2. Freqüências - Paulo Mottola

Mottola
ESTATÍSTICA BÁSICA
1. Apresentação
Estatística é a parte da Matemática que organiza e analisa dados coletados em
uma amostra de um conjunto. Com base nos resultados, faz projeções para todo o
conjunto com uma margem de erro estimada. Todas as áreas do conhecimento
necessitam de algum tratamento estatístico.
2. Freqüências
As freqüências mais importantes são:
Freqüência Absoluta: Número de vezes que um elemento ocorre em uma amostra.
Freqüência Absoluta Acumulada: Soma da freqüência absoluta de um elemento com
as freqüências absolutas de todos os elementos anteriores.
Freqüência Relativa: Quociente entre a freqüência absoluta de um elemento e o
número de elementos da amostra. Pode ser expressa na forma percentual.
Obs.: Se os elementos são intervalos, supõem-se que os valores estão uniformemente
distribuídos, escolhendo-se o ponto médio do intervalo para representá-lo.
EXEMPLOS:
1) As idades de dez alunos são: 16, 16, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 19 e 20.
Organizando em uma tabela, temos:
Idades Freqüências Freqüências
absolutas
acumuladas
16
2
2
17
4
6
18
2
8
19
1
9
20
1
10
Freqüências
relativas
2/10 = 0,2 = 20%
4/10 = 0,4 = 40%
2/10 = 0,2 = 20%
1/10 = 0,1 = 10%
1/10 = 0,1 = 10%
19
Mottola
2) Na figura, encontram-se as freqüências absolutas dos empregados que estão em
determinadas faixas salariais:
Faixas Salariais Freqüências
em Reais
absolutas
[400 , 600]
(600, 800]
(800, 1000]
4
6
2
3. Médias Aritméticas
As médias aritméticas são as mais utilizadas.
Média aritmética simples é a soma de todos os n valores da amostra divida por n.
A média aritmética simples dos elementos x1, x2, ... , xn é
n
M = (x1 + x2 + ... + xn) / n = (  xk )/ n
k=1
Em certas situações há necessidade de que um elemento tenha um peso maior
em uma média, como, por exemplo, no cálculo da média dos acertos das provas do
Vestibular. Quando um elemento tem um peso p, significa que ele deve ser contado p
vezes. Neste caso, temos a média aritmética ponderada.
EXEMPLO: Em um concurso, as notas obtidas nas disciplinas e os pesos estão na
tabela:
Disciplinas
Pesos
Notas
Português
Matemática
História
3
2
1
6
5
7
Soma
6
Neste caso, considera-se que são seis provas: 3 de português, com nota 6 cada, 2
de matemática, com nota 5 cada e uma de história com nota 7.
Média ponderada: (6 + 6 + 6 + 5 + 5 + 7) / 6 = (3x6+ 2x5 + 1x7) / 6 = 5,83
Em geral, a média ponderada dos elementos x1, x2, ... ,xn, com respectivos pesos
p1, p2, ... , pn, é
20
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n
 pk .xk
k=1
p1.x1 + p2.x2 + ... + pn.xn
Mp =
=
n
 pk
p1 + p2 + ... + pn
k=1
Obs.: Quando dizemos simplesmente “média”, queremos dizer “média aritmética
simples”.
4. Médias Geométrica e Harmônica
A média geométrica, Mg, de n elementos x1, x2, ... ,xn é a raiz n-ésima do produto
destes elementos.
n
Mg = x1 . x2 . ... . xn
A média harmônica, Mh, é o inverso da média aritmética dos inversos dos
elementos.
1
Mh =
(1/x1 + 1/x2 + ... + 1/xn) /n
EXEMPLO: Em três simulados um aluno obteve 21, 19 e 23 acertos.
As médias são:
Aritmética simples: M = (21+19+23)/3 = 21
3
Geométrica:
Mg =  21x19x23 = 20,93
Harmônica:
Mh =
1
= 20,87
(1/21 + 1/19 + 1/23)/3
Obs.:
1) Se os elementos são positivos, então Mh  Mg  M.
2) Quanto mais dispersos são os elementos, menor é a média harmônica.
21
Mottola
5. Moda e Mediana
A média aritmética dá uma idéia do perfil do conjunto. Mas, em certos casos,
esta idéia poderá ser enganosa. Vamos supor, por exemplo, que se queira preparar uma
refeição para seis pessoas com uma média de idade de dez anos. Qual a refeição mais
apropriada?
Sabendo que as idades são 1, 2, 2, 2, 3 e 50, você manteria a decisão?
Em casos como estes outras medidas são necessárias, tais como a moda e a
mediana.
Temos as definições:
Moda: é o elemento com a maior freqüência absoluta.
Mediana: colocando-se em ordem crescente os n elementos da amostra, sendo n
ímpar, é o elemento que ocupa a posição central, ou seja, o que ocupa a posição (n+1)/2.
Se n for par, é a média dos elementos centrais, ou seja, dos que ocupam as
posições n/2 e a seguinte.
EXEMPLOS:
1) As notas de dez alunos foram: 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 8 e 9.
Média Aritmética: M = (4+4+5+5+5+6+6+7+8+9)/10 = 5,9
Moda: 5
Mediana: os elementos centrais das notas: 4, 4, 5, 5, 5 , 6 , 6, 7, 8, 9 são 5 e 6.
Logo, a mediana é 5,5.
2) As massas de 15 alunos são apresentadas na tabela:
Faixas em kg
[50, 60)
[60, 70)
[70, 80)
[80, 90]
Freqüências
2
4
6
3
A tabela corresponde às massas:
55, 55, 65, 65, 65, 65, 75, 75 , 75, 75, 75, 75, 85, 85, 85.
oitavo
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Média: (2x55 + 4x65 + 6x75 + 3x85)/15 = 71,66
Moda: 75
Mediana: dos 15 elementos, o da posição central é o oitavo, obtido por (15+1)/2, que
está no intervalo [70, 80). Logo, a mediana é 75.
6. Desvio Médio
Além da média, moda e mediana, uma importante informação é o “grau de
espalhamento” dos elementos. No exemplo apresentado, em que as idades das pessoas
são 1, 2, 2, 2, 3 e 50, com média 10, moda 2 e mediana 2, a escolha do prato mais
adequado ao grupo seria melhor feita se pudéssemos medir a dispersão das idades.
Isto pode ser feito com o desvio médio, que informa quanto, em média, os
elementos se distanciam do valor médio.
Seja A={x1, x2, ... , xn} uma amostra com média M. O desvio de um elemento xk
é a distância dele até a média, ou seja |xk – M|. A média de todos os desvios é o desvio
médio Dm.
Ou seja,
n
Dm = (|x1 – M| + |x2 – M| + ...+ |xn – M| ) / n = (  | xk – M| ) / n
k=1
EXEMPLO:
A figura mostra o número de alunos que acertaram n questões em um teste, ou
seja, a freqüência absoluta f de cada número de acertos.
f
4
3
2
1
3 5 6 7
n
A média de acertos dos 10 alunos é M = (2x3 + 3x5 + 4x6 + 1x7)/ 10 = 5,2
Organizando em uma matriz, temos:
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Acertos
Freqüências
absoluta
3
5
6
7
2
3
4
1
Somas
Desvios
Desvios X
freqüências
|3-5,2|=2,2
|5-5,2|=0,2
|6-5,2|=0,8
|7-5,2|=1,8
4,4
0,6
3,2
1,8
10
10
Desvio Médio: 10 / 10 = 1
7. Variância
A eficiência de um curso pré-vestibular pode ser medida pelo percentual de
aprovados. Mas há também outras formas de medir, como, por exemplo, pelo número
de aprovados em Medicina por ano. Qual a melhor forma? Vai depender da proposta do
curso.
Podemos medir quanto os elementos se afastam da média de diversas maneiras.
A escolha da medida de dispersão vai depender da informação desejada.
O desvio médio, como vimos, é a média aritmética das distâncias dos elementos
até o valor médio. A variância é a média aritmética dos quadrados das distâncias dos
elementos até o valor médio. Para se obter a variância, basta elevar cada desvio ao
quadrado na definição de desvio médio.
Ou seja,
n
V = ((x1 – M) + (x2 – M) + ...+ (xn – M) ) / n = (  (xk – M)2 ) / n
k=1
2
2
2
EXEMPLO:
Vamos considerar o exemplo anterior, onde f é a freqüência do número de
acertos n em um teste.
f
4
3
2
1
3 5 6 7
n
Como vimos a média é 5,2.
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Organizando em uma matriz, temos:
Acertos
Freqüências Desvios
absolutas
ao quadrado
3
5
6
7
Somas
2
3
4
1
10
(3-5,2)2=4,84
(5-5,2)2=0,04
(6-5,2)2=0,64
(7-5,2)2=3,24
8,76
Desvios ao quadrado X
freqüências absolutas
9,68
0,12
2,56
3,24
15,6
Variância:
15,6 / 10 = 1,56
8. Desvio Padrão
O desvio padrão é outra forma de medir a dispersão dos elementos de uma
amostra. Na variância, elevamos os desvios ao quadrado, produzindo certa
“deformação” na medida.
Uma maneira de “compensar” esta deformação é extrair a raiz quadrada,
obtendo-se o desvio padrão.
Assim, temos a definição:
O Desvio Padrão é a Raiz Quadrada da Variância
EXEMPLO: No exemplo anterior, o desvio padrão do número de acertos é
 1,56
= 1,24
Obs.:
1) O desvio padrão é representado por  e a variância por 2.
2) No exemplo anterior, temos Dm=1, 2=1,56, =1,24, sendo sempre   Dm .
3) O desvio padrão de valores iguais é nulo. Quanto menor for o desvio padrão, mais
homogênea é a amostra.
4) A variável e o desvio padrão têm a mesma unidade. A unidade da variância é o
quadrado da unidade da variável.
25
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5) O gráfico formado pelos pontos (x , y), onde x é uma variável da amostra e y a
freqüência absoluta de x, aproxima-se de uma curva quando o tamanho da amostra
aumenta. Um conjunto de dados definirá uma Distribuição Normal quando a curva
apresentar o formato de sino, como na figura.
y
A
B
M- M M+
x
O intervalo [M-, M+] contém 68,2% dos valores para x, valor aproximado por 2/3.
O intervalo [M-2, M+2] contém 95,4% dos valores para x.
6) Esta curva, chamada de normal, é simétrica em relação à média, que coincide com a
mediana e a moda. Os pontos de inflexão A e B, ou seja, onde há troca de concavidade,
ocorrem em M- e M+.
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EXERCÍCIOS
1) Em um lote de 3000 peças, a freqüência relativa de peças defeituosas é 0,015. O
número de peças NÃO defeituosas é
(a) 2985
(b) 2975
(c) 2955
(d) 2850
(e) 2550
2) A diferença entre a média aritmética e a média harmônica dos elementos 2, 4 e 6 está
no intervalo
(a) [0 ; 0,25)
(b) [0,25 ; 0,5)
(c) [0,5 ; 0,75)
(d) [0,75; 1)
(e) [1; 1,25)
3) Considere as afirmações:
(I) Se Mh, Mg e M são, respectivamente, as médias harmônica, geométrica e
aritmética de um conjunto de elementos, então M  Mg  Mh.
(II) A média harmônica dos elementos 4 e 6 é menor do que a dos elementos 3 e 7.
(III) Para elementos positivos, as médias aritmética, geométrica e harmônica podem
coincidir.
(a) Todas são verdadeiras.
(b) Todas são falsas.
(c) Só a primeira é verdadeira.
(d) Só a segunda é verdadeira.
(e) Só a terceira é verdadeira.
4) Na tabela encontram-se as freqüências acumuladas das notas de alunos de uma
turma:
Notas Freqüências
acumuladas
5
4
6
9
7
12
A média aritmética das notas está no intervalo
(a) [5 ; 5,5)
(b) [5 ; 6)
(c) [6 ; 6,5)
(d) [6,5 ; 7)
(e) [7 ; 7,5]
27
Mottola
5) Na tabela encontram-se as freqüências dos pesos de um grupo de pessoas em
intervalos:
Intervalos em Kg Freqüências
[50 , 60)
[60, 70)
[70, 80)
[80 , 90]
5
7
7
4
O valor que mais se aproxima da freqüência relativa da mediana é
(a) 20%
(b) 25%
(c) 30%
(d) 35%
(e) 40%
6) Na figura, encontram-se as freqüências n das alturas h das alunas de uma turma,
medidas em metros.
n
4
3
2
1
h
1,55
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
1,60
1,65
1,70
Os valores da mediana e da moda, em metros, respectivamente, são:
1,60 e 1,625
1,625 e 1,60
1,625 e 1,65
1,65 e 1,625
1,65 e 1,60
7) (PUC-SP) O histograma abaixo representa a distribuição de freqüência das faixas
salariais numa pequena empresa.
14
número de
funcionário
s
4
2
500 1000 1500 2000 2500
salários
em reais
Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a média desses salários é,
aproximadamente,
(a) R$ 420,00
(b) 536,00
(c) R$ 562,00
(d) 640,00
(e) 708,00
28
Mottola
8) (FGV) A tabela a seguir apresenta a distribuição de freqüências dos salários de um
grupo de 50 empregados de uma empresa, num certo mês.
Número da
classe
Salário do mês
em reais
1
2
3
4
1000  2000
2000  3000
3000  4000
4000  5000
Número de
empregados
20
18
9
3
O salário médio desses empregados, nesse mês foi de
(a) R$ 2 637,00
(b) R$ 2 520,00
(c) R$ 2 590,00
(d) R$ 2 420,00
(e) R$ 2 400,00
9) A variância e o desvio médio dos números 4, 4, 6, 8, 8, respectivamente, são
(a) 3,2 e 1,6
(b) 1,6 e 3,2
(c) 3,2 e 1,5
(d) 1,6 e 3,0
(e) 1,5 e 3,2
10) Na curva normal do gráfico, y é a freqüência absoluta de x e A e B são pontos de
inflexão, distantes 1,62 unidades. A variância desta distribuição é
y
A
B
x
(a) 0,6561
(b) 0,81
(c) 0,9
(d) 1,621/2
(e) 1,622
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RESPOSTAS
1) C
2) C
3) E
4) B
5) C
6) C
7) E
8) E
9) A
10) A
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RESOLUÇÃO
1) A freqüência relativa do número de peças defeituosas (Fr) é a razão entre o número
p
p
de peças defeituosas (p) e o total de peças (T):
0,015 
Fr 
3000
T
p=30000,015=45.
Se há 45 peças defeituosas, então há 3000-45=2955 peças não
defeituosas.
3
246
 4 . A média harmônica é M h 
1 1 1
3
 
2 4 6
1 1 1 6  3  2 11
3 3  12 36
  

Mh 


 3,27
11
2 4 6
12
12
11
11
12
M - Mh = 4-3,27 = 0,73, que está no intervalo [0,5 ; 0,75)
2) A média aritmética é M 
3) (I) é F: A Mh é no máximo igual à M. Só é igual, quando todos os elementos são
iguais, ou seja, quando a dispersão é nula. Logo, M  Mh, sendo falsa a afirmação de
que M Mg  Mh.
(II) é F: 4 e 6 estão mais próximos do que 3 e 7, havendo uma menor dispersão.
Logo, a média harmônica de 4 e 6 é maior do que a de 3 e 7.
(III) é V: Para elementos iguais, as médias aritmética, geométrica e harmônica sempre
coincidem.
4)
Notas Freqüências
acumuladas
5
4
6
9
7
12
Como as freqüências são acumuladas, houve 4 notas 5, 5 notas 6
e 3 notas 7. A soma das 12 notas é 45+56+37=71.
A média aritmética é 71/12=5,91, que está no intervalo [5 ; 6).
31
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5)
Intervalos em Kg Freqüências
[50 , 60)
[60, 70)
[70, 80)
[80 , 90]
5
7
7
4
Sempre que há intervalos, deve-se considerar o ponto médio de cada intervalo.
Assim, a nossa tabela fica da seguinte forma:
Intervalos em Kg Freqüências
55
65
75
85
5
7
7
4
Há 5 pesos de 55 Kg, 7 pesos de 65 Kg,
7 pesos de 75 Kg e 4 pesos de 85 Kg, num
total de 23 pesos:
Em 23 elementos, o central é o 12° elemento
(há 11 antes e 11 depois).
Se há 5 pesos de 55 Kg e 7 pesos de 65 Kg, o 12° peso é, sem dúvida, de 65 Kg.
Logo, a mediana é 65. Há 7 pesos de 65 Kg, num total de 23 pesos. Logo, a
freqüência relativa deste peso é 7/23=0,3043, que equivale a 30,43 em 100, ou seja,
30,43%.
6)
4
n
3
2
1
h
1,55
1,60
1,65
1,70
Há 2 alunas com 1,55m, 3 com 1,60m, 4 com 1,65m e 1 com 1,70m, num total de 10
alunas.
Em 10 elementos, os centrais são os 5° e 6° elementos, ou seja, as alturas 1,60m e
1,65m. A média destes elementos centrais será a mediana, ou seja, 1,625m.
A altura que ocorre com a maior freqüência é 1,65m, sendo, portanto, a moda.
32
Mottola
7)
14
número de
funcionário
s
4
2
500 1000 1500 2000 2500
salários
em reais
Sempre que há intervalos, deve-se considerar o ponto central. Assim, temos o
quadro:
Salário
250
750
1250
1750
2250
Freqüência
14
4
2
2
2
14 funcionários recebem 250, 4 recebem 750, 2 recebem 1250, 2 recebem 1750 e 2
recebem 2250, num total de 24 funcionários.
A soma dos salários é 14250 + 4750 + 21250 + 21750 + 22250 = 17000.
A média aritmética é 17000/24 =708,33
8)
Número da
classe
Salário do mês
em reais
1
2
3
4
1000  2000
2000  3000
3000  4000
4000  5000
Número de
empregados
20
18
9
3
Considerando os pontos centrais, temos o quadro:
Salário
1500
2500
3500
4500
Freqüência
20
18
9
3
A soma dos salários é
201500 + 182500 + 93500 + 34500 = 120000.
A média aritmética é 120000/50 = 2400.
33
Mottola
9) Média dos elementos: (4+4+6+8+8)/5=6.
Diferença entre cada elemento e a média, ou seja, desvio de cada elemento:
4-6=-2, 4-6=-2, 6-6=0, 8-6=2, 8-6=2.
Soma dos quadrados dos desvios: (-2)2 + (-2)2 + 02 + 22 + 22 = 4 + 4 + 0 + 4 + 4 =16.
Média dos quadrados dos desvios: 16/5=3,2, que é a variância.
Os desvios são 2, 2, 0, 2, 2. A média dos desvios é (2+2+0+2+2)/5=1,6, que é o
desvio médio.
10)
y
A
B
x
A distância entre A e B, 1,62, é o dobro do desvio padrão. Logo, =1,62/2=0,81.
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, logo, a variância é 2 = 0,812 =
0,6561.
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