ADL14 3.3 A Representação Geral no Espaço de Estados

ADL14
3.3 A Representação Geral no Espaço de Estados
definições
Combinação linear: Uma combinação linear de n variáveis, xi, para r = 1 a n, é dada pela seguinte soma:
(3.17)
onde cada Ki é uma constante.
Independência linear:
nenhuma das variáveis puder ser escrita como uma combinação linear das outras.
Ex: dados x1 e x2 e x3 = x2 - 5x1, então as variáveis não são linearmente independentes, uma vez que
uma delas pode ser escrita como combinação linear das outras duas.
Formalmente, diz-se que as variáveis xi para i = 1 a n, são linearmente independentes se sua
combinação linear, S, for igual a zero somente se todos os Ki = 0 e nenhum xi = 0.
Variável de sistema: Qualquer variável que responda a uma entrada ou a condições iniciais em um
sistema.
Variáveis de estado: O menor conjunto linearmente independente de variáveis de sistema tal que os
valores dos membros do conjunto no instante t0, juntamente com as funções forçantes conhecidas,
determinam completamente o valor de todas as variáveis do sistema para todos os instantes de tempo
t t0.
Vetor de estado: Um vetor cujos elementos são as variáveis de estado.
Espaço de estados: O espaço n-dimensional cujos eixos são as variáveis de estado. Este é um termo
novo e está ilustrado na Fig. 3.3, onde se admitiu que as variáveis de estado são uma tensão em
resistor, vB, e uma tensão em capacitor. vc. Estas variáveis formam os eixos do espaço de estados.
Uma trajetória pode ser imaginada como sendo mapeada pelo vetor, x(t), para uma faixa de valores de
t. Está mostrado, também, o vetor de estado no instante particular t = 4.
Equações de estado: Um conjunto de n equações diferenciais de primeira ordem, simultâneas, com n
variáveis, onde as n variáveis a serem resolvidas são as variáveis de estado.
Equação de saída: A equação algébrica que exprime as variáveis de saída de um sistema como
combinações lineares das variáveis de estado e das entradas.
Um sistema é representado no espaço de estados pelas seguintes equações:
(3.18)
(3.19)
Onde:
x = vetor de estado
x = derivada do vetor de estado em relação ao
tempo
y = vetor resposta
u = vetor de entrada ou de controle
A = matriz de sistema
B = matriz de entrada
C = matriz de saída
D = matriz de ação avante
Exemplo: sistema de segunda ordem, linear, invariante no tempo, com uma entrada v(t),
(3.20a)
(3.20b)
onde x1 e x2 são as variáveis de estado.A equação de saída poderá ter a seguinte forma:
(3.21)
A escolha de variáveis de estado para um dado sistema não é única.
3.4 Aplicando a Representação no Espaço de Estados
1) Variáveis de Estado Linearmente Independentes
Veja definição acima.
2) Número Mínimo de Variáveis de Estado
Geralmente, o número mínimo necessário é igual a ordem da equação diferencial que
descreve o sistema. Por exemplo, se o sistema for descrito por uma equação diferencial de terceira ordem,
serão necessárias três equações diferenciais de primeira ordem, simultâneas,
Na maioria dos casos, uma outra forma de determinar o número de variáveis de eslado é
contar o número de elementos armazenadores de energia independentes existentes no sistema.' O número
destes elementos armazenadores de energia é igual à ordem da equação diferencial e ao número das
variáveis de estado.
Se for selecionado um número muito pequeno de variáveis de estado, pode ser impossível
escrever equações de saída particulares, uma vez que algumas variáveis de sistema não poderão ser
escritas como combinação linear de um número reduzido de variáveis de estado. Em muitos casos, não se
poderá nem mesmo terminar de escrever as equações de estado, uma vez que as derivadas das variáveis
de estado não podem ser expressas como combínações lineares do número reduzido de variáveis de
estado.
Se você selecionar um número mínimo de variáveis de estado mas que não sejam
linearmente independentes no melhor dos casos você não conseguirá calcular todas as outras variáveis do
sistema. No pior caso, não conseguirá terminar de escrever as equações de estado.
Algumas vezes não é evidente, em um diagrama esquemático, o número de elementos armazenadores
de energia independentes existentes. É possível que seja selecionado um número de elementos
armazenadores de energia maior que o mínimo, levando a um vetor de estado cujo número de
componentes é maior que o mínimo necessário e que as variáveis não sejam linearmente independentes.
A escolha de elementos armazenadores de energia adicionais e dependentes acarreta uma matriz de
sistema mais complexa e de maior ordem que as necessárias à solução das equações de estado.
Representação de um circuito elétrico
Problema: obter uma representação no espaço de estados se a saída for a corrente através do
resistor.
Solução
Passo 1 Nomear as correntes de todos os ramos do circuito.
Passo 2 Selecionar as variáveis de estado escrevendo a equação da derivada relativa a todos
os elementos armazenadores de energia, isto é, o indutor e o capacitor.
(3.22)
Com base nas equações acima, escolha como variáveis de estado as grandezas diferenciáveis,
ou seja vC e iL. A representação no espaço de estados estará completa se o lado direito das
equações acima puder ser escrito como uma combinação linear das variáveis de estado e da
entrada.
Passo 3 Como iC e vL não são variáveis de estado, devem ser expressos como combinações
lineares das variáveis de estado, vC e iL e da entrada, v(t). Aplicando a teoria de circuitos no Nó 1,
(3.24)
Ao longo da malha externa,
(3.25)
Passo 4 Substituir os resultados para obter as seguintes equações de estado:
(3.26a)
(3.26b)
ou
(3.27)
Passo 5 Obter a equação de saída. Como a saída é iR(t),
(3.28)
O resultado final da representação no espaço de estados é encontrado representando as Eqs.
(3.27) e (3.28) sob a forma matricial vetorial :
(3.29)
Exemplo2: circuito elétrico com fonte dependente
Problema Obter as equações de estado e de saída do circuito elétrico mostrado na Fig. 3.6 se o vetor
de saída for y =[vR2 iR2]T
Solução
Passo 1 Nomear as correntes de todos os ramos do circuito,
Passo 2 Selecionar as variáveis de estado listando as relações tensão-corrente de todos os
elementos armazenadores de energia:
(3.30)
Escolha como variáveis de estado as grandezas diferenciáveis. Portanto, as variáveis de estado,
xí e x2, são
(3.31)
Passo 3: forma das equações de estado
(3.32)
Para transformar o membro da direita das Eqs. (3.30) em combinações lineares das variáveis de
estado e da fonte de corrente na entrada, Aplicamos as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes,
obtemos vL e ic em termos das variáveis de estado e da fonte de corrente na entrada. Ao longo da
malha que contém L e C,
(3.33)
Mas no Nó 2,
.Substituindo em. (3.33), resulta
(3.34)
Resolvendo para vL, obtemos
(3.35)
Como vC já é uma variável de estado, precisamos somente obter iC em termos das
variáveis de estado. Por conseguinte, no Nó 1, podemos escrever a soma das correntes
como
(3.36)
onde vR1 = vL. Reescrevendo as Eqs. (3.35) e (3.36), obtemos duas equações simultâneas que
produzem vL e iC como combinações lineares das variáveis de estado
(3.37)
Resolvendo as Eqs. (3.37} simultaneamente para vL e iC resulta:
(3.38)
(3.39)
onde
(3.40)
Substituindo as Eqs. (3.38) e (3.39) nas Eqs. (3.30), simplificando e escrevendo o resultado em
forma matricial vetorial, obtemos as seguintes equações de estado:
(3.41)
Passo 4 Deduza a equação de saída. Ao longo da malha contendo C, L e R2,
(3.42)
Substituindo as Eqs. (3.38) e (3.39) nas Eqs. (3.42), teremos a equação de saída sob forma
matricial vetorial:
(3.43)