lista 8 - Sandra de Amo

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
Faculdade de Computação
Disciplina : Matemática para Ciência da Computação – 2º Semestre 2009
Professora : Sandra Aparecida de Amo
Lista de Exercícios nº 8
1. Considere P(n) como a proposição que afirma que uma postagem de n centavos pode ser
feita usando-se apenas selos de 4 e 7 centavos. Os itens deste exercício formam uma
demonstração por indução fraca de que P(n) é verdadeira para n ≥ 18.
a) Mostre que as proposições P(18), P(19), P(20) e P(21) são verdadeiras, completando o
passo inicial da demonstração.
b) Qual é a hipótese indutiva da demonstração?
c) O que você precisa para demonstrar o passo de indução?
d) Complete a etapa indutiva para k ≥ 21.
e) Explique por que esses passos mostram que a proposição é verdadeira sempre que n ≥ 18.
2. O que há de errado com esta "demonstração" por indução fraca ?
"Teorema" Para todo número inteiro n ≥ 0, tem-se que 5n = 0.
1. Identificando P(n) : “ 5n = 0’’
2. Identificando P(0) : “ 5.0 = 0”
3. Provando o passo inicial P(0):
Lado esquerdo 5.0 = 0.
Lado direito : 0. Logo lado esquerdo = lado direito.
4. Identificando a Hipótese de Indução: P(m) é verdadeira para todo m, 0 ≤ m ≤ k. Isto
é: para todo m, 0 ≤ m ≤ k, temos que 5.m = 0.
5. Passo da Indução: temos de mostrar que P(k+1) é verdadeira, considerando que a
hipótese de indução é verdadeira.
Podemos escrever k +1 = i + j, onde i e j são números naturais menores que k+1.
Pela hipótese indutiva, 5(k+1) = 5(i + j) = 5i + 5j = 0 + 0 = 0, o que finaliza a
demonstração.
ONDE ESTÁ O ERRO ?
3. Para cada um dos itens abaixo, encontre ƒ(2), ƒ(3), ƒ(4) e ƒ(5) se ƒ for definido
recursivamente por ƒ(0) = ƒ(1) = 1 e para n ≥ 2 :
a) ƒ(n+1) = ƒ(n) - ƒ(n-1).
b) ƒ(n+1) = ƒ(n)ƒ(n-1).
c) ƒ(n+1) = ƒ(n)² + ƒ(n-1)³.
d) ƒ(n+1) = ƒ(n)/ƒ(n-1).
4. Determine se cada uma das definições propostas abaixo é uma definição recursiva válida
de uma função ƒ a partir do conjunto dos números inteiros não negativos para o conjunto dos
números inteiros. Se ƒ for bem definida, encontre uma definição explicita de f(n) (isto é,
encontre uma fórmula para ƒ(n) que só dependa de n, por exemplo: f(n) = 2n3 + 4)) quando n
for número inteiro não negativo e demonstre que sua fórmula é válida, utilizando indução
forte ou fraca, conforme for mais indicado.
a) ƒ(0) = 0, ƒ(n) = 2ƒ(n-2) para n ≥ 1.
b) ƒ(0) = 1, ƒ(n) = ƒ(n-1) - 1 para n ≥ 1.
c) ƒ(0) = 2, ƒ(1) = 3, ƒ(n) = ƒ(n-1) - 1 para n ≥ 2.
d) ƒ(0) = 1, ƒ(1) = 2, ƒ(n) = 2ƒ(n-2) para n ≥ 2.
e) ƒ(0) = 1, ƒ(n) = 3ƒ(n-1) se n for ímpar e n ≥ 1 e
ƒ(n) = 9ƒ(n-2) se n for par e n ≥ 2.
5. Dê uma definição recursiva da sequência {αn}, n = 1,2,3,... se:
a) αn = 6n.
b) αn = 2n + 1.
c) αn = 10ⁿ.
d) αn = 5.
6. Seja fn o n-ésimo número de Fibonacci. Demonstre que ƒ1 + ƒ3 + ... + ƒ2n-1 = ƒ2n quando n
é um número inteiro positivo. Utilize indução forte.
7. Seja S como o conjunto de pares ordenados de números inteiros definido recursivamente
por:
Passo Base (semente) : (0,0) Є S.
Passo Recursivo: Se (a,b) Є S, então (a + 2, b + 3) Є S e (a + 3, b + 2) Є S.
a) Liste os elementos de S produzidos pelas primeiras cinco aplicações do passo recursivo.
b) Use a indução completa no número de aplicações do passo recursivo da definição para
mostrar que 5 | a + b quando (a, b) Є S.
c) Use a indução estrutural para mostrar que 5 | a + b quando (a, b) Є S.
8. O conjunto C de cadeia de bits é definido recursivamente como segue:
•
•
Passo inicial (semente) :
0ϵC
1ϵC
Passo recursivo :
SE w ϵ C e v ϵ C ENTÃO wv ϵ C
Exemplo: 01 é uma cadeia de bits, pois : 0 e 1 são cadeias de bits (sementes), e pelo passo
recursivo, 01 é uma cadeia de bits.
a) construa todas as cadeias de bits dos passos 0, 1, 2 e 3.
b) Dê uma definição recursiva da função uns: C N, tal que uns(w) = número de bits 1 da
cadeia s. Por exemplo uns(1101) = 3.
c) Use a indução estrutural para demonstrar que uns (st) = uns (s) + uns (t).