Apostila de Estatística

Apostila de Estatística
Prof. Ms. Osorio Moreira Couto Junior
Estatística
Capítulo 1 - Introdução
1.1 Histórico
A estatística é um ramo da matemática aplicada.
A partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de registros diversos
como os de nascimento, óbitos, riquezas, casamentos. Esses registros eram utilizados para
principalmente cobrar impostos.
No século XVIII , Godofredo Achenwall batizou esses estudos como uma nova ciência com o nome
de Estatística. Surgiram tabelas mais complexas, representações gráficas e cálculo de probabilidade.
Formou-se a ferramenta que através da observação de partes (amostras) chega-se a conclusões sobre
um todo (população).
1.2 Estatística
A Estatística é parte da Matemática Aplicada que fornece métodos de coleta, organização,
descrição, análise e interpretação de dados, úteis nas tomadas de decisão.
Estatística Descritiva: coleta, organização e descrição dos dados.
Estatística Indutiva ou Inferencial: análise e interpretação dos dados. Permite obter conclusões que
transcendam os dados obtidos inicialmente, objetivo essencial da Estatística.
Probabilidade: útil para analisar situações que envolvem o acaso. Ex: a decisão de parar de imunizar
pessoas com mais de vinte anos contra determinada doença.
1.3 Método Estatístico (Pesquisa)
Exemplos:
- Indústrias realizam pesquisa entre os consumidores para o lançamento de um novo produto
- As pesquisas eleitorais fornecem elementos para que os candidatos direcionem a campanha
- Emissoras de tevê utilizam pesquisas que mostram a preferência dos espectadores para organizar
sua programação
- A pesquisa do desempenho dos atletas ou das equipes em uma partida ou em um campeonato
interfere no planejamento dos treinamentos
A pesquisa é composta basicamente de 5 fases
1a Coleta de Dados
Após planejamento e determinação das características mensuráveis do objeto em estudo, inicia-se a
coleta de dados. Esta pode ser direta ou indireta.
1
A coleta direta é feita sobre registros diversos: nascimento, casamento, óbitos, importação, registros
escolares; ou ainda quando os dados são coletados diretamente pelo pesquisador através de
questionários (ex: censo).
A coleta direta pode ser: contínua; periódica (censos); ocasional
A coleta indireta é uma coleta feita sobre dados colhidos de uma coleta direta (ex: mortalidade
infantil)
2a Crítica dos Dados
Os dados coletados devem ser observados, à procura de falhas e imperfeições, a fim de não
causarem erro nos resultados.
Exemplo 1 : Perguntas tendenciosas. Foi realizada a seguinte pesquisa:
O tráfego contribui em maior ou menor grau do que a indústria para a poluição atmosférica ?
Resposta: 45 % para o tráfego e 32 % para a indústria.
A indústria contribui em maior ou menor grau do que o tráfego para a poluição atmosférica ?
Resposta: 24 % para o tráfego e 57 % para a indústria.
Exemplo 2: Preservação da auto-imagem. Em uma pesquisa telefônica 94 % dos entrevistados
disseram que lavam as suas mãos após usar o banheiro, mas a observação em banheiros públicos
esse percentual cai para 68 %.
Exemplo 3: Más Amostras. As pessoas devem ser escolhidas aleatoriamente para a pesquisa, como
por exemplo, numa pesquisa de opinião na rua, deve-se entrevistar somente quem pisou em uma
determinada marca pré-determinada na calçada.
Exemplo 4. Más perguntas. A pergunta deve conter o linguajar próprio do entrevistado. Geralmente,
se o entrevistado não entender a pergunta, ele responderá qualquer coisa, pois tem vergonha de
perguntar.
3a Apuração dos Dados
É o processamento dos dados obtidos
4a Exposição dos Dados
Através de tabelas ou gráficos, tornando mais fácil seu exame e aplicação de um cálculo estatístico.
5a Análise dos Resultados
Através de métodos de estatística indutiva ou inferencial obtêm-se conclusões e previsões de um
todo através do exame de apenas uma parte desse todo.
2
1.4 Variável
Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. A variável pode ser qualitativa,
quando seus valores são expressos por atributos (ex: sexo, cor), ou pode ser quantitativa, quando
seus valores são expressos em números.
A variável quantitativa pode ser contínua, quando assume qualquer valor entre dois limites (ex:
peso, altura, medições), ou pode ser discreta, quando só pode assumir valores pertencentes a um
conjunto enumerável (ex: número de filhos, contagens em geral, números inteiros).
3
Capítulo 2 - População e Amostra
2.1 População e Amostra
População é o conjunto de portadores de, pelo menos, uma característica comum.
Amostra é um subconjunto finito de uma população.
A amostra é escolhida através de processos adequados que garantam o acaso na escolha
2.5 Amostragem
É o processo de colher amostras. Nesse processo, cada elemento da população passa a ter a mesma
chance de ser escolhido. Dentre os processos de amostragem pode-se destacar três: amostragem
casual ou aleatória simples, amostragem proporcional estratificada e amostragem sistemática.
a) Amostragem casual ou aleatória simples:
É um sorteio, por exemplo, para retirar uma amostra de 9 alunos de uma sala de 50 alunos, utilizase um sorteio com todos os números dos alunos escritos em papéis dentro de um saco. Para
amostras grandes utiliza-se a Tabela de Números Aleatórios (Página 52). Assim para o exemplo da
sala de aula, utilizando aleatoriamente duas colunas (dois algarismos), obtém-se:
Por exemplo na 1ª e 2ª colunas:
40 94 91 18 54 89 33 45 09 00 40 48 83 94 72 75 05 77 87 91 13 64 66 36 60 29
Como a população vai de 1 a 50 escolhe-se os 9 primeiros números dentro dessa faixa:
40 18 33 45 09 48 05 13 36
b) Amostragem proporcional estratificada:
É comum termos populações que se dividam em subpopulações (estratos) e como cada estrato pode
ter um comportamento diferente do outro, a amostra deve considerar a existência desses estratos e a
sua proporção em relação à população.
Exemplo: supondo que uma sala de aula seja composta de 54 meninos e 36 meninas. Determine
uma amostra de 9 pessoas:
Sexo
População
Masculino
Feminino
Total
54
36
90
Cálculo Proporcional
Regra de três simples
54 x 9 / 90 = 5,4
36 x 9 / 90 = 3,6
9
Amostra
5
4
9
Posteriormente, utiliza-se a tabela de números aleatórios para escolher 5 meninos e 4 meninas.
4
Verifica-se que foi realizado um arredondamento dos números 5,4 e 3,6. Esse arredondamento é
efetuado utilizando as regras de arredondamento.
Exercício: Em uma escola existem 250 alunos, distribuídos em séries conforme a tabela. Obtenha
uma amostra de 40 alunos e preencha a tabela.
Séries
1a
2a
3a
4a
5a
6a
7a
8a
Total
População
35
32
30
28
35
32
31
27
250
Cálculo Proporcional
Amostra
40
c) Amostragem sistemática
É quando a amostragem é feita através de um sistema possível de ser aplicado pois a população já
se encontra ordenada.
Exemplo 1: em uma linha de produção, a cada 10 itens fabricados, retira-se 1 para inspeção, tem-se
uma amostra de 10 % da população.
Exemplo 2: em um lote de 900 peças ordenadas, deseja-se uma amostra de 50. 900/50 =18 (50
grupos de 18 peças cada). Faz-se um sorteio entre 1 e 18, por exemplo 4, então pesquisaríamos a 4o
peça, a 22o , a 40o , 58o , assim por diante.
Exercícios de População e Amostra
1) Uma universidade apresenta o seguinte quadro relativo aos seus alunos do curso de
Administração. Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 100 alunos.
Série
1a
Qtde
140
2a
118
3a
96
4a
75
Total
Amostra
100
5
2) Uma empresa X apresenta o seguinte quadro relativo às quantidades de funcionários em cada um
dos setores:
Setor
Homens
Mulheres
A
B
C
D
E
F
Total
80
102
110
134
150
300
95
120
92
228
130
290
Total
Homens
Amostra
Mulheres
Total
120
Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 120 funcionários
3) Utilizando a tabela de números aleatórios, obtenha uma amostra de 10 pessoas de uma sala de
aula com 85 alunos, utilize a 10a e a 11a coluna para começar o sorteio.
6
Capítulo 3 - Séries Estatísticas
3. Gráficos Estatísticos
3.1. Representação Gráfica
Os gráficos constituem um poderoso instrumento de análise e interpretação de um conjunto
de dados. Eles aparecem nos mais variados veículos de comunicação. Pesquisas de opinião pública,
pesquisas eleitorais, economia, agricultura, saúde são apenas alguns exemplos de assuntos em que
as representações gráficas assumem um papel fundamental para explicar o comportamento do
objeto de estudo. Os mais importantes recursos fornecidos pelos gráficos são a facilidade e a
rapidez na absorção e interpretação dos resultados, por parte do leitor.
3.1.1. Gráfico de Linha
Os gráficos de linhas são bastante utilizados na identificação de tendências de aumento ou
diminuição dos valores numéricos de uma dada informação. Assim, vamos encontrar com
frequência esse tipo de representação em análises tais como lucros de empresas, incidência de
moléstias, índices de crescimento populacional ou de mortalidade infantil, índices de custo de vida,
etc. Seu traço é feito no plano cartesiano.
Exemplo:
Na cidade de São Joaquim (SC), foi anotada a temperatura registrada às 8 horas, durante sete
dias consecutivos, conforme a seguinte tabela:
TEMPERATURA NA CIDADE
DE SÃO JOAQUIM – SC
Temperatura
Dia
(ºC)
1º
1
2º
–2
3º
–3
4º
4
5º
5
6º
6
7º
7
Com base na tabela, façamos a representação gráfica da variação de temperatura.
Solução:
7
Temperatura (ºC)
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
Dia
3.1.2. Gráfico de Colunas ou de Barras
É a representação de uma série por meio de retângulos, dispostos verticalmente (em colunas)
ou horizontalmente (em barras).
Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos
respectivos dados.
Quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos são proporcionais
aos respectivos dados.
Assim estamos assegurando a proporcionalidade entre as áreas dos retângulos e os dados
estatísticos.
Exemplo:
a) Gráfico em colunas
PRODUÇÃO BRASILEIRA DE
CARVÃO MINERAL BRUTO
1989-92
Quant.
Anos
Produzida
(1.000 t)
1989
18.196
1990
11.168
1991
10.468
1992
9.241
Fonte: Ministério da Agricultura
8
Mil toneladas
20.000
15.000
10.000
5.000
0
1989
1990
1991
1992
Anos
b) Gráfico em barras
EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS
MARÇO – 1995
Valor
Estados
(US$ milhões)
São Paulo
1.344
Minas Gerais
542
Rio Grande do
332
Sul
Espírito Santo
285
Paraná
250
Santa Catarina
202
Fonte: SECEX
São Paulo
Minas Gerais
Rio Grande do Sul
Espírito Santo
Paraná
Santa Catarina
0
500
1.000
1.500
Milhões de dólares
3.1.3. Gráfico de Colunas ou de Barras Múltiplas
Este tipo de gráfico é geralmente empregado quando queremos
simultaneamente, dois ou mais fenômenos estudados com o propósito de comparação.
representar,
9
Exemplo:
BALANÇA COMERCIAL DO BRASIL – 1989-93
Valor (US$ 1.000.000)
Especificações
1989
1990
1991
1992
Exportação (FOB)
34.383
31.414
31.620
35.793
Importação
18.263
20.661
21.041
20.554
Fonte: Ministério da Fazenda
1993
38.783
25.711
US$ milhão
40.000
30.000
20.000
10.000
0
1989
1990
1991
1992
Ex portação (FOB)
1993
Importação
3.1.4. Gráfico de Setores
A estatística recorre com frequência a esse tipo de gráfico, que consiste em distribuir num
círculo setores proporcionais aos dados do problema. O gráfico de setores, ou setograma, é utilizado
principalmente quando as quantidades a serem comparadas são muito diferentes umas das outras,
caso em que uma ou mais delas se salientam em relação ao conjunto.
Exemplo:
DISTRIBUIÇÃO DE REMUNERAÇÕES MENSAIS NO BRASIL – 1983
Faixa Salarial
Nº de
(em salários
%
empregados
mínimos)
Até 3 salários
11.770.000
67,1
De 3 a 7 salários
3.931.000
22,4
De 7 a 15 salários
1.355.000
7,7
Mais de 15 salários
483.000
2,8
Total
17.539.000
100,0
10
De 7 a 15
salários
Mais de 15
salários
%
67,1
22,4
7,7
2,8
De 3 a 7
salários
Graus
241,6
80,6
27,7
10,1
Até 3 salários
5.2. Representação Gráfica de Distribuição de Frequência
Uma distribuição de frequência pode ser representada graficamente pelo histograma, pelo
polígono de frequência e pelo polígono de frequência acumulada.
3.2.1. Histograma
O histograma é um gráfico constituído no plano cartesiano por retângulos em número igual
ao número de classes da distribuição. Cada classe é representada por uma coluna de altura
correspondente a sua frequência.
Trata-se também de um gráfico de área. É utilizado para variáveis contínuas; por isso, o
gráfico também é contínuo: as colunas são justapostas. A área de cada coluna é proporcional à
frequência da classe representada. Logo, a área de todo o histograma é proporcional à soma total
das frequências.
Exemplo:
Classes
150 |--- 155
155 |--- 160
160 |--- 165
165 |--- 170
170 |--- 175
175 |--- 180
Pm
152,5
157,5
162,5
167,5
172,5
177,5
Fi
6
10
15
5
3
1
40
Fa
6
16
31
36
39
40
fi (%)
15,0
25,0
38,0
12,0
8,0
2,0
100,0
fa (%)
15,0
40,0
78,0
90,0
98,0
100,0
15
10
Fi
i
1
2
3
4
5
6
Total
5
0
150
155
160
165
170
175
180
11
3.2.2. Polígono de Frequência
Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, tomamos sobre o eixo das abscissas
segmentos proporcionais aos valores dos pontos médios das classes, e sobre o eixo das ordenadas
segmentos proporcionais às frequências, determinando pontos no plano.
Unindo os pontos obtidos, determinamos um diagrama poligonal, que convencionalmente é
fechado no eixo das abscissas pelo ponto médio da classe imediatamente inferior à inicial e pelo
ponto médio da classse imediatamente superior à final. Desta forma, obtemos um polígono de
frequência.
Vejamos agora como, a partir da tabela do item anterior, podemos construir um polígono de
frequência.
15
12
Fi
9
6
3
0
150
155
160
165
170
175
180
3.2.3. Ogiva
A ogiva é um gráfico de frequências acumuladas, o que justifica ser também denominada
curva de caumulação de frequências.
Retomando o exemplo do item 5.2.1., podemos construir um gráfico de ogiva com os
valores de frequência acumulada (Fa).
40
Fa
30
20
10
0
150
155
160
165
170
175
180
12
Capítulo 4 - Distribuição de Freqüência
4.1 Tabela Primitiva e Rol
Tabela primitiva - elementos da variável ainda não foram numericamente organizados
Ex:
Total de pontos (acertos) obtidos por 40 alunos em um teste de 175 questões
166
160
161
150
162
160
165
167
164
160
162
161
168
163
156
173
160
155
164
168
155
152
163
160
155
155
169
151
170
164
154
161
156
172
153
157
156
158
158
161
Rol - é a tabela primitiva ordenada (crescente ou decrescente).
Ex:
150
151
152
153
154
155
155
155
155
156
156
156
157
158
158
160
160
160
160
160
161
161
161
161
162
162
163
163
164
164
164
165
166
167
168
168
169
170
172
173
4.2 Distribuição de freqüência
Com isso pode-se construir uma tabela denominada Distribuição de Freqüência, sendo a freqüência
o numero de elementos relacionados a um determinado valor da variável.
Ex:
Pontos
150
151
152
153
154
155
156
157
Freqüência
1
1
1
1
1
4
3
1
Pontos
158
160
161
162
163
164
165
166
Freqüência
2
5
4
2
2
3
1
1
Pontos
167
168
169
170
172
173
Freqüência
1
2
1
1
1
1
total
40
Para uma melhor visualização e economia de espaço, agrupam-se os valores em intervalos de
classe.
13
Ex:
Total de pontos (acertos) obtidos em um
teste de 175 questões por 40 alunos
Total de pontos
Freqüência
150 |- 154
4
154 |- 158
9
158 |- 162
11
162 |- 166
8
166 |- 170
5
170 |- 174
3
Total
40
Para a confecção dessa tabela pode-se pular o passo anterior, ou seja, do rol já partir para a tabela de
distribuição de freqüências com intervalos de classe.
4.3 Elementos de uma distribuição de freqüência
a) Classes de freqüência: são os intervalos de variação da variável, representados por i,
sendo i = 1,2,3,4,...,k, onde k é o número total de classes.
Em nosso exemplo k = 6
b) Limites da classe: são os extremos de cada classe.
Limite superior Li
Limite inferior li
O símbolo li |- Li significa inclusão de li e exclusão de Li
l2 = 154 e L2 = 158
c) Amplitude de um intervalo de classe (h) é a medida do intervalo que define a classe
h = Li - li
h2 = 154-158 = 4
d) Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre o limite superior da ultima classe
(limite superior máximo) e o limite inferior da primeira (limite inferior mínimo).
AT = L(max) - l (min)
AT = 174 - 150 = 24
Deve-se notar que AT/h = k
24/4 = 6
e) Amplitude amostral (AA) : é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra
AA = x(máx) - x(mín)
AA = 173-150 = 23
14
f) Ponto médio de uma classe (xi) : é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais
xi = (li+Li)/2
x2 = (154+158)/2 = 156
f) Freqüência simples ou absoluta: é o número de observações correspondentes a essa classe ou a
esse valor
f1 = 4 f2 = 9 f3 = 11 f4 = 8 f5 = 5 f6 = 3
k
f
i 1
i
6
f
n
i 1
i
 40
4.4 Número de Classes, Intervalos de Classe
Determinação do número de classes: utiliza-se a regra de Sturges (obs: não é obrigatório, é apenas
uma orientação)
k  1  3,3  log n
onde, k é o número de classes e n é o numero total de dados. Esta
fórmula nos permite obter a seguinte tabela
n
3 |-| 5
6 |-| 11
12 |-| 22
23 |-| 46
47 |-| 90
91 |-| 181
182 |-| 362
k
3
4
5
6
7
8
9
Para determinação do intervalo de classe h aplica-se
h
AA
k
No caso
Quando o resultado não é exato, deve-se arredondá-lo para mais.
h
173  150
 3,8  4
6
, ou seja, 6 classes de intervalo 4.
Exercício: .As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
9
9
9
15
Complete a distribuição de freqüência abaixo
i
Notas
xi
fi
0 |- 2
2 |- 4
4 |- 6
6 |- 8
8 |- 10
Total
50
4.5 Tipos de freqüências
a) Freqüência Simples ou Absoluta (fi) : é o valor que representa o número de dados de uma
classe, onde :
k
f
i 1
i
n
b) Freqüência Relativa (fri): é a porcentagem entre a freqüência simples e a freqüência total:
fri 
fi
k
 fi
 100%
i 1
No exemplo: fr3 = 11/40 = 0,275 x 100 = 27,5 %
k
É obvio que:
 fri  100%
i 1
O propósito das freqüências relativas é o de permitir a análise e facilitar comparações.
c) Freqüência Acumulada (Fi): é o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite
superior do intervalo de uma dada classe.
k
Fk  f1  f 2  f 3    f k
ou
Fk   f i
i 1
16
No exemplo F3 = f1 + f2 + f3 = 4+9+11=24, o que significa que existem 24 alunos com estatura
inferior a 162 cm (limite superior do intervalo da terceira classe)
d) Freqüência Acumulada relativa (Fri): é a porcentagem entre a freqüência relativa acumulada da
classe e a freqüência total da distribuição.
Fri 
Fi
k
 fi
 100%
i 1
No exemplo temos Fr3 = 24/40 = 0,6 = 60 %, o que significa que 60 % dos alunos acertaram menos
de 162 questões
Pode-se então montar a seguinte tabela:
i
1
2
3
4
5
6
Total de Pontos
150 |- 154
154 |- 158
158 |- 162
162 |- 166
166 |- 170
170 |- 174
Total
xi
152
156
160
164
168
172
fi
4
9
11
8
5
3
40
fri (%)
10,00
22,50
27,50
20,00
12,50
7,50
100,00
Fi
4
13
24
32
37
40
Fri (%)
10,00
32,50
60,00
80,00
92,50
100,00
Que nos ajuda a responder:
1) Quantos alunos acertaram entre 154, inclusive, e 158 questões ? Resp. 9 alunos
2) Qual a percentagem de alunos com total de pontos inferior a 154? Resp. 10%
3) Quantos alunos acertaram menos que 162 questões ? Resp. 24 alunos
4) Quantos alunos obtiveram um total de pontos não inferior a 158? Resp. 40-13 = 27 alunos
4.6 Distribuição de Freqüência sem Intervalo de Classe
Quando se trata de variável discreta de variação relativamente pequena, cada valor pode ser tomado
como um intervalo de classe, tomando a seguinte forma:
Os resultados de um lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:
6
1
5
2
5
5
6
4
2
6
2
3
3
5
2
6
3
1
2
4
4
5
3
5
6
3
1
5
1
1
6
3
4
3
5
2
6
4
6
2
6
3
2
5
4
5
4
6
1
3
17
i
resultados
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
Total
fi
fri
Fi
50
100
Fri
Exercício: Complete a tabela abaixo e responda:
i
1
Horas de estudo por
semana
0 |- 5
xi
fi
2
5 |- 10
96
3
10 |- 15
57
4
15 |- 20
25
5
20 |- 25
11
6
25 |- 30
6
fri
Fi
Fri
5
Total
100
Qual a porcentagem de pessoas que estudam menos de 15 horas ?
Qual a porcentagem de pessoas que estudam 20 ou mais horas ?
18
4.7 Representação Gráfica de uma Distribuição de Freqüência
Pode-se ser representado basicamente por um histograma, por um polígono de freqüência ou por um
polígono de freqüência acumulada.
a) Histograma: O histograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se
localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os
pontos médios dos intervalos de classe. Seja o exemplo:
i
1
2
3
4
5
6
Total de
Pontos
150 |- 154
154 |- 158
158 |- 162
162 |- 166
166 |- 170
170 |- 174
Total
xi
fi
Fi
152
156
160
164
168
172
4
9
11
8
5
3
40
4
13
24
32
37
40
Histograma
12
Frequências fi
10
8
6
4
2
0
150150 |- 154154154 |- 158158158 |-162162162 |- 166166166 |- 170170170 |- 174174
Total
de Pontos
Estaturas
(cm)
b) Polígono de freqüência: É um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre
perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe.
19
12
10
8
f
6
4
2
0
148
152
156
160
164
168
172
176
Estaturas
[cm]
Total
de Pontos
c) Polígono de freqüência acumulada: É traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre
perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites
superiores dos intervalos de classe.
45
40
35
30
F
25
20
15
10
5
0
150
154
158
162
166
170
174
Estaturas
[cm]
Total
de pontos
Exercício - Construa o histograma, o polígono de freqüência e o polígono de freqüência acumulada
da seguinte distribuição.
20
i
Total de Faltas de
uma sala com 60
alunos
xi
fi
Fi
0
1
0 |- 2
5
2
2 |- 4
15
3
4 |- 6
25
4
6 |- 8
10
5
8 |- 10
5
6
21
Capítulo 5 - Medidas de Posição
5.1 Media Aritmética ( x )
n
x
x
i 1
i
n
onde xi são os valores da variável e n o número de valores.
di  xi  x
a) Desvio em relação a média (di)
n
b) Propriedades:
d
i 1
i
0
A soma algébrica dos desvio em relação a média é nula
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) de todos os valores de uma variável, a média do
conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante.
Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante (c) de todos os valores de uma variável, a média
do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.
Exemplo: Seja a nota de 10 alunos: 8, 9, 7, 6, 10, 5,5, 5, 6,5, 7,5, 8,5
A média é x 
8  9  7  6  10  5,5  5  6,5  7,5  8,5
 7,3
10
Desvios:
8 - 7,3
9 - 7,3
7 - 7,3
6 - 7,3
10 - 7,3
5,5 - 7,3
5 - 7,3
6,5 - 7,3
7,5 - 7,3
8,5 - 7,3
Total
0,7
1,7
-0,3
-1,3
2,7
-1,8
-2,3
-0,8
0,2
1,2
0,0
22
c) para dados agrupados (distribuição de freqüência sem intervalos de classe)
Seja a seguinte distribuição:
no de filhos (xi)
fi
fi . xi
que se deseja ter
0
2
0
1
6
6
2
10
20
3
12
36
4
4
16
Total
34
78
n
x
 (f
i 1
i
n
f
i 1
tem-se então:
x
xi )
i
78
 2,294 ~
 2,3
34
d) para dados agrupados (distribuição de freqüência com intervalos de classe). Adota-se o
seguinte: todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu
ponto médio.
Seja a seguinte distribuição:
i
Total de
xi
fi
fi . xi
pontos
1
150 |- 154
152
4
608
2
154 |- 158
156
9
1404
3
158 |- 162
160
11 1760
4
162 |- 166
164
8
1312
5
166 |- 170
168
5
840
6
170 |- 174
172
3
516
Total
40 6440
tem-se então: x 
6440
 161 pontos
40
23
Exercício 1 - Complete a tabela e calcule a média aritmética da distribuição.
Qtde de cursos de extensão
realizados por ano (xi)
pelos alunos do 4o Adm
fi
1
2
2
4
3
6
4
8
5
3
6
1
fi . xi
Exercício 2 - Complete a tabela e calcule a média aritmética da distribuição.
i
Salário Mensal dos
alunos do 4o Adm [R$]
xi
fi
1
450 |- 550
8
2
550 |- 650
10
3
650 |- 750
11
4
750 |- 850
16
5
850 |- 950
13
6
950 |- 1050
5
7
1050 |- 1150
1
fi . xi
Total
5.2 A Moda (Mo)
Denomina-se moda o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.
Caso 1) Dados não agrupados.
Basta procurar o valor que mais se repete. Ex:
24
3,4,5,6,6,6,6,7,7,8,9 A série tem moda igual a 6 (valor modal 6)
Pode acontecer também uma série sem valor modal. Ex:
1,2,3,4,5,6,7,8,9
série amodal
Pode acontecer também uma série com mais de uma moda. Ex:
1,2,2,2,3,4,5,6,6,6,7,8,9
a série tem duas modas (2 e 6) - série bimodal
Caso 2) Dados agrupados.
a) sem intervalos de classe. Basta identificar o valor da variável que possui maior freqüência. Ex:
Seja a seguinte distribuição: Mo = 3
no de filhos (xi)
fi
que se deseja ter
0
2
1
6
2
10
3
12
4
4
Total
34
b) com intervalos de classe. A classe com maior freqüência é denominada classe modal, o cálculo
da moda bruta é semelhante ao do ponto médio do intervalo de classe.
Mo  x i 
L
2
Ex: Seja a distribuição:
i
1
2
3
4
5
6
Total de pontos
150 |- 154
154 |- 158
158 |- 162
162 |- 166
166 |- 170
170 |- 174
Total
Então: a classe modal é i = 3, logo Mo = 160 pontos
xi
152
156
160
164
168
172
fi
4
9
11
8
5
3
40
25
Exercício: Calcule a moda da seguinte distribuição:
I
Salário Mensal dos
alunos do 4o Adm [R$]
fi
1
2
3
4
5
6
7
450 |- 550
550 |- 650
650 |- 750
750 |- 850
850 |- 950
950 |- 1050
1050 |- 1150
Total
8
10
11
16
13
5
1
64
5.3 Mediana (Md)
A mediana é o número que se encontra no centro de uma série de números, ou seja, separa os
valores em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
Caso 1 ) Dados não agrupados
Dada uma série de valores:
5,13,10,2,18,15,6,16,9
Deve-se então ordená-los:
2,5,6,9,10,13,15,16,18
Determina-se então o valor central que é 10 (4 valores para cada lado) Md = 10
Se a série tiver número par de valores, a mediana é a média dos dois valores centrais:
2,5,6,9,10,15,16,18
Md = (9+10)/2 = 9,5
Caso 2 ) Dados agrupados
No caso de distribuição de freqüência deve-se primeiramente determinar a freqüência acumulada.
Determina-se então, o valor que divide a distribuição em duas partes iguais. Aplica-se então:
f
i
2
26
a) sem intervalos de classe. Dada a série:
Então:
f
2
no de filhos (xi)
que se deseja ter
0
1
2
3
4
Total
i

fi
Fi
2
6
10
12
4
34
2
8
18
30
34
34
 17
2
A menor freqüência acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde ao valor 2 da variável.
No caso de
f
2
Md = 2
i
 Fi acontecer, a mediana será dada por: Md 
I
1
2
3
4
5
f
2
i
 18  F3 , então: Md 
no de filhos (xi)
que se deseja ter
0
1
2
3
4
Total
x i  x i 1
. Exemplo:
2
fi
Fi
2
6
10
12
6
36
2
8
18
30
36
fi
Fi
23
 2,5
2
Exercícios:
1) Calcule a mediana das seguintes distribuições:
i
Qtde de anos de
estudo (xi)
1
13
2
14
3
15
4
16
5
17
Total
6
14
24
16
8
27
i
1
2
3
4
5
6
Qtde de
disciplinas em
dependência
0
1
2
3
4
5
Total
fi
Fi
2
5
9
7
6
3
b) com intervalos de classe: segue-se os seguintes passos:
1o - Determina-se as freqüências acumuladas
2o - Calcula-se
f
i
2
3o - Marca-se a classe correspondente a freqüência acumulada imediatamente superior a
f
i
2
(classe mediana) e emprega-se a fórmula:
fi

 Fant   h

 2

Md i  
fi
onde:  é o limite inferior da classe mediana
F(ant) é a freqüência acumulada da classe anterior a classe mediana
h é a amplitude do intervalo da classe mediana
fi é a freqüência do intervalo da classe mediana
Exemplo:
i
1
2
3
4
5
6
f
2
i

Total de pontos
150 |- 154
154 |- 158
158 |- 162
162 |- 166
166 |- 170
170 |- 174
Total
40
 20 , logo classe mediana é i = 3
2
Md  158 
fi
4
9
11
8
5
3
40
 = 158
Fi
4
13
24
32
37
40
F(ant) = 13
h = 4 f3 = 11
20  13 4  158  2,5  160,5
11
28
No caso de
f
2
i
 Fi acontecer, a mediana será o limite superior da classe correspondente.
Exercício: Calcule a mediana das seguintes distribuições:
i
Salário Mensal dos
alunos do 4o Adm [R$]
fi
Fi
1
2
3
4
5
6
7
450 |- 550
550 |- 650
650 |- 750
750 |- 850
850 |- 950
950 |- 1050
1050 |- 1150
Total
8
10
11
16
13
5
1
64
i
Valor da hora de trabalho de
profissionais de uma empresa
de consultoria [R$]
fi
1
30 |- 50
2
2
50 |- 70
8
3
70 |- 90
12
4
90 |- 110
10
5
110 |- 130
5
Fi
Total
5.4 Os Quartis
Denomina-se quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais. Portanto, há
três quartis. São mais aplicados em distribuição de freqüência com intervalos de classe.
Primeiro Quartil (Q1) - 25 % dos dados são menores que ele e os 75 % restantes são maiores.
Segundo Quartil (Q2) - coincide com a mediana, 50 % para cada lado.
Terceiro Quartil (Q3) - 75 % dos dados são menores que ele e os 25 % restantes são maiores.
29
Para o caso de dados agrupados, basta aplicar:
k f i
4
, sendo k o número de ordem do quartil.
Então:
fi

 3   fi

 2   fi

 Fant   h
 Fant   h

 Fant   h


4
4
 4



Q1   i  
Q3   i  
Q2   i  
fi
fi
fi
Exemplo:
i Total de Pontos
1
150 |- 154
2
154 |- 158
3
158 |- 162
4
162 |- 166
5
166 |- 170
6
170 |- 174
Total
fi
4
9
11
8
5
3
40
Fi
4
13
24
32
37
40
Primeiro Quartil
f
i
4

40
 10 , logo classe do 1o Quartil é i = 2
4
 = 154
h=4
f2 = 9
Q1  154 
10  4 4  154  2,66  156,66  156,7
F(ant) = 4
9
Segundo Quartil = Mediana
2 f i
4

40
 20 , logo classe do 2o Quartil é i = 3
2
h=4
 = 158
F(ant) = 13
 = 162
F(ant) = 24
f3 = 11
Q 2  Md  158 
20  13  4  158  2,5  160,5
11
Terceiro Quartil
3 f i
4

3  40
 30 , logo classe do 3o Quartil é i = 4
4
h=4
f4 = 8
Q3  162 
30  24 4  162  3  165
8
Exercício: Calcule os quartis da seguinte distribuição:
30
i
Salário Mensal dos alunos
do 4o Adm [R$]
fi
1
2
3
4
5
6
7
450 |- 550
550 |- 650
650 |- 750
750 |- 850
850 |- 950
950 |- 1050
1050 |- 1150
Total
8
10
11
16
13
5
1
64
Fi
5.5 Os Percentis
Denomina-se percentis os noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais.
Indica-se da seguinte forma:
P1,P2,P3,...P99
Note-se que: P50 = Md, P25 = Q1 e P75 = Q3
Calcula-se da mesma forma que os quartis, só que aplicando:
k f i
100
k  fi

 Fant   h

 100

PK   i  
fi
, sendo k o número de ordem do percentil.
Exemplo:
i Total de Pontos
1
150 |- 154
2
154 |- 158
3
158 |- 162
4
162 |- 166
5
166 |- 170
6
170 |- 174
Total
fi
4
9
11
8
5
3
40
Fi
4
13
24
32
37
40
Tem-se para o oitavo percentil:
k  8 
8 f i
100

8  40
 3,2 , logo classe do 8o Percentil é i = 1
100
 = 150
F(ant) = 0
h=4
f1 = 4
31
P8  150 
3,2  0 4  150  3,2  153,2
4
Exercício: Calcule o percentil de ordem 20 da seguinte distribuição:
i
Salário Mensal dos alunos
do 4o Adm [R$]
fi
1
2
3
4
5
6
7
450 |- 550
550 |- 650
650 |- 750
750 |- 850
850 |- 950
950 |- 1050
1050 |- 1150
Total
8
10
11
16
13
5
1
64
Fi
32
Capítulo 6 - Medidas de Dispersão ou de Variabilidade
6.1 Amplitude total (AT)
a) a amplitude total é a diferença entre o maior valor e o menor valor observado:
AT  x MÁX  x MÍN
Exemplo: 40, 45, 48, 52, 54, 62, e 70
AT = 70 - 40 = 30
Quanto maior a amplitude total , maior será a dispersão dos valores da variável em torno da média.
6.2 Variância (s2) e Desvio Padrão (s)
São mais estáveis que a amplitude total, não sofrem tanto a interferência de valores extremos.
a) para dados não agrupados
A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios:
 x  x 

f
2
s
2
i
 x

 x
2
i
n
i
A variância é um número em unidade quadrada em relação a média, por isso, definiu-se o
desvio padrão como a raiz quadrada da variância.
O desvio padrão é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios.
Para evitar o acúmulo de erro por arredondamento, simplifica-se o cálculo do desvio padrão
com a seguinte:
 x 
 x  x    x  n
2
2
i
2
i
i
que resulta em:
s
x
n
2
i
  xi

 n





2
Obs: Quando calcula-se a variância ou o desvio padrão de uma população através de uma amostra
dessa, deve-se substituir o denominador n por n-1.
Propriedades:
1a: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a (de) todos os valores de uma variável, o
desvio padrão não se altera.
33
2a.: Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante (diferente de zero),
o desvio padrão fica multiplicado por essa constante.
Exemplo: Calcule o desvio padrão da seguinte série:
i
1
2
3
4
5
6
Total
s
x
2
i
n
  xi
 
 n
xi2
64
100
121
225
256
324
1090
xi
8
10
11
15
16
18
78
2
2

  1090   78   181,67  169  3,56

6
 6

b) para dados agrupados sem intervalos de classe: deve-se levar em conta as freqüências.
s
 (f  x
i
n
2
i
)
  (f i  x i ) 

 

n


2
Exemplo:
i
1
2
3
4
5
Total
s
 (f  x
i
n
2
i
Qtde de filhos que se
deseja ter (xi)
0
1
2
3
4
fi
fi . xi
fi . xi2
2
6
12
7
3
30
0
6
24
21
12
63
0
6
48
63
48
165
2
)   (f i  x i ) 
165  63 



  30   30   5,5  4,41  1,04
n


2
34
Exercício: Determine o desvio padrão.
i
Qtde de cursos de extensão
realizados por ano (xi)
pelos alunos do 4o Adm
fi
1
1
2
2
2
5
3
3
8
4
4
6
5
5
3
6
6
1
Total
fi . xi
fi . xi2
25
c) para dados agrupados com intervalos de classe: também leva-se em conta as freqüências e xi é
o ponto médio do intervalo de classe.
Exemplo:
i Total de Pontos xi
fi
fixi
fixi2
1
150 |- 154
152
4
608
92416
2
154 |- 158
156
9
1404 219024
3
158 |- 162
160 11 1760 281600
4
162 |- 166
164
8
1312 215168
5
166 |- 170
168
5
840 141120
6
170 |- 174
172
3
516
88752
Total
40 6440 1038080
s
 (f i  x i2 )    (f i  x i ) 
n

n
2
2
1038080  6440 


  25952  25921  31  5,57
40
 40 

35
Resolva: Calcule o desvio padrão pelo processo breve.
i
xi
fi
Salário Mensal dos
fixi2
fixi
alunos do 3o Mat [R$]
1
450 |- 550
8
2
550 |- 650
10
3
650 |- 750
11
4
750 |- 850
16
5
850 |- 950
13
6
950 |- 1050
5
7
1050 |- 1150
1
Total
64
i
Peso kg
xi
Fi
1
30 |- 50
2
2
50 |- 70
8
3
70 |- 90
12
4
90 |- 110
10
5
110 |- 130
5
Total
37
fixi
fixi2
36
6.3- Coeficiente de Variação (CV)
É a porcentagem do desvio padrão em relação a sua média.
CV 
s
 100
x
Exemplo: Para o exemplo anterior, das estaturas, tem-se média de 161 cm e desvio padrão de 5,57
cm
CV 
5,57
 100  3,459  3,5%
161
Resolva: Calcule o CV dos dois últimos exercícios de cálculo de desvio padrão pelo processo breve.
a)
b)
x  755
s  154
x  84,3
s  21,88
Conclusão:
Quanto maior o CV maior será a dispersão
Quanto menor o CV menor será a dispersão
37
Exercícios de Revisão: Os dados abaixo referem-se a idade das pessoas que compraram um
determinado produto novo durante um dia. Determine:
i
Idade
xi
fi
1
0 |- 10
10
2
10 |- 20
26
3
20 |- 30
15
4
30 |- 40
8
5
40 |- 50
4
6
50 |- 60
3
7
60 |- 70
2
Fi
fixi
fixi2
Total
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Média;
Desvio Padrão;
Mediana
Primeiro Quartil
Terceiro Quartil
P40
38
TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS:
4
9
9
1
5
8
3
4
0
0
4
4
8
9
7
7
0
7
8
9
1
6
6
3
6
2
9
6
6
6
2
6
2
9
9
9
4
8
7
3
9
9
9
2
7
8
4
7
9
8
3
6
6
9
3
6
0
4
1
8
4
9
3
5
9
0
0
8
3
4
2
5
5
7
7
1
3
4
6
6
0
9
4
6
6
2
6
3
3
2
4
3
5
7
6
1
0
3
8
2
9
1
5
4
0
7
3
1
6
1
2
3
8
2
6
9
6
7
3
4
3
3
5
5
7
7
5
0
4
3
1
4
3
0
1
8
9
5
9
7
5
6
6
1
1
8
8
1
8
5
6
7
5
3
4
9
9
6
7
0
2
4
5
8
5
3
3
8
9
9
2
3
3
1
4
1
7
1
8
1
7
8
5
2
8
3
2
1
3
9
2
4
7
9
5
9
0
1
6
4
5
1
6
8
4
2
1
8
2
7
3
9
9
2
2
2
1
1
3
0
6
6
9
1
3
8
3
3
4
4
4
4
3
2
6
7
3
1
0
3
6
6
0
8
9
5
3
3
0
4
5
3
6
2
3
6
5
4
1
4
2
6
7
9
8
7
7
6
4
9
1
0
4
4
8
4
6
3
0
2
2
8
4
5
6
1
8
2
7
5
0
7
8
3
1
0
6
5
7
8
9
0
5
8
3
1
5
5
2
2
1
0
0
2
3
1
0
5
5
0
9
4
1
4
7
6
6
7
0
7
3
8
0
8
5
7
1
3
9
4
8
9
5
7
5
7
2
0
8
9
7
9
0
7
3
4
4
9
2
5
9
2
9
6
3
0
7
4
4
3
9
6
2
0
1
4
1
8
9
8
9
3
5
8
9
9
6
5
8
0
8
1
5
9
3
0
1
7
8
4
9
2
8
8
0
9
6
7
5
7
1
0
1
5
3
3
6
2
2
9
2
6
2
4
6
1
1
1
4
7
3
7
6
0
9
9
2
1
0
8
2
7
1
7
3
0
7
9
0
5
5
7
0
8
0
5
0
2
6
2
7
9
5
0
9
5
5
5
5
0
3
1
6
8
5
3
2
0
8
7
7
5
3
2
6
2
7
7
6
4
8
2
9
5
1
9
5
4
0
8
9
4
8
8
9
6
1
7
6
6
1
4
2
7
8
9
7
4
1
3
8
2
0
1
8
4
4
7
1
6
3
0
8
5
4
5
3
8
1
8
0
0
8
2
9
7
0
9
0
6
2
1
0
8
6
4
5
3
4
8
7
5
3
8
9
9
4
5
2
0
1
6
6
5
3
3
7
5
9
7
1
3
5
3
9
4
8
0
9
2
3
2
2
2
5
4
6
2
6
9
2
3
0
5
9
3
9
4
6
7
8
0
1
5
4
3
2
6
1
0
1
5
1
3
6
0
9
1
8
8
7
6
6
9
1
4
8
3
3
3
5
5
8
3
5
5
5
9
9
0
8
8
4
2
5
4
2
2
2
4
4
1
9
0
3
0
9
3
6
2
0
7
3
0
7
6
3
9
7
7
2
5
6
6
1
0
4
8
8
4
9
1
8
2
9
9
8
0
2
0
2
2
1
5
1
8
1
0
9
0
6
4
4
8
4
1
3
0
8
1
0
8
0
4
7
6
0
1
1
3
4
0
2
4
8
9
8
3
0
1
1
9
6
9
7
2
0
2
1
3
0
9
7
3
4
1
9
6
2
1
0
4
1
9
8
7
8
1
0
0
4
8
0
8
9
8
9
6
0
9
3
8
9
9
1
5
6
0
0
1
0
6
6
8
1
5
0
3
7
7
8
7
1
9
2
6
2
3
2
4
9
3
0
3
8
7
3
0
7
0
2
2
9
4
4
6
5
1
1
5
2
7
9
2
7
2
7
2
6
7
2
4
7
2
3
0
9
3
5
3
1
1
4
0
5
5
3
4
8
3
0
5
9
3
2
3
3
3
5
9
1
4
8
1
0
4
5
0
1
5
7
3
0
4
2
8
9
8
0
7
1
9
9
2
1
3
2
2
5
8
4
4
4
0
4
0
2
5
2
1
3
1
1
3
2
2
9
5
5
8
4
2
6
1
1
2
2
3
3
6
3
7
0
0
3
1
2
6
7
3
2
8
1
9
1
4
5
4
1
5
2
2
9
1
9
8
5
3
9
7
3
1
4
1
1
4
8
7
6
6
9
5
7
6
4
5
8
8
4
7
5
8
6
7
7
9
6
5
7
6
1
1
1
5
3
1
4
5
1
1
1
5
2
4
7
4
2
7
9
5
1
8
8
8
7
0
8
6
1
9
3
7
9
7
8
6
8
3
2
7
3
9
1
2
7
8
1
3
0
3
8
1
4
6
5
2
3
5
9
9
1
0
7
5
5
1
2
1
0
1
4
1
6
4
1
6
2
2
5
6
5
7
3
8
1
8
9
1
7
2
7
2
3
3
6
6
6
8
2
6
0
5
5
6
4
7
2
2
6
0
1
1
6
9
9
5
1
4
3
9
8
1
4
7
1
2
2
0
1
0
6
0
3
0
1
8
9
8
6
9
2
3
2
2
0
7
4
1
1
9
1
0
5
1
4
7
3
1
4
2
9
7
3
5
3
0
8
5
4
4
2
8
8
6
6
2
3
1
9
0
8
7
5
3
4
0
3
8
1
7
1
6
8
4
8
9
0
9
1
6
1
8
6
2
3
8
5
2
9
1
3
0
9
7
0
6
8
1
0
2
8
4
3
0
8
4
7
6
5
9
0
0
6
8
7
4
0
5
5
5
1
5
2
7
0
0
0
3
7
3
7
2
4
5
6
1
1
3
6
2
6
7
7
2
5
7
4
9
6
0
7
5
0
1
7
4
9
5
4
9
7
7
7
8
8
3
2
9
9
5
1
5
7
4
4
3
2
9
2
6
9
6
4
7
7
7
6
0
9
2
8
1
2
8
8
4
4
6
5
9
0
1
4
0
7
7
5
9
1
5
8
0
1
8
8
2
8
1
5
2
1
6
4
1
5
3
5
1
4
9
2
7
3
5
0
7
3
3
0
7
6
5
8
3
5
9
0
3
1
5
9
9
8
6
2
5
6
3
7
9
6
7
0
1
6
2
1
2
4
5
9
0
9
6
7
2
8
9
1
9
1
5
2
5
2
8
9
0
3
9
7
4
3
7
8
8
8
1
0
2
2
3
9
1
1
9
6
0
9
9
5
7
5
7
8
3
0
6
4
3
6
0
4
6
1
0
5
8
0
5
7
5
5
5
0
4
6
9
2
0
8
3
8
9
1
2
3
7
7
2
4
0
6
0
0
6
8
6
1
3
1
5
3
6
6
3
2
8
6
6
7
9
7
5
9
5
0
8
3
5
7
4
9
2
7
7
4
6
8
0
2
4
6
8
4
3
2
5
6
9
5
3
3
5
2
0
1
4
8
5
5
7
1
1
6
2
0
8
6
4
1
6
0
4
4
9
1
2
0
8
4
0
7
6
4
2
2
1
9
2
1
6
5
3
6
0
8
8
7
5
6
9
7
2
0
7
2
1
4
8
1
8
6
7
7
0
7
5
3
7
7
5
5
9
5
8
1
4
7
8
4
3
3
1
6
7
4
8
2
7
3
9
6
8
2
9
3
9
4
3
8
8
9
2
5
3
8
4
2
8
5
8
9
3
2
4
7
6
6
7
9
0
6
0
8
7
5
3
2
2
4
9
5
7
5
6
7
2
8
4
8
0
2
2
2
8
6
4
0
0
6
9
6
5
9
8
6
6
5
1
3
8
3
4
8
0
5
0
3
2
7
4
4
8
3
9
9
3
7
6
2
5
5
0
5
5
0
9
1
4
1
0
1
3
1
7
6
5
2
1
9
6
8
2
4
1
0
4
2
6
2
9
7
6
3
6
2
5
9
4
2
5
7
7
2
5
5
7
5
3
6
7
6
7
3
8
8
3
4
0
2
5
2
7
8
8
5
9
6
4
5
0
5
5
1
9
7
0
8
0
5
2
0
6
9
0
7
8
7
9
5
3
7
4
9
8
1
6
3
0
7
6
7
4
0
4
5
7
6
8
0
9
3
4
5
1
3
8
2
0
1
4
8
0
7
4
8
4
6
9
2
6
6
5
8
0
1
7
6
8
8
2
6
7
0
2
5
5
1
2
9
3
8
0
8
8
3
3
9
5
3
6
8
1
0
5
8
5
9
2
3
9
3
0
1
7
6
2
9
4
2
5
2
6
3
0
7
5
8
2
1
6
2
1
1
5
8
1
5
2
0
0
0
6
6
9
2
6
7
2
3
6
3
2
3
7
0
6
2
9
3
8
2
9
8
1
4
3
8
2
0
9
8
3
4
1
0
7
6
8
9
6
4
0
1
2
9
7
3
8
6
9
7
0
4
9
7
5
0
9
8
2
1
9
3
8
0
3
1
9
5
4
7
7
2
3
7
3
3
7
0
3
4
7
0
2
1
8
8
5
5
5
6
9
9
6
2
5
1
3
4
4
1
1
9
0
8
3
3
0
3
4
3
3
9
3
2
9
5
0
5
2
4
1
4
4
39
BIBLIOGRAFIA:
COSTA NETO, P. L. de O. Probabilidades. São Paulo: Editora Edgard Blucher Ltda, 1985.
COSTA NETO, P. L. de O. Estatística. São Paulo: Editora Edgard Blucher Ltda, 17o ed. 1999.
CRESPO, A. A. Estatística Fácil. São Paulo: Editora Saraiva, 17o ed. 1999.
DANTE, L. R. Matemática: Contexto de Aplicações. São Paulo: Editora Ática, 1999.
DOWNING, D. , CLARK, J. Estatística Aplicada. São Paulo: Editora Saraiva, 2000.
KAZMIER, L. J. Estatística Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Editora Makron books Ltda.,
1982.
LAPPONI, J. C. Estatística Usando Excel. São Paulo: Editora Lapponi, 2000.
LEVIN, J. Estatística Aplicada a Ciências Humanas, 2a edição. São Paulo: Editora Harper & Row do Brasil
Ltda, 1978.
NICK, E. , KELLNER, S. R. O. Fundamentos de Estatística para as Ciências do Comportamento. Rio de
Janeiro: Editora Renes, 1971.
SIEGEL, S. Estatística Não Paramétrica. São Paulo: Editora McGraw-Hill do Brasil Ltda, 1975.
STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Editora Harper & Row do Brasil
Ltda, 1981.
TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 7a ed.
1999.
40
Exercícios Complementares:
Capítulo 2 - População e Amostra
1) Em uma escola existem 250 alunos, sendo 35 na 1ª série, 32 na 2ª série, 30 na 3ª série, 28 na 4ª
série, 35 na 5ª série, 32 na 6ª série, 31 na 7ª série e 27 na 8ª série. Obtenha uma amostra de 40
alunos preenchendo a tabela abaixo.
Séries
População
Cálculo Proporcional
Amostra
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
8ª
Total
250
40
2) Uma cidade X apresenta o seguinte quadro relativo às escolas de Ensino Fundamental. Obtenha
uma amostra estratificada proporcional de 120 estudantes.
Escolas
A
B
C
D
E
F
Total
Nº de Estudantes
Masculino
Feminino
80
95
102
120
110
92
134
228
150
130
300
290
876
955
3) Na Escola Y, as classes têm 20, 40, 25 e 15 alunos. Determine uma amostra estratificada com 20
elementos.
41
4) Quer fazer-se um estudo que estabeleça a relação entre faixa salarial e interesse por teatro,
tomando-se um grupo de 1.550 pessoas. A tabela abaixo indica o número de pessoas de
determinadas faixas salariais. Determine uma amostra com 200 elementos.
Faixa salarial
Até 3 salários mínimos
De 3 a 6 salários mínimos
De 6 a 9 salários mínimos
Acima de 9 salários mínimos
Total
Nº de pessoas
776
387
232
155
1.550
Capítulo 3 - Séries Estatísticas
1)
Retrato do Orçamento Familiar
Itens que mais pesam (%)
Educação, leitura e
recreação (9,23)
Saúde e cuidados
pessoais (12,01)
Transportes (13,95)
Vestuário (5,08)
Alimentação
(25,12)
Despesas diversas
(inclui bebidas,
cigarros e jogos
eletrônicos) (3,46)
Capital
Belém
Belo Horizonte
Brasília
Curitiba
Florianópolis
Fortaleza
Goiânia
Porto Alegre
Recife
Salvador
Rio de Janeiro*
São Paulo*
Habitação (31,15)
Renda média familiar
(em salários mínimos)
7,52
10,76
23,83
12,59
12,06
9,34
7,42
12,73
9,08
6,06
17,20
15,62
Renda per capita
(em salários mínimos)
1,95
2,69
6,40
3,57
3,34
2,24
1,86
3,88
2,26
1,43
5,60
4,27
* Para o Rio e São Paulo, os dados são referentes à Pesquisa do Orçamento Familiar de 1997/98.
Fonte: O Estado de São Paulo, 15/03/2001.
Considerando que, nos primeiros meses de 2002, o salário mínimo era de R$ 200,00,
aproximadamente, analise as informações seguintes, classificando-as em V ou F, justificando:
I. Em Belém, uma família gastava, em média, R$ 468,00 por mês em moradia.
II. No Recife, um indivíduo gastava menos de R$ 65,00 por mês em transporte.
42
III. Os gastos com saúde de uma família em Fortaleza superavam os gastos com transportes
de uma família em Goiânia.
IV. Descontados os gastos com habitação e alimentação, sobravam a uma família paulista
menos de R$ 1.300,00 por mês.
2) Analisando o gráfico de colunas ao lado, classifique em V ou F cada sentença seguinte,
justificando:
a) Se esse conjunto de dados fosse representado em um gráfico de setores (pizza), o ângulo
correspondente à região Sul seria menor que 90º.
b) O número de emissoras da região Sudeste supera a soma do número de emissoras das regiões
Nordeste, Centro-Oeste e Norte.
c) Supondo que Goiás concentre 60% das emissoras de sua região, o percentual de emissoras do
país representado por este Estado é menor que 5%.
3)
O pesadelo vai continuar
a) Quais as medidas dos ângulos
apresentados no gráfico ao lado?
Sim
4%
VEJA on-line perguntou
aos internautas:
“Capturando Bin Laden,
os EUA estarão livres de
novos atentados?”
b) Quantos internautas responderam
―sim‖?
Não
96%
Total de participantes: 1.061
4) O histograma abaixo representa o tempo de espera (em minutos) na fila de um banco, em certa
manhã, no centro de Belo Horizonte. Que porcentagem do total de pessoas esperou até 20 minutos
na fila?
Fi
16
12
6
4
2
Tempo
8
12
16
20
24
28
43
5) Considere os resultados abaixo de medição de temperatura, obtidos durante 10 dias, no mesmo
horário, e construa um gráfico de linha.
Dia
Temperatura (ºC)
1º
32
2º
35
3º
34
4º
30
5º
28
6º
31
7º
32
8º
33
9º
30
10º
29
6) A tabela abaixo representa, em termos percentuais, a distribuição da população brasileira por cor.
Construa:
a) um gráfico de setores;
b) um gráfico de colunas.
Cor
Branca
Preta
Amarela
Parda
Sem declaração
Total
%
54,23
5,92
0,56
38,85
0,44
100,00
Fonte: IBGE.
7) Examinando o histograma abaixo, que corresponde às notas relativas à aplicação de um teste de
inteligência a um grupo de alunos, responda?
a) Qual é o intervalo de classe que tem maior freqüência?
b) Qual a amplitude total da distribuição?
c) Qual o número total de alunos?
d) Qual é a freqüência do intervalo de classe 110 |–– 120?
e) Quantos alunos receberam notas de teste entre 90 (inclusive) e 110?
f) Quantos alunos receberam notas de teste não inferiores a 100?
30
25
20
15
10
5
0
20 40
60
80
100
120
140
160
44
8) Construa um gráfico de linha a partir da seguinte tabela:
Anos
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
COMÉRCIO EXTERIOR
BRASIL – 1984-93
Quantidade (1.000 t)
Exportação
Importação
141.737
53.988
146.351
48.870
133.832
60.597
142.378
61.975
169.666
58.085
177.033
57.293
168.095
57.184
165.974
63.278
167.295
68.059
182.561
77.813
9) Represente as tabelas usando o gráfico de barras:
45
a)
PRODUÇÃO DE OVOS
DE GALINHA
BRASIL – 1992
Quantidade
Regiões
(1.000 dúzias)
Norte
57.297
Nordeste
414.804
Sudeste
984.659
Sul
615.978
Centro-Oeste
126.345
Fonte: IBGE
b)
PRODUÇÃO DE VEÍCULOS
DE AUTOPROPULSÃO
BRASIL – 1993
Tipos
Quantidade
Automóveis
1.100.278
Comerciais leves
224.387
Comerciais pesados
66.771
Fonte: ANFAVEA
10) Construa um gráfico de colunas múltiplas a partir da seguinte tabela:
Anos
1990
1991
PROPORÇÃO DOS DOMICÍLIOS POR CONDIÇÃO DE OCUPAÇÃO
BRASIL – 1990-91
NATUREZA
Próprios (%)
Alugados (%)
Cedidos (%)
62,7
22,9
14,4
70,3
16,5
13,2
11) Construa um gráfico de setores a partir da seguinte tabela:
Espécie
Auxílio-natalidade
Auxílio-doença
Auxílio-funeral
Aposentadoria por Invalidez
Aposentadoria por Tempo de Serviço
Abono Permanente em Serviço
Pensão por Morte
Outras Espécies
Quantidade
901.000
467.000
88.000
40.000
39.000
30.000
73.000
44.000
12) Dada a amostra: 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6, pede-se:
a) construir a distribuição das freqüências absolutas;
b) determinar as freqüências acumuladas, relativas absolutas e relativas acumuladas.
c) construir o gráfico das freqüências absolutas (faça o gráfico que preferir).
56
13) De um exame final de Estatística, aplicado em 54 alunos da Faculdade FESAV, resultaram as
seguintes notas:
7,0
7,1
2,1
2,8
8,6
8,0
6,7
6,9
4,2
4,5
7,0
7,8
3,5
6,7
6,4
5,7
9,8
7,0
4,2
7,4
7,1
6,1
10,0
8,0
5,0
6,2
8,3
6,8
7,5
7,2
6,2
5,1
9,2
7,5
7,8
7,0
7,2
4,3
6,6
6,4
6,9
7,4
8,9
6,9
7,1
6,5
6,1
6,9
9,0
7,0
1,7
8,3
5,0
5,0
Pede-se:
a) Construir uma tabela de distribuição de freqüência, iniciando com 1,6 e adotando amplitude do
intervalo de classe igual a 1,4, fechado à esquerda.
b) Os pontos médios.
c) Elaborar uma distribuição de freqüência acumulada e percentual (absoluta e acumulada).
d) Quantos alunos obtiveram notas inferiores a 5,0?
e) Quantos alunos obtiveram notas entre 5,0 e 8,0?
f) Que porcentagem de alunos obteve notas acima ou igual a 7,0?
g) Construa o gráfico de setores para as classes.
14) Construa um gráfico de colunas considerando a tabela abaixo:
DISTRIBUIÇÃO DE RENDA NO BRASIL – 1971
Faixa de renda
Habitações
Até 1 salário mínimo
224.740
De 1 a 3 salários mínimos
363.860
De 4 a 8 salários mínimos
155.700
Acima de 8 salários mínimos
47.500
Total
791.800
15) Represente num gráfico de setores as faixas de renda observadas no Brasil, em 1971, de acordo
com a tabela observada no exercício 14 acima. Para isso, utilize as freqüências relativas absolutas.
16) A tabela abaixo no fornece as principais altas de preço verificadas no Brasil, no período de
setembro a 11 de novembro de 1984. Construa um gráfico de colunas, com estes dados.
ELEVAÇÃO ACUMULADA DE SETEMBRO A
11 DE NOVEMBRO DE 1984
Produto
% de alta
Carne
2,5
Leite
10,7
Frutas
18,7
Vestuário
14,5
Fonte: IBGE.
57
17) Conhecidas as notas de 50 alunos:
68
71
80
41
94
85
35
61
55
98
33
81
41
78
66
52
50
91
48
66
65
35
55
69
73
77
64
73
85
42
84
74
59
67
65
65
47
53
39
94
74
54
77
60
88
57
68
45
76
89
Determine:
a) a distribuição de freqüência começando por 30 e adotando o intervalo de classe de amplitude
igual a 10;
b) as freqüências acumuladas;
c) as freqüências relativas;
d) o histograma, o polígono de freqüência e a ogiva.
18) Um grau de nebulosidade, registrado em décimos, ocorre de acordo com a distribuição abaixo:
Nebulosidade
Fi
0 |–– 0,5 |–– 1,5 |–– 2,5 |–– 3,5 |–– 4,5 |–– 5,5 |–– 6,5 |–– 7,5 |–– 8,5 |–– 9,5 |–– 10,0
320
125 75
65
45
45
55
65
90
145 676
Construa o histograma correspondente.
Capítulo 4 - Distribuição de Freqüência
1) As notas obtidas por 50 alunos de uma classe foram:
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
6
6
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
8
8
9
9
9
Complete a distribuição de freqüência abaixo:
i
1
2
3
4
5
Notas
0 |–– 2
2 |–– 4
4 |–– 6
6 |–– 8
8 |–– 10
Pm
1
___
___
___
___
Fi
1
___
___
___
___
 = 50
58
2) Complete a tabela abaixo:
i
1
2
3
4
5
Classes
0 |–– 8
8 |–– 16
16 |–– 24
24 |–– 32
32 |–– 40
Fi
4
10
14
9
3
Fa
___
___
___
___
___
 = 40
fi (%)
___
___
___
___
___
 = 100
%
fa (%)
___
___
___
___
___
fi (%)
5,0
15,0
___
25,0
15,0
___
___
___
 = 100
%
fa (%)
___
___
___
___
___
___
___
___
3) Complete os dados que faltam na distribuição de freqüência:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
Fi
1
___
4
___
3
2
___
___
Fa
___
4
___
13
___
18
19
___
 = 20
4) Complete a distribuição abaixo, determinando as frequências absolutas:
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
Fi
___
___
___
___
___
 = 34
Fa
2
9
21
29
34
5) A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa
de ônibus:
Nº de
acidentes
Nº de
motoristas
0
1
2
3
4
5
6
7
20
10
16
9
6
5
3
1
59
Determine:
a)
o número de motoristas que não sofreram nenhum acidente;
b)
o número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes;
c)
o número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes;
d)
o número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes;
e)
a porcentagem dos motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes.
7) Complete os dados que faltam na distribuição de freqüência:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
Classes
0 |–– 2
2 |–– 4
4 |–– 6
__ |–– __
8 |–– 10
10 |–– 12
__ |–– __
14 |–– 16
Pm
1
___
5
7
___
___
13
___
Fi
4
8
___
27
15
___
10
___
 = ___
Fa
___
___
30
___
72
83
93
___
fi (%)
4,0
___
18,0
27,0
___
___
10,0
7,0
 = ___
fa (%)
___
___
___
___
___
___
___
___
8) Conhecidas as notas de 50 alunos:
84
74
59
67
65
68
71
80
41
94
33
81
41
78
66
52
91
50
56
48
47
65
53
94
39
73
55
65
35
69
68
57
76
45
89
61
35
85
55
98
73
85
73
64
42
77
88
60
74
54
obtenha a distribuição de freqüência, tendo 30 para limite inferior da primeira classe e 10 para
intervalo de classe.
9) As notas obtidas em Matemática por 80 estudantes de uma escola X estão relacionadas abaixo:
68
73
61
66
96
79
65
86
84
79
65
78
78
62
80
67
75
88
75
82
89
67
73
73
82
73
87
75
61
97
57
81
68
60
74
94
75
78
88
72
90
93
62
77
95
85
78
63
62
71
95
69
60
76
62
76
88
59
78
74
79
65
76
75
76
85
63
68
83
71
53
85
93
75
72
60
71
75
74
77
60
a) Organize o rol colocando os dados em ordem crescente.
b) Qual é a menor nota? Qual é a maior nota?
c) Qual é a amplitude total?
d) Qual é a nota do estudante classificado em 10º lugar?
e) Organize os dados em classes considerando 5 como amplitude.
f) Faça a distribuição de freqüências.
g) Quantos estudantes receberam nota superior ou igual a 85? Qual a porcentagem?
10) Observando a tabela abaixo, responda:
Faixa de renda
Até 1 salário mínimo
De 1 a 3 salários mínimos
De 4 a 8 salários mínimos
Acima de 8 salários mínimos
Total
Habitações
224.740
363.860
155.700
47.500
791.800
a) Qual é a porcentagem de domicílios onde a renda é superior a 8 salários mínimos?
b) Quantos são os domicílios onde a renda está entre 1 e 3 salários?
c) Quantos são os domicílios onde a renda está abaixo de 3 salários?
11) Em uma fábrica foram testadas 400 lâmpadas; a duração delas aparece na distribuição de
freqüência abaixo:
Duração
(em horas)
300 |–– 400
400 |–– 500
500 |–– 600
600 |–– 700
700 |–– 800
800 |–– 900
900 |–– 1.000
1.000 |–– 1.100
1.100 |–– 1.200
Total
Nº de
lâmpadas
14
46
58
76
68
62
48
22
6
 = 400
Observando a tabela, responda:
a) Qual a amplitude de cada classe?
b) Qual a amplitude total da distribuição?
c) Qual o ponto médio da quinta classe?
d) Qual a freqüência relativa absoluta da sexta classe?
e) Qual a porcentagem de lâmpadas com durabilidade máxima de 500 horas?
f) Qual a porcentagem de lâmpadas com durabilidade de 900 horas ou mais?
g) Construir uma tabela de distribuição de freqüência, em que apareçam Pm, Fi, Fa, fi e fa.
61
12) Examinando o histograma abaixo, que corresponde às notas relativas à aplicação de um teste de
inteligência a um grupo de alunos, responda?
a) Qual é o intervalo de classe que tem maior freqüência?
b) Qual a amplitude total da distribuição?
c) Qual o número total de alunos?
d) Qual é a freqüência do intervalo de classe 110 |–– 120?
e) Quantos alunos receberam notas de teste entre 90 (inclusive) e 110?
f) Quantos alunos receberam notas de teste não inferiores a 100?
30
25
20
15
10
5
0
20 40
60
80
100
120
140
160
13) De um exame final de Estatística, aplicado em 54 alunos da FAPAN, resultaram as seguintes
notas:
7,0
7,1
2,1
2,8
8,6
8,0
6,7
6,9
4,2
4,5
7,0
7,8
3,5
6,7
6,4
5,7
9,8
7,0
4,2
7,4
7,1
6,1
10,0
8,0
5,0
6,2
8,3
6,8
7,5
7,2
6,2
5,1
9,2
7,5
7,8
7,0
7,2
4,3
6,6
6,4
6,9
7,4
8,9
6,9
7,1
6,5
6,1
6,9
9,0
7,0
1,7
8,3
5,0
5,0
Pede-se:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Construir uma tabela de distribuição de freqüência, iniciando com 1,6 e adotando amplitude
do intervalo de classe igual a 1,4, fechado à esquerda.
Os pontos médios.
Elaborar uma distribuição de freqüência acumulada e percentual (absoluta e acumulada).
Quantos alunos obtiveram notas inferiores a 5,0?
Quantos alunos obtiveram notas entre 5,0 e 8,0?
Que porcentagem de alunos obteve notas acima ou igual a 7,0?
62
Capítulo 5 - Medidas de Posição
1) Calcule a média aritmética da série:
a) X: 1, 2, 8, 10, 12, 16, 21, 30.
b) Y: 5, 6, 6, 10, 11, 11, 20.
c) Z: 3,4; 7,8; 9,23; 12,15.
2) Um produto é acondicionado em lotes contendo cada um deles 10 unidades. O lote só é aprovado
se apresentar um peso superior a 40 quilos. Se as unidades que compõem determinado lote pesam:
3; 4; 3,5; 5; 3,5; 4; 5; 5,5; 4; 5, este lote será aprovado? Qual o peso médio do produto?
3) Um produto é vendido em três supermecados por R$ 13,00/kg, R$ 13,20/kg e R$ 13,50/kg.
Determine quantos R$/kg se paga em média pelo produto.
4) Calcule a média aritmética da série:
xi
2
3
4
5
Fi
1
4
3
2
5) Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadro abaixo:
i
Aluguel
(R$)
1
2
3
4
5
0 |––– 200,00
200,00 |––– 400,00
400,00 |––– 600,00
600,00 |––– 800,00
800,00 |––– 1.000,00
Nº de
casas
Fi
30
52
28
7
3
6) Calcule a mediana da sequência:
a) X: 2, 5, 8, 10, 12, 15, 8, 5, 12.
b) Y: 3,4; 5,2; 4,7; 6; 8,4; 9,3; 2,1; 4,8.
63
7) Calcule a mediana da distribuição:
xi
2
4
5
6
8
Fi
5
20
32
40
2
8) Uma loja de departamentos selecionou um grupo de 54 notas fiscais, durante um dia, e obteve o
quadro abaixo. Determine o valor mediano da série.
i
1
2
3
4
5
6
Consumo por nota
(R$)
0 |––– 50,00
50,00 |––– 100,00
100,00 |––– 150,00
150,00 |––– 200,00
200,00 |––– 250,00
250,00 |––– 300,00
Nº de
notas
10
28
12
2
1
1
9) Considerando os conjuntos de dados:
I. 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6
II. 20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7
III. 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9
IV. 15, 18, 20, 13, 10, 16, 14
Calcule:
a) a média aritmética
b) a mediana
c) a moda
10) Os salários-hora de cinco funcionários de uma companhia são:
R$ 75,00; R$ 90,00; R$ 83,00; R$ 142,00; R$ 88,00
Determine:
a) a média dos salários-hora
b) o salário-hora mediano
11) As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2.
Determine:
a) a nota média
b) a nota mediana
64
c) a nota modal
12) Considerando a distribuição abaixo:
xi
Fi
3
4
4
8
5
11
6
10
7
8
8
3
Calcule:
a) a média
b) a mediana
c) a moda
13) Em uma das classes de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição:
Notas
Nº de
Alunos
2
1
3
3
4
6
5
10
6
13
7
8
8
5
9
3
10
1
Calcule:
a) a nota média
b) a nota mediana
14) Calcule a média, a mediana e a moda das distribuições de freqüência abaixo:
I.
i
1
2
3
4
5
Notas
0 |–– 2
2 |–– 4
4 |–– 6
6 |–– 8
8 |–– 10
Fi
5
8
14
10
7
 = 44
65
15) Calcule a idade média e a idade mediana dos alunos de uma classe de primeiro ano de
determinada Faculdade, em anos.
Idade
(anos)
xi
17
18
19
20
21
Nº de
alunos
Fi
3
18
17
8
4
16) O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro abaixo. Calcule
a salário médio destes funcionários.
i
Salário
(R$)
1
2
3
4
5
6
400,00 |––– 500,00
500,00 |––– 600,00
600,00 |––– 700,00
700,00 |––– 800,00
800,00 |––– 900,00
900,00 |––– 1.000,00
Nº de
funcionários
Fi
12
15
8
3
1
1
17) Determine o valor mediano da distribuição a seguir que representa os salários de 25
funcionários selecionados de uma empresa.
i
Salário
(R$)
1
2
3
4
5
1.000,00 |––– 1.200,00
1.200,00 |––– 1.400,00
1.400,00 |––– 1.600,00
1.600,00 |––– 1.800,00
1.800,00 |––– 2.000,00
Nº de
funcionários
Fi
2
6
10
5
2
18) O departamento pessoal de uma certa empresa fez um levantamento dos salários dos 120
funcionários do setor administrativo, obtendo os resultados (em salários mínimos) da tabela abaixo.
Calcule o primeiro quartil e a mediana.
63
Faixa salarial
0 |–– 2
2 |–– 4
4 |–– 6
6 |–– 8
Fi (%)
25,0
40,0
20,0
15,0
19) Uma empresa está planejando diminuir o tempo de entrega de um produto que comercializa.
Para tal, fez um levantamento das últimas 50 entregas obtendo a informação sobre o número de
dias que o produto levou para ser entregue. Os dados, já ordenados, são apresentados a seguir: 1,
1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,
5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8 e 15.
(a) Calcule média, moda e mediana e o quartis.
21) Considerando a distribuição de freqüência:
Nº de acidentes
02 |—
10 |—
18 |—
26 |—
34 |—
42 |—
10
18
26
34
42
50
Nº de meses
5
18
25
19
9
3
a) Calcular o número mediano de acidentes;
b) Determinar o primeiro e o terceiro quartil;
22) Um grupo de candidatos a um emprego foi submetido a um teste de QI. Os resultados estão
agrupados abaixo:
Q.I.
80/----90
90/---100
100/---110
110/---120
120/---130
No de candidatos
20
100
120
50
10
Calcular:
a) O QI médio. (103)
b) O QI mediano. (102,5)
c) A moda desses valores. (102)
d) Os quartís e classificar os candidatos em: Péssimos, Regulares, Bons e Ótimos. (95,5;
102,5; 108,75)
64
Capítulo 6 - Medidas de Dispersão ou de Variabilidade
1) Calcule os desvios padrões dos conjuntos de dados:
a) 1, 3, 5, 9
b) 20, 14, 15, 19, 21, 22, 20
c) 17,9; 22,5; 13,3; 16,8; 15,4; 14,2
d) –10, –6, 2, 3, 7, 9, 10
2) Calcule os desvios padrões das distribuições:
xi
Fi
2
1
3
3
4
5
5
8
6
5
7
4
8
2
3) Dada a distribuição relativa a 100 lançamentos de 5 moedas simultaneamente:
Nº de caras
Frequências
0
4
1
14
2
34
3
29
4
16
5
3
calcule o desvio padrão.
4) Em um exame final de Matemática, o grau médio de um grupo de 150 alunos foi 7,8 e o desvio
padrão, 0,80. Em Estatística, entretanto, o grau médio final foi 7,3 e o desvio padrão, 0,76. Em que
disciplina foi maior a dispersão?
5) Medidas as estaturas de 1.017 indivíduos, obtivemos x = 162,2 cm e s = 8,01 cm. O peso médio
desses mesmos indivíduos é 52 kg, com um desvio padrão de 2,3 kg. Esses indivíduos apresentam
maior variabilidade em estatura ou em peso?
6) Um grupo de 85 moças tem estatura média de 160,6 cm, com um desvio padrão igual a 5,97 cm.
Outro grupo de 125 moças tem uma estatura média de 161,9 cm, sendo o desvio padrão igual a 6,01
cm. Qual é o coeficiente de variação de cada um dos grupos? Qual o grupo mais homogêneo?
7) Numa empresa o salário médio dos funcionários do sexo masculino é de R$ 4.000,00, com um
desvio padrão de R$ 1.500,00, e os funcionários do sexo feminino é em média de R$ 3.000,00, com
um desvio padrão de R$ 1.200,00. Então, calcule os coeficientes de variações e diga qual o grupo
mais homogêneo.
8) O Desvio padrão de um conjunto de dados é 9. A variância é:
a) 3
c) 81
b) 36
d) 18
65
9) Na distribuição de valores iguais, o Desvio Padrão é:
a) negativo
c) zero
b) a unidade
d) positivo
11) A variância do conjunto de dados tabelados abaixo é:
Classes
03 |–– 08
08 |–– 13
13 |–– 18
18 |–– 23
Fi
5
15
20
10
12) Considerando a distribuição de freqüência
professores de uma faculdade, determine:
i
Salários R$
xi
fi
1
0 |-- 2
8
2
2 |-- 4
12
3
4 |-- 6
22
4
6 |-- 8
26
5
8 |-- 10
18
6
10 |-- 12
15
fixi
fixi2
relativa ao salário, em salários mínimos, de
Fi
Total
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
A média salarial;
O desvio padrão;
O coeficiente de variação
A mediana
O primeiro quartil
O terceiro quartil
O percentil 90
Resposta: a) 6,56
b) 2,92 c) 44,51% d) 6,65 e) 4,48 f) 8,86
g) 10,65
66
13) Considerando a distribuição de freqüência relativa ao total de pontos obtido em um teste de
aptidão, determine:
i
Total de
pontos
xi
fi
1
20|-- 40
9
2
40 |-- 60
15
3
60|-- 80
32
4
80 |-- 100
21
fixi
fixi2
Fi
Total
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
A média;
O desvio padrão;
O coeficiente de variação
A mediana
O primeiro quartil
O terceiro quartil
O percentil 10
Respostas: a) 66,88 b) 19,09 c) 28,54 % d) 69,06 e) 53,67
f) 81,67
g) 37,11
14) A amostra abaixo foi retirada de uma população de notas dos alunos de uma classe:
5 8 6 5 5 2 7
Determinar:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
A nota média.
O desvio médio
A variância
O desvio padrão
A moda
A mediana
A amplitude
O coeficiente de variação
(5,4)
(1,3)
(3,6)
(1,9)
(5)
(5)
(6)
(35%)
67
15) A amostra abaixo representa uma distribuição salarial.
Salários (em
milhares deR$)
No funcionários
1/---3
3/---5
5/---7
7/---9
9/---11
11/---13
13/---15
40
80
100
50
30
20
10
Calcular:
a) A média salarial. (6,3 ou R$ 6.303,03)
b) O salário mediano. (5,90 ou R$ 5.900,00)
c) Os quartís e classificar os salários em: baixos, abaixo da mediana, acima da mediana e altos.
(4,06 ou R$ R$ 4.062,50; 5,90 ou R$ 5.900,00 e 8,10 ou R$ 8.100,00)
d) O salário modal. ( 5,57 ou R$ 5.571,43)
e) O desvio médio salarial. (2,34 ou R$ 2.343,43)
f) A variância dos salários.
(9,03 ou R$2 9.026.434,56)
g) O desvio padrão dos salários. (3,00 ou R$ 3.004,40)
h) O coeficiente de variação dos salários. ( 48%)
68
69