Teoremas da analise de circuitos

NOTA DE AULA
PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO
TEOREMAS DA ANÁLISE DE CIRCUITOS
1 INTRODUÇÃO
Uma grande vantagem de analisar circuitos por intermédio das leis de Kirchhoff, como fizemos no capítulo
anterior, é o fato de podermos analisá-los sem ter de mexer em sua configuração original. Uma desvantagem
importante dessa abordagem é que, para um circuito grande e complexo, há muitos cálculos enfadonhos envolvidos.
O crescimento nas áreas de aplicação de circuitos elétricos levou a uma evolução dos circuitos simples para os
complexos. Para lidar com essa complexidade, os engenheiros desenvolveram, ao longo dos anos, alguns teoremas para
simplificar a análise de circuitos.
Apresentaremos neste capítulo os teoremas fundamentais da análise de circuitos, que são os teoremas da
superposição, de Thévenin, de Norton, da transferência máxima de potência. Para cada um deles serão consideradas
algumas aplicações. É importante termos uma compreensão clara desses teoremas, pois eles serão aplicados com
frequência no restante deste curso.
Poderão ser apresentados outros teoremas que, embora útil para fornecer um melhor entendimento da análise
de circuitos, têm uma utilização limitada. Estes teoremas, que se aplicam a tipos específicos de circuitos, são os
teoremas da substituição, reciprocidade e Millman. O professor pode optar por omitir esses teoremas sem perda de
continuidade.
2 TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
Este teorema pode ser utilizado, como os métodos do capítulo anterior, para encontrar a solução de problemas
que envolvem circuitos com duas ou mais fontes que não estejam em série nem em paralelo. A vantagem mais evidente
deste método é dispensar o uso de ferramentas matemáticas, como os determinantes, para determinar o valor das
incógnitas (tensões ou correntes). Em vez disso, neste método, o efeito de cada fonte é levado em conta
separadamente, e o valor das grandezas procuradas é obtido efetuando a soma algébrica desses efeitos individuais.
O enunciado do teorema da superposição é o seguinte:
A tensão (ou a corrente) em um elemento em um circuito linear é a soma algébrica da soma das tensões (ou das
correntes) naquele elemento em virtude da atuação isolada de cada uma das fontes independentes.
OBS:
Um circuito linear é um circuito cuja saída está linearmente relacionada (ou é diretamente proporcional) à sua entrada.
O princípio da superposição ajuda a analisar um circuito linear com mais de uma fonte independente
calculando, separadamente, a contribuição de cada fonte. Entretanto, para aplicar esse princípio, precisamos saber duas
coisas:
1. Consideramos uma fonte independente por vez enquanto todas as demais fontes independentes estão desligadas.
Isso implica substituir cada fonte de tensão por 0 V (configurar uma fonte de tensão em zero volt é como colocar um
curto-circuito nos seus terminais) e cada fonte de corrente por 0 A (configurar uma fonte de corrente em zero é como
substituí-Ia com um circuito aberto) como mostrado na figura 1. Dessa maneira, obtemos um circuito mais simples e
mais fácil de manipular.
2. As fontes dependentes são deixadas intactas, pois elas são controladas por variáveis de circuito.
1
FIGURA 1 - A remoção de uma fonte de tensão e uma fonte de corrente para permitir a aplicação do teorema da
sobreposição.
Com isso em mente, aplicamos o princípio da superposição em três etapas:
Etapas para a aplicação do princípio da superposição:
1. Desative todas as fontes independentes, exceto uma delas. Encontre a saída (tensão ou corrente) em razão dessa
fonte ativa usando as técnicas vistas em aulas anteriores.
2. Repita a etapa 1 para cada uma das demais fontes independentes.
3. Encontre a contribuição total somando algebricamente todas as contribuições em razão das fontes independentes.
Analisar um circuito por meio da superposição tem uma grande desvantagem: muito provavelmente envolverá
maior trabalho. Se o circuito tiver três fontes independentes, talvez tenhamos de analisar três circuitos mais simples,
cada um dos quais fornecendo sua contribuição em decorrência da fonte individual respectiva.
Porem, a superposição ajuda efetivamente a reduzir um circuito complexo a circuitos mais simples pela
substituição de fontes de tensão por curtos-circuitos e fontes de corrente por circuitos abertos.
Esteja certo de que a superposição se baseia na linearidade; por essa razão, ela não se aplica ao efeito sobre a
potência devido a cada fonte, porque a potência absorvida por um resistor depende do quadrado da tensão ou
corrente.
Se for preciso o valor da potência, a corrente (ou a tensão) no elemento tem de ser calculada primeiro usando a
superposição.
3 TEOREMA DE THÉVENIN
O próximo teorema a ser introduzido, o teorema de Thévenin, é provavelmente um dos mais interessantes, na
medida em que permite a redução de circuitos complexos para uma forma mais simples de análise e projeto. O teorema
foi desenvolvido pelo Comandante Leon Charles Thévenin em 1883.
Em geral, o teorema pode ser usado para realizar o seguinte:
• Analisar circuitos com fontes que não estão em série ou em paralelo.
• Reduzir o número de componentes necessários para estabelecer as mesmas características nos terminais de saída.
• Investigar o efeito da mudança de um componente em particular sobre o comportamento de um circuito sem ter de
analisar o circuito inteiro após cada mudança.
O teorema de Thévenin afirma que:
Qualquer circuito de corrente contínua linear bilateral de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente
constituído por uma fonte de tensão e um resistor em série, como na figura 2.
FIGURA 2 - Circuito equivalente de Thévenin
Na figura 3(a), por exemplo, o circuito no interior da caixa só está ligado ao exterior por dois terminais, a que
denominamos a e b. Utilizando o teorema de Thévenin, é possível substituir tudo que existe no interior da caixa por
uma fonte e um resistor, como na figura 3(b), sem mudar as características do circuito entre os terminais a e b. Em
outras palavras, qualquer carga ligada aos terminais a e b se comportará da mesma forma se estiver ligada ao circuito
da figura 3(a) ou ao circuito da figura 3(b). Nos dois casos, a carga receberá a mesma corrente, tensão e potência.
FIGURA 3 - Substituição de um circuito complexo pelo circuito equivalente de Thévenin
2
O cálculo do equivalente de Thévenin para o circuito da figura 3(a) é bem simples; basta efetuar a combinação
apropriada das baterias e resistores em série. Observe a completa equivalência entre o circuito da figura 3(b) e o da
figura 3(a) e também a sua semelhança com a configuração de Thévenin na figura 2. Vamos agora estabelecer um
método que nos permitirá estender este procedimento a configurações mais complexas, terminando sempre com um
circuito relativamente simples como o da figura 2.
Antes de examinarmos as etapas envolvidas na aplicação deste teorema, é importante fazermos alguns
comentários adicionais para garantir que as implicações do teorema de Thévenin sejam compreendidas com clareza. Na
figura 3(a), todo o circuito, com exceção de RL, deve ser substituído por uma bateria e um resistor em série, como na
figura 2. Os valores desses dois componentes do circuito equivalente de Thévenin devem ser tais que o resistor RL se
comporte, no circuito da figura 3(a), da mesma forma que no circuito da figura 3(b). Em outras palavras, a corrente que
atravessa o resistor RL e a ddp entre seus terminais devem ser as mesmas para os dois circuitos, qualquer que seja o
valor de RL.
A sequência de passos a seguir nos conduzirá aos valores de RTh e ETh.
Passos preliminares:
1. Remova a parte do circuito para o qual deseja obter um equivalente de Thévenin. No caso da figura 3 (a), é necessário
remover temporariamente o resistor RL.
2. Assinale os terminais do circuito remanescente. (A importância deste passo ficará óbvia à medida que avançarmos em
direção a circuitos mais complexos).
3. Calcule RTh, colocando primeiro todas as fontes em zero (substituindo as fontes de tensão por curtos-circuitos e as
fontes de corrente por circuitos abertos) e em seguida determine a resistência equivalente entre os dois terminais
escolhidos. (Se o circuito original incluir as resistências internas de fontes de tensão e/ou fontes de corrente, estas
resistências devem ser mantidas quando as fontes forem colocadas em zero).
4. Calcule ETh, retornando primeiro as fontes às suas posições originais no circuito e em seguida determine a tensão
entre os dois terminais escolhidos. (Este passo é invariavelmente um dos que costuma causa a maior parte das
confusões e erros. Tenha sempre em mente que a diferença de potencial deve ser calculada com o circuito aberto entre
os terminais assinalados no passo 2).
5. Desenhe o circuito equivalente de Thévenin e recoloque entre os terminais do circuito equivalente a parte que foi
previamente removida. No caso da figura 3(a), o resistor RL seria colocado entre os terminais do circuito equivalente de
Thévenin, como mostrado na figura 3(b).
4 TEOREMA DE NORTON
Em 1926, após cerca de 43 anos da publicação do teorema de Thévenin, E. L. Norton, engenheiro norteamericano da Bell Telephone Laboratories, propôs um teorema semelhante.
Como vimos anteriormente, para qualquer fonte de tensão em série com uma resistência interna é possível
determinar uma fonte de corrente equivalente. O circuito com fonte de corrente análogo ao circuito de Thévenin,
ilustrado na figura 4, pode ser obtido com o auxílio do teorema de Norton.
FIGURA 4 - Circuito equivalente de Norton
O teorema de Norton afirma que:
Qualquer circuito de corrente contínua linear bilateral de dois terminais pode ser substituído por um circuito equivalente
formado por uma fonte de corrente e um resistor em paralelo, como na figura 4.
A discussão do teorema de Thévenin com relação ao circuito equivalente também pode ser aplicada ao circuito
equivalente de Norton.
Para obter os valores corretos de RN e IN, devemos executar a sequência de passos que aparece a seguir.
Passos Preliminares:
1. Isole a parte do circuito para a qual deseja obter o equivalente de Norton.
2. Assinale claramente os dois terminais do circuito remanescente.
3. Para calcular RN, elimine todas as fontes (substituindo as fontes de tensão por curto-circuitos e as fontes de corrente
por circuitos abertos) e em seguida determine a resistência equivalente entre os dois terminais escolhidos. (Se o circuito
3
original incluir as resistências internas de fontes de tensão e/ou fontes de correntes, estas resistências devem ser
mantidas quando as fontes forem eliminadas.)
Como RN=RTh, este passo é idêntico ao que foi descrito quando discutimos o teorema de Thévenin.
4. Para calcular IN, introduza todas as fontes de volta no circuito e em seguida determine a corrente de curto-circuito
entre os dois terminais escolhidos. Esta corrente é a mesma que seria medida por um amperímetro conectado entre os
terminais escolhidos.
5. Desenhe o circuito equivalente de Norton e recoloque entre os terminais de circuito equivalente a parte que foi
previamente removida.
Podemos também obter o circuito equivalente de Norton a partir do circuito equivalente de Thévenin e viceversa, utilizando as técnicas de transformação discutidas anteriormente e ilustradas na figura 5.
FIGURA 5 - Conversão entre circuitos equivalentes de Norton e de Thévenin.
5 TEOREMA DA MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA
Em diversas situações práticas, um circuito é projetado para fornecer potência a uma carga. Existem aplicações
em áreas como comunicações em que é desejável maximizar a potência liberada a uma carga. Agora, podemos tratar do
problema de liberar a potência máxima a uma carga quando um sistema com perdas internas conhecidas for dado. Deve
ser notado que isso resultará em perdas internas significativas maiores ou iguais à potência liberada à carga.
O circuito equivalente de Thévenin é útil para descobrir a potência máxima que um circuito linear pode liberar a
uma carga. Partimos do pressuposto de que podemos ajustar a resistência de carga RL. Se todo o circuito for substituído
pelo equivalente de Thévenin, exceto a carga, conforme mostra a figura 6, a potência liberada para a carga é
 VTh 
p  i RL  
 RL
 R Th  RL 
2
2
[1]
FIGURA 6 - O circuito usado para máxima transferência de potência.
Para um dado circuito, VTh e RTh são fixas. Variando a resistência de carga RL a potência liberada à carga varia conforme
descrito no gráfico abaixo:
GRÁFICO 1 - Potência liberada para a carga em função de RL.
Percebemos, dessa figura, que a potência é pequena para valores pequenos ou grandes de RL, mas máxima para
o mesmo valor de RL entre 0 e ∞. Agora, queremos mostrar que a potência máxima ocorre quando RL é igual a RTh. Isso é
conhecido como teorema da potência máxima.
4
A potência máxima é transferida a uma carga quando a resistência de carga for igual à resistência de Thévenin quando
vista da carga (RL = RTh).
Para provar o teorema da máxima transferência de potência, diferenciamos p na Equação 1 em relação a RL e
fazemos que o resultado seja igual a zero. Obtemos
 (R  RL )2  2RL (R Th  RL ) 
dp
 VTh2  Th

dRL
(R Th  RL )4


 (R  RL  2RL ) 
dp
 VTh2  Th
0
3
dRL
 (R Th  RL ) 
Isso implica que
(RTh + RL – 2RL) = 0
[2]
que leva a
RL = RTH
[3]
mostrando que a máxima transferência de potência ocorre quando a resistência de carga RL iguala a resistência de
Thévenin RTh. Podemos, prontamente, confirmar que a equação 1 fornece a potência máxima, mostrando que d2p/dR2L
< 0.
A potência máxima transferida é obtida substituindo a equação 3 na equação 1, para
pmax
VTh2

4R Th
[4]
A equação 4 se aplica apenas quando RL = RTh. Quando RL ≠ RTh, calculamos a potência liberada para a carga
usando a equação 1.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Determine I1 para o circuito da figura abaixo:
SOLUÇÃO
Fazendo E = 0 V no circuito da figura acima, obtemos o circuito da figura abaixo, no qual a bateria de 30 V foi substituída
por um curto-circuito.
Como vemos nessa figura, toda a corrente fornecida pela fonte de 3 A passa pelo ramo onde está o curto-circuito, e
assim I' 1 = 0A. Se aplicarmos a regra dos divisores de corrente,
I'1 
R SCI
0xI

 0A
R SC  R1 0  6
5
Por outro lado, se fizermos I igual a zero amperes, obteremos o circuito da figura a seguir, no qual a fonte de corrente
foi substituída por um circuito aberto. De acordo com a definição de resistência,
I''1 
E 30

 5A
R1 6
Como I'1 e I''1 têm o mesmo sentido, a corrente I1 é dada pela soma destas duas correntes, ou seja,
I1 =I'1 + I''1 = 0 A+ 5 A = 5 A
Note que neste caso a fonte de corrente não afeta a corrente que atravessa o resistor de 6Ω. A ddp entre os terminais
do resistor é 30 V, pois ele está em paralelo com a fonte de tensão.
02. Usando o teorema da superposição, calcule a corrente que atravessa o resistor de 12Ω da figura abaixo:
SOLUÇÃO
Levando em conta somente os efeitos da fonte de 54 V (ver figura a seguir):
RT  R1  R2  R3  24  12  4  24  3  27
E
54
IS  1 
 2A
R T 27
Utilizando a regra dos divisores de corrente,
I'2 
R3IS
4.2

 0,5A
R2  R3 12  4
Considerando agora somente os efeitos da fonte de 48 V (ver figura a seguir):
6
RT  R3  R1  R2  4  24  12  4  8  12
E
48
IS  2 
 4A
R T 12
Aplicando o divisor de corrente teremos:
I''2 
R1IS
24.4

 2,67A
R2  R1 24  12
A corrente resultante no resistor de 12 Ω será então (ver figura):
I2 = I"2 - I'2 = 2,67 A- 0,5 A= 2,17 A
03. Use o teorema da superposição para encontrar v no circuito da figura abaixo:
SOLUÇÃO
Já que existem duas fontes, façamos que V = V1 + V2 onde V1 e V2 são as contribuições devidas, respectivamente, à fonte
de tensão de 6 V e à fonte de corrente de 3 A.
Para obter V1 fazemos com que a fonte de corrente seja zero, conforme mostrado na figura abaixo:
Aplicando a lei das malhas à malha da figura acima, temos
12i1 -6 = 0
i1 = 0,5 A
Portanto,
V1 = 4i1 = 2 V
7
Para obtermos V2, fazemos que a fonte de tensão seja zero, como indicado na figura a seguir:
Usando divisão de corrente
i3 
8
.3  2A
48
Logo,
V2 = 4i3 = 8 V
Então finalmente encontramos
V = V1 + V2 = 2 + 8 = 10V
04. Encontre o circuito equivalente de Thévenin para a parte sombreada do circuito da figura abaixo. Em seguida,
determine a corrente que atravessa RL supondo que esta resistência vale 2Ω, 10Ω e 100Ω.
SOLUÇÃO
O 1o e 2o passos levam ao circuito da figura abaixo. Note que o resistor de carga RL foi removido e os dois terminais
foram rotulados como a e b.
3o passo: Substituindo a fonte de tensão E1 por um curto-circuito, obtemos o circuito da figura a seguir, no qual
R Th  R1  R2 
3.6
 2
36
8
Começamos agora a perceber a necessidade de assinalar claramente os dois terminais. É entre eles que medimos a
resistência de Thévenin. Esta não é a resistência total ligada à fonte, como na maior parte dos problemas vistos até aqui.
Se ao tentar calcular RTh você tiver dificuldade em perceber se as resistências estão em série ou em paralelo, lembre-se
de que o ohmímetro determina o valor da resistência submetendo o circuito a uma pequena corrente e medindo o valor
da ddp resultante. Esta corrente gerada pelo ohmímetro entra no circuito da figura (a) pelo terminal a; ao chegar à
junção entre R1 e R2, a corrente se divide da forma indicada na figura (b). O fato de que a corrente se divide em duas,
que voltam a se combinar na junção inferior, mostra que os resistores estão em paralelo do ponto de vista do
ohmímetro. Assim, o caminho da corrente aplicada pelo ohmímetro revela a forma como os resistores estão ligados aos
dois terminais de interesse e, portanto como a resistência da Thévenin pode ser determinada.
4o passo: Introduza novamente a fonte de tensão (figura abaixo). Neste exemplo, a tensão de circuito aberto ETh é igual
à ddp entre os terminais de resistor de 6Ω. Aplicando a regra dos divisores de tensão,
ETh 
R2E1
6.9

 6V
R 2  R1 6  3
É importante reconhecer que ETh é a tensão de circuito aberto entre os pontos a e b. Lembre-se de que um circuito
aberto pode ter qualquer tensão entre seus terminais, mas a corrente que o atravessa é, obviamente, nula. Além disso,
também deve ser nula a corrente em qualquer elemento ligado em série a um circuito aberto. O uso de um voltímetro
para medir ETh é ilustrado na figura abaixo. Note que o medidor está conectado aos terminais de R2, pois ETh e VR2 estão
em paralelo.
5o passo: (figura abaixo):
IL 
ETh
R Th  RL
IL 
6
 1,5A
22
Para RL = 2Ω:
Para RL = 10Ω:
9
IL 
6
 0,5A
2  10
Para RL = 100Ω:
IL 
6
 0,059A
2  100
Se não pudéssemos usar o teorema de Thévenin, teríamos que analisar novamente todo o circuito do problema para
determinar o valor de IL cada vez que o valor de RL fosse alterado.
05. Determine o circuito equivalente de Thévenin para a parte sombreada do circuito da figura abaixo:
SOLUÇÃO
O 1o e 2o passos aparecem na figura abaixo.
O 3o passo está ilustrado na figura a seguir. Substituímos a fonte de corrente por um circuito aberto e determinamos a
resistência entre b os terminais a e b.
Neste caso, se conectássemos um ohmímetro entre os terminais a e b, ele enviaria uma corrente de prova que passaria
diretamente por R1 e R2, com a mesma intensidade. Logo, R1 e R2 estão em série, e a resistência de Thévenin é a soma
das duas resistências.
RTh = R1 + R2 = 4Ω + 2Ω = 6Ω
O 4o passo (figura abaixo): Como existe um circuito aberto entre a e b, a corrente entre estes dois terminais é nula,
assim como a que percorre o resistor de 2Ω. Logo, a queda de tensão em R2 é
10
V2 = I2.R2 = 0. R2 = 0V
e
ETh = V1 = I1.R1 = I.R1 = 12.4 = 48V
O 5o passo está ilustrado na figura abaixo:
06. Encontre o circuito equivalente de Norton para a parte sombreada do circuito na figura a seguir:
SOLUÇÃO
Os passos 1 e 2 estão ilustrados na figura a seguir:
O passo 3 está ilustrado na figura abaixo e
RN  R 1  R 2  3  6 
3.6
 2
36
O passo 4 está ilustrado na figura a seguir:
11
O curto-circuito entre os terminais a e b está em paralelo com R2, eliminando qualquer efeito desta resistência. Assim, IN
é a corrente que atravessa R1, e toda tensão da bateria aparece entre os terminais de R1, já que
V2 = I2R2 = (0)6 Ω = 0 V
Logo
IN 
E 9
  3A
R1 3
O passo 5: Veja a figura abaixo:
07. Encontre o circuito equivalente de Norton para o circuito externo ao resistor de 9Ω na figura a seguir:
SOLUÇÃO
Passos 1 e 2: Veja a figura a seguir:
Passo 3: De acordo com a figura abaixo,
12
RN = R 1 + R 2 = 5 Ω + 4 Ω = 9 Ω
Passo 4: Como vemos na figura a seguir, a corrente de Norton é a mesma que atravessa o resistor de 4Ω.
Utilizando a regra dos divisores de corrente, teremos:
IN 
R1 .I
5.10

 5,56A
R1  R 2 5  4
Passo 5: Veja a figura abaixo:
08. Encontre o circuito equivalente de Norton para a parte do circuito à esquerda dos pontos a e b na figura abaixo:
SOLUÇÃO
Passos 1 e 2: Veja a figura abaixo:
13
O passo 3 está ilustrado na figura a seguir:
com
RN  R 1  R 2  4  6 
4.6
 2,4 
46
O passo 4: Como temos duas fontes em paralelo, utilizaremos o teorema de superposição.
Para a bateria de 7 V (figura abaixo),
teremos,
I'N 
E1 7
  1,75A
R1 4
No caso da fonte de 8 A (figura abaixo), verificamos que tanto R1 quanto R2 foram "curto-circuitadas" pela ligação direta
entre a e b e I’’N = I = 8A
O resultado é
IN= I’’N- I’N = 8A - 1,75A = 6,25A
O passo 5: Veja a figura a seguir:
14
09. A análise de um circuito transistorizado teve como resultado o circuito equivalente da figura abaixo. Determine a RL
necessária para que a carga dissipe a maior potência possível, e calcule esta potência.
SOLUÇÃO
Para a máxima potência devemos ter:
RL = RS = 40kΩ
Para calcular a potência usamos:
PLmáx 
então:
PLmáx 
IN2 RN
4
(10.10 3 )2 .(40.10 3 )
 1W
4
10. Na figura abaixo, uma carga fixa de 16Ω é aplicada a uma fonte de 48 V com uma resistência interna de 36 Ω.
a) Para as condições na figura, qual é a potência fornecida para a carga e a perdida para a resistência interna da fonte?
b) Se o(a) projetista tivesse algum controle sobre o nível de resistência interna da fonte, qual valor ele(a) deveria
estabelecer para a potência máxima da carga? Como ele se compara com o nível obtido na parte (a)?
SOLUÇÃO
E
48

 923,1mA
R S  RL 36  16
PRS  I2L RS  (923,1.10 3 ).36  30,68W
a) IL 
PRL  IL2RL  (923,1.10 3 ).16  13,63W
15
b) Tenha cuidado aqui. A resposta rápida é tomar a resistência da fonte RS igual à resistência de carga para satisfazer os
critérios do teorema da máxima transferência de potência. Entretanto, esse é um tipo totalmente diferente de
problema daquele que foi examinado anteriormente. Se a carga for fixa, quanto menor a resistência da fonte RS mais
tensão aplicada chegara á carga e menos será perdido no resistor em série interno. Na realidade a resistência da fonte
deve ser mantida tão baixa quanto o possível. Se zero ohm fosse possível para RS, a tensão através da carga seria a
tensão total da fonte, e a potência fornecida para a carga seria igual a:
VL2 482
PL 

 144W
RL 16
O que é mais de 10 vezes o valor com a resistência da fonte de 36Ω.
11. Determine no circuito da figura a seguir o valor de RL que torna máxima a potência por ela consumida e o valor desta
potência.
SOLUÇÃO
Observe a figura:
RTh = R1 + R2 + R3 = 3Ω + 10Ω + 2Ω = 15Ω e RL = RTh = 15Ω
Observe a figura,
Onde
V1= V3 = 0 V e V2 = I2R2 = IR2= (6 A)(10Ω) = 60 V
Aplicando a lei de Kirchhoff para tensões teremos:
ETh = V2 + E1 = 60 + 68 = 128V
logo
Pmáx 
E2Th 1282

 273,07W
4R Th 4.15
16
EXERCÍCIOS PARA RESOLVER
01. Usando o teorema da superposição, determine v0, no circuito da figura abaixo:
02. Determine v0 no circuito da figura usando o princípio da superposição.
03. Para o circuito da figura a seguir, use o teorema da superposição para determinar i.
04. Determine o circuito equivalente de Thévenin, referente ao circuito mostrado na figura a seguir, visto pelo resistor
de 5 Ω. Em seguida, calcule a corrente no resistor de 5 Ω.
05. Calcule a corrente i no circuito da figura abaixo usando o teorema de Thévenin. (Sugestão: Determine o equivalente
de Thévenin visto pelo resistor de 12 Ω.)
17
06. Determine o circuito equivalente de Thévenin do circuito mostrado na figura abaixo, à esquerda dos terminais a-b.
Em seguida, determine a corrente através de RL = 6Ω e 16Ω.
07. Obtenha o circuito equivalente de Norton nos terminais a-b do circuito da figura a seguir:
08. Para o circuito da figura abaixo, encontre o circuito equivalente de Norton nos terminais a-b.
09. Determine o equivalente de Norton nos terminais a-b do circuito da figura abaixo:
18
10. Use o teorema de Norton para determinar V0 no circuito da figura abaixo:
11. Dado o circuito da figura abaixo, obtenha o equivalente de Norton conforme visto dos terminais:
a) a-b
b) c-d
12. Determine o valor de RL para a máxima transferência de potência no circuito da figura abaixo. Determine a potência
máxima.
13. Determine a potência máxima que pode ser liberada para o resistor R no circuito da figura a seguir:
14. O resistor variável R na figura é ajustado até absorver a potência máxima do circuito.
a) Calcule o valor de R para a potência máxima.
19
b) Determine a potência máxima absorvida por R.
15. Calcule o valor de R que resulta na máxima transferência de potência para o resistor de 10Ω na figura abaixo.
Determine a potência máxima.
16. Para o circuito na figura:
a) Obtenha o equivalente de Thévenin nos terminais a-b.
b) Calcule a corrente em RL = 8 Ω.
c) Determine RL para a máxima potência que pode ser liberada para RL.
d) Determine essa potência máxima.
20