MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS 1

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FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA
José Fernando Fragalli
Departamento de Física – Udesc/Joinville
MODELO ATÔMICOS CLÁSSICOS
E SEMICLÁSSICOS
“É errado pensar que a tarefa da física é
descobrir como a natureza é. Física diz
respeito ao que dizemos sobre a Natureza” –
Niels Bohr
Física para Engenharia Elétrica – Modelos Atômicos Clássicos e Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
1. Introdução
2. Modelo de Thomson
3. Modelo de Rutherford
4. A Espectroscopia de Vapores Atômicos
5. O Modelo de Bohr
6. O Modelo de Sommerfeld
7. O Princípio da Correspondência
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
1. INTRODUÇÃO
A Atomística enquanto filosofia
Uma possível (???) cena na Grécia Antiga...
“Filósofos” gregos, imaginando uma forma
de dividir o átomo.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
1. INTRODUÇÃO
Atomística... As ideias de Aristóteles
As primeiras ideias (filosóficas) sobre a composição da
matéria são devidas a Aristóteles (384-322 AC).
Aristóteles era partidário da divisibilidade infinita da
matéria.
Assim, para Aristóteles os corpos eram
constituídos por uma distribuição contínua
da matéria.
Busto de Aristóteles
Museu do Louvre (Paris).
no
Aristóteles
(384-322 AC)
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
1. INTRODUÇÃO
Atomística... As ideias de Leucipo e Demócrito
Demócrito de Abdera (460-370 AC) foi discípulo e depois
sucessor de Leucipo de Mileto (500-? AC).
Em contraposição às ideias de Aristóteles, Leucipo
propôs um modelo atomista para a matéria.
Demócrito
(460-370 AC)
Leucipo
(500-? AC)
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1. INTRODUÇÃO
Atomística... As ideias de Leucipo e Demócrito
Demócrito é o maior expoente da Teoria Atomística.
De acordo com essa teoria, tudo o que existe é composto
por elementos indivisíveis chamados átomos.
A palavra ÁTOMO é originária do grego e significa “a” –
negação e “tomo” – divisível.
Logo, ÁTOMO significa indivisível.
É claro que este conceito de ÁTOMO também é filosófico,
já que sabemos que átomos reais também são divisíveis.
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1. INTRODUÇÃO
As ideias de Dalton
Devemos a John Dalton (1766-1844) a retomada do
conceito de átomo e da proposta de uma estrutura interna
para ele.
Dalton é mais conhecido pela Lei das
Pressões Parciais e a Lei das Proporções
Múltiplas (Química), além da deficiência visual
que sofria (daltonismo).
Foi Dalton quem reutilizou o nome “átomo”
em homenagem a Demócrito e Leucipo.
John Dalton
(1766-1844)
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1. INTRODUÇÃO
A Lei das Proporções Múltiplas de Dalton
Estudando reações químicas, Dalton estabeleceu que
"Se a massa m de uma substância química S pode
combinar-se com as massas m1’, m2’, m3’ etc. de uma
substância S’, dando origem a compostos distintos, as
massas da substância S’ estarão entre si numa relação de
números inteiros e simples”.
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1. INTRODUÇÃO
A Lei das Proporções Múltiplas de Dalton
Para formular a Lei das Proporções Múltiplas, Dalton
baseou-se em sua teoria atômica, em seu conceito de átomo.
O seu conceito de átomo baseava-se nas seguintes
premissas:
1) O átomo se constitui de uma minúscula esfera
maciça, indivisível e indestrutível.
2) Átomos com a mesmas massa e tamanho constituem
um elemento químico.
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1. INTRODUÇÃO
A Lei das Proporções Múltiplas de Dalton
Partindo destas premissas, Dalton pode estabelecer que
“a combinação de átomos diferentes em proporções
inteiras origina substâncias diferentes”.
1
H 2 + O2 → H 2O
2
C + O2 → CO2
O laboratório
de Dalton.
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1. INTRODUÇÃO
O Tubo de Crookes
Embora as evidências mostrem que o elétron foi formado
alguns picosegundos após o Big Bang, sua descoberta como
partícula é bastante recente.
A descoberta do elétron teve início pro volta de 1850
quando os cientistas Heinrich Geissler (1814-1879) e William
Crookes (1832-1919) desenvolveram um tubo de descarga
para estudar a condução da corrente elétrica em gases.
Heinrich
Geissler
(1814-1879)
William
Crookes
(1832-1919)
Tubos
de
Crookes
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1. INTRODUÇÃO
O uso do Tubo de Crookes
Geissler e Crookes obtiveram como resultado um feixe
luminoso dentro do tubo.
Este feixe luminoso, conhecido como raios catódicos,
nada mais era do que a trajetória deixada por um feixe de
elétrons ao atravessar o gás à baixa pressão dentro do tubo.
O experimento de
Geissler e Crookes
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1. INTRODUÇÃO
O experimento de J. J. Thomson
Valendo-se de um Tubo de Crookes, em 1898 Joseph
John Thomson (1856-1940) demonstrou que este feixe de
raios catódicos tinha carga negativa.
Para isto, J. J. Thomson
aproximou um ímã próximo do
tubo de Crookes.
Tubo de Crookes original,
usado por J. J. Thomson
J. J. Thomson observou que o
feixe de raios catódicos tinha sua
trajetória defletida pela presença
do campo magnético do ímã.
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1. INTRODUÇÃO
O experimento de J. J. Thomson
Nas próprias palavras de J. J. Thomson
“[. . . ]nós temos nos raios catódicos matéria em um
novo estado, um estado em que a subdivisão da matéria está
levada muito além do que no estado gasoso ordinário: um
estado em que toda matéria - isto é, matéria derivada de
diferentes fontes tais como hidrogênio, oxigênio, etc. – é de
uma única espécie; essa matéria sendo a substância da qual
os elementos químicos são formados.”
Posteriormente, as partículas que compõem os raios
catódicos foram chamadas de elétrons.
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1. INTRODUÇÃO
O reconhecimento de J. J. Thomson
Por suas experiências com feixes de raios catódicos, J. J.
Thomson ganhou o Prêmio Nobel de Física de 1906.
J. J. Thomson, Prêmio Nobel de Física de 1906, por
“Métodos pessoais pela investigação da condução
elétrica dos gases”.
Joseph John Thomson
(1856-1940)
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1. INTRODUÇÃO
O primeiro arranjo experimental de J. J. Thomson
J. J. Thomson aprofundou seus estudos sobre a natureza
dos raios catódicos e mediu a razão carga/massa das
partículas que constituíam as partículas que o compunham.
Para isto Thomson utilizou um arranjo experimental
similar ao mostrado abaixo.
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1. INTRODUÇÃO
O primeiro arranjo experimental de J. J. Thomson
Com este arranjo Thomson observou que, não
importando a condição em que o experimento fosse
realizado, a medida desta razão carga/massa tinha sempre o
mesmo valor.
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1. INTRODUÇÃO
Obtenção da razão e/m a partir das grandezas medidas
Com os parâmetros geométricos do experimento, além
das características do capacitor e das Bobinas de Helmholtz,
é possível determinar a razão carga/massa dos raios
catódicos.
e
125 ⋅ R ⋅ V
=
m 128 ⋅ N 2 ⋅ µ 02 ⋅ I 2 ⋅ D ⋅ H
2


8⋅ D ⋅ H
⋅  1+
− 1
2
l


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1. INTRODUÇÃO
Valor da razão e/m
Com valores medidos das grandezas V, R, N, µ0, I, D, H e
l, obtemos
e
11
= (1,758803 ± 0,000005 ) × 10
m
C / kg
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1. INTRODUÇÃO
Outro experimento de J. J. Thomson
Um outro arranjo experimental, este apenas com campo
magnético também foi montado por J. J. Thomson para
determinar a relação carga massa (e/m) para o elétron.
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1. INTRODUÇÃO
A criação do feixe de raios catódicos
Uma diferença de potencial V é aplicada em um filamento
gerando um feixe de elétrons com velocidade v, tal que
1
m ⋅ v 2 = e ⋅V
2
⇒
2⋅e
v=
⋅V
m
Aplicando um campo magnético ao
feixe de elétrons, estes sofrerão uma
força de Lorentz, tal que
r
r r
FM = −e ⋅ v × B
r r
v⊥B
⇒
FM = e ⋅ v ⋅ B
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1. INTRODUÇÃO
A deflexão do feixe de raios catódicos
O movimento resultante do feixe de elétrons será uma
circunferência de raio r.
Com
a
trajetória
sendo
uma
circunferência, podemos concluir que a
força resultante sobre o elétron é uma
força centrípeta.
Neste caso, a força centrípeta será
então a própria força de Lorentz.
m ⋅ v2
= e⋅v⋅ B
r
⇒
e
v = B⋅r
m
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1. INTRODUÇÃO
A determinação da razão e/m do feixe de raios catódicos
Obtemos, então
e
2 ⋅V
= 2 2
m B ⋅r
O campo magnético B pode ser expresso em termos da
corrente elétrica e da geometria das Bobinas de Helmholtz.
4
B= 
5
3/ 2
N ⋅I
⋅ µ0 ⋅
R
⇒
e 125 R 2
V
=
.
2
2
2
2
m 32 µ 0 ⋅ N I ⋅ r
e
= (1,758803 ± 0,000005) × 1011
m
C / kg
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1. Introdução
2. Modelo de Thomson
3. Modelo de Rutherford
4. A Espectroscopia de Vapores Atômicos
5. O Modelo de Bohr
6. O Modelo de Sommerfeld
7. O Princípio da Correspondência
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2. O MODELO DE THOMSON
As hipóteses de Thomson para o seu modelo atômico
Dois anos após a partir da descoberta do elétron e a
determinação da razão e/m, em 1899 J. J. Thomson começou
a elaborar um modelo para o átomo.
J. J. Thomson imaginava um átomo como sendo
composto por um grande número de elétrons.
Thomson não empregava o termo “elétrons”, referindo-se
a estas partículas como “corpúsculos”.
Thomson evidentemente imaginava a existência de
alguma carga positiva, necessária para balancear a carga
negativa total.
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2. O MODELO DE THOMSON
Detalhes do Modelo de Thomson para o átomo
Em 1904 Thomson substituiu esta idéia vaga sobre a
carga positiva pelo modelo no qual o átomo seria uma
distribuição esférica homogênea de carga positiva.
Os elétrons estariam no interior desta distribuição,
distribuídos uniformemente em anéis concêntricos.
Pela “semelhança”
com o manjar inglês,
este
modelo
é
erroneamente
conhecido
como
“pudim de passas”.
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2. O MODELO DE THOMSON
Elétrons em movimento
Nas palavras de Thomson
“Temos assim, em primeiro lugar, uma esfera de
eletricidade positiva uniforme e. dentro desta esfera, um
número de corpúsculos dispostos em uma série de anéis
paralelo, com o número de corpúsculos em um anel variando
de anel para anel: cada corpúsculo se move a alta velocidade
sobre a circunferência do anel no qual está situado e os
anéis são dispostos de modo que aqueles que contém um
grande número de corpúsculos estão próximos à superfície
da esfera, enquanto aqueles em que há número menor de
corpúsculos estão mais no interior.”
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2. O MODELO DE THOMSON
O Modelo de Thomson: aspectos positivos
De qualquer forma, o Modelo Atômico de Thomson
apresenta alguns aspectos positivos:
a) leva em conta a existência do elétron;
b) considera a neutralidade da carga na matéria;
c) prevê, ao menos qualitativamente, a emissão de
radiação por átomos excitados.
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2. O MODELO DE THOMSON
O Modelo de Thomson: a emissão de radiação pelo átomo
Com base no Modelo Atômico de Thomson podemos
calcular a força que uma distribuição de cargas positivas
(carga total e) exerce sobre um elétron.
Admitimos que a carga positiva +e está uniformemente
distribuída em uma esfera de raio a.
Neste caso, segundo a Lei de Gauss, o campo elétrico
devido a esta distribuição uniforme de cargas positivas é
radial e dado por
r
E (r ) =
e
4 ⋅π ⋅ε0 ⋅ a
3
⋅ r ⋅ rˆ
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2. O MODELO DE THOMSON
A força sofrida pelo elétron no Modelo de Thomson
Admitimos também que um elétron esteja situado a uma
distância r a partir do centro do átomo.
Logo, a força que a distribuição de cargas exerce sobre
este elétron é dada por
r
r
e2
F (r ) = −
⋅
r
4 ⋅π ⋅ ε 0 ⋅ a3
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2. O MODELO DE THOMSON
A equação de movimento para o elétron
Aplicando a 2a Lei de Newton ao movimento do elétron,
obtemos
2r
r
d r
e2
+
⋅r = 0
2
3
dt
4 ⋅π ⋅ε0 ⋅ m ⋅ a
A solução geral desta equação diferencial é dada em
termos das condições iniciais de posição e velocidade.
r
r
r (t ) = r0 ⋅ cos(ω ⋅ t ) +
r
v0
⋅ sin (ω ⋅ t )
ω
Dependendo da relação entre a velocidade e a posição
inicial do elétron, o movimento pode se degenerar em uma
oscilação linear ou em um movimento circular uniforme.
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2. O MODELO DE THOMSON
A frequência do movimento do elétron
Por sua vez, a frequência angular ω associada ao
movimento do elétron é dada por
ω=
e2
4 ⋅π ⋅ ε 0 ⋅ m ⋅ a3
Assim, independente das condições iniciais, o elétron
executa um movimento plano periódico de frequência ν dada
por
1
e2
ν=
⋅
2 ⋅π
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ m ⋅ a3
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2. O MODELO DE THOMSON
Estimativa do valor da frequência de movimento
1
e2
ν=
⋅
2 ⋅π
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ m ⋅ a3
e = 1,6×
×10-19 C
m = 9,1×
×10-31 kg
ε0 = 8,85×
×10-12 C2/N⋅⋅m2
a ≈ 10-10 m
ν ≈ 1015 Hz
Segundo o Modelo de Thomson, esta seria a ordem de
grandeza da frequência de emissão de luz por um átomo
hipotético, composto de apenas um elétron.
Para Thomson, mesmo o átomo de hidrogênio possuiria
milhares de elétrons, que originariam as diversas linhas
espectrais observadas.
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2. O MODELO DE THOMSON
A instabilidade no átomo de Thomson
Apesar de estimar a ordem de grandeza das frequências
de emissão de luz por um átomo, o Modelo de Thomson
implica a perda de energia por radiação.
Esta perda de energia levaria o sistema atômico a um
colapso, ou seja, o Modelo de Thomson seria INSTÁVEL.
Desta forma, o Modelo Atômico de Thomson apresenta os
seguintes aspectos negativos:
a) não explica quantitativamente os espectros de
emissão de radiação por átomos excitados;
b) é instável.
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2. O MODELO DE THOMSON
O Modelo de Thomson: a instabilidade
A instabilidade no Modelo de Thomson nos leva a
 t
E (t ) = E 0 ⋅ exp − 
 τ
6 ⋅π ⋅ε0 ⋅ m ⋅ c
τ=
e2 ⋅ω 2
3
τ ⇒ tempo de
vida do elétron
no átomo
Substituindo valores numéricos na expressão do tempo
de vida do átomo, obtemos
τ ≈ 10-8 s = 10 ns !!!
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
1. Introdução
2. Modelo de Thomson
3. Modelo de Rutherford
4. A Espectroscopia de Vapores Atômicos
5. O Modelo de Bohr
6. O Modelo de Sommerfeld
7. O Princípio da Correspondência
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3. O MODELO DE RUTHERFORD
Rutherford e o espalhamento de partículas alfa
Em 1911, o físico neozelandês Ernest Rutherford (18711937) analisou experimentos de espalhamento de partículas
alfa (α) por átomos.
Rutherford, Prêmio Nobel de Química de 1908, pela
“Investigação da desintegração dos elementos
e a química das substâncias radioativas”.
Rutherford preferia claramente
recebido o Prêmio Nobel de Física.
Ernest Rutherford
(1871-1937)
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ter
MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO DE RUTHERFORD
As partículas alfa
Rutherford já sabia que partículas alfa (α) eram átomos
de
hélio
(He)
duplamente
ionizados
emitidos
espontaneamente por vários materiais radioativos.
Assim, partículas alfa (α) nada mais são do que os
núcleos destes átomos de hélio (He), e contém carga positiva
(+2).
236
4
232
U
→
α
+
Th
+ energia
92
2
90
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3. O MODELO DE RUTHERFORD
O arranjo experimental de Rutherford
Um esquema do arranjo
Rutherford é mostrado abaixo.
experimental
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usado
por
MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO DE RUTHERFORD
Detalhes experimentais de Rutherford
Rutherford bombardeou uma fina lâmina de metal (ouro –
Au) de aproximadamente 1 µm, com partículas alfa (α)
provenientes de uma amostra de polônio (Po).
A lâmina de ouro é tão fina que as partículas alfa (α) a
atravessa completamente com apenas uma pequena
diminuição em sua velocidade.
Ao atravessar a lâmina cada partícula
(α)
sofre
muitas
deflexões
alfa
provenientes das interações coulombianas
entre sua carga e as dos átomos de ouro.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
3. O MODELO DE RUTHERFORD
Predições do Modelo de Thomson
Considerando verdadeiro o modelo atômico de Thomson,
a trajetória da partícula alfa (α) seria como descrito abaixo.
Podemos estimar o ângulo máximo ϕMAX o qual a
partícula alfa (α) será espalhada ao atravessar este tipo de
átomo.
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3. O MODELO DE RUTHERFORD
Interação coulombiana no Espalhamento Rutherford
É bastante razoável supor que a maior parte deste
espalhamento será devido à carga positiva contida no átomo.
O espalhamento se dá pela interação coulombiana entre a
partícula alfa e a carga positiva contida no átomo.
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3. O MODELO DE RUTHERFORD
Desvio angular máximo das partículas alfa
Para isto, supomos que esta força age durante um
intervalo de tempo ∆t, que é o tempo necessário para que ela
atravesse o átomo.
Assim, uma conta simples nos leva a
φMAX
Z ⋅e
≈
2
2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ a ⋅ M α ⋅ vα
2
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3. O MODELO DE RUTHERFORD
Estimativa do valor do ângulo de desvio máximo
Façamos o cálculo da estimativa de φMAX.
φMAX
Z ⋅e
≈
4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ a ⋅ Tα
2
Os dados experimentais são
Z = 79
e = 1,6×
×10-19 C
ε0 = 8,85×
×10-12 C2/N⋅⋅m2
a ≈ 10-10 m
Tα = 8,9 eV
Tais dados nos levam ao resultado
φMAX ≈ 10
−4
rad
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3. O MODELO DE RUTHERFORD
Resultado experimental obtido por Rutherford
O resultado experimental obtido por Geiger e Mardsen
(orientados por Rutherford) é mostrado abaixo.
Embora a maior parte (99%)
das
partículas
alfa
sejam
espalhadas a um ângulo pequeno
(< 3°), algumas delas eram
espalhadas a um ângulo grande.
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3. O MODELO DE RUTHERFORD
Resultado experimental obtido por Rutherford
Isto mostra que a estimativa para ângulo de
espalhamento máximo feita pelo Modelo de Thomson é falsa.
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3. O MODELO DE RUTHERFORD
Modelo de Rutherford para o átomo
Levando em conta este resultado experimental,
Rutherford propôs então um outro modelo para o átomo.
Neste novo modelo, todas as cargas positivas do átomo
(e também a sua massa) estão concentradas em uma
pequena região.
Rutherford denominou esta região de núcleo atômico.
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3. O MODELO DE RUTHERFORD
Predições do Modelo de Rutherford
No modelo de Rutherford as partículas alfa são
espalhadas pelas cargas positivas existentes no núcleo.
As forças que provocam este
espalhamento são de natureza
coulombiana,
resultante
da
interação entre a carga +2⋅e da
partícula alfa e a carga +Z⋅e do
núcleo.
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3. O MODELO DE RUTHERFORD
A trajetória das partículas alfa
Não é difícil mostrar que a trajetória que a partícula alfa
segue no espalhamento é uma hipérbole, como mostra a
figura abaixo.
r (ϕ ) =
ρ
1 − ζ ⋅ cos(ϕ − ϕ 0 )
2
2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ L2
2
⋅
π
⋅
ε
⋅
L
2
⋅
E


0
ρ=
ζ
=
1
+


2
2
Mα ⋅ Z ⋅ e
Mα  Z ⋅ e

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3. O MODELO DE RUTHERFORD
A seção de choque do espalhamento de Rutherford
Após um cálculo exaustivo, determinamos a seção de
choque diferencial para este espalhamento.
dσ 
Z ⋅ e2
= 
dΩ  4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ M α ⋅ v02
2

1
 ⋅

 sin 4  θ 
2
Daí, obtemos finalmente que

Z ⋅e
N (θ ) = 
 8 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ Kα
2
2
 I ⋅ ρ ⋅ t ⋅ sin θ
 ⋅
4θ 

sin  
2
Física para Engenharia Elétrica – Modelos Atômicos Clássicos e Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
1. Introdução
2. Modelo de Thomson
3. Modelo de Rutherford
4. A Espectroscopia de Vapores Atômicos
5. O Modelo de Bohr
6. O Modelo de Sommerfeld
7. O Princípio da Correspondência
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
4. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
O que é Espectroscopia
Espectroscopia de uma maneira geral, consiste no
estudo da radiação eletromagnética (luz) emitida ou
absorvida por um corpo.
Esta técnica é largamente empregada na Química, Física,
Engenharias, Astronomia, e várias outras áreas.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
4. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
Utilização da Espectroscopia
Em Astronomia, ela permite saber informações sobre a
constituição química das estrelas e a evolução das reações
que lá acontecem assim como a expansão do universo.
Espectros de estrelas
por classe espectral.
A Constelação
de Órion.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
4. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
Utilização da Espectroscopia
Na Física e na Química, a espectroscopia nos fornece
informações sobre as propriedades nucleares, atômicas e
moleculares da matéria.
Espectro na região do
infravermelho distante (FIR).
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
4. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
Utilização da Espectroscopia
A espectroscopia
determinado átomo.
é
usada
para
identificar
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um
MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
4. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
Utilização da Espectroscopia
Como exemplo, apresentamos os espectros de emissão e
absorção de alguns elementos da Tabela Periódica.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
4. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
O que é um espectro
É a relação da intensidade de radiação transmitida,
absorvida ou refletida em função do comprimento de onda ou
frequência da dita radiação.
O espectro pode ser melhor interpretado como a
decomposição da radiação nos comprimentos de onda que a
compõem.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
4. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
Exemplo de espectro: o arco-íris
O arco-íris é um exemplo de espectro contínuo.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
4. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
Alguns tipos de espectroscopia
Espectroscopia de Emissão: analisa a quantidade de
fótons emitidos por uma amostra em função do comprimento
de onda.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
4. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
Alguns tipos de espectroscopia
Espectroscopia de Absorção: correlaciona a quantidade
de fótons absorvidos pela amostra em função do
comprimento de onda da luz incidente.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
4. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
Um pouco de história da espectroscopia
Robert Wilheim Bunsen (1811-1899) associou-se a Gustav
Robert Kirchoff (1824-1877) na criação de um equipamento
que ficou conhecido como espectroscópio.
Gustav Kirchoff
(1824-1877)
Robert Bunsen
(1811-1899)
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
4. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
Um pouco de história da espectroscopia
O espectroscópio é usado para medir a intensidade da
luz em comparação com a de uma luz procedente de uma
fonte padrão.
Essa comparação permite determinar a concentração da
substância que produz esse espectro.
O espectroscópio de
Bunsen e Kirchoff.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
4. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
Espectrômetros de prisma
Abaixo mostramos dois espectrômetros que usam prisma
de vidro para separar (dispersar) os comprimentos de onda.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
4. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
Espectrômetros de rede de difração
Abaixo
mostramos
o
funcionamento
de
um
espectrômetro que utiliza uma rede de difração para separar
(difratar) os comprimentos de onda.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
O avanço da espectroscopia
No final do Século XIX James Dewar (1842-1923) e
Livering obtiveram longas séries (linhas espectrais) a partir
de vapores atômicos de átomos alcalinos.
James Dewar
(1842-1923)
Espectros de
átomos alcalinos.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
O espectro do vapor de hidrogênio
No entanto, para uma melhor compreensão do átomo, os
espectroscopistas do final do Século XIX (principalmente os
alemães) resolveram estudar o espectro de emissão de uma
ampola contendo hidrogênio.
Ampola de gás hidrogênio (ao lado) e as raias
espectrais do átomo de hidrogênio (abaixo).
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
A escolha do vapor de hidrogênio
A ampola de vapor atômico de hidrogênio (H2) foi
escolhida pois já se sabia à época que este era o átomo mais
simples (contém apenas um elétron).
Ampola de gás hidrogênio
(abaixo) e as raias
espectrais do átomo de
hidrogênio (acima).
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
A espectroscopia do hidrogênio: a série de Lyman
A primeira série espectral importante é devida a Theodore
Lyman (1874-1954).
Ela foi obtida por Lyman em 1906 na Universidade de
Harvard.
Lyman obteve o espectro (discreto!!!) para
o hidrogênio na região do ultravioleta (UV).
Linhas espectrais obtidas por
Lyman para o hidrogênio: 91,1
nm, 91,9 nm, 92,1 nm, 92,3 nm,
92,6 nm, 93,0 nm, 93,7 nm, 94,9
nm, 97,2 nm, 102,5 nm, 121,6 nm.
Theodore Lyman
(1874-1954)
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
A espectroscopia do hidrogênio: a série de Balmer
A segunda série espectral importante é devida a Johann
Balmer (1825-1898).
Em 1885 Balmer propôs empiricamente uma fórmula
matemática (fórmula de Balmer) que descrevia as linhas
espectrais para o hidrogênio na região de luz visível.
Balmer estudou o espectro (também
discreto!!!) para o hidrogênio na região do
ultravioleta (UV) ao visível (VIS).
Johann Balmer
(1825-1898)
Linhas espectrais estudadas por Balmer para o
hidrogênio: 365 nm, 397 nm, 410 nm, 434 nm, 486
nm e 656 nm.
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2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
A espectroscopia do hidrogênio: a série de Paschen
A terceira série espectral importante é devida a Louis Karl
Heinrich Friedrich Paschen (1865-1947).
Ela foi obtida por Paschen em 1908 na Universidade de
Tübingen.
Paschen obteve o espectro (também
discreto!!!) para o hidrogênio na região do
infravermelho (IR).
Linhas espectrais obtidas por
Paschen para o hidrogênio:
1870 nm, 1280 nm, 1090 nm,
1000 nm, 954 nm, 820 nm.
Karl Paschen
(1865-1947)
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2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
A espectroscopia do hidrogênio: a série de Brackett
A quarta série espectral é devida a Frederick Sumner
Brackett (1896-1988).
Ela foi obtida por Brackett em 1922 na John Hopkins
University.
Brackett obteve o espectro (também
discreto!!!) para o hidrogênio na região do
infravermelho próximo (NIR).
Linhas espectrais obtidas
por Brackett para o
hidrogênio: 1460 nm, 1820
nm, 1940 nm, 2170 nm,
2630 nm e 4050 nm.
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2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
A espectroscopia do hidrogênio: a série de Pfund
A quinta série espectral é devida a August Herman Pfund
(1879-1949).
Ela foi obtida por Pfund em 1924 na John Hopkins
University.
Pfund
obteve
o
espectro
(também
discreto!!!) para o hidrogênio na região do
infravermelho distante (FIR).
August Pfund
(1879-1949)
Linhas espectrais obtidas por Pfund
para o hidrogênio: 2280 nm, 3040 nm,
3300 nm, 3740 nm, 4650 nm e 7460 nm.
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2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
A espectroscopia do hidrogênio: a série de Humphreys
A sexta série espectral importante é devida a Curtis
Judson Humphreys (1898-1986).
Ela foi obtida por Humphreys em 1953 no National Bureau
of Standars (USA).
Humphreys obteve o espectro (também
discreto!!!) para o hidrogênio na região do
infravermelho distante (FIR).
Linhas espectrais obtidas por Humphreys para o hidrogênio:
3280 nm, 4670 nm, 5130 nm, 5910 nm, 7500 nm e 12400 nm.
Curtis Humphreys
(1898-1986)
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
A Série de Lyman: tratamento matemático
Linhas espectrais obtidas por
Lyman para o hidrogênio: 91,1
nm, 91,9 nm, 92,1 nm, 92,3 nm,
92,6 nm, 93,0 nm, 93,7 nm, 94,9
nm, 97,2 nm, 102,5 nm, 121,6 nm.
bL = 1,099 ×107
Série de Lyman
1/lambda (m -1)
12000000
6000000
0
0,05
0,1
1/n
2
1 1 
= bL ⋅  2 − 2 
λ
1 n 
1
m −1
n
1/n2
λ (m)
1/λ (m-1)
2
0,2500
1,22×10-7
8,224×106
3
0,1111
1,03×10-7
9,756×106
4
0,0625
9,72×10-8
10,29×106
5
0,0400
9,49×10-8
10,54×106
6
0,0278
9,37×10-8
10,67×106
7
0,0204
9,30×10-8
10,75×106
8
0,0156
9,26×10-8
10,80×106
9
0,0123
9,23×10-8
10,83×106
10
0,0100
9,21×10-8
10,86×106
11
0,0082
9,19×10-8
10,88×106
∞
0
9,15×10-8
10,92×106
0,15
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
A Série de Balmer: tratamento matemático
Linhas espectrais obtidas por Balmer
para o hidrogênio: 365 nm, 397 nm,
410 nm, 434 nm, 486 nm e 656 nm.
bBA = 1,096 ×10
7
m
1 
 1
= bBA ⋅  2 − 2 
λ
2 n 
1
−1
n
1/n2
λ (m)
1/λ (m-1)
3
0,1111
6,56×10-7
1,524×106
4
0,0625
4,86×10-7
2,058×106
5
0,0400
4,34×10-7
2,304×106
6
0,0278
4,10×10-7
2,439×106
7
0,0204
3,97×10-7
2,519×106
∞
0
3,65×10-7
2,740×106
Série de Balm er
3000000
1500000
0
0
0,06
1/ n 2
0,12
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2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
A Série de Paschen: tratamento matemático
Linhas espectrais obtidas por Paschen
para o hidrogênio: 820 nm, 954 nm,
1000 nm, 1090 nm, 1280 nm e 1870 nm.
bBA = 1,097 ×10
Série de Paschen
7
m
1 1 
= bPA ⋅  2 − 2 
λ
3 n 
1
−1
n
1/n2
λ (m)
1/λ (m-1)
4
0,0625
1,88×10-6
5,333×105
5
0,0400
1,28×10-6
7,802×105
6
0,0278
1,09×10-6
9,142×106
7
0,0204
1,00×10-6
10,00×105
8
0,0156
9,55×10-7
10,48×105
9
0,0123
9,23×10-7
10,84×105
10
0,0100
9,02×10-7
11,09×105
11
0,00826
8,86×10-7
11,28×105
12
0,00694
8,75×10-7
11,43×105
13
0,00592
8,67×10-7
11,54×105
∞
0
8,20×10-7
12,19×105
1/lambda (m -1)
1400000
700000
0
0
0,04
1/n2
0,08
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
A Série de Brackett: tratamento matemático
Linhas espectrais obtidas por Brackett
para o hidrogênio: 1460 nm, 1820 nm,
1940 nm, 2170 nm, 2630 nm e 4050 nm.
bBR = 1,094 ×10 7
Série de Brackett
1/lambda (m -1)
8,00E+05
4,00E+05
0,00E+00
0
0,025
1/n2
m −1
1 
 1
= bBR ⋅  2 − 2 
λ
4 n 
1
n
1/n2
λ (m)
1/λ (m-1)
5
0,0400
4,050×10-6
2,469×105
6
0,02778
2,630×10-6
3,802×105
7
0,02041
2,170×10-6
4,608×105
8
0,01562
1,940×10-6
5,155×105
9
0,01235
1,820×10-6
5,495×105
∞
0
1,460×10-6
6,849×105
0,05
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
A Série de Pfund: tratamento matemático
Linhas espectrais obtidas por Pfund
para o hidrogênio: 2280 nm, 3040 nm,
3300 nm, 3740 nm, 4650 nm e 7460 nm.
bPF = 1,096 ×10
Série de Pfund
5,000E+05
2,500E+05
0,000E+00
0
0,015
1/ n
7
m
1 1 
= bPF ⋅  2 − 2 
λ
5 n 
1
−1
n
1/n2
λ (m)
1/λ (m-1)
6
0,02778
7,460×10-6
2,469×105
7
0,02041
4,650×10-6
3,802×105
8
0,01562
3,740×10-6
4,608×105
9
0,01235
3,300×10-6
5,155×105
10
0,0100
3,040×10-6
5,495×105
∞
0
2,280×10-6
6,849×105
0,03
2
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
A Série de Humphreys: tratamento matemático
Linhas espectrais obtidas por Humphreys
para o hidrogênio: 3280 nm, 4670 nm,
5130 nm, 5910 nm, 7500 nm e 12400 nm.
bHU = 1,099 ×10
7
m
−1
1 1 
= bHU ⋅  2 − 2 
λ
6 n 
1
Série de Hum phreys
n
1/n2
λ (m)
1/λ (m-1)
7
0,02041
12,40×10-6
8,065×104
8
0,01562
7,500×10-6
1,333×105
9
0,01235
5,910×10-6
1,692×105
10
0,01000
5,130×10-6
1,949×105
11
0,008264
4,670×10-6
2,141×105
∞
0
3,280×10-6
3,049×105
3,500E+05
1,750E+05
0,000E+00
0
0,0125
0,025
1/ n 2
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
O trabalho de Rydberg
Analisando todos estes resultados experimentais,
Johannes Robert Rydberg (1854-1919) construiu uma fórmula
que generalizou todos estes resultados.
Johannes Rydberg
(1854-1919)
Física para Engenharia Elétrica – Modelos Atômicos Clássicos e Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
2. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
Síntese das séries espectroscópicas: a fórmula de
Rydberg
Esta fórmula, conhecida como fórmula de Rydberg, é
dada abaixo.
 1

1
= RH ⋅  2 − 2 
n

λ
n
i 
 f
1
A constante RH é conhecida como constante de Rydberg,
para o átomo de hidrogênio.
(RH )EXP = (1,09677576 ± 0,00000012)×107
(RH )EXP = 10.967.757,6 ± 1,2
m −1
m −1
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
4. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
Síntese das séries espectroscópicas
 1

1
= RH ⋅  2 − 2 
n

λ
n
i 
 f
1
(RH )EXP = 10.967.757,6 ± 1,2
m −1
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
4. A ESPECTROSCOPIA DE VAPORES ATÔMICOS
Fórmula para átomos de elementos alcalinos
 1
1 
= RALC ⋅ 
−
2
2
λ
 (m − a ) (n − b ) 
1
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
1. Introdução
2. Modelo de Thomson
3. Modelo de Rutherford
4. A Espectroscopia de Vapores Atômicos
5. O Modelo de Bohr
6. O Modelo de Sommerfeld
7. O Princípio da Correspondência
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os primórdios da descrição quântica da matéria
Em 1913, Niels Heinrich David
desenvolveu um novo modelo atômico.
Bohr
(1885-1962)
Como vimos, todos os modelos clássicos apresentados
padecem do mesmo problema, que é o da instabilidade.
A solução para a instabilidade do átomo foi
apresentada por Bohr.
Bohr adicionou regras de quantização à
dinâmica do movimento do átomo.
Niels Bohr
(1885-1962)
Física para Engenharia Elétrica – Modelos Atômicos Clássicos e Semiclássicos
MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Regras de quantização
Contudo, estas regras de quantização foram propostas
sem a preocupação de seguir uma dada lógica.
Afirmamos isto porque, apesar de propor regras de
quantização, Bohr continua a usar conceitos clássicos para
obter seus resultados.
Apesar desta falta de consistência lógica, o Modelo de
Bohr tem o mérito de por em dúvida a adequação da
concepção clássica da matéria a partir da relação entre
estabilidade atômica e a constante de Planck.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
O átomo de hidrogênio
Outro mérito do Modelo de Bohr é a sua aplicação ao
átomo de hidrogênio.
O átomo de hidrogênio é a situação mais simples, pois
trata-se de um átomo de um único elétron.
O cálculo da constante de Rydberg usando o Modelo de
Bohr para o átomo de hidrogênio leva a um valor muito
próximo ao daquele medido experimentalmente.
A semelhança entre os valores calculados por Bohr e
medidos por Rydberg fez com que a comunidade científica
levasse a sério o Modelo de Bohr, apesar das suas
inconsistências lógicas.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
A repercussão do trabalho de Bohr
Isto despertou na comunidade científica a consciência de
que era necessário elaborar uma nova teoria que fosse capaz
de descrever os fenômenos atômicos.
Esta nova teoria, como já vimos, recebe o nome de
Mecânica Quântica.
O trabalho de Bohr que vamos descrever a seguir
influenciou diretamente as idéias de Heisemberg e de De
Broglie, que por sua vez teve grande influência sobre as
idéias de Schroedinger.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – motivações
Como já descrevemos anteriormente, a principal
motivação de Bohr ao propor o seu modelo foi contornar as
dificuldades dos modelos de Thomson e Rutherford.
Estas dificuldades estavam relacionadas principalmente
à questão da estabilidade.
Bohr já conhecia à época de sua proposição que alguns
fenômenos recém descobertos permitiam questionar a
validade da aplicação da Eletrodinâmica Clássica a sistemas
de dimensão atômica.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – o Primeiro Postulado
Postulado 1:
“Um elétron em um átomo se move em uma órbita
circular em torno do núcleo sob influência da atração
coulombiana entre o elétron e o núcleo, obedecendo as leis
da Mecânica Clássica.”
2
e
mv
Fe =
Fc =
2
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ r
r
2
2
e
v ⋅r =
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ m
2
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – o Segundo Postulado
Postulado 2:
“Em vez da infinidade de órbitas que seriam possíveis
segundo a Mecânica Clássica, um elétron só pode se mover
em uma órbita na qual seu momento angular orbital L é
múltiplo inteiro de h/2⋅π.”
L = m⋅v⋅r
L = n⋅h
h
v⋅r = n⋅
m
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – consequências
Levando em conta estes dois postulados, temos que
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ h
2
rn =
⋅
n
m ⋅ e2
2
e2
1
vn =
⋅
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ h n
m⋅e
1
En = −
⋅
2
2
2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ h ) n
4
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – o espectro de energia
Levando em conta estes dois postulados, temos que
4 ⋅π ⋅ε 0 ⋅ h2 2
rn =
⋅n
2
m⋅e
1
En = −13,56 ⋅ 2
n
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eV
MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – o Terceiro Postulado
Postulado 3:
“Apesar de estar constantemente acelerado, um elétron
que se move em uma destas órbitas possíveis não emite
radiação eletromagnética; logo, sua energia total E
permanece constante. ”
m ⋅ e4
1
En = −
⋅ 2
2
2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ h ) n
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – o Quarto Postulado
Postulado 4:
“É emitida radiação se um elétron, que se move
inicialmente sobre uma órbita de energia total Ei, muda seu
movimento descontinuamente de forma a se mover em uma
órbita de energia total Ef. ”
f → i: emissão
i→
→ f: absorção
ν=
E f − Ei
h
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – consequências
A partir da expressão para os níveis de energia do elétron
no átomo de hidrogênio, calculamos então a frequência de
emissão de radiação.
m⋅e
1
En = −
⋅ 2
2
2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ h ) n
4
f → i: emissão
i→
→ f: absorção
ν=
c
λ
=
E f − Ei
h
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – cálculo da constante de Rydberg
Obtemos então

  1
1 
m ⋅ e4
1
⋅ − 2 
=
⋅
2  2
λ h ⋅ c  2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ h )   ni n f 
1
(RH )TEO


m ⋅ e4
=
2
3
 4 ⋅ π ⋅ h ⋅ c ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ) 
(RH )TEO = 11.048.823,5
f → i emissão
i→
→ f: absorção
m
−1
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
5. O MODELO DE BOHR
Os Postulados de Bohr – cálculo da constante de Rydberg
Comparamos então o resultado experimental com o valor
teórico obtido pelo Modelo de Bohr.
(RH )EXP = 10.967.757,6 ± 1,2
(RH )TEO = 11.048.823,5
m
m
−1
E % = 0,7%
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−1
MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
1. Introdução
2. Modelo de Thomson
3. Modelo de Rutherford
4. A Espectroscopia de Vapores Atômicos
5. O Modelo de Bohr
6. O Modelo de Sommerfeld
7. O Princípio da Correspondência
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
6. O MODELO SOMMERFELD
A motivação de Sommerfeld: a estrutura fina
Com o aperfeiçoamento das técnicas de espectroscopia,
verificou-se que cada raia do espectro do hidrogênio era
formada por raias bem mais finas.
Estas raias distam uma das
outras em torno de 10-4 vezes a
distância entre duas raias
adjacentes.
A
este
comportamento
damos o nome de estrutura
fina do átomo de hidrogênio.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
6. O MODELO SOMMERFELD
A motivação de Sommerfeld: a estrutura fina
Sommerfeld tentou explicar este fenômeno considerando
o Modelo Atômico de Bohr de maneira mais geral.
Assim, Sommerfeld considerou que o elétron poderia
descrever órbitas elípticas.
Lembremos que por ter apenas uma regra de
quantização, o Modelo Atômico de Bohr apresenta um único
número quântico.
Logo, ao considerar o movimento tridimensional do
elétron, mais coordenadas surgiriam, e portanto mais regras
de quantização apareceriam.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
6. O MODELO SOMMERFELD
A motivação de Sommerfeld: a estrutura fina
Com mais regras
quânticos surgiriam.
de
quantização,
mais
números
Um número maior de números quânticos explicaria o
aparecimento das linhas da estrutura fina.
No caso da órbita circular do Modelo Atômico de Bohr o
número quântico associado à variável radial r é nulo.
Sommerfeld calculou então a forma e o tamanho das
órbitas elípticas, bem como a energia do elétron ao se mover
em tais órbitas.
Para o cálculo das órbitas elípticas, Sommerfeld utilizou
as leis da Física Clássica.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
6. O MODELO SOMMERFELD
O átomo de Sommerfeld: regras de quantização
Sommerfeld aplicou as Regras de Quantização de WilsonSommerfeld em termos das coordenadas polares r, θ e ϕ.
Desta forma, tais regras são escritas na forma
∫p
r
⋅ dr = n r ⋅ h
∫ pθ ⋅ dθ = nθ ⋅ h
∫ pϕ ⋅ dϕ = nϕ ⋅ h
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
6. O MODELO SOMMERFELD
O átomo de Sommerfeld: a variável ϕ
Aplicamos a Regra de
Sommerfeld para a variável ϕ.
Quantização
de
Wilson-
∫ pϕ ⋅ dϕ = nϕ ⋅ h Lz = m ⋅ h m = 0,±1,±2...
Este resultado mostra que a componente z do momento
angular não pode admitir quaisquer valores, mas apenas
aqueles múltiplos de h/2⋅π.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
6. O MODELO SOMMERFELD
O átomo de Sommerfeld: a variável θ
Aplicamos a Regra de
Sommerfeld para a variável ϕ.
L = l ⋅h
Quantização
de
Wilson-
l = 0,1,2..., m
Desta forma, a Regra de Quantização de WilsonSommerfeld para a variável θ implica na quantização do
módulo do momento angular total L.
Isto significa que, no Modelo de Sommerfeld para o
átomo, o momento angular total orbital L fica restrito a
valores múltiplos de h/2⋅π.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
6. O MODELO SOMMERFELD
O átomo de Sommerfeld: a variável r
Aplicamos a Regra de
Sommerfeld para a variável r.
Quantização
de
Wilson-
Ao fazer isto, obtemos uma relação entre o semi-eixo
maior e o semi-eixo menor da elipse, que é a trajetória do
elétron no átomo de Sommerfeld.
a nr + l n
=
=
b
l
l
n = nr + l
Na equação acima introduzimos um novo número
quântico n, que é a soma dos outros dois números quânticos
n e l.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
6. O MODELO SOMMERFELD
O átomo de Sommerfeld: a variável r
Obtemos ainda a quantização da energia, nos mesmo
moldes daquela obtida por Bohr.
m⋅e
1
En = −
⋅ 2
2
2 ⋅ (4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ h ) n
4
a n
=
b l
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
6. O MODELO SOMMERFELD
Algumas órbitas do átomo de Sommerfeld
Abaixo à esquerda, mostramos a órbita para n = 1; neste
caso só podemos ter l = 1.
Abaixo à direita, mostramos as órbitas para n = 2; neste
caso podemos ter l = 2 e l = 1.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
6. O MODELO SOMMERFELD
Algumas órbitas do átomo de Sommerfeld
Abaixo mostramos as órbitas para n = 3; neste caso
podemos ter l = 3, l = 2 e l = 1.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
6. O MODELO SOMMERFELD
O momento angular no átomo de Sommerfeld
Abaixo à esquerda, mostramos as componentes z do
momento angular para l = 1 e para l = 2.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
6. O MODELO SOMMERFELD
O momento angular no átomo de Sommerfeld
Abaixo à esquerda, mostramos as componentes z do
momento angular para l = 3.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
1. Introdução
2. Modelo de Thomson
3. Modelo de Rutherford
4. A Espectroscopia de Vapores Atômicos
5. O Modelo de Bohr
6. O Modelo de Sommerfeld
7. O Princípio da Correspondência
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
7. O PRINCÍPIO DA CORRESPONDÊNCIA
Justificativa física para as regras de seleção
Para um melhor entendimento das regras de seleção,
Bohr enunciou em 1923 um postulado auxiliar, conhecido
como princípio da correspondência.
1. As previsões da teoria quântica para o comportamento
de qualquer sistema físico devem corresponder às previsões
da física clássica no limite no qual os números quânticos que
especificam o estado de um sistema se tornam muito
grandes.
2. Uma regra de seleção é válida para todos os números
quânticos possíveis; portanto, todas as regras de seleção
necessárias para obter a correspondência exigida no limite
clássico também se aplicam no limite quântico.
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
7. O PRINCÍPIO DA CORRESPONDÊNCIA
Aplicação à emissão de radiação no átomo de hidrogênio
A frequência de revolução do elétron no átomo de
hidrogênio é dada por
1
m ⋅ e4 2
⋅
⋅ 3
ν0 =
2
3
(4 ⋅ π ⋅ ε 0 ) 4 ⋅ π ⋅ h n
Já a Física Quântica prevê que a frequência da luz
emitida é dada por
m ⋅ e4  1
1
1
ν=
⋅
⋅
− 2
2
3  2
(4 ⋅ π ⋅ ε 0 ) 4 ⋅ π ⋅ h  n f ni 
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MODELOS ATÔMICOS CLÁSSICOS E SEMICLÁSSICOS
7. O PRINCÍPIO DA CORRESPONDÊNCIA
Aplicação à emissão de radiação no átomo de hidrogênio
Para testar o princípio da correspondência, impomos a
condição nf = ni – 1.
Obtemos então
1
m ⋅ e4  2 ⋅ n −1 
ν=
⋅
⋅
2
2
3 
2
(4 ⋅ π ⋅ ε 0 ) 4 ⋅ π ⋅ h  (n − 1) ⋅ n 
Para n grande, isto é, n → ∞, obtemos
ν n →∞
1
m⋅e
2
=
⋅
⋅ 3
2
3
(4 ⋅ π ⋅ ε 0 ) 4 ⋅ π ⋅ h n
4
ν n →∞ = ν 0
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