ne-6710 - sistemas digitais i – lógica proposicional, teoria conjuntos.

Notas de Aulas – Aula 2
Prof. Luís Caldas
NE-6710 - SISTEMAS DIGITAIS I – LÓGICA PROPOSICIONAL, TEORIA CONJUNTOS.
A.0 Noções de Lógica Matemática
A,0.1. Cálculo Proposicional
Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o Cálculo Proporcional ou Cálculo
Sentencial ou ainda Cálculo das Sentenças.
A.0.2. Conceito de Proposição: sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem)
da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.
• A lua é quadrada.
• A neve é branca.
• Matemática é uma ciência.
Não serão objetos de estudos as sentenças interrogativas ou exclamativas.
A.0.3. Os símbolos da linguagem do Cálculo Proposional
a) Variáveis Proporcionais: letras latinas minúsculas p,q,r,s,... para indicar as proposições (fórmulas
atômicas). Exemplos:
A lua é quadrada: p
A neve é branca : q
b) Conectivos Lógicos: As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si e, para representar
tais combinações usaremos os conectivos lógicos:
1)Λ : E ,
2) V: OU,
3) ® : se...então ,
4) " : se e somente se ,
5) ~: não.
Exemplos :
A bola é quadrada e o céu é azul. : p Λ q (p e q são chamados conjuntivas)·
A bola é quadrada ou o céu é azul. : p V q ( p e q são chamados disjuntivas)·
Se a bola é quadrada então o céu é azul. : p ® q (p é o antecedente e q o conseqüente)·
A bola é quadrada se e somente se o céu é azul. : p " q
A bola não é quadrada. : ~p
A.0.4 Símbolos Auxiliares: ( ), parênteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos;
Exemplos :
Se a bola é quadrada e o céu é azul então a bola não é quadrada. : ((p Λ q) ® ~ p)
A bola não é quadrada se e somente se o céu é azul. : ((~ p) "q))
A.0.5 Definição de Fórmula:
1. Toda fórmula atômica é uma fórmula.
2. Se A e B são fórmulas então (A Λ B), (A V B), (A ® B), (A " B) e (~ A) também são fórmulas.
3. São fórmulas apenas as obtidas em 1 e 2.
Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos: ~, Λ, V , ®, " .
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Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela direita.
Exemplo :
A fórmula p V q V ~ r ® p ® ~ q deve ser entendida como (((p V q) Λ (~ r)) ® ( p ® (~ q))).
A.0.6 As Tabelas Verdade - A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que
podem ser formulados como segue:
A.0.7 Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.
A.0.8 Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra),
uma delas é falsa.
A.0.9 Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é
verdadeira.
Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo
mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente. Para determinar o
valor (verdade ou falsidade) das proposições compostas (moleculares), conhecidos os valores das
proposições simples (atômicas) que as compõem usaremos tabelas-verdade:
1. Tabela verdade da "negação": ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira).
p
F
V
~p
V
F
2. Tabela verdade da "conjunção": a conjunção é verdadeira se e somente as conjuntivas são
verdadeiras p Λ q ;
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pΛq
V
F
F
F
3. Tabela verdade da "disjunção": a disjunção é falsa se, e somente, os disjuntivas são falsos. p V q;
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pVq
V
V
V
F
4. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro
e o conseqüente é falso. p => q ;
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p => q
V
F
V
V
5. Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é verdadeira se, e somente se seus
componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos p Ù q;
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p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pÙq
V
F
F
V
A.0.10 Número de Linhas de uma Tabela - Verdade:
Cada proposição simples (atômica) tem dois valores V ou F, que se excluem.
Para n atômicas distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição de 2 (V e F)
elementos n a n. Segue-se que o número de linhas da tabela verdade é 2n. Assim, para duas
proposições são 22 = 4 linhas; para 3 proposições são 23 = 8; etc.
Exemplo : A tabela verdade ((p Λ q) => r) terá 8 linhas como segue : p q r ((p Λ q) => r ).
p
F
F
F
F
V
V
V
V
q
F
F
V
V
F
F
V
V
r
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
1. Frases que não são proposições
o Chega!
o Quer assistir ao jogo?
o Eu não sei bem ao certo m certo se o dia foi nublado ou escuro.
2. Frases que são proposições
o A cor dos olhos da Mayra são castanhos (V)
o O Marcio é um estudante de engenharia da FEI (V)
o A Lucapel é uma empresa multinacional (F)
o O FEI fica em São Caetano do Sul (F)
o O Corinthians é o maior time do mundo (F).
A.0.11 Composição de Proposições
O método de construir proposições a partir de proposições existentes.é conhecido por Composição
de Proposições. Suponha que tenhamos duas proposições,
A = "Marcio é piloto profissional"
B = "Marcio é menor"
A proposição A é falsa F e B é verdadeira V, Os exemplos a seguir mostram as várias combinações
com as proposições A e B e os conectivos:
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•
•
•
•
"Marcio não é piloto profissional " (não A)
"Marcio não é menor" (não B)
"Marcio é piloto profissional " e "Marcio é menor" (A e B)
"Marcio é piloto profissional" ou "Marcio é menor" (A ou B)
"Maria não é piloto profissional " e "Marcio é menor" ((não A) e B)
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"Marcio não é piloto profissional " ou "Marcio é menor" (não(A) ou B)
"Marcio é piloto profissional " ou "Marcio não é menor" (A ou não(B))
"Marcio é piloto profissional " e "Marcio não é menor" (A e não(B))
Se "Marcio é piloto profissional " então "Marcio é menor" (A => B)
Se "Marcio não é piloto profissional " então "Marcio é menor" (não(A) => B)
"Marcio não é piloto profissional " e "Marcio é menor" (não(A) e B)
"Marcio tem 22 anos" é equivalente a "Marcio não é menor" (C <=> não(B))
Observação : Para composição das proposições utiliza-se os símbolos conectivos NÃO (negação), E
(conjunção), OU (disjunção), => (implicação) e, finalmente, <=> (equivalência). São os chamados
conectivos lógicos. Note, também, que usou-se um símbolo para representar uma proposição: C
representa a proposição Marcio tem 22 anos. Assim, não(B) representa Marcio não é menor, uma vez
que B representa Marcio é menor.
A.0.12 Algumas Leis Fundamentais
Lei do Meio Excluido
Lei da Contradição
Lei da Funcionalidade
Um proposição é falsa (F) ou verdadeira (V):
Uma proposição não pode ser, simultaneamente, (F) e (V).
O valor lógico (F ou V) de uma composição de proposições é
determinada pelos valores lógicos de suas proposições individuais.
A. – ANEXO A - ÁLGEBRA DE BOOLE pág. 515
INTRODUÇÃO : George Boole nasceu em 1815 e morreu em 1864. Matemático Britânico, nasceu em
Lincoln a 2 de Novembro de 1815.
Boole foi e continua a ser considerado pelos colegas de profissão, e por todos aqueles que se
dedicam à matemática, como um gênio.
A lei especial da Lógica de Boole é baseada na proposição : x em relação a y = x. Para isso ser
verdade, implica que x = 1 ou x = 0. Sendo assim, a Lógica de Boole tem que utilizar um sistema
binário.
Então dessa afirmação, temos:
1. X + Y = X (União)
2 . X ΛY = X (Intersecção)
Pela teoria dos conjuntos, temos:
Intersecção X Λ Y
União X + Y
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A.1 Teoremas da álgebra booleana.
B = {a,b,c,....n}
P1: Comutativa
Se a,b ∈ B, então:
i. a + b =
ii. a × b =
P2: Distributiva
Se a,b, e c ∈ B, então:
i. a + (b × c) =
ii. a × (b + c) =
P3: Identidade
i. a + 0 = 0 + a =
ii. a × 1 = 1 × a =
P4: Complemento
i. a + a’ =
ii. a × a’ =
ORDEM DE PRECEDÊNCIA
Operador (×) tem precedência sobre o operador ( ).
A.2 ÁLGEBRA DE CHAVEAMENTO – Teorema 1.
Usada para descrever funções de chaveamento por meio de expressões de chaveamento. Consiste de 2
elementos B = (0,1) e 2 operações E e OU, definidas pela seguinte maneira:
E 0 1
0
1
OU 0 1
0
1
a a’ a+a’ a×a’
0
1
0×1=
0+1=
A.3. Teoremas da álgebra de boole
T2. Princípio da Dualidade
•
•
As operações + e × são intercambiáveis entre si; e
Os elementos de identidade 0 e 1 tb são intercambiáveis entre si.
T3. Único Complemento
•
Todo elemento tem um único complemento.
T4.
a+1=
a×0=
T.5
0’ =
1’ =
T6.
a+a=
a×a=
T8. Absorção
1. a + a × b =
2. a × (a + b) = (a × a) + (a × b) =
T9.
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t7.
(a’)’=
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1. a + a’b =
2. a’ + ab =
3. a(a’ + b) =
T10. Associativa
1. a + (b + c) =
2. a(bc) =
T11. DeMorgan
1. (a + b)’ =
2. (ab)’ =
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