questão 16 resolução: questão 17

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Colégio
PARA QUEM CURSA A 2 a. SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2012
Disciplina:
Prova:
matemática
desafio
nota:
QUESTÃO 16
A piscina da casa de Roberto vai ser decorada com azulejos. Em cada uma das 5 figuras que
se seguem, estão representados dois azulejos.
Em qual delas o azulejo da direita é imagem do azulejo da esquerda, por meio de uma
rotação, com centro no ponto O, de amplitude 90°, no sentido anti-horário (sentido contrário ao dos ponteiros do relógio)?
RESOLUÇÃO:
I) Figura da esquerda:
II) Figura da direita após giro de 90° no sentido anti-horário:
Resposta: B
QUESTÃO 17
Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do outro uma letra.
Alguém afirmou que todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par
na outra.
Para verificar se tal afirmação é verdadeira:
a) é
b) é
c) é
d) é
e) é
necessário virar todos os cartões.
suficiente virar os dois primeiros cartões.
suficiente virar os dois últimos cartões.
suficiente virar os dois cartões do meio.
suficiente virar o primeiro e o último cartão.
OBJETIVO
1
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
RESOLUÇÃO:
Para confirmar a afirmação “todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um
número par na outra”, basta virar o primeiro (pois como A é vogal deve aparecer um
número par na outra face), e o último (para confirmar que não há vogal na outra face
do 3 que é ímpar). Observe que, no caso de haver uma consoante, pode aparecer
qualquer número na outra face, já que a afirmação não cita este fato.
Resposta: E
QUESTÃO 18
(UNESP) – Um grupo de x estudantes se juntou para comprar um computador portátil
(notebook) que custa R$ 3 250,00. Alguns dias depois, mais três pessoas se juntaram ao
grupo, formando um novo grupo com x + 3 pessoas. Ao fazer a divisão do valor do
computador pelo número de pessoas que estão compondo o novo grupo, verificou-se
que cada pessoa pagaria R$ 75,00 a menos do que o inicialmente programado para cada
um no primeiro grupo. O número x de pessoas que formavam o primeiro grupo é:
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
e) 13
RESOLUÇÃO:
Sejam x > 0 e y > 0, respectivamente, o número inicial de estudantes e o valor inicial da
parcela que cabe a cada um
3250
y = ––––––
x
x . y = 3250


3250
(x + 3) . (y – 75) = 3250
y = –––––– + 75
x+3
3250
3250
 ––––– = –––––– + 75  x2 + 3x – 130 = 0  x = 10
x
x+3
Resposta: B
QUESTÃO 19
(UNESP) – Em um dado comum, a soma dos números de pontos desenhados em
quaisquer duas faces opostas é sempre igual a 7. Três dados comuns e idênticos são colados por faces com o mesmo número de pontos. Em seguida, os dados são colados sobre
uma mesa não transparente, como mostra a figura.
Sabendo-se que a soma dos números de pontos de todas as faces livres é igual a 36, a
soma dos números de pontos das três faces que estão em contato com a mesa é igual a
a) 13
OBJETIVO
b) 14
c) 15
d) 16
2
e) 18
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
RESOLUÇÃO:
Sejam:
a) a, b e c os números marcados nas faces que estão em contato com a mesa.
b) 7 – a, 7 – b, 7 – c os números marcados nas faces superiores dos três dados.
c) x o número da face lateral esquerda do dado da esquerda e 7 – x o número da face
lateral direita do primeiro dado, que é também o da face lateral esquerda do 2°. dado.
d) x, analogamente, é o número da face lateral comum do 2°. e do 3°. dado.
e) 7 – x é o número da face lateral direita do terceiro dado.
f) 7 + 7 + 7 = 21 é a soma dos números das três faces da frente com as três faces de trás.
Assim: (x + 7 – x) + 7 + 7 + 7 + (7 – a) + (7 – b) + (7 – c) = 36 
 7 + 21 + 21 – (a + b + c) = 36  a + b + c = 49 – 36  a + b + c = 13
Resposta: A
QUESTÃO 20
A função f : ⺢  ⺢ é tal que, para todo x  ⺢, temos f (2x) = 2f (x). Se f (4) = 28, então:
a) f(1) = 7
d) f(1) = 10
b) f(1) = 8
e) f(1) não pode ser calculada
c) f(1) = 9
RESOLUÇÃO:
Se f(2x) = 2f(x), "x  ⺢ e f(4) = 28 então:
I) Para x = 2, temos:
f(4) = 2 . f(2) = 28  f(2) = 14
II) Para x = 1, temos:
f(2) = 2 . f(1) = 14 fi f(1) = 7
Resposta: A
OBJETIVO
3
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 21
Em um terreno de formato triangular, deseja-se construir uma casa com formato retangular. Determine x e y de modo que a área construída seja máxima
a) x
b) x
c) x
d) x
e) x
=
=
=
=
=
2,5 e y = 7,5
3ey=9
4,5 e y = 10,5
5 e y = 15
3 e y = 10
RESOLUÇÃO:
I) Por semelhança de triângulos, podemos afirmar que
x
15 – y
––– = –––––––  3x = 15 – y  y = 15 – 3x
5
15
II) A área do retângulo é dada por A = x . y = x . (15 – 3x) = – 3x2 + 15x
III) A área é uma função do 2o. grau cujo gráfico é uma parábola com concavidade para
baixo (a < 0).
Portanto, a área máxima ocorre para
b
– 15
xv = – –––– = –––––– = 2,5
–6
2a
IV) Para x = 2,5, temos: y = 15 – 3 . (2,5) = 15 – 7,5 = 7,5
Resposta: A
QUESTÃO 22
(UNESP) – O proprietário de um terreno trapezoidal, representado na figura, deseja
colocar grama sintética em toda sua extensão.
3 = 1,7 e desprezanO metro quadrado de grama sintética custa 10 reais. Considerando do outras despesas decorrentes dessa obra, serão gastos
a) 90 reais.
OBJETIVO
b) 98 reais.
c) 102 reais.
4
d) 120 reais.
e) 160 reais.
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
RESOLUÇÃO:
h
I) tg 60° = ––– fi h = 3.x
x
4–x
4–x
3 = ––––––– fi 3x = 4 – x fi x = 1
II) tg 60° = –––––– fi h
3
x
3 1,7.
Logo h = (B + b) . h
(8 + 4) . 1,7
III) área = ––––––––––– = –––––––––––– = 6 . 1,7 = 10,2
2
2
reais
IV) Serão gastos 10,2 m2 . 10 –––––– = 102 reais.
m2
Resposta: C
QUESTÃO 23
Em um determinado edifício, os primeiros andares são destinados às garagens e ao salão
de festas e os demais andares, aos apartamentos. Interessado nas dimensões desse
prédio, um topógrafo coloca um teodolito (instrumento óptico para medir ângulos
horizontais e ângulos verticais) a uma distância d do prédio. Com um ângulo vertical de
30°, esse topógrafo observou que o primeiro piso de apartamentos está a uma altura de
11,80 m do solo; e com um ângulo vertical de 60°, avistou o topo do edifício, conforme
a figura a seguir.
OBJETIVO
5
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
De acordo com esses dados e sabendo-se que a luneta do teodolito está a 1,70 m do solo,
a altura do edifício é:
a) 31 m
d) 21,90 m
b) 23,60 m
e) 32 m
c) 30,30 m
RESOLUÇÃO:
10,1
10,10
I) tg 30° = ––––– fi d = –––––––
d
tg 30°
x + 10,10
II) tg 60° = –––––––––– fi tg 60° . d = x + 10,10 fi
d
10,10
fi tg 60° . ––––––– = x + 10,10 fi
tg 30°
fi 30,30 = x + 10,10 fi x = 20,20
III) A altura do edifício, em metros, é 20,20 + 10,10 + 1,70 = 32
Resposta: E
QUESTÃO 24
(FUVEST) – Em um triângulo retângulo OAB, retângulo em O, com AO = a e OB = b, são
—
—
dados os pontos P em AO e Q em OB de tal maneira que AP = PQ = QB = x. Nestas
condições, o valor de x é:
ab – a – b
a) b) a + b – 2ab
a2 + b2
c) d) a + b + 2ab
ab + a + b
e) RESOLUÇÃO:
No triângulo retângulo OPQ, temos:
x2 = (a – x)2 + (b – x)2  x2 = a2 – 2ax + x2 + b2 – 2bx + x2 
8ab
2(a + b) ±  x2 – 2(a + b)x + (a2 + b2) = 0  x = –––––––––––––––– 
2
2ab
2(a + b) ± 2
 x = –––––––––––––––––  x = (a + b) ± 2ab
2
Como x < a e x < b, a única possibilidade é x = a + b – 2ab.
Resposta: B
OBJETIVO
6
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 25
Na figura abaixo está representada a função real f, dada por f(x) = logax, para todo
x > 0.
De acordo com os dados da figura, é correto concluir que a área do trapézio ABCO, em
unidades de superfície, é
a) 4
b) 4,5
c) 5
d) 5,5
e) 6
RESOLUÇÃO:
I) P
1
––– ; – 1
4
 f e, portanto: f
1
–––
4
= loga
1
–––
4
1
= – 1  a– 1 = –––  a = 4
4
II) f(x) = log4x
III) A(0; 1) e B(xB; 1)  f
Logo: f(xB) = log4 xB =1  xB = 4 fi B(4; 1)
IV) xC = xD e D(xC; 1,5)  f
Logo: f(xC) = log4(xC) = 1,5  xC = 41,5 = 23 = 8 fi C(8; 0) e D(8; 1,5)
V) A área do trapézio ABCO, em unidade de área é:
OC + AB
8+4
–––––––––– . OA = –––––– . 1 = 6
2
2
Resposta: E
OBJETIVO
7
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 26
(FUVEST) – Os pontos D e E pertencem ao gráfico da função y = logax, com a > 1 (figura
abaixo). Suponha que B = (x,0), C = (x + 1,0) e A = (x – 1, 0). Então, o valor de x, para o
qual a área do trapézio BCDE é o triplo da área do triângulo ABE , é
5
1 + ––––
a) –––
2
2
5
b) 1 + ––––
2
d) 1 + 5
1
e) ––– + 2
5
2
c)
1
5
––– + 2
RESOLUÇÃO:
ABCDE = 3 AABE fi
logax + loga(x + 1)
1 . logax
fi ––––––––––––––––––– . 1 = 3 . ––––––––– fi
2
2
fi loga[x(x + 1)] = logax3 fi x2 + x = x3 fi
fi x(x2 – x – 1) = 0 fi
1 + 5
1 – 5
fi x = 0 ou x = ––––––– ou x = ––––––– fi
2
2
5
1
1 + 5
fi x = ––––––– , pois x > 0  x = ––– + ––––
2
2
2
1
1
5
5
Observação: Se x = ––– + –––– , então x – 1 = –––– – ––– < 1.
2
2
2
2
Assim, o ponto A encontra-se à esquerda do ponto de abscissa 1.
Resposta: A
OBJETIVO
8
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 27
O produto das raízes da equação 4x – xlog2x = 0 vale:
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) 8
RESOLUÇÃO:
I) 4x – xlog2x = 0  4x = xlog2x  log2 (4x) = log2 (xlog2x)  log24 + log2x = log2x . log2x
II) Substituindo log2x por y, temos
1±3
2 + y = y2  y2 – y – 2 = 0  y = ––––––  y = 2 ou y = – 1
2
III) Se y = 2 então log2x = 2  x = 4
1
IV) Se y = – 1 então log2x = – 1  x = –––
2
1
V) O produto das raízes dessa equação é 4 . ––– = 2
2
Resposta: B
QUESTÃO 28
Na divisão
108
r
k
, k e r são números naturais com 0 ≤ r < k. Os possíveis valores de k
5
são em número de:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
RESOLUÇÃO:
Se
108
r
k
, com {r; k} 傺 ⺞ e 0 ≤ r ≤ k, então:
5
– 5k
0108≤ r=<5kk + r fi 0r =≤ 108
r<k

108
k ≤ –––––
5

108
k > –––––
6
kk >≤ 21,6
18
fi 0 ≤ 108 – 5k < k 
– 5k 
0108≤ 108
– 5k < k
fi k = 19 ou k = 20 ou k = 21
Resposta: A
OBJETIVO
9
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
QUESTÃO 29
Na figura a seguir, os arcos QMP e MTQ medem, respectivamente, 170° e 130°. Então, o
arco MSN mede:
a) 60°
b) 70°
c) 80°
d)100°
e) 110°
RESOLUÇÃO:
 = 60°
4) a + 65° + 85° = 180°  a = 30° fi MSN
Resposta: A
QUESTÃO 30
Na praça principal de uma vila será inaugurado um mural retangular. No projeto ilustrado
na figura, o mural está representado pelo retângulo maior, e a tapeçaria pelo retângulo
menor, sombreado; x representa a medida, em metros, de um dos lados do mural. Cada um
dos lados da tapeçaria ficará paralelo a dois dos lados do mural, com margens de 0,5 m e
de 1 m, como a figura ilustra. O mural terá 26 m de perímetro e 1 < x < 11.
OBJETIVO
10
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE
A área da tapeçaria em metros quadrados e o perímetro em metros, valem respectivamente:
a) x2 – 11x – 12 e 12
d) – x2 + 12x – 11 e 20
b) x2 – 12x – 11 e 20
e) – x2 – 12x – 11 e 10
c) – x2 – 11x – 12 e 12
RESOLUÇÃO:
Sendo x (indicado) e y as dimensões do mural, já que o perímetro é 26 m, temos:
2x + 2y = 26  x + y = 13  y = 13 – x
Portanto, de acordo com a figura, as dimensões da tapeçaria são, em metros,
x – 0,5 – 0,5 = x – 1 e y – 1 – 1 = y – 2 = 13 – x – 2 = 11 – x
Assim, a área da tapeçaria, em m2, é A = (x – 1)(11 – x) = – x2 + 12x – 11 e o perímetro é
2x – 2 + 22 – 2x = 20
Resposta: D
OBJETIVO
11
MATEMÁTICA – DESAFIO – 2.a SÉRIE