RESOLUÇÃO DA 1a AVALIAÇÃO DE

RESOLUÇÃO DA 1a AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
_ U I _ANO 2007
3a SÉRIE DO E.M. _ COLÉGIO ANCHIETA – BA
ELABORAÇÃO: PROF. OCTAMAR MARQUES.
RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA.
QUESTÕES DE 01 A 08.
Nas questões de 01 a 10, assinale as proposições verdadeiras e marque os resultados na
Folha de Respostas.
QUESTÃO 01. No conjunto dos números reais é verdade que:
(01) A soma de dois números irracionais é um número irracional.
Falso.
Justificativa: A soma de dois números irracionais opostos é igual a zero que é um número
racional.
(02)
4− 2
3 −2
é um número racional.
Verdadeiro.
Justificativa:
Racionalizando o denominador da fração
(4 − 2 3 )( 3 + 2) = 4
( 3 − 2)( 3 + 2)
(04) ∀ x ∈ R; 0 ≤
4−2 3
3 −2
3 +8−6−4 3
2
=
= −2 ∈ Q
3−4
−1
, temos:
.
x2
< 1.
x2 + 1
Verdadeiro.
Justificativa:
Se x ∈ R, então x2 é sempre um número não negativo, ou seja, x2 ≥ 0 e o denomindor x2 + 1 é
x2
≥ 0 para todo x ∈ R, isto é, S0 = R.
x +1
x2
x2 − x2 − 1
−1
<0.
Resolvendo agora a inequação 2
< 1⇒
= 2
2
x +1
x +1
x +1
−1
Como o denominador x2 + 1 > 0 para todo x ∈ R, então a solução da inequação 2
<0, é
x +1
sempre um número positivo, ou seja, x2 + 1 > 0. Logo
2
S1 = R.
(08) (x – 4)2 + (x – 2y)2 = 0 ⇒ y ∈ N.
Verdadeiro.
Justificativa:
Se x, y ∈ R e (x – 4)2 + (x – 2y)2 = 0, então, (x – 4)2 = 0 e (x – 2y)2 = 0 ⇒ x = 4 e y = 2 ∈ N.
(16) a, b, c, d ∈ R, a < b e c < d ⇒ a – c < b – d.
Falso.
Justificativa:
Consideremos a = 1, b = 4, c = – 5 e d = 3, por exemplo.
Vemos que a – c = 1 – (–5) = 1 + 5 = 6 e b – d = 4 – 3 = 1.
Temos com estes valores a – c > b – d.
07-2174_Resolução-1ªAval.Matem-3ºEM_U1.doc (prof)

(32) ∃ x ∈ R; x4 < x3
Verdadeiro.
Justificativa:
4
Fazendo x igual a
3
1 1
1
 1
 1
, por exemplo, temos   <   ⇒
< que é uma afirmação verdadeira.
2
2
2
16
8
 
 
QUESTÃO 02. Sobre Geometria Plana pode-se afirmar que:
(01) Se os inteiros x, 3 e 4 são lados de um triângulo e x é oposto a um ângulo obtuso, então
5 < x < 7.
Verdadeiro.
Justificativa: Se o lado x é oposto a um ângulo obtuso, então, x é o maior lado do triângulo
obtusângulo, x é um inteiro maior que 4 e diferente de 5 (senão seria um triângulo
retângulo). Como qualquer lado de um triângulo é sempre menor que a soma dos outros lados,
temos x < 7. Logo x = 6.
(02) Se os lados de um triângulo eqüilátero medem 6cm, o raio do círculo inscrito é igual a
2 3 cm.
Falso.
Justificativa:
r
3 r
No triângulo retângulo ABC, tg30o = ⇒
= ⇒r= 3
3
3
3
(04) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo de área S obtém-se um triângulo de
área S/2.
Falso.
Justificativa: Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo determina-se um triângulo
semelhante ao primeiro e cujos lados têm como medida as metades das medidas dos lados
correspondentes no triângulo dado.
Se l1 =
l
S
e os triângulos são semelhantes, então S1 =
2
4
07-2174_Resolução-1ªAval.Matem-3ºEM_U1.doc (prof)
2

(08) Se M e N são os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio tal que MN = 8cm e
sendo 6cm a distância de qualquer ponto de MN à base maior desse trapézio então sua área é
igual a 96cm2.
Verdadeiro.
Justificativa:
MN é a base média do trapézio (segmento determinado pelos pontos
médios dos lados não paralelos), então, MN =
a+b
. Se a distância de
2
MN à base maior é 6cm, então a altura do trapézio mede 12cm.
A área do trapézio é dada pela fórmula S =
(a + b)
.h = 8.12 = 96cm2
2
(16) A área de um hexágono regular de lado igual a 8u.c. é igual a 96 3 u.a.
Verdadeiro.
Justificativa: A área de um hexágono regular pode ser calculada como sendo o sêxtuplo da área
de um triângulo eqüilátero de lado equivalente ao lado do hexágono: S =
 l2 3 
 2

 = 6. 8 3  = 96 3
6.
 4 
 4 




(32) A condição suficiente para um triângulo ser acutângulo é ter um ângulo interno agudo.
Falso.
Justificativa: Qualquer triângulo tem no mínimo dois ângulos agudos.
QUESTÃO 03.
Na figura, vemos um círculo de centro O tal que, AB = a, BC = b e CD =
É verdade que:
a+b
(01) OF = 2 .
Verdadeiro.
Justificativa: a+b = 2r ⇒ CD=
07-2174_Resolução-1ªAval.Matem-3ºEM_U1.doc (prof)
a+b
= r ⇒ OB = 2r
2
3
a+b
.
2

(02) FB = 2 ab .
Falso.
Justificativa:
No triângulo retângulo AFC, temos
AB.BC = FB2 ⇒ FB2 = ab ⇒ FB =
(04) GF =
ab .
2ab
.
a+b
Verdadeiro.
Justificativa: Na figura acima, considerando o triângulo retângulo FBO, temos FB2 = GF.FO ⇒
2ab
a+b
⇒ GF =
.
2
a+b
ab = GF.
(08) FC = (a + b )b .
Verdadeiro.
Justificativa: No triângulo retângulo AFC, temos FC2 = BC.AC ⇒ FC2 = b(a+b) ⇒ FC =
(
(a + b)b
)
(16) m OD̂E > 25o
Verdadeiro.
(
)
Justificativa: No triângulo retângulo DEO temos: sen OD̂E =
(32) A área do triângulo OED é igual a
r
1
⇒ m OD̂E = 30o > 25o
=
2r 2
(
)
3
(a + b) 2 .
8
Verdadeiro.
Justificativa:
Como m OD̂E = 30o ⇒ m(DÔE) = 60o ⇒ SOED =
(
)
2
1
1 3
3 a + b
3
(a + b )2 .
.sen60 o.OE.OD = .
.r.2r =
.2
 =
2
2 2
4  2 
8
QUESTÃO 04. Numa reunião com 40 pessoas só estão presentes brasileiros e italianos
(ninguém com dupla nacionalidade). Verificou-se que:
O número de brasileiros excede em 4 o número de italianos.
O número de brasileiros que fumam é igual a um terço do número de italianos que não fumam.
O número de fumantes é 10.
É verdade que:
(01) O número de brasileiros que não fumam é 16.
(02) O número de pessoas que não fumam é 30.
(04) O número de brasileiros que fumam ou de italianos que não fumam é 16.
(08) Escolhendo-se uma pessoa ao acaso a probabilidade de ocorrer um italiano que fuma
é de 15%.
(16) Escolhendo-se ao acaso um não fumante a probabilidade de ser italiano é de 30%.
07-2174_Resolução-1ªAval.Matem-3ºEM_U1.doc (prof)
4

RESOLUÇÃO:
De acordo com os dados da questão, ilustrados pelo diagrama acima, temos:
− f + f = 14 (I)
f + f = 10 − f + 3f + 4
⇒

3f + f = 30 (II)
f + f + 10 − f + 3f = 40
4f = 16

fazendo (II) − (I) ⇒ f = 4

f = 18
Analisando o diagrama acima, preenchido após a resolução do sistema, chegamos as seguintes
conclusões:
(01) O número de brasileiros que não fumam é 16.
Falso.
(02) O número de pessoas que não fumam é 30.
Verdadeiro.
(04) O número de brasileiros que fumam ou de italianos que não fumam é 16.
Verdadeiro. (4 + 12 = 16)
(08) Escolhendo-se uma pessoa ao acaso a probabilidade de ocorrer um italiano que fuma é de
15%.
 6
3
15

Verdadeiro. 
=
=
= 15% 
 40 20 100

(16) Escolhendo-se ao acaso um não fumante a probabilidade de ser italiano é de 30%.
Falso.
4
40
 12

=
=
= 40% 
 30 10 100

Justificativa: 
QUESTÃO 05. Em Lógica pode-se afirmar que:
(01) p ∨ q é verdadeira, se ~q é verdadeira.
07-2174_Resolução-1ªAval.Matem-3ºEM_U1.doc (prof)
5
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Falso.
Justificativa: Nas linhas 1 e 3 vemos que p ∨ q é verdadeira, porém ~q é falsa.
(02) ~p → q é condição necessária para p ∧ ~q.
Verdadeiro.
Justificativa: Pela coluna 6 concluímos que (p ∧ ~q) → (~p → q) é uma tautologia.
(04) Uma condição suficiente para p ∧ ~q é ~p → q.
Falso.
Justificativa: Na coluna 7 os resultados das linhas 1 e 3 são falsos.
(08) ~[(p → q) ∨ r] ⇔ (p ∧ ~q) ∧ ~r.
Verdadeiro.
Justificativa: analisando a coluna 6 concluímos que ~[(p → q) ∨ r] ⇔ (p ∧ ~q) ∧ ~r é uma
tautologia.
(16) O argumento a seguir é válido:
Nenhum peixe é foca.
Um animal é foca se somente se é pingüim.
Nenhum peixe é pingüim.
Falso.
QUESTÃO 06. Considere o polinômio p(x) = a(x2 + 2x)2(x + 2)2 que dividido por x + 1 tem resto
igual a 2.
É verdade que:
(01) O valor de a é 2.
Verdadeiro.
Justificativa: Se o polinômio p(x) = a(x2 + 2x)2(x + 2)2 dividido por x + 1 deixa resto igual a 2,
então
p(– 1) = a(1 – 2)2(– 1 + 2)2 = 2 ⇒ a = 2
(02) O grau de p(x) é 5.
Falso.
Justificativa: O grau do polinômio é 6.
(04) A soma dos coeficientes de p(x) é igual a 162.
07-2174_Resolução-1ªAval.Matem-3ºEM_U1.doc (prof)
6
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Verdadeiro.
Justificativa: A soma dos coeficientes de p(x) = p(1) = 2(1+2)2(1+2)2 = 162.
(08) p(x) possui uma raiz de multiplicidade 4.
Verdadeiro.
Justificativa: p(x) = 2(x2 + 2x)2(x + 2)2 = 2x2(x+2)2(x+2)2=2x2(x+2)4 ⇒ p(x) tem duas raízes nulas
e quatro raízes iguais a – 2.
(16) O quociente da divisão de p(x) por (x + 2)3 é o polinômio mx3 +nx2 tal que m + n = 6.
Verdadeiro.
Justificativa:
p(x) 2x 2 (x + 2) 4
= 2x 2 (x + 2) = 2x 3 + 4x 2 .
(x + 2) 3 (x + 2) 3
(32) A soma das raízes de p(x) é igual a –4.
Falso.
Justificativa: A soma das raízes é –8.
QUESTÃO 07.
Os objetos P e Q custam, respectivamente, R$ 400,00 e R$ 650,00.
Pode-se afirmar que:
(01) O custo de Q é 25% superior ao custo de P.
Falso.
Justificativa:
VQ 650
=
= 1,625 = 1 + 0,625 = 100% + 62,5%
VP 400
(02) Se P for vendido com um lucro de R$ 50,00, seu lucro relativo ao preço de venda será
superior a 10%.
Verdadeiro.
L
50
=
= 0,1111... ≡ 11% > 10%
V
450
Justificativa: V = R$ 450,00 e
(04 Se os preços de venda desses objetos sofrerem um aumento de 15% e, em seguida, uma
redução de 8%, então o aumento acumulado desses preços será de 5,8%.
Verdadeiro.
Justificativa: 1,15 × P × (1 – 0,08) = 1,058P = P + 0,058.
(08) Se os preços de venda dos objetos P e Q forem iguais e o LP na venda de P for o triplo do
lucro LQ na venda de Q, então LQ = R$ 125,00.
Verdadeiro.
Justificativa:
VP = 400 + 3 LQ e VQ = 650 + LQ. Mas VP = VQ ⇒ 400 + 3 LQ = 650 + LQ ⇒ 2 LQ = 250 ⇒
LQ = 125.
(16) Se os lucros forem relativos aos custos e P for vendido com lucro de 10% e Q com lucro de
20%, então o lucro obtido na venda dos objetos será superior a 17%.
Falso.
Justificativa:
0,10 × 400 + 0,20 × 650
170
=
≡ 0,16190... . = 16,19% < 17%
1050
1050
QUESTÃO 08. O preço de venda de um objeto é R$ 800,00. É verdade que:
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
(01)
Se for comprado por R$ 850,00 com um mês de prazo para pagamento, a taxa de juros
será de 6,25% ao mês.
Verdadeiro.
50
= 0,0625
Justificativa: 800
(02)
Se for comprado por R$ 1.000,00 com o prazo para pagamento de dois meses, a taxa
mensal de juros simples será de 12,5%.
Verdadeiro.
Justificativa: M = 800 + 800 × 2 × 0,125 = 1.000.
(04)
Se na proposição anterior os juros fossem compostos a taxa mensal será superior a
12,5%.
Falso.
Justificativa: 800 × (1 + i)2 = 1.000 ⇒ (1 + i)2 = 1,25 ⇒ 1 + i ≡ 1,1180 ⇒ i = 11,80% < 12,5%.
(08)
Se foi vendido com juros simples de 10% ao mês, através de uma única prestação no
valor
de
R$ 1.200,00, então o prazo de pagamento foi superior a 6 meses.
Falso.
Justificativa: 800 + 800 × m × 0,10 = 1.200 ⇒ 80m = 400 ⇒ m = 2.
(16)
Se, no momento da compra, forem pagos R$ 200,00 e, após dois meses, R$ 400,00,
então o comprador ainda estará devendo R$ 326,00, supondo que a taxa mensal de juros
compostos, foi de 10%.
Verdadeiro.
Justificativa: Pagando R$ 200,00 no ato da compra a pessoa estará financiando R$ 600,00.
Ao final de dois meses a sua dívida será de 1,12 × 600 – 400 = 326 reais.
QUESTÃO 09. Com os algarismos x, y e z são formados os números xyz e xzy. A soma dos
números é igual a 1.521 e sua diferença á igual a 9.
Calcule o valor da soma x + y + z.
Resolução:
100x + 10y + z + 100x + 10z + y = 1.521 200x + 11y + 11z = 1.521
⇒
⇒

100x + 10y + z − (100x + 10z + y) = 9
9y − 9z = 9
{200x + 20y + 2z = 1530 ⇒ {100x + 10y + z = 765 = 100 × 7 + 10 × 6 + 5 ⇒ x + y + z + 18
Resposta: 18.
QUESTÃO 10.
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
A figura, ao lado, representa um terreno com a
forma de um trapézio isósceles tal que AB = 20m,
CD = 8m e BC = 10m.
Deseja-se dividir esse terreno em 3 partes I, II e III
de áreas proporcionais a 4, 2 e 1,
respectivamente.
Sabendo que AF é o triplo de GB, calcule DE.
Resolução:
Pela figura à esquerda, temos: 100 = 36 + h2 ⇒ h = 8m.
(8 + 20) × 8
= 112m 2
2
Então a área do trapézio é S =
Como as partes I, II e III de áreas proporcionais a 4, 2 e 1, respectivamente, podemos
representá-las por 4x, 2x e x, então 4x + 2x + x = 112 ⇒ x = 16. Sendo a área do trapézio AFDE
igual a 4x, então SAFDE = 64m2.
Como a área do paralelogramo CEFG é o dobro da área do triângulo e as suas alturas são
iguais, então as suas bases também são iguais.
Temos: 3a + a + a = 20 ⇒ a = 5 ⇒ AF = 15m
A área do trapézio AFDE é 64m2 ⇒
(12 + DE ) × 8 = 64 ⇒ 12 + DE = 16 ⇒ DE = 4
2
.
Resposta: m(DE) = 4m ( Esta é uma solução se considerarmos CEFG um paralelogramo).
Se CEFG não for um paralelogramo, e sendo a área do trapézio AFDE igual a 64m2, temos
(DE + AF).8
= 64 ⇒ DE + AF = 16m
2
SAFDE =
.
Então DE pode assumir qualquer valor positivo menor do que 8, tal que DE = (16 – AF).
07-2174_Resolução-1ªAval.Matem-3ºEM_U1.doc (prof)
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