Lista de exercícios 1

Universidade Federal da Bahia
Instituto de Matemática - Departamento de Matemática
Cálculo II-A (MAT 042) – 1a Lista de Exercícios
Última atualização: 26/05/04
I) Resolva as integrais usando substituição de variável:
1) ∫ sen(2 x )dx
2) ∫
sen (3x − 1)
cos(2 x )
+C
2
cot g (3x − 1)
Re sp. : −
+C
3
3) ∫
dx
3x − 7
1
Re sp. : ln 3x − 7 + C
3
dx
2
Re sp. : −
4) ∫ tg (2x )dx
1
Re sp. : − ln cos 2 x + C
2
5) ∫ (cot g (e x )e x dx
Re sp. : ln sen(e x ) + C
6) ∫ x 2 + 1.xdx
Re sp. :
7)
dx
∫ cos2 (x)
8) ∫
9) ∫
10) ∫
11) ∫
1
( x 2 + 1) 3 + C
3
tg ( x ) −1
Re sp. : 2 tg ( x ) − 1 + C
cos( x )dx
2 sen( x ) + 1
Re sp. : 2 sen( x ) + 1 + C
sen(2 x )dx
1 + sen 2 ( x )
arcsen(x )dx
1 − x2
arctg 2 ( x )dx
1 + x2
Re sp. : 2 1 + sen 2 ( x ) + C
Re sp. :
arcsen 2 ( x )
+C
2
Re sp. :
arctg3 ( x )
+C
3
1/13
12) ∫
dx
x ln x
13) ∫ 3x
14) ∫
15) ∫
16) ∫
2
Re sp. : ln ln x + C
+ 4 x +3
( x + 2)dx
dx
16 − 9 x 2
dx
4 − 9x
Re sp.
2
arccos(x ) − x
1 − x2
2
3x + 4 x +3
Re sp.
+C
2. ln(3)
1
 3x 
Re sp. arcsen  + C
3
 4 
dx
1 2 + 3x
ln
+C
12 2 − 3x
1
Re sp. : − arccos2 ( x ) + 1 − x 2 + C
2
II) Use integração por partes para resolver as integrais:
1) ∫ ( x 2 + 2 x )e x dx
Resp.: x2 ex + C
2) ∫ (16x 3 + 4 x + 1) ln(x )dx
Resp.: ln(x).(4x4+2x2+x) - (x4+x2 + x) + C
3) ∫ ( x 2 + 1) sen( x )dx
Resp.: - (x2 –1) cos(x) +2xsen(x) + C
4) ∫ arctg(3x )dx
1
Re sp. : x.arctg(3x ) − ln(9 x 2 + 1) + C
6
5) ∫ arcsen(x − 2)dx
Re sp. : ( x − 2) arcsen(x − 2) + − x 2 + 4x − 3 + C
6) ∫
x
dx
sen 2 (x)
Re sp. : −x cot g(x ) + ln | sen(x) | +C
7) ∫ 3x8.cos(x3 )dx
Re sp. : x 6 sen( x 3 ) + 2x 3 cos( x 3 ) − 2 sen( x 3 ) + C
3
8) ∫ x 5 (1 + 4e x )dx
6
3  4x 3 − 4 
+ x +C
Re sp. : e x 
 3  6


2/13
9) ∫ e 2x +1 .dx
10) ∫
Re sp. : ( 2x + 1 − 1)e
x.arctg(x)
dx
2
1+ x
2 x +1
+C
Re sp. : 1 + x 2 arctg( x ) − ln x + 1 + x 2 + C
III) Resolva as integrais contendo um trinômio ax2 + bx + c:
2
x + 2x + 5
2) ∫
3) ∫
4)
1
x +1
Re sp. : arctg
+C
2
2
dx
1) ∫
∫
x − 6x + 5
1 x −5
+C
Re sp. : ln
4 x −1
(x + 5)dx
2x 2 + 4x + 3
1
Re sp. : ln | 2 x 2 + 4x + 3 | +2 2 .arctg[ 2 ( x + 1)] + C
4
dx
2
x+3
dx
3 + 4x − 4x 2
Re sp. : −
1
7
2x − 1
3 + 4 x − 4 x 2 + arcsen
+C
4
4
2
5) ∫
(x + 5)dx
2x 2 + 4x + 3
Re sp. :
1
2x 2 + 4x + 3 + 2 2 ln | 2x 2 + 4 x + 3 + 2 ( x + 1) | +C
2
6) ∫
3x + 5
dx
x (2 x − 1)
Re sp. :
3
23
2x 2 − x +
ln 4x − 1 + 8(2 x 2 − x ) + C
2
4 2
IV) Classifique as funções em racional (r) ou não racional (n); racional própria (p) ou
racional imprópria (i)
1) f ( x ) =
3) f ( x ) =
5) f ( x ) =
2 .x + 1
2
x − tg (3)
sen(7) x 4 + 1
x 3 + 2x + 1
1 + 3x 2
2
( x − 1)( x − 5x + 6)
2) f ( x ) =
4) f ( x ) =
6) f ( x ) =
2x + 1
2
x + tg (3)
ln(x 2 + 9)
x4 − x2
ln(2).( x + 1)
( x 3 − 1)( x 2 − 1)
3/13
7) f ( x ) =
9) f ( x ) =
(e.x ) 2 + 1
8) f ( x ) =
( x 2 + x + 3) 2 ( x 2 − 6 x + 9)
x 2 + 3x + 1
x 2 − 6x + 8
( 4 x 2 − 8x )
( x − 1) 2 ( x 2 + 1) 2
Resp.1) (r); (p). 2) (n). 3) (r); (i). 4) (n). 5) (r); (p). 6) (r); (p). 7) (r); (p). 8) (r); (i). 9) (r); (p).
V) No exercício anterior, apresente uma forma de decomposição em frações parciais para
cada uma das funções racionais próprias.
Resp.
1) f ( x ) =
A
B
+
x − tg (3)
x + tg (3)
(
) (
)
5) f ( x ) =
A
B
C
+
+
x −1 x − 2 x − 3
6) f ( x ) =
A
B
C
Dx + E
+
+
+ 2
2
( x + 1) ( x − 1) ( x − 1)
x + x +1
A
B
Cx + D
Ex + F
+
+
+
x − 3 ( x − 3) 2 x 2 + x + 3 ( x 2 + x + 3) 2
A
B
Cx + D
Ex + F
9) f ( x ) =
+
+
+
x − 1 ( x − 1) 2 x 2 + 1 ( x 2 + 1) 2
7) f ( x ) =
VI) Resolva as integrais das funções racionais:
1) ∫
x +1
dx
2x + 1
1
1
Re sp. x + ln 2 x + 1 + C
2
4
2) ∫
xdx
( x + 1)( x + 3)( x + 5)
1
( x + 3)6
Re sp. ln
+C
8 ( x + 5)5 ( x + 1)
3) ∫
dx
( x − 1) 2 ( x − 2)
Re sp.
1
x−2
+ ln
+C
x −1
x −1
4/13
4) ∫
5) ∫
6) ∫
x −8
3
2
x − 4x + 4x
Re sp.
x3 +1
dx
4x 3 − x
( x − 1)( x 2 − 2x + 5)
dx
x3 − 6
dx
x 4 + 6x 2 + 8
8) ∫
3x − 7
3
2
x + x + 4x + 4
8x − 16
16 − x
10) ∫
4
dx
3
+ 5) 2
2
Re sp. : ln
( x − 2x
x −1
Re sp. : ln
Re sp. : ln
x2 + 4
2
x +2
x2 + 4
( x + 1)2
+
1
 x −1
+ arctg
+C
2
 2 
3
 x 
x 3
artg  −
arctg
+C
2
2
2
 2
+
1
arctg( x / 2) + C
2
x
Re sp. : ln 4 + x 2 − ln | 2 + x | −arctg  + C
2
dx
(x 2 − 2x + 3)dx
(x 2 + 1)(x − 1) 2
11) ∫
3
 x −2
+ ln
 +C
x−2
 x 
x
1
Re sp. : − ln | x |+ [9 ln | 2 x − 1| +7 ln | 2x + 1 |] + C
4
16
2x 2 − 3x − 3
7) ∫
9) ∫
2
dx
(5x 3 + 12)dx
x 3 − 5x 2 + 4x
Re sp : arctgx + ln x 2 + 1 − ln | x − 1 | +
Re sp.:5x + 3 ln x −
1
+C
1− x
17
83
ln |x − 1| + ln |x − 4| + C
3
3
VII) Resolva as integrais das funções irracionais:
1) ∫
(x + 3)dx
x(x − 2 x + 3)
x3 − 3 x
2) ∫
3) ∫
64 x
dx
dx
6
( x − 2)5  3 ( x − 2) 2 − 1


Re sp. :
Re sp. :
 x − 1
+C
2 ln x + 2 2 ⋅arctg
2 

2 4 9 2 12 13
x −
x +C
27
13
3 6 x − 2 −1
− 3arctg6 x − 2 + C
Re sp. : ln 6
2
x − 2 +1
5/13
4) ∫ x.(1 +
2
x ) 3 dx
dx
8
5
3
3
Re sp. : (1 + x ) 3 − (1 + x ) 3 + C
8
5
Re sp. : 2 x − 63 x + 24 6 x − 48 ln(2 + 6 x ) + C
5) ∫
23 x + x
6) ∫
1 − x dx
1 + x x2
Re sp. : ln
7) ∫
1 − x dx
1+ x x
Re sp. : 2arctg
1− x + 1+ x
1− x − 1+ x
−
1− x2
+C
x
1− x
1− x + 1+ x
+ ln
+C
1+ x
1− x − 1+ x
VIII) Resolva as integrais das funções trigonométricas:
1) ∫ sen 3 ( x )dx
1
Re sp : cos3 ( x ) − cos( x ) + C
3
2) ∫ sen 2 ( x ) cos 3 ( x )dx
1
1
Re sp : sen 3 ( x ) − sen 5 ( x ) + C
3
5
3) ∫
cos 3 ( x )
sen 4 ( x )
dx
4) ∫ sec(2x )dx
5) ∫
1
Re sp : csc ( x ) − csc 3 ( x ) + C
3
1 1 + sen(2x )
Re sp : ln
+C
4 1 − sen(2 x )
sen 3 ( x )dx
Re sp. :
33
3
cos5 ( x ) +
+C
3 cos( x )
5
6) ∫ sen 2 (3x )dx
Re sp. :
x sen (6 x )
−
+C
2
12
7) ∫ sen 2 ( x ). cos 2 ( x )(dx
Re sp. :
x sen (4x )
−
+C
8
32
8) ∫ tg3 ( x ) dx
Re sp. :
tg 2 ( x )
+ ln cos( x ) + C
2
dx
tg ( x ) −1
Re sp. :
ln | tg ( x ) − 1 | ln(tg 2 ( x ) + 1) x
−
− +C
2
4
2
9) ∫
3
4
cos ( x )
6/13
10) ∫ sen(5x).sen(3x).dx
11) ∫ sen(x).cos(5x).dx
1
sen(8x ) 
 sen(2 x ) −
 +C
4
4 
cos(6x ) cos(4x )
Re sp. : −
+
+C
12
8
Re sp. :
IX) Resolva as integrais das funções trigonométricas
Universal t = tg(x/2) e as as fórmulas
2 tg ( x / 2)
1 − tg 2 ( x / 2)
sen( x ) = 2
e cos( x ) = 2
tg ( x / 2) + 1
tg ( x / 2) + 1
1) ∫
sen( x )dx
1 + sen x
2) ∫
dx
1 − sen( x ) + cos( x )
3) ∫
dx
sen(x) − cos(x)
4) ∫
usando
a Substituição
2
+x+C
x
1 + tg 
2
Re sp. : − ln 1 − tg ( x / 2) + C
Re sp. :
cos(x).dx
1 − sen(x) + cos(x)
x
+1− 2
2
2
ln
Resp.:
+C
x
2
tg + 1 + 2
2
x x
Resp.: ln sec + + C
2 2
tg
X) Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
1) ∫
a2 − x2
x2
dx
2) ∫ x 2 4 − x 2 dx
3) ∫
4) ∫
dx
x2 1 + x2
x2 − a2
dx
x
a2 − x2
x
Re sp. : −
− arcsen + C
x
a
Re sp. : 2 arcsen
Re sp. : −
x 1
1
− x 4 − x 2 + x3 4 − x 2 + C
2 2
4
1 + x2
+C
x
a
Re sp. : x 2 − a 2 − a. arccos  + C
x
7/13
dx
5) ∫
6) ∫
Re sp. :
(4 + x 2 )5
dx
(x + 1) 4 . x 2 + 2x + 10
∫
dx
(x + 1) 2 x 2 + 2x + 2
9) ∫
dx
2
(x + 9)
10) ∫
11) ∫
(x + 1)dx
(x + 9)
34 ( x + 1)
−
[9 + ( x + 1) 2 ]3
35 ( x + 1)3
+C
Re sp.
2
(2x + 3)dx
(x 2 + 2x + 10) 2
x 2 + 2x + 2
+C
x +1
Re sp. : −
Re sp.
2
2
9 + ( x + 1) 2
Re sp. :

+C


x
Re sp. : 2 ln 4 + x 2 + x  +
4 + x2 + C

 2
7) ∫ 4 + x 2 dx
8)
1 
x
x3
−
16  4 + x 2 3( 4 + x 2 ) 4 + x 2

Re sp.
x
2
18( x + 9)
x −9
2
18( x + 9)
+
1
x
arctg  + C
54
3
+
1
x
arctg  + C
54
3
x − 17
18( x 2 + 2 x + 10)
+
1
 x +1
arctg
+C
54
 3 
XI) Resolver as seguintes integrais usando métodos adequados:
1
1) ∫ x.ln(1 + ).dx
x
2) ∫ cos 4 (2x).dx
3) ∫ (3x 2 + 6x + 5)arctg(x).dx
4) ∫
5) ∫
6) ∫
2x − 9
6x − 5 − x 2
dx
2x − 9
6x − 5 − x 2
dx
( x + 2 + 3).dx
[x + 2 + x + 2 ](x + 5)
7) ∫ tg 3 (x).sec 4 (x).dx
x2  x + 1 x
ln
 + − ln x + 1 + C
2  x  2
1
sen(8x ) 
Resp.:  3x + sen(4x ) +
+C
8
8 
Resp.:
Resp.:
( x 3 + 3x 2 + 5x )arctg( x ) −
x2
− 3x − 2 ln | 1 + x 2 | +3arctg( x ) + C
2
3 x −5
Resp.: − ln | 6 x − x 2 − 5 | + ln
+C
4 x −1
x − 3
+C
 2 
Resp.: − 2 6 x − 5 − x 2 − 3 arcsen
Resp.:
Resp.:
x+2
1
 ln | x + 2 + 1 | − ln x + 5 + 3arctg
+C
3 
2 
1 6
1
sec ( x ) − sec4 ( x ) + C
6
4
8/13
(x - 1) 2 2x − x 2 + 8
8) ∫
.dx
9 − (x − 1) 2


2
Resp.: 9 arcsen x − 1  − ( x − 1) 2x − x + 8  + C
9) ∫ cosec(x).dx
Resp.: ln | cos sec(x ) − cot g ( x ) | +C
4.e 3x .dx
∫ 2x
(e + 2)(e 2x − 2e x + 1)
11) ∫ tg 3 x.cosx.dx
10)
2

Resp.:
x 1 − lnx − ln 2 x
xdx
13) ∫
(x + 2)[ x + 2 + 3 x + 2 ]
Resp.:
15) ∫ 16 − x 2
16) ∫
16 − e 2x
dx
ex
ln 3 x
dx
2
x. ln x − 4
dx
18) ∫
(x 2 + 2x + 5) 3
17) ∫
dx
19) ∫
x + 1 + (x + 1) 3
20) ∫ x 2 ln( 1 − x ).dx
22) ∫
x 5 dx
1− x2
23) ∫ sen 5 (x).3 cos(x)
x
x
24) ∫ [tg 3 ( ) + tg 4 ( )].dx
3
3
25) ∫
4x
x + 1 .dx
x
9
 2e x
 2

2arctg


9


 − ln(e 2 x + 2) 2 + ln(e x − 1) 4 − 3  + C
x

(e − 1) 

Resp.: cos( x ) + sec(x ) + C
Resp.:
14) ∫ sen 2 (x).cos 5 (x).dx
4 

lnx.dx
12) ∫
 3 
1
 2(ln x ) + 1 
 + C
− 1 − ln x − (ln x ) 2 − arcsen
2
5


(
)
6ln 6 x + 2 +1 −12ln6 x + 2 + 2 x + 2 − 33 x + 2 + 66 x + 2 −
12
6
x+2
+
6
3
x+2
+C
sen 3 x 2 sen 5 x sen 7 x
−
+
+C
3
5
7
x x
Resp.: 8 arcsen  +   16 − x 2 + C
4 2
Resp.:
Resp.: −
16 − e 2 x
ex
 ex 
− arcsen  + C
 4 
 
3
1
Resp.: 4 ln 2 x − 4 +  ln 2 x − 4  + C
3

Resp.:
x +1
2
4 x + 2x + 5
+C
Resp.: 2arctg( x + 1) + C
3
3
2
Resp.: x . ln 1 − x − 1 ln | x − 1 | − x − x − x + C
3
6
18
12
6
2
2 2

Resp.: − 1 − x 2 1 − 2(1 − x ) + (1 − x )  + C
3
5


Resp.: − 3 3 cos 4 x + 3 3 cos10 x − 3 3 cos16 x + C
4
5
16
x
x
x
3 2 x 
Resp.: tg   + tg 3   − 3tg  + 3 ln cos  + x + C
2
3
3
3
3
Resp.: − 2 ln
4x − 2 x + 1
+C
4x + 2 x + 1
9/13
XII ) Encontrar a primitiva F(x), para a função f(x), tal que:
1) f(x) = x.sen(x 2 ) e F(0) = 1
2) f(x) =
x2
6
e F(3 3 ) =
π
4
9+x
3
3) f(x) = x 3.cos(x 2 ) e F(0) =
2
1
3
Resp.: F( x ) = − cos( x ) 2 +
2
2
3
1
x
2π
Resp.: F( x ) = arctg( ) +
9
3
9
Resp.: F( x ) =
XIII) Determinar a função f(x):
1) ∫ (x 3 − 4x).f ′(x).dx = x 2 + C e f(0) = −2
2)
∫
x 4 − 9 .f ′(x).dx = 7x 2 + C e f( 3) = 8ln3.
x 2 . sen x 2 cos x 2
+
+1
2
2
Resp.: f ( x ) = ln
x−2
−2
x+2
Resp.: f ( x ) = 7 ln | x 2 + x 4 − 9 | + ln 3
XIV) A equação da reta tangente a uma curva no ponto (0, 2) é y = 3x + 2. Sabendo que em
um ponto qualquer (x,y) da curva, f ′ (x) = 3x2 + k (k uma constante), encontrar a equação
dessa curva.
Resp.: f ( x ) = x 3 + 3 x + 2
d2y
= tg 2 x . Sabendo que a reta tangente a
2
dx
essa curva no ponto (0,1) é paralela ao eixo OX, determinar a equação da mesma.
x2
Resp.: f ( x ) = − ln|cos( x )| −
+1
2
XV) Em cada ponto da curva y = f(x), tem-se
XVI) Determine o valor médio de cada função f, abaixo, nos intervalos indicados e o valor
de x em que este ocorre.
1
1
1) f ( x) =
em [0, ].
π
π2 − 9
Resp.: ;
2
1 − x2
3
π
2
3π
1
π
2) f ( x) = sen ( x) em [0, π ].
Resp.: ; ,
2 4 4
3) f(x) = x2 – 2x + 1 em [-1, 5]
Resp.: 4; -1; 3
XVII) Considere a curva y = f(x) , gráfico a seguir. Sabendo-se que f(a) = 4 é o valor médio
de f em [1,8], o valor numérico da área hachurada é de 12 unidades e ∫1a f(x).dx = 3 ,
determine:
10/13
1) ∫a8 f(x).dx.
2) O ponto a.
Resp.: 1) 25; 2) 19/4
x
 πt 2
XVIII) Sejam as funções F( x ) = ∫ sen
 2

0

dt e G ( x ) = x


1) Determine F´(x).
2) Determine os pontos x em que F(x) possui
máximos locais
 πx 2 

Resp.: F´(x ) = sen
 2 


Resp.: x = ± 2k , k ∈ N tal que k
é ímpar
x
 πt 2 
sen
∫  2 dt


0
1
 πx  1
Resp.: (F o G )´(x ) = sen 
2
 2  x
3) Determine FoG (x)
Resp.: (F o G )( x ) =
4) Determine (FoG)´ (x)
XIX) Determine as derivadas das funções dadas a seguir:
e tg ( x ) .sec2 ( x )
et
3
Resp.: F′( x ) = −
1) F(x) = ∫tg(x)
dt
1+ t
1 + tg ( x )
2) F(x) = ∫xx
3
1 + t 5 dt
Resp.: F′( x ) = 1 + x15 .3x 2 − 1 + x 5
x t 4

sen 3 (u ) 

du dt , determine G´´(x).
XX) Sendo G definida por G ( x ) = ∫ ∫
2


u
3  2

Resp.: G ′′ ( x ) = 4 x −5 .sen 3 ( x 4 )
2
XXI) Calcule ∫ f ( x )dx , sendo:
0
x 2 , se 0 ≤ x ≤ 1
1) f(x) = 
 x , se 1 ≤ x ≤ 2
2) f ( x) = 1 − x .
11/13
Resp.: 1)
4 2 −1
3
2) 1
XXII) Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas curvas:
1) y = ln(x), x = 2 e o eixo OX.
.
Resp.: 2.ln(2) -1
46
3
15
Resp.:
− 8 ln( 2 )
2
3
4
Resp.:
−
ln( 2 ) 3
2) x = 8 + 2y - y2, y = 1, y = 3 e x = 0.
Resp.:
3) xy = 4 e x + y = 5.
4) y = 2x, y = 2x - x2, x = 0 e x = 2
5) y = 2x, y = 1 e y = 2/x
Resp.: −
3
+ 2 ln(2)
4
6) y = x3 – 3x, y = 2x2
Resp.: 71/6
7) y = x3, y = x2 + 2x
Resp.: 37/12
08) y = 9/x, y = 9x, y = x
Resp.: 9ln(3)
XXIII) Determine a expressão da integral que permite calcular a área da região do plano:
1) Exterior à parábola y2 = 2x e interior ao círculo x2 + y2 = 8.
2 
2 2
y2 
 0
2
 8 − y 2 − dy + 4
8
−
y
dy
ou
2
8 - x 2 dx +
Resp.:



2
−2
2 
 -2 2

∫
2) Limitada pela hipérbole
∫
∫
∫ ( 8− x
2
2
0
)

− 2 x dx 

x2 y2
−
= 1 e a reta x = 2a.
a 2 b2
Resp.: 2
3) Comum aos círculos x2 + y2 = 4 e
∫
b 3
0
a 2

b + y 2 dy
 2a −
b


x2 + y2 = 4x.

Resp.: 2

1
∫
0
4 x − x 2 dx +
∫
2
1

4 − x 2 dx 

XXIV) Calcule a área da região do plano limitada,
1) pela curva x + y 2 + 1 = 0, pela reta tangente à essa curva no ponto A = (−5, −2 ) e pelo
eixo OX.
8
Resp.:
3
12/13
2) pelas curvas x = y 2 − 3, x = y -1 e acima do eixo OX.
Resp.:
13
3
Resp.:
7
3
3) pelas curvas x = y 2 e x = 2 - y .
x2 y2
+
= 1 e pela reta que passa pelos pontos A=(0,2) e B = (−3,0) e
4) pela curva
9
4
situada no 2 o quadrante.
3π
−3
Resp.:
2
XXV) Uma partícula se desloca sobre o eixo 0x com velocidade v(t) = sen2(t) m/s. Calcule
o deslocamento entre os instantes t = 0 s e t = π s.
π
Resp.:
m
2
XXVI) Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo Ox, entre os pontos x = 1m e
r
r
x = e m, atua a força F( x ) = ln(x ). i , dada em Newton. Determine o trabalho, em joule,
r
realizado por F .
e
Resp.: ∫ ln(x )dx = 1
1
XXVII) Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo Ox, entre os pontos x = -1 m e
r
x = 0 m, atua a força F , que aponta na direção do ponto (0, 1) e cujo módulo, dado em
r
Newton, é igual a | F( x ) | = x 2 . Determine:
r
1) A componente de F na direção de Ox.
− x3 r
Resp.:
i
2
1+ x
r
0
2) O trabalho realizado por F , dado em joule
− x 3 dx 2 − 2
Resp.: ∫
=
2
3
−1 1 + x
13/13