Aula - Univasf

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Tableaux Semânticos
(Capítulo 7)
LÓGICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Professor: Rosalvo Ferreira de Oliveira Neto
Estrutura
1.
2.
3.
4.
Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Sistema de Tableaux Semânticos
•Alfabeto da Lógica Proposicional
•Conjunto de fórmulas da Lógica Proposicional
•Conjunto de regras de dedução
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Deﬁnição 7.2 (regras de inferência do tableau semântico)
Sejam A e B duas fórmulas da Lógica Proposicional.
As regras de inferência do sistema de tableaux semânticos
Tba, na Lógica Proposicional
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Características do Método de Tableau Semântico
•Baseado em árvores
•Ramos são decomposições de H em subfórmulas
•ou seja, possibilidades de interpretações da fórmula
•Cada ramo representa uma ou mais interpretações
•Adequado para implementação!
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Heurística (aplicação de regras).
Aplique preferencialmente as regras
R1,R5,R7 e R8,
que não bifurcam o tableau.
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Construção de um Tableau Semântico
Para construir a árvore de possibilidades de uma fórmula H,
iniciamos por H e então vamos “desmontando” esta fórmula em
subfórmulas através das regras do tableaux, até não haver mais
subfórmulas na qual possamos usar alguma regra.
Fazemos isso de cima para baixo, i.e., da raiz em direção as folhas.
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Exemplo de Construção de um Tableau Semântico
Tableau semântico para o conjunto de fórmulas {(AvB),(A^ B)}
1. AvB
2.A^ B
3. A
4. A
5. B
B R2, 1.
A R1, 2.
B R1, 2.
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Deﬁnição 7.4 (ramo)
No sistema Tba, um ramo em um tableau é uma seqüência de
fórmulas H1,...,Hn,
onde H1 é a primeira fórmula do tableau e, nessa
seqüência,
Hi+1 é derivada de Hi, 1 ≤ i < n, utilizando alguma regra de
Tba.
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Deﬁnição 7.5 (ramo fechado)
No sistema Tba,
um ramo em um tableau é fechado
se ele contém
uma fórmula A e sua negação ¬A.
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Deﬁnição 7.6 (ramo saturado)
No sistema Tba, um ramo em um tableau é saturado se para toda
fórmula A, do ramo:
já foi aplicada alguma regra do sistema Tba à fórmula A, ou seja: A
já foi expandida por alguma regra;
ou não é possível aplicar nenhuma regra do sistema Tba à fórmula
A, isto é, A é igual a um literal e não é possível expandi-la por
alguma regra.
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Deﬁnição 7.7 (ramo aberto)
No sistema Tba, um ramo em um tableau é aberto se ele é
saturado e não é fechado.
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Deﬁnição 7.8 (tableau fechado)
No sistema Tba, um tableau
é fechado quando todos os seus ramos são fechados.
Deﬁnição 7.9 (tableau aberto)
No sistema Tba, um tableau
é aberto se ele possui algum ramo aberto.
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Características do Método de Tableau Semântico
•Sistema de refutação
•Prova por negação ou absurdo
•Para provar H supõe-se inicialmente, por absurdo, H
•As deduções desta fórmula levam a um fato contraditório (ou absurdo)
•Então H é verdade!!
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Prova e Teorema em Tableaux Semânticos
Uma prova de H usando tableaux semânticos é ...
Um tableau fechado associado a...
H!
Neste caso, H é um teorema do sistema de tableaux semânticos
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Exemplo de Prova em Tableaux Semânticos
Como provar H=((PQ)^(PQ)^(P))??
Gerar um tableau fechado para H:
(((PQ)^(PQ)^(P)))
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Resolução em sala
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Exemplo de Prova em Tableaux Semânticos
Como provar H= (PQ) V P?
Gerar um tableau fechado para H:
((PQ) V P))
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Resolução em sala
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Dada uma fórmula H e um conjunto de hipóteses
b={H1,H2,...Hn}, então H é conseqüência lógica em tableaux
semânticos de b
se existe uma prova, usando tableaux semânticos de
(H1^H2^...^Hn)  H
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Notação de Conseqüência Lógica em Tableaux
Semânticos
Dada uma fórmula H, se H é conseqüência lógica de um conjunto
de hipóteses b={H1,H2,...Hn} em tableaux semânticos, diz-se que:
b├ H ou
{H1,H2,...Hn}├ H
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Exemplo de Conseqüência Lógica em Tableaux Semânticos
Guga é determinado
Guga é inteligente
Se Guga é determinado e atleta, ele não é um perdedor
Guga é um atleta se é amante do tênis
Guga é amante do tênis se é inteligente
“Guga não é um perdedor” é conseqüência lógica das afirmações
acima??
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Definições
Exemplos
Conseqüência Lógica
Lista
Solução
1. Mostrando que H é absurdo
2. Gera um tableau fechado?
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