Matemática ´Algebra II 08/09 Folha 2

Matemática
Álgebra II
08/09
Folha 2
8. Diga, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(a)
(b)
(c)
(d)
Z4 tem caracterı́stica 4.
Um anel finito pode ter caracterı́stica zero.
Se caracterı́stica de um anel com identidade é m 6= 0 e n · 1 = 0, n ∈ N, então m|n.
Se K é um corpo com caracterı́stica p, então (a + b)p = ap + bp , ∀a, b ∈ K.
9. Das seguintes correspondências entre anéis, diga quais são homomorfismos:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
f
f
f
f
f
f
f
: A −→ B, tal que f (a) = 0.
: Z −→ Z, tal que f (a) = 3a.
: Z −→ Z, tal que f (a) = a2 .
: Z −→ Z6 , tal que f (a) = [a]6 .
: C −→ R, tal que f (a + ib) = a.
√
√
√ ¢
√
¡
: Z[ 2] −→ Z[ 2], tal que f a + b 2 = a − b 2.
: Mn (R) −→ R, tal que f (A) = det A.
10. Determine o núcleo e classifique cada um dos homomorfismos de anéis do exercı́cio anterior.
11. Seja f : A −→ B um homomorfismo de anéis. Mostre que:
(a) Se A0 ≤ A (resp. A0 C A e f é um epimorfismo), então f (A0 ) ≤ B (resp. f (A0 ) C B).
(b) Se B 0 ≤ B (resp. B 0 C B) e f −1 (B 0 ) 6= ∅, então f −1 (B 0 ) ≤ A (resp. f −1 (B 0 ) C A).
12. Seja f : A −→ B um isomorfismo de anéis. Mostre que:
(a)
(b)
(c)
(d)
Se A é comutativo, então B é comutativo.
Se A tem identidade 1A , então B tem identidade 1B = f (1A ).
Se A é corpo, então B é corpo.
A e B têm a mesma caracterı́stica.
13. Determine os ideais do anel (Zn , +, ·) para n = 4, n = 11, n = 12 e n = 16.
14. Sejam A um anel com identidade e I um ideal de A. Mostre que as seguintes condições são
(ii) I contém uma unidade.
(iii) I = A.
equivalentes: (i) 1A ∈ I.
15. Sejam A um anel comutativo com identidade e a, b ∈ A. Mostre que:
(a) (a) = {ax : x ∈ A} é o menor ideal de A que contém a (designa-se por ideal principal gerado
por a).
(b) O menor ideal que contém a e b é (a) + (b).
(c) (a) ⊆ (b) se e só se a = rb, para algum r ∈ A.
(d) Se A é domı́nio de integridade, (a) = (b) se e só se a = ub, para alguma unidade u ∈ A.
16. Considere o anel (Z, +, ·) e dois inteiros a e b. Prove que:
(a)
(b)
(c)
(d)
Se mdc (a, b) = 1, então o único ideal que contém a e b é Z.
(a) + (b) = ( mdc(a, b) ).
(a) ∩ (b) = ( mmc(a, b) ).
(a) · (b) = (a · b).
17. Seja A um anel e I um ideal de A. Mostre que:
(a) A comutativo ⇒ A/I comutativo.
(b) A tem identidade ⇒ A/I tem identidade.
(c) A domı́nio de integridade ;, A/I domı́nio de integridade.