Introdução ao estudo de equações diferenciais

Matemática (AP) - 2008/09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais
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Introdução ao estudo de equações diferenciais
Introdução e de…nição de equação diferencial
Existe uma grande variedade de situações nas quais é necessário determinar uma quantidade
variável a partir de um seu coe…ciente de variação. Por exemplo:
se se quer calcular a posição de um ponto móvel, conhecendo, além da posição inicial
e do tempo decorrido, a sua velocidade ou aceleração;
no caso de uma colónia de bactérias, conhecer o seu número ao …m de um certo espaço
de tempo, sabendo a velocidade inicial e a velocidade de crescimento;
no caso de uma substância radioactiva que se desintegra, com coe…ciente de variação
conhecido, determinar a quantidade de substância remanescente ao …m de um dado
tempo, conhecida a quantidade inicial.
Em exemplos como estes procura-se determinar uma função desconhecida por meio de uma
equação que envolve pelo menos uma derivada da função a determinar. Tal equação tem o
nome de equação diferencial.
Se a função desconhecida é uma função real de variável real, as derivadas que aparecem
na equação diferencial são derivadas usuais e a equação é chamada equação diferencial
ordinária (se a função desconhecida é função de mais de uma variável, as derivadas que
aparecem são derivadas parciais e a equação diferencial é chamada equação com derivadas
parciais, mas este tipo de equações sai do âmbito deste curso).
Exemplos:
1. f 0 (x) = f (x) :
2. f 0 (x)
2f (x) = 0
3. f (x) f 0 (x) + x = 0
4. (f 0 (x))2 + x2 (f (x))2 =
1
Numa equação diferencial ordinária a incógnita é uma função real de variável real. Em geral
esta incógnita em vez de …gurar como "f (x)", aparece simpli…cada para "y": Assim, os
exemplos anteriores podem ser reescritos de uma forma mais simples:
Exemplos:
1. y 0 = y:
2. y 0
2y = 0
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3. yy 0 + x = 0
4. (y 0 )2 + x2 y 2 =
1
De…nição: Ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que
…gura nessa equação.
Exemplos
1. As equações diferenciais dos exemplos anteriores são de primeira ordem;
2. a equação y 00 + xy 0 = 0 é de segunda ordem;
3. y 000
x2 = 0 é de terceira ordem, etc.
Neste curso vamos apenas estudar a solução de alguns tipos de equações diferenciais de
primeira ordem.
Solução de uma equação diferencial
Tal como no cálculo de primitivas e integrais, quando se estuda equações diferenciais é
necessário ter em conta o domínio de de…nição das funções. Em muitos casos não é possível
ober soluções para uma equação cujo domínio seja R. Assim, uma solução, num intervalo
I de R, de uma dada equação diferencial é uma função, de…nida em I ; que transforme a
equação numa identidade, isto é, que veri…que a equação em todos os pontos x 2 I:
Exemplos:
1. y = ex é solução da equação diferencial y 0 = y:
2. y = 2ex também é solução da equação diferencial y 0 = y pois (2ex )0 = 2ex :
3. y = e2x é solução, em R, da equação diferencial y 0
2y = 0, pois y 0 = 2e2x e,
substituindo na equação, obtém-se
2e2x
p
2e2x = 0; 8x 2 R:
x2 é solução, no intervalo I = ] 1; 1[ ; da equação
x
diferencial yy 0 + x = 0, pois y 0 = p
e, substituindo as expressões de y e
1 x2
y 0 na equação, obtém-se
4. A função de…nida por y =
1
yy 0 + x =
=
=
p
x2
5. Consideremos a equação diferencial y 0 =
arbitrária,
1
+k
x
0
=
p
x
+x=
1 x2
x + x = 0; 8x 2 ] 1; 1[
1
1
: Como, para uma constante real k;
x2
1
; 8x 2 Rn f0g ; a expressão
x2
1
+ k; k 2 R
x
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1
em Rn f0g .
x2
6. A equação diferencial (y 0 )2 + x2 y 2 = 1 não tem nenhuma solução real, pois o
de…ne uma família de soluções de y 0 =
primeiro membro é positivo para todas as funções diferenciáveis reais.
7. A equação diferencial (y 0 )2 + y 2 = 0 tem como única solução y = 0; 8x 2 R.
Vimos nos exemplos 1 e 2 que uma equação diferencial pode ter mais do que uma solução. À
semelhança também do que acontecia no cálculo de primitivas, quando se calcula a solução
de uma equação diferencial em geral chega-se a uma expressão que inclui uma ou mais
constantes, de acordo com a ordem da equação, à qual se chama solução geral da equação.
Quando todas as soluções de uma equação diferencial se podem obter a partir da solução
geral dando diferentes valores às constantes, a solução geral diz-se solução completa, sendo
cada solução assim obtida uma solução particular. Qualquer outra solução que não possa
ser obtida deste modo a partir da solução geral diz-se uma solução singular.
As soluções particulares de uma equação diferencial podem-se obter …xando, à partida,
condições a que a função solução tem de obedecer e que se designam por condições iniciais. Chama-se problema de Cauchy ou problema de valores iniciais ao problema de
resolver uma equação diferencial sujeita a condições iniciais.
Exemplos:
1. y = sin x + k; k 2 R, é solução geral da equação diferencial y 0 = cos x e é solução
completa, visto que, efectivamente, duas funções cujas derivadas são iguais a cos x
diferem por uma constante.
2. y = Cx + C 2 é solução geral da equação diferencial (y 0 )2 + xy 0
y = 0 (veri…car);
mas não é solução completa, pois a equação admite também a solução singular
x2
y=
(veri…car). Note-se que y = Cx + C 2 representa uma família de rectas
4
x2
tem por grá…co
em que a ordenada na origem é o quadrado do declive e y =
4
uma parábola.
3. O problema de Cauchy
(
y 0 = 3y
y (0) = 5
;
admite como solução y = 5e3x ; pois
(
0
y 0 = (5e3x ) = 15e3x = 3 (5e3x ) = 3y
y (0) = 5e3
0
= 5:
;
A resolução de uma equação diferencial ordinária é um problema, de modo geral, bastante
difícil, havendo métodos gerais de resolução para poucos tipos de equações. Apresentam-se
de seguida as soluções para alguns tipos simples de equações diferenciais de primeira ordem.
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Ao longo do que se segue consideram-se as soluções das equações diferenciais de…nidas em
intervalos convenientes.
Equações diferenciais de variáveis separáveis de 1a ordem
Denomina-se equação diferencial de variáveis separáveis de 1a ordem a uma equação de 1a
ordem da forma
y 0 = f (x; y)
em que f (x; y) se pode escrever como um produto de duas funções contínuas, uma dependendo só de x e a outra em que só aparece y:
Exemplos:
As seguintes equações diferenciais são equações de variáveis separáveis:
1. y 0 = xy
sin x
2. y 0 =
cos y
1 + y2
0
3. y =
x2
Antes de dar o modo de encontrar solução para este tipo de equações, note-se que, se a
equação diferencial se pode escrever na forma
y 0 = A (x) C (y)
em que A (x) e C (y) são funções contínuas e se C (y) 6= 0; sendo B (y) =
1
;a equação
C (y)
pode tomar a forma
B (y) y 0 = A (x)
(1)
É esta última expressão da equação diferencial que se usa para calcular a solução deste tipo
de equações diferenciais. Quando uma equação de variáveis separáveis não está nesta forma,
o primeiro passo para a resolução consiste sempre em "passar" para o primeiro membro
todos os "y" que …guram na equação e para o segundo membro todos os "x", de modo a
obter a forma (1).
O teorema seguinte mostra como encontrar uma solução implícita para estas eqiuações,
podendo posteriormente ser explicitada para intervalos convenientes do domínio de y:
Teorema 1 Seja y uma solução da equação (1) tal que y 0 ; A (x) e a função composta B y
são funções contínuas num certo intervalo I e seja F qualquer primitiva de B (y) em y (I) :
Então y satisfaz também a equação
F (y) =
Z
A (x) dx:
Reciprocamente, se y satisfaz (2), então y é solução de (1).
(2)
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Demonstração: Se y é solução de (1), veri…ca-se
B (y (x)) y 0 (x) = A (x) ; 8x 2 I:
(3)
F 0 (y (x)) y 0 (x) = A (x) ; 8x 2 I:
(4)
Como F 0 = B; obtém-se
De acordo com a regra de derivação da função composta, o primeiro membro de (4) é a
derivada da função composta F y e, portanto, F y = F (y) é uma primitiva de A (x) ; pelo
que
F (y) =
que é a relação (2).
Z
A (x) dx;
Reciprocamente, se y satisfaz (2), derivando ambros os membros da dessa igualdade, obtémse (3), o que prova que y é solução da equação diferencial (1).
Observações:
A fórmula (2) pode também exprimir-se em função de B. Sendo F uma primitiva de
R
B (y) ; podemos escrever F = B (y) dy e (2) pode-se escrever na forma
Z
Z
B (y) dy = A (x) dx:
(5)
Esta última fórmula é a que é utilizada habitualmente para calcular a solução implícita
de uma equação diferencial de variáveis separáveis.
Na prática, a fórmula (5) obtém-se directamente de (1) por um processo "mecânico".
dy
(notação de Leibniz, que se considera
Na equação diferencial (1) substituindo y 0 por
dx
como uma fracção usual) obtem-se a relação
B (y)
dy
dx
= A (x) ,
, B (y) dy = A (x) dx:
(6)
Colocando então os sinais de integral inde…nido em ambos os membros de (6), obtém-se
(5). Note-se que o teorema anterior já deu a justi…cação deste processo "mecânico".
Conclusão:
A solução de uma equação diferencial da forma
B (y) y 0 = A (x)
é calculada, de forma implícita, através do cálculo de
Z
Z
B (y) dy = A (x) dx :
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Exemplos: Nas resoluções que se seguem, como já foi referido atrás, consideramos sempre
os cálculos efectuados em domínios reais que garantam a possibilidade dos cálculos a
efectuar. Por exemplo, a equivalência
y0 =
só é verdade quando
y 2 sin x ,
y0
= sin x
y2
y 2 6= 0. Também as soluções …nais são consideradas apenas em
intervalos em que estejam de…nidas.
1. A equação yy 0 =
x é uma equação de variáveis separáveis, já escrita na forma (1),
com
B (y) = y e A (x) =
x:
Aplicando a fórmula (5) obtém-se
Z
Z
B (y) dy =
A (x) dx ,
Z
Z
,
ydy =
xdx
x2
y2
=
+ k:
2
2
, y 2 = x2 + 2k:
,
Como para k 2 R, 2k toma todos os valores reais, a expressão
y2 =
x2 + k; k 2 R;
é a forma implícita da
geral desta equação, que só está de…nida para
h solução
p p i
k; k : A solução explícita …ca então
0; ou seja, para x 2
p
y=
x2 + k; k 2 R;
x2 + k
2. y 0 + y 2 sin x = 0 é uma equação de variáveis separáveis. Começamos por escrevê-la na
forma (1):
y 0 + y 2 sin x = 0
, y 0 = y 2 sin x
y0
= sin x
,
y2
Neste caso B (x) =
1
e A (x) = sin x e tem-se
y2
Z
Z
B (y) dy =
A (x) dx ,
Z
Z
1
,
dy = sin xdx
y2
1
,
= cos x + k:
y
1
, y=
cos x + k
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1 + y2
y0
1
3. y =
,
= 2
2
2
x
1+y
x
1
1
Neste caso B (x) =
e A (x) = 2 e tem-se
2
1+y
x
Z
Z
B (y) dy =
A (x) dx ,
Z
Z
1
1
dy =
dx
,
2
1+y
x2
1
+ k:
, arctan y =
x
1
, y = tan
+k
x
0
sin x
, cos y y 0 = sin x
cos y
Neste caso B (x) = cos y e A (x) = sin x e tem-se
Z
Z
B (y) dy =
A (x) dx ,
Z
Z
,
cos ydy = sin xdx
4. y 0 =
, sin y =
cos x + k:
, y = arcsin ( cos x + k)
Equações diferenciais lineares
De…nição: Uma equação diferencial diz-se linear se pode ser escrita na forma
a0 (x) y (n) + a1 (x) y (n
1)
+
+ an
1
(x) y 0 + an y = F (x)
em que a0 ; a1 ; : : : ; an e F (x) são funções conhecidas e contínuas de x: Todas as outras
equações diferenciais são não lineares.
Exemplos:
1. y 00 + xy 0 + x2 y = ex é linear.
2. y 00 + cos x = 0 é linear. (neste caso a1 (x) = 0 e a2 (x) = 0)
3. y 00 + yy 0 + x = 0 é não linear.
4. (y 0 )2 + yy 0 + x = 0 é não linear.
As equações diferenciais lineares, dado terem uma forma muito regular, permitem, em várias
situações particulares, o cálculo de soluções gerais, não existindo, no entanto, nem neste caso,
solução geral para uma equação linear arbitrária. Neste curso vamos apenas dar a solução
geral para equações diferenciais lineares de 1a ordem.
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Equações diferenciais lineares de 1a ordem
A forma geral de uma equação diferencial linear de 1a ordem é
A (x) y 0 + B (x) y = C (x) ;
(7)
onde A; B e C representam funções contínuas de x de…nidas num conjunto real X. Supõe-se
que A (x) 6= 0; isto é, que A (x) é sempre positiva ou sempre negativa em X, para poder
dividir (7) por A (x) e obter a forma
y 0 + f (x) y = g (x) ;
(8)
onde f (x) e g (x) são funções contínuas de x:
É a expressão (8) que é usada para a fórmula que dá a solução geral destas equações. Quando
uma equação linear não está nesta forma, o primeiro passo para a resolução consiste sempre
dividir as três parcelas da equação pela função de x que esteja a multiplicar por y 0 ; de modo
a que y 0 …que isolado e a equação tenha a forma (8).
Equações diferenciais lineares de 1a ordem homogéneas
Consideremos em primeiro lugar o caso em que g (x) é a função identicamente nula. A
equação resultante,
y 0 + f (x) y = 0;
(9)
chama-se equação reduzida ou homogénea correspondente a (8). Esta equação é uma
equação de variáveis separáveis, pelo que é possível calcular a solução:
y 0 + f (x) y = 0 ,
, y 0 = f (x) y
y0
,
= f (x) (se y 6= 0)
y
1
Tem-se, neste caso, B (x) = e A (x) = f (x) e tem-se (lembremos que o integral inde…nido
y
R
f (x) dx é o mesmo que P (f (x)) + k; k 2 R, em que P (f (x)) indica uma primitiva de
f (x)).
Z
Z
A (x) dx ,
Z
1
,
dy =
f (x) dx
y
, ln jyj = P (f (x)) + k; k 2 R
B (y) dy =
Z
, jyj = e
P (f (x))+k
, jyj = ek e
, y=
P (f (x))
ek e
;k 2 R
;k 2 R
P (f (x))
;k 2 R
Como, para k 2 R, ek assume todos os possíveis valores positivos e atendendo ainda a que
a função y = 0 também é solução de y 0 + f (x) y = 0; obtém-se para solução geral de (9) a
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função:
y = Ce
P (f (x))
;C 2 R
Neste caso podemos também encontrar uma fórmula para a solução do problema de valores
iniciais associado a este tipo de equações diferenciais ou seja, para, dados a; b 2 R, a solução
y da equação
y 0 + f (x) y = 0
satisfazendo y (a) = b é
y = be
Rx
f (t)dt
a
Exemplos:
1. Na equação y 0 + 2y = 0 tem-se f (x) = 2; pelo que a solução é
P (2)
y = Ce
, y = Ce
2. xy 0 + y = 0 , y 0 +
;C 2 R
2x
;C 2 R
1
y
= 0: Neste caso f (x) = e
x
x
P
y = Ce
1
x
;C 2 R
, y = Ce ln x ; C 2 R
C
, y = ;C 2 R
x
(
(1 + x2 ) y 0 + y = 0
3. Consideremos o problema de valores iniciais
:
y (1) = 1
Como (1 + x2 ) y 0 + y = 0 , y 0 +
b = 1. Pelo teorema
1
y
= 0; a função f (x) =
e temos a = 1 e
2
1+x
1 + x2
y = 1e
Rx
1
, y=e
, y=e
1
dt
1+t2
,
[arctan t]x
1
arctan x+ 4
Equações diferenciais lineares de 1a ordem não homogéneas
De seguida vamos estudar a forma de resolver a equação diferencial não homogénea (8).
A partir da solução da equação homogénea, é possível concluir que a solução geral para a
equação
y 0 + f (x) y = g (x)
é da forma
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y = Ce
P (f (x))
+e
P (f (x))
86
P eP (f (x)) g (x)
A solução do problema de valores iniciais associado a este tipo de equações diferenciais ou
seja, dados a; b 2 R, a solução y da equação
y 0 + f (x) y = g (x)
satisfazendo y (a) = b é
A(x)
f (x) = be
+e
A(x)
Rx
eA(t) g (t) dt;
(10)
a
em que
A (x) =
Rx
f (t) dt
a
Exemplos:
1. Consideremos a equação y 0 +y tan x = cos2 x: Nesta equação f (x) = tan x; g (x) =
cos2 x e
P (f (x)) = P (tan x) =
ln (cos x)
Então:
y = Ce
P (f (x))
, y = Ce
+e
P (f (x))
ln(cos x))
(
P eP (f (x)) g (x)
+e
ln(cos x))
(
P e
ln(cos x)
1
cos2 x
cos x
, y = C cos x + cos xP (cos x)
, y = C cos x + cos xP
, y = C cos x + cos x sin x; C 2 R
8
< y 0 + xy = x
2. Consideremos o problema de valores iniciais
1 :
: y (0) =
2
1
:
2
Neste caso f (x) = x; g (x) = x; a = 0; b =
Assim, A (x) =
Rx
f (t) dt =
a
Rx
0
tdt = 12 x2 e
y = be
A(x)
+e
A(x)
Zx
eA(t) g (t) dt;
a
y =
1
e
2
1 2
x
2
+e
1 2
x
2
Zx
1
2
e 2 t t dt;
0
, y=
, y=
, y=
1
e
2
1
e
2
3
e
2
1 2
x
2
+e
1 2
x
2
1 2
x
2
+1
e
1 2
x
2
+1
1
e2x
1 2
x
2
2
1
cos2 x