joão pessoa - Nova Concursos

Prefeitura Municipal de
JOÃO PESSOA
Agente Educacional I
RETIFICAÇÃO
ARTIGO DO WILLIAM DOUGLAS
MATEMÁTICA
Números Naturais: significados e Sistema de Numeração Decimal;................................................................................01
Números Racionais: significados, representação decimal e fracionária, equivalência, ordenação e localização na reta
numérica;......................................................................................................................................................................................04
Operações com números naturais e racionais: significados, propriedades e procedimentos de cálculo das operações de
adição, subtração, multiplicação e divisão;...............................................................................................................................07
Múltiplos e divisores;............................................................................................................................................................10
Linguagem algébrica; cálculo algébrico;............................................................................................................................12
Equações e inequações;.........................................................................................................................................................16
Espaço e forma: descrição, interpretação e representação da localização e movimentação de pessoas e objetos.......26
Figuras geométricas espaciais e planas: características, propriedades, elementos constituintes, composição,
decomposição, ampliação, redução e representação;............................................................................................................... 26
Medidas: procedimentos e instrumentos de medida; sistemas de medidas decimais (comprimento, superfície, volume,
capacidade, massa e temperatura) e conversões; medidas de tempo e conversões;..............................................................32
Sistema monetário brasileiro;..............................................................................................................................................35
Cálculo e comparação de perímetro e área; aplicações geométricas;..............................................................................37
Tratamento da informação: leitura, interpretação e construção de tabelas e gráficos...................................................44
Média aritmética...................................................................................................................................................................46
MATEMÁTICA
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números
naturais pares. Embora uma sequência real seja outro objeto
matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos
a denominação sequência dos números naturais pares para
representar o conjunto dos números naturais pares: P = { 0, 2, 4,
6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números
naturais ímpares, às vezes também chamados, a sequência dos
números ímpares. I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
NÚMEROS NATURAIS: SIGNIFICADOS E
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL;
O conjunto dos números naturais é representado pela letra
maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como
algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a
Índia, difundindo o seu sistema numérico.
Embora o zero não seja um número natural no sentido que
tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos
considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as
mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na
verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema
posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo.
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com
o número zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra
N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem
fim. N é um conjunto com infinitos números.
Igualdade e Desigualdades
Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e
somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto
B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for
satisfeita, escreveremos A = B (lê-se: A é igual a B) e quando não
for satisfeita denotaremos tal fato por: A ≠ B (lê-se: A é diferente
de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é
importante a ordem dos elementos no conjunto.
Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos
que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do
conjunto B. Neste caso, A = B.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto
será representado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
A construção dos Números Naturais
- Todo número natural dado tem um sucessor (número que
vem depois do número dado), considerando também o zero.
Exemplos: Seja m um número natural.
a) O sucessor de m é m+1.
b) O sucessor de 0 é 1.
c) O sucessor de 1 é 2.
d) O sucessor de 19 é 20.
Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos
conjuntos A e B serão distintos.
Sejam A = {a,b,c,d} e B = {1,2,3,d}. Nem todos os elementos
do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do
conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar
que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso,
afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.
- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois
números juntos são chamados números consecutivos.
Exemplos:
a) 1 e 2 são números consecutivos.
b) 5 e 6 são números consecutivos.
c) 50 e 51 são números consecutivos.
Operações com Números Naturais
Na sequência, estudaremos as duas principais operações
possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a
Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e
multiplicação.
- Vários números formam uma coleção de números naturais
consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro
é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim
sucessivamente.
Exemplos:
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
b) 5, 6 e 7 são consecutivos.
c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
A adição de números naturais
A primeira operação fundamental da Aritmética tem por
finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou
mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as
adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com
o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.
- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um
antecessor (número que vem antes do número dado).
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
a) O antecessor do número m é m-1.
b) O antecessor de 2 é 1.
c) O antecessor de 56 é 55.
d) O antecessor de 10 é 9.
Didatismo e Conhecimento
Propriedades da Adição
- Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais
é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um
número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N
é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de
composição interna no conjunto N.
1
MATEMÁTICA
Divisão de Números Naturais
- Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é
associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números
naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer
modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro
com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro,
obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a
soma do segundo e o terceiro. (A + B) + C = A + (B + C)
- Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe
o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural
qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será
o próprio número natural.
- Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição
é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou
seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos
o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a
primeira parcela.
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber
quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro
número que é o maior é denominado dividendo e o outro número
que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado
quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos
o dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada,
pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro
número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.
Relações essenciais numa divisão de números naturais
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve
ser menor do que o dividendo. 35 : 7 = 5
- Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o
produto do divisor pelo quociente. 35 = 5 x 7
- A divisão de um número natural n por zero não é possível
pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos
escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não
é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é
dita impossível.
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro
número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas
são as unidades do segundo número denominadas multiplicador.
Potenciação de Números Naturais
Exemplo
4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes: 4 x 9 = 9 + 9 + 9
+ 9 = 36
O resultado da multiplicação é denominado produto e os
números dados que geraram o produto, são chamados fatores.
Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.
Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto
de n fatores iguais ao número m, ou seja: mn = m . m . m ... m . m
→ m aparece n vezes
O número que se repete como fator é denominado base que
neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado
expoente que neste caso é n. O resultado é denominado potência.
Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores
iguais, como por exemplo: 23 = 2 × 2 × 2 = 8 → 43 = 4 × 4 × 4 = 64
Propriedades da multiplicação
- Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N
dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais
números naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de
multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto
como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto
N.
- Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais
fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro
fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro
número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o
terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo. (m . n) . p = m .(n
. p) → (3 . 4) . 5 = 3 . (4 . 5) = 60
- Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um
elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja
o número natural n, tem-se que: 1 . n = n . 1 = n → 1 . 7 = 7 . 1 = 7
- Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais
quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja,
multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos
o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo
primeiro elemento. m . n = n . m → 3 . 4 = 4 . 3 = 12
Propriedades da Potenciação
- Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n,
denotada por 1n, será sempre igual a 1.
Exemplos:
a- 1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1
b- 13 = 1×1×1 = 1
c- 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1
- Se n é um número natural não nulo, então temos que no=1.
Por exemplo:
- (a) nº = 1
- (b) 5º = 1
- (c) 49º = 1
- A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente de
sentido no contexto do Ensino Fundamental.
- Qualquer que seja a potência em que a base é o número
natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual ao
próprio n. Por exemplo:
Propriedade Distributiva
Multiplicando um número natural pela soma de dois números
naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das
parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos. m . (p + q) = m
. p + m . q → 6 x (5 + 3) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48
Didatismo e Conhecimento
- (a) n¹ = n
- (b) 5¹ = 5
- (c) 64¹ = 64
2
MATEMÁTICA
- Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1
seguido de n zeros.
Exemplos:
a- 103 = 1000
b- 108 = 100.000.000
c- 10o = 1
4) Resposta “9”.
Solução: Basta apenas multiplicarmos o 3 duas vezes:
3 x 3 = 9.
5) Resposta “27”.
Solução: Para construirmos um cubo, basta apenas
multiplicarmos os lados:
3 x 3 x 3 = 27 cubinhos.
Exercícios
1. O consecutivo e o antecedente de um número natural n
serão respectivamente:
6) Solução:
a) 2 x 2 x 2 =
=8
2. Se n é par, o consecutivo par de n será? Se n é ímpar, o
consecutivo ímpar de n será?
b) 5 x 5 x 5 =
= 125
3. Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm.
Quantos quadradinhos de 1cm² cabem no quadrado?
c) 2 x 2 =
=4
3cm
d) 6 x 6 x 6 x 6 =
= 1296
4. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3²?
7) Resposta “4”.
Solução: R³[64] = 4, pois 64 = b × b × b, ou seja, 64 = b³. Esta
é uma propriedade de potenciação. A base é b e o expoente é 3. O
número que elevado ao cubo fornece o resultado 64 é o número b
= 4.
5. De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto é, um centímetro
cúbico, precisaremos para construir um cubo com 3cm de
comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura?
6. Faça a potenciação dos seguintes números:
a) 2³
b) 5³
c) 2²
d) 64
8) Resposta “1”.
Solução: O número 1, pois se dividirmos um número natural n
por 1 obteremos o próprio n. Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto,
3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante.
7. Qual é o valor do número natural b, tal que 64 = b × b × b?
9) Solução:
a) 125 : 5 =
= 25
8. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é
divisor de todos os números?
9. Realize a divisão nos seguintes números naturais:
a) 125 : 5
b) 36 : 6
c) 49 : 7
b) 36 : 6 =
=6
c) 49 : 7 =
=7
10. Calcule:
a) -8 + 5
b) -5 – 7
c) –(-10) –(-8) + (-12) –(-17)
d) –(-5) + (-10) - 14
10) Solução:
a) -8 + 5 =
= -3
b) -5 – 7 =
= -12
Respostas
1) Solução: O antecedente de um número n será n – 1, pois é
aquele que antecede o n.
Já o consecutivo é n + 1.
c) –(-10) –(-8) + (-12) –(-17) =
= 10 + 8 – 12 + 17 =
= 35 – 12 =
= 23
2) Solução: Sendo n par, o seu consecutivo será n + 2, e sendo
impar o consecutivo sendo impar o n será n + 2.
d) –(-5) + (-10) – 14 =
= 5 – 10 – 14 =
= 5 – 24 =
= -19
3) Resposta “9 quadradinhos”.
Solução: Temos 9 quadradinhos, então basta apenas fazermos:
9 x 1 = 9 quadradinhos
Didatismo e Conhecimento
3
MATEMÁTICA
Representação Fracionária dos Números Decimais
NÚMEROS RACIONAIS: SIGNIFICADOS,
REPRESENTAÇÃO DECIMAL E
FRACIONÁRIA, EQUIVALÊNCIA,
ORDENAÇÃO E LOCALIZAÇÃO NA RETA
NUMÉRICA;
Trata-se do problema inverso: estando o número racional
escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de
fração. Temos dois casos:
1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador
é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto
pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas
decimais do número decimal dado:
m
Um número racional é o que pode ser escrito na forma
n
, onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente
de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de
m por n.
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o
conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim,
é comum encontrarmos na literatura a notação:
Q={
0,9 = 9
10
57
5,7 =
10
0,76 = 76
100
3,48 = 348
100
0,005 = 5 = 1
1000 200
m
: m e n em Z, n diferente de zero}
n
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:
2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto,
vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos:
- Q* = conjunto dos racionais não nulos;
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos;
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos;
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos;
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.
Exemplo 1
Seja a dízima 0, 333... .
Representação Decimal das Frações
Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros
por 10: 10x = 0,333
Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da
segunda:
10x – x = 3,333... – 0,333... ⇒
9x = 3 ⇒ x = 3/9
p
Tomemos um número racional q , tal que p não seja múltiplo
de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do
numerador pelo denominador.
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 3 .
9
Exemplo 2
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um
número finito de algarismos. Decimais Exatos:
2 = 0,4
5
1 = 0,25
4
35 = 8,75
4
153 = 3,06
50
Seja a dízima 5, 1717...
Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .
Subtraindo membro a membro, temos:
99x = 512 ⇒ x = 512/99
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 512 .
99
Exemplo 3
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos
algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente.
Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
Seja a dízima 1, 23434...
Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... .
Subtraindo membro a membro, temos:
990x = 1234,34... – 12,34... ⇒ 990x = 1222 ⇒ x = 1222/990
1
= 0,333...
3
1 = 0,04545...
22
167 = 2,53030...
66
Didatismo e Conhecimento
Simplificando, obtemos x = 611 , a fração geratriz da dízima
495
1, 23434...
4
MATEMÁTICA
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que
representa esse número ao ponto de abscissa zero.
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o
mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais
diferentes é negativo.
Exemplo: Módulo de - 3 é 3 . Indica-se - 3 = 3
2
2
2
2
3
3
3
3
+
Módulo de +
é
. Indica-se
=
2
2
2
2
Propriedades da Multiplicação de Números Racionais
O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto
de dois números racionais ainda é um número racional.
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a ×
b)×c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a
- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo
q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q
- Elemento inverso: Para todo q = a em Q, q diferente de
a x b =1
zero, existe q-1 = b em Q: q × q-1 = 1 b
a
a
b
- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a ×
b)+(a×c)
Números Opostos: Dizemos que – 32 e 32 são números
racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do
outro. As distâncias dos pontos – 3 e 3 ao ponto zero da reta são
2
2
iguais.
Soma (Adição) de Números Racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito
na forma de uma fração, definimos a adição entre os números
a
c
racionais
e
, da mesma forma que a soma de frações,
b
d
através de:
Divisão de Números Racionais
ad + bc
a
+ c =
bd
b
d
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação
de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q =
p × q-1
Propriedades da Adição de Números Racionais
Potenciação de Números Racionais
O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a
soma de dois números racionais ainda é um número racional.
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a +
b)+c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a
- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em
Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q
- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que
q + (–q) = 0
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores
iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Exemplos:
3
8
⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞
a) ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ .⎜ ⎟ .⎜ ⎟ =
⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 125
Subtração de Números Racionais
b)
A subtração de dois números racionais p e q é a própria
operação de adição do número p com o oposto de q, isto é:
p – q = p + (–q)
c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25
d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25
Multiplicação (Produto) de Números Racionais
Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente
0 é igual a 1.
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito
na forma de uma fração, definimos o produto de dois números
racionais a e c , da mesma forma que o produto de frações,
d
através de: b
0
⎛ 2⎞ = 1
⎜⎝ + ⎟⎠
5
- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
a
ac
c
x
=
b
bd
d
1
⎛ 9⎞
9
⎜⎝ − ⎟⎠ = - 4
4
O produto dos números racionais a e b também pode ser
indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre
as letras.
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos
obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Didatismo e Conhecimento
- Toda potência com expoente negativo de um número racional
diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao
inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente
anterior.
2
25
⎛ 3⎞ ⎛ 5 ⎞
⎜⎝ − ⎟⎠ .⎜⎝ − ⎟⎠ =
5
3
9
−2
5
MATEMÁTICA
- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da
base.
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o
número zero ou um número racional positivo. Logo, os números
racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.
3
⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ 8
⎜⎝ ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ .⎜⎝ ⎟⎠ .⎜⎝ ⎟⎠ =
3
3
3
3
27
O número -100 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto -10
9
3
como +10 , quando elevados ao quadrado, dão 100 .
3
9
Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto
dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.
- Toda potência com expoente par é um número positivo.
2
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1
⎜⎝ − ⎟⎠ = ⎜⎝ − ⎟⎠ .⎜⎝ − ⎟⎠ =
5
5
5
25
2
O número
não tem raiz quadrada em Q, pois não existe
3
número racional que elevado ao quadrado dê 2 .
3
Exercícios
- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto
de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a
base e somamos os expoentes.
⎛ 2⎞
⎜⎝ ⎟⎠
5
2
3
⎛ 2⎞ ⎛ 2 2⎞ ⎛ 2 2 2⎞ ⎛ 2⎞
.⎜ ⎟ = ⎜ . ⎟ .⎜ . . ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ 5⎠ ⎝ 5 5⎠ ⎝ 5 5 5⎠ ⎝ 5⎠
2+3
⎛ 2⎞
=⎜ ⎟
⎝ 5⎠
5
1. Calcule o valor das expressões numéricas:
a)
- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir
um quociente de potências de mesma base a uma só potência,
conservamos a base e subtraímos os expoentes.
7 ⎡⎛ 5 1 ⎞ ⎛ 7 3 ⎞ ⎤
− ⎜ − ⎟ −⎜− + ⎟
24 ⎢⎣⎝ 12 8 ⎠ ⎝ 6 4 ⎠ ⎥⎦
⎡⎛
3⎞ ⎛
1⎞
5⎤ ⎛ 9
7⎞
b) ⎢⎜ + ⎟ : ⎜ − ⎟ + ⎥ − ⎜ − ⎟
⎣⎝ 16 ⎠ ⎝ 12 ⎠ 2 ⎦ ⎝ 4 2 ⎠
3
7
 2  2
 . +  como uma só potência.
 3  3
2. Escreva o produto  +
- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência
a uma potência de um só expoente, conservamos a base e
multiplicamos os expoentes
16
⎞
3. Escreva o quociente ⎛⎜ −
⎟
⎝
25 ⎠
potência.
12
4
⎛ 16 ⎞
: ⎜ − ⎟ como uma só
⎝ 25 ⎠
4. Qual é o valor da expressão
Radiciação de Números Racionais
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores
iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns
exemplos:
1
6
3
4
Exemplo 1
6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu
dia seguinte leu 16 do livro. Então calcule:
4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 é a raiz quadrada
de 4. Indica-se √4= 2.
Exemplo 2
1
9
1
Representa o produto 3 .
1
quadrada de 19 .Indica-se 1 = 3
1
3
9
ou
⎛ 1⎞
⎝⎜ 3 ⎠⎟
2
. Logo,
1
3
é a raiz
7. Em um pacote há 45 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote
há . Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que
o segundo?
8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 59 da rua
já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar?
9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos,
1
desses apartamentos foi vendido e 6 foi reservado. Assim:
Assim, podemos construir o diagrama:
Didatismo e Conhecimento
do livro e no
1
3
0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6
é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 3 0,216 = 0,6.
Z
1
4
a) A fração do livro que ela já leu.
b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura.
Exemplo 3
N
5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com
das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das figurinhas
. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram?
1
3
a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?
b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não
foram vendidos ou reservados?
Q
6
MATEMÁTICA
10. Transforme em fração:
a) 2,08
b) 1,4
c) 0,017
d) 32,17
6) Solução:
a) 1 + 1 = 3 + 2 = 5
4
12 12 12
6
12 5
5
b) 1=
= 7
12 12 12 12
Respostas
7) Respostas 7
15
Solução:
1) Solução
a)
7 ⎡⎛ 5 1 ⎞ ⎛ 7 3 ⎞ ⎤ 7 ⎡⎛ 10 − 3 ⎞ ⎛ −14 + 9 ⎞ ⎤
− ⎜ − ⎟ −⎜− + ⎟ =
− ⎜
⎟ −⎜
⎟
24 ⎢⎣⎝ 12 8 ⎠ ⎝ 6 4 ⎠ ⎥⎦ 24 ⎢⎣⎝ 24 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎥⎦
4
5
- 1 = 12 = 7
5
15 15 15
3
7 ⎛ 7
5 ⎞ 7 ⎛ 7 + 10 ⎞ 7 17
10
5
−⎜
+ ⎟=
−⎜
−
=−
=−
=
⎟
⎝
⎝
24
24 12 ⎠ 24
24 ⎠ 24 24
24
12
8) Resposta 4
9
Solução:
b)
1-
5
5
= 9 = 4
9
9
9
9
9) Solução:
a)
mmc:(4;2)=4
b) 1- 1 = 2 - 1 = 1
2
2
2
2
2) Solução:
⎛ 2⎞
⎜⎝ + ⎟⎠
3
1
1
1
1
3
+
= 2 +
=
=
3
6
6
2
6
6
10
10) Solução:
a) 2,08 →
3) Solução:
⎛ 16 ⎞
⎜⎝ − ⎟⎠
25
8
b) 1,4 →
4) Solução:
208 52
=
100 25
14 7
=
10 5
c) 0,017 →
17
1000
d) 32,17 →
3217
100
3
− 13  − 1   + 3 
−  :

24  2   4 
− 13  − 1   + 3 
− :

24  8   4 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS E
RACIONAIS: SIGNIFICADOS,
PROPRIEDADES E PROCEDIMENTOS DE
CÁLCULO DAS OPERAÇÕES DE ADIÇÃO,
SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO;
− 13  − 1   + 4 
−  .

24  8   3 
− 13  − 4 
−

24  24 
− 13 4
+
24 24
Conjunto dos Números Naturais
São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É
representado pela letra maiúscula N. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10,…} O zero corresponde à ausência de unidades. A sucessão
dos números naturais começa pelo zero e cada número é obtido
acrescentando-se uma unidade ao anterior. Não existe o maior
número natural, ou seja, a sucessão dos números naturais é infinita.
Se excluirmos o zero teremos um novo conjunto: o conjunto dos
∗
∗
números naturais não nulos, que se indica por N . N = {1, 2, 3,
4, 5...}
−9 −3
=
24
8
5) Resposta 11
12
Solução:
1
2
3
9
+
=
+
= 11
6
12 12 12
4
Didatismo e Conhecimento
7
MATEMÁTICA
Potenciação
Na sucessão de números naturais, dois ou mais números que
se seguem são chamados consecutivos. Exemplo: 7 8 e 9 são
números naturais consecutivos. Todo número natural tem um
antecessor, com exceção do zero, que é o menor número natural.
Todo número natural tem um sucessor. Ex: O sucessor de 8 é 9; o
antecessor de 19 é 18.
O conjunto formado por 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12... é chamada
conjunto dos números naturais pares. O conjunto formado por 1,
3, 5, 7, 9, 11,... é chamada conjunto dos números naturais ímpares.
É uma multiplicação de fatores iguais
Exemplo 1:
Operações fundamentais com números naturais
Adição
Base=2
Expoente = 4
Potência = 16 [Resultado da operação]
Lê-se: Dois elevado à quarta potência.
A primeira operação fundamental na Matemática é a adição.
Esta operação nada mais é que o ato de adicionar algo. É reunir
todos os valores ou totalidades de algo. A adição é chamada
de operação. A soma dos números chamamos de resultado da
operação.
Ex: 10 + 5 = 15
10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de
adição. A operação realizada acima se denomina, então, ADIÇÃO.
A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +.
Exemplo 2:
53 = 5.5.5= 125 (3 fatores iguais)
Base=5
Expoente = 3
Potência = 125 [Resultado da operação]
Lê-se: Cinco elevado à terceira potência.
Subtração
Potências especiais:
A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir
alguma coisa. O resultado desta operação de subtração denominase diferença ou resto.
Exemplo: 9 – 5 = 4
Essa igualdade tem como resultado a subtração.
Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9-5. Ao número
9 dá-se o nome de minuendo e 5 é o subtraendo.
a 1.
Ex: 15= 1
2- Zero elevado a qualquer número é sempre igual a zero.
Ex: 06 = 0
Multiplicação
3- Qualquer número (diferente de zero) elevado a zero é
sempre igual a 1.
Ex: 50= 1
É a ação de multiplicar. Denomina-se a operação matemática,
que consiste em repetir um número, chamado multiplicando, tantas
vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador,
para achar um terceiro número que representa o produto dos dois.
Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais,
onde o produto é o resultado da operação multiplicação; e os
fatores são os números que participam da operação.
5. 8 = 40 onde 5 e 8 são os fatores e 40 é o produto.
4- Potências de base 10 é igual a 1 seguido de tantos zeros
quanto estiver indicando no expoente.
Ex: 104= 10000 ( 4 zeros pois o expoente é 4)
5- Qualquer número elevado a 1 é igual a ele mesmo.
Ex: 81= 8
Divisão
É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na
matemática em que se procura achar quantas vezes um número
contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um
todo que se dividiu. À divisão dá o nome de operação e o resultado
é chamado de Quociente.
Propriedades da potenciação
1º) Multiplicação de potências de mesma base.
Ex:
35 . 32 . 33 = 310
24 . 2. 23 . 22 . 2 = 211
1) A divisão exata:
Veja: 8: 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4
é o divisor, 0 é o resto.
A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8
Para escrever o produto de potências de mesma base,
conservamos a base e somamos os expoentes.
2º ) Potência de potência.
(22)3 = 22. 22. 22 = 22+2+2= 26 = 64
(22)4 = 22. 22. 22. 22 = 22+2+2+2= 28 = 256
Para escrever a potência elevada a outro expoente, conservase a base e multiplicam-se os expoentes.
2) A divisão não-exata: Observe este exemplo: 9: 4 é igual a
resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o
quociente e 1 é o resto.
A prova do resultado é: 2 x 4 + 1 = 9
Didatismo e Conhecimento
1- O número um elevado a qualquer número é sempre igual
8
MATEMÁTICA
Números Racionais
3º) Divisão de potências de mesma base
128 : 126 = 128–6 =
122 25 : 23 = 25-3 = 22
Para escrever o quociente de potências de mesma base,
conservamos a base e subtraímos os expoentes.
Os números racionais é um conjunto que engloba os
números inteiros(Z). Números decimais finitos (por exemplo,
743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete
uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente).
Como “12,050505…”, são também conhecidas como dízimas
periódicas. Os racionais são representados
a pela letra Q. Todo
número racional pode ser escrito na forma , com a ∈ Z , b ∈ Z
b ser representado por
e b ≠ 0 Um mesmo número racional pode
diferentes frações, todas equivalentes entre si.
Observação: Quociente significa o resultado de uma divisão.
Radiciação
Observe os termos da radiciação:
Ex: 1 = 2 = 3 = − 1 = − 2 = ...
2 4 6 −2 −4
Um número racional pode ser representado por um número
decimal exato ou periódico.
Onde:
n = representa o termo da radiciação chamado Radical. É o
índice.
X = representa o termo da radiciação chamado de radicando.
1
Temos que radiciação de números naturais é a operação
inversa da potenciação. Observe abaixo:
n
Em termos mais precisos, dado um número natural a
denominado radicando e dado um número natural n denominado
índice da raiz, é possível determinar outro número b,
denominado raiz enésima de a, representada pelo símbolo n a ,
tal que b elevado a n seja igual a a.
radical.
Ex:
1
Reta numérica Racional
b = a ⇔ b = a (n > 0)
n
−3
Ex:
= 0,5
= 0, 333... (dízima
= −0, 75
3
4
periódica) 2
Todos os números inteiros pertencem aos racionais.
Adição e subtração com números fracionários
Para adicionar ou subtrair números racionais na forma de fração
devemos observar os seus denominadores. Se os denominadores
são iguais, efetuamos as operações e conservamos o mesmo
denominador. Se os denominadores são diferentes, reduzimos ao
mesmo denominador usando o m.m.c. e depois procedemos como
no caso anterior.
Ex:
1) −1 + 8 = 7
Este é o símbolo de raiz ou sinal de raiz ou simplesmente
3
5
25 = 5 porque 52=5.5=25
27 = 3 porque 33= 3.3.3=27
32 = 2 porque 25= 2.2.2.2.2=32
Expressões numéricas
3
Para resolver uma expressão numérica efetuamos as operações
obedecendo a seguinte ordem:
1º) Potenciação e radiciação na ordem em que aparecem
2º) Multiplicação e divisão na ordem em que aparecem
3º) Adição e subtração na ordem em que aparecem.
2)
3
6 3
24 15
9
=
( o mmc entre 5 e 4 é 20)
− =
−
5 4
20 20
20
Multiplicação e divisão com números fracionários
Há expressões em que aparecem os sinais de associação que
devem ser eliminados na seguinte ordem:
1º) ( ) parênteses
2º) [ ] colchetes
3º) { } chaves
Para multiplicar números racionais na forma de fração, devemos
multiplicar os numeradores, multiplicar os denominadores, usar
a regra de sinais quando necessário e quando possível fazer a
simplificação.
Ex:
−4 3
−12
.
5 7 = 35 (nesse caso o resultado é uma fração
irredutível, pois não pode ser simplificada).
Ex: Resolver a expressão:
[(5² - 6.2²). 3 + (13 – 7)²: 3]: 5 =
= [(25 – 6.4). 3 + 6²: 3]: 5 =
= [(25 – 24). 3 + 36: 3]: 5 =
= [1.3 + 12]: 5 =
= [3 + 12]: 5 =
= 15: 5 = 3
Didatismo e Conhecimento
3
7 5 2
1
− =
4 4 4 = 2 (nesse caso o resultado foi simplificado
dividindo o numerador
e o denominador por 2).
9
MATEMÁTICA
Para dividir números racionais na forma de fração, devemos
multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, usando
também a regra de sinais e a simplificação do resultado quando
possível.
Ex:
MÚLTIPLOS E DIVISORES.
DIVISIBILIDADE.
3 2
3 3
9
: = . =
5 3
5 2
10
Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30.
Podemos dizer então que:
−5 3 −5 2 −10 −5
: =
. =
=
4 2 4 3 12
6
“30 é divisível por 6 porque existe um numero natural (5) que
multiplicado por 6 dá como resultado 30.”
Um numero natural a é divisível por um numero natural b,
não-nulo, se existir um número natural c, tal que c . b = a.
Potenciação e radiciação com números fracionários
Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que:
30 é múltiplo de 6, e 6 é divisor de 30.
Resolver uma potenciação de fração é calcular a potência do
numerador e do denominador de acordo com o expoente.
⎛ −3 ⎞
2
+9
Ex: ⎝⎜ 7 ⎠⎟ = 49 (elevamos o numerador -3 e o denominador
7 ao expoente 2, lembrando que número negativo elevado a
expoente par dá resultado positivo) Extrair a raiz quadrada de uma
fração é encontrar a raiz do numerador e do denominador. Ex:
Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido
multiplicando-se esse número pela sucessão dos números naturais:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo,
multiplicamos por 7 cada um dos números da sucessão dos
naturais:
9
9
3
=
=
16
16 4
Números decimais
7x0=0
7x1=7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
Os números decimais exatos e as dízimas periódicas também
pertencem ao conjunto Q.
Adição e subtração com decimais: Na adição ou subtração
com decimais devemos escrever as parcela colocando vírgula
embaixo de vírgula, e resolver a operação.
Ex: 4,879 + 13,14 → Parcelas 13, 140 → Acrescentamos o
zero para completar casas decimais.+4,879 + 18,019 → Soma
total.
O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o
conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 14, 21, 28,...}.
Observações:
Multiplicação e divisão com decimais: Na multiplicação
de números decimais, multiplicamos os números sem considerar
a vírgula e colocamos a vírgula no resultado contando as casas
decimais dos dois fatores:
Ex: 2,35 x 4,3 = 10,105 (no resultado temos 3 casas decimais
pois são 2 casas no fator 2,35 e uma casa no fator 4,3).
Na divisão igualamos as casas decimais, cortamos as vírgulas
e resolvemos a divisão.
Ex: 1,4: 0,05
Igualamos as casas decimais: 1,40: 0,05
Cortamos as vírgulas
140: 5
Resolvemos a divisão
140:5 = 28
Potenciação e radiciação com decimais: Para elevar um
número decimal a um expoente dado, procedemos como a potência
com número inteiro, respeitando a regra de sinais da multiplicação.
Lembrar que potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.
3
Ex: (3,2) = (3,2). (3,2). (3,2) = 32,768
- Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
- Todo número natural é múltiplo de 1.
- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos
múltiplos.
- O zero é múltiplo de qualquer número natural.
- Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares,
e a fórmula geral desses números é 2 k (k ∈ N). Os demais são
chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números
é 2 k + 1 (k ∈ N).
Critérios de divisibilidade: São regras práticas que nos
possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem
efetuarmos a divisão.
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando
termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando ele é par.
Exemplos:
a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6.
b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1.
Para calcular a raiz quadrada de um número decimal podemos
transformá-lo em uma fração e depois calcular.
16
Ex: 0,16 = 100 =
4
= 0,4
10
Didatismo e Conhecimento
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a
soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3.
10
MATEMÁTICA
Exemplos:
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando
a soma dos valores absolutos de seus algarismos formam um
número divisível por 9.
a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é
divisível por 3.
b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e
17 não é divisível por 3.
Exemplos:
a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 =
27 é divisível por 9.
b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 =
14 não é divisível por 9.
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando
seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 4.
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando
termina em zero.
Exemplos:
a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00.
b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é
divisível por 4.
c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não
é divisível por 4.
Exemplos:
a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero.
b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero.
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando
a diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a soma
dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por
11.
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando
termina em 0 ou 5.
Exemplos:
a) 1º 3º 5º  Algarismos de posição ímpar.(Soma dos
algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 15.)
4 3 8 1 3
2º 4º  Algarismos de posição par.(Soma dos algarismos
de posição par:3 + 1 = 4)
Exemplos:
a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0.
b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5.
c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4.
15 – 4 = 11  diferença divisível por 11. Logo 43813 é
divisível por 11.
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é
divisível por 2 e por 3.
b) 1º 3º 5º 7º  (Soma dos algarismos de posição
ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19)
8 3 4 1 5 7 2 1
2º 4º 6º 8º  (Soma dos algarismos de posição
par:3 + 1 + 7 + 1 = 12)
Exemplos:
a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 +
3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18).
b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 (8 +
0 + 5 + 3 + 0 = 16).
c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2.
19 – 12 = 7  diferença que não é divisível por 11. Logo
83415721 não é divisível por 11.
Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando a
diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado
pelos demais algarismos resulta um número divisível por 7
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando
é divisível por 3 e por 4.
Exemplos:
a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 +
2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24).
b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 4
(termina em 11).
c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 ( 8
+ 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22).
Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos conferir: 9+9=18 4190-18=4172 2+2=4 417-4=413 3+3=6 41-6=35 que
dividido por 7 é igual a 5.
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando
seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número
divisível por 8.
Exemplos:
Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando
é divisível por 3 e por 5.
a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos
são 000.
b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos
formam o número 24, que é divisível por 8.
c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos
formam o número 125, que não é divisível por 8.
Didatismo e Conhecimento
Exemplos:
a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0
+ 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0).
b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5
(termina em 2).
c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 ( 6
+ 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25).
11
MATEMÁTICA
Exercícios
5) Resposta “Divisíveis: b, c, d”.
Solução:
a) 23418: Termina em 18, e 18 não é divisível por 4.
b) 65000: Termina em 00, e logo, é divisível por 4.
c) 38036: Termina em 36, portanto é divisível por 4.
d) 24004: Termina em 4, e assim é divisível por 4.
e) 58617: Termina em 17, e 17 não é divisível por 4.
1. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 5
menores que 30.
2. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 8
compreendidos entre 30 e 50.
3. Qual é o menor número que devemos somar a 36 para obter
um múltiplo de 7?
6) Resposta “14”.
Solução:
7 x 2 = 14.
4. Como são chamados os múltiplos de 2?
7) Resposta “72”.
Solução: Sabemos que um automóvel tem 4 rodas. Então, o
número que contarmos deve ser múltiplo de 4. Logo, 42 não pode
ser o resultado, pois ele não é múltiplo de 4. Já o 72 pode ser.
5. Verifique se os números abaixo são divisíveis por 4.
a) 23418
b) 65000
c) 38036
d) 24004
e) 58617
8) Resposta “0, 9, 18, 27, 36”.
Solução:
9x0=0
9x1=9
9 x 2 = 18
9 x 3 = 27
9 x 4 = 36
6. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 7
maiores que 10 e menores que 20.
7. Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você
contar as rodas dos automóveis, o resultado pode ser 42? Pode
ser 72? Por quê?
9) Resposta “0, 24, 48, 72, 96”.
Solução: Nesse caso todos são os divisores comuns de 8 e 12.
8. Escreva os 5 primeiro múltiplos de 9.
10) Solução:
a) Sim, pois 24 termina em 4, que é um número par
b) Sim, pois se dividirmos 52 por 4, dará um número inteiro.
c) Não, pois se dividirmos 50 por 8, não dará um número
inteiro.
d) Sim, pois se dividirmos 1995 por 133, dará um número
inteiro.
9. Escreva as 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de 12.
10. Responda sim ou não:
a) 24 é múltiplo de 2? b) 52 é múltiplo de 4? c) 50 é múltiplo de 8? d) 1995 é múltiplo de 133?
Respostas
LINGUAGEM ALGÉBRICA;
CÁLCULO ALGÉBRICO;
1) Resposta “0, 5, 10, 15, 20, 25”.
Solução:
5x0=0
5x1=5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
5 x 4 = 20
5 x 5 = 25
Expressões Algébricas são aquelas que contêm números e
letras.
Ex: 2ax²+bx
Variáveis são as letras das expressões algébricas que representam um número real e que de princípio não possuem um valor
definido.
Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que
obtemos substituindo as variáveis por números e efetuamos suas
operações.
2) Resposta “32, 40, 48”.
Solução:
8 x 4 = 32
8 x 5 = 40
8 x 6 = 48
Ex: Sendo x =1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da
expressão:
x² + y » 1² + 2 =3 Portando o valor numérico da expressão
é 3.
3) Resposta “6”.
Solução: 36 + 6 = 42. Pois, o número 42 é divisível por 7.
4) Resposta “Pares”.
Os Múltiplos de 2 são chamados de pares: 2 k (k ∈ N)
Didatismo e Conhecimento
12
MATEMÁTICA
Monômio: os números e letras estão ligados apenas por produtos.
Ex : 4x
Adição e subtração de monômios
Só podemos efetuar a adição e subtração de monômios entre
termos semelhantes. E quando os termos envolvidos na operação
de adição ou subtração não forem semelhantes, deixamos apenas
a operação indicada.
Veja:
Dado os termos 5xy2, 20xy2, como os dois termos são
semelhantes eu posso efetuar a adição e a subtração deles.
5xy2 + 20xy2 devemos somar apenas os coeficientes e
conservar a parte literal.
25 xy2
5xy2 - 20xy2 devemos subtrair apenas os coeficientes e
conservar a parte literal.
- 15 xy2
Polinômio: é a soma ou subtração de monômios. Ex: 4x+2y
Termos semelhantes: são aqueles que possuem partes literais
iguais ( variáveis )
Ex: 2 x³ y² z e 3 x³ y² z » são termos semelhantes pois possuem a mesma parte literal.
Adição e Subtração de expressões algébricas
Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algébricas, basta somar ou subtrair os termos semelhantes.
Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou 2 x³ y² z - 3x³ y² z
= -x³ y² z
Veja alguns exemplos:
- x2 - 2x2 + x2 como os coeficientes são frações devemos tirar
o mmc de 62 e 9. 2
3x - 4 x + 18 x2
18
17x2
18
Convém lembrar dos jogos de sinais.
Na expressão ( x³ + 2 y² + 1 ) – ( y ² - 2 ) = x³ +2 y² + 1 – y²
+ 2 = x³ + y² +3
Multiplicação e Divisão de expressões algébricas
Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos
usar a propriedade distributiva.
Exemplos:
1) a ( x+y ) = ax + ay
2) (a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by
3) x ( x ² + y ) = x³ + xy
- 4x2 + 12y3 – 7y3 – 5x2 devemos primeiro unir os termos
semelhantes. 12y3 – 7y3 + 4x2 – 5x2 agora efetuamos a soma e a
subtração.
-5y3 – x2 como os dois termos restantes não são semelhantes,
devemos deixar apenas indicado à operação dos monômios.
Reduza os termos semelhantes na expressão 4x2 – 5x -3x +
2x2. Depois calcule o seu valor numérico da expressão. 4x2 – 5x
- 3x + 2x2 reduzindo os termos semelhantes. 4x2 + 2x2 – 5x - 3x
6x2 - 8x os termos estão reduzidos, agora vamos achar o valor
numérico dessa expressão.
Para calcularmos o valor numérico de uma expressão devemos
ter o valor de sua incógnita, que no caso do exercício é a letra x.
Vamos supor que x = - 2, então substituindo no lugar do x o
-2 termos:
Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a
base e somamos os expoentes.
Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair
os expoentes
Exemplos:
1) 4x² : 2 x = 2 x
2) ( 6 x³ - 8 x ) : 2 x = 3 x² - 4
3) (x4 - 5x3 + 9x2 - 7x+2) :(x2 - 2x + 1) = x2 - 3x +2
Resolução:
6x2 - 8x
6 . (-2)2 – 8 . (-2) =
6 . 4 + 16 =
24 + 16
40
x4 - 5x3 + 9x2 - 7x+2 x2 - 2x + 1
x2 - 3x + 2
-x4 + 2x3 - x2
-3x3 + 8x2 -7x
3x3 - 6x2 -3x
2x2 - 4x + 2
-2x2 + 4x - 2
0
Multiplicação de monômios
Para multiplicarmos monômios não é necessário que eles sejam
semelhantes, basta multiplicarmos coeficiente com coeficiente e
parte literal com parte literal. Sendo que quando multiplicamos
as partes literais devemos usar a propriedade da potência que diz:
am . an = am + n (bases iguais na multiplicação repetimos a base e
somamos os expoentes).
Para iniciarmos as operações devemos saber o que são termos
semelhantes.
Dizemos que um termo é semelhante do outro quando suas
partes literais são idênticas.
(3a2b) . (- 5ab3) na multiplicação dos dois monômios, devemos
multiplicar os coeficientes 3 . (-5) e na parte literal multiplicamos
as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade am
. an = am + n.
Veja: 5x2 e 42x são dois termos, as suas partes literais são x2 e x, as
letras são iguais, mas o expoente não, então esses termos não são
semelhantes. 7ab2 e 20ab2 são dois termos, suas partes literais são ab2 e ab2,
observamos que elas são idênticas, então podemos dizer que são
semelhantes.
Didatismo e Conhecimento
3 . ( - 5) . a2 . a . b . b3
-15 a2 +1 b1 + 3
-15 a3b4
13
MATEMÁTICA
Divisão de monômios
Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente
do terceiro termo do item (d) acima teríamos:
5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2
por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do
terceiro termo procurado.
Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0
e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é
10 a3b2 (observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de
b cresceu de 1 para 2).
Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio
de Newton (a + b)7 será:
(a + b)7 = a7 + 7 a6b + 21 a5b2 + 35 a4b3 + 35 a3b4 + 21 a2b5 +
6
7 ab + b7
Para dividirmos os monômios não é necessário que eles sejam
semelhantes, basta dividirmos coeficiente com coeficiente e parte
literal com parte literal. Sendo que quando dividirmos as partes
literais devemos usar a propriedade da potência que diz: am : an
= am - n (bases iguais na divisão repetimos a base e diminuímos os
expoentes), sendo que a ≠ 0.
(-20x2y3) : (- 4xy3) na divisão dos dois monômios, devemos
dividir os coeficientes -20 e - 4 e na parte literal dividirmos as que
têm mesma base para que possamos usar a propriedade am : an =
am – n.
-20 : (– 4) . x2 : x . y3 : y3
5 x2 – 1 y3 – 3
5x1y0
5x
Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21
a2b5) ?
Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos
35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela
ordem do termo que é 5.
Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sexto termo, conforme
se vê acima.
Potenciação de monômios
Na potenciação de monômios devemos novamente utilizar
uma propriedade da potenciação:
(I) (a . b)m = am . bm
(II) (am)n = am . n
Veja alguns exemplos:
(-5x2b6)2 aplicando a propriedade
Observações:
1) o desenvolvimento do binômio (a + b)n é um polinômio.
2) o desenvolvimento de (a + b)n possui n + 1 termos .
3) os coeficientes dos termos equidistantes dos extremos , no
desenvolvimento De (a + b)n são iguais .
4) a soma dos coeficientes de (a + b)n é igual a 2n .
(I). (-5)2 . (x2)2 . (b6)2 aplicando a propriedade
(II) 25 . x4 . b12 25x4b12
Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton
Binômio
Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de (a+b)n , sendo
p um número natural, é dado por
Denomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da forma
(a + b)n , sendo n um número natural .
⎛ n⎞
T p+1 = ⎜ ⎟ .a n− p .b p
⎝ p⎠
Exemplo: B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).
onde
Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton :
⎛ n⎞
n!
⎜⎝ p ⎟⎠ = Cn. p = p!(n − p)!
a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b) (a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3ab2 + b3
c) (a + b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4
d) (a + b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5ab4 + b5
é denominado Número Binomial e Cn.p é o número de combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o número
de combinações simples de n elementos de taxa p.
Este número é também conhecido como Número Combinatório.
Nota:
Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas
possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos:
Vamos tomar, por exemplo, o item (d) acima:
Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são
iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5.
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos
a partir da seguinte regra prática de fácil memorização:
Didatismo e Conhecimento
Exercícios
1. Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9, desenvolvido
segundo as potências decrescentes de x.
2. Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8?
14
MATEMÁTICA
3. Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)3n, obtemos um polinômio de 16 termos. Qual o valor de n?
3) Resposta “5”.
Solução: Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos, então o expoente do binômio é igual a 15.
Logo,
3n = 15 de onde se conclui que n = 5.
4. Determine o termo independente de x no desenvolvimento
de (x + 1/x )6.
5. Calcule: (3x²+2x-1) + (-2x²+4x+2).
4) Resposta “20”.
Solução: Sabemos que o termo independente de x é aquele
que não depende de x, ou seja, aquele que não possui x.
Temos no problema dado:
a=x
6. Efetue e simplifique o seguinte calculo algébrico: (2x+3).
(4x+1).
7. Efetue e simplifique os seguintes cálculos algébricos:
a) (x - y).(x² - xy + y²)
b) (3x - y).(3x + y).(2x - y)
b=
8. Dada a expressão algébrica bc – b2, determine o seu valor
numérico quando b = 2,2 e c = 1,8.
n = 6.
Pela fórmula do termo geral, podemos escrever:
9. Calcule o valor numérico da expressão 2x3 – 10y, quando
x = -3 e y = -4.
Tp+1 = C6,p . x6-p . ( 1 )p = C6,p . x6-p . x-p = C6,p . x6-2p.
x
10. Um caderno curta y reais. Gláucia comprou 4 cadernos,
Cristina comprou 6 cadernos, e Karina comprou 3. Qual é o monômio que expressa a quantia que as três gastaram juntas?
Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente desta variável deve ser zero, pois x0 = 1.
Logo, fazendo 6 - 2p = 0, obtemos p = 3. Substituindo então p
por 6, teremos o termo procurado. Temos então:
6!
T3+1 = T4 = C6,3 . x0 = C6,3 =
= 6.5.4.3! =20
[(6-3)!.3!]
3!.2.1
Respostas
1) Resposta “672x3”.
Solução: Primeiro temos que aplicar a fórmula do termo geral
de (a + b)n, onde:
a = 2x
b=1
n=9
Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do
termo geral e efetuamos os cálculos indicados.
Temos então:
9!
T6+1 = T7 = C9,6 . (2x)9-6 × (1)6 =
×(2x)3×1=
[(9-6)! x6!]
9.8.7.6!
×8x³=672x³
3.2.1.6!
Logo, o termo independente de x é o T4 (quarto termo) que é
igual a 20.
5) Solução:
(3x²+2x-1) + (-2x²+4x+2)
3x² + 2x – 1 – 2x² + 4x + 2 =
x² + 6x + 1
6) Solução:
(2x+3).(4x+1)
8x² + 2x + 12x + 3 =
8x² + 14x + 3
Portanto o sétimo termo procurado é 672x3.
2) Resposta “90720x4y4”.
Solução: Temos:
a = 2x
b = 3y
n=8
Sabemos que o desenvolvimento do binômio terá 9 termos,
porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 os termos do
desenvolvimento do binômio, o termo do meio (termo médio) será
o T5 (quinto termo).
7) a - Solução:
(x - y).(x² - xy + y²)
x³ - x²y + xy² - x²y + xy² - y³ =
x³ - 2x²y + 2xy² - y³ =
b - Solução:
(3x - y).(3x + y).(2x - y)
(3x - y).(6x² - 3xy + 2xy - y²) =
(3x - y).(6x² - xy - y²) =
18x³ - 3x²y - 3xy² - 6x²y + xy² + y³ =
18x³ - 9x²y - 2xy² + y³
Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5. Para
isto, basta fazer p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos decorrentes. Teremos:
T4+1 = T5 = C8,4 . (2x)8-4 . (3y)4 =
8.7.6.5.4! . 16x4 . 81y4
(4!.4.3.2.1
Fazendo as contas vem: 
8!
[(8-4)! .4!]
8) Resposta “-0,88”.
Solução:
bc – b2 =
2,2 . 1,8 – 2,22 = (Substituímos as letras pelos valores passados no enunciado)
3,96 – 4,84 =
-0,88.
Portanto, o valor procurado é 0,88.
. (2x)4 . (3y)4 =
T5 = 70.16.81.x4 . y4 = 90720x4y4 , que é o termo médio procurado.
Didatismo e Conhecimento
1
x
15
MATEMÁTICA
Exemplo 2
9) Resposta “-14”.
Solução:
2x3 – 10y =
2.(-3)² - 10.(-4) = (Substituímos as letras pelos valores do
enunciado da questão)
2.(27) – 10.(-4) =
(-54) – (-40) =
-54 + 40 = -14.
Portanto -14 é o valor procurado na questão.
2
1
Resolução da equação 1 – 3x +
=x+
, efetuando a
5
2
mesma operação nos dois lados da igualdade.
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados
da equação por mmc (2;5) = 10. Dessa forma, são eliminados
os denominadores. Fazemos as simplificações e os cálculos
necessários e isolamos x, sempre efetuando a mesma operação nos
dois lados da igualdade. No registro, as operações feitas nos dois
lados da igualdade são indicadas com as setas curvas verticais.
10) Resposta “13y reais”.
Solução: Como Gláucia gastou 4y reais, Cristina 6y reais e
Karina 3y reais, podemos expressar essas quantias juntas por:
Registro
1 – 3x + 2/5 = x + 1 /2
10 – 30x + 4 = 10x + 5
-30x - 10x = 5 - 10 - 4
-40x = +9(-1)
40x = 9
x = 9/40
x = 0,225
4y + 6y + 3y =
(4 + 6 + 3)y =
13y
Importante: Numa expressão algébrica, se todos os monômios
ou termos são semelhantes, podemos tornar mais simples a expressão somando algebricamente os coeficientes numéricos e mantendo a parte literal.
Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia
nessas ideias e na percepção de um padrão visual.
- Se a + b = c, conclui-se que a = c + b.
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado
esquerdo; na segunda, a parcela b aparece subtraindo no lado
direito da igualdade.
- Se a . b = c, conclui-se que a = c + b, desde que b ≠ 0.
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no
lado esquerdo; na segunda, ele aparece dividindo no lado direito
da igualdade.
O processo prático pode ser formulado assim:
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com
incógnita de um lado da igualdade e os demais termos do outro
lado.
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação.
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES;
Equação do 1º Grau
Veja estas equações, nas quais há apenas uma incógnita:
3x – 2 = 16 (equação de 1º grau)
2y3 – 5y = 11 (equação de 3º grau)
1 – 3x +
2
5
=x+ 1
2
Exemplo
(equação de 1º grau)
Resolução da equação
processo prático.
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é
isolando a incógnita, isto é, deixar a incógnita sozinha em um dos
lados da igualdade. Para conseguir isso, há dois recursos:
- inverter operações;
- efetuar a mesma operação nos dois lados da igualdade.
Procedimento e justificativa: Iniciamos da forma habitual,
multiplicando os dois lados pelo mmc (2;3) = 6. A seguir, passamos
a efetuar os cálculos indicados. Neste ponto, passamos a usar o
processo prático, colocando termos com a incógnita à esquerda e
números à direita, invertendo operações.
Exemplo 1
Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações.
Registro
5(x+2) (x+2) . (x-3) x2
=
3
3
2
2
(x+2)
.
(x-3)
5(x+2)
6.
- 6.
= 6. x
3
3
2
15(x + 2) – 2(x + 2)(x – 3) = – 2x2
15x + 30 – 2(x2 – 3x + 2x – 6) = – 2x2
15x + 30 – 2(x2 – x – 6) = – 2x2
15x + 30 – 2x2 + 2x + 12 = – 2x2
17x – 2x2 + 42 = – 2x2
17x – 2x2 + 2x2 = – 42
17x =42
– 42
x=17
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que
3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a subtração). Se 3x é igual a 18,
é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação
por 3).
Registro
3x – 2 = 16
3x = 16 + 2
3x = 18
18
x=
x = 63
Didatismo e Conhecimento
5(x+2) (x+2) . (x-3) x2
=
- , usando o
3
2
3
16
MATEMÁTICA
Note que, de início, essa última
equação aparentava ser de
x2
2º grau por causa do termo no seu lado direito. Entretanto,
3 que foi reduzida a uma equação
depois das simplificações, vimos
de 1º grau (17x = – 42).
2) Resposta “
”
Solução:
Exercícios
1. Resolva a seguinte equação:
x-1 x+3
x-4
= 2x 2
3
4
2. Resolva:
3. Calcule:
a) -3x – 5 = 25
3) Solução:
b) 2x - 1 = 3
2
a) -3x – 5 = 25
-3x = 25 + 5
(-1) -3x = 30
3x = -30
- 30
x=
= -10
3
c) 3x + 24 = -5x
4. Existem três números inteiros consecutivos com soma igual
a 393. Que números são esses?
5. Determine um número real “a” para que as expressões (3a
+ 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.
1 =3
2
2(2x) - 1 = 6
2
b) 2x -
6. Determine o valor da incógnita x:
a) 2x – 8 = 10
b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)
4x – 1 = 6
4x = 6 + 1
4x = 7
7. Verifique se três é raiz de 5x – 3 = 2x + 6.
8. Verifique se -2 é raiz de x² – 3x = x – 6.
x=
9. Quando o número x na equação ( k – 3 ).x + ( 2k – 5 ).4 +
4k = 0 vale 3, qual será o valor de K?
c) 3x + 24 = -5x
3x + 5x = -24
8x = -24
10. Resolva as equações a seguir:
a)18x - 43 = 65
b) 23x - 16 = 14 - 17x
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20
x=
-31
”
17
Solução:
x+3
x-4
x-1
= 2x 4
3
2
5) Resposta “22”.
Solução:
(3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 6
6 (3a + 6) = 8 (2a + 10)
18a + 36 = 16a + 80
2a = 44
a = 44/2 = 22
6(x - 1) - 3(x + 3) = 24x - 4(x - 4)
12
6x – 6 – 3x – 9 = 24x – 4x + 16
6x – 3x – 24x + 4x = 16 + 9 + 6
10 x – 27x = 31
(-1) - 17x = 31
x = -31
17
Didatismo e Conhecimento
- 24
= -3
8
4) Resposta “130; 131 e 132”.
Solução:
x + (x + 1) + (x + 2) = 393
3x + 3 = 393
3x = 390
x = 130
Então, os números procurados são: 130, 131 e 132.
Respostas
1) Resposta “ x =
7
4
17
MATEMÁTICA
6) Solução:
a) 2x – 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 → V = {9}
b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)
3 –7 + 14x = 5 – x – 9
14x + x = 5 – 9 – 3 + 7
15x= 0
x = 0 → V= {0}
Exemplos
5x2 – 8x + 3 = 0 é uma equação completa (a = 5, b = – 8, c = 3).
y2 + 12y + 20 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = 12, c
= 20).
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se
diz incompleta.
Exemplos
x2 – 81 = 0 é uma equação incompleta (a = 1, b = 0 e c = – 81).
10t2 +2t = 0 é uma equação incompleta (a = 10, b = 2 e c = 0).
5y2 = 0 é uma equação incompleta (a = 5, b = 0 e c = 0).
7) Resposta “Verdadeira”.
Solução:
5x – 3 = 2x + 6
5.3 – 3 = 2.3 + 6
15 – 3 = 6 + 6
12 = 12 → verdadeira
Então 3 é raiz de 5x – 3 = 2x + 6
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c
= 0, que é denominada forma normal ou forma reduzida de uma
equação do 2º grau com uma incógnita.
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas
na forma ax2 + bx + c = 0; por meio de transformações convenientes,
em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos
reduzi-las a essa forma.
8) Resposta “Errada”.
Solução:
x2 – 3x = x – 6
(-2)2 – 3. (-2) = - 2 - 6
4+6=-2–6
10 = -8
Então, -2 não é raiz de x2 – 3x = x – 6
Exemplo: Pelo princípio aditivo.
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0
3x2 – 7x + 3 = 0
29
9) Resposta “ k =
”
15
Solução:
(k – 3).3 + (2k – 5).4 + 4k = 0
3k – 9 + 8k – 20 + 4k = 0
3k + 8k + 4k = 9 + 20
15k = 29
k = 29
15
10) Resposta
a) 18x = 65 + 43
18x = 108
x = 108/18
x = 6
Exemplo: Pelo princípio multiplicativo.
2 1
x
=
x 2
x-4
4.(x - 4) - x(x - 4)
2x2
=
2x(x - 4)
2x(x - 4)
4(x – 4) – x(x – 4) = 2x2
4x – 16 – x2 + 4x = 2x2
– x2 + 8x – 16 = 2x2
– x2 – 2x2 + 8x – 16 = 0
– 3x2 + 8x – 16 = 0
b) 23x = 14 - 17x + 16
23x + 17x = 30
40x = 30
x = 30/40 = ¾
Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma
incógnita.
- A equação é da forma ax2 + bx = 0.
x2 + 9 = 0 ⇒ colocamos x em evidência
x . (x – 9) = 0
x=0
ou
x–9=0
x=9
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação.
c) 10y - 5 - 5y = 6y - 6 -20
5y - 6y = -26 + 5
-y = -21
y = 21
Equação do 2º Grau
- A equação é da forma ax2 + c = 0.
Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x toda equação
da forma ax2 + bx + c = 0, em que a, b, c são números reais e a ≠ 0.
Nas equações de 2º grau com uma incógnita, os números reais
expressos por a, b, c são chamados coeficientes da equação:
- a é sempre o coeficiente do termo em x2.
- b é sempre o coeficiente do termo em x.
- c é sempre o coeficiente ou termo independente.
Equação completa e incompleta:
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa.
Didatismo e Conhecimento
x2 – 16 = 0 ⇒ Fatoramos o primeiro membro, que é uma
diferença de dois quadrados.
(x + 4) . (x – 4) = 0
x+4=0
x–4=0
x=–4
x=4
Logo, S = {–4, 4}.
18
MATEMÁTICA
Fórmula de Bhaskara
Usando o processo de Bhaskara e partindo da equação escrita
na sua forma normal, foi possível chegar a uma fórmula que vai
nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação
do 2º grau de maneira mais simples.
por:
Então: S = {-4, 2}.
Exercícios
Δ
-b +- √
2.a
1. Se x2 = – 4x, então:
a) x = 2 ou x = 1
b) x = 3 ou x = – 1
c) x = 0 ou x = 2
d) x = 0 ou x = – 4
e) x = 4 ou x = – 1
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender
do discriminante r; temos então, três casos a estudar.
1º caso: Δ é um número real positivo ( Δ > 0).
Δ é um número real, e existem dois valores reais
Neste caso, √
diferentes para a incógnita x, sendo costume representar esses
valores por x’ e x”, que constituem as raízes da equação.
Δ
-b + √
x= 2.a
2. As raízes reais da equação 1,5x2 + 0,1x = 0,6 são:
a) 2 e 1
5
b) 3 e 2
5
3
3
c) e- 2
5
5
d) - 2 e 2
5
3
e) 3 e - 2
5
3
Δ
-b + √
x’ =
2.a
Δ
-b - √
x’’ =
2.a
2º caso: Δ é zero ( Δ = 0).
Δ é igual a zero e ocorre:
Neste caso, √
x=
0 -b +- √
Δ x = -b +- √
0 -b
-b +- √
=
=
= 2a
2.a
2.a
2.a
3. As raízes da equação x3 – 2x2 – 3x = 0 são:
a) –2, 0 e 1
b) –1, 2 e 3
c) – 3, 0 e 1
d) – 1, 0 e 3
e) – 3, 0 e 2
Observamos, então, a existência de um único valor real para
a incógnita x, embora seja costume dizer que a equação tem duas
raízes reais e iguais, ou seja:
x’ = x” =
+ 36
-2 +
Δ -(2) - √
-b +- √
=
= -6
2.a
2
2.(1)
-2 - 6
-2 + 6
-8
4
x’ =
=
=2
x” =
=
= -4
2
2
2
2
x=
Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de
Bhaskara.
x=
Como Δ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes, dadas
-b
2a
4. Verifique se o número 5 é raiz da equação x2 + 6x = 0.
3º caso: Δ é um número real negativo ( Δ < 0).
5. Determine o valor de m na equação x2 + (m + 1)x – 12 = 0
para que as raízes sejam simétricas.
Δ não é um número real, pois não há no conjunto
Neste caso, √
dos números reais a raiz quadrada de um número negativo.
Dizemos então, que não há valores reais para a incógnita x, ou
seja, a equação não tem raízes reais.
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem
duas ou uma única dependem, exclusivamente, do discriminante
Δ= b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão.
6. Determine o valor de p na equação x2 – (2p + 5)x – 1 = 0
para que as raízes sejam simétricas.
7. (U. Caxias do Sul-RS) Se uma das raízes da equação 2x2 –
3px + 40 = 0 é 8, então o valor de p é:
a) 5
13
b)
c) 73
d) –5
e) –7
Na equação ax2 + bx + c = 0
- Δ = b2 – 4.a.c
- Quando Δ ≥ 0, a equação tem raízes reais.
- Quando Δ < 0, a equação não tem raízes reais.
- Δ > 0 (duas raízes diferentes).
- Δ = 0 (uma única raiz).
2
2
8. O número de soluções reais da equação: -6x 2 + 4x = -4,
2x - 3x
com x ≠ 0 e x ≠ 3 é:
2
a) 0
b) 1
c) -2
d) 3
e) 4
Exemplo: Resolver a equação x2 + 2x – 8 = 0 no conjunto R.
temos: a = 1, b = 2 e c = – 8
Δ= b2 – 4.a.c = (2)2 – 4 . (1) . (–8) = 4 + 32 = 36 > 0
Didatismo e Conhecimento
19
MATEMÁTICA
9. O(s) valor(es) de B na equação x2 – Bx + 4 = 0 para que o
discriminante seja igual a 65 é(são):
a) 0
b) 9
c) –9
d) –9 ou 9
e) 16
Ou x2 + 6x = 0
x (x + 6) = 0
x=0 ou x+6=0
x=-6
5) Resposta “-1”.
Solução:
-(m + 1)
S = -b =
=-m-1
1
a
10. Um valor de b, para que a equação 2x2 + bx + 2 = 0 tenha
duas raízes reais e iguais é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Respostas
6) Resposta “ -5/2”.
Solução:
x2 – (2p + 5)x – 1 = 0 (-1)
-x2 +(2p + 5)x + 1 = 0
S=
2.15
=
-1 +- 19 18
-20
3
2
=
=
ou
=30
30
30
5
3
-(2p + 5)
= 2p + 5
-1
P=
c
1
=
= -1
a
-1
8) Resposta “C”.
Solução:
x(-6x + 4x2)
-6x2 + 4x3
=
= -4
2
x(2x - 3)
2x - 3x
-8x + 12 = -6x + 4x2
4x2 + 2x - 12 = 0
Δ = b2 – 4.a.c
Δ = 22 – 4 . 4 . -12
Δ = 4 + 192
Δ = 196
-2 +- √196
x=
=
2.4
Solução
x3 – 2x2 – 3x = 0
x (x2 – 2x – 3) = 0
x=0
x2 – 2x – 3 = 0
Δ = b2 – 4.a.c
Δ = -22 – 4 . 1 . – 3
Δ = 4 + 12
Δ = 16
-(-2) +- √16
2 +- 4
6
-2
x=
=
=
= 3 ou
= -1
2
2
2
2.1
9) Resposta “D”.
Solução:
x2 – Bx + 4 = 0
b2 – 4.a.c
b2 – 4 . 1 . 4
b2 – 16 = 65
b2= 65 + 16
b = √81
b=9
b = -B
B = ±9
4) Resposta “Não”.
Solução:
-b
-6
=
= -6
a
1
=
7) Resposta “C”
Solução:
2x2 – 3px + 40 = 0
282 – 3p8 + 40 = 0
2.64 – 24p + 40 = 0
128 – 24p + 40 = 0
-24p = - 168 (-1)
p = 168/24
p=7
3) Resposta “D”.
S=
-b
a
2p + 5 = 0
2p = -5
p = - 5/2
2) Resposta “E”.
Solução:
1,5x2 + 0,1x = 0,6
1,5x2 + 0,1x - 0,6 = 0 (x10)
15x2 +1x - 6 = 0
Δ = b2 – 4.a.c
Δ = 12 – 4 . 15 . – 6
Δ = 1 + 360
Δ = 361
-1 +- √
361
c -12
=
= -12
1
a
-m-1=0
m = -1
1. Resposta “D”.
Solução:
x2 = – 4x
x2 + 4x = 0
x (x + 4) = 0
x=0
x+4=0
x = -4
x=
P=
P=
0
c
=
=0
1
a
Raízes: {-6,0}
Didatismo e Conhecimento
20
-2 +- 14
8
3
12
-16
=
ou
= -2
2
8
8
MATEMÁTICA
10) Resposta “C”.
Solução:
2x2 + Bx + 2 = 0
b2 – 4.a.c
b2 – 4 . 2 . 2
b2 - 16
b2 = 16
b = √16
b=4
Mudou de sentido
Exemplo: Se 8 > 3, então 8 . (–2) < 3 . (–2), isto é: –16 < –6
Multiplicamos os dois membros por –2
Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou
dividimos seus dois membros por um mesmo número negativo.
Resolver uma inequação é determinar o seu conjunto verdade
a partir de um conjunto universo dado.
Inequação do 1º Grau
Vejamos, através do exemplo, a resolução de inequações do 1º grau.
a) x < 5, sendo U = N
Inequação é toda sentença aberta expressa por uma
desigualdade.
As inequações x + 5 > 12 e 2x – 4 ≤ x + 2 são do 1º grau, isto
é, aquelas em que a variável x aparece com expoente 1.
A expressão à esquerda do sinal de desigualdade chama-se
primeiro membro da inequação. A expressão à direita do sinal de
desigualdade chama-se segundo membro da inequação.
Os números naturais que tornam a desigualdade verdadeira
são: 0, 1, 2, 3 ou 4. Então V = {0, 1, 2, 3, 4}.
b) x < 5, sendo U = Z
Na inequação x + 5 > 12, por exemplo, observamos que:
A variável é x;
O primeiro membro é x + 5;
O segundo membro é 12.
Todo número inteiro menor que 5 satisfaz a desigualdade.
Logo, V = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}.
Na inequação 2x – 4 ≤ x + 2:
A variável é x;
O primeiro membro é 2x – 4;
O segundo membro é x + 2.
c) x < 5, sendo U = Q
Todo número racional menor que 5 é solução da inequação
dada. Como não é possível representar os infinitos números
racionais menores que 5 nomeando seus elementos, nós o faremos
por meio da propriedade que caracteriza seus elementos. Assim:
Propriedades da desigualdade
Propriedade Aditiva:
V = {x ∊ Q / x <5}
Mesmo sentido
Resolução prática de inequações do 1º grau:
Exemplo: Se 8 > 3, então 8 + 2 > 3 + 2, isto é: 10 > 5.
A resolução de inequações do 1º grau é feita procedendo
de maneira semelhante à resolução de equações, ou seja,
transformando cada inequação em outra inequação equivalente
mais simples, até se obter o conjunto verdade.
Somamos +2 aos dois membros da desigualdade
Uma desigualdade não muda de sentido quando adicionamos
ou subtraímos um mesmo número aos seus dois membros.
Exemplo
Resolver a inequação 4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5, sendo U = Q.
4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5
4x – 8 ≤ 6x + 2 + 5
aplicamos a propriedade distributiva
4x – 6x ≤ 2 + 5 + 8
aplicamos a propriedade aditiva
–2x ≤ 15
reduzimos os termos semelhantes
Propriedade Multiplicativa:
Mesmo sentido
Exemplo: Se 8 > 3, então 8 . 2 > 3 . 2, isto é: 16 > 6.
Multiplicando os dois membros por –1, devemos mudar o
sentido da desigualdade.
Multiplicamos os dois membros por 2
Uma desigualdade não muda de sentido quando multiplicamos
ou dividimos seus dois membros por um mesmo número positivo.
Didatismo e Conhecimento
2x ≥ –15
21
MATEMÁTICA
1
Da inequação x > , podemos dizer que todos os números
1
racionais maiores que 3formam o conjunto solução de inequação
3
dada, que é representada
por:
Dividindo os dois membros por 2, obtemos: 2x ≥ − 15 ⇒ x ≥ − 15
2
2
2
15 ⎫
⎧
Logo, V = ⎨ x ∈Q | x ≥ − ⎬
2⎭
⎩
1⎫
⎧
S= ⎨ x ∈Q / x > ⎬
3⎭
⎩
Vamos determinar o conjunto verdade caso tivéssemos U = Z.
Sendo −
15
= −7,5 , vamos indicá-lo na reta numerada:
2
⎧
3⎫
2) Resposta “S = ⎨ x ∈Q / x > ⎬ ”.
2⎭
⎩
Solução:
x 1 2x − 3x 10x 5 − 4.(2 + 3x)
≥ −
→
≤
=
2 4
5
20
20
10x ≤ 5 – 4 .(2 – 3x)
10x ≤ 5 – 8 + 12x
10x – 12 x ≤ -3
-2x ≤ -3
(-1)
2x ≥ 3
x≥ 3
2
Logo, V = {–7, –6, –5, –4, ...} ou V = {x ∊ Z| x ≥ –7}.
Exercícios
1. Resolver a inequação 7x + 6 > 4x + 7, sendo U = Q.
2. Resolver a inequação
x 1 2x − 3x
, sendo U = Q.
≤ −
2 4
5
3
Todo número racional maior ou igual
a faz parte do
2
conjunto solução da inequação dada, ou seja:
3. Verificar se os números racionais −9 e 6 fazem parte do
conjunto solução da inequação 5x − 3 . (x + 6) > x – 14.
⎧
⎩
S= ⎨ x ∈Q / x >
4. Resolva as seguintes inequações, em R.
a) 2x + 1 ≤ x + 6
b) 2 - 3x ≥ x + 14
3) Resposta “6 faz parte; -9 não faz parte”.
Solução:
5x − 3 . (x + 6) > x – 14
5x – 3x – 18 > x – 14
2x – x > -18 + 14
x>4
5. Calcule as seguintes inequações, em R.
a) 2(x + 3) > 3 (1 - x)
b) 3(1 - 2x) < 2(x + 1) + x - 7
c) x/3 - (x+1)/2 < (1 - x) / 4
Fazendo agora a verificação:
- Para o número −9, temos: x > 4 → − 9 > 4 (sentença falsa)
- Para o número 6, temos: x > 4 → 6 > 4 (sentença verdadeira)
Então, o número 6 faz parte do conjunto solução da inequação,
enquanto o número −9 não faz parte desse conjunto.
6. Resolva as seguintes inequações, em R.
a) (x + 3) > (-x-1)
b) [1 - 2*(x-1)] < 2
c) 6x + 3 < 3x + 18
7. Calcule as seguintes inequações, em R.
a) 8(x + 3) > 12 (1 - x)
b) (x + 10) > (-x +6)
4) Solução:
a) 2x - x + 1 ≤ x - x + 6
x+1≤6
x≤5
8. Resolva a inequação: 2 – 4x ≥ x + 17
9. Calcule a inequação 3(x + 4) < 4(2 –x).
10. Quais os valores de x que tornam a inequação -2x +4 > 0 verdadeira?
Respostas
b) 2 - 3x - x ≥ x - x + 14
2 - 4x ≥ 14
-4x ≥ 12
-x≥3
x ≤ -3
5) Solução:
a) 2x + 6 > 3 - 3x
2x - 2x + 6 > 3 - 3x - 2x
6 - 3 > -5x
3 > - 5x
-x < 3/5
x > -3/5 1⎫
⎧
1) Resposta “S= ⎨ x ∈Q / x > ⎬ ”.
3⎭
⎩
Solução:
7x + 6 > 4x + 7
7x – 4x > 7 – 6
3x > 1
x> 1
3
Didatismo e Conhecimento
3⎫
⎬
2⎭
22
MATEMÁTICA
9) Resposta “x > -7/4”.
Solução:
3x + 12 < 8 – 4x
3x – 3x + 12 < 8 – 4x – 3x
12 < 8 – 7x
12 – 8 < – 7x
4 < – 7x
-x > 7/4
x > -7/4
b) 3 - 6x < 2x + 2 + x - 7
-6x - 3x < -8
-9x < -8
9x > 8
x > 8/9
c) Primeiro devemos achar um mesmo denominador.
4x 6.(x + 1) 3.(1− x)
−
<
12
12
12
10) Solução:
-2x > -4
-2x > -4 (-1)
2x < 4
x< 2
O número 2 não é a solução da inequação dada, mais sim qualquer valor menor que 2.
Verifique a solução:
Para x = 1
-2x +4 > 0
-2.(1) +4 > 0
-2 + 4 > 0
2 > 0 (verdadeiro)
Observe, então, que o valor de x menor que 2 é a solução para
inequação.
4x − 6x − 6
3 − 3x
−<
12
12
-2x - 6 < 3 - 3x
x<9
6) Solução:
a) x + 3 > -x - 1
2x > -4
x > -4/2
x > -2
b) 1 - 2x + 2 < 2
- 2x < 2 - 1 - 2
- 2x < -1
2x > 1
x > 1/2
Inequação do 2º Grau
Chamamos inequação do 2º grau às sentenças:
c) 6x - 3x < 18 - 3
3x < 15
x < 15/3
x<5
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ≤ 0
7) Solução:
a) 8x + 24 > 12 - 12x
20x > 12 - 24
20x > -12
x > -12/20
x > -3/5
Onde a, b, c, são números reais conhecidos, a ≠ 0, e x é a
incógnita.
Estudo da variação de sinal da função do 2º grau:
- Não é necessário que tenhamos a posição exata do vértice,
basta que ele esteja do lado certo do eixo x;
- Não é preciso estabelecer o ponto de intersecção do gráfico
da função com o eixo y e considerando que as imagens acima do
eixo x são positivas e abaixo do eixo negativas, podemos dispensar
a colocação do eixo y.
b) x + x > 6 - 10
2x > -4
x > -4/2
x > -2
8) Resposta “x ≤ -3”.
Solução:
2 – 4x – x ≥ x – x + 17
2 – 5x ≥ 17
-5x ≥ 17 – 2
-5x ≥ 15
5x ≤ -15
x ≤ -3
Didatismo e Conhecimento
Para estabelecer a variação de sinal de uma função do 2º grau,
basta conhecer a posição da concavidade da parábola, voltada para
cima ou para baixo, e a existência e quantidade de raízes que ela
apresenta.
Consideremos a função f(x) = ax2 + bx + c com a ≠ 0.
23
MATEMÁTICA
8. Resolva a inequação -x² + 4 ≥ 0.
9. Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela
é completa ou não:
a) x2 - 6x = 0
b) x2 - 10x + 25 = 0
10. Para que os valores de x a expressão x² – 2x é maior
que –15?
Respostas
1) Solução:
a) a = 5; b = -3; c = -2
Equação completa
b) a = 3; b = 0; c = 55
Equação incompleta
Finalmente, tomamos como solução para inequação as regiões
do eixo x que atenderem às exigências da desigualdade.
2) Solução: Sabemos que são duas as raízes, agora basta
testarmos.
Exemplo
(-2)2 – 2.(-2) - 8 = 0 uma das raízes)
Resolver a inequação x2 – 6x + 8 ≥ 0.
- Fazemos y = x2 – 6x + 8.
- Estudamos a variação de sinal da função y.
02 – 2.0 - 8 = 0 12 – 2.1 - 8 = 0 42 – 2.4 - 8 = 0 (-2)2 + 4 - 8 0 - 0 - 8 0
1 - 2 - 8 0
16 - 8 - 8 = 0 (achamos a outra raiz)
3) Solução:
(-3)² - 7.(-3) - 2c = 0
9 +21 - 2c = 0
30 = 2c
c = 15
- Tomamos, como solução da inequação, os valores de x para
os quais y > 0:
S = {x ∈ R| x < 2 ou x > 4}
Observação: Quando o universo para as soluções não é
fornecido, fazemos com que ele seja o conjunto R dos reais.
4) Resposta “S = {x Є R / –7/3 < x < –1}”.
Solução:
Exercícios
1. Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela
é completa ou não:
a) 5x2 - 3x - 2 = 0
b) 3x2 + 55 = 0
2. Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da
equação x2-2x-8= 0?
3. O número -3 é a raíz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas
condições, determine o valor do coeficiente c:
4. Resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.
5. Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0.
6. Calcule a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0.
S = {x Є R / –7/3 < x < –1} 7. Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0.
Didatismo e Conhecimento
4 + 4 - 8 = 0 (achamos
24
MATEMÁTICA
5) Resposta “S = {x Є R / x < –1 ou x > 1/2} ”.
Solução:
8) Resposta “S = {x Є R/ -2 ≤ x ≤ 2}”.
Solução:
-x² + 4 = 0.
x² – 4 = 0.
x1 = 2
x2 = -2
S = {x Є R/ -2 ≤ x ≤ 2}
9) Solução:
a) a = 1; b = -6; c = 0
Equação incompleta
b) a = 1; b = -10; c = 25
Equação completa
10) Solução:
x² – 2x > 15
x² – 2x – 15 > 0
S = {x Є R / x < –1 ou x > 1/2} Calculamos o Zero:
6) Resposta “S = {x Є R / x < 3 e x > 3}”.
Solução:
x² – 2x – 15 = 0
x = -3 ou x = +5
ANOTAÇÕES
S = {x Є R / x < 3 e x > 3} —————————————————————————
7) Resposta “S = {x Є R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}”.
Solução:
—————————————————————————
—————————————————————————
—————————————————————————
—————————————————————————
—————————————————————————
—————————————————————————
—————————————————————————
S = {x Є R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}
Didatismo e Conhecimento
—————————————————————————
25
MATEMÁTICA
Perímetro
Entendendo o que é perímetro.
Imagine uma sala de aula de 5m de largura por 8m de
comprimento.
Quantos metros lineares serão necessários para colocar rodapé
nesta sala, sabendo que a porta mede 1m de largura e que nela não
se coloca rodapé?
ESPAÇO E FORMA: DESCRIÇÃO,
INTERPRETAÇÃO E REPRESENTAÇÃO DA
LOCALIZAÇÃO E MOVIMENTAÇÃO DE
PESSOAS E OBJETOS.
FIGURAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS E
PLANAS: CARACTERÍSTICAS,
PROPRIEDADES, ELEMENTOS
CONSTITUINTES, COMPOSIÇÃO,
DECOMPOSIÇÃO, AMPLIAÇÃO, REDUÇÃO
E REPRESENTAÇÃO;
A Geometria é a parte da matemática que estuda as figuras e
suas propriedades. A geometria estuda figuras abstratas, de uma
perfeição não existente na realidade. Apesar disso, podemos ter
uma boa ideia das figuras geométricas, observando objetos reais,
como o aro da cesta de basquete que sugere uma circunferência,
as portas e janelas que sugerem retângulos e o dado que sugere
um cubo.
A conta que faríamos seria somar todos os lados da sala,
menos 1m da largura da porta, ou seja:
P = (5 + 5 + 8 + 8) – 1
P = 26 – 1
P = 25
Reta, semirreta e segmento de reta
Definições.
a) Segmentos congruentes.
Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida.
b) Ponto médio de um segmento.
Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao
segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.
c) Mediatriz de um segmento.
É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio
Colocaríamos 25m de rodapé.
A soma de todos os lados da planta baixa se chama Perímetro.
Portanto, Perímetro é a soma dos lados de uma figura plana.
Área
Área é a medida de uma superfície.
A área do campo de futebol é a medida de sua superfície
(gramado).
Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma
malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de
quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:
Ângulo
Definições.
a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de
mesma origem.
b) Ângulos congruentes: Dois ângulos são ditos congruentes
se têm a mesma medida.
c) Bissetriz de um ângulo: É a semirreta de origem no vértice
do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes.
Didatismo e Conhecimento
26
MATEMÁTICA
Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de
área.
A unidade de medida da área é: m² (metros quadrados), cm²
(centímetros quadrados), e outros.
Se tivermos uma figura do tipo:
O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro,
só que representado de forma diferente. O cálculo da área do
retângulo pode ficar também da seguinte forma:
A = 6 . 4 A = 24 cm²
Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é:
A=b.h
Quadrado
É o quadrilátero que tem os lados congruentes e todos os
ângulos internos a congruentes (90º).
Sua área será um valor aproximado. Cada
é uma unidade,
então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades.
No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e
para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área.
Retângulo
É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes
e iguais a 90º.
Sua área também é calculada com o produto da base pela
altura. Mas podemos resumir essa fórmula:
No cálculo da área de qualquer retângulo podemos seguir o
raciocínio:
Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é
igual a e a altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b .
h, temos:
A= .
A= ²
Trapézio
É o quadrilátero que tem dois lados paralelos. A altura de um
trapézio é a distância entre as retas suporte de suas bases.
Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada
onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos
que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como
sabemos que a área é a medida da superfície de uma figuras podemos
dizer que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo.
Em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios
dos dois lados não paralelos, é paralelo às bases e vale a média
aritmética dessas bases.
Didatismo e Conhecimento
27
MATEMÁTICA
Cálculo da área do ∆CFD:
A∆2 = b . h
2
Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da
área de um trapézio qualquer:
AT = A∆1 + A∆2
A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo
que é calculada utilizando a seguinte fórmula:
A = b . h (b = base e h = altura).
2
Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais
importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área):
AT = B . h + b . h
2
2
AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evi2
dência, pois é um termo comum aos dois fatores.
AT = h (B + b)
2
Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer
utilizamos a seguinte fórmula:
Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base
menor (b) e por uma altura (h).
Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo
em dois triângulos, veja como:
Primeiro: completamos as alturas no trapézio:
A = h (B + b)
2
h = altura
B = base maior do trapézio
b = base menor do trapézio
Losango
É o quadrilátero que tem os lados congruentes.
Segundo: o dividimos em dois triângulos:
A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos
dois triângulos (∆CFD e ∆CEF).
Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo
separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e
alturas iguais.
Em todo losango as diagonais são:
a) perpendiculares entre si;
b) bissetrizes dos ângulos internos.
A área do losango é definida pela seguinte fórmula:
d .D Onde D é a diagonal maior e d é a menor.
S=
Cálculo da área do ∆CEF:
A∆1 = B . h
2
Didatismo e Conhecimento
28
2
MATEMÁTICA
Triângulo
3) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos
externos é 360º.
Figura geométrica plana com três lados.
4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são
congruentes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o
seu lado diferente.
Ângulo externo. O ângulo externo de qualquer polígono
convexo é o ângulo formado entre um lado e o prolongamento do
outro lado.
Classificação dos triângulos.
a) quanto aos lados:
- triângulo equilátero.
- triângulo isósceles.
- triângulo escaleno.
Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte do lado
oposto.
b) quanto aos ângulos:
- triângulo retângulo.
- triângulo obtusângulo.
- triângulo acutângulo.
Área do triangulo
Propriedades dos triângulos
1) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos
internos é 180º.
Segmentos proporcionais
Teorema de Tales.
2) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à
soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes.
Didatismo e Conhecimento
Em todo feixe de retas paralelas, cortado por uma reta
transversal, a razão entre dois segmento quaisquer de uma
transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da
outra transversal.
29
MATEMÁTICA
Semelhança de triângulos
6. Num cartão retangular, cujo comprimento é igual ao dobro
de sua altura, foram feitos dois vincos AC e BF, que formam, entre
si, um ângulo reto (90°). Observe a figura:
Definição.
Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois
congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais.
Definição mais “popular”.
Dois triângulos são semelhantes se um deles é a redução ou a
ampliação do outro.
Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a
proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois
segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas,
raios das circunferências inscritas, raios das circunferências
circunscritas, perímetros, etc.
Considerando AF=16cm e CB=9cm, determine:
a) as dimensões do cartão;
b) o comprimento do vinco AC
7. Na figura, os ângulos assinalados sao iguais, AC=2 e AB=6.
A medida de AE é:
a)6/5
b)7/4 c)9/5 d)3/2 e)5/4
Exercícios
1. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura
respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro
paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do
outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos paralelogramos?
8. Na figura a seguir, as distâncias dos pontos A e B à reta valem 2 e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os
pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá
estar o ponto E, do segmento CD, para que CÊA=DÊB
a)3
b)4
c)5
d)6
e)7
2. Os lados de um triângulo equilátero medem 5 mm. Qual é a
área deste triângulo equilátero?
3. Qual é a medida da área de um paralelogramo cujas medidas da altura e da base são respectivamente 10 cm e 2 dm?
9. Para ladrilhar uma sala são necessários exatamente 400 peças iguais de cerâmica na forma de um quadrado. Sabendo-se que
a área da sala tem 36m², determine:
a) a área de cada peça, em m².
b) o perímetro de cada peça, em metros.
4. As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é
a medida da sua superfície?
5. Considerando as informações constantes no triangulo PQR,
pode-se concluir que a altura PR desse triângulo mede:
10. Na figura, os ângulos ABC, ACD, CÊD, são retos. Se
AB=2 3 m e CE= 3 m, a razão entre as áreas dos triângulos
ABC e CDE é:
a)6
b)4
c)3
d)2
e) 3
a)5
b)6
c)7
d)8
Didatismo e Conhecimento
30
MATEMÁTICA
Respostas
1. A2 = (2b)(2h) = 4bh = 4A1
2. Segundo o enunciado temos:
l=5mm
Substituindo na fórmula:
l² 3
5² 3
=
S
⇒=
S
= 6, 25 3 ⇒ =
S 10,8
4
4
3. Sabemos que 2 dm equivalem a 20 cm, temos:
h=10
b=20
Substituindo na fórmula:
=
S b=
.h 20.10
= 100cm
=
² 2dm²
4. Para o cálculo da superfície utilizaremos a fórmula que envolve as diagonais, cujos valores temos abaixo:
d1=10
d2=15
Utilizando na fórmula temos:
S=
5.
d1.d 2
10.15
⇒
= 75cm ²
2
2
4
6
36
= ⇒ PR = =6
6
PR 9
x 9
= ⇒ x ² = 144 ⇒ x = 12
16 x
a ) x 12(
altura ); 2 x 24(comprimento)
=
=
6.
b) AC =
9² + x ² =
81 + 144 = 15
7.
Didatismo e Conhecimento
31
MATEMÁTICA
8.
9.
10.
MEDIDAS: PROCEDIMENTOS E
INSTRUMENTOS DE MEDIDA; SISTEMAS
DE MEDIDAS DECIMAIS
(COMPRIMENTO, SUPERFÍCIE, VOLUME,
CAPACIDADE, MASSA E TEMPERATURA)
E CONVERSÕES; MEDIDAS DE TEMPO E
CONVERSÕES;
Sistema de Medidas Decimais
Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre si. O sistema métrico decimal é
hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A
unidade fundamental é o metro, porque dele derivam as demais.
Unidades de Comprimento
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
quilômetro hectômetro decâmetro metro
decímetro centímetro milímetro
1000m
100m
10m
1m
0,1m
0,01m
0,001m
Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema tenha um padrão: cada unidade vale
sempre 10 vezes a unidade menor seguinte.
Por isso, o sistema é chamado decimal.
Didatismo e Conhecimento
32
MATEMÁTICA
E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado com o nome popular de litro.
As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior.
São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são o quilômetro quadrado, o metro
quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades rurais com o nome de hectare (ha): 1 hm2 = 1 ha.
No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 vezes, como nos comprimentos.
Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 = 102.
Unidades de Área
dam2
m2
dm2
decâmetro
metro
decímetro
quadrado quadrado quadrado
100m2
1m2
0,01m2
km2
hm2
quilômetro hectômetro
quadrado
quadrado
1000000m2 10000m2
cm2
mm2
centímetro milímetro
quadrado
quadrado
0,0001m2 0,000001m2
Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro cúbico (hm3), etc. Na prática, são
muitos usados o metro cúbico e o centímetro cúbico.
Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor seguinte. Como 1000 = 103, o sistema
continua sendo decimal.
Unidades de Volume
km
hm
3
3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
quilômetro
cúbico
hectômetro
cúbico
decâmetro
cúbico
metro
cúbico
decímetro
cúbico
centímetro
cúbico
milímetro
cúbico
1000000000m3
1000000m3
1000m3
1m3
0,001m3
0,000001m3
0,000000001m3
A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é de 7 000 litros, dizemos que essa é
a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3.
Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte.
kl
quilolitro
hl
hectolitro
1000l
100l
Unidades de Capacidade
dal
l
dl
decalitro
litro
decilitro
10l
1l
0,1l
cl
centímetro
ml
mililitro
0,01l
0,001l
O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o grama.
Unidades de Massa
kg
hg
quilograma hectograma
1000g
dag
g
dg
cg
mg
decagrama
grama
decigrama
centigrama
miligrama
10g
1g
0,1g
0,01g
0,001g
100g
Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda a tonelada (t): 1t = 1000 kg.
Não Decimais
Desse grupo, o sistema hora – minuto – segundo, que mede intervalos de tempo, é o mais conhecido.
2h = 2 . 60min = 120 min = 120 . 60s = 7 200s
Para passar de uma unidade para a menor seguinte, multiplica-se por 60.
0,3h não indica 30 minutos nem 3 minutos; como 1 décimo de hora corresponde a 6 minutos, conclui-se que 0,3h = 18min.
Para medir ângulos, também temos um sistema não decimal. Nesse caso, a unidade básica é o grau. Na astronomia, na cartografia e na
navegação são necessárias medidas inferiores a 1º. Temos, então:
1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’)
1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”)
Didatismo e Conhecimento
33
MATEMÁTICA
Os minutos e os segundos dos ângulos não são, é claro, os
mesmos do sistema hora – minuto – segundo. Há uma coincidência
de nomes, mas até os símbolos que os indicam são diferentes:
2) Resposta “0, 00348 dl”.
Solução: Como 1 cm3 equivale a 1 ml, é melhor dividirmos 348 mm3 por mil, para obtermos o seu equivalente em centímetros cúbicos: 0,348 cm3.
Logo 348 mm3 equivalem a 0, 348 ml, já que cm3 e ml se equivalem.
1h32min24s é um intervalo de tempo ou um instante do dia.
1º 32’ 24” é a medida de um ângulo.
Por motivos óbvios, cálculos no sistema hora – minuto
– segundo são similares a cálculos no sistema grau – minuto –
segundo, embora esses sistemas correspondam a grandezas
distintas.
Neste ponto já convertemos de uma unidade de medida de
volume, para uma unidade de medida de capacidade.
Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando então passaremos dois níveis à esquerda. Dividiremos então por 10
duas vezes:
Há ainda um sistema não-decimal, criado há algumas
décadas, que vem se tornando conhecido. Ele é usado para
medir a informação armazenada em memória de computadores,
disquetes, discos compacto, etc. As unidades de medida são bytes
(b), kilobytes (kb), megabytes (Mb), etc. Apesar de se usarem os
prefixos “kilo” e “mega”, essas unidades não formam um sistema
decimal.
Um kilobyte equivale a 210 bytes e 1 megabyte equivale a 210
kilobytes.
0,348ml :10 :10 ⇒ 0, 00348dl
Logo, 348 mm³ equivalem a 0, 00348 dl.
3) Resposta “100 dal”.
Solução: Sabemos que 1 m3 equivale a 1.000 l, portanto para
convertermos de litros a decalitros, passaremos um nível à esquerda.
Dividiremos então 1.000 por 10 apenas uma vez:
Exercícios
1000l :10 ⇒ dal
1. Raquel saiu de casa às 13h 45min, caminhando até o
curso de inglês que fica a 15 minutos de sua casa, e chegou na
hora da aula cuja duração é de uma hora e meia. A que horas
terminará a aula de inglês?
a) 14h
b) 14h 30min
c) 15h 15min
d) 15h 30min
e) 15h 45min
Isto equivale a passar a vírgula uma casa para a esquerda.
Poderíamos também raciocinar da seguinte forma:
Como 1 m3 equivale a 1 kl, basta fazermos a conversão de 1
kl para decalitros, quando então passaremos dois níveis à direita.
Multiplicaremos então 1 por 10 duas vezes:
1kl.10.10 ⇒ 100dal
2. 348 mm3 equivalem a quantos decilitros?
Logo, 100 dal equivalem a 1 m³.
3. Quantos decalitros equivalem a 1 m ?
3
4) Resposta “0, 00005 hm²”.
Solução: Para passarmos de decímetros quadrados para hectômetros quadrados, passaremos três níveis à esquerda.
Dividiremos então por 100 três vezes:
4. Passe 50 dm para hectômetros quadrados.
2 5. Quantos quilômetros cúbicos equivalem a 14 mm3?
50dm 2 :100 :100 :100 ⇒ 0, 00005hm 2
6. Quantos centilitros equivalem a 15 hl?
7. Passe 5.200 gramas para quilogramas.
Isto equivale a passar a vírgula seis casas para a esquerda.
8. Converta 2,5 metros em centímetros.
Portanto, 50 dm² é igual a 0, 00005 hm².
5) Resposta“0,000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10km3”. Solução: Para passarmos de milímetros cúbicos para quilômetros cúbicos, passaremos seis níveis à esquerda. Dividiremos então
14 por 1000 seis vezes:
9. Quantos minutos equivalem a 5h05min?
17 10. Quantos minutos se passaram das 9h50min até as
10h35min?
Respostas
14mm3 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000
1) Resposta “D”.
Solução: Basta somarmos todos os valores mencionados no
enunciado do teste, ou seja:
13h 45min + 15 min + 1h 30 min = 15h 30min
⇒ 14 :1018 km3 ⇒ 14.10−18 km
⇒ 1, 4.10−17 km3 ⇒ 0.000000000000000km3
Portanto, 0, 000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-17 km3 se
expresso em notação científica equivalem a 14 mm3.
Logo, a questão correta é a letra D.
Didatismo e Conhecimento
34
MATEMÁTICA
6) Resposta “150.000 cl”.
Solução: Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos
quatro níveis à direita.
Multiplicaremos então 15 por 10 quatro vezes:
colonial. Assim, tudo se contava em réis (plural popular de real)
com moedas fabricadas em Portugal e no Brasil. O Real (R) vigorou até 07 de outubro de 1833. De acordo com a Lei nº 59, de 08
de outubro de 1833, entrou em vigor o Mil-Réis (Rs), múltiplo do
real, como unidade monetária, adotada até 31 de outubro de 1942.
No século XX, o Brasil adotou nove sistemas monetários ou
nove moedas diferentes (mil-réis, cruzeiro, cruzeiro novo, cruzeiro, cruzado, cruzado novo, cruzeiro, cruzeiro real, real).
Por meio do Decreto-Lei nº 4.791, de 05 de outubro de 1942,
uma nova unidade monetária, o cruzeiro – Cr$ veio substituir o
mil-réis, na base de Cr$ 1,00 por mil-réis.
A denominação “cruzeiro” origina-se das moedas de ouro (pesadas em gramas ao título de 900 milésimos de metal e 100 milésimos de liga adequada), emitidas na forma do Decreto nº 5.108,
de 18 de dezembro de 1926, no regime do ouro como padrão monetário.
O Decreto-Lei nº 1, de 13 de novembro de 1965, transformou
o cruzeiro – Cr$ em cruzeiro novo – NCr$, na base de NCr$ 1,00
por Cr$ 1.000. A partir de 15 de maio de 1970 e até 27 de fevereiro
de 1986, a unidade monetária foi novamente o cruzeiro (Cr$).
Em 27 de fevereiro de 1986, Dílson Funaro, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Cruzado (Decreto-Lei nº 2.283, de 27 de
fevereiro de 1986): o cruzeiro – Cr$ se transformou em cruzado –
Cz$, na base de Cz$ 1,00 por Cr$ 1.000 (vigorou de 28 de fevereiro de 1986 a 15 de janeiro de 1989). Em novembro do mesmo ano,
o Plano Cruzado II tentou novamente a estabilização da moeda.
Em junho de 1987, Luiz Carlos Brésser Pereira, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Brésser: um Plano Cruzado “requentado”
avaliou Mário Henrique Simonsen.
Em 15 de janeiro de 1989, Maílson da Nóbrega, ministro da
Fazenda, anunciou o Plano Verão (Medida Provisória nº 32, de 15
de janeiro de 1989): o cruzado – Cz$ se transformou em cruzado
novo – NCz$, na base de NCz$ 1,00 por Cz$ 1.000,00 (vigorou de
16 de janeiro de 1989 a 15 de março de 1990).
Em 15 de março de 1990, Zélia Cardoso de Mello, ministra
da Fazenda, anunciou o Plano Collor (Medida Provisória nº 168,
de 15 de março de 1990): o cruzado novo – NCz$ se transformou
em cruzeiro – Cr$, na base de Cr$ 1,00 por NCz$ 1,00 (vigorou de
16 de março de 1990 a 28 de julho de 1993). Em janeiro de 1991,
a inflação já passava de 20% ao mês, e o Plano Collor II tentou
novamente a estabilização da moeda.
A Medida Provisória nº 336, de 28 de julho de1993, transformou o cruzeiro – Cr$ em cruzeiro real – CR$, na base de CR$ 1,00
por Cr$ 1.000,00 (vigorou de 29 de julho de 1993 a 29 de junho
de 1994).
Em 30 de junho de 1994, Fernando Henrique Cardoso, ministro da Fazenda, anunciou o Plano Real: o cruzeiro real – CR$ se
transformou em real – R$, na base de R$ 1,00 por CR$ 2.750,00
(Medida Provisória nº 542, de 30 de junho de 1994, convertida na
Lei nº 9.069, de 29 de junho de 1995).
O artigo 10, I, da Lei nº 4.595, de 31 de dezembro de 1964, delegou ao Banco Central do Brasil competência para emitir papel-moeda e moeda metálica, competência exclusiva consagrada pelo
artigo 164 da Constituição Federal de 1988.
Antes da criação do BCB, a Superintendência da Moeda e do
Crédito (SUMOC), o Banco do Brasil e o Tesouro Nacional desempenhavam o papel de autoridade monetária.
15hl.10.10.10.10 ⇒ 150.000cl
Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita.
Logo, 150.000 cl equivalem a 15 hl.
7) Resposta “5,2 kg”.
Solução: Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas,
devemos dividir (porque na tabela grama está à direita de quilograma) 5.200 por 10 três vezes, pois para passarmos de gramas para quilogramas saltamos três níveis à esquerda.
Primeiro passamos de grama para decagrama, depois de decagrama para hectograma e finalmente de hectograma para quilograma:
5200 g :10 :10 :10 ⇒ 5, 2kg
Isto equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda.
Portanto, 5.200 g são iguais a 5,2 kg.
8) Resposta “250 cm”.
Solução: Para convertermos 2,5 metros em centímetros, devemos multiplicar (porque na tabela metro está à esquerda de
centímetro) 2,5 por 10 duas vezes, pois para passarmos de metros para centímetros saltamos dois níveis à direita.
Primeiro passamos de metros para decímetros e depois de decímetros para centímetros:
2,5m.10.10 ⇒ 250cm
Isto equivale a passar a vírgula duas casas para a direita.
Logo, 2,5 m é igual a 250 cm.
9) Resposta “305min”.
Solução:
(5 . 60) + 5 = 305 min.
10) Resposta “45 min”.
Solução: 45 min
SISTEMA MONETÁRIO BRASILEIRO;
O primeiro dinheiro do Brasil foi à moeda-mercadoria. Durante muito tempo, o comércio foi feito por meio da troca de mercadorias, mesmo após a introdução da moeda de metal.
As primeiras moedas metálicas (de ouro, prata e cobre) chegaram com o início da colonização portuguesa. A unidade monetária
de Portugal, o Real, foi usada no Brasil durante todo o período
Didatismo e Conhecimento
35
MATEMÁTICA
Cruzeiros
A SUMOC, criada em 1945 e antecessora do BCB, tinha por
finalidade exercer o controle monetário. A SUMOC fixava os percentuais de reservas obrigatórias dos bancos comerciais, as taxas
do redesconto e da assistência financeira de liquidez, bem como
os juros. Além disso, supervisionava a atuação dos bancos comerciais, orientava a política cambial e representava o País junto a
organismos internacionais.
O Banco do Brasil executava as funções de banco do governo,
e o Tesouro Nacional era o órgão emissor de papel-moeda.
(sem centavos) 16.08.1984
A Lei nº 7.214, de 15 de agosto de 1984 (D.O.U. de 16.08.84),
extinguiu a fração do Cruzeiro denominada centavo. Assim, a importância do exemplo, Cr$ 4,75 (quatro cruzeiros e setenta e cinco
centavos), passou a escrever-se Cr$ 4, eliminando-se a vírgula e os
algarismos que a sucediam.
Cruzado
Cruzeiro
Cr$ 1000 = Cz$1 (com centavos) 28.02.1986
O Decreto-Lei nº 2.283, de 27 de fevereiro de 1986 (D.O.U. de
28 de fevereiro de 1986), posteriormente substituído pelo Decreto-Lei nº 2.284, de 10 de março de 1986 (D.O.U. de 11 de março de
1986), instituiu o Cruzado como nova unidade monetária, equivalente a um mil cruzeiros, restabelecendo o centavo. A mudança de
padrão foi disciplinada pela Resolução nº 1.100, de 28 de fevereiro
de 1986, do Conselho Monetário Nacional.
1000 réis = Cr$1(com centavos) 01.11.1942
O Decreto-Lei nº 4.791, de 05 de outubro de 1942 (D.O.U. de
06 de outubro de 1942), instituiu o Cruzeiro como unidade monetária brasileira, com equivalência a um mil réis. Foi criado o
centavo, correspondente à centésima parte do cruzeiro.
Exemplo: 4:750$400 (quatro contos, setecentos e cinquenta
mil e quatrocentos réis) passou a expressar-se Cr$ 4.750,40 (quatro mil setecentos e cinquenta cruzeiros e quarenta centavos)
Exemplo: Cr$ 1.300.500 (um milhão, trezentos mil e quinhentos cruzeiros) passou a expressar-se Cz$ 1.300,50 (um mil e
trezentos cruzados e cinquenta centavos).
Cruzeiro
(sem centavos) 02.12.1964
A Lei nº 4.511, de 01de dezembro de1964 (D.O.U. de 02 de
dezembro de 1964), extinguiu a fração do cruzeiro denominada
centavo. Por esse motivo, o valor utilizado no exemplo acima passou a ser escrito sem centavos: Cr$ 4.750 (quatro mil setecentos e
cinquenta cruzeiros).
Cruzado Novo
Cz$ 1000 = NCz$1 (com centavos) 16.01.1989
A Medida Provisória nº 32, de 15 de janeiro de 1989 (D.O.U.
de 16 de janeiro de 1989), convertida na Lei nº 7.730, de 31 de janeiro de 1989 (D.O.U. de 01 de fevereiro de 1989), instituiu o Cruzado Novo como unidade do sistema monetário, correspondente a
um mil cruzados, mantendo o centavo. A Resolução nº 1.565, de
16 de janeiro de 1989, do Conselho Monetário Nacional, disciplinou a implantação do novo padrão.
Cruzeiro Novo
Cr$1000 = NCr$1(com centavos) 13.02.1967
O Decreto-Lei nº 1, de 13 de novembro de1965 (D.O.U. de
17 de novembro de 1965), regulamentado pelo Decreto nº 60.190,
de 08 de fevereiro de1967 (D.O.U. de 09 de fevereiro de 1967),
instituiu o Cruzeiro Novo como unidade monetária transitória,
equivalente a um mil cruzeiros antigos, restabelecendo o centavo.
O Conselho Monetário Nacional, pela Resolução nº 47, de 08 de
fevereiro de 1967, estabeleceu a data de 13.02.67 para início de
vigência do novo padrão.
Exemplo: Cz$ 1.300,50 (um mil e trezentos cruzados e cinquenta centavos) passou a expressar-se NCz$ 1,30 (um cruzado
novo e trinta centavos).
Cruzeiro
Exemplo: Cr$ 4.750 (quatro mil, setecentos e cinquenta cruzeiros) passou a expressar-se NCr$ 4,75(quatro cruzeiros novos e
setenta e cinco centavos).
De NCz$ para Cr$ (com centavos) 16.03.1990
A Medida Provisória nº 168, de 15 de março de 1990 (D.O.U.
de 16 de março de 1990), convertida na Lei nº 8.024, de 12 de abril
de 1990 (D.O.U. de 13 de abril de 1990), restabeleceu a denominação Cruzeiro para a moeda, correspondendo um cruzeiro a um
cruzado novo. Ficou mantido o centavo. A mudança de padrão foi
regulamentada pela Resolução nº 1.689, de 18 de março de 1990,
do Conselho Monetário Nacional.
Cruzeiro
De NCr$ para Cr$ (com centavos) 15.05.1970
A Resolução nº 144, de 31 de março de 1970 (D.O.U. de 06
de abril de 1970), do Conselho Monetário Nacional, restabeleceu a
denominação Cruzeiro, a partir de 15 de maio de 1970, mantendo
o centavo.
Exemplo: NCz$ 1.500,00 (um mil e quinhentos cruzados
novos) passou a expressar-se Cr$ 1.500,00 (um mil e quinhentos
cruzeiros).
Exemplo: NCr$ 4,75 (quatro cruzeiros novos e setenta e cinco centavos) passou a expressar-se Cr$ 4,75(quatro cruzeiros e setenta e cinco centavos).
Didatismo e Conhecimento
36
MATEMÁTICA
Cruzeiro Real
CÁLCULO E COMPARAÇÃO DE
PERÍMETRO E ÁREA; APLICAÇÕES
GEOMÉTRICAS;
Cr$ 1000 = CR$ 1 (com centavos) 01.08.1993
A Medida Provisória nº 336, de 28 de julho de 1993 (D.O.U.
de 29 de julho de 1993), convertida na Lei nº 8.697, de 27 de
agosto de 1993 (D.O.U. de 28 agosto de 1993), instituiu o Cruzeiro Real, a partir de 01 de agosto de 1993, em substituição ao
Cruzeiro, equivalendo um cruzeiro real a um mil cruzeiros, com a
manutenção do centavo. A Resolução nº 2.010, de 28 de julho de
1993, do Conselho Monetário Nacional, disciplinou a mudança na
unidade do sistema monetário.
Para explicar o cálculo do volume de figuras geométricas, podemos pedir que visualizem a seguinte figura:
Exemplo: Cr$ 1.700.500,00 (um milhão, setecentos mil e quinhentos cruzeiros) passou a expressar-se CR$ 1.700,50 (um mil e
setecentos cruzeiros reais e cinquenta centavos).
Real
CR$ 2.750 = R$ 1(com centavos) 01.07.1994
A Medida Provisória nº 542, de 30 de junho de 1994 (D.O.U.
de 30 de junho de 1994), instituiu o Real como unidade do sistema
monetário, a partir de 01 de julho de 1994, com a equivalência de
CR$ 2.750,00 (dois mil, setecentos e cinquenta cruzeiros reais),
igual à paridade entre a URV e o Cruzeiro Real fixada para o dia
30 de junho de 1994. Foi mantido o centavo.
Como medida preparatória à implantação do Real, foi criada
a URV - Unidade Real de Valor - prevista na Medida Provisória
nº 434, publicada no D.O.U. de 28 de fevereiro de 1994, reeditada com os números 457 (D.O.U. de 30 de março de 1994) e 482
(D.O.U. de 29 de abril de 1994) e convertida na Lei nº 8.880, de 27
de maio de 1994 (D.O.U. de 28 de maio de 1994).
a) A figura representa a planificação de um prisma reto;
b) O volume de um prisma reto é igual ao produto da área da
base pela altura do sólido, isto é
V = Ab x a
c) O cubo e o paralelepípedo retângulo são prismas;
d) O volume do cilindro também se pode calcular da mesma
forma que o volume de um prisma reto.
Os formulários seguintes, das figuras geométricas são para
calcular da mesma forma que as acima apresentadas:
Figuras Geométricas:
Exemplo: CR$ 11.000.000,00 (onze milhões de cruzeiros
reais) passou a expressar-se R$ 4.000,00 (quatro mil reais).
Banco Central (BC ou Bacen) - Autoridade monetária do
País responsável pela execução da política financeira do governo.
Cuida ainda da emissão de moedas, fiscaliza e controla a atividade
de todos os bancos no País.
Banco Interamericano de Desenvolvimento (BID) - Órgão
internacional que visa ajudar países subdesenvolvidos e em desenvolvimento na América Latina. A organização foi criada em 1959
e está sediada em Washington, nos Estados Unidos.
Banco Mundial - Nome pelo qual o Banco Internacional de
Reconstrução e Desenvolvimento (BIRD) é conhecido. Órgão internacional ligado a ONU, a instituição foi criada para ajudar países subdesenvolvidos e em desenvolvimento.
Banco Nacional de Desenvolvimento Econômico e Social
(BNDES) - Empresa pública federal vinculada ao Ministério do
Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior que tem como
objetivo financiar empreendimentos para o desenvolvimento do
Brasil.
Didatismo e Conhecimento
37
MATEMÁTICA
O conceito de cone
Observações sobre um cone circular reto
1. Um cone circular reto é chamado cone de revolução por
ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em
torno de um de seus catetos
2. A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do
cone com um plano que contem o eixo do cone. No caso acima, a
seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.
3. Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida de cada geratriz então, pelo Teorema
de Pitágoras, temos: g2 = h2 + R2
4. A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em
função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):ALat
= Pi R g
5. A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em
função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):
ATotal = Pi R g + Pi R2
Considere uma região plana limitada por uma curva suave
(sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Chamamos
de cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de
reta que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer
da região.
Elementos do cone
- Base: A base do cone é a região plana contida no interior da
curva, inclusive a própria curva.
- Vértice: O vértice do cone é o ponto P.
- Eixo: Quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo
centro da base.
- Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma extremidade
no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
- Altura: Distância do vértice do cone ao plano da base.
- Superfície lateral: A superfície lateral do cone é a reunião
de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a
outra na curva que envolve a base.
- Superfície do cone: A superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
- Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que
contem o eixo do mesmo.
Cones Equiláteros
Classificação do cone
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção
meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida
da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
A área da base do cone é dada por:
ABase=Pi R2
Quando observamos a posição relativa do eixo em relação à
base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos.
Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da
base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.
Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem
nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é
um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.
Pelo Teorema de Pitágoras temos:
(2R)2 = h2 + R2
h2 = 4R2 - R2 = 3R2
Assim:
h=R
Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área
da base pela altura, então:
V = (1/3) Pi
R3
Como a área lateral pode ser obtida por:
ALat = Pi R g = Pi R 2R = 2 Pi R2
então a área total será dada por:
ATotal = 3 Pi R2
Didatismo e Conhecimento
38
MATEMÁTICA
O conceito de esfera
Você conseguiria imaginar espacialmente tal esfera?
Do ponto de vista prático, a esfera pode ser pensada como a
película fina que envolve um sólido esférico. Em uma melancia
esférica, a esfera poderia ser considerada a película verde (casca)
que envolve a fruta.
É comum encontrarmos na literatura básica a definição de esfera como sendo o sólido esférico, no entanto não se devem confundir estes conceitos. Se houver interesse em aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar algum bom livro de Geometria
Diferencial que é a área da Matemática que trata do detalhamento
de tais situações.
A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em
função de suas aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista
matemático, a esfera no espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela mesma, razão pela quais
muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na maioria dos livros
elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um
sólido, herança da Geometria Euclidiana.
Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de
vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado por duas dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de comprimento, mas o volume tem
medida nula. Há outras esferas, cada uma definida no seu respectivo espaço n-dimensional. Um caso interessante é a esfera na reta
unidimensional:
So = {x em R: x²=1} = {+1,-1}
Por exemplo, a esfera
S1 = { (x,y) em R²: x² + y² = 1 }
é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário
centrada na origem do plano cartesiano.
Aplicação: volumes de líquidos
O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço
que estão localizados na casca e dentro da esfera. Do ponto de
vista prático, o disco esférico pode ser pensado como a reunião
da película fina que envolve o sólido esférico com a região sólida
dentro da esfera. Em uma melancia esférica, o disco esférico pode
ser visto como toda a fruta.
Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da
esfera pelo ponto (0,0,0), a equação da esfera é dada por:
x² + y² + z² = R²
e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é:
Um problema fundamental para empresas que armazenam líquidos em tanques esféricos, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos
é a necessidade de realizar cálculos de volumes de regiões esféricas a partir do conhecimento da altura do líquido colocado na
mesma. Por exemplo, quando um tanque é esférico, ele possui um
orifício na parte superior (pólo Norte) por onde é introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a vara,
observa-se o nível de líquido que fica impregnado na vara e esta
medida corresponde à altura de líquido contido na região esférica.
Este não é um problema trivial, como observaremos pelos cálculos
realizados na sequência.
x² + y² + z² < R²
Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da
esfera pelo ponto (xo,yo,zo), a equação da esfera é dada por:
(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² = R²
e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é, o conjunto de
todos os pontos (x,y,z) em R³ tal que:
(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² < R²
Da forma como está definida, a esfera centrada na origem
pode ser construída no espaço euclidiano R³ de modo que o centro
da mesma venha a coincidir com a origem do sistema cartesiano
R³, logo podemos fazer passar os eixos OX, OY e OZ, pelo ponto
(0,0,0).
A seguir apresentaremos elementos esféricos básicos e algumas fórmulas para cálculos de áreas na esfera e volumes em um
sólido esférico.
A superfície esférica
A esfera no espaço R³ é o conjunto de todos os pontos do
espaço que estão localizados a uma mesma distância denominada
raio de um ponto fixo chamado centro.
Uma notação para a esfera com raio unitário centrada na origem de R³ é:
S² = { (x,y,z) em R³: x² + y² + z² = 1 }
Uma esfera de raio unitário centrada na origem de R4 é dada por:
S³ = { (w,x,y,z) em R4: w² + x² + y² + z² = 1 }
Didatismo e Conhecimento
39
MATEMÁTICA
Seccionando a esfera x²+y²+z²=R² com o plano z=0, obteremos duas superfícies semelhantes: o hemisfério Norte (“boca para
baixo”) que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota
z é não negativa e o hemisfério Sul (“boca para cima”) que é o
conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z não é positiva.
Se seccionarmos a esfera x²+y²+z²=R² por um plano vertical
que passa em (0,0,0), por exemplo, o plano x=0, teremos uma circunferência maximal C da esfera que é uma circunferência contida
na esfera cuja medida do raio coincide com a medida do raio da esfera, construída no plano YZ e a equação desta circunferência será:
x=0, y² + z² = R2
sendo que esta circunferência intersecta o eixo OZ nos pontos
de coordenadas (0,0,R) e (0,0,-R). Existem infinitas circunferências maximais em uma esfera.
Se rodarmos esta circunferência maximal C em torno do eixo
OZ, obteremos a esfera através da rotação e por este motivo, a
esfera é uma superfície de revolução.
Se tomarmos um arco contido na circunferência maximal
cujas extremidades são os pontos (0,0,R) e (0,p,q) tal que p²+q²=R²
e rodarmos este arco em torno do eixo OZ, obteremos uma superfície denominada calota esférica.
No que segue, usaremos esfera tanto para o sólido como para
a superfície, “calota esférica” para o sólido envolvido pela calota
esférica, a letra maiúscula R para entender o raio da esfera sobre
a qual estamos realizando os cálculos, V será o volume, A(lateral)
será a área lateral e A(total) será a área total.
Algumas fórmulas (relações) para objetos esféricos
Objeto
Esfera
Calota esférica (altura h, raio
da base r)
Segmento esférico (altura h,
raios das bases r1>r²)
Relações e fórmulas
Volume = (4/3) Pi R³
A(total) = 4 Pi R²
R² = h (2R-h)
A(lateral) = 2 Pi R h
A(total) = Pi h (4R-h)
V=Pi.h²(3R-h)/3=Pi(3R²+h²)/6
R² = a² + [(r1² -r2²-h²)/2h)]²
A(lateral) = 2 Pi R h
A(total) = Pi(2Rh+r1²+r2²)
Volume=Pi.h(3r1²+3r2²+h²)/6
Estas fórmulas podem ser obtidas como aplicações do Cálculo
Diferencial e Integral, mas nós nos limitaremos a apresentar um
processo matemático para a obtenção da fórmula do cálculo do
volume da “calota esférica” em função da altura da mesma.
Na prática, as pessoas usam o termo calota esférica para representar tanto a superfície como o sólido geométrico envolvido pela
calota esférica. Para evitar confusões, usarei “calota esférica” com
aspas para o sólido e sem aspas para a superfície.
A partir da rotação, construiremos duas calotas em uma esfera, de modo que as extremidades dos arcos sejam (0,0,R) e (0,p,q)
com p²+q²=R² no primeiro caso (calota Norte) e no segundo caso
(calota Sul) as extremidades dos arcos (0,0,-R) e (0,r,-s) com
r²+s²=R² e retirarmos estas duas calotas da esfera, teremos uma
superfície de revolução denominada zona esférica.
Volume de uma calota no hemisfério Sul
Consideremos a esfera centrada no ponto (0,0,R) com raio R.
A equação desta esfera será dada por:
x² + y² + (z-R)² = R²
A altura da calota será indicada pela letra h e o plano que
coincide com o nível do líquido (cota) será indicado por z=h. A
interseção entre a esfera e este plano é dado pela circunferência
x² + y² = R² - (h-R)²
De um ponto de vista prático, consideremos uma melancia
esférica. Com uma faca, cortamos uma “calota esférica” superior
e uma “calota esférica” inferior. O que sobra da melancia é uma
região sólida envolvida pela zona esférica, algumas vezes denominada zona esférica.
Consideremos uma “calota esférica” com altura h1 e raio da
base r1 e retiremos desta calota uma outra “calota esférica” com
altura h2 e raio da base r2, de tal modo que os planos das bases de
ambas sejam paralelos. A região sólida determinada pela calota
maior menos a calota menor recebe o nome de segmento esférico
com bases paralelas.
Didatismo e Conhecimento
Obteremos o volume da calota esférica com a altura h menor
ou igual ao raio R da esfera, isto é, h pertence ao intervalo [0,R]
e neste caso poderemos explicitar o valor de z em função de x e y
para obter:
z = R − R 2 − (x 2 + y 2 )
40
MATEMÁTICA
Para simplificar as operações algébricas, usaremos a letra r
para indicar:
r² = R² - (h-R)² = h(2R-h)
A região circular S de integração será descrita por x²+y²<R²
ou em coordenadas polares através de:
0<m<R, 0<t<2Pi
A integral dupla que representa o volume da calota em função
da altura h é dada por:
Aproveitaremos o resultado do cálculo utilizado para a calota
do hemisfério Sul. Tomaremos a altura tal que: h=2R-d, onde d é
a altura da região que não contém o líquido. Como o volume desta
calota vazia é dado por:
VC(d) = Pi d²(3R-d)/3
e como h=2R-d, então para h no intervalo [R,2R], poderemos
escrever o volume da calota vazia em função de h:
VC(h) = Pi (2R-h)²(R+h)/3
Vc(h) = ∫ ∫ s (h − z)dxdy
Para obter o volume ocupado pelo líquido, em função da altura, basta tomar o volume total da região esférica e retirar o volume
da calota vazia, para obter:
V(h) = 4Pi R³/3 - Pi (2R-h)²(R+h)/3
que pode ser simplificada para:
V(h) = Pi h²(3R-h)/3
ou seja
Vc(h) = ∫ ∫ s (h − R + R 2 − (x 2 + y 2 ))dxdy
Escrita em Coordenadas Polares, esta integral fica na forma:
Vc(h) =
2x
R
∫ ∫
t=0 m=0
Independentemente do fato que a altura h esteja no intervalo
[0,R] ou [R,2R] ou de uma forma geral em [0,2R], o cálculo do
volume ocupado pelo líquido é dado por:
V(h) = Pi h²(3R-h)/3
(h − R + R 2 − m 2 )mdmdt
Após realizar a integral na variável t, podemos separá-la em
duas integrais:
R
R
0
0
Poliedro
Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As regiões planas que limitam este sólido são as faces do
poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. As
interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é
uma região poligonal contendo n lados.
Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180 graus.
Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.
Vc(h) = 2π { ∫ (h − R)m dm + ∫ R 2 − m 2 mdm}
ou seja:
R
Vc(h) = π {(h − R)R 2 − ∫ R 2 − m 2 (−2m)dm}
0
Com a mudança de variável u=R²-m² e du=(-2m)dm poderemos reescrever:
Vc(h) = π {(h − R)R +
2
R2
∫
u=0
u du}
Poliedros Regulares
Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com n lados, o que significa que o mesmo número
de arestas se encontram em cada vértice.
Após alguns cálculos obtemos:
VC(h) = Pi (h-R) [R² -(h-R)²] - (2/3)Pi[(R-h)³ - R³]
e assim temos a fórmula para o cálculo do volume da calota
esférica no hemisfério Sul com a altura h no intervalo [0,R], dada
por:
VC(h) = Pi h²(3R-h)/3
Tetraedro
Hexaedro (cubo)
Octaedro
Volume de uma calota no hemisfério Norte
Se o nível do líquido mostra que a altura h já ultrapassou o
raio R da região esférica, então a altura h está no intervalo [R,2R]
Áreas e Volumes
Poliedro regular
Tetraedro
Hexaedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Lançaremos mão de uma propriedade de simetria da esfera
que nos diz que o volume da calota superior assim como da calota
inferior somente depende do raio R da esfera e da altura h e não da
posição relativa ocupada.
Didatismo e Conhecimento
z>0.
41
Área
a2 R[3]
6 a2
2 a2 R[3]
3a2 R{25+10·R[5]}
5a2 R[3]
Volume
(1/12) a³ R[2]
a³
(1/3) a³ R[2]
(1/4) a³ (15+7·R[5])
(5/12) a³ (3+R[5])
Nesta tabela, a notação R[z] significa a raiz quadrada de
MATEMÁTICA
Planificação do prisma
Prisma
Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas,
no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.
Prisma reto
As arestas laterais têm o mesmo comprimento.
As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base.
As faces laterais são retangulares.
Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os
planos das bases. As faces laterais e as bases formam a envoltória
deste sólido. Esta envoltória é uma “superfície” que pode ser planificada no plano cartesiano.
Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma
região plana formada por áreas congruentes às faces laterais e às
bases.
A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral
e total.
Prisma oblíquo
As arestas laterais têm o mesmo comprimento.
As arestas laterais são oblíquas ao plano da base.
As faces laterais não são retangulares.
Bases: regiões poligonais
congruentes
Altura: distância entre
as bases
Arestas laterais
paralelas: mesmas
medidas
Faces laterais:
paralelogramos
Prisma reto
Aspectos comuns
Volume de um prisma
O volume de um prisma é dado por:
Vprisma = Abase . h
Prisma oblíquo
Área lateral de um prisma reto com base poligonal regular
A área lateral de um prisma reto que tem por base uma região
poligonal regular de n lados é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como neste caso todas as áreas das faces laterais são
iguais, basta tomar a área lateral como:
Seções de um prisma
Seção transversal
É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um
plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.
Seção reta (seção normal)
É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais.
Cilindros
Princípio de Cavaliere
Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois
sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado
interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.
Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r.
Tomemos também um segmento de reta PQ que não seja paralelo
ao plano P e nem esteja contido neste plano P.
Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a PQ com uma extremidade no círculo.
Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R3,
mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro com a região
sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, “cilindro” e quando
for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.
A reta que contém o segmento PQ é denominada geratriz e a
curva que fica no plano do “chão” é a diretriz.
Prisma regular
É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.
Exemplos:
Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um
triângulo equilátero.
Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base
é um quadrado.
Didatismo e Conhecimento
42
MATEMÁTICA
Exercícios
1. Dado o cilindro circular equilátero (h = 2r), calcular a área
lateral e a área total.
2. Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura
3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume.
3. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma
quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume
igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.
Em função da inclinação do segmento PQ em relação ao plano
do “chão”, o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento PQ for perpendicular ou oblíquo ao plano
que contém a curva diretriz.
4. Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma
lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da
casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre
a lata e a casquinha de sorvete?
Objetos geométricos em um “cilindro”
Num cilindro, podemos identificar vários elementos:
- Base É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu
interior. Num cilindro existem duas bases.
- Eixo É o segmento de reta que liga os centros das bases do
“cilindro”.
- Altura A altura de um cilindro é a distância entre os dois
planos paralelos que contêm as bases do “cilindro”.
- Superfície Lateral É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo
da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.
- Superfície Total É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.
- Área lateral É a medida da superfície lateral do cilindro.
- Área total É a medida da superfície total do cilindro.
- Seção meridiana de um cilindro É uma região poligonal
obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro
do cilindro com o cilindro.
Classificação dos cilindros circulares
Cilindro circular oblíquo Apresenta as geratrizes oblíquas
em relação aos planos das bases.
Cilindro circular reto As geratrizes são perpendiculares aos
planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo.
Cilindro equilátero É um cilindro de revolução cuja seção
meridiana é um quadrado.
Respostas
1) Solução: No cilindro equilátero, a área lateral e a área total
é dada por:
Alat = 2 r. 2r = 4 r2
Atot = Alat + 2 Abase
Atot = 4 r2 + 2 r2 = 6 r2
V = Abase h = r2. 2r = 2 r3
2) Solução: Cálculo da Área lateral Alat = 2 r h = 2 2.3 =
cm2
Cálculo da Área total Atot = Alat + 2 Abase Atot = 12 + 2 22 =
12 + 8 = 20 cm2
Cálculo do Volume V = Abase × h = r2 × h V = 22 × 3 =
× 4 × 3 = 12 cm33
3) Solução:
hprisma = 12
Abase do prisma = Abase do cone = A
Vprisma = 2 Vcone
A hprisma = 2(A h)/3
12 = 2.h/3
h =18 cm
12
4) Solução:
Volume de um “cilindro”
V = Vcilindro - Vcone
V = Abase h - (1/3) Abase h
V = Pi R2 h - (1/3) Pi R2 h
V = (2/3) Pi R2 h cm3
Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base
pela altura.
V = Abase × h
Se a base é um círculo de raio r, então:
V = r2 h
por:
ANOTAÇÕES
Áreas lateral e total de um cilindro circular reto
Quando temos um cilindro circular reto, a área lateral é dada
Alat = 2 r h
onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro.
Atot = Alat + 2 Abase
Atot = 2 r h + 2 r2
Atot = 2 r(h+r)
Didatismo e Conhecimento
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43
MATEMÁTICA
Tabela de Frequências: Como o nome indica, conterá os valores da variável e suas respectivas contagens, as quais são denominadas frequências absolutas ou simplesmente, frequências. No
caso de variáveis qualitativas ou quantitativas discretas, a tabela
de frequência consiste em listar os valores possíveis da variável,
numéricos ou não, e fazer a contagem na tabela de dados brutos
do número de suas ocorrências. A frequência do valor i será representada por ni, a frequência total por n e a frequência relativa por
fi = ni/n.
Para variáveis cujos valores possuem ordenação natural (qualitativas ordinais e quantitativas em geral), faz sentido incluirmos
também uma coluna contendo as frequências acumuladas f ac, obtidas pela soma das frequências de todos os valores da variável,
menores ou iguais ao valor considerado.
No caso das variáveis quantitativas contínuas, que podem assumir infinitos valores diferentes, é inviável construir a tabela de
frequência nos mesmos moldes do caso anterior, pois obteríamos
praticamente os valores originais da tabela de dados brutos. Para
resolver este problema, determinamos classes ou faixas de valores
e contamos o número de ocorrências em cada faixa. Por ex., no
caso da variável peso de adultos, poderíamos adotar as seguintes
faixas: 30 |— 40 kg, 40 |— 50 kg, 50 |— 60, 60 |— 70, e assim por
diante. Apesar de não adotarmos nenhuma regra formal para estabelecer as faixas, procuraremos utilizar, em geral, de 5 a 8 faixas
com mesma amplitude.
Eventualmente, faixas de tamanho desigual podem ser convenientes para representar valores nas extremidades da tabela.
Exemplo:
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO:
LEITURA, INTERPRETAÇÃO E
CONSTRUÇÃO DE TABELAS E GRÁFICOS.
Tipos de gráficos: Os dados podem então ser representados
de várias formas:
Diagramas de Barras
Diagramas Circulares
Histogramas
Gráfico de Barras: Para construir um gráfico de barras, representamos os valores da variável no eixo das abscissas e suas
as frequências ou porcentagens no eixo das ordenadas. Para cada
valor da variável desenhamos uma barra com altura correspondendo à sua frequência ou porcentagem. Este tipo de gráfico é interessante para as variáveis qualitativas ordinais ou quantitativas discretas, pois permite investigar a presença de tendência nos dados.
Exemplo:
Pictogramas
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
(4)
(4)
= 1 unidade
(8)
(10)
(5)
Didatismo e Conhecimento
44
MATEMÁTICA
Gráfico de Linha ou Sequência: Adequados para apresentar
observações medidas ao longo do tempo, enfatizando sua tendência ou periodicidade. Exemplo:
Diagrama Circular: Para construir um diagrama circular ou
gráfico de pizza, repartimos um disco em setores circulares correspondentes às porcentagens de cada valor (calculadas multiplicando-se a frequência relativa por 100). Este tipo de gráfico adapta-se
muito bem para as variáveis qualitativas nominais. Exemplo:
Polígono de Frequência:
Semelhante ao histograma, mas construído a partir dos pontos
médios das classes. Exemplo:
Histograma: O histograma consiste em retângulos contíguos
com base nas faixas de valores da variável e com área igual à frequência relativa da respectiva faixa. Desta forma, a altura de cada
retângulo é denominada densidade de frequência ou simplesmente
densidade definida pelo quociente da área pela amplitude da faixa.
Alguns autores utilizam a frequência absoluta ou a porcentagem na
construção do histograma, o que pode ocasionar distorções (e, consequentemente, más interpretações) quando amplitudes diferentes
são utilizadas nas faixas. Exemplo:
Didatismo e Conhecimento
Gráfico de Ogiva:
Apresenta uma distribuição de frequências acumuladas, utiliza uma poligonal ascendente utilizando os pontos extremos.
45
MATEMÁTICA
Respostas
MÉDIA ARITMÉTICA.
1) Resposta “5”.
Solução:
M.A. ( 2 e 8 ) = 2 + 8 / 2 = 10 / 2 = 5 → M.A. ( 2 e 8 ) = 5.
Definição
2) Resposta “6”.
Solução:
M.A. ( 3, 5 e 10 ) = 3 + 5 + 10 / 3 = 18 / 3 = 6 → M.A. ( 3, 5
e 10 ) = 6.
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à
adição é chamada média aritmética.
Cálculo da média aritmética
3) Resposta “10”.
Solução: Para resolver esse exercício basta fazer a soma dos
números e dividi-los por quatro, que é a quantidade de números,
portanto:
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto
numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn}, então, por definição:
e, portanto,
x=
M .A =
n parcelas
x1; x2 ; x3;...; xn
n
Logo, a média aritmética é 10.
4) Resposta “164”.
Solução: Quando falamos de média aritmética simples, ao diminuirmos um dos valores que a compõe, precisamos aumentar
a mesma quantidade em outro valor, ou distribuí-la entre vários
outros valores, de sorte que a soma total não se altere, se quisermos
obter a mesma média.
Neste exercício, três dos elementos devem ter o menor valor
possível, de sorte que o quarto elemento tenha o maior valor dentre
eles, tal que a média aritmética seja igual a 44. Este será o maior
valor que o quarto elemento poderá assumir.
Em função do enunciado, os três menores valores inteiros, pares, distintos e não nulos são:2, 4 e 6. Identificando como x este
quarto valor, vamos montar a seguinte equação:
Conclusão
A média aritmética dos n elementos do conjunto numérico A é
a soma de todos os seus elementos, dividida por n.
Exemplo
Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9, e 13.
Resolução
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3, 4, 6,
9, 13), então x será a soma dos 5 elementos, dividida por 5. Assim:
x=
2+4+6+x
= 44
4
3 + 4 + 6 + 9 + 13
35
↔x=
↔x=7
15
5
Solucionando-a temos:
A média aritmética é 7.
Logo, o maior valor que um desses números pode ter é 164.
1. Determine a média aritmética entre 2 e 8.
5) Solução:
a) (15 + 48 + 36)/3 =
99/3 = 33
2. Determine a média aritmética entre 3, 5 e 10.
e 9?
3. Qual é a média aritmética simples dos números 11, 7, 13
b) (80 + 71 + 95 + 100)/4=
346/4 = 86,5
4. A média aritmética simples de 4 números pares distintos,
pertences ao conjunto dos números inteiros não nulos é igual a
44. Qual é o maior valor que um desses números pode ter?
c) (59 + 84 + 37 + 62 + 10)/5=
= 252/5
= 50,4
5. Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguintes casos:
a) 15; 48; 36
b) 80; 71; 95; 100
c) 59; 84; 37; 62; 10
d) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
Didatismo e Conhecimento
11+ 7 + 13 + 9 40
=
= 10
4
4
d) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)/9=
45/9 =
=5
46