Conjunto dos Números Naturais A noção de um número natural

Matemática
Prof. Guilherme Neves
Conjunto dos Números Naturais
A noção de um número natural surge com a pura contagem de objetos. Ao
contar, por exemplo, os livros de uma estante, temos como resultado um
número do tipo:
ℕ = {0,1,2,3 … }
Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não
poderíamos imaginar alguém falando: “Tenho 3,4231 livros na minha estante”.
A este conjunto ℕ denominamos conjunto dos números naturais.
Se por acaso houver a necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos
com um asterisco sobrescrito à letra N.
𝑁 ∗ = {1,2,3,4 … }
Este conjunto é chamado conjunto dos números naturais não-nulos.
No conjunto dos números naturais, podemos definir apenas duas operações
básicas: adição e multiplicação.
Você deve estar se perguntando: “E por que não subtração e divisão?”
A questão é a seguinte: dizemos que uma operação está bem definida quando
sempre podemos operar naquele conjunto. Por exemplo: Será que é sempre
possível somar dois números naturais? É claro que sim!!
Podemos efetuar 2+3=5, 3+0=3 e assim por diante.
Ou seja, a soma de dois números naturais também é um número natural. Por
isso, dizemos que o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à
adição.
Será que é sempre possível multiplicar dois números naturais? É claro que sim!!
Podemos efetuar 3 x 5 = 15, 4 x 1 = 4, 8 x 0 = 0...
Podemos então concluir que o produto de dois números naturais é também um
número natural. Ou seja, o conjunto dos números naturais é FECHADO em
relação à multiplicação.
Será que é sempre possível subtrair
respondemos em alto e bom tom... NÃO!!!
dois
números
naturais?
Agora
Podemos efetuar 5 – 3 = 2. Por outro lado, não podemos efetuar (no conjunto
dos números naturais) 3 – 5. Isto porque o resultado desta operação é um
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número negativo. Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais
NÂO É FECHADO em relação à subtração.
Da mesma maneira sabemos que o conjunto dos números naturais NÃO É
FECHADO em relação à divisão. Podemos efetuar 8 : 2 = 4, mas não podemos
efetuar 2 : 8 (o resultado desta operação, como iremos ver adiante, é uma
fração que não é um número natural).
Observe que falamos algumas expressões tipicamente matemáticas como
soma, adição, multiplicação, produto, etc.
Qual é a diferença entre soma e adição? É a mesma coisa? Vejamos...
Operações com números naturais
Como bem já dissemos, podemos definir apenas duas operações no conjunto
dos números naturais: adição e multiplicação.
Vamos aprender detalhadamente cada uma dessas operações.
Considere o seguinte cálculo: 3 + 5 = 8.
O símbolo “+” representa a operação de adição. O resultado da adição é
chamado de soma.
Portanto “adição” e “soma” não têm o mesmo significado. Adição é o nome da
operação. Soma é o resultado da adição.
Definimos então a operação de adição:
⎡a,b → parcelas
a+b = c ⎢
⎣ c → soma
No nosso exemplo, os números 3 e 5 são as parcelas e 8 é a soma.
Vejamos algumas propriedades importantes da adição.
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Propriedade comutativa
Esta propriedade afirma que alterar a ordem das parcelas não altera a soma.
Em símbolos:
a + b = b + a para todos a,b ∈ N
Obviamente sabemos que 3 + 5 = 8 e 5 +3 = 8, portanto 3 + 5 = 5 + 3.
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Ex.:
4 + 5 = 9⎫
⎬4+5=5+4
5 + 4 = 9⎭
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Propriedade associativa
A adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas primeiras ou as
duas últimas parcelas. Aqui, devemos obedecer à regra de que devemos primeiro efetuar
as operações que se encontram dentro dos parênteses.
(2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10⎫
⎬ (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10⎭
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Existência do elemento neutro da adição
Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade.
𝑎+0=0+𝑎 =𝑎
Desta forma, 5 + 0 = 0 + 5 = 5. Por esta razão, o número zero é chamado de elemento
neutro da adição.
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Propriedade do fechamento
A soma de dois números naturais é um número natural.
Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a adição é
uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai adicionar
dois números naturais? Com certeza o resultado (a soma) será um número
natural!! Não tem como a soma ser um número negativo, um número
irracional, etc.
Vamos falar um pouquinho agora sobre a multiplicação. Observe o seguinte
cálculo:
3×4 = 12
Podemos representar a operação da multiplicação por dois símbolos (ou
nenhum como veremos adiante). Usualmente, utilizamos o × 𝑜𝑢 ∙.
Assim, 3×4 = 3 ∙ 4 = 12.
Quando estamos trabalhando com letras ou com expressões dentro de
parêntesis é muito comum não utilizarmos símbolo algum para representar a
multiplicação. Assim,
3𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 3 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑎.
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Ou seja, 3𝑎 = 3 ∙ 𝑎 = 3×𝑎.
Vamos nos deparar muitas vezes com expressões do tipo: 𝑥 + 2 𝑥 − 1 .
Observe que não há símbolo algum entre os parêntesis do meio. Esta expressão
significa que devemos multiplicar as expressões que estão nos parêntesis.
𝑥+2 𝑥−1 = 𝑥+2 ∙ 𝑥−1 = 𝑥+2 × 𝑥−1
Daqui por diante usaremos indistintamente os símbolos ×𝑒 ∙. Mas não se
preocupe... Você pode utilizar qualquer um dos dois símbolos. Veja o que fica
melhor esteticamente e utilize... Ok?
Eu, particularmente, não uso × em expressões algébricas.
Podemos agora definir a operação da multiplicação, suas propriedades e
nomenclaturas.
⎡a,b → fatores
a×b = c ⎢
⎣ c → produto
Da mesma maneira que foi comentado na operação de adição, convém observar
a diferença entre “multiplicação” e “produto”. Multiplicação é o nome da
operação e produto é o resultado da multiplicação.
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Propriedade comutativa
A ordem dos fatores não altera o produto.
É-me indiferente efetuar 3 x 4 ou efetuar 4 x 3. O resultado (produto) será o
mesmo 12.
Desta forma, podemos afirmar que ab = ba para todos a,b ∈ N .
Lembre-se que 𝑎𝑏 significa a vezes b. Ou seja,
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎 = 𝑎×𝑏 = 𝑏×𝑎
2 ⋅ 7 = 14⎫
⎬2⋅7 =7⋅2
7 ⋅ 2 = 14⎭
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Propriedade associativa
A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois
primeiros ou os dois últimos fatores.
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(3 ⋅ 4) ⋅ 5 = 12 ⋅ 5 = 60 ⎫
⎬ (3 ⋅ 4) ⋅ 5 = 3 ⋅ (4 ⋅ 5)
3 ⋅ (4 ⋅ 5) = 3 ⋅ 20 = 60⎭
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Existência do elemento neutro da multiplicação
Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade:
𝑎∙1=1∙𝑎 =𝑎
Ou seja, tanto faz efetuar 4 vezes 1 ou 1 vezes 4: o resultado é igual a 4.
Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação.
Isso é muito importante lembrar quando estamos operando com expressões
algébricas, por exemplo:
𝑥 − 0,4𝑥
Ora, x é a mesma coisa que 1x, portanto:
𝑥 − 0,4𝑥 = 1𝑥 − 0,4𝑥 = 0,6𝑥
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Propriedade do fechamento
O produto de dois números naturais é um número natural.
Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a
multiplicação é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais.
Vai multiplicar dois números naturais? Com certeza o resultado (o produto) será
um número natural!! Não tem como o produto ser um número negativo, um
número irracional, etc.
Temos ainda uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição. É a
chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou
simplesmente propriedade distributiva.
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Propriedade Distributiva
Antes de enunciar a propriedade seja com palavras seja com símbolos, vejamos
um exemplo. Efetue 2 ∙ 3 + 5 .
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Existe uma hierarquia entre as operações matemáticas. Se não estivessem
escritos os parêntesis, no caso, 2 ∙ 3 + 5, deveríamos efetuar primeiramente
2 ∙ 3 = 6 e em seguida adicionar o 5. No caso, 2 ∙ 3 + 5 = 6 + 5 = 11.
Mas no nosso caso há os parêntesis. Devemos, portanto, ignorar a hierarquia
das operações, pois devemos efetuar obrigatoriamente as operações que estão
dentro dos parêntesis.
2 ∙ 3 + 5 = 2 ∙ 8 = 16
A propriedade distributiva nos diz que na multiplicação de uma soma por um
número natural, multiplicam-se cada um dos termos por esse número e em
seguida somamos os resultados. No caso, para efetuar 2 ∙ 3 + 5 podemos
multiplicar 2 por 3, multiplicar 2 por 5 e finalmente somar os dois resultados.
2 ∙ 3 + 5 = 2 ∙ 3 + 2 ∙ 5 = 6 + 10 = 16
Utilizaremos bastante este fato ao trabalhar com “letras”... Por exemplo, a
expressão 2 ∙ (𝑥 + 3) pode ser desenvolvida da seguinte maneira:
2∙ 𝑥+3 =2∙𝑥+2∙3=2∙𝑥+6
Ou simplesmente:
2 ∙ 𝑥 + 3 = 2𝑥 + 6
Conjunto dos números inteiros
Vimos anteriormente que o conjunto dos números naturais é fechado em
relação à adição e à multiplicação. Com o intuito de definir a operação
“subtração” ampliaremos o conjunto dos números naturais.
Criamos, portanto, o conjunto dos números inteiros que é representado pela
letra Z (inicial de zahl - número em alemão).
Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Dizemos que o número – 𝑥 é o simétrico ou oposto do número 𝑥.
Por exemplo, o número −5 é o simétrico de 5 e reciprocamente: 5 é o simétrico
de −5.
O número 0 (zero) não é positivo e não é negativo. Dizemos que zero é neutro.
Observe que sempre que efetuarmos a adição de um número com o seu oposto
(simétrico) o resultado será igual a 0. Desta forma:
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5 + −5 = 0
2 + −2 = 0
−3 + 3 = 0
Podemos então definir a operação “subtração” da seguinte maneira:
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)
⎡a → minuendo
a − b = c ⎢⎢ b → subtraendo
⎢⎣c → diferença
Rapidamente percebemos que a subtração não é uma operação comutativa.
Basta olhar, por exemplo, que 5 – 3 = 2 e 3 – 5 = - 2. A subtração também
não goza da propriedade associativa e não possui elemento neutro.
Podemos afirmar que o conjunto dos números inteiros é FECHADO em relação à
subtração. Ou seja, se você vai calcular a diferença entre dois números inteiros,
com certeza o resultado será um número inteiro.
Observe ainda que todos os números naturais são números inteiros, mas nem
todos os números inteiros são naturais. Dizemos que o conjunto dos números
naturais é subconjunto dos números inteiros.
Regras dos sinais com números inteiros
−( − a ) = a
a ⋅ (−b) = (−a) ⋅ b = −(a ⋅ b) = −ab
(−a) ⋅ (−b) = ab
As observações acima são conhecidas como “Regra dos sinais” para a
multiplicação (e divisão) de inteiros.
Sinais dos
números
Resultado
iguais
positivo
diferentes
negativo
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Exemplos:
Vejamos como realizar a adição e a subtração com números inteiros.
Se os números possuírem sinais iguais, devemos adicionar os números e repetir
o sinal.
+2 + 3 = +5
−2 − 3 = −5
Se os números possuírem sinais opostos, devemos subtrair os números e
repetir o sinal do maior.
+5 − 2 = +3
−5 + 2 = −3
Mais um exemplo: precisamos realizar a operação –354 + 231. Como
proceder?
Estes números possuem sinais opostos, portanto calculamos a diferença
entre eles (354 – 231 = 123) e repetimos o sinal do maior, que é negativo.
Portanto, –354+231 =–123.
Lembremos ainda da hierarquia das operações vistas até agora. Se não
houver parênteses, devemos realizar primeiro multiplicação e
divisão,
depois adição e subtração.
Exemplo: −3 + 5×2 + 8 ÷ 2
Neste caso, fazemos primeiro multiplicação e divisão.
−3 + 𝟓×𝟐 + 𝟖 ÷ 𝟐 = −3 + 𝟏𝟎 + 𝟒 = 11
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