Terceira lista de Teoria Elementar dos Números

Terceira lista de Teoria Elementar dos Números
Congruências Lineares entre outros problemas vistos.
(
(
1- Resolver o sistema de congruências lineares {
2- Determinar um valor de s tal que
divisão de
por 2011.
3- Demonstrar
que
o
sistema
de
(
)
(
)
Tem solução se, e somente se, para todo i e j,
particular em que
restos).
(
)
(
)
) .
(
)
) e calcule o resto da
congruências
(
)
(
)|(
(
),
) ( No caso
o problema se reduz ao Teorema chinês dos
4- Resolver os sistemas de congruências lineares
(
)
(
)
(
)
(
)
a) {
){
(
)
(
)
(
)
(
)
b) {
(
)
5- Levi tem uma biblioteca contendo livros, na contagem de dois em dois, de três
em três, de quatro em quatro e de cinco em cinco, sobram 1, 2, 3 e 4 livros,
respectivamente. Qual é a menor quantidade de livros que a biblioteca de Levi
pode ter?
| e |
6- Mostrar que para e inteiros temos que |(
)
7- Um grupamento de soldados foi disposto em um bloco retangular, com várias
fileiras. O comandante observou que, ao colocar 12 soldados por fileira, sobram
7 soldados e, ao colocar 13 soldados por fileira, sobram 5 soldados. Sabendo que
o total de soldados estava situado entre 600 e 700, pergunta-se: quantos soldados
havia?
8- Mostre, utilizando o teorema chinês dos restos, que, dado
inteiro, existem
naturais consecutivos, todos compostos.
9- Seja
o resto que um número natural deixa na divisão por m. Dado um natural
que deixa restos
, prove que
10- Joelison desafia Levi, o mesmo pede que Levi escolha um número natural
menor que 455 e que diga os restos que o número escolhido deixa na divisão por
5, 7 e 13, ou seja,
. Sem nenhuma outra informação, Joelison é capaz
de adivinhar o número escolhido por Levi. Como?
11- Ache todos os inteiros que deixam restos 2, 3 e 4 quando divididos por 3, 4 e 5,
respectivamente.
12- Ache o menor número natural que deixa restos 1, 3 e 5 quando divididos por 5, 7
e 9, respectivamente.
13- Dispomos de uma quantia de x reais menor do que 3000. Se distribuirmos essa
quantia entre 11 pessoas, sobra 1 real; se a distribuirmos entre 12 pessoas,
sobram 2 reais e se a distribuirmos entre 13 pessoas, sobram 3 reais. De quanto
dispomos?
14- Um macaco, ao subir uma escada de dois em dois degraus, deixa de sobra um
degrau; ao subir de três em três degraus, sobram dois degraus; e ao subir de
cinco em cinco degraus, sobram três degraus. Quantos degraus possui a escada,
sabendo que o número de degraus está entre 150 e 200?
15- Dados
com
, a congruência
possui solução
se, e somente se,
(
) divide
16- Levando em consideração que
resolva a congruência
17- Ache os inteiros que deixam restos 1, 2, 5 e 5 quando divididos por 2, 3, 6 e 12,
respectivamente.
18- Se um macaco sobe uma escada de dois em dois degraus, sobra um degrau; se
ele sobe de três em três degraus, sobram dois degraus. Quantos degraus a escada
possui, sabendo que o número de degraus é múltiplo de sete e está
compreendido entre 40 e 100?
19- Um bando de 17 piratas, ao tentar dividir igualmente entre si as moedas de uma
arca, verificou que haveria uma sobra de três moedas. Seguiu-se uma discussão
na qual um pirata foi morto. Na nova tentativa de divisão, já com um pirata a
menos, verificou-se que haveria uma sobra de dez moedas. Nova confusão, e
mais um pirata foi morto. Então, por fim eles conseguiram dividir igualmente as
moedas entre si. Qual o menor número de moedas que a arca poderia conter?
20- Mostre o número o número
é
divisível por 1998.
21- . (OBM 2009) Sejam m e n dois inteiros positivos primos entre si. O Teorema
Chinês dos Restos afirma que, dados inteiros i e j com 0 ≤ i < m e 0 ≤ j < n,
existe exatamente um inteiro , com 0 ≤ a < mn, tal que o resto da divisão de
por m é igual a e o resto da divisão de a por n é igual a j. Por exemplo, para
m = 3 e n = 7, temos que 19 é o único número que deixa restos 1 e 5 quando
dividido por 3 e 7, respectivamente. Assim, na tabela a seguir, cada número de 0
a 20 aparecerá exatamente uma vez.
Qual a soma dos números das casas com as letras A, B, C, D, E e F?
22- Encontre todas as soluções do sistema:
23- Encontre todos os inteiros que deixam restos 1, 2 e 3 quando divididos por 3, 4 e
5, respectivamente.
24- Encontre todas as soluções do sistema:
25- Resolver as equações lineares