Notas em Álgebra Linear

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Notas em Álgebra Linear
Pedro Rafael Lopes Fernandes
Definições básicas
Uma equação linear, nas variáveis
é uma equação que pode ser escrita na forma:
( )
onde e os coeficientes
são números reais ou complexos, geralmente já conhecidos. O
subíndice pode ser qualquer inteiro positivo.
Exemplos: As equações:
(√
)
são ambas lineares porque podem ser escritas na forma da equação (1):
√
Já as equações:
√
não são lineares por causa da presença de
na primeira equação e de √
na segunda.
Um sistema de equações lineares é uma coleção de duas ou mais equações lineares
envolvendo as mesmas variáveis, digamos
. Um exemplo é:
{
( )
Uma solução do sistema é uma lista (
) de números que torna cada equação verdadeira
quando os valores
são substituídos por
, respectivamente. Por exemplo ,
(
) é uma solução para o sistema (2) porque quando esses valores são substituídos em (2), as
equações são simplificadas para
.
O conjunto de todas as soluções possíveis é chamado de conjunto solução do sistema linear.
Dois sistemas são chamados equivalentes se eles têm o mesmo conjunto solução. Um sistema de
equações lineares tem



Nenhuma solução, ou
Exatamente uma solução, ou
Infinitas soluções.
Dizemos que um sistema linear é possível se ele tem uma solução ou infinitas soluções; um sistema
impossível se ele não tem nenhuma solução.
Notação Matricial
1
Professor Mestre no DEC/UERN.
A informação essencial de um sistema linear pode ser representada de forma compacta através de
uma matriz. Dado o sistema:
{
(3)
Com os coeficientes de cada variável alinhados em colunas obtemos a matriz dos coeficientes
(
)
Já a matriz completa de um sistema consiste na matriz dos coeficientes com uma coluna adicional
que contém as constantes do lado direito das equações.
(
) (4)
O tipo de uma matriz informa quantas linhas e quantas colunas ela tem. A matriz completa (4) tem
3 linhas e e 4 colunas e é chamada de uma matriz 3 4. Se
são inteiros positivos, uma matriz
é um reticulado retangular de números com m linhas e n colunas. Lembre o número de
linhas sempre vem primeiro.
Resolvendo um Sistema Linear
A estratégia básica é substituir um sistema por um sistema equivalente que seja mais fácil de
resolver. Resumidamente, usamos o termo em da primeira equação do sistema para eliminar os
termos em
das outras equações. Depois, usamos o termo em
da segunda equação para
eliminar os termos em
das outras equações, e assim por diante, até finalmente obtermos um
sistema equivalente muito simples.
Três operações básicas são usadas para simplificar um sistema linear:
1. Substituir uma equação pela soma dela mesma com um múltiplo de outra.
2. Trocar entre si duas equações, e
3. Multiplicar todos os termos de uma equação por uma constante não nula.
Exemplo: Resolvendo o sistema (3)
Resolução:
( )
( )
( )
( )
De b) obtemos:
Substituamos (d) em (a) e (b) para obter um novo sistema:
{
(
(
)
)
)
{
)
Agora multiplique a expressão, e) por 4 e em seguida some a equação resultante com a igualdade f):
e)
)
h) + f): {
Da soma dessas duas igualdades obtemos:
Da equação d) sabemos que:
( )
Da equação a) sabe-se que:
Logo:
(
Assim a solução do sistema 3 é: (
)
)
Outro caminho:
{
Queremos manter na primeira equação e eliminá-lo das outras. Para isso, somamos 4 vezes a
equação 1 com a equação 3.
{
{
O resultado desse cálculo é colocado no lugar da terceira equação original:
A seguir multiplicamos a equação 2 por ½ para obter o coeficiente de
da equação 2 para eliminar o –
Usamos o
{
.
da equação 3. O cálculo “mental” é
{
O novo sistema tem uma forma triangular.
{
Em algum momento, vamos querer eliminar o termo
da equação 1, mas se torna mais
eficiente usar, primeiramente, o da equação 3 para eliminar os termos
e
das equações
2 e 1. Os dois cálculos “mentais” são:
{
{
{
{
Combinando os resultados dessas duas operações:
{
Uma forma mais geral de resolução de sistemas de equações lineares é coloca-los na forma
matricial,
e aplicar a regra de Cramer. Onde A é a matriz dos coeficientes, X, é o vetor
coluna das incógnitas e b é o vetor matriz dos termos constantes ou independentes. No entanto,
antes de introduzir a regra de Cramer se faz necessário um preâmbulo sobre os conceitos básicos de
operações com matrizes e determinantes.
Definição 1– Determinante – Para
, o determinantes de uma matriz
,
, é a soma
de termos da forma
, com os sinais de mais e menos se alternando, onde os
elementos
são da primeira linha de A. Em símbolos,
| |
|
|
|
|
(
)
|
|
)
∑(
Onde | | é o denominado o menor de . Em termos práticos, |
resultante da omissão da linha e coluna da matriz original.
|
|
| é o determinante da matriz
Agora vamos introduzir as regras de multiplicação e soma de matrizes com matrizes e matrizes com
escalar (isto é, um número qualquer).
Somas e Multiplicação por Escalar
Duas matrizes são iguais se elas são do mesmo tipo (i.e., têm o mesmo número de linhas e o mesmo
número de colunas) e se seus elementos correspondentes são iguais. Se A e B são matrizes
,
então a soma A+B é a matriz
cujas colunas são as somas das colunas correspondentes de A e
B. A soma de A e B está definida apenas quando A e B são do mesmo tipo.
Exemplo: Sejam
[
]
[
],
[
]
Então,
[
Mas
não está definida porque
]
são de tipos diferentes.
Se é um escalar e A é uma matriz, então o múltiplo escalar
( )
vezes as colunas correspondentes de A.
é a matriz cujas colunas são
( )
Teorema 1
Sejam
a)
b) (
c)
matrizes do mesmo tipo e sejam
)
(
)
escalares.
)
d) (
)
e) (
f) ( ) ( )
Multiplicação de Matrizes
Se A é uma matriz
e B é uma matriz
, de colunas
matriz
cujas colunas são
. Isto é,
então o produto
éa
[
Exemplo: Calcule
[
, onde
Solução: escreva
[
]
]
[
e
].
e calcule:
][ ]
[
]
[
][
]
[
],
[
][ ]
[ ]
Então,
[
]
Teorema 2
Seja
definidos.
a) (
b) (
c) (
d) (
e)
, e sejam
)
(
e
com os tipos adequados de modo que as somas e os produtos estejam
)
)
)
)
(
)
(
)
Onde
e são matrizes identidades. Por definição uma matriz com 1’s na diagonal e 0’s nas
demais posições é denominada uma matriz identidade.
Exemplo:
[
]
Observações:
a) Em geral,
b) As leis de cancelamento não valem para a multiplicação de matrizes. Isto é, se
não é verdade, em geral, que
.
c) Se o produto
for a matriz nula, não se pode concluir, em geral, que
ou
Definição – Se A é uma matriz
e se
cópias de A. Interpretamos
como .
é um inteiro positivo, então
, então
.
denota o produto de
A Transposta de uma Matriz
Dada uma matriz
A, a transposta de é a matriz
formadas com as linhas correspondentes de A.
Exemplo:
, denotada por
, cujas colunas são
[
]
[
]
Teorema 3:
Sejam A e B matrizes cujos tipos são apropriados para as seguintes somas e produtos.
a)
b)
c)
d)
( )
(
)
Para qualquer escalar
( )
(
)
A Inversa de uma Matriz
Se A é uma matriz
, muitas vezes existe outra matriz C,
, tal que^
e
Onde é a matriz identidade
. Nesse caso dizemos que A é invertível e que C é uma inversa
( ) ( )
de A. Se B fosse outra inversa de A, teríamos
. Assim
quando A é invertível, sua inversa é única. Vamos denotá-la por
, de modo que:
e
Uma matriz que não é invertível é, às vezes, chamada de matriz singular, e uma matriz invertível,
de matriz não singular.
Teorema 4
|
Seja
|. Se
, então A é invertível e:
|
Se
|
, então A não é invertível.
Teorema 5
Se A é uma matriz invertível,
solução a saber,
.
, então para cada b no
, a equação
tem uma única
Exemplo: use a inversa da matriz A, para resolver o sistema:
tem a seguinte forma: |
O sistema matricial
|
|
|
| |
|
|| |
|
| |. Pelo teorema 4 temos que
Teorema 6:
a) Se A for uma matriz invertível, então
é invertível e:
(
)
b) Se A e B são matrizes invertíveis
, então AB também é, e a inversa de AB é o produto
das inversas de A e B com a ordem invertida. Isto é,
( )
c) Se A é uma matriz invertível, então
também é, e a inversa de
é a transposta de
.
Isto é,
(
)
(
)
Determinantes
Usando a definição de determinantes dada na definição (1) e chamando de cofator de
(
)
|
|
o termo
podemos redefinir o determinante de uma matriz quadrada A como:
Definição 2
∑
∑
Para ilustrar melhor segue um exemplo:
|
Seja a matriz;
|
Encontre o determinante.
Solução
Por definição o det A
.
O termo
(
. Lembre que o cofator de
)
|
| , onde |
|
|
| é o menor de
|
|
. Assim para
(
)(
Assim o primeiro termo de det A é
|
|
|
é dado por
temos que:
(
)
)
. De forma análoga obtêm-se
|
Dessa maneira o segundo termo da soma é
(
)(
)
(
)(
(
)
e
.
)
. Vamos agora obter
.
|
|
|
|
(
)
(
)
Assim temos que;
| |
Regra de Cramer
Definição 3 – Para qualquer matriz
substituindo a coluna pelo vetor .
e qualquer
do
, seja
( ) a matriz obtida de
( )
Seja A uma matriz
por:
invertível. Para qualquer b do
, a solução única de x de Ax=b é dada
( )
Exemplos:
Use a regra de Cramer para resolver o seguinte sistema:
Solução – Considere o sistema
. Usando a notação introduzida na definição 3 obtemos:
|
Por definição:
e
(
(
( )
|
)
)
(
)
|
|
( )
|
|
( )
e
. Assim pela regra de Cramer:
Referências
LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. 2.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.