Referenciais históricos e metodológicos para o - DM

U NIVERSIDADE F EDERAL DE S ÃO C ARLOS
C ENTRO DE C IÊNCIAS E XATAS E T ECNOLOGIA
D EPARTAMENTO D E M ATEMÁTICA
T RABALHO
C ONCLUSÃO DE C URSO B
R ELATÓRIO F INAL
DE
R EFERENCIAIS H ISTÓRICOS E M ETODOLÓGICOS
E NSINO DE F RAÇÕES
PARA O
Autor: Alan Cesar da Costa RA: 282529
Licenciatura em Matemática
Professor orientador: João Carlos Vieira Sampaio
Departamento de Matemática - UFSCar
São Carlos
2010
ii
R EFERENCIAIS H ISTÓRICOS E M ETODOLÓGICOS
E NSINO DE F RAÇÕES
Monografia
apresentada
na
PARA O
disciplina
Trabalho de Conclusão de Curso B,
coordenada
pelos
Professores
do
Departamento de Matemática: Vera Lúcia
Carbone, Liane Bordignon, Ivo Machado
da Costa.
_______________________________
________________________________
Orientando: Alan Cesar da Costa
Orientador:
R.A.: 282529
Prof. Dr. João C. V. Sampaio
São Carlos
2010
iii
Sumário
Resumo ...........................................................................................................4
Parte I - Referenciais históricos................................................................................5
Capítulo 1 .......................................................................................................... 5
Introdução.......................................................................................................... 5
O surgimento da fração .................................................................................. 5
O papiro de Rhind/Ahmes............................................................................. 6
Capítulo 2........................................................................................................... 9
A evolução do conceito de fração ................................................................. 9
Capítulo 3 ........................................................................................................ 16
As frações decimais........................................................................................ 16
Primeiras conclusões.................................................................................... 24
Parte II - Referenciais metodológicos................................................................... 24
Capítulo 1 ............................................................................................. 24
Introdução.............................................................................................. 24
Os Parâmetros Curriculares Nacionais – 1.ª à 4.ª séries ....................... 24
Algumas ideias para o trabalho com a multiplicação de Frações de 1.ª à
4.ª série ................................................................................................. 29
Capítulo 2 ............................................................................................. 36
Os Parâmetros Curriculares Nacionais – 5.ª à 8.ª séries ....................... 36
Algumas ideias para o trabalho com a multiplicação de Frações de 5.ª à
8.ª série ................................................................................................. 42
Proposta Curricular do Estado de São Paulo - Ensino Fundamental ... 61
Últimas conclusões ........................................................................................62
Referências Bibliográficas .................................................................................... 64
4
Resumo
O Ensino de frações tem se caracterizado como uma das grandes
dificuldades do atual ensino brasileiro em escolas públicas e motivou o
presente trabalho, nesta primeira parte. O objetivo inicial é verificar as
potencialidades de se aplicar o contexto histórico no ensino dentro das
salas de aulas da educação básica. Para isso, é importante que antes se
faça
uma
análise
do
surgimento
histórico
das
frações
e
seu
desenvolvimento através dos tempos. Começaremos com sua utilização no
antigo
Egito
em
relação
às
frações
unitárias.
Na
Mesopotâmia,
analisaremos como os babilônios escreviam frações utilizando o sistema
sexagesimal. Apreciaremos também algumas descobertas recentes, uma
delas relacionada ao povo russo e também qual era a utilização que os
chineses faziam das frações, que remonta a uma data de antes do início
da era cristã. Estudaremos sobre como estes realizavam as operações de
soma, multiplicação e divisão de frações. Perceberemos como o costume
da escrita de frações pelos hindus, e posteriormente pelos árabes, afetou a
escrita
moderna.
Pesquisaremos
o
surgimento
de
frações
com
denominador 100, e como o uso de números e frações decimais foi
introduzido na Europa e trouxe uma nova visão do que antes não eram
considerados números, como o número histórico
2 . Posteriormente, na
segunda parte, discorre-se uma análise de todas as ideias oferecidas pelos
currículos federais e estaduais em relação ao ensino de frações, o que
inclui o significado e as operações. Verifica-se também como a História da
Matemática, aos poucos, vai se inserindo no ensino da educação básica.
Com isso, a intenção é que se façam sugestões para o ensino de frações
através de ideias e atividades a serem desenvolvidas em sala de aula em
alguns tópicos específicos. A intenção é que se tenha mais clareza em
relação a como os currículos escolares devem abordar o assunto no ensino
de alunos da educação básica.
5
Parte I – Referenciais
históricos
Capítulo 1
Introdução
Neste capítulo, buscamos elucidar por meio de conjecturas, o
surgimento da fração e seu contexto geométrico no antigo Egito. Assim,
analisaremos em que situações do cotidiano dos egípcios era necessário
buscar
uma
representação
de
partes
menores
que
a
unidade.
Estudaremos também o Papiro de Rhind e como este explicita o uso de
frações unitárias dentro de operações de adição, já que toda fração que
não fosse unitária era então decomposta numa soma de frações unitárias.
O surgimento da fração
Os registros históricos que fazem referência à origem da fração
remetem a cerca de 3000 a.C., e um historiador chamado Heródoto em
seus registros menciona o seguinte a respeito de certo faraó chamado
Sesóstris:
“Esse rei realizou a partilha das terras, concedendo a cada egípcio uma porção
igual, com a condição de lhe ser pago todos os anos um certo tributo; se o rio carregava
alguma parte do lote de alguém, o prejudicado ia procurar o rei e expor-lhe o
acontecido. O soberano enviava agrimensores ao local para determinar a redução
sofrida pelo lote, passando o dono a pagar um tributo proporcional à porção restante.
6
Eis, segundo me parece, a origem da geometria, que teria passado desse país para a
Grécia.” [3]
O texto menciona o fato de o rio carregar partes de um
determinado lote por causa do aumento do nível das águas que ocorre
anualmente com o rio Nilo. Quando as águas baixam, as terras estão
férteis para o cultivo. Os mencionados agrimensores faziam a medição
para determinar a redução do lote através de cordas que continham uma
unidade de medida. No entanto, por mais adequada que fosse tal unidade,
dificilmente cabia um número inteiro, ou exato de vezes nos limites do
lote. Estava motivado então o surgimento de um novo tipo de número: os
números fracionários. Estes eram representados pelas frações.
O papiro de Rhind/Ahmes
A data de escrita deste papiro remete a cerca de 1650 a.C.,
contendo problemas matemáticos copiados de um trabalho mais antigo
pelo escriba Ahmes. Foi no inverno de 1858 que o egiptólogo escocês A.
Henry Rhind, adquiriu o papiro que tem cerca de 30 cm de altura por 5
m de comprimento. Mais tarde, este papiro foi adquirido pelo Museu
Britânico e junto com o papiro de Moscou são as principais fontes de
informações matemáticas do Egito antigo.
No papiro de Rhind, aparece uma tabela de decomposição de
frações do tipo 2 p ( p ímpar) em frações unitárias, isto é, do tipo 1 x .
Observa-se, por exemplo, uma tabela contendo 2 3 , 2 5 , ⋯ , 2 101
representadas como soma de frações unitárias. Assim, 2/5 está escrita
como
2 / 5 = 1 / 3 + 1 / 15
e
2 / 11 = 1 / 6 + 1 / 66 .
Embora
não
exista
nenhuma indicação sobre o processo, é possível perceber que há a
possibilidade de que uma regra adotada seja a seguinte:
a
1
1
=
+ , em que s = (b + c) / a .
bc bs cs
7
Podemos verificar considerando 1/ bs e 1/ cs onde s é dado. Nesse
caso:
1
1
a
a
+
=
+
=
(b + c )
(b + c ) b(b + c) c(b + c)
b
c
a
a
=
ac
ab
ac + ab
a(b + c )
a
+
=
=
=
.
bc(b + c) bc(b + c) bc(b + c ) bc(b + c) bc
Esta é uma regra encontrada em um papiro egípcio de entre os
anos 500 e 800 d.C..
Se levássemos em conta essa regra na decomposição de alguns
múltiplos de parte egípcia “duodécimo” como soma de partes diferentes,
com os denominadores os menores possíveis, então teríamos:
(4 + 3)
1
1
1
1
1
1
=
=
+
=
+ , com s =
= 7.
12 3 ⋅ 4 4 ⋅ 7 3 ⋅ 7 28 21
1
2
1
1
1
1
1
1
= =
=
+
=
+ , com s = 5 .
12 6 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 3 ⋅ 5 10 15
Podemos também utilizar o moderno método do matemático inglês
J. J. Sylvester (1814 – 1817) que consiste em encontrar primeiro a maior
fração unitária, ou com menor denominador, menor que a fração dada.
Depois subtrair a fração unitária da fração dada e em seguida, achar a
fração unitária menor que a diferença resultante. Por fim, deve-se
subtrair de novo, e continuar o processo até chegar a uma fração unitária
como resultado da subtração. Aplicando esse processo ainda para um
múltiplo de parte egípcia “duodécimo” teríamos:
1 11
11 1 11 − 6
5
1
5
<
, então
− =
=
; como <
então
2 12
12 2
12
12
3 12
5 1
1
11 1 1 1
− =
. Logo,
= + +
.
12 3 12
12 2 3 12
8
Como
1
2
possuía um símbolo próprio, então usando a notação
hieroglífica egípcia, a decomposição de
11
12
ficaria algo como
e
e
.
O papiro Rhind mostra que os egípcios possuíam símbolos para mais e
menos. Sendo o primeiro um par de pernas caminhando da esquerda para
a direita, que era o sentido da escrita, e o segundo um par de pernas
caminhando da direita para esquerda.
9
Capítulo 2
A evolução do conceito de fração
Anteriormente, quando não estava ainda formalizado o conceito de
fração e era necessário considerar-se partes de um objeto, as pessoas o
quebravam literalmente e depois contavam os pedaços de tal objeto. A
própria palavra “fração” tem como raiz palavras como “fratura” e
“fragmento”. Ao mesmo tempo, novos sistemas de pesos e medidas foram
surgindo de acordo com tal necessidade, ou seja, unidades básicas de
medida menores para maior precisão. Por analogia, seria como contar
centavos ao invés de reais, milímetros ao invés de centímetros etc.
Nota-se, com isso, que o conceito de fração até por alguns fatos
analisados que ocorriam no antigo Egito, estava limitado a partes de
algum comprimento, objeto ou quantidade. As frações com numerador 1
eram as mais utilizadas em decomposições de outras frações mais gerais.
Significavam uma certa vantagem em relação à escrita, já que bastava
marcar de alguma forma o denominador escolhido para mostrar que
significava a parte, em vez de um número inteiro de coisas. Por exemplo:
doze:
um duodécimo:
Pensando na aritmética egípcia, quando se tratava de trabalhar
com frações unitárias, havia certas dificuldades. No caso de se escrever o
dobro de determinadas frações, não bastava apenas escrever algo do tipo
2/b. Era necessário expressar tal fração como soma de partes, ou de
frações unitárias. Os egípcios produziram extensas tabelas mostrando
resultados prontos com transformações de dobros de frações unitárias,
como comentado anteriormente a respeito do Papiro de Rhind.
10
No caso do sistema sexagesimal, utilizado pelos babilônios, da
mesma forma em que escreviam 72 (com símbolos babilônicos) como
“1,12” – significando 1 × 60 + 12 , escreveriam 72 1
2
significando 1 × 60 + 12 + 30 ×
como “1,12:30” –
1
. Se fossemos converter, por exemplo, a
60
fração mista 12 1 da base decimal para a base sexagesimal em sua
5
notação expandida, poderíamos pensar na parte fracionária como:
1
1 12
1
1
1
× 60 = 12 ⇔ =
= 12 ×
. Assim, 12 = 12 + 12 ×
,
5
5 60
60
5
60
(na base 60) .
Ainda em relação ao exemplo anterior, se fossemos converter a
fração
1
5
para a base sexagesimal em notação compacta, pensaremos nos
algarismos de 0 a 59. Analogamente ao caso da divisão no sistema
decimal, na base 60 continuamos a divisão após a vírgula buscando a
quantidade de sessenta avos, de três mil e seiscentos avos (60 2 avos), etc.
Com isso:
1
5
1 = 1 × 60 = 60
(0;12)60
Assim, como se trata de uma fração mista, ou seja, que possui
parte inteira, a resposta final ficaria (12;12)60 .
Entretanto, os babilônios não utilizavam um símbolo para indicar
onde a parte fracionária começava. Percebe-se que na tabela cuneiforme,
citada por [1], o número 30 poderia significar “30” ou ainda “ 30 = 1 ”. Em
60
notações babilônicas esse número seria algo como
2
. O contexto então
era de suma importância.
As aritméticas egípcia e babilônica influenciaram o povo grego e
por sua vez as outras culturas do mediterrâneo. Os gregos utilizaram as
frações sexagesimais para fazer medidas na área da astronomia, e
11
surgindo então as unidades de graus, minutos e segundos, passaram a
usá-las.
No entanto, em seu cotidiano os gregos aplicavam um sistema
semelhante ao egípcio no tratamento de frações, ou seja, utilizavam soma
ou produto de frações unitárias. Isso permaneceu através dos tempos
também com os romanos e até o início da idade média. O texto Liber
Abbaci de Fibonacci, do século XIII, fez uso intenso de frações e também
descrevia maneiras de fazer conversões de outras frações em soma de
frações unitárias.
Um outro sistema em uso desde a antiguidade também fazia uso de
partes, mas usando multiplicação. Era necessário tomar uma parte de
uma parte, e assim sucessivamente. Um exemplo seria o caso de 2/15 que
poderia ser escrita como “duas quintas partes de uma terça parte”. Outro
exemplo seria o da construção: “o terço de duas quintas partes e o terço”,
ou seja:
7
1 2 1
.
 × + =
 3 5  3 15
Descobriu-se que, no século XVII, manuscritos russos sobre
levantamento topográfico faziam referência a um nonagésimo sexto de
certa medida como “meio-meio-meio-meio-meio-terço” [9] concluindo que
se pensasse em termos de subdivisões sucessivas:
1
1
1
1
1
1
1
de
de
de
de
de =
.
3
2
2
2
2
2 96
[1]
Naturalmente, a abordagem atual e que em geral é ensinada nas
escolas básicas não é a de representar uma quantidade fracionária
mostrando a maior parte única dentro dela e depois o que restou através
de partes sucessivamente menores, como por exemplo, um quartilho e
uma xícara de leite para uma receita. O que fazemos é representar uma
quantidade fracionária que possa ser contada um número exato de vezes
para produzir a quantidade desejada.
12
Na China, os matemáticos também pensavam assim. Uma obra
chamada Nine Chapters on the Mathematical Art, de cerca de 100 a.C.
mostra que uma das únicas diferenças é que os chineses evitavam usar
frações impróprias como 5/3, mas eles utilizavam a forma mista, ou seja,
2
3
1 . As formas de operar com frações apareciam na obra Nine Chapters,
como por exemplo, a regra da soma era algo do tipo:
“Cada numerador é multiplicado pelos denominadores das outras frações. Someos como o dividendo, multiplique os denominadores como o divisor. Divida; se existir
um resto, tome-o como numerador e tome o divisor como denominador.” [8]
Ao realizar multiplicação e divisão, os chineses também faziam a
redução a um mesmo denominador. Um caso, por exemplo, seria o de
dividir
2
3
por
3
4
. Assim, seria multiplicado o numerador e o denominador
de cada fração pelo denominador da outra. Teríamos então:
2 3 2⋅4 3⋅3
8
9
8
÷ =
÷
=
÷
= 8÷9 = .
3 4 3 ⋅ 4 4 ⋅ 3 12 12
9
Percebe-se que após as frações estarem escritas com o mesmo
denominador, ou “unidade de medida”, bastou apenas aplicar uma divisão
de números inteiros, ou seja, dividir o numerador da primeira pelo
numerador da segunda.
Também se nota que existe uma relação entre o método de divisão
de frações ensinado nas escolas básicas (“inverter e multiplicar”) e o
método chinês para tal divisão. Em ambos os métodos existe a
multiplicação do numerador de uma fração pelo denominador da outra
fração. No caso, por exemplo, da divisão de 2/ 3 por 4/ 5 teremos pela
regra primeira regra o seguinte:
2 4 2 5 2 × 5 10
÷ = × =
=
.
3 5 3 4 4 × 3 12
13
A multiplicação de 2 por 5 e 3 por 4 também aparece a partir da
primeira igualdade, na divisão usando o método chinês, conforme segue:
2 4 2 × 5 4 × 3 10 12 10
÷ =
÷
=
÷
=
.
3 5 3 × 5 5 × 3 15 15 12
O que fica evidente é que o primeiro método é mais vantajoso pela
rapidez com que se efetua o processo. Em uma breve explicação
utilizando álgebra dos racionais, pode-se ter que:
a c
a c
da
÷ = x ⇒ = ⋅ x . Tomamos x =
, pois
b d
b d
cb
c
c da cda a
da a d
⋅x = ⋅
=
= . Assim, x =
= ⋅
d
d cb dcb b
cb b c
com a, b, c e d naturais e x racional.
No caso do método chinês, fica evidente a relação com o conceito
de fração quando se determina denominadores comuns entre as duas
frações, principalmente no aspecto de fração equivalente. Neste método,
temos que:
a b a
a p b
a pb
÷ = , pois
= ⋅ ⇒ =
⇒ pbn = aqn ⇒
n n b
n q n
n qn
⇒
p an a
=
= , com a, b, p, q e n naturais.
q bn b
Talvez, uma abordagem como a mostrada anteriormente não seja
plenamente adequada para uma sala de aula de 5.ª série, por exemplo.
Em tais casos, como menciona [6], pode-se trabalhar em sala de aula o
significado do método usual de divisão introduzindo situações-problemas
como o exemplo seguinte que trabalha a divisão de
particionamento de um volume:
3 2
÷
utilizando o
4 3
14
“Se com
2
3
de uma lata de tinta dá para pintar
de uma parede, que fração
3
4
da parede pintarei com 1 lata de tinta? [...] Trabalhe a idéia de que a lata de tinta foi
dividida em três partes, das quais duas foram utilizadas, e a parede foi dividida em
quatro pedaços Se subdividirmos cada pedaço da parede em dois (pois foram utilizadas
duas partes de tinta), a parede estará dividida em
4 x 2 = 8 partes. Podemos
imaginar, então, que cada parte da tinta permite pintar três dessas partes da parede.
Logo a lata inteira, que tem três partes, permite pintar 3 x 3 = 9 das partes da
parede. Então, a fração da parede pintada será igual a:
3
4 = 3×3 = 9
2 4×2 8
3
onde 4 x 2 é o número de partes em que foi dividida a parede e 3 x 3 é o total dessas
partes que serão pintadas usando a lata inteira.”
Para os babilônios, talvez fosse impossível pensar na primeira regra
pela impossibilidade de se obter o inverso de frações cujo denominador
fosse um número primo não divisor de 60 (ou possuísse na decomposição
somente números não divisores de 60). Consequentemente, não se poderia
expressar tais frações através de um número finito de casas, em suas
expansões. Discutiremos mais adiante as frações decimais e suas
expansões na base sexagesimal e decimal.
Em
antigos
manuscritos
hindus
aparece
uma
abordagem
semelhante a dos chineses. No caso deles, não havia uma linha ou marca
para separar o numerador do denominador. Exemplo disso, usando
numerais modernos, é de que eles escreviam a quinta parte da unidade
básica tomada três vezes como 3 . Tal costume se tornou comum mais
5
tarde na Europa. Na Idade Média se originou o termo numerador, que
significa “contador”, e denominador, que significa “nomeador”. A barra
que separa o número de cima do debaixo foi inserida pelos árabes por
volta do século XII. Embora a imprensa do final do século XV e início do
século XVI tenha omitido esta barra, ela voltou a ser usada ainda no
século XVI e XVII.
15
Embora em uma primeira análise a forma de se escrever frações
pareça irrelevante, isso afetou a aritmética que se desenvolvia. Mesmo a
regra “inverter e multiplicar” na divisão de frações, esta não era parte da
aritmética do ocidente até o século XVI. Isso talvez porque não fazia
sentido a menos que as frações fossem escritas como um número sobre
outro.
A aritmética comercial dos séculos XV e XVI deu origem ao termo
por cento, ou “para toda centena”, para frações com denominador 100.
Isso se deu por ser comum citar taxas de juros em centésimos. O que
também cooperou para tal costume foi o fato dos Estados Unidos
possuírem um sistema monetário baseado em dólares e centavos
(centésimos de dólares). Com isso, o símbolo de porcentagem também se
consolidou através dos séculos, começando com uma abreviação à mão
para “por 100”, depois para “por
finalmente para “ 0 0 ”. [9]
0
0
”, seguido de simplesmente “ 0 ” e
0
16
Capítulo 3
As frações decimais
As porcentagens significam uma parte importante na área de
frações decimais. E embora as frações decimais estivessem presentes cedo
no cotidiano de chineses e árabes, isso não parece ter acontecido para os
povos do ocidente. Ao que tudo indica, o primeiro uso na Europa de
decimais ocorreu somente no século XVI. O livro de Simon Stevin, The
Thenth de 1985, popularizou os decimais por mostrar que escrever frações
como decimais faz com que seja possível usá-las nos algoritmos mais
simples do conjunto dos Inteiros.
De fato, uma primeira vantagem seria em relação à rapidez do
cálculo com as operações de adição e subtração utilizando decimais.
Outra vantagem evidente é quando se realiza a comparação entre duas
frações. Assim, é muito mais vantajoso quando se utiliza a forma decimal
e quando esta possui pelo menos a unidade, no caso da comparação. Para
as que não possuem, então é preciso prestar atenção à parte decimal ou
ao período da fração. Ainda concernente à adição e subtração, no caso de
dízimas periódicas que exigem troca de ordens (por exemplo, centésimos
para décimos), seria melhor a transformação do decimal em fração na
forma a/b. Em relação às desvantagens do uso de decimais, uma primeira
seria concernente às operações de multiplicação e divisão, devido à
agilidade com que se efetua tais algoritmos utilizando a forma a/b.
Na comparação utilizando decimais infinitos, é preciso ter cuidado,
pois os estudantes de escolas básicas podem ser levados a encarar 0,999…
como sendo menor que 1. Como Stevin era um homem que privava pela
17
praticidade, engenheiro como era, evitou a questão dos infinitos decimais
em seu livro. Para ele, 0,333 estava tão próximo de
1
3
quanto se
desejasse.
É importante ressaltar que o comprimento da expressão decimal
depende da relação existente entre seu denominador e a base do sistema
por posição. Existem assim, algumas características importantes em
algumas frações para estas expressarem como decimais não mais do que,
por exemplo, três posições (depois do ponto decimal). Tais frações são
aquelas na forma
a
i
2
,
a
5
j
e
a
2 ⋅ 5j
i
, com a natural, 0 ≤ i ≤ 3 e 0 ≤ j ≤ 3.
Assim, são aquelas frações na forma
a
c
= 3
b 10
, com a, b e c naturais e b ≠ 0.
Então, deve-se tomar o cuidado de que o mdc (a,2i ⋅ 5 j ) = 1 , para que
assim esteja na forma irredutível. Portanto:
c = (anan −1 …a1a0 )10 = an 10n + an −110n −1 + … + a110 + a0 .
Assim,
c
an 10n + an −110n −1 + … + a110 + a0
=
103
103
= an 10n −3 + an −110n −4 + … + a2 10−1 + a110−2 + a0 10−3
= an 0 … 0, 000 + an −1 0 … 0,000 + … + 0, a2a1a0
n-3 algarismos
n-4 algarismos
= (anan −1 … , a2a1a0 )10 .
Para o caso que envolve não mais do que cinco posições, valem as
mesmas condições anteriores para decimais com não mais do que três
posições. Acrescentem-se como alterações que 0 ≤ i ≤ 5 e 0 ≤ j ≤ 5. Ou seja,
são aquelas frações na forma
a
c
=
b 105
. O mdc(a,2i ⋅ 5 j ) = 1 também garante
a característica de que o denominador de
5 j ou 2i ⋅ 5 j . A fração
a
b
a
b
tenha somente os fatores 2i ,
, através da relação algébrica
a an
=
b bn
para n
18
natural poderá sempre alcançar a condição de
a
c
=
b 105
. Basta para isso que
n seja o quociente da divisão de 105 (dividendo) por b (divisor), no
conjunto dos inteiros. Esta divisão será sempre exata (resto igual a zero),
pois b terá sempre como característica ser divisor de 105 porque terá
como fatores de decomposição, os números primos 2 e/ou 5.
Os fatores 2 e 5 também aparecem na decomposição do próprio 105
aparecendo cinco vezes cada um. Todas as frações equivalentes a
a
b
terão
no denominador bn os fatores 2 e/ou 5, já que b é divisor de 105 . Na
forma
a
2 ⋅ 5j
i
, 0 ≤ i ≤ 5 e 0 ≤ j ≤ 5 teremos:
a
(25-i ⋅ 55- j ) a(25-i ⋅ 55- j )
c
c
⋅ 5-i 5- j =
= 5 5 = 5.
i
j
5
5
2 ⋅ 5 (2 ⋅ 5 )
2 ⋅5
2 ⋅5
10
Assim, todas as frações na forma
a
b
, onde b é um dos elementos do
conjunto D(105 ) (divisores de 105 ) e a natural, possuem cinco posições
depois da vírgula em sua forma decimal.
Se desejássemos saber quais frações são aquelas que podem ser
expressas com um número finito de posições, então chegaríamos à
conclusão de que são aquelas que não possuem expansão decimal
periódica (expansão infinita). Assim, sendo n um inteiro da forma:
n = as 10s + as −110s −1 + … + a2 102 + a110 + a0
com {as , as −1, as − 2 ,… ,a0 } ∈ {0,1,2,… ,9} , teremos que tal n pode ser escrito
como
n = as 10s + … + ar +110r +1 + ar 10r + ar −110r −1 + … + a110 + a0 .
dividirmos tal igualdade por 10r ocorre que:
n
= as 10s −r + … + ar +110 + ar + ar −110 −1 + … + a1101−r + a0 −r
10r
para r ≥ 1.
Se
19
Com isso, as frações na forma
a
c
=
b 10r
, com a, b, c e r naturais,
podem exatamente ser expressas por decimais finitos.
É possível assim dar exemplos de frações que não poderiam ser
expressas exatamente por decimais finitos. Um deles seria a fração
é diferente de
supormos que
c
10r
13
55
que
, para qualquer c e r naturais. Isto acontece porque, se
13
c
=
55 10r
, então isso nos leva a concluir que 13 ⋅ 10r = c ⋅ 55 .
Assim, 13 ⋅ 2r ⋅ 5r = c ⋅ 5 ⋅ 11 . Mas isso constitui uma contradição, pois pelo
Teorema Fundamental da Aritmética, a decomposição em fatores primos
de um número composto é única a menos da ordem dos fatores.
Esta também é uma situação que acontece no caso de
3
c
≠ r ,
7 10
∀c ∈ ℕ . Da mesma forma, a fatoração é diferente, pois teríamos
3 ⋅ 2r ⋅ 5r ≠ 7 ⋅ c . Também para o caso da fração
1
3
teríamos a fatoração
2r ⋅ 5r ≠ 3 ⋅ c .
Pode-se pensar ainda na possibilidade de se expressar frações com
um número finito de posições no sistema sexagesimal babilônio, mas não
em nosso sistema decimal. A resposta é afirmativa, pois um caso seria o
da fração
1
3
. Quando realizamos a divisão de 1 por 3, percebemos não ser
possível dividir uma unidade em 3 partes iguais. Mas, quando pensamos 1
como 10 décimos, então teremos como quociente 3 décimos e resto igual a
1 (décimo). Este, por sua vez, pode ser pensado como 10 centésimos, que
divididos por 3 resultam em 3 centésimos e resto 1 (centésimo).
Continuando sucessivamente por mais algumas posições do quociente,
percebe-se que temos uma expansão decimal infinita e, portanto,
periódica. No caso de escrevermos
1
3
no sistema sexagesimal, realizamos a
mesma divisão. No entanto, pensamos na quantidade de 60 avos, 360
avos e assim por diante. Teremos então:
20
1
3
1 = 1 × 60 = 60
(0; 20)60
Isto também ocorre com a fração
1
6
que no sistema decimal
tem expansão infinita e no sistema sexagesimal é escrita como (0;10) 60 .
Quando tais frações, na forma irredutível, possuem expansão
decimal infinita, estas devem possuir no denominador algum fator primo
diferente de 2 ou 5. Seria exatamente este fator diferente que caracterizase como divisor de 60 que é a base babilônica.
No caso contrário, ou seja, se existem frações que possam ser
expressas em um número finito de posições em nosso sistema decimal,
mas não no sistema sexagesimal babilônio, a resposta é negativa. Isso
porque, pelo que foi analisado anteriormente, as frações na forma
irredutível cuja expansão decimal é finita (e, portanto não-periódica)
possuem no denominador somente os fatores primos 2 e 5. Exatamente
por não existir nenhum outro fator primo que seja divisor de 60, mas não
divisor de 10, é que não existe a possibilidade de existir frações cuja
expressão possui um número infinito de posições.
Cientistas como Johannes Kepler e John Napier tiveram suas
participações em tornar ainda mais popular o uso de frações decimais.
Para Kepler (1571-1630), os números decimais eram especialmente
importantes por causa das precisões astronômicas. No caso de John
Napier (1550-1617), ele se descontraia estudando Matemática e entrou
para a história da Matemática pela invenção dos logaritmos; pela criação
de um dispositivo mnemônico, chamado de regra das partes circulares
(utilizada na resolução de triângulos esféricos); também pela invenção de
fórmulas trigonométricas conhecidas como analogias de Napier (para
resolução de triângulos esféricos obliquângulos); e finalmente pela criação
de um instrumento chamado barras de Napier (utilizado para resolver
multiplicações,
divisões
e
extrair
raízes
quadradas
de
números).
Focalizando o invento dos Logaritmos, este deve ter sido motivado por
21
um
método
chamado
prostaférese,
que
utilizava
as
fórmulas
trigonométricas conhecidas como fórmulas de Werner na substituição de
multiplicações e divisões por operações de adição. Este método era
especialmente viável quando se trabalhava com números decimais.
Supondo a utilização da primeira de tais fórmulas, conhecida por Napier,
2 cos A cos B = cos(A + B ) + cos(A − B ) , podemos, por exemplo, efetuar o
produto de 43,764 por 273,27. Utilizando uma tábua de cossenos, e
interpolação se necessário, nota-se que os ângulos A e B tais que:
cos A =
(0, 43764)
= 0,21882
2
cos B = 0,27327
são A ≈ 77,36026° e B ≈ 74,14105°
(ou como escreviam os babilônios, A ≈ 77°21′ 37′′ e B ≈ 74°08′28′′ , por se
tratar de precisão astronômica).
Com isso, utilizando apenas a parte inteira para averiguar o êxito
do método, temos que:
cos(A + B ) = cos(77° + 74°) = cos(151°) = −0, 87883
cos(A − B ) = 0,99842 .
Lançando tais valores na fórmula teremos que:
cos(A + B ) + cos(A − B ) = −0, 87883 + 0,99842 = 0,11959
Assim, ajustando de maneira adequada a vírgula decimal na
resposta, obtém-se o produto a ser encontrado. Como são 5 posições antes
da vírgula decimal, se levarmos em consideração a parte inteira dos dois
números, então o produto ( 43,764 ) ( 273,27 ) é igual a aproximadamente
11959.
22
Talvez por conhecer tais fórmulas trigonométricas, e o método da
prostaférese, é que Napier tenha restringido seus logaritmos inicialmente
aos senos de ângulos. Até o surgimento de calculadoras, o uso de tábuas
de logaritmos também era comum, principalmente para se realizar a
transformação de produto ou divisão em adição e subtração, como o que
ocorre em fórmulas como:
logb (a ⋅ c) = logb a + logb c .
Todas essas fórmulas logarítmicas facilitam principalmente os
cálculos que utilizam números decimais, como ocorre com o método da
prostaférese. Apenas para exemplificar, podemos achar o produto de 7,06
por 31,7. Assim, (7,06) ⋅ (31,7) = a . Com isso,
log a = log 7,06 + log 31,7 .
Utilizando uma tábua de logaritmos, temos que log 7,06 = 0, 8488 e
log 31,7 = log(10 −1 ⋅ 3,17) = −1 + 0,5011 . Assim, temos que,
log a = 0, 8488 + (−1 + 0,5011) = −1 + 1,3499 = 0,3499 .
Novamente, voltando à tábua logarítmica, temos que tal valor
coincide, aproximadamente, com a ≈ 2,24 . Ajustando adequadamente a
vírgula, temos que o produto desejado de (7,06) ⋅ (31,7) ≈ 224 .
A utilização do ponto como ponto decimal não foi adotado logo no
início. Muitos símbolos diferentes, como apóstrofo, uma pequena cunha,
um parêntese à esquerda, uma vírgula, um ponto elevado e muitos outros
recursos foram utilizados através dos tempos para separar a parte inteira
da fracionária. O primeiro livro de aritmética a ser impresso na América,
lançado em 1729, utilizou uma vírgula para esse fim, mas outros livros
favoreceram o ponto.
Talvez o aspecto mais importante a ressaltar a respeito da
inovação de Simon Stevin e sua aplicação em diversas áreas do
23
conhecimento, foi a maneira como se encaravam números como
2 e π.
Isso porque até então estes não eram considerados exatamente como
números, mas sim apenas razões que correspondiam a certas quantidades
geométricas. Pensar em
2 como 1,414 e π como 3,1416 fez com que
houvesse de fato uma evolução no conceito de número. Stevin foi o
primeiro a encarar os números reais como sendo todos iguais em sua
condição.
Primeiras conclusões
Ao que tudo indica, as frações continuarão a ser usadas por muito
tempo. Até porque atualmente já existem computadores capazes de
trabalhar diretamente com números na forma fracionária. Ainda existem
muitas vantagens de se trabalhar com frações. O comércio e o ramo da
economia ainda fazem intenso uso das porcentagens. Ainda se nota nas
receitas o uso de frações comuns e frações na forma mista. O ramo
científico faz bastante uso de números decimais. Todos esses aspectos
enfatizam a justificativa para que o tema frações continue a estar
presente no currículo escolar básico. É importante então que o
conhecimento do professor atual seja cada vez mais profundo na área de
História da Matemática, principalmente porque ela trás elucidações que
beneficiam a qualidade de seu trabalho. E por mais que o uso de frações
no cotidiano das pessoas seja uma questão de conveniência, percebe-se
claramente o esforço e a dedicação de pessoas em fazer com que a
Matemática evolua e como o trabalho do ser humano está relacionado a
isso.
24
Parte II – Referenciais
metodológicos
Capítulo 1
Introdução
Numa intenção de se verificar como o ensino de frações tem
acontecido nas escolas básicas, começaremos com uma análise dos
Parâmetros
Curriculares
Nacionais
(PCN)
dos
ciclos
do
Ensino
Fundamental. Veremos também como a História da Matemática, tem sido
lançada como ideia a ser introduzida em sala de aula em tais documentos.
No ínterim, veremos algumas ideias que podem ser introduzidas em sala
de aula para o ensino da operação de multiplicação com Frações.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais – 1.ª
à 4.ª séries
Em
aspectos gerais, os PCN’s do primeiro e segundo ciclos
mencionam a importância das conexões que o aluno estabelece entre os
diferentes temas matemáticos. Em um empenho de mostrar como a
Matemática se apresenta no contexto social, incentiva-se ao professor
para que apresente esta ciência como historicamente construída e como
estando em constante progresso. Como auxílio em sala de aula, o
25
professor pode dispor de recursos didáticos como jogos, computadores e
outros para o exercício da reflexão e análise. Existem também sugestões
que envolvem a aplicação da metodologia de resolução de problemas e
utilização de situações-problemas que envolvem outras disciplinas.
Menciona-se que a História da Matemática é um aspecto que tem
se apresentado como assunto específico que auxilia na aprendizagem dos
alunos, já que propicia compreensão mais ampla da evolução dos
conceitos.
Em um esforço de se discutir os chamados “Temas Transversais”, e
mais especificamente o da “Pluralidade Cultural”, menciona-se que o
conhecimento matemático que temos atualmente também foi construído
através da necessidade de contar, medir, desenhar, representar, e outras.
E o professor, estando ciente dos obstáculos que o conhecimento
matemático sofreu ao evoluir, estará também ciente daqueles envolvidos
na aprendizagem dos alunos.
Em processo semelhante ao que um conceito matemático sofre, é
sugerido ao professor, ao trabalhar com resolução de problemas, fazer
com que o aluno se sinta instigado a fazer adaptações, transferências,
retificações para que chegue às conclusões corretas.
Debaixo do subtítulo “O Recurso à História da Matemática”, os
PCN’s do primeiro ciclo apontam a História da Matemática como um
recurso que desenvolve atitudes mais favoráveis ao conhecimento
matemático. Isso por mostrar ao aluno as diferentes preocupações dos
povos ao fazer com que conceitos matemáticos evoluíssem. Também é
tida como instrumento de resgate da identidade cultural.
A História da Matemática pode ser utilizada para dar explicações a
alguns questionamentos que porventura surjam por parte dos alunos,
conforme salienta o documento de currículo.
26
Na parte que menciona os “Blocos de conteúdos”, e mais
especificamente na parte de “Números e Operações”, é salientado que o
conhecimento de números é construído e assimilado quando se considera
como se configuraram historicamente. Isto inclui inclusive como os
próprios números racionais (com sua representação fracionária e decimal)
surgiram. No caso das operações, a ênfase é dada nos diversos significados
de cada uma delas.
Na parte de “Organização de conteúdos” salienta-se a ênfase maior
que o professor deve dar na parte de representação de decimais devido à
disseminação das calculadoras e outros instrumentos que a utilizam.
Entre os “Objetivos de matemática para o primeiro ciclo” salientase que o ensino deve fazer com que o aluno construa o significado do
número racional (sua representação fracionária e decimal). Isso deve
acontecer pelos diversos usos da fração no contexto social.
Levando-se em conta que o aluno deve também interpretar e
produzir escritas numéricas através do conhecimento do sistema de
numeração decimal, ele deve saber relacionar tal conhecimento com a
representação decimal dos números racionais.
A fim de que o aluno se aproxime ainda mais do significado de
número racional e visualize a necessidade de um novo conjunto numérico
é sugerido o trabalho com situações-problema cuja resolução não possa
envolver a utilização do campo dos números naturais. Com isso, a
intenção é a de que o aluno se aproprie de algumas noções relacionadas a
número racional (‘quociente, parte-todo, razão’).
É enfatizado também que o trabalho com os alunos deve valorizar
estratégias que são frutos da evolução histórica do conhecimento
matemático.
Na
parte
de
“Conteúdos
principais itens mencionam:
conceituais
e
procedimentais”,
os
27
“O reconhecimento de números racionais no contexto diário; a formulação de
hipóteses sobre a grandeza numérica pela observação dos algarismos na representação
decimal de um número racional; comparação e ordenação de números racionais na
forma decimal; localização na reta numérica de números racionais na forma decimal;
leitura, escrita, comparação e ordenação de representações fracionárias de utilização
frequente; reconhecimento de que os números racionais admitem diferentes (infinitas)
representações na forma fracionária; identificação e produção de frações equivalentes,
pela observação de representações gráficas e de regularidades nas escritas numéricas;
Observação de que os números naturais podem ser expressos na forma fracionária;
Relação entre representações fracionária e decimal de um mesmo número racional;
Reconhecimento do uso da porcentagem no contexto diário.” [10]
No que se relaciona às operações com números racionais, além do
que já foi comentado a respeito, o trabalho do professor deve envolver o
cálculo com adição e subtração de números racionais na forma decimal.
Os alunos devem fazê-lo através de estratégias pessoais e pelo uso de
técnicas operatórias convencionais. O trabalho com porcentagens também
deve estar presente através do cálculo simples.
Especialmente sobre as operações de multiplicação e divisão com
números racionais, estas podem ser exploradas através de situações
envolvendo Razão, comparação e configuração retangular, conforme
sugerido.
Como “Conteúdos atitudinais”, incentiva-se ao professor despertar
a curiosidade na evolução histórica dos números, procedimentos e
instrumentos de cálculo utilizados pelos diversos povos.
Entre os critérios de avaliação voltados para o segundo ciclo,
espera-se que o aluno saiba resolver problemas envolvendo números
racionais, e também que saiba identificar em intervalos os números
racionais na forma decimal.
Percebe-se que o enfoque para os números racionais fica mais para
o segundo ciclo (3.ª e 4.ª séries).
E assim, o aluno deve perceber ao
longo de sua trajetória de estudos que para se resolver determinados
problemas, os números naturais são insuficientes. As situações exploradas
28
são aquelas em que os números naturais não conseguem exprimir a
medida de uma grandeza ou resultado de uma divisão (excluindo o caso
onde o divisor é zero). Neste ciclo, abrangem-se apenas os números
racionais quocientes de números naturais.
Entre os vários obstáculos ao entendimento do aluno, aponta-se:
“um deles está ligado ao fato de que cada número racional pode ser representado por
diferentes (e infinitas) escritas fracionárias; por exemplo, 1/3, 2/6, 3/9 e 4/12 são
diferentes representações de um mesmo número; outro diz respeito à comparação entre
racionais: acostumados com a relação 3 > 2, terão que construir uma escrita que lhes
parece contraditória, ou seja, 1/3 < 1/2; se o “tamanho” da escrita numérica era um
bom indicador da ordem de grandeza no caso dos números naturais (8.345 > 41), a
comparação entre 2,3 e 2,125 já não obedece ao mesmo critério; se ao multiplicar um
número natural por outro natural (sendo este diferente de 0 ou 1) a expectativa era a
de encontrar um número maior que ambos, ao multiplicar 10 por 1/2 se surpreenderão
ao ver que o resultado é menor do que 10; se a seqüência dos números naturais permite
falar em sucessor e antecessor, para os racionais isso não faz sentido, uma vez que entre
dois números racionais quaisquer é sempre possível encontrar outro racional; assim, o
aluno deverá perceber que entre 0,8 e 0,9 estão números como 0,81, 0,815 ou 0,87.” [10]
É sugerido ao professor fazer um trabalho envolvendo calculadoras
no estudo de representações decimais. Exemplo disso seriam as divisões
de 1 por 2 , 1 por 3 e assim por diante. Com isso, o aluno é convidado a
analisar
hipóteses
sobre
a
escrita
de
decimais.
Uma
abordagem
interessante que é sugerida é de que os alunos façam relação entre a
escrita de decimais e nossos sistemas monetário e de medida.
Já que os temas sobre razão, probabilidade e porcentagem
começam a ser introduzidos já nos primeiros ciclos, é incentivado que a
abordagem sobre fração contemple também estes aspectos.
Na parte que envolve operações com números racionais, deve-se
trabalhar os seus diversos significados. O trabalho deve sempre envolver
situações contextualizadas em que o aluno consiga fazer estimativas em
relação ao possível resultado, utilizando números naturais. A leitura e a
escrita de números decimais também devem ser trabalhadas durante estes
29
anos. Também, o posicionamento da vírgula que se modifica quando se
divide ou se multiplica por 10, 100 ou 1000, e etc. O trabalho com
porcentagem deve ser feito a partir do significado da expressão ‘por
cento’ envolvendo porcentagens simples, como 10%.
Outro aspecto importante ressaltado é de que, quando se estabelece
relação entre a medida de uma grandeza e um número, o aluno através
disso poderá ampliar seu domínio numérico e entender a necessidade da
criação dos números fracionários.
O trabalho com frações é reconhecido como sendo a longo prazo,
envolvendo inclusive os ciclos finais do ensino fundamental.
Algumas ideias para o trabalho com a
multiplicação de Frações de 1.ª à 4.ª série
Existe certo questionamento sobre como o trabalho com a operação
de multiplicação poderia se desenvolver através dos primeiros ciclos. E
conforme sugerido, ao trabalhar com a resolução de problemas, o aluno
deve se sentir propenso a adaptar, transferir e retificar seu conhecimento
para que a sua compreensão possa ser desenvolvida. Para isso o aluno
poderá
dispor
das
diversas
estratégias
disponíveis
tais
como
representações através de desenhos, contagem ou medida. O objetivo
específico com a multiplicação de Frações é de que o aluno possa
construir um fundamento em sua mente para tal operação. O que pode
acontecer através de situações do contexto social.
Algo interessante a ser aplicado é de envolver o aluno em situações
de contexto diário onde ele reconheça a necessidade dos números
racionais. Além disso, tais atividades em que os alunos se envolvem
30
devem fazê-lo admitir a existência de diferentes representações para uma
mesma fração ou número racional (Frações Equivalentes).
Primeiramente,
uma
ideia
neste
sentido
para
o
ensino
de
multiplicação de Frações é a escolha antecipada de algo que os alunos
possam particionar, como representações de biscoitos ou pizza em forma
circular, ou até mesmo a utilização de papel quadriculado. Com isso a
meta inicial é fazer com que os alunos entendam a ideia de tomar uma
parte de uma parte de um total. É importante que os alunos resolvam de
modo significativo situações como, por exemplo, tomar
biscoito ou
1
2
de
1
2
2
3
de
3
4
de um
de uma pizza.
Algo interessante a ser explorado é o conhecimento informal que os
alunos já possuem e o estudo da multiplicação de Frações pode começar
através deste aspecto.
Conforme [12], existem algumas perguntas que o professor deve se
fazer quando for trabalhar desta forma com seus alunos, que são:
Que Matemática desejo que meus alunos aprendam?
Qual conhecimento informal eles já possuem?
Como ajudá-los a utilizar este conhecimento informal para
fundamentar sua compreensão?
Citaremos alguns trechos de um estudo realizado por uma
professora envolvendo um trabalho em sala de aula com alunos de 4.ª
série (5.º ano) e que foi publicado em [12]. É um estudo justamente
relacionado com todos os aspectos citados anteriormente como relevantes.
Como pré-requisitos para uma atividade como esta, ficou evidente
a necessidade de compreensão do significado de Fração e de ideias
relacionadas à
multiplicação.
Além disso,
os estudantes precisam
reconhecer a necessidade de que, ao representar as divisões, partes de
tamanho igual são necessárias e que o tamanho de tais partes dependerá
31
do tamanho da unidade. O entendimento de Frações Equivalentes é
importante para atividades como esta que será discutida.
Assim, existem problemas envolvendo a multiplicação de frações
como, por exemplo, aqueles onde é necessário encontrar a quarta parte da
metade de uma pizza e que pode ser representado por símbolos
matemáticos como 1 4 de 1 2 de 1 total, ou simplesmente 1 4 de 1 2 . Um
exemplo de problemas com tal aplicação seria:
“Você tem a metade de um biscoito de chocolate gigantesco. Você dá ao seu
amigo uma quarta parte da parte que você tem. Quanto do biscoito inteiro você deu ao
seu amigo?” [12]
Assim, uma atividade relacionada à operação de multiplicação de
Frações pode utilizar a interpretação de “tomar uma parte de uma parte
de ...”. O professor pode iniciar o trabalho com exemplos simples como
3 4 × 1 , e com apenas um item ou unidade deve ocorrer então a divisão
dele em quatro partes iguais e selecionando três das quatro partes. A
resposta 3 4 é então expressa em relação à unidade original. Finalmente,
podemos utilizar o exemplo de 3 4 × 1 2
com metade da unidade,
partilhando a unidade em quatro partes iguais, ou quartos, e selecionando
três dessas quartas partes. A resposta 3 8 é expressa quanto à unidade
original.
O estudo publicado em [12] sugere que o professor tente perceber
se os alunos já possuem tais ideias como parte de seu conhecimento
informal.
Para então cumprir com este objetivo o professor pode trabalhar
com problemas envolvendo igualdade de partilha [13]. Exemplo disso
seria:
“Há oito biscoitos em um prato. Três pessoas querem compartilhar de todos os
biscoitos. Quantos biscoitos podem se tornar de cada pessoa?” [12]
32
Os alunos podem começar a resolver um problema como este
partilhando um biscoito para cada uma das pessoas. Ou ainda,
particionar primeiro cada biscoito para depois partilhar entre as pessoas.
No caso da primeira forma, os alunos podem particionar os biscoitos
restantes e depois distribuir as partes entre as pessoas. O estudo em [12],
utilizando de forma concreta oito biscoitos para cada aluno, aponta que,
na experiência de sala de aula, os alunos já possuíam a percepção de que
as partes dos biscoitos partilhados tinham de ser iguais. No entanto,
constatou-se que os alunos tiveram dificuldades em relacionar frações
equivalentes ao resolver o problema.
Após isso, os alunos podem começar a tentar resolver problemas
que envolvam a tomada de uma parte de uma quantidade fracionária.
Podem tentar achar a quarta parte de metade ou a metade de uma
metade. Ao resolver um problema como este envolvendo biscoitos, uma
possibilidade seria a de que o aluno pode tentar fazer um desenho de uma
metade de um biscoito e depois dividir esta metade em quatro partes de
tamanho igual. Para fazer a relação com o biscoito inteiro o aluno pode
tomar uma quarta parte como referência para a divisão de todo o biscoito
e perceber que um oitavo seria o mesmo que tomar um quarto de metade
de um biscoito. No estudo realizado, constatou-se que os estudantes já
possuíam a percepção de que 1 2 se refere ao biscoito inteiro e de que 1 4
se refere à metade. Além disso, percebeu-se que os alunos não eram
capazes de trabalhar com outras frações em problemas semelhantes e que
a relação com a operação de multiplicação não era óbvia para eles.
Para então mobilizar este conhecimento informal que os alunos já
possuem, o professor pode trabalhar com problemas que envolvam
situações do mundo real e igualdade de partilhamento. Exemplo disso
seria dividir 10 biscoitos entre 4 pessoas. Situações assim podem auxiliar
o aluno a aprofundar a sua compreensão da necessidade de partes iguais
no trabalho com frações. O mais importante é que os alunos são assim
levados a entender o significado de se tomar terços, quartos e outros
33
valores fracionários de metade de um inteiro, representado por uma pizza
ou por um biscoito.
O professor também pode trabalhar, na evolução da atividade, com
problemas envolvendo a tomada de uma fração de um valor inteiro maior
que 1 , como um terço de doze e três quartos de nove. Enquanto isso,
deve-se lembrar aos alunos da importância de se trabalhar com partes
iguais e da divisão de algo em terços ou quartos. O estudo sugere que se
induza os alunos ao raciocínio através de perguntas como “de quantos
agrupamentos você precisa se for comer um quarto desses?” “Lembram-se
quando compartilhávamos biscoitos? O que tivemos que fazer com alguns
dos biscoitos?” e “Poderia cada pessoa adquirir mais de um biscoito?”
[12]
Mudando para problemas que envolvem tomar uma parte de uma
parte de um total, pode-se utilizar exemplos que envolvam determinar
1 4 de 4 5 , ou seja, aqueles onde o denominador de primeira fração é o
mesmo numerador da segunda. Isto pode auxiliar os alunos a ampliar sua
perspectiva do significado de terços ou quartos.
Exemplos reais mostram que os alunos são capazes de fazer
representações ao resolver problemas como estes, com desenhos de
círculos indicando a parte inteira e divisões em partes iguais indicando a
parte fracionária do total. Novamente, o estudo publicado em [12] indicou
que quando pedido aos alunos que encontrassem 1 4 de 4 5 de um bolo,
estes foram capazes de mobilizar seu conhecimento informal com
comentários do tipo “Isto é um - quinto porque há cinco desses”.
Em seguida, o professor pode trabalhar exemplos do tipo 3 4 de
2 3 onde o denominador da primeira fração é múltiplo do numerador da
segunda. A experiência mostra que os alunos são capazes de representar
por meio de quadrados divididos em terços evidenciando duas dessas três
partes para indicar a fração. Após isso, eles subdividem pela metade cada
uma das terças partes de dois terços obtendo quatro partes iguais.
34
Selecionam então três dessa quartas partes determinando que a resposta é
3 6 ou metade.
Após isso, o professor tem como opção aplicar exemplos do tipo
2 3 de 9 10 , onde o denominador da primeira é fator do numerador da
segunda. Este auxiliam o aluno a pensar um pouco mais em relação à
ideia de equivalência de frações. Neste caso, se a representação do inteiro
for um biscoito, possivelmente os estudantes formarão três grupos com
três partes cada um, utilizando nove das dez partes de 9 10 . Selecionam
então dois dos três grupos. Como opção, eles podem tomar duas partes de
cada grupo de três.
Outro tipo de problema é aquele como, por exemplo, 3 4 de 7 8 ,
ou seja, onde o maior fator comum entre o denominador da primeira
fração e o numerador da segunda é 1. São exemplos que auxiliam os
alunos a pensar mais profundamente na ideia de partilhar uma
quantidade em um montante fracionário. Auxiliam o estudante a adquirir
maior prática na divisão em grupos para tomar uma parte de outra de
um total.
Para resolver problemas como este, o estudante provavelmente fará
representações como círculos para a parte inteira e o dividirá em oito
partes iguais. Talvez ainda marque de alguma forma uma destas partes
que representa o que foi deixado de fora, neste caso, o 1 8 . Para cada
uma das sete partes, o aluno poderá fazer subdivisões, ou seja, poderá
subdividir em quatro partes, ficando com 28 partes. O professor poderá
questionar o aluno em relação a todas estas etapas quanto ao que ele
poderá fazer. Neste momento, ele pode notar se o aluno consegue dividir
tais partes em quatro grupos. Neste caso, o aluno deve colocar sete partes
em cada um deles. Se forem três desses quatro grupos que fazem parte da
resposta, então serão apenas 21 partes. Assim, em seguida o professor
deve ajudar o aluno a pensar em relação ao total, ou seja, todo o círculo
representado. O aluno deverá então subdividir também 1 8 em quatro
35
partes ficando com um total de 32 partes. A resposta que o aluno deverá
dar é de 21 32 .
A experiência relatada em [12] demonstra que perguntas como:
“Quantas partes você precisa?” ou “Existe alguma maneira em você
poderia fazer isso para que tivesse partes do mesmo tamanho?" fizeram
com que os alunos raciocinassem com mais facilidade para obter a
resposta correta. Estas também auxiliaram os estudantes a utilizar seu
conhecimento informal e trabalhou o sentido de partilha de uma
quantidade em partes fracionárias. No exemplo citado anteriormente,
quando o aluno representa o total através de um desenho, reparticiona e
agrupa as partes, tudo isso faz com que ele construa sua resolução de um
modo mais significativo. Todos estes aspectos permeiam a construção de
um fundamento para a compreensão da multiplicação de frações.
O estudo realizado incentiva os professores ao trabalharem com
multiplicação de frações a registrarem o que os alunos entenderam sobre
diversos aspectos, incluindo:
“(1) As partes de igual tamanho necessárias; (2) se os problemas de número
inteiro podem resultar em valores fracionários; (3) o que significa particionar uma
quantidade fracionária, tal como terços; e (4) a que quantidade se refere cada fração
em um problema.”
Para os alunos que têm uma maior dificuldade no aprendizado, o
professor pode tentar auxiliá-los através de perguntas que os ajudem a
raciocinar, como: "São pedaços do mesmo tamanho?" e dependendo do
exemplo que está sendo trabalhado é possível fazer perguntas como: "Quando
você diz que cada pessoa recebe dois e meio, eles ganham dois e ganham
meio de quê?" ou ainda "Se há três pessoas, que parte fracionária de todos
os biscoitos cada pessoa recebe?" [12]. Tudo isso vai auxiliar o estudante a
focalizar as ideias matemáticas mais importantes.
36
Capítulo 2
Os Parâmetros Curriculares Nacionais – 5.ª
à 8.ª séries
Os aspectos históricos são exaltados neste documento por se sugerir
uma abordagem de problemas históricos que possam conferir significados
aos conceitos ensinados. A História da Matemática é tida como um
assunto que propicia maior compreensão de conceitos e métodos da
Matemática.
Ainda em relação aos “Temas Transversais”, no item “Pluralidade
Cultural” a História da Matemática é encarada como um meio de poder
trazer conhecimento de outras culturas. Assim, o conhecimento das
dificuldades encontradas na construção desta ciência pode auxiliar o
professor na constatação de dificuldades que os próprios alunos terão em
seu aprendizado. O professor poderá, assim, traçar novas estratégias para
auxiliar seus alunos.
A fim de motivar a utilização de situações-problema como
abordagem inicial de conceitos, o documento mostra que a evolução da
Matemática se deu através de respostas a problemas de ordem prática,
relacionados a outras ciências e também de investigações vinculadas à
própria Matemática.
No item “O Recurso à História da Matemática”, a Matemática é
tida como uma criação humana e a história desta ciência propicia então
condições para que o professor auxilie o aluno a adquirir atitudes e
valores mais favoráveis à Matemática.
37
Em relação às tecnologias existentes atualmente, o documento
comenta:
“Ao verificar o alto nível de abstração matemática de algumas culturas antigas,
o aluno poderá compreender que o avanço tecnológico de hoje não seria possível sem a
herança cultural de gerações passadas. Desse modo, será possível entender as razões
que levam alguns povos a respeitar e conviver com práticas antigas de calcular, como o
uso do ábaco, ao lado dos computadores de última geração.” [11]
E além desta perspectiva de maior respeito pelo que a matemática
representa na evolução de tecnologias, a História da Matemática também
auxilia o professor a responder às perguntas dos alunos, traçar trajetórias
de abordagem de assuntos, e estabelecer objetivos a serem alcançados
pelo professor. Assim, a História da Matemática deve ser encarada como
um recurso didático e não como simplesmente fatos a serem narrados.
No desenvolvimento dos números a que se refere o item “Números e
Operações”, é deixado evidente que os seus diferentes significados são
percebidos quando são estudadas algumas questões referentes à sua
história.
Entre os objetivos para o terceiro ciclo e mais especificamente
sobre as frações (ou racionais), as situações-problema a serem trabalhadas
devem ajudar o aluno a ampliar seu entendimento sobre tais números.
Isso poderá ser feito através de problemas históricos e que envolvem o
contexto
social.
As situações-problema
também
devem
ampliar o
entendimento do aluno ao operar com frações, incluindo a utilização
dentro da potenciação e da radiciação. Dentro deste ciclo, também devem
ser trabalhadas com o aluno diferentes representações dos números
racionais através de diferentes notações. Deve-se desenvolver no aluno a
habilidade
de
saber
quais
procedimentos
deverão
ser
adotados
dependendo da situação-problema.
Na parte de conteúdos para o terceiro ciclo, é enfatizada a
utilização no caso dos números racionais, de seus diferentes significados
incluindo a relação parte/todo, quociente, razão e operador. Assim, o
38
aluno deve compreender através deste trabalho as representações
fracionária e decimal. Deve-se incluir também o estudo das frações
equivalentes, porcentagem e a escrita em notação cientifica.
No item “Conceitos e Procedimentos”, é destacado que o trabalho
envolvendo as características do sistema de numeração decimal deve levar
o aluno a abranger os números racionais em sua leitura, escrita e
representação. A localização na reta numérica dos números racionais
também deve ser trabalhada pelo professor, ficando evidente aos alunos
que os números naturais, e outros conjuntos numéricos podem também
ser expressos na forma fracionária e decimal. O aluno deve reconhecer
também que diferentes situações-problema podem ser resolvidas por uma
única operação e que talvez diferentes operações possam resolver um
mesmo problema. No estudo de cálculos envolvendo operações com
números racionais, é incentivado o uso de calculadoras para se realizar
verificações.
No item “Critérios de Avaliação para o Terceiro Ciclo”, enfatiza-se
que o professor deve verificar se o aluno é capaz de comparar e ordenar
números racionais. Também se ele sabe representar na forma decimal um
número na forma fracionária e se sabe escolher adequadamente o
procedimento de cálculo de acordo com o problema a ser resolvido.
Para o quarto ciclo (7.ª e 8.ª série), a História da Matemática é
tida como algo que pode despertar o interesse dos alunos através de
reflexões sobre os processos de construção do conhecimento desta ciência.
Entre os objetivos para este quarto ciclo está o de ampliar ainda
mais o significado dos números racionais através dos problemas e deixar
evidente ao aluno que existem números que não são racionais. As
situações-problema a serem trabalhadas neste ciclo devem também
ampliar ainda mais o significado das operações. O aluno deve adquirir
uma habilidade ainda maior de escolher adequadamente o melhor
procedimento de cálculo com números racionais.
39
É destacado como conteúdo a ser ensinado o fato de que, para a
representação decimal, fica evidente a existência de representações finitas
ou infinitas periódicas.
Novamente, no item “Conceitos e Procedimentos”, para a parte de
“Números e Operações”, é destacado que as situações-problema devem
envolver diferentes significados das operações com racionais e irracionais
aproximados por racionais.
Como critério de avaliação referente aos números racionais neste
quarto ciclo, está o de usar diferentes significados dos números racionais
e suas operações para resolver problemas em diversos contextos. Além
disso, o aluno deve ser capaz de escolher os procedimentos de cálculo
adequados.
Em orientações didáticas relacionadas aos números racionais,
destaca-se a preocupação sobre alunos que chegam ao terceiro ciclo sem
compreender o significado de frações em suas diversas representações.
Existem diversas dificuldades para o aluno em sua aprendizagem,
incluindo o fato de que um mesmo racional pode ser representado por
diferentes escritas fracionárias. A comparação entre racionais também
pode ser difícil de compreender para o aluno que procura uma associação
com o conceito dos números naturais. Também quando se multiplica um
natural por outro a expectativa é encontrar um número maior como
resultado, e nos racionais isso não acontece. Para a parte de sucessor e
antecessor, os mesmos conceitos relacionados aos naturais não se aplicam
aos racionais, já que é possível encontrar infinitos racionais entre dois
racionais.
É incentivado o uso de problemas históricos envolvendo medidas
para trabalhar com números racionais. Além disso, é sugerido que o
professor discuta sobre outros aspectos históricos, incluindo as frações
unitárias utilizadas no antigo Egito. Assim, o professor pode trabalhar
como frações e sua transformação em soma de frações unitárias.
40
Para o trabalho com racionais utilizando a relação parte/todo o
aluno deve ser capaz de identificar a unidade que representa o todo,
compreender a inclusão de classe e realizar divisões com grandezas
discretas e contínuas. No trabalho que encara número racional como
quociente é importante destacar a diferença entre dividir uma unidade,
por exemplo, em 3 partes e tomar 2, e dividir 2 unidades em 3 partes
iguais.
O trabalho do professor deve destacar também que a representação
decimal aparece muito mais vezes no cotidiano do aluno do que a forma
fracionária.
No
entanto, deve-se justificar
a utilização da
forma
fracionária pelo seu uso no estudo de proporções, cálculo algébrico e
equações. Além disso, em cálculos que envolvem dízimas periódicas a
utilização da forma fracionária favorece resultados mais precisos.
O conceito de equivalência também deve ser trabalhado devido à
sua importância para se fazer comparações entre racionais e também à
sua utilização nos cálculos. O cálculo utilizando racionais na forma
decimal deve envolver na mente do aluno a relação com as regras do
sistema de numeração decimal. O aluno deve constatar regularidades na
multiplicação de racionais na forma decimal por 10, 100, 1000, ... . Isso é
importante em alguns procedimentos de cálculos.
O conceito de equivalência aparece novamente no trabalho com a
adição e subtração de racionais. O trabalho com a multiplicação por ser
iniciada com alguns exemplos e a ideia “partes de partes do total”. A
transformação de frações na forma fracionária para a forma decimal é
incentivada quando se utiliza a multiplicação. Talvez um dos empecilhos
à aprendizagem dos alunos seja o fato de que, por exemplo, existe a
possibilidadade de que um natural multiplicado por um racional (fração
própria) resulte em um número menor que um dos fatores (o natural
utilizado). Um trabalho mais pormenorizado deve permitir nesse sentido
que o aluno chegue à conclusão de que nem sempre “o efeito da
multiplicação é de aumentar”, conforme ressalta o documento.
41
O trabalho com a divisão com números racionais pode ser
introduzido com a ideia “partes que cabem em partes”. No entanto, como
essa ideia não funciona em todos os exemplos pode-se utilizar a
propriedade “um quociente não se altera quando dividendo e divisor são
multiplicados por um mesmo número”. Exemplo disso seria:
5 5 3 15
×
5 2 4 4 2
15
÷ = =
= 8 =
4 3 2 2×3
1
8
3 3 2
[11].
Além disso, nesse trabalho lança-se a ideia de “dividir e multiplicar
pelo inverso”. A divisão utilizando-se a forma decimal também pode ser
trabalhada com a mesma propriedade anterior e com a igualdade de
ordens decimais.
A calculadora também pode ser um instrumento a ser utilizado em
sala de aula para que o aluno trabalhe com estimativas e valores
aproximados. Ela adquire o papel de confirmadora de resultados e
estimativas.
Algumas ideias para o trabalho com a
multiplicação de Frações de 5.ª à 8.ª série
Como incentivado anteriormente, o trabalho com a multiplicação
de Frações de 5.ª à 8.ª série pode ser realizado através de situaçõesproblema para ajudá-lo a aprofundar seu entendimento sobre tais
números e esta operação. Assim, os problemas podem ser aqueles
relacionados ao contexto histórico e social. O aluno deve então, após este
trabalho, estar apto a saber adequar a multiplicação de frações ao
problema proposto.
42
A utilização das calculadoras é incentivada ao se trabalhar com as
operações com números racionais para confirmar inclusive os resultados
de cálculos. Então, no caso da multiplicação de Frações ela também pode
ser utilizada como auxílio no trabalho com tal operação. Tudo então deve
cooperar para que o aluno possa ser capaz de operar com frações e
escolher os procedimentos de cálculo adequados.
Uma
sugestão
específica
para
atividades
relacionadas
à
multiplicação de frações no 3.º e 4.º ciclo é de que se utilize novamente
exemplos que destaquem a ideia de “partes de partes de um total”. Como
destacado
anteriormente,
uma
possível
dificuldade de aprendizado
também para alunos destes ciclos é quando se multiplica um natural por
um racional. Neste caso, um possível resultado talvez seja um número
menor que um dos fatores, quando se utiliza na operação uma fração cujo
numerador é menor que o denominador.
Talvez o mais importante a destacar seja a dificuldade de se
construir um significado para a operação da multiplicação. É por este
motivo que sugerimos anteriormente uma forma de o professor já
trabalhar este tema no segundo ciclo das séries iniciais do ensino
fundamental. Alguns professores tendem a achar complicado modelar com
objetos e imagens e, em seguida, estabelecer relações. Eles então confiam
aos alunos anos de memorização sem nenhum significado.
Foi sugerido pelos Padrões de Currículo e Avaliação do NCTM
(National Council of Teachers of Mathematics – 1989) que o professor
tente ajudar o aluno a estabelecer uma relação entre a multiplicação de
racionais e a de inteiros. A generalização deve ocorrer pelas experiências
que o aluno vivencia através de problemas relacionados ao mundo real.
Foge-se assim de mera aplicação de procedimentos de rotina.
Com isso, citaremos uma atividade publicada em [13] para o
trabalho com a operação de multiplicação também nos últimos ciclos do
ensino fundamental, ou seja, de 5.ª a 8.ª séries (6.° ao 9.° ano).
43
Os materiais necessários serão: uma calculadora com a capacidade
de utilizar frações, que poderá ser uma por grupo de 4 alunos; tesoura;
régua; e as folhas da atividade de 1 a 4 para cada aluno. O objetivo para
esta
atividade
multiplicação
é
de
construir
Frações
um
significado
utilizando
como
para
a
contexto
operação
um
de
problema
relacionado com uma situação do cotidiano. Além disso, serão utilizados
modelos físicos para o trabalho.
Existe uma estimativa de que toda a atividade demore por volta de
5 aulas, já que para cada aula será trabalhada uma das atividades. Como
se trata de um trabalho com séries finais, supõe-se que os alunos já
saibam associar frações (símbolos e termos) às partes de representações
retangulares. E que, além disso, saibam ordenar frações.
Toda a atividade publicada em [13] é organizada da seguinte
maneira (roteiro do professor):
Folha 1: "Jardins: Partes de Terrenos". Fazer uma transparência da
Folha 1 antes de distribuir cópias para os alunos. Salientar que cada
parcela retangular representa a unidade, ou 1 ; esta ênfase é especialmente
importante para áreas ajardinadas 5 e 6. Mostrar cada área do jardim por
alguns segundos, em seguida, pedir aos alunos para estimar que parte de
um terreno é plantado (sombreado) e que parte não é. Atente para as
estratégias dos alunos quando compararem os montantes sombreados com
vários números de referência, como 1 2 , 0 e 1 . Discutir como os alunos
chegaram a estas várias estimativas.
Copiar e distribuir a Folha 1: "Jardins: Partes de Terrenos", juntamente
com tesouras, réguas, lápis e marcadores. Os professores poderão acrescer
mais uma folha 1 para facilitar o particionamento dos jardins. Os alunos
poderão recortar os jardins (representações) se desejarem torná-los mais
manipuláveis e para que possam experimentar diferentes formas de
particionamento, ou "corte", para determinar os montantes plantado e
não plantado. Os alunos devem completar o particionamento de cada
44
jardim por dobrar o papel ou desenhar segmentos de linha no papel. É
importante discutir as diferentes formas em que os alunos concluíram o
particionamento. A ênfase deve ser sobre as abordagens dos alunos para
completar as tarefas, sem evidenciar nenhuma forma como a melhor, em
vez de dar as respostas.
Discutir como a divisão do todo pode ser simbolizada como uma sentença
de multiplicação. Por exemplo, um quarto de um lote pode ser expresso
como 1 4 de 1 = 1 4 ou 1 4 × 1 = 1 4 . Esta igualdade dá a oportunidade
de discutir a identidade de multiplicação, 1 , que é o mesmo para a
multiplicação de números inteiros e frações. Ela também pode levar a
uma discussão sobre o equívoco comum de que "a multiplicação torna
maior", que é uma generalização das experiências dos alunos com a
multiplicação de número inteiro. Os estudantes devem guardar o seu
trabalho na Folha 1 para uso nas Folhas 2, 3 e 4.
Folha 2: "Partes de Terrenos". Os alunos precisam do trabalho que
fizeram na Folha 1 ou de uma nova cópia da Folha 1, lápis, canetas e
réguas. Os alunos podem usar as partições que produziram na Folha 1
para ajudá-los a completar a Folha 2. Se precisarem praticar mais o
particionamento, recopiar a Folha 1 para que repitam a atividade, talvez
mudando um pouco as porções plantadas.
As discussões, no final da aula e a conexão com a linguagem escrita e os
símbolos são as partes mais exigentes da atividade. Na pergunta 1, os
alunos são convidados a estimar e, em seguida, encontrar 1 2 da parte
não
plantada
(5 6)
da
área
1
do
jardim.
Metade
é
usada
intencionalmente, porque é a mais fácil fração de uma partição e é a
fração melhor compreendida pelos alunos. Na questão 2, os alunos são
convidados a estimar e, em seguida, encontrar 3 4 da parte não plantada
( 2 3) da área 2 do jardim. Nas questões 3 e 4, claramente os alunos
decidem em que parte fracionária do jardim vão decidir plantar milho
45
doce. Esta decisão pode ser tomada com a classe se o professor acreditar
que maior estrutura ou uniformidade seja necessária.
Várias formas corretas podem ser usadas para encontrar as respostas para
essas atividades. Algumas destas formas são mostradas nas respostas às
atividades.
Folha 3: "Partes de Mais Terrenos". Os alunos precisam do trabalho que
fizeram na folha 1 e de pelo menos mais uma cópia limpa da folha 1, bem
como lápis, canetas e réguas. Os alunos podem usar as partições que
produziram sobre a folha 1 para ajudá-los a completar a Folha 3.
Esta atividade é semelhante à Folha 2, exceto que ela se concentra em
encontrar parte das áreas que representam frações impróprias. Esta
atividade será provavelmente mais difícil para os alunos, mas oferece uma
experiência importante no trabalho com a compreensão de frações
impróprias. Uma dificuldade pode ser o uso correto da linguagem para
descrever e expressar essas relações. É muito importante lembrar-se da
unidade. Na discussão sobre em que parte da área no jardim é plantada,
queremos saber em quanto de um terreno é plantado. Por exemplo, na
questão 1, na qual os alunos encontram metade (1 2 ) de 3 2 , que é
plantada com milho doce, a resposta é 3 4 de um terreno.
Folha 4: "Padrões no terreno". Os alunos podem precisar de mais cópias
em branco da Folha 1 para partições, já que algumas questões envolvendo
produtos não foram encontradas anteriormente. É importante que o
professor faça perguntas para ajudar os alunos na busca de padrões e na
reflexão sobre a dimensão relativa de partes de diferentes partes. Por
exemplo, que padrão você vê quando encontra metade de alguma coisa? E
ao encontrar um terço de alguma coisa? Qual é maior, um meio de cinco
sextos ou três quartos dos cinco sextos? Por quê? Qual é maior, um meio
de cinco sextos ou um meio de sete nonos? Por quê?
Folha 5: "Maximizar o Resultado". Desenhar o problema no quadro negro
ou projetor e distribuir a Folha 5. Certifique-se de que os alunos
46
compreendem o significado do período "maximizar o resultado" e o fato
de que o uso de frações impróprias é permitido. Um problema
semelhante, que é útil como um aquecimento, é pedir aos alunos para
maximizar o resultado de "__ __x__" (dois dígitos vezes um número de
um dígito), preenchendo os espaços em branco com os dígitos 1, 2, e 3.
O uso de calculadoras com a capacidade para fração permite aos
estudantes procurar padrões na resolução de problemas de multiplicação.
Manter um registro dos números examinados é útil na busca de padrões.
Incentive os alunos a observar quais respostas são menores do que o
primeiro fator, e quais são maiores do que o primeiro fator. Porque este
resultado ocorre?
Pré-requisitos para esta atividade incluem a compreensão do significado
de multiplicar frações, a capacidade de modelar a multiplicação de fração
com manipulativos ou imagens, e a capacidade de usar a calculadora para
operar com frações. O objetivo desta atividade é erradicar ou minimizar o
equívoco de que a "multiplicação torna maior". Permitir aos estudantes
usar calculadoras nesta atividade é importante porque permitem aos
alunos gastar mais tempo à procura de padrões e fazer generalizações ao
invés de analisar números.
Ao discutir seus métodos para encontrar os maiores produtos, pergunte
aos alunos por que 8 3 × 7 4 é o maior produto. Por exemplo, porquê
8 3 × 7 4 é superior a 8 6 × 7 5 , já que especialmente o último produto usa
números maiores. Para responder, os alunos podem optar por fazer dois
retângulos de dimensões especificadas, conforme abaixo. A partir desses
retângulos, fica claro que 8 3 × 7 4 , que é igual a muito mais do que dois
conjuntos, é maior do que 8 6 × 7 5 , que é inferior a 2 .
47
75
7 4
8
3
8
6
Figura
2.1
Representações
para
a
multiplicação de frações
Outra forma de tomar essa decisão é focar o tamanho de cada fração. Por
exemplo, 8 3 é maior que 2 , enquanto que 8 6 é um pouco maior que 1 .
Além disso, 7 4 é quase 2 , enquanto que 7 5 é mais próximo de 1 .
portanto, o produto de 8 3 × 7 4 é quase o mesmo que, mais de ‘2 vezes
quase 2 ’ (i. e., o resultado é maior que, 2 multiplicado por um número
próximo de 2), que é cerca de 4 . O produto de 8 6 × 7 5 é quase o mesmo
que um pouco mais de 1 vezes um pouco mais de 1 (i. e., o resultado é
próximo
daquele
resultante
de
um
número
pouco
maior
que
1
multiplicado por um número pouco maior que 1), que é inferior a 4 .
Portanto, 8 3 × 7 4 é maior do que 8 6 × 7 5 . Essa discussão deve ajudar os
alunos a fazer a generalização de que se os numeradores são iguais, as
frações com o menor denominador têm o maior valor. Esta afirmação
pode parecer contra-intuitivo para muitos estudantes. Sua verdade pode
ser verificada através de experiências com modelos concretos ou imagens
de várias situações relacionadas.
Discussões adicionais e acréscimo de questões
Descrever, por escrito, o processo de seu grupo usado para chegar às
respostas. Se o grupo usou mais de um processo de solução, era um
método mais eficaz do que os outros? Explique.
48
Contraste o método "força bruta" (por exemplo, conectar a maioria
das combinações possíveis de números) com quaisquer outros métodos
utilizados.
Generalize seus resultados para qualquer sequência de seis números
(por exemplo, 50 a 55).
Responda à seguinte pergunta, sem calcular a resposta exata em primeiro
lugar: o que terá o maior produto: 3 5 × 6 7 ou 6 5 × 3 7 , ou os produtos
serão os mesmos? Por quê?
Descrever o processo que você usaria com qualquer conjunto de números
para encontrar duas frações com o maior produto.
Respostas
Folha 1
1. 1 6 , 1 6 , 1 6 , 5 6 , 5 6 , 5 6
2. 1 3 , 1 3 , 1 3 , 2 3 , 2 3 , 2 3
3. 3 8 , 3 8 , 3 8 , 5 8 , 5 8 , 5 8
4. 2 9 , 2 9 , 2 9 , 7 9 , 7 9 , 7 9
5. 1 2 , 1 2 , 1 2 , 3 2 ou 1 2 3 , 3 2 ou 1 1 2 , 3 2 ou 1 1 2
6. 1 3 , 1 3 , 1 3 , 5 3 ou 1 2 3 , 5 3 ou 1 2 3 , 5 3 ou 1 2 3
Folha 2
1. Sobre 1 2 , não, sim, não, 5 12
2. 3 6 ou 6 12 ou 1 2
49
3. Respostas podem variar.
4. Respostas podem variar.
Folha 3
1. Um pouco menor que 1 , sim, não, não, 3 4
2. 15 12 ou 5 4 ou 1 3 12 ou 1 1 4
3. Respostas podem variar.
4. Respostas podem variar.
Folha 4
1.
5 12 ;
2 3,
2 6;
5 8,
5 16 ;
7 9,
7 18 ; 3 2 ,
3 4 ; 5 3,
5 6; o
denominador é o dobro.
2. 15 24 ; 2 3 , 6 12 ; 5 8 , 15 32 ; 7 9 , 21 36 ; 3 2 , 9 8 ; 5 3 , 15 12 ; o
numerador é o triplo, e o denominador é multiplicado por 4.
3. 5 18 ;
2 3,
2 9 ; 5 8 , 5 24 ;
7 9,
7 27 ; 3 2 , 3 6 ; 5 3 , 5 9 ; o
denominador é o triplo.
4. Veja as tabelas que se seguem.
1
2
5 5
6 12
2 2
3 6
5 5
8 16
7
7
9 18
3 3
2 4
5 5
3 6
3
4
15
24
6
12
15
32
21
36
9
8
15
12
1
3
5
18
2
9
5
24
7
27
3
6
5
9
5
8
2
3
7
9
5
6
3
2
5
3
1
3
5
24
2
9
7
27
5
18
3
6
5
9
1
2
5
16
2
6
7
18
5
12
3
4
5
6
3
4
15
24
6
12
21
36
15
24
9
8
15
12
50
Várias observações podem ser feitas sobre os padrões das tabelas, incluindo as
seguintes:
Produtos aumentam em qualquer linha da esquerda para a direita.
Produtos aumentam em qualquer coluna de cima para baixo.
O maior produto está no canto inferior direito.
O produto é menor, no canto superior esquerdo.
Folha 5
O maior produto possível é de 4 2 3 , que pode ser obtido de várias maneiras:
8 3× 7 4 ,
8 4 × 7 3,
7 4 × 8 3,
e
7 3×8 4.
(Discutir
porque
estes
aparentemente diferentes problemas de multiplicação resultam no mesmo
produto é uma boa oportunidade de explorar a propriedade comutativa da
multiplicação de frações. É importante lembrar que mesmo que a conexão
entre a comutatividade da multiplicação de números inteiros e frações possa
parecer óbvia aos professores, não é óbvia para muitos estudantes. Esta
atividade pode convencer quaisquer "céticos" restantes.)
1. Maior que o número original, caso o número inicial seja positivo. Observe
que, se o número inicial é 0 , o produto será igual, e se o número inicial for
negativo, o produto será menor que o número original.
2. Menor que o número original, se o número original e o número inferior a 1
forem ambos positivos. Uma discussão interessante pode surgir de permitir
que o número original e o número inferior a 1 possam assumir valores não
positivos.
51
Jardins: Partes de Terrenos (lotes)
Folha 1
Peter Peabody está particularmente bonito para o plantio de partições de
seus lotes com berinjelas perfeitamente roxas. A parte fracionária de cada
um dos lotes é plantada com berinjela (mostrada na parte sombreada de
cada região retangular). Determinar que parte de cada lote é plantada e
que parte não é. Você pode usar várias maneiras para fazer esse
problema. Você pode desenhar segmentos de linha, cortes e dobras nos
retângulos, ou descobrir uma outra maneira. Os diversos problemas
podem ser resolvidos de formas diferentes. Esteja preparado para explicar
como você decidiu que parte de cada terreno (lote) foi plantado.
Área 1 do Jardim: Lote Único
Área 2 do Jardim: Lote Único
________ de 1 lote é plantado.
_________ de 1 lote é plantado.
________ × 1 = __________.
_________ × 1 = ___________.
________ do lote não é plantado.
_________ do lote não é plantado.
________ × 1 = __________.
_________ × 1 = ___________.
Área 3 do Jardim: Lote Único
Área 4 do Jardim: Lote Único
________ de 1 lote é plantado.
_________ de 1 lote é plantado.
________ × 1 = __________.
_________ × 1 = ___________.
________ do lote não é plantado.
_________ do lote não é plantado.
________ × 1 = __________.
_________ × 1 = ___________.
52
Folha 1 (Continuação)
Área 5 do Jardim
Esta área do jardim é composta de dois lotes de igual tamanho.
Lote Único
Lote Único
_________ de 1 lote é plantado.
_________ × 1 = ___________.
_________* do lote não é plantado.
_________ × 1 = ___________.
* Escreva este número de duas maneiras: como uma fração e, como um
número misto.
Área 6 do Jardim
Esta área do jardim é composta de dois lotes de igual tamanho.
Lote Único
Lote Único
_________ de 1 lote é plantado.
_________ × 1 = ___________.
_________* do lote não é plantado.
_________ × 1 = ___________.
* Escreva este número de duas maneiras: como uma fração e, como um
número misto.
53
Partes de Lotes
Folha 2
Use a primeira página da Folha 1 para responder a essas perguntas.
Escreva sua resposta no espaço abaixo de cada questão. Use outra folha
de papel se for preciso.
1. Olhe para a área 1 do jardim na Folha 1. Se você plantou metade da
parte não plantada com milho doce, o quanto de todo o lote seria
plantado com milho doce? Mais de metade de todo o lote? Menos da
metade de todo o lote? Metade de todo o lote?
Sombreie na região retangular para mostrar que você plantou metade da
parte não plantada do lote com milho doce. Que parte de todo o lote você
tem plantado em milho doce?
2. Olhe para a área 2 do jardim na Folha 1. Plante três quartos da parte
não plantada do lote com milho doce. Que parte do conjunto do lote (lote
inteiro) é plantado com milho doce? Tente estimar a sua resposta antes
de realmente dobrar ou desenhar segmentos de linha para resolver o
problema.
Em seguida, decida em que partes da parte não plantada você vai plantar
o milho doce, com as perguntas seguintes. Preencha os espaços em branco
em cada pergunta com a fração. Então responda à pergunta.
3. Olhe para a área 3 do jardim na Folha 1. Plante _______da parte não
plantada do lote com milho doce. Que parte do conjunto do lote é
plantado com milho doce? Tente estimar a sua resposta antes de
realmente dobrar ou desenhar segmentos de linha para resolver o
problema.
4. Olhe para a área 4 do jardim na Folha 1. Plante _______da parte não
planta do lote com milho doce. Que parte do conjunto do lote é plantado
com milho doce? Tente estimar a sua resposta antes de realmente dobrar
ou desenhar segmentos de linha para resolver o problema.
54
Partes de mais lotes (terrenos)
Folha 3
Use a Folha 1 para responder a essas perguntas.
1. Olhe para a área 5 do jardim na Folha 1. Se você plantou em metade
da parte não plantada da área do jardim com milho doce, estime o
quanto de um terreno (lote) seria plantado com milho doce. Mais de
metade de um lote? Menos de metade de um lote? Metade de um lote?
Sombreie na região retangular para mostrar que você plantou em metade
da parte não plantada do jardim com milho doce. Quanto de um terreno
você tem plantado com milho doce?
2. Olhe para a área 6 do jardim na Folha 1. Plante em três quartos da
parte não plantada da área do jardim com milho doce. Quanto de um
lote é plantado com milho doce? Tente estimar a sua resposta antes de
realmente dobrar ou desenhar segmentos de linha para resolver o
problema.
Em seguida, decida em que partes da parte não plantada você vai plantar
o milho doce com as perguntas seguintes. Preencha os espaços em branco
de cada pergunta com a fração. Então responda à pergunta.
3. Olhe para a área 6 do jardim na Folha 1. Plante _______da parte não
plantada da área do jardim com milho doce. Quanto de um lote é
plantado com milho doce? Tente estimar a sua resposta antes de
realmente dobrar ou desenhar segmentos de linha para resolver o
problema.
4. Olhe para a área 5 do jardim na Folha 1. Plante _______da parte não
plantada da área do jardim com milho doce. Quanto de um lote é
plantado com milho doce? Tente estimar a sua resposta antes de
realmente dobrar ou desenhar segmentos de linha para resolver o
problema.
55
Padrões em lotes (terrenos)
Folha 4
Use o seu trabalho a partir de Folhas 1, 2 e 3 para responder as seguintes
perguntas. Use símbolos para escrever uma equação que expresse a parte de
cada lote, que é plantado com milho doce. Não reduza a sua resposta para
termos mais baixos.
Se
metade
da
área não plantada foi plantada com milho doce:
1
5
1
Área 2 do Jardim: de_____ = _____
Área 1 do Jardim: de = _____;
2 6
2
Área 3 do Jardim:
1
de_____ = _____;
2
Área 4 do jardim:
1
de_____ = _____;
2
Área 6 do Jardim:
1
de _____ = _____
2
1
de _____ = _____
2
1
Descrever os padrões que você vê quando multiplicado por .
2
Área 5 do jardim:
Se três quartos da área não plantada foram plantados com milho doce:
3 5
3
Área 1 do Jardim: de = _____;
Área 2 do Jardim: de_____ = _____
4 6
4
Área 3 do Jardim:
3
de _____ = _____;
4
Área 4 do jardim:
3
de _____ = _____;
4
Área 6 do Jardim:
3
de _____ = _____
4
3
de_____ = _____
4
3
Descrever os padrões que você vê quando multiplicado por .
4
Área 5 do jardim:
Se em um terço da área não plantada foi plantado com milho doce:
Área 1 do Jardim:
1 5
de = _____;
3 6
Área 2 do Jardim:
1
de_____ = _____
3
Área 3 do Jardim:
1
de_____ = _____;
3
Área 4 do jardim:
1
de_____ = _____
3
1
de_____ = _____;
3
Área 6 do Jardim:
1
de_____ = _____
3
1
Descrever os padrões que você vê quando multiplicado por .
3
Área 5 do jardim:
56
Grave suas respostas às perguntas de multiplicação na tabela à esquerda.
(Tenha certeza que você não reduziu as suas respostas para termos mais
baixos.) Então reorganize os mesmos resultados na tabela à direita, desta vez
organizando as frações da menor à maior, da esquerda para a direita,
horizontalmente e verticalmente, de cima para baixo. Descrever os padrões
que você vê nos produtos.
1
2
Parte não plantada
da área 1 do jardim:
5
6
Parte não plantada
da área 2 do jardim:
2
3
Parte não plantada
da área 3 do jardim:
5
8
Parte não plantada
da área 4 do jardim:
7
9
Parte não plantada
da área 5 do jardim:
3
2
Parte não plantada
da área 6 do jardim:
5
3
3
4
1
3
57
Maximizando o Resultado
Folha 5
Instruções: Usando uma calculadora com capacidade de fração, maximizar o
resultado da seguinte expressão mediante a apresentação em caixas com
quatro dos dígitos 3, 4, 5, 6, 7 e 8. Não use cada dígito mais de uma vez.
Mantenha um registro dos pares de frações que você multiplicou e seus
produtos.
Número de Teste
Fração 1
Fração 2
Produtos
Discuta as seguintes perguntas em grupo. Registre as respostas do seu grupo
em uma folha de papel.
1. Ao multiplicar qualquer número positivo por um número maior que 1, a
resposta é sempre menor ou maior que o número original? Dê exemplos e
explique.
2. Ao multiplicar qualquer número positivo por um número positivo menor
que 1, a resposta é sempre menor ou maior que o número original? Dê
exemplos e explique.
58
O trabalho com a multiplicação deve abranger os mais variados
tipos de problemas. Assim, aqueles em que o primeiro fator ou
multiplicador é um número inteiro são também importantes. Exemplo de
algo assim seria o que está publicado em [15]:
Wayne encheu 5 garrafas com
2
de litro de refrigerante em cada garrafa. Quanto
3
refrigerante Wayne usou?
Ao tentar resolver este problema, os alunos juntarão os terços e
então descobrirão quantos litros inteiros existem em 10 terços.
Existem os problemas como aqueles mostrados anteriormente em
que não é necessário subdividir as unidades ou partes fracionárias. O
enfoque fica permanente então para o número de partes da unidade no
todo e assim, o tamanho ou o número das partes determina o número de
conjuntos a serem tomados. Mais um exemplo deste tipo seria:
Você tem sobrando
2
1
de uma pizza. Se você der
da sobra de pizza a seu irmão,
3
3
quanto de uma pizza inteira seu irmão terá? [15]
Todas essas abordagens devem ser feitas sem entrar propriamente
com o algoritmo da multiplicação de frações, ou seja, os alunos devem
resolvê-lo através das várias representações possíveis. Mas, uma das
perguntas recorrentes é: como passar a desenvolver o algoritmo?
Para isso, o professor deve utilizar problemas que exijam a
utilização do cálculo direto. Poderá então utilizar como tipos de
representações, um quadrado ou um retângulo.
Assim, forneça aos alunos uma tarefa envolvendo um desenho de
3
4
de um retângulo. Assim, o aluno deve utilizar o desenho a fim de
determinar o produto
3 3
×
5 4
de um inteiro e explicar o resultado. O
objetivo é determinar uma parte fracionária de uma que está sombreada
no desenho. No entanto, a unidade, e consequentemente o modo como as
59
partes são medidas, devem permanecer relacionados ao retângulo inteiro.
Uma abordagem interessante, como sugerido em [15], talvez seja:
3 3
×
5 4
Tome
Desenhe
todas as
linhas em
uma direção.
3
3
3
3
de um conjunto de . Assim, forme primeiro
e depois separe :
5
4
4
5
3
5
3
5
Estenda as linhas
divisórias por todo o
retângulo para
determinar que parte
fracionária cada
parte representa.
No fim, existem três filas e três colunas de partes tomadas do todo, ou seja, 3 × 3
partes.
O todo se tornou cinco filas e quatro colunas, ou seja, 5 × 4 partes no todo.
3 3 Número de partes tomadas no todo 3 × 3 9
× =
=
=
5 4
Tipo de partes no todo
5 × 4 20
Figura 2.2 Desenvolvimento do algoritmo da multiplicação de frações.
Como mostrado anteriormente, a fim de obter
3
5
da região
sombreada, pode-se dividi-la em quintos com linhas em direções opostas.
Então, o problema é saber quanto esta fração representa em relação ao
todo, ou seja, à unidade. Embora os alunos não pensem nisso de
imediato, um método seria prolongar as linhas subdividindo todo o
inteiro (unidade) em quintos. O produto dos denominadores diz quantos
pedaços (partes) estão no todo (tipo de partes). E o produto dos
numeradores diz o número de pedaços tomados no todo.
O professor pode, ao longo do tempo, após os alunos perceberem o
sentido do algoritmo através de tais representações, pedir que eles
determinem o produto de duas frações sem mais desenhos. Poderá para
isso utilizar exemplos como
7 4
×
8 5
cuja representação seja um tanto difícil,
e assim o aluno se sentirá propenso a utilizar o algoritmo.
No trabalho com números mistos, é comum o pedido do professor
para que os alunos transformem-nos em frações impróprias. Embora não
esteja errado matematicamente, existe a possibilidade do professor poder
60
trabalhar a propriedade distributiva utilizando frações mistas. Se os
estudantes compreenderem que, por exemplo,
compreenderem
bem
3
1
×2
4
2
multiplicação
a
propriedade
fazendo
3
×2
4
e
2
1
2
significa
distributiva,
3 1
×
4 2
2+
1
2
e também
poderão
fazer
a
. Se ambos os fatores forem
mistos, então haverá quatro produtos parciais.
Como incentivado nos currículos nacionais e estaduais, as técnicas
mentais e as estimativas devem ser trabalhadas pelo professor. No caso
do produto
3
2
1
×2 ,
3
4
para fazer uma estimativa do resultado final, o aluno
poderá utilizar a técnica de arredondar um fator para cima e o outro para
baixo. No caso mencionado, teríamos a estimativa de 4 × 2 . É uma
técnica eficiente para ajudar os alunos a verificar se sua resposta está
dentro dos limites esperados.
É interessante também pensar em um número racional com sua
representação fracionária com como substituto para porcentagens. Por
exemplo, numa estimativa de 60% de R$ 36,69 , seria interessante pensar
em 60% como
vezes
1
.
5
3
5
ou talvez como um pouco menos que
2
3
. Assim,
3
5
são 3
Como R$ 36,69 não é um número ‘simpático’, o aluno poderá
pensar em fazer um ajuste para um número compatível como R$ 35,50 e
1
5
deste valor é R$ 7,10 . Multiplicando este por 3 teríamos R$ 21,30 que
é uma boa aproximação para o real valor que é pouco mais de R$ 22,00 .
61
Proposta
Curricular
do
Estado
de
São
Paulo – Ensino Fundamental
O ensino de números é destacado neste documento como tendo
como objetivo principal deixar evidente a evolução dos conjuntos
numéricos utilizando problemas ou situações que mostrem exatamente
isso. Tais situações, conforme sugere o currículo do estado, podem estar
apoiadas na própria história. Mais precisamente em relação aos números
racionais, pode-se fazer uso de situações concretas de medida, onde se
procura relacionar a notação decimal e a fracionária de um número a fim
de ampliar o entendimento do aluno e traçar bases para o campo
numérico dos reais.
A ideia de “narrativas” é sugerida para a arquitetura das aulas e é
explicada pelo fato de que é contando histórias que os significados são
construídos. Uma fonte para que isso se realize é a História da
Matemática. Seria então por meio dela que se buscaria a compreensão dos
significados mais importantes, incluindo de transformações ou mudanças
de assuntos.
O item “Conteúdos de Matemática por série e bimestre do Ensino
Fundamental – Ciclo II”, para o 1.º bimestre da 5.ª série, mostra que
devem ser trabalhados em sala de aula a representação, a comparação e
ordenação de frações, bem como suas operações. No 2.º bimestre, para os
números decimais, devem ser expostos a sua representação, transformação
em fração decimal, e suas operações.
Para o 1.º bimestre da 6.ª série, o trabalho com os números
racionais se inicia com a representação fracionária e decimal, e operações
com decimais e frações (complementos).
Para o 1.º bimestre da 7.ª série sugere-se o trabalho com números
racionais através da transformação de decimais em frações e também
através das dízimas periódicas e fração geratriz.
62
Para o 1.º bimestre da 8.ª série encontra-se sugerido o trabalho
com notação científica, que abrange os números racionais na forma
decimal.
Últimas conclusões
Embora o objetivo nesta segunda parte fosse analisar o quanto a
História da Matemática tem sido introduzida nos currículos nacionais e
estaduais, a conclusão posterior é de que existem poucas sugestões de
como o professor pode elaborar a sua aula introdutória de conceitos
através desta abordagem. O trabalho nos currículos é muito mais voltado
à conscientização de sua importância e não tanto de como isso deve ser
feito. Assim, tal pesquisa mostrou que a História da Matemática
desenvolve atitudes mais favoráveis por parte dos alunos, auxilia o
professor em dificuldades de aprendizagem destes. No currículo nacional
para o ensino de primeira à quarta série, quando se fala como o ensino de
Frações deve ser realizado não se faz nenhuma sugestão de como a
História da Matemática deve ser introduzida.
Como ponto positivo a ser destacado na análise do currículo dos
primeiros ciclos destaca-se as principais dificuldades que os alunos podem
ter na trajetória do ensino de Frações, de conceitos e operações
relacionados. Existe o incentivo indireto ao trabalho com problemas que
levem os alunos a se depararem com os mesmos problemas que
historicamente o homem encontrou na evolução do conceito de Frações.
O ensino da operação de multiplicação foi tido como foco de análise nesta
pesquisa e as sugestões específicas para o ensino de primeira à quarta
série podem ser aplicadas com a confiança de já terem sido exploradas
por quem lançou a ideia. Conforme percebemos, o enfoque deve ser para
63
situações-problemas que envolvam o contexto social dos alunos, ou seja, a
realidade.
A análise do currículo de quinta à oitava série deixou evidente que
a História da Matemática pode propiciar maior compreensão do está
sendo ensinado. Novamente, neste currículo é enfatizado que a História
da Matemática pode ser encarada como recurso didático por auxiliar o
professor a responder às dúvidas de seus alunos.
Por existir algumas orientações específicas no trabalho com a
multiplicação de Frações, mais uma vez foi analisada uma atividade que
pode ser aplicada em sala de aula. Este destaque na segunda parte do
trabalho foi pela dificuldade que alguns professores têm em criar um
significado para os alunos de tal operação. Assim, a atividade sugerida
tenta fazer exatamente isso através de representações retangulares em
que o aluno pode, através de materiais como tesoura e régua, constatar as
respectivas representações fracionárias. É uma atividade que também
busca criar significado para a ‘tomada de uma parte de outra parte de
um inteiro’.
64
Referências Bibliográficas
[1] Berlingoff W. P. Gouvêa F. Q.; A Matemática Através dos Tempos:
Um guia fácil e prático para professores e entusiastas; Trad.: Gomide E,
Castro H.; São Paulo: Edgard Blucher, 2008.
[2] Eves H.; Introdução à História da Matemática; Trad.: Domingues H.
H.; Campinas, SP: Ed. da Unicamp, 2004.
[3] Almeida A. C., Corrêa F. J. S. A.; Papiro de Rhind e as frações
unitárias. Revista do Professor de Matemática, nº 35. 1997, p. 2 a p. 8.
[4] Paterlini R. R.; Aritmética dos números reais; Departamento de
Matemática – UFSCar.
[5] Bertoni N. E.; Frações: da forma fracionária à decimal. Revista do
Professor de Matemática, nº 34. 1997, p. 9 a p. 13.
[6] Hiratsuka P. I.; Fazendo uma divisão de frações significativa. Revista
do Professor de Matemática, nº 30. 1996 p. 23 a p. 25.
[7] Smith D. E.; History of Mathematics. Dover Publications, New York,
1958. Volume 2, página 213.
[8] Shen K., Crossley J. N., Lun A. W. –C.; The Nine Chapters on the
Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University
Press, Oxford and New York, 1999. Página 70.
[9] Cajori F.; A History of Mathematical Notations. Dover Publications,
New York, 1993. Página 312.
[10] Parâmetros curriculares nacionais: matemática / Secretaria de
Educação Fundamental. – Brasília: MEC/SEF, 1997. 142p.
[11] Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática / Secretaria de
Educação Fundamental. – Brasília: MEC / SEF, 1998. 148 p.
[12] Mack N. K., Building a foundation for understanding the
multiplication of fractions. Teaching Children Mathematics. National
Council of Teachers of Mathematics. September 2008. p. 34 a p. 38.
[13] Bezuk N. S., Armstrong B. E.; Understanding fraction multiplication.
The Mathematics Teacher. National Council of Teachers of Mathematics;
December 1992. Vol. 85; N.º 9; p. 729 a p. 733 e p. 739 a p. 744.
[14] Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática / Coord.
Maria Inês Fini. – São Paulo: SEE, 2008.
[15] Walle J. A. V.; Matemática no Ensino Fundamental: formação de
professores e aplicação em sala de aula; 6.ª edição; Trad.: Colonese P. H.;
Artmed, 2009.