Conceitos Básicos de Estatística Aula 2

Conceitos Básicos de Estatística
Aula 2
ISCTE - IUL, Mestrados de Continuidade
Diana Aldea Mendes
[email protected]
13 de Setembro de 2011
DMQ, ISCTE-IUL ([email protected])
Estatística
13 de Setembro de 2011
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Estatística Aplicada
(Revisões)
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Estatística
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Programa
Introdução
Estatística Aplicada
Medidas de estatística descritiva com destaque para as medidas de
assimetria e de curtose.
Variáveis aleatórias.
Distribuições: Normal, Qui-quadrado, t-Student e F-Snedecor.
Intervalos de con…ança e testes de hipóteses.
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Estatística
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Estatística Descritiva
A Estatística Descritiva consiste na apresentação, análise e
interpretação de um conjunto de dados (amostra), através da criação
de instrumentos adequados:
representação grá…ca (séries temporais, dispersão, caixas de bigodes,
etc)
distribuições de frequências
cálculo de valores numéricos que caracterizam os dados de uma forma
global: medidas de estatística descritiva.
Essas medidas designam-se por parâmetros, quando os dados se
referem a uma população e por estatísticas, quando os dados dizem
respeito a uma amostra
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Estatística
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Estatística Descritiva
A estatística incide sobre as características relevantes dos elementos
que constituem as amostras e as populações. Cada característica é
geralmente representada por uma variável, pois os elementos podem
ter diferentes posicionamentos relativamente a essa característica.
Variáveis
Discretas
Contínuas
A escolha da técnica mais adequada para o tratamento estatístico
está condicionada pela natureza das variáveis: dados qualitativos e
quantitativos.
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Estatística
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Estatística Descritiva
Distribuições de frequências (grá…cos de barras) para uma variável
discreta e para uma variável contínua
28
Series: PETROLEO
Sample 1986M01 2003M11
24
Observations 215
20
16
12
8
4
Mean
20.94995
Median
19.96000
Maximum
39.53000
Minimum
10.25000
Std. Dev.
5.271820
Skewness
0.823380
Kurtosis
3.524400
Jarque-Bera
26.75686
Probability
0.000002
0
10
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15
Estatística
20
25
30
35
40
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Medidas de Estatística Descritiva
Medidas de tendência central (posição, localização): identi…cam o
centro de uma distribuição
Média (mean, average)
Mediana (median)
Moda (mode)
Medidas de tendência não-central (posição, localização): apontam
para outras posições da distribuição
Quartis (Qi , i = 1, 2, 3, 4)
Decis (Di , i = 1, 2, ..., 10)
Percentis (Pi , i = 1, 2, ..., 100)
Medidas de dispersão (variabilidade)
variância (variance)
desvio padrão (standard deviation)
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Estatística
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Medidas de tendência central
A média denota-se por µ para uma população e por x̄ para uma
amostra
Média de uma amostra (x1 , x2 , ..., xn ) onde n é o tamanho da amostra
e xi é o valor da observação i na amostra, é dada por
n
x̄ =
x1 + x2 + ... + xn
=
n
∑ xi
i=1
n
,
Exemplo: Dada uma amostra de 5 observações 90, 95, 80, 60, 75, a
média é:
400
90 + 95 + 80 + 60 + 75
=
= 80.
x̄ =
5
5
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Medidas de tendência central
100
95
90
média
85
80
75
70
65
60
55
50
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
mean = 80; std = 13.6931 = median
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Medidas de tendência central
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
0
10
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20
30
40
50
Estatística
60
70
80
90
100
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Medidas de tendência central
LOGVOL vs. T
8
6
LOGVOL
4
2
0
-2
-4
0
100
200
300
400
500
T
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Medidas de tendência central
Mediana: Me - é um outro nome atribuido ao percentile 50% e
representa o centro posicional da distribuição
Cálculo da mediana de um amostra
ordenar os dados em ordem crescente: do mais pequeno para o maior
se n (o número de dados na amostra) é ímpar, então a mediana é o
número do meio (central)
Me = x n+1
2
se n é par, então a mediana é a média dos dois números do meio
(centrais)
x n+2 + x n
2
Me = 2
2
Exemplo 1: amostra com um número ímpar de dados: 2, 8, 3, 4, 1
ordenar os dados: 1, 2, 3, 4, 8, logo Me = 3
Exemplo 2: amostra com um número par de dados: 2, 8, 3, 4, 1, 8
ordenar os dados: 1, 2, 3, 4, 8, 8 logo Me = (3 + 4)/2 = 3.5
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Medidas de tendência central
A moda (Mo) é o valor ou categoria que ocorre com a maior
frequência
Exemplo: a moda da amostra: 9, 2, 7, 11, 14, 7, 2, 7 é o 7, pois a sua
frequência é 3
As distribuições podem ser:
Unimodais – 1 valor de Mo
Bimodais – 2 valores de Mo
Multimodais – vários valores de Mo
Amodais – Não regista qualquer valor de destaque
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Medidas de dispersão
Variância:
2
∑ni=1 (xi µ)
n
2
n
∑ (x x)
= Var (x) = i=1 i
n 1
σ2 = Var (x) =
população
s2
amostra
Desvio padrão (Standard Deviation): é a mais comum medida de
variabilidade. De…ne-se para uma população (σ) e para uma amostra
(s) como a seguir:
s
s
2
2
∑ni=1 (xi µ)
∑ni=1 (xi x)
σ=
e s=
n
n 1
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Outras medidas
Momento Estatístico
Se x1 , x2 , ..., xn são os n valores assumidos pela variável X, de…nimos o
momento de ordem t dessa variável como:
mt =
∑ni=1 xti
n
Note que se t = 1 temos a média aritmética.
O momento de ordem t centrado em uma constante K, com K 6= 0 é
de…nido como:
t
∑ni=1 (xi K)
mK
=
t
n
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Assimetria
Assimetria (skewness) é o grau de afastamento que uma distribuição
apresenta do seu eixo de simetria. Este afastamento pode acontecer do
lado esquerdo ou do lado direito da distribuição, chamado de assimetria
negativa ou positiva respectivamente.
Coe…ciente do momento de assimetria
sk =
m3
=r
s3
1
n
∑ni=1 (xi
1
n
∑ni=1 (xi
x)3
x)2
3
Temos então
8
distribuição simétrica
< sk = 0
sk > 0 distribuição assimétrica positiva
:
sk < 0 distribuição assimétrica negativa
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Assimetria
Distrib. simétrica
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
8
9
Assim. positiva (enviesada à esquerda)
8
6
4
2
0
1
2
3
4
5
6
7
Assim. negativa (enviesada à direita)
6
4
2
0
1
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2
3
4
5
Estatística
6
7
8
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Curtose
Curtose é o grau de achatamento da distribuição. Ou o quanto uma
curva de frequência será achatada em relação a uma curva normal de
referência.
Para o cálculo do grau de curtose de uma distribuição utiliza-se o
coe…ciente do momento de curtose
k=
m4
=
s4
1
n
∑ni=1 (xi
x)4
1
n
∑ni=1 (xi
x)2
2
Temos então
8
< k = 3 distribuição mesocúrtica
k > 3 distribuição leptocúrtica
:
k < 3 distribuição platicúrtica
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Curtose
Curtose
0.8
0.7
leptocúrtica
0.6
f(x)
0.5
0.4
mesocúrtica
0.3
platicúrtica
0.2
0.1
x=0.13333
0
-6
-4
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-2
0
x
Estatística
2
4
6
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Output Eviews (PSI20): distribuição não-normal, assimétrica positiva
(sk > 0) e platicúrtica (k < 3)
PT
350
600
300
500
250
400
200
300
Series: PT
Sample 1/02/1990 5/12/2008
Observations 4790
pt
200
150
100
100
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
149.5132
151.5150
312.1800
58.83000
66.51653
0.384446
2.054050
Jarque-Bera
Probability
296.5841
0.000000
0
50
80
90
92
94
96
98
00
02
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04
06
120
160
200
240
280
320
t
Estatística
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Probabilidade de um Acontecimento
Um tratamento estatístico é sempre um tratamento numérico, mesmo
que a natureza das variáveis envolvidas não o seja.
Assim, torna-se necessário encontrar um processo que permita atribuir
valores reais aos resultados elementares de qualquer experiência
aleatória. Fazer tais atribuições de valores, não é mais do que de…nir
funções reais no espaço de acontecimentos Ω
No entanto, não podem ser quaisquer funções.
Têm que ser de…nidas de modo a que, ao trabalhar com elas, não se
perca nenhuma informação sobre a forma como se distribuiam as
probabilidades, em relação aos acontecimentos da experiência
aleatória inicial;
Tem que se poder estar seguro em relação à interpretação de
qualquer intervalo ou valor real, e ainda assegurar a validade das
operações entre acontecimentos.
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Estatística
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Probabilidade de um Acontecimento
Se uma experiência é repetida um número grande de vezes, n, e o
acontecimento A é observado nA vezes, então a probabilidade de A é
P (A) '
nA
, se n é su…cientamente grande
n
onde nA é a frequência do acontecimento A e
relativa de A.
nA
n
é a frequência
Considere uma experiência aleatória cuja espaço de amostragem é S e
com pontos de amostragem E1 , E2 , .... Para cada acontecimento
Ei 2 S de…ne-se um número P(Ei ) (a probabilidade do Ei ) que
satisfaz as seguintes três condições:
0 P(Ei ) 1 para todo o i
P(S) = 1
Propriedade de aditividade ∑S P (Ei ) = 1
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Estatística
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Variáveis Aleatórias
De…nição: uma variável aleatória (v.a.) é uma regra (função) que
asigna um valor numérico (x) a cada resultado possível de uma
experiência aleatória (ω ), isto é
X
:
Ω!R
ω ! X (ω ) = x
Uma variável aleatória é discreta se só assume um número …nito ou
in…nito numerável de valores distintos
Uma variável aleatória diz-se contínua se assumir um número in…nito
não numerável de valores distintos
A função (densidade) de probabilidade de uma v.a. X é uma
função fX que associa a cada valor possível x de X a sua
probabilidade de ocorrência: fX (x) = P (X = x) . Tem-se que
0
fX ( x )
1 e
∑ fX (xi ) = 1.
xi
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Estatística
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Variáveis Aleatórias
Variável
aleatória
Discreta
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Contínua
Estatística
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Variáveis Aleatórias
A distribuição de probabilidades pode ainda ser descrita através da
função de distribuição cumulativa F(x), que, para cada x, dá a
probabilidade da v.a. assumir um valor inferior ou igual a
x : F (x) = P (X x) (probabilidade acumulada até x), onde
0
F (x)
1, F (x) é não-decrescente
lim F (x) = 0 e lim F (x) = 1
x! ∞
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x!+∞
Estatística
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Variáveis Aleatórias
Se X é uma variável aleatória contínua, então, se existe uma função
não-negativa fX (x) 0, 8x 2 R e integrável com
Z +∞
∞
fX (x) dx = 1
tal que
P (a
X
b) =
Z b
a
fX (x) dx, 8a, b 2 R
então denotamos a função fX (x) por função densidade de
probabilidades (fdp) da v.a. X.
Também podemos descrever a distribuição de probabilidades através
da função de distribuição cumulativa
F (x) = P (X
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x) =
Z x
∞
fX (t) dt ) F0 (x) = fX (x)
Estatística
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Variáveis Aleatórias
Experimento: Lançar 2 Moedas. Seja X = #
cabeças. Determinar P(x) , i.e., P(X = x) , para todo o x:
4 possibilidades
T
H
H
T
Valor de x
H
T
H
1/4 = .25
1
2/4 = .50
2
1/4 = .25
Statistics for Business and Economics, 6e © 2007 Pearson Education, Inc.
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Probabilidade
0
Probability
T
Distribuição de probabilidades
Estatística
.50
.25
0
1
2
x
Chap 5-1
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27 / 65
Variáveis Aleatórias
fX
Área a sombreado = P (a < X < b)
a
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b
x
Estatística
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Variáveis Aleatórias - Valor esperado e Variância
De…nição: o valor esperado (média) de uma v.a. X denota-se por
µ e é de…nida como a seguir:
µ = E (X ) =
∑ x fX ( x ) = ∑ x P ( x ) ,
x
µ = E (X ) =
Z +∞
∞
X discreta
x
x fX (x) dx, X contínua
De…nição: Se X é uma variável aleatória com média µ, então a
variância de X é de…nida por
σ2 = Var (X) =
∑ (x
µ ) 2 fX ( x ) =
x
∑ x2 fX (x)
µ2 = E (X
O desvio padrão de X de…ne-se por
r
q
q
σ = Var (X) = ∑ (x µ)2 fX (x) = ∑ x2 fX (x)
µ )2
µ2
x
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Estatística
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Variáveis Aleatórias
Example
Continuação da experiência de lansamento de 2 moedas: temos a seguinte
tabela
x P (x)
0 0.25
1 0.5
2 0.25
Calcular o valor esperado
E (X ) =
0
∑ x P (x) = (|{z}
x
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x1
0.25 ) + (|{z}
1
|{z}
P(x1 )
Estatística
x2
0.50 ) + (2
|{z}
0.25) = 1
P(x2 )
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Variáveis Aleatórias
Teorema: Se fX (x) é a função probabilidade de uma variável
aleatória X e g (X) é alguma função de variável X, então o valor
esperado da função g é dado por
E (g (X)) =
∑ g (X )
fX (x)
x
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Estatística
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31 / 65
Variáveis Aleatórias
Propriedades
E (c) = c
E (cX) = cE (X)
E (aX + bY) = aE (X) + bE (Y)
E (XY) = E (X) E (Y) + cov(X, Y) (se X, Y são independentes, então
E (XY) = E (X) E (Y))
Var (X) = E X2
(E (X))2
Var (c) = 0
Var (aX + b) = a2 Var (X)
Var(X Y) = Var(X) + Var(Y) 2cov(X, Y) (se X e Y são
independentes, então Var(X Y) = Var(X) + Var(Y))
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Estatística
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32 / 65
Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Usa-se quando há interesse por dois resultados simultâneos (por
exemplo, altura X e peso Y de duas pessoas)
Sejam E um experimento aleatório e Ω o espaço amostral associado a
E e sejam X = X(ω ) e Y = Y(ω ) duas funções, cada uma
associando um número real a cada resultado ω 2 Ω. Então o par
(X, Y) designa-se variável aleatória bidimensional.
Para (X, Y) variável aleatória bidimensional e para 8 (x, y) 2 R2
de…ne-se a função de distribuição conjunta de (X, Y) por:
FX,Y (x, y) = P (X
x, Y
y) =
∑ ∑ PX,Y
xi , yj , (discreto)
xi x yj y
FX,Y (x, y) = P (X
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x, Y
y) =
Estatística
Z x Z y
∞
∞
PX,Y (x, y) dxdy, (contín
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Propriedades da função de distribuição conjunta
0 FX,Y (x, y) 1, 8 (x, y) 2 R2
FX,Y x + 4x , y + 4y
FX,Y (x, y) , 84x , 4y
lim FX,Y (x, y) = 1
x,y!+∞
lim FX,Y (x, y) = 0 e
x! ∞
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0
lim FX,Y (x, y) = 0
y! ∞
Estatística
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34 / 65
Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Seja (X, Y) uma variável aleatória bidimensional. Então
PX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y) , 8 (x, y) 2 R2
diz-se a função (densidade) de probabilidade conjunta de (X, Y).
PX,Y (x, y)
0, 8 (x, y) 2 R2
∑x ∑y PX,Y (x, y) = 1 (discreto)
R +∞ R +∞
PX,Y (x, y) dxdy = 1 (contínuo)
∞
∞
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Estatística
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35 / 65
Variáveis Aleatórias Bidimensionais
A partir do conhecimento do comportamento conjunto de (X, Y) é
também possível analisar separadamente X e Y uma vez que
lim FX,Y (x, y) = FY (y)
x!+∞
e
lim FX,Y (x, y) = FX (x)
y!+∞
Função (densidade) de probabilidade marginal de X; pX (x)
pX (x) = P (X = x, Y qualquer) =
∑ PX,Y (x, y)
pX (x) = P (X = x, Y qualquer) =
Z +∞
y
∞
PX,Y (x, y) dy
Função (densidade) de probabilidade marginal de Y; pY (y)
pY (y) = P (X qualquer, Y = y) =
∑ PX,Y (x, y)
pY (y) = P (X qualquer, Y = y) =
Z +∞
x
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Estatística
∞
PX,Y (x, y) dx
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Dada uma variável aleatória bidimensional (X, Y), diz-se que as v.a.
unidimensionais que a integram, X e Y, são independentes, se a sua
função de probabilidade conjunta, PX,Y (x, y), for igual ao produto das
funções de probabilidade marginais correspondentes, isto é:
PX,Y (x, y) = pX (x)
pY (y) , 8 (x, y) 2 R2
Teorema: Se X e Y são variáveis aleatórias independentes então as
variáveis aleatórias U = g(X) e V = h(Y) são também independentes
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Estatística
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias discretas. A função
probabilidade condicionada (condicional) da v.a. Y exprime a
probabilidade de Y assumir o valor y quando é especi…cado o valor x
para X. De…ne-se por
P (Y = y j X = x) =
P (x, y)
P (X = x, Y = y)
= X,Y
P (X = x)
pX ( x )
Tem-se analogamente
P (X = x j Y = y) =
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P (X = x, Y = y)
P (x, y)
= X,Y
P (Y = y)
pY ( y )
Estatística
13 de Setembro de 2011
38 / 65
Variáveis Aleatórias Bidimensionais
De…ne-se a covariância entre X e Y, e denota-se por Cov(X, Y),
como sendo
Cov(X, Y) = E[(X
=
∑ ∑ (x
x
µX )(Y
y
= E (XY)
µX )(y
µY )]
µY )PX,Y (x, y)
E (X ) E (Y )
A covariância mede a intensidade da relação linear existente entre
duas variáveis e assume valores reais.
Teorema: Se X e Y forem independentes então
Cov(X, Y) = 0
O recíproco não é, em geral, verdadeiro, isto é: Cov(X, Y) = 0 não
implica que X e Y sejam v.a. independentes
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Y
Y
a) Relação linear positiva
X
Y
Y
b) Relação linear negativa
Y
d) Relação não-lin. posit.
X
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X
c) Ausência de relação
X
Y
e) Relação linear positiva X
com menor grau de relação que em a)
Estatística
X
f) Relação linear positiva
Com maior grau de relação que em a).
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Distribuição normal: caracterizada por dois parâmetros: média µ e
desvio-padrão σ e dada pela função densidade de probabilidades (fdp)
f (x) =
1
p e
σ 2π
(x µ)2 /2σ2
,
∞<x<∞
Uma v.a. normalmente distribuída com µ = 0 e σ = 1 diz-se que tem
uma distribuição normal padrão (standard). Denota-se por Z e a
2
∞<z<∞
sua fdp é dada por f (z) = p1 e z /2 ,
2π
Trata-se de uma função em forma de sino, simétrica em relação a
média com área abaixo do grá…co =1.
Notação: X
N µ, σ2 e Z
N (0, 1)
Padronizar uma variável aleatória normal:
z-score
Z=
X
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µX
σX
,
X = µX + σX Z, µZ = 0, σ2Z = 1.
Estatística
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Distribuições Contínuas
Distribuição normal
Distribuição normal
0.8
0.7
0.6
sigma=0.57, mu=0.1
0.5
f(x)
sigma=1.36, mu=0.1
0.4
sigma=1.7, mu=0.1
0.3
0.2
0.1
x=0.13333
0
-6
-4
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-2
0
x
Estatística
2
4
6
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Distribuições Contínuas
Distribuição Qui-Quadrado
Seja um conjunto de k variáveis Zi (i = 1, ..., k) tal que:
cada variável Zi segue uma distribuição normal padronizada,
Zi N (0, 1)
as variáveis Zi são mutuamente independentes
A variável aleatória X = ∑i Z2i , segue uma Distribuição
Qui-quadrado com k graus de liberdade quando a sua função
densidade de probabilidades tem a forma
f (x) =
1
2k/2 Γ (k/2)
Notação: X = ∑i Z2i
e
x/2 (k/2) 1
x
, Γ função gamma
χ2(k)
Média: µ = k e Variância: σ2 = 2k
É uma distribuição assimétrica, que se aproxima da distribuição
normal, à medida que k aumenta
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Distribuições Contínuas
Distribuição Qui-Quadrado
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Distribuições Contínuas
Distribuição t-Student
Sejam duas variáveis independentes Z N (0, 1) e V
De…ne-se a nova variável
Z
.
X= p
V/k
χ2(k) .
A variável X tem uma distribuição t de Student com k graus de
liberdade se a sua função densidade de probabilidades tem a forma
Γ k+2 1
f (x) = p
kπΓ 2k
x2
1+
k
k +1
2
,
∞ < x < ∞, k > 0
Notação: X t(k)
Média: µ = 0 para k > 1 e Variância: σ2 = k k 2 para k > 2
Distrib. simétrica em relação à origem, que se aproxima da distrib.
normal à medida que k aumenta;
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Distribuições Contínuas
Distribuição t-Student
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Distribuições Contínuas
Distribuição F de Snedecor
χ2(k1 ) e V2
Sejam duas variáveis independentes V1
De…ne-se a nova variável
X=
χ2(k2 ) .
V1 /k1
.
V2 /k2
A variável X segue uma distribuição F com k1 e k2 graus de liberdade
se a sua função densidade de probabilidades tem a forma
f (x) =
Notação: X
Média: µ =
k1 + k2
2
Γ
Γ
k1
2
Γ
k1
k2
k2
2
k1
2
k1
x2
( k2 + k1 x )
1
k1 +k2
2
F(k1 ,k2 )
k2
k2 2
para k2 > 2
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Distribuições Contínuas
Distribuição F de Snedecor
Variância: σ2 =
2k22 (k1 +k2 2)
k1 ( k2 2 ) 2 ( k2 4 )
para k2 > 4
É uma distribuição positiva e assimétrica e os seus valores
encontram-se em tabelas
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Inferência Estatística (Estatística Inferencial, Indutiva)
A inferência estatística tem como objectivos tirar conclusões sobre
os parâmetros da população a partir da recolha, tratamento e análise
dos dados de uma amostra, obtida dessa população.
População
(desconhecida)
Inferência
estatística
Amostragem
aleatória
Amostra
(conhecida)
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Inferência Estatística
Parâmetro – Medida usada para descrever a distribuição da
população
a média µ e a variância σ2 são parâmetros de uma distribuição Normal
Estatística – Função de uma amostra aleatória que não depende de
parâmetros desconhecidos
Média amostral, Variância amostral
Num problema de inferência estatística a estimação dos parâmetros
pode ser
pontual (estatística, estimador = é a v.a. que estima (pontualmente)
um parâmetro (populacional) )
por intervalos (intervalos de con…ança)
Estimação pontual: procedimento que vai permitir obter um valor
que seja o “melhor” (de acordo com algum critério) para um
parâmetro desconhecido θ.
Um estimador de θ é uma v.a. com uma dada distribuição.
Chama-se estimativa de θ e representa-se por θ̂, um valor concreto
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Inferência Estatística - Propriedades dos estimadores
O estimador Θ̂ do parâmetro θ, diz-se centrado ou não enviesado
se e só se E(Θ̂) = θ.
Dados dois estimadores centrados para θ, Θ̂ e Θ̂0 diz-se que Θ̂ é mais
e…ciente do que Θ̂0 se
Var[Θ̂]
Var[Θ̂0 ].
Um estimador diz-se su…ciente, quando utiliza toda a informação
disponível na amostra.
Seja X1 , ..., Xn uma amostra aleatória de dimensão n extraída de uma
população com média µ e variância σ2 . Então,
X=
Xi X
∑n
∑ni=1 Xi
e S2 = i=1
n
n 1
2
são estimadores centrados de µ e σ2 , respectivamente.
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Inferência Estatística - Estimação por Intervalos
Na estimação por intervalos, em vez de se indicar um determinado
valor estimado para certo parâmetro da população, constrói-se um
intervalo que, com certo grau de certeza, previamente …xado, o
contenha.
Um intervalo de con…ança para um parâmetro θ, a um grau de
con…ança 1 α, é um intervalo aleatório (Linf , Lsup ) tal que:
P(Linf < θ < Lsup ) = 1
α, α 2 (0, 1)
onde α deve ser um valor muito reduzido por forma a temos
con…anças elevadas.
α é o nível de con…ança (signi…cância), ou seja o erro que estamos
a cometer
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Intervalo de con…ança
IC para a média quando a variância é conhecida
Seja X1 , ..., Xn uma amostra aleatória de dimensão n. Consideramos
que a v. a. X tem um distribuiçao normal, i.e., X N µ, σ2 .
Se σ é conhecido, então considere-se a nova variável
Z=
X µ
p
σ/ n
N (0, 1) .
Fixamos α (o nível de signi…cância) e notamos por zα/2 o valor crítico
de Z tal que P (Z > zα/2 ) = α/2. Então
P ( zα/2 < Z < zα/2 ) = 1
α,P
e portanto o intervalo a (1
α)
X
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zα/2 <
X µ
p < zα/2
σ/ n
100% de con…ança para µ é
σ
σ
zα/2 p < µ < X + zα/2 p
n
n
Estatística
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=1
(1)
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α
Intervalo de con…ança
IC para a média quando a variância é desconhecida
Se a variância σ é desconhecida e a amostra é grande, então podemos
substituir σ ! S
Se a amostra é pequena, a variável obtida no caso anterior já não é
normal. Mas, se a população é normal, então a variável aleatória
X µ
p
S/ n
T=
tem distribuição t-Student com n
Então, o intervalo a (1
x
tα/2,(n
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α)
t(n
1)
1 graus de liberdade.
100% de con…ança para µ é
s
< µ < x + tα/2,(n
n
1) p
Estatística
s
n
1) p
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Intervalo de con…ança
Diminuindo o grau de con…ança de 99% a 95%, aumentamos o risco
de estar errados: de 1% de risco passamos a 5% de risco, ou seja
temos mais possibilidades (5/100 em vez de 1/100) de que o IC não
contenha a média populacional.
Ao aumentar o risco, o intervalo deve ser mais preciso
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Estatística
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Testes (ensaios) de hipóteses
Decisão estatística: tomar uma decisão baseando-nos numa amostra
Exemplos:
Veri…car se mais de metade da população irá consumir um novo
produto lançado no mercado;
Testar se um sistema educacional é melhor em média que outro
Decidir se um novo medicamento cura ou não uma certa doença
Uma hipótese estatística é uma a…rmação acerca dos parâmetros de
uma ou mais populações (testes paramétricos) ou acerca da
distribuição da população (testes de ajustamento, não-paramétricos).
Os testes de hipóteses têm como objectivo decidir, com base na
informação fornecida pelos dados de uma amostra, sobre a aceitação
ou não de uma dada hipótese (conjectura sobre aspectos
desconhecidos da(s) população(ões)).
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Estatística
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Testes de hipóteses
Formular duas hipóteses:
hipótese nula H0 (aqui se especi…ca o valor do parâmetro ou a
distribuição a veri…car)
hipótese alternativa H1
A resposta num teste de hipóteses é dada na forma rejeição ou não
rejeição de H0
Os pontos de fronteira chamam-se valores críticos
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Estatística
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Testes de hipóteses
A tomada de decisões no processo de inferência posui riscos, o que
determina a aparição dos erros de decisão
Tipos de erros:
Erro do tipo I: rejeitar H0 sendo H0 verdadeira (erro de rejeição);
Erro do tipo II: não rejeitar H0 sendo H0 falsa (erro de não-rejeição).
De…nem-se
α = P(erro do tipo I) = P (Rejeitar H0 jH0 é verdadeira), onde α
chama-se nível de signi…cância do teste. Em geral, atribuir-se um
valor muito baixo à probabilidade do erro do tipo I (0.05 ou 0.01)
β = P(erro do tipo II) = P(Não-rejeitar H0 jH0 é falsa), onde 1 β
chama-se potência do teste
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Estatística
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Testes de hipóteses
Procedimento Geral dos Testes de Hipóteses (Testes de
Signi…cância ou Teste Estatístico)
Pelo contexto do problema identi…car o parâmetro de interesse
Especi…car a hipótese nula H0 e a hipótese alternativa apropriada H1
Escolher o nível de signi…cância, α
Escolher uma estatística de teste adequada (variável aleatória utilizada
para decidir: por exemplo média amostral)
De…nir a região crítica ou região de rejeição – RC
Determinar o valor real da estatística de teste
Decidir sobre a rejeição ou não de H0
Se o valor calculado 2 RC rejeita-se H0
Se o valor calculado 2
/ RC não se rejeita H0
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Estatística
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Testes de hipóteses
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
Região de aceitação
0.15
Não rejeitar H0
Região crítica
Região crítica
0.1
Rejeitar H0
Rejeitar H0
0.05
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
Valor crítico
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1
2
3
4
5
Valor crítico
Estatística
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Testes de hipóteses
Teste bilateral:
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
Teste unilateral à direita:
H0 : µ = µ0
H1 : µ > µ0
Os valores da estatística de teste que nos levarão a rejeitar H0 e
concluir que µ > µ0 , também nos levarão a rejeitar qualquer valor
menor do que µ0 .
Teste unilateral à esquerda
H0 : µ = µ0
H1 : µ < µ0
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Estatística
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Testes de hipóteses
Testes unilaterais
0.4
0.4
0.35
0.35
0.3
0.3
H1: mu > mu0
H1: mu < mu0
0.25
0.25
0.2
0.2
0.15
0.15
Região crítica
Região crítica
0.1
0.1
Não rejeitar H0
Rejeitar H0
Não rejeitar H0
Região de aceitação
0
-5
Rejeitar H0
0.05
0.05
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Região de aceitação
3
4
5
0
-5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Valor crítico
Valor crítico
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-4
Estatística
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Testes de hipóteses
A indicação do valor observado da estatística do teste, seguido da
consulta de uma tabela para a procura de um valor crítico, tem sido
recentemente “substituído” pelo cálculo de: a probabilidade de se
observar um valor igual ou mais extremo do que o observado, se a
hipótese nula é verdadeira – chama-se a isto valor de prova; valor p
( p-value, possível calcular com ajuda do qualquer software )
Podemos interpretar o valor do p-value como o maior nível de
signi…cância que levaria à não rejeição da hipótese nula (ou o menor
que levaria à rejeição).
Assim, quanto menor for o p-value, menor é a consistência entre os
dados e a hipótese nula (Quanto mais baixo for o valor-p maior é a
evidência contra a hipótese nula.)
Habitualmente adopta-se como regra de decisão:
rejeitar H0 se p-value
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Estatística
α
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Testes de hipóteses
Examples
Máquina de encher pacotes de açúcar. O peso de cada pacote deve ser
8g (isto é, µ = 8). Será que a máquina está a funcionar correctamente?
Solution
Temos então a hipótese nula
H0 : µ = 8
contra a hipótese alternativa H1 : µ 6= 8. Seja X - variável aleatória que
representa o peso de um pacote de açúcar, com E (X) = µ e Var (X) = 1.
Vamos considerar que numa amostra aleatória de 25 observações:
X1 , ..., X25 observou-se x = 8.5. Quer-se saber se, ao nível de signi…cância
de 5%, se pode a…rmar que a máquina continua a…nada.
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Estatística
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63 / 65
Testes de hipóteses
Estatística do teste:
Z0 =
X
p
8
1/ 25
e para α = 0.05 ! a = 1.96 donde se obtem a região crítica:
Z0 <
1.96 ou Z0 > 1.96.
Com x = 8.5 obtém-se
8.5 8
p = 2.5.
1/ 25
Como z0 > 1.96 rejeita-se H0 , ou seja existe evidência (ao nível de
signi…cância considerado) de que a máquina está desa…nada.
Considerando agora um valor-p, temos que: quando z0 = 2.5, para este
valor H0 não é rejeitada se
z0 =
α
2 (1
Φ (2.5)) = 0.0124
ou seja, p = 0.0124.
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