 1)∆x, xi−1 = xL + (i − 1)∆x,
A variável dependente
y
correspondente ao ponto
xi
denota-se
yi ,
Recorrendo às formulas anteriores, pode substituir-se, em cada ponto
isto é,
xi ,
etc.
y(xi ) = yi .
as derivadas de
primeira e segunda ordem pelas seguintes aproximações:
(
dy
dx
)
≈
i
yi+1 − yi
∆x
(
d2 y
dx2
≈
)
≈
i
yi − yi−1
∆x
ou
ou
≈
yi+1 − yi−1
;
2∆x
yi−1 − 2yi + yi+1
.
(∆x)2
(26)
(27)
Com estas substituições, transforma-se a equação diferencial original num sistema de
N
equações algébricas. Tem que se ter, no entanto, atenção com o tratamento das condições
fronteira.
Exempliquemos o método com a sua aplicação à resolução numérica do problema de
difusão e reacção química na pellet de catalisador. O domínio do problema é
x ≤ 1};
portanto
xL = 0
e
x U = 1.
xi = i(∆x)
{x : 0 ≤
O conjunto de pontos de discretização é
para
i = 0, 1, 2, . . . , N ;
7
∆x = 1/N.
(28)











−2
(∆x)2
+ ϕ2
1
(∆x)2
2
(∆x)2
−2
+
(∆x)2
1
(∆x)2

1
(∆x)2
−2
+
(∆x)2
ϕ2
1
(∆x)2
ϕ2
...
...
...
+ ϕ2
−2
(∆x)2
1
(∆x)2
1
(∆x)2
y0
y1
y2






.
.

.


  yN −1












= .

 ..





 0
yN
1
0
0
0











1
Figura 2: Discretização do modelo de difusão e reacção química por diferenças nitas
centradas de 2
Desta forma,
a
ordem.
x0 = 0, x1 = ∆x, x1 = 2∆x,
correspondente ao ponto
xi
é
y(xi ) = yi .
xN = 1.
...,
A variável dependente
y(x)
A substituição da segunda derivada na eq. (9)
pela diferença nita correspondente origina a seguinte equação algébrica linear:
yi−1 − 2yi + yi+1
− ϕ2 yi = 0,
(∆x)2
i = 1, 2, . . . , N − 1.
Esta equação não é válida para os pontos fronteira.
fronteira é
y N = 1.
Para o ponto
Por outro lado, aplicando a eq. (29) no ponto
x0
xN = 1
(29)
a condição
obtém-se
y−1 − 2y0 + y1
− ϕ2 y0 = 0.
(∆x)2
Esta expressão contém
y−1 ≡ y(x−1 )
que não pertence ao domínio do problema.
entanto, aproximando a condição fronteira no ponto
a
ordem (para ser consistente com a aproximação à 2
y1 − y−1
=0
2∆x
o que permite eliminar
y−1
→
x0
(30)
No
a
por uma diferença nita de 2
derivada usada na eq. (29)) obtém-se
y−1 = y1 ,
(31)
da eq. (30) obtendo-se
2(y1 − y0 )
− ϕ2 y0 = 0.
(∆x)2
(32)
Resumindo: aproximando as derivadas parciais por diferenças nitas, a PDE e respectivas condições fronteira são substituídas por um sistema de equações algébricas; no caso
presente as equações são lineares, mas nem sempre é o caso. O sistema de equações está
indicado na Fig. 2.
O factor de eciência pode ser calculado de duas formas. Suponha-se que se calcula
através do integral dado na eq. (13). Este integral tem que necessariamente ser aproximado
por uma fórmula de quadratura. Por exemplo, se se utilizar a regra dos trapézios obtém-se
(
)
YN
y0
η=
+ y1 + . . . + yN −1 +
∆x + O(∆x2 ).
2
2
8
(33)
Em alternativa pode discretizar-se a eq. (15) usando uma diferença nita consistente a
a
solução numérica de 2
ordem:
1 yN +1 − yN −1
+ (∆x2 ).
ϕ2
2∆x
η=
Mas esta expressão contém
yN +1
aplicando a PDE no ponto
xN
(34)
que não pertence ao domínio do problema. No entanto,
obtém-se
yN −1 − 2yN + yN +1
− ϕ2 yN = 0
(∆x)2
Finalmente,
η=
→
yN +1 = (∆x)2 ϕ2 yN + 2yN − yN −1 .
(35)
1 yN − yN −1 ∆x
+
yN .
ϕ2
∆x
2
O modelo pode ser facilmente implementado em
matlab, GAMS, ampl, ou até em Excel.
Eu prero a linguagem de programação matemática
ampl
que eu considero ser mais intuitiva. O modelo
(36)
ampl
que é equivalente ao
GAMS
mas
está listado na Fig. 3.
Para correr o programa abre-se uma consola Windows executando
uma consola com um prompt sw:; nesta consola arranqua-se o
sw.exe;
este cria
ampl escrevendo ampl; o
prompt anterior é substituído por ampl:. Agora inclui-se o modelo em
ampl;
para isso
escreve-se
include eta.ampl;
[ENTER]
No modelo ainda não foram atribuídos valores aos parâmetros
se pretende resolver o problema para
ϕ = 10
[ENTER]
Para resolver o problema, basta agora escrever
solve;
O
ampl
[ENTER]
responde com a seguinte informação:
Presolve eliminates 1 constraint and 1 variable.
Substitution eliminates 2 variables.
Adjusted problem:
10 variables, all linear
10 constraints, all linear; 28 nonzeros
0 objectives.
9
e
N;
suponha-se que
com 10 pontos de discretização; para isso
escreve-se
let phi := 10.0; let N := 10;
phi
option substout 1 ;
option show_stats 1 ;
option solver "lpsolve" ;
param N integer > 1 ;
param dx = 1/N ;
param phi >= 0 ;
set PTS =
param x {
param w {
param eta
0..N ordered ;
i in PTS } = dx * i ;
i in PTS } = cosh( phi * x[i] ) / cosh( phi ) ;
= tanh( phi ) / phi ;
var y { PTS } ;
s.t. LinSys { i in PTS } :
( if i = 0 then
2*(y[1] - y[0])/dx^2 - phi^2 * y[0]
else if i < N then
(y[i-1] - 2*y[i] + y[i+1])/dx^2 - phi^2 * y[i]
else
y[N] - 1 ) = 0 ;
var eta1 = dx * ( sum { i in PTS } y[i] - (y[0] + y[N])/2 ) ;
var eta2 = (y[N] - y[N-1])/dx / phi^2 + dx * y[N] / 2 ;
Figura 3: modelo
ampl
para a resolução por diferenças nitas do problema de difusão
e reacção química numa pellet de catalisador; supõe-se que o modelo ca gravado num
cheiro chamado
eta.ampl.
LP_SOLVE 4.0.1.0: optimal, objective 0
10 simplex iterations
Para comparar a solução numérica com a solução analítica pode escrever-se:
display x, w, y;
[ENTER]
o que faz a listagem dos valores de
analítico de
η
xi , wi
(solução analítica) e
com a solução numérica, escreve-se
display eta, eta1, eta2;
[ENTER]
obtendo-se
eta = 0.1
eta1 = 0.111803
10
yi .
Para comparar os valor
eta2 = 0.111803
Para calcular
η
para
ϕ = 100
com
N = 10,
pode escrever-se o seguinte:
let phi := 100.0; solve; display eta, eta1, eta2; [ENTER]
(Nota:
=
N
já era igual a 10 da simulação anterior.) A nova solução seria:
eta2 = 0.0509902.
eta = 0.01, eta1
Neste caso o erro é apreciável. Para melhorar a solução é necessário
aumentar o número de pontos de discretização, e.g.,
let N := 50; solve; display eta, eta1, eta2;
eta = 0.01, eta1 = eta2 = 0.0141421;
o que origina:
[ENTER]
melhorou bastante. Para
let N := 200; solve; display eta, eta1, eta2;
obtém-se
eta
= 0.01,
eta1
=
eta2
N = 200:
[ENTER]
= 0.0103078.
2.2 Método dos volumes nitos
Este método á parecido com o método das diferenças nitas, mas é particularmente aplicável às equações gerais de conservação (matéria, energia, ou quantidade de movimento),
que podem ser escritas na seguinte forma genérica:
∂
(ρϕ) + ∇ · (ρuϕ) = ∇ · (Γ∇ϕ) + S,
∂t
em que
ρ
é a densidade do uido,
ϕ
(37)
é a variável dependente a ser conservada (massa
total, quantidade de um componente, energia total, quantidade de movimento),
coeciente de difusão,
positivo se gerar
ϕ
u = (u, v, w)
é o vector velocidade, e
e negativo se consumir
S
Γ
é um
é um termo fonte;
S
é
ϕ.
Por exemplo, a equação de conservação aplicada a um reagente A sujeito a uma reacção
de primeira ordem para escoamento unidimensional num tubo é
(
∂
∂
∂
∂wA
(ρwA ) +
(ρuwA ) =
ρDA
∂t
∂x
∂x
∂x
em que
wA
é a fracção mássica de A,
é a difusividade molecular, e
substituir-se
ρwA
k
u
)
− kρwA ,
á a velocidade do uido ao longo do tubo,
DA
é a constante cinética da reacção. Em alternativa pode
pela concentração mássica (ou molar),
CA .
O método dos volumes nitos consiste em dividir o domínio em
i = 1, 2, . . . , N
(38)
(que podem ser todos iguais ou não):
11
N
volumes de controlo,
e integrar a equação de conservação ao longo de cada volume de controlo. Por exemplo,
a integração de
(
)
∂ϕ
∂
∂
∂ϕ
+
(uϕ) =
Γ
+ S(x, ϕ),
∂t
∂x
∂x
∂x
origina
∫
(39)
∫
xi+1/2
xi+1/2
∂ϕ
dx + Ji+1/2 − Ji−1/2 =
S(x, ϕ) dx,
xi−1/2 ∂t
xi−1/2
em que J = uϕ − Γ(∂ϕ/∂x) é o uxo de transporte de ϕ. Supondo que ϕ(x) ≈ ϕi
(40)
em todo
o volume de controlo, a equação anterior pode ser simplicada originando
dϕi Ji+1/2 − Ji−1/2
+
= S(xi , ϕi ).
dt
∆xi
ϕ nas fronteiras do volume de controlo podem ser discretizados
Os uxos de transporte de
através de diferenças nitas:
(
Ji−1/2 =
∂ϕ
uϕ − Γ
∂x
(
Ji+1/2 =
(41)
∂ϕ
uϕ − Γ
∂x
)
≈ ui−1/2
ϕi−1 + ϕi
ϕi − ϕi−1
−Γ
,
2
xi − xi−1
(42)
≈ ui+1/2
ϕi + ϕi+1
ϕi+1 − ϕi
−Γ
.
2
xi+1 − xi
(43)
i−1/2
)
i+1/2
(44)
Introduzindo estas expressões na eq. (41) origina uma equação diferencial ordinária para
cada volume de controlo. Aparentemente, o método dos volumes nitos é muito parecido
com o método das diferenças nitas.
O método dos volumes de nitos tem a vantagem de conservar globalmente a quantidade
ϕ.
Somando as equações para todos os volumes de controlo, obtém-se:
N
∑
∆xi
i=1
em que
J1/2 = JxL
N
∑
dϕi
+ (JN +1/2 − J1/2 ) =
∆xi S(xi , ϕi ),
dt
i=1
é o uxo na fronteira inferior do domínio e
JN +1/2 = JxU
(45)
é o uxo na
fronteira superior do domínio. Esta equação é equivalente à discretização da equação de
conservação global:
(
d ∫ xU
∂ϕ
ϕ dx + uϕ − Γ
dt xL
∂x
)
xU
(
∂ϕ
− uϕ − Γ
∂x
12
)
∫
xU
=
xL
S(x, ϕ) dx.
xL
(46)
Uma outra vantagem do método é a facilidade com que se aplicam métodos especícos
de discretização dos termos convectivos,
(uϕ)i−1/2
(uϕ)i+1/2 ,
e
nas faces dos volumes de
controlo.
Para dar um pequeno exemplo das potencialidades do método, considere-se a resolução
numérica da equação estacionária de convecção-difusão da concentração de um soluto:
dc
d2 c
− D 2 = 0,
dz
dz
v
em que
c(z)
c|z=0 = C0 ,
c|z=L = C1 ,
(47)
é o perl de concentração ao longo de uma coordenada espacial
velocidade do uído e
D
z, v
é a
é o coeciente de difusão. Convém adimensionalizar a equação;
para isso introduz-se as seguintes adimensionalizações:
x = z/L,
y = (c − C1 )/(C0 − C1 ).
(48)
A modelo adimensional é
dy
1 d2 y
−
= 0,
dx Pe dx2
em que
Pe = vL/D
y|x=0 = 1,
é o número de Péclet: quando
y|x=1 = 0,
Pe
(49)
é grande, o transporte do soluto
é essencialmente convectivo, podendo-se desprezar o efeito de dispersão devido à difusão
do soluto; quando
Pe
é pequeno o transporte do soluto é tem uma componente difusiva
não negligenciável.
A eq. (49) tem uma solução analítica simples:
y(x) =
exp(Pe) − exp(Pe · x)
.
exp(Pe) − 1
(50)
A resolução da eq. (49) por diferenças nitas centradas
(
dy
dx
)
xi
yi+1 − yi−1
,
=
2∆x
(
d2 y
dx2
)
=
xi
yi−1 − 2yi + yi+1
,
(∆x)2
origina o seguinte sistema de equações lineares:
y0 = 1,
yi+1 − yi−1 yi−1 − 2yi + yi+1
−
= 0 (i = 1, . . . , N − 1),
2∆x
(∆x)2 Pe
A Fig. 4 lista o programa
para
Pe = 100
yN = 1.
ampl para resolver este sistema de equações.
for resolvido com
N = 20
(51)
Se o problema
obtêm-se os resultados reproduzidos na Fig. 5.
Como se pode observar, a solução numérica é oscilante na frente de concentração.
13
option substout 1 ;
option show_stats 1 ;
option solver "/amplcml/lpsolve" ;
param N integer > 0 ;
param dx = 1/N ;
param Pe >= 0 ;
set PTS = 0..N ordered ;
param x { i in PTS } = dx * i ;
param ya { i in PTS } = ( exp(Pe) - exp(Pe*x[i]) ) / ( exp(Pe) - 1 ) ;
var y { PTS } ;
s.t. LinSys { i in PTS } :
( if i = 0 then
y[0] - 1
else if i < N then
(y[i+1] - y[i-1])/(2*dx) - (y[i-1] - 2*y[i] + y[i+1])/(Pe*dx^2)
else
y[N] ) = 0 ;
Figura 4: modelo
ampl para a resolução do problema de convecção-difusão por diferenças
a
nitas centradas de 2
ordem.
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
Figura 5: linha = Eq. (50), simbolos a cheio = solução da Eq. (51) para
a
ocos = solução com diferença nita de 1
ordem e
14
N = 20.
1
N = 20; simbolos
dy/dx.
O problema reside na discretização do termo convectivo,
Uma forma de elimi-
a
nar a oscilação na solução numérica é substituir a diferença nita centrada de 2
ordem
pela diferença nita de primeira ordem desviada à esquerda:
(
dy
dx
)
=
xi
yi − yi−1
.
∆x
a
Resolvendo o problema com esta diferença nita de 1
(52)
ordem obtém-se a solução represen-
tada pelos circulos ocos; a solução numérica deixou de ser oscilatória mas é mais dispersiva
do que a solução analítica. Vejamos porquê:
(
dy
dx
)
=
i
yi − yi−1
yi+1 − yi−1 ∆x yi−1 − 2yi + yi+1
+ O(∆x) =
−
.
∆x
2∆x
2
(∆x)2
O primeiro termo na segunda igualdade é discretização de
centrada de 2
a
dy/dx com uma diferença nita
ordem e o segundo termo é a discretização de
nita centrada de 2
a
(53)
ordem. Consequentemente, discretizar
d2 y/dx2
dy/dx
com uma diferença
com a diferença nita
da Eq. (53) é equivalente a resolver a PDE
(
dy
∆x
1
−
+
dx
2
Pe
)
d2 y
= 0,
dx2
com diferenças nitas centradas de 2
a
y|x=0 = 1,
y|x=1 = 0,
(54)
ordem, ou seja, a resolver o problema com um
coeciente de difusão aparente
D′ = D +
vL
∆x.
2
(55)
Isto explica porque é que a solução numérica é mais difusiva do que a solução analítica.
Considermos agora a formulação de volumes nitos.
controlo genérico, e.g., o volume
i,
A integração num volume de
origina:
(
Ji+1/2 − Ji−1/2 = 0,
Ji+1/2
1 dy
= y−
Pe dx
)
.
(56)
i+1/2
Já vimos que o termo dispersivo é pacíco; portanto podemos discretizá-lo com uma
diferença nita centrada:
(
1 dy
Pe dx
)
i−1/2
Os termos complicados são
mações
(
1 yi − yi−1
=
,
Pe ∆x
yi−1/2 = (yi−1 + yi )/2
e
yi−1/2
e
yi+1/2 .
1 dy
Pe dx
=
i+1/2
1 yi+1 − yi
.
Pe ∆x
(57)
Já vimos que não podemos usar as aproxi-
yi+1/2 = (yi + yi+1 )/2
15
)
porque elas dão origem a expressão
a
idênticas às diferenças nitas centradas de 2
descentrada de 1
a
ordem. A utilização de diferenças nitas
ordem é equivalente a considerar
yi−1/2 = yi−1
yi+1/2 = yi .
e
(58)
Isto faz sentido para transporte fortemente convectivo porque nestas condições o valor da
variável numa face do volume de controlo é bem aproximado pelo valor da variável no
seio do volume de controlo que se encontra a montante. No entanto, já vimos que esta
abordagem introduz dispersão numérica excessiva.
Para resolver o problema temos que utilizar métodos mais complicados. Uma hipótese é utilizar uma interpolação descentrada de ordem mais elevada. Por exemplo, para
determinar
yi+1/2
usa-se o polinómio que interpola
é
yi+1/2 =
Para determinar
yi−1/2
yi−1/2 =
yi−1 , yi
e
yi+1 .
A fórmula assim obtida
3yi+1 + 6yi − yi−1
yi + yi+1 yi−1 − 6yi + yi+1
=
−
.
8
2
8
usa-se o polinómio que interpola
yi−2 , yi−1
e
yi .
A fórmula é
3yi + 6yi−1 − yi−2
yi−1 + yi yi−2 − 6yi−1 + yi
=
−
.
8
2
8
Este esquema de discretização é conhecido como o esquema
a
a uma discretização desviada a montante de 3
(59)
(60)
Quick ; o método corresponde
ordem do termo
dy/dx.
Outra alternativa é utilizar-se um método de discretização não linear; estes métodos
são denominados limitadores de uxo. Por exemplo, o esquema harmónico de van Leer é
{
yi−1/2
}
(yi−1 − yi−2 )(yi − yi−1 )
,
= yi−1 + max 0,
yi − yi−2
{
yi+1/2
(61)
}
(yi − yi−1 )(yi+1 − yi )
.
= yi + max 0,
yi+1 − yi−1
(62)
2.3 Método dos resíduos ponderados
Considere-se o problema de difusão e reacção química numa pellet de catalisador, regido
pelas eqs. (9)(11), re-escrito na seguinte forma compacta:

L(y) ≡
2
∂ y
− ϕ2 y = 0,
2
∂x

∂y(0)


 = 0.
∂x
M (y) ≡ 


y(1) − 1
(63)
A ideia principal do método de resíduos ponderados é a construção de uma solução aproximada
ỹ
que satisfaça a eq. (63) segundo um determinado critério de minimização do
16
erro de aproximação. Porque a solução
ỹ
é aproximada, em geral ela não satisfaz a PDE
nem as condições fronteira, isto é,
L(ỹ) = R ̸= 0
Nesta equação,
R
e
Rb
M (ỹ) = Rb ̸= 0.
e
são os resíduos da aproximação.
Se
(64)
ỹ
a que a equação diferencial seja satisfeita exactamente (isto é,
chama-se
método de fronteira ;
se
ỹ
for construída de forma
R = 0)
então o método
for construída de forma a que as condições fronteira
sejam satisfeitas exactamente, então o método chama-se
método interior ;
nalmente, se
nem a equação diferencial nem as condições fronteira forem satisfeitas exactamente, o
método diz-se
misto.
O método dos resíduos ponderados requer dois tipos de funções: uma é denominada
função de
aproximação ; a outra é denominada função de ponderação.
mação é usada para construir a solução numérica
ỹ ;
A função de aproxi-
a outra função é utilizada como base
de critério para minimizar o resíduo da solução aproximada (um resíduo pequeno implica
que a solução numérica aproxima a solução real com um erro pequeno).
Para minimizar o resíduo, que normalmente é uma função da variável independente
x,
é necessário converter
R
num escalar para que se possa proceder a uma optimização
do valor do resíduo. Isto faz-se através de uma forma de ponderação média do resíduo
em todo o domínio do problema, o que no caso presente equivale a um
produto interno
de funções. Este último pode ser visto como uma medida de distância média entre duas
funções num determinado domínio da variável independente; no caso do método dos
resíduos ponderados, a distância média medida é calculada entre a função residual e as
funções de ponderação.
Consideremos o método interior. A aproximação numérica da PDE pode ser escrita
como uma expansão polinomial, por exemplo,
ỹ = y0 +
n
∑
ai ϕi (x).
(65)
i=1
em que
y0
e as funções de aproximação
rem as condições fronteira, isto é,
ϕi (x) têm que ser escolhidas por forma a satisfaze-
M (ỹ) = 0.
Os
n
coecientes
ai
são desconhecidos e são
determinados pelo método dos resíduos ponderados forçando a solução
satisfazer o melhor possível a PDE.
17
ỹ(x; a1 , . . . , an )
a
Substituindo
ỹ
na PDE obtém-se a equação residual:
[
R(x) = L(ỹ) = L
n
∑
]
ai ϕi (x) .
(66)
i=1
Dado que o resíduo é geralmente uma função de
x,
é necessário minimizá-lo em todo o
domínio de interesse. No método dos resíduos ponderados utiliza-se o seguinte integral
como medida média do resíduo:
∫
V
onde
V
é o domínio de interesse e
de um conjunto (k
ponderação.
R(x)wk (x) dx,
(67)
wk (x) é uma k -gésima função de ponderação seleccionada
= 1, 2, . . . , n)
de funções independentes, denominadas funções de
Este integral denomina-se produto interno das funções no domínio
V
e é
normalmente escrito na seguinte forma compacta:
(R, wk )V .
Dado que a solução numérica tem
n
(68)
coecientes desconhecidos
ai ,
para determinar
or seus valores força-se a que o produto interno do resíduo com as primeiras
de ponderação seja igual a zero.
Isto origina
n
n
funções
equações algébricas, normalmente não
lineares,
(R, wk )V = 0
para
k = 1, 2, . . . , n,
que podem ser resolvidas para obter os valores dos
n
(69)
coecientes
ai .
Retomemos o exemplo do problema de difusão e reacção química. É evidente que é
mais fácil escrever uma função de aproximação que satisfaça as condições fronteira do que
uma que satisfaça a PDE em todo o domínio do problema. Por exemplo, suponha-se que
se opta por escrever a função de aproximação como a soma de
a solução é simétrica, isto é,
potências pares de
x=1
x.
y(−x) = y(x),
n
polinómios. Dado que
os polinómios seleccionados têm que envolver
Para além disso, a soma dos polinómios tem que ser igual a 1 para
e a primeira derivada tem que ser nula para
de aproximação será
ỹ(x) = 1 +
n
∑
x = 0.
É fácil concluir que a função
ai (1 − x2i ),
(70)
i=1
porque
ỹ(1) = 1
e
(dỹ/dx)x=0 = 0.
O resíduo da aproximação é
R(x) = L(ỹ) =
18
d2 ỹ
− ϕ2 ỹ.
dx2
(71)
Conhecendo-se os valores de
∫
ai
pode calcular-se o factor de eciência:
1
η̃ =
ỹ(x) dx = 1 +
0
1
=
ϕ2
(
dy
dx
)
x=1
n
∑
(
ai
i=1
1
1−
2i + 1
)
(72)
n
2 ∑
=− 2
ai i.
ϕ i=1
(73)
Nos exemplos desenvolvidos em seguida vai-se considerar a aproximação mais simples,
isto é, a aproximação para
n = 1:
ỹ(x) = 1 + a1 (1 − x2 ),
η̃ = 1 +
2a1
2a1
=− 2.
3
ϕ
(74)
O resíduo para esta aproximação é
R(x) = −2a1 − ϕ2 [1 + a1 (1 − x2 )].
Para efeitos de cálculo, o módulo de Thiele vai ser xado a
para estas condições é
ϕ = 1;
(75)
o factor de eciência
η = tanh(1)/1 = 0.7616.
A escolha do tipo de funções teste origina diferentes variações do método dos resíduos
ponderados:
1. Método de colocação;
2. Método de sub-domínio;
3. Método de mínimos quadrados;
4. Método de momentos;
5. Método de Galerkin;
6. Método de colocação ortogonal.
2.3.1 Método de colocação
Neste método a função de teste é um delta de Dirac em
n
pontos interiores (chamados
pontos de colocação) do domínio de interesse:
wk = δ(x − xk ).
(76)
Uma das propriedades da função delta de Dirac é a seguinte:
∫
xk +b
xk −a
f (x)δ(x − xk ) dx = f (xk ) (a > 0, b > 0).
19
(77)
Se os
n,
n
pontos interiores forem raízes de um polinómio ortogonal de Jacobi de ordem
então o método de colocação diz-se ser de colocação ortogonal. Aplicando a eq. (77)
em (69), obtém-se
R(xk ) = 0
k = 1, 2, . . . , n,
para
(78)
ou seja: força-se o resíduo a ser nulo nos pontos interiores de colocação
Por exemplo, suponha-se que se escolhe
problema de difusão-reacção;
x1 = 0.5
x1 , . . . , x n .
como ponto de colocação para o
x1 = 0.5 corresponde ao ponto localizado a meio do domínio.
Anulando o resíduo neste ponto obtém-se
R(x1 ) = −2a1 − ϕ2 [1 + a1 (1 − x21 )] = 0
→
a1 = −
ϕ2
= −0.3636.
2 + ϕ2 (1 − x21 )
(79)
A estimativa do factor de eciência é
2a1
= 0.7576
3
2a1
= − 2 = 0.7273.
ϕ
η̃ = 1 +
(80)
(81)
Estes valores indicam que a solução obtida pelo método de colocação concorda razoavelmente bem com a solução analítica.
2.3.2 Método de sub-domínio
Neste caso o domínio é dividido em
lhidas são
wk =
n
sub-domínios
Vi
e as funções de ponderação esco-


 1,
no interior do sub-domínio
Vk

 0,
no exterior do sub-domínio
Vk
.
(82)
Ou seja, anula-se o integral do resíduo sobre cada um dos sub-domínios.
Para
n=1
o sub-domínio coincide com o domínio completo do problema. Logo,
∫
(R, w1 )V =
∫
1
0
R(x)w1 dx =
0
1
{−2a1 − ϕ2 [1 + a1 (1 − x21 )]}(1) dx
(83)
Forçando o produto interno a ser nulo obtém-se
→
(R, w1 )V = 0
3
a1 = − ,
8
(84)
o que permite o cálculo do factor de eciência:
2a1
= 0.75
3
2a1
= − 2 = 0.75.
ϕ
η̃ = 1 +
20
(85)
(86)
Estes valores indicam que a solução obtida pelo método do sub-domínio também concorda
razoavelmente bem com a solução analítica.
2.3.3 Método de mínimos quadrados
Neste método a função de ponderação é
wk =
∂R
.
∂ak
(87)
Com esta denição, o integral que dene o resíduo pode ser escrito da seguinte forma:
∫
V
∂R
1 ∂ ∫
R
R2 dx.
dx =
∂ak
2 ∂ak V
A equação anterior mostra que os coecientes
de
ak
(88)
são determinados através da minimização
(R, R).
No caso do problema em estudo,
(R, w1 )V =
1 ∂ ∫1
{−2a1 − ϕ2 [1 + a1 (1 − x21 )]}2 dx = 0.
2 ∂a1 0
Integrando esta equação para
ϕ=1
e depois diferenciando em ordem a
(
(R, w1 )V =
)
1 216
16
a1 +
=0
2 15
3
→
a1 = −
a1 ,
(89)
obtém-se
10
.
27
(90)
As estimativas do factor de eciência são
2a1
= 0.7531
3
2a1
= − 2 = 0.7407.
ϕ
η̃ = 1 +
(91)
(92)
Novamente, estes valores comparam bem com a solução analítica.
2.3.4 Método dos momentos
Neste método as funções de ponderação são
wk = xk−1
para
k = 1, 2, . . . , n.
Portanto, anulam-se os seguintes produtos internos para calcular os coecientes
(R, 1)V = 0,
(R, x)V = 0,
, (R, x2 )V = 0, . . . , (R, xn−1 )V = 0.
Como temos estado a considerar soluções para
n = 1,
observa-se que para
(93)
ai :
(94)
n=1
o
método dos momentos é idêntico ao método dosub-domínio, porque o produto interno a
anular é simplesmente
(R, 1)V = 0.
21
(95)
2.3.5 Método de Galerkin
Neste método as funções de ponderação são escolhidas da mesma família das funções de
aproximação:
wk = ϕk (x).
(96)
Portanto, no método de Galerkin anulam-se os seguintes produtos internos:
(R, ϕ1 )V = 0,
(R, ϕ2 )V = 0,
, (R, ϕ2 )V = 0, . . . , (R, ϕ2 )V = 0.
A solução do problema de difusão/reacção pelo Método de Galerkin com
(97)
n = 1 equivale
a anular o seguinte produto interno:
w1 (x) = 1 − x2
(R, w1 )V = 0,
∫
(R, w1 )V =
1
0
{−2a1 − ϕ2 [1 + a1 (1 − x21 )]}(1 − x2 ) dx = 0
2
8
(R, w1 )V = − (1 + 2a1 ) − a1 = 0.
3
15
Resolvendo em ordem a
a1
(98)
(99)
(100)
obtém-se
10
a1 = −
28



 η̃
→
2a1
= 0.7619
= 1+
3
.
2a1
= − 2 = 0.7143
ϕ



(101)
Este resultado parece mostrar que o método de Galerkin é o método mais preciso para o
problema em análise.
2.3.6 Método de colocação ortogonal
Apesar do método de Galerkin ser o mais preciso na resolução do problema de difusão/reacção com
n = 1,
quando se aumenta o número de funções de aproximação (n
> 1)
observa-se que o método de Galerkin apresenta muito mais diculdades analíticas do que
o método de colocação. De facto, com excepção do método de colocação, todos os outros
métodos de resíduos ponderados requerem uma integração da forma
∫
R(x)w(x) dx,
(102)
V
que pode exigir a integração numérica se a integração analítica for impossível ou difícil
de determinar.
22
A precisão do método de colocação pode ser melhorada se os pontos de colocação
forem judiciosamente escolhidos. No caso do problema de difusão/reacção, observemos o
integral que dene a variável macroscópica que nos interessa:
∫
(
1
y(x) dx,
η=
0
dy
dx
)
= 0,
y(1) = 1.
(103)
x=0
Suponha-se que se utiliza uma fórmula de quadratura para calcular este integral numericamente; uma fórmula de quadratura não é mais do que a média ponderada dos valores da
função a integrar em determinados pontos do intervalo de integração. No caso presente,
podemos escrever a quadratura da seguinte forma:
∫
η=
0
1
y(x) dx ≈
m
∑
αk y(xk ) + αm+1 y(1);
0 ≤ x1 < x2 < . . . < xm < 1.
(104)
k=1
Quantos mais pontos foram incluídos na fórmula mais precisa ela será. É por este motivo
que incluí o ponto
x=1
no conjunto de pontos de quadratura; para
x=1
conhece-se
o valor analítico da solução, por isso é um ponto extra que se obtém de borla: seria um
desperdício não o incluir.
O problema que se coloca agora é: quais deverão ser os valores dos coecientes
dos pontos de quadratura
xk
αk
e
para que a fórmula seja o mais precisa possível. Considere-se
a fórmula de quadratura mais simples, com um único ponto interno de quadratura:
η = α1 y(x1 ) + α2 y(1).
Esta fórmula de quadratura tem 3 incógnitas:
equações para as determinar.
y(x) = 1,
α1 , α2
e
(105)
x1 ;
são, portanto, necessárias três
Se a solução fosse constante em todo o domínio, isto é,
a aplicação da fórmula de quadratura originaria:
η = (α1 )(1) + (α2 )(1) = 1
→
α1 + α2 = 1.
(106)
Já temos a primeira equação. Suponha-se aqora que o perl de concentração é um polinómio de segundo grau:
y(x) = 1 + a1 (1 − x2 ).
Se a fórmula de quadratura for válida para
necessariamente válida para
y(x) = 1
y(x) = 1 + a1 (1 − x2 )
(107)
e
y(x) = 1 − x2
por ser uma combinação linear dos
polinómios anteriores. Por uma questão de simplicidade usar-se-á então
23
então ela será
y(x) = 1 − x2 .
Aplicando a fórmula de quadratura ao integral obtém-se
∫
1
0
y(x) dx = 2/3 = (α1 )(1 − x21 ) + α2 (1 − 12 )
(108)
2/3 = (α1 )(1 − x21 )
(109)
Já temos a segunda equação.
Para obter a terceira equação considere-se
for válida para
y(x) = 1, y(x) = 1 − x2
polinómio do tipo
e
y(x) = 1 − x4 ;
y(x) = 1 − x4 , então ela será válida para qualquer
y(x) = 1 + a1 (1 − x2 ) + a2 (1 − x4 ).
∫
1
0
se a fórmula de quadratura
Para
y(x) = 1 − x4 ,
obtém-se
y(x) dx = 4/5 = (α1 )(1 − x41 ) + (α2 )(1 − 14 )
(110)
4/5 = (α1 )(1 − x41 )
(111)
Agora já temos o conjunto de equações necessárias para a determinação de
α1 , α2
e
x1 :
α1 + α2 = 1
(112)
(1 − x21 )α1 = 2/3
(113)
(1 − x41 )α1 = 4/5
(114)
A solução deste sistema de equações é:
x1 = 0.44721,
α1 = 0.83333,
α2 = 0.16667.
(115)
Voltemos, agora, a resolver o problema de difusão/reacção pelo método de colocação
com
n=1
e
x1 = 0.44721
em vez de
x1 = 0.5.
R(x1 ) = −2a1 − ϕ2 [1 + a1 (1 − x21 )] = 0
Magia da magias,
−0.35714 = −10/28
→
Anulando o resíduo neste ponto obtém-se
a1 = −
ϕ2
= −0.35714.
2 + ϕ2 (1 − x21 )
(116)
que é precisamente o valor obtido pelo método de
Galerkin!!! (Conseguem perceber porquê?) Conseguimos melhorar a precisão do método
de colocação ortogonal através da escolha judiciosa do ponto de colocação.
O ponto
x1 = 0.44721 funcionou bem porque ele é um zero de um polinómio de Jacobi
especíco que está relacionado com o problema em questão. O polinómio de Jacobi de
grau
N
tem um seguinte representação em série de potências:
(α,β)
JN
(x) =
N
∑
(−1)N −i γN,i xi ,
i=0
24
(117)
com
γN,0 = 1.
Os coecientes
γN,i são constantes e α e β
caracterizam o tipo de polinómio.
Os polinómios de Jacobi pertencem a uma classe de polinómios ortogonais porque
satisfazem a seguinte condição de ortogonalidade no domínio
∫
1
0
para
(α,β)
[xβ (1 − x)α ]Jj
j = 0, 1, 2, . . . , (N − 1),
(α,β)
(x)JN
(x) dx = 0
Pode demonstrar-se que o polinómio
x ∈ [a, b],
(118)
isto é, todos os polinómios de Jacobi são ortogonais a todos
os outros exceptuando a eles próprios (isto é, quando
eles localizados no intervalo
[0, 1]:
[0, 1].
(α,β)
JN
j = N ).
(x) tem exactamente N
zeros distintos todos
Se o domínio do sistema PDE a resolver, por exemplo
for convertido no domínio
[0, 1]
através da mudança de variável
x′ = (x − a)/(b − a),
então pode demonstrar-se que os zeros do polinómio
(119)
(α,β)
JN
(x)
são excelentes pontos de
colocaçãoo para resolução da PDE pelo métodos dos resíduos ponderados. Em apêndice
lista-se vários tipos de polinómios ortogonais.
Para ver como surge o ponto
x1 = 0.44721,
note-se primeiro que os polinómios de
Jacobi são séries de polinómios com potências impares e potências pares de
x.
No en-
tanto, no problema que temos usado como exemplo, a função de aproximação é a soma
de polinómios com potências pares de
x.
Para poder utilizar-se uma função de aproxima-
ção envolvendo polinómios com potências impares e pares de
substituição de variável:
z = x2 .
x
pode fazer-se a seguinte
Obtém-se:
(
√ dy
dz dy
dy
=
=2 z ,
dx
dx dz
dz
d2 y
dz d dy
=
2
dx
dx dz dx
)
= 4z
d2 y
dy
+2 .
2
dz
dz
(120)
Aplicando estas transformações nas eqs. (9)(11), obtém-se
4z
d2 y
dy
+ 2 − ϕ2 y = 0,
2
dz
dz
y=1
A condição fronteira
variável,
z = x2 ,
(dy/dx)x=0 = 0
x = 1.
para
(121)
(122)
é automaticamente satisfeita pela transformação de
pelo não necessita de ser incluída. O factor de eciência é
∫
η=
∫
1
y(x) dx = 2
0
0
25
1
y(z)z 1/2 dz.
(123)
Comparando este integral com a condição de ortogonalidade, dada pela eq. (118), concluise que factor de ponderação comum a ambos os integrais é obtido para
α=0
e
β = 1/2.
Se utilizarmos um ponto interior de colocação, o integral é dado por uma fórmula de
quadratura idêntica à da eq. (104):
∫
1
η=2
0
y(z)z 1/2 dz ≈ 2
m
∑
1/2
0 ≤ z1 < z2 < . . . < zm < 1.
zk αk y(zk ) + 11/2 αm+1 y(1);
k=1
(124)
Um quadratura que inclui um dos pontos da fronteira do domínio de integração,
denomina-se quadratura de Radau (ver apêndice E.6); os pontos óptimos de quadratura são os zeros do polinómio de Jacobi
(
JN α, β + 1)(x)
(ver tabela 12.2 no apêndice).
No caso presente, estamos interessados no zero do polinômio
em Tabelas desses polinómios, obtém-se
(
J1 0, 3/2)(x).
z1 = 0.2, α1 = 0.83333
e
Procurando
α2 = 0.16667.
√
z = x2 , o ponto de colocação equivalente na coordenada x será x1 =
Como
(z) = 0.44721;
este
ponto é idêntico ao que tinhamos obtido anteriormente.
3 Solução de sistemas mistos de equações diferenciais
ordinárias e algébricas
Um sistema misto de equações diferenciais ordinárias e algébricas pode ser escrito na
seguinte forma genérica:
F(x, y, y′ , t) = 0
(125)
G(x, y, t) = 0,
em que
y = (y1 , . . . , yn )
densada para
dy/dt,
e
(126)
é um conjunto de variáveis diferenciais,
x = (x1 , . . . , xm )
sistema diferencial necessita de
n
é um conjunto de
m
é uma notação con-
variáveis algébricas. Este
equações iniciais:
H(x0 , y0 , y0′ ) = 0
para
t = 0.
Em muitos casos o sistema é puramente diferencial, isto é,
F(y, y′ , t) = 0
y′
(127)
m = 0,
pode ser reescrita numa forma explicita em ordem a
y′ (t) = f (t, y(t)),
26
y(0) = y0 .
e para além disso
y′ :
(128)
Certamente devem ter aprendido métodos de Runge-Kutta explícitos para a resolução
da Eq. (128). Por exemplo, o método de Runge-Kutta-Gill corresponde ao seguinte esquema de integração, em que conhecido o valor de
y
para o instante tn , isto é
se pretende avançar a solução para o instante de tempo
yn = y(tn ),
tn+1 = tn + h.
1
1
yn+1 = yn + (k1 + k4 ) + ( bk2 + dk3 ),
6
3
(129)
em que
k1 = h f (tn , yn )
)
(
h
1
k2 = h f tn + , yn + k1
2
2
(
)
h
k3 = h f tn + , yn + ak1 + bk2
2
k4 = h f (tn + h, yn + ck2 + dk3 )
√
com
a=
(130)
(131)
(132)
(133)
√
√
√
2−1
2
2
2− 2
,b =
,c = −
,d = 1 +
.
2
2
2
2
(134)
Os métodos explícitos não são frequentemente utilizados na integração de modelos
diferenciais em Engenharia Química porque os métodos explícitos não são incondicionalmente estáveis. Por esta razão, vou-me concentrar na resolução do sistema DAE dado na
Eq. (125). O método mais simples é o método implícito de Euler. Este método decorre
directamente da aproximação de
dy/dt
em série de Taylor dada na Eq. (20) e que se
reproduz em seguida:
y(x − ∆x) = y(x) −
dy(x)
∆x + O(∆x2 ).
dx
(135)
Desta expressão decorre imediatamente que
′
=
yn+1
Portanto, para determinar
xn+1
e
yn+1 − yn
+ O(h).
h
yn+1
em
tn+1 = tn + h,
(136)
conhecidos
xn
e
yn ,
resolve-se
o sistema algébrico
)
(
yn+1 − yn
F xn+1 , yn+1 ,
, tn+1 = 0
h
G(xn+1 , yn+1 , tn+1 ) = 0.
27
(137)
(138)
Este método é incondicionalmente estável, mas exige a resolução de um sistema de equações algébricas que em muitos casos são não lineares. A desvantagem do método é ser um
método de 1
a
ordem.
a
Um método de 2
ordem estável, muito utilizado, é o método dos trapézios também
conhecido por método de Crank-Nicholson.
Das várias diferenças nitas apresentadas
anteriormente, é fácil deduzir a seguinte fórmula:
(
′
yn+1/2
=
dy
dt
)
=
tn+1/2
yn+1 − yn
+ O(h2 ).
h
(139)
Esta equação é idêntica à eq. (136) mas há uma diferença fundamental:
aproxima
dy/dt
para
tn+1 = tn + h;
a eq. (139) aproxima
a
Por isso é que a eq. (136) é uma aproximação de 1
a
uma aproximação de 2
expressões para
xn+1/2
xn+1/2 =
e
dy/dt
para
tn+1/2 = tn + h/2.
ordem, enquanto que a eq. (139) é
ordem. Para resolver o sistema (125) em
yn+1/2 .
a eq. (136)
tn+1/2
é necessário ter
É fácil deduzir que as seguintes fórmulas:
xn + xn+1
+ O(h2 ),
2
yn+1/2 =
yn + yn+1
+ O(h2 ).
2
a
Estas fórmulas são consistentes com a aproximação de 2
mindo, para se calcular a solução no instante de tempo
(140)
ordem dada na eq. (139). Resu-
tn+1
usando o método de Crank-
Nicholson resolve-se o seguinte sistema de equações algébricas:
)
(
xn + xn+1 yn + yn+1 yn+1 − yn
,
,
, tn+1/2 = 0
F
2
2
h
(
)
xn + xn+1 yn + yn+1
G
,
, tn+1/2 = 0.
2
2
(141)
(142)
Actualmente, os métodos de integração mais usados são os métodos implícitos de
ordem variável e passo variável baseados nas fórmulas BDF de diferenciação de Gear.
Sucintamente,
′
yn+1
é aproximado pela diferenciação do polinómio que interpola
valores da solução nos
interpola
yn+1
e
yn
k
yn+1
e os
passos de integração anteriores. Por exemplo, o polinómio que
é
p1 (t) = yn +
yn+1 − yn
(t − tn ).
h
(143)
A diferenciação dá directamente a fórmula implícita de Euler:
′
=
yn+1
yn+1 − yn
.
h
(144)
Portanto a fórmula BDF de primeira ordem é equivalente ao método implícito de Euler.
28
a
Para deduzir uma fórmula de 2
yn
e
yn−1 .
ordem, determina-se o polinómio que interpola
yn+1 ,
O resultado é
p2 (t) = yn +
yn−1 − 2yn + yn+1
yn+1 − yn
(t − tn ) +
(t − tn )(t − tn+1 )
h
2h2
Diferenciando este polinómio em
′
=
yn+1
tn+1
(145)
obtém-se
yn+1 − yn yn−1 − 2yn + yn+1
+
.
h
2h
(146)
Em qualquer caso, o sistema algébrico que é necessário resolver para calcular a solução
no instante
tn+1
é do tipo
F(xn+1 , yn+1 , αyn+1 + w, tn+1 ) = 0
G(xn+1 , yn+1 , tn+1 ) = 0,
em que
α
e
w
são constantes que variam de passo para passo.
29
(147)
(148)