MatBas10 - Equacao 2 grau

MÓDULO X
EQUAÇÕES DO 2º GRAU
2. Resolução para os tipos de equações do 2º grau
2
2.1. ax + bx + c = 0, com a≠ 0, b ≠ 0 e c = 0
1. Definição
Ao resolvermos alguns problemas de matemática,
podemos obter equações nas quais a incógnita aparece
elevada ao quadrado. Estas equações são chamadas de
equações do 2º grau. Por exemplo:
2
2
2
x – 2x = 0, 2x + 3 = 0, 5x – x + 15 = 0, etc.
De forma geral, a equação do 2º grau é escrita na
forma:
2
ax + bx + c = 0,
com a≠ 0, b ∈ ℝ e c ∈ ℝ, onde:
x é a incógnita;
2
a é o coeficiente do termo x ;
b é o coeficiente do termo x;
c é o termo independente de x.
Uma raiz, ou solução, de uma equação do 2º grau,
é todo número real que, se substituído no lugar de x, torna
a igualdade verdadeira.
Por exemplo, se considerarmos a equação do
2
segundo grau x – 6x + 9 = 0, e substituirmos x por 3,
obtemos:
2
(3) – 6.(3) + 9 = 0
9 – 18 + 9 = 0
18 – 18 = 0
0 = 0 (afirmação verdadeira)
Nesse caso, utilizando fatoração, teremos:
2
ax + bx = 0 x.(ax + b) = 0 x = 0 ou ax + b =0
b
x = 0 ou x = − .
a
b

Logo, o conjunto solução será S = 0; −  .
a

2
Por exemplo, resolvendo a equação 3x – x = 0,
teremos:
2
3x – x = 0 x.( 3x – 1) = 0 x = 0 ou 3x – 1 = 0
1
x = 0 ou x = .
3
 1
Logo, o conjunto solução será S = 0;  .
 3
Exercício Proposto
EP.03) Resolva, em ℝ, as equações abaixo:
2
a) 2x – 4x = 0
Logo, afirmamos que x = 3 é uma raiz da equação
dada.
2
b) (4 – x) = (3x +8).(x + 2)
Exercícios Propostos
EP.01) Identifique os coeficientes a, b e c nas equações
de 2º grau abaixo:
2
a) 3x + 5x + 8 = 0
2
2
b) 5x – 8x + 12 = 0
2.2. ax + bx + c = 0, com a ≠ 0, b = 0 e c ≠ 0
2
c) 2x + 5x – 10 = 0
Nesse caso, teremos:
ax + c = 0 ax = – c x = −
2
2
d) – 8 + x – 15x = 0
2
2
c
c
x= ± −
a
a
2
e) 12x – 5x = 0

c
c 
Logo, o conjunto solução será S = − − ; + −  .
a
a 

2
Por exemplo, resolvendo a equação x – 9 = 0,
teremos:
2
f) x + 10 = 0
2
g) 20 – 100x = 0
2
x –9=0 x =9 x= ± 9
x = – 3 ou x = 3.
2
h) – 4x + x = 0
2
EP.02) Dada a equação tx – 3x – 2 = 0, encontre o valor
de t para que uma das raízes da equação seja igual ao
número –2.
2
x = ±3
Logo, o conjunto solução será S = {− 3; 3} .
Matemática Básica X 1
Exercício Proposto
EP.04) Resolva, em ℝ, as equações abaixo:
2
a) 3x – 243 = 0
3. Interpretação do discriminante ∆ de uma equação
do segundo Grau
Analisando a resolução das equações do exercício
proposto 05, teremos três interpretações possíveis para o
discriminante ∆:
2
1) ∆ > 0 a equação ax + bx + c = 0 terá duas soluções
 − b − ∆ − b + ∆ 
(raízes) reais e distintas: S = 
;
.
2a 
 2a
2
b) 2x = 10
2
c) 16x – 5 = 4
2
2) ∆ = 0 a equação ax + bx + c = 0 terá duas soluções
−b
(raízes) reais e iguais: S = 
.
 2a 
2
d) – 5x – 20 = 0
2
3) ∆ < 0 a equação ax + bx + c = 0 não admitirá
soluções reais: S = ∅.
2
2.3. ax + bx + c = 0, com a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0
(equação do segundo grau completa)
Exercício Proposto
2
Nesse caso, a equação ax + bx + c = 0 terá como
solução os valores de x tais que:
−b ± ∆
x=
2a
onde
2
∆ = b – 4ac
sendo ∆ chamado de discriminante da equação.
2
Por exemplo, resolvendo a equação x – 5x + 6 = 0,
teremos:
a) Primeiramente, devemos calcular o discriminante ∆.
Sendo a = 1, b = – 5 e c = 6, temos:
2
∆ = b – 4ac
2
∆ = (-5) – 4.(1).(6)
∆ = 25 – 24
∆=1
b) Encontrando as raízes:
− ( −5) − 1
5 −1
4
x1 =
x1 =
x1 =
x1 = 2
2.1
2
2
− ( −5) + 1
5 +1
6
x2 =
x2 =
x2 =
x2 = 3
2.1
2
2
Logo, o conjunto solução será S = {2; 3} .
EP.06) Quais são os valores da constante m para que a
2
equação 3x – mx + 3 = 0 tenha duas raízes reais e
iguais?
4. Propriedades das raízes
Sendo x1 e x2 as raízes reais da equação
2
ax + bx + c = 0,
com a ≠ 0, b e c números reais, podemos ter:
Soma das raízes
b
S = x1 + x2 = −
a
e
Produto das raízes
c
P = x1 . x2 =
a
Exercício Proposto
EP.05) Resolva, em ℝ, as equações abaixo:
2
a) 4x – 12x + 9 = 0
2
b) – x + 5x – 6 = 0
2
c) x – 6x + 7 = 0
d)
3.(x − 1)
x.(x − 2 )
−x =
4
2
Exercícios Resolvidos
ER.01) Determinar a soma e o produto das raízes da
2
equação 6x – 13x + 6 = 0.
Resolução:
2
Sendo 6x – 13x + 6 = 0, temos:
b
(−13)
13
=
S = x1 + x2 = − = −
a
6
6
6
P = x1 . x2 =
=1
6
ER.02) Utilizando a soma e o produto das raízes,
2
determine m na equação 2x – 24x + 2m – 1 = 0, de modo
que uma raiz seja o dobro da outra.
Matemática Básica X 2
Resolução:
Sejam x1 e x2 as raízes e x2 = 2x1, temos:
b
(−24)
x1 + x2 = −
x1 + 2x1 = 12 x1 + x2 = −
2
a
3x1 = 12 x1 = 4 x2 = 2.4 x2 = 8.
EP.13) Um móvel se desloca sobre uma reta, obedecendo
2
à função horária s = – 7 – 2t + t , com s em metros e t em
segundos (no SI). Determine o instante em que o móvel
passa pela posição (s) igual a 8m.
Assim:
x1 . x2 =
c
2m − 1
65
4.8=
64 = 2m – 1 m =
2
2
a
Exercícios Propostos
EP.07) Escrever a soma e o produto das raízes das
equações abaixo:
2
a) x – 5x + 6 = 0
Exercícios Complementares
EC.01) Identificar os coeficientes a, b e c nas seguintes
equações do 2º grau:
a) x 2 − x + 2 = 0
x
b) 3x 2 − = 0
3
2x 3
+ =0
c) − x 2 +
3 4
d) 3x 2 = 0
2
b) 2x + 5x – 3 = 0
e) 5x − 7 + 2x 2 = 0
EP.08)
Determine o valor de m na equação
 m − 1
8x 2 + 2x − 
 = 0 , de modo que o produto de suas
 2 
raízes seja igual a −
15
.
8
EP.09) Utilizando a soma e o produto das raízes,
2
determine m na equação 2x – 24x + 2m – 1 = 0, de modo
que a soma dos quadrado das raízes seja 121.
5. Aplicações de equações do 2º grau na resolução de
problemas
Ao equacionarmos um problema, utilizamos as
propriedades das equações de 2º grau vistas
anteriormente para poder encontrar a solução.
Nos exercícios propostos a seguir, veremos
algumas situações onde aplicar essas propriedades.
Exercícios Propostos
EP.10) Quais as dimensões de um retângulo que tem
2
30cm de perímetro e 50cm de área?
EP.11) Sabendo que a soma de dois números é 37 e seu
produto é 300, descubra quais são esses números.
EP.12) Uma partícula movimenta-se sobre uma reta e a lei
2
horária do movimento é dada por s = – 4 + 5t + 6t , com s
em metros e t em segundos. Qual é o instante em que a
partícula passa pela origem das posições?
EC.02) Resolva as seguintes equações do 2º grau:
2
a) x – 16 = 0
2
b) x – 6x = 0
2
c) (x – 2) = 4 – x.( x +3)
2
d) x – x – 12 = 0
2
e) 7x – 2x – 1 = 0
2
f) (x + 2) + x = 0
EC.03) Determinar o valor do número real p de tal modo
2
que a equação x – px + 12 = 0 tenha uma das raízes igual
a – 2.
EC.04) Determinar o valor do número real k de tal modo
2
que a equação x – kx + 50 = 0 tenha uma das raízes igual
ao dobro da outra, sendo as duas raízes positivas.
EC.05) Determinar o valor do número real k de tal modo
2
que a equação x – 8x + k = 0 tenha raízes cuja diferença
seja igual a 4.
EC.06) Determinar o valor do número real k para que a
2
equação x – 12x + k = 0 admita duas raízes reais e
iguais.
EC.07) Determinar o valor do número real t para que a
2
equação x – 12x + t = 0 admita duas raízes reais e
diferentes entre si.
Matemática Básica X 3
GABARITO
EC.08) Qual as medidas dos lados do terreno abaixo, cuja
2
área é de 60m ?
x–3
x–7
EC.09) Um terreno retangular mede, de frente, 13m a
2
menos que a lateral e sua área é 300m . Quais são as
medidas desse terreno?
Exercícios Propostos
EP.01) a) a = 3, b = 5 e c = 8
b) a = 5, b = – 8 e c = 12
c) a = 5, b = 2 e c = – 10
d) a = 1, b = – 15 e c = – 8
e) a = 12, b = – 5 e c = 0
f) a = 1, b = 0 e c = 10
g) a = – 100, b = 0 e c = 20
h) a = 1, b = – 4 e c = 0
EP.02) t = – 1
EP.03) a) S = {0; 2} ; b) S = {− 11; 0}
EP.04) a) S = {− 9; 9} ;
 3 3
c) S = − ;  ;
 4 4
3 
EP.05) a) S =   ;
2
EC.10) O quadrado menos o dobro da idade de Juca é
igual a 15. Qual é a idade de Juca?
EC.11) Determinar o número cuja soma do seu quadrado
com o seu dobro é igual a 8 vezes esse mesmo número.
{
{
b) S = − 5 ;
}
5 ;
d) S = ∅
b) S = {2; 3} ;
}
c) S = 3 − 2 ; 3 + 2 ; d) S = ∅
EP.06) m = – 6 ou m = 6
5
3
EP.07) a) S = 5 e P = 6; b) S = − e P = −
2
2
EP.08) m = 31
EP.09) m = 12
EP.10) comprimento = 10cm e largura = 5cm
EP.11) 25 e 12
1
EP.12) t = s
2
EP.13) t = 5s
Exercícios Complementares
EC.12) O quadrado da idade de Laura é 144. Calcule sua
idade.
EC.13) Se do quadrado da quantia que Paula possui,
subtrairmos 12 reais, obteremos 109 reais. Quantos reais
Paula possui?
EC.14) Um móvel movimenta-se sobre uma trajetória
2
retilínea segundo a função horária s = 6 + 4t – 2t ( no SI).
Qual é o instante em que o móvel passa pela origem das
posições?
EC.01) a) a = 1, b = – 1 e c = 2
1
b) a = 3, b = –
e c = 0.
3
3
2
c) a = – 1, b =
ec=
4
3
d) a = 3, b = 0 e c = 0
e) a = 2, b = 5 e c = – 7
EC.02) a) S = {−4; 4} ;
 1
c) S = 0;  ;
 2
b) S = {0; 6} ;
d) S = {− 3; 4} ;
1 − 2 2 1+ 2 2 
e) S = 
;
f) S = {− 4; − 1}
;
7 
 7
EC.03) p = – 8
EC.04) k = 15
EC.05) k = 12
EC.06) k = 36
EC.07) t < 36
EC.08) comprimento = 10m e largura = 6m
EC.09) frente = 12m e lateral = 25m
EC.10) 5 anos
EC.11) 0 ou 6
EC.12) 12 anos
EC.13) 11 reais
EC.14) 3s
Matemática Básica X 4