Aula 3

Registramos a décima parte da unidade
como 0,1, que é a forma decimal de .
Aula 3
Representações Decimais
Frações Decimais
São frações em que o denominador é uma
potência de 10.
A
centésima
parte
corresponde a 0,01:
Exemplos:
da
unidade
Toda fração decimal pode ser escrita na
forma decimal (escrita numérica com
vírgula)
Para uma melhor compreensão vamos ver
como funciona o nosso sistema de
numeração.
O sistema de numeração decimal é
posicional, isto é, o valor do algarismo
depende da posição que ele ocupa no
numeral conforme segue.
.... Unidades de Milhar
dezena
Unidade ....
A milésima parte da unidade corresponde
a 0,001:
centena
Cada posição da esquerda para a direita
corresponde a um grupo 10 vezes menor que
o anterior.
Por exemplo: Numeral
potências positivas de 10:
Assim, se continuarmos uma casa a direita
da casa das unidades, ela deve representar
uma quantidade 10 vezes menor, ou seja,
descrito com
Por exemplo: usamos as décimas partes da
Se prosseguirmos com o mesmo padrão,
criando ordens à direita da unidade, teremos:
.... Unidades ,
Milésimos ....
Décimos
unidade,
,
que
são
potências negativas de 10, para representar
as frações.
Centésimos
Exemplo:
Coloca-se uma vírgula para
separar a parte inteira da parte
Assim:
fracionária
Transformando uma fração decimal na
forma decimal finita
19
o número decimal sem a
A representação decimal de um número
racional consiste em escrever o numerador e
separar à direita da vírgula, tantas casas
quantos são os zeros do denominador.
Exemplos:
vírgula.
tantos zeros quantos forem os algarismos do
número decimal depois da vírgula.
Exemplos:
a)
a)
b)
b)
c)
c)
OBS: Quando a quantidade de algarismos do
numerador não é suficiente para colocar a
vírgula, acrescentamos zero à esquerda do
número.
Exemplos:
OBS: O número de casas depois da vírgula é
igual ao número de zeros do denominador.
Propriedades:
a)
b)
Zeros
após
o
último
algarismo
significativo: Um número decimal não se
altera quando se acrescenta ou se retira um
ou mais zeros à direita do último algarismo
não nulo de sua parte decimal.
Fique atento....
Exemplos:
A fração
a) 0,5 = 0,50 = 0,500 = 0,5000
pode ser escrita na forma mais
simples, como:
, onde 1 representa
a parte inteira e 27 representa a parte
decimal.
Esta notação subentende que a fração
pode se decomposta na seguinte forma:
b) 1,002 = 1,0020 = 1,00200
Multiplicação por uma potência de 10:
Para multiplicar um número decimal por 10,
por 100, por 1000, basta deslocar a vírgula
para a direita uma, duas, ou três casas
decimais.
Exemplos:
a) 7,4 x 10 = 74
b) 7,4 x 100 = 740
Transformando um número na forma
decimal finita em uma fração decimal
Para obter um número racional a partir de
sua representação decimal basta escrever
uma fração em que:
c) 7,4 x 1000 = 7400
Divisão por uma potência de 10: Para
dividir um número decimal por 10, 100, 1000,
20
etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda
uma, duas, três, .... casas decimais.
Exemplo: 1,34 <1,39 pois
Exemplos:
a) 247,5
10 = 24,75
b) 247,5
100 = 2,475
c) 247,5
1000 = 0,2475
u d c
1, 3 4
1, 3 9
iguais
Leitura dos números com representação
decimal
iguais 9>4
Obs: Para compararmos números racionais
ou racionais na forma decimal que são
negativos, basta compararmos os valores
absolutos dos números.
Exemplos:
0,6 = seis décimos
0,37 = trinta e sete centésimos
0,189 = cento e oitenta e nove milésimos
3,7 = três inteiros e sete décimos
13,45 = treze inteiros e quarenta e cinco
centésimos
Valor absoluto ou módulo de um número é
a distância do ponto que o representa até a
origem.
Exemplo: Determine o módulo de - 3.
O módulo de -3 é 3, pois -3 está a 3 unidades
de distância do ponto de abscissa zero.
130,824 = cento e trinta inteiros e oitocentos
e vinte e quatro milésimos
Comparação entre números na forma
decimal
Para compararmos dois números escritos na
forma decimal, primeiro comparamos as
partes inteiras. O maior número será aquele
que tiver a maior parte inteira.
Notação: |-3| = 3
Exemplo: 2,12 >1,98
Como
os
números
são
negativos,
comparamos os módulos. O número que
possui maior módulo é o menor deles.
Se as partes inteiras forem iguais,
comparamos as ordens dos décimos. Se
estas forem iguais, comparamos as ordens
dos centésimos e assim por diante, até
encontrarmos a ordem que seja ocupada por
algarismos diferentes. O maior número será
aquele que tiver o algarismo dessa ordem
com maior valor.
Exemplo: Determine qual número é menor:
?
Observe que:
Assim,
>
e
e
. Logo,
.
e
.
21
Operações
decimal
com
números
na
forma
3,19
b) 9,1 - 4,323=4,777
Adição de números na forma decimal
Para adicionar números na forma decimal
basta realizar os seguintes passos:
- iguale o número de casas decimais dos
números a serem somados, acrescentando
zeros. Dessa forma, as vírgulas ficarão
alinhadas;
- depois some milésimos, centésimos,
décimos, unidades e coloque todas as
vírgulas alinhadas.
Exemplos:
a) 0,3 + 0,81= 1,11
0,30
+ 0,81
--------1,11
b) 1,42 + 2,03 = 3,45
1,42
+ 2,03
-------3,45
9,100
- 4,323
-------4,777
Multiplicação
decimal
de
números
na
forma
Para compreender como a multiplicação
entre números na forma decimal, vejamos
um exemplo:
Uma torneira despeja 13,4 litros de água por
minuto em um tanque. Mantendo a mesma
vazão, quantos litros de água essa torneira
despejará em 17 minutos?
Solução: Podemos resolver este problema de
duas maneiras diferentes:
1ª maneira: transformando os decimais em
frações
c) 7,4 + 1,23 + 3,122= 11,752
7,400
+ 1,230
3,122
---------11,752
2ª maneira: multiplicando 13,4 por 10,
calculando 17x134 e dividindo o resultado
por 10.
Subtração de números na forma decimal
A subtração de números na forma decimal é
efetuada de maneira análoga a adição.
Exemplos:
a) 4,4 - 1,21=3,19
4,40
- 1,21
--------
Em 17 minutos, a torneira despejará 227,8
litros de água.
22
Exemplo: 4,21 x 2,1= 8,841
Exemplos:
a) 7,2
Divisão de números na forma decimal
Na divisão de números a forma decimal, o
dividendo e o divisor devem ter o mesmo
número de casas decimais. Devemos igualálas antes de começar a divisão.
3,51 =
Observe que o número de casas decimais é
o mesmo, pois 7,2=7,20. Para efetuar a
divisão, basta eliminar as vírgulas de ambos
os números e e dividi-los normalmente.
b) 11,7
2,34
Por exemplo: Faça a divisão de 42,5 por 5.
Para realizar a divisão entre esses números,
temos 2 opções:
1ª) transformar os números que estão na
forma decimal em uma fração.
O número de casas decimais é o mesmo,
pois 11,7=11,70. Para efetuar a divisão,
basta eliminar as vírgulas de ambos os
números e dividi-los normalmente.
c) 23
7=
Feito isso, basta dividir 425 por cinquenta.
2ª) Utilizar o algoritmo da divisão.
Neste caso, como 42,5 tem uma casa
decimal e o divisor não tem nenhuma,
igualamos as casas decimais escrevendo o
divisor 5 como 5,0.
Observe que após dividir 23 por 7, o resto
desta divisão é 2. Assim, como 2 é menor do
que 7, temos que adicionar um zero em 2 e,
dessa forma, acrescentamos uma vírgula no
quociente. Além disso, a divisão não é
exata, ou seja, o número 3,2 é um número
que representa um quociente aproximado por
falta, até o décimo. Podemos continuar a
divisão obtendo mais casas decimais para o
número 3,2.
Frações
Fração pode ser entendida como sendo um
número que exprime uma ou mais partes
iguais em que foi dividida uma unidade ou
um inteiro.
23
Assim, por exemplo, se tivermos uma pizza
inteira e a dividirmos em quatro partes iguais,
cada parte representará uma fração (um
quarto) da pizza.
Frações equivalentes
Duas ou mais frações que representam a
mesma quantidade de uma grandeza são
chamadas frações equivalentes.
Exemplo:
Então, uma fração significa dividir algo em
partes iguais. Assim: indica
, sendo a
e b números naturais, e
. O número a
representa o numerador e o número b
representa o denominador.
Luiz e Otávio ganharam barras de chocolate
do mesmo tamanho. Luiz dividiu seu
chocolate em 6 partes iguais e comeu 4
delas. Otávio preferiu dividir o seu em três
partes iguais e comeu 2 partes. Quem comeu
mais chocolates?
Solução:
Exemplo:
Observamos que
quantidades iguais:
Considerando fração
Otávio comeu
os
dois
comeram
do chocolate e Luiz comeu
do chocolate conforme ilustrado a seguir:
Temos que a unidade foi dividida em quatro
partes. Conforme a figura:
1/4
1/4
1/4
1/4
As frações
A parte sombreada indica uma parte da
figura, que representa
Leitura de frações
e
representam a mesma parte
da unidade e,
equivalentes.
por
Indicamos assim:
=
isso,
são
frações
Como reconhecer frações equivalentes?
Metade (um meio)
Quatro quintos
Para saber se
Três sétimos
equivalentes,
maneira:
Dois doze avos
1º Multiplicamos o numerador da primeira
fração pelo denominador da segunda fração:
e
, por exemplo, são
precedemos
da
seguinte
24
2º Multiplicamos o denominador da primeira
fração pelo numerador da segunda fração:
3º Comparamos os resultados obtidos. Se
obtermos dois produtos iguais, as frações
são equivalentes:
9 x 8 = 72 = 12 x 6
Portanto concluímos que:
=
Tipos de Frações
Fração propria: é aquela em que
numerador é menor que o denominador.
Ex.:
Exemplo:
- Duas frações que possuem a mesma forma
irredutível são equivalentes.
Simplificação de frações
Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la
em uma forma mais simples, para que a
mesma se torne mais fácil de ser
manipulada.
Exemplo:
a)
(9
b)
(2=2)
5)
Propriedades das Frações
Uma fração não se altera, quando se
multiplica seus dois termos pelo mesmo
número, sendo ele diferente de zero, ou
mesmo, fazendo a divisão dessa fração pelo
mesmo divisor comum.
Exemplos:
a)
A simplificação pode ser feita através dos
processos de divisão sucessiva ou pela
fatoração.
1) A divisão sucessiva corresponde a dividir
o numerador e o denominador pelo
mesmo número.
2)
Fração impropria: é aquela em que o
numerador é maior ou igual que o
denominador.
OBS:
- Quando multiplicamos ou dividimos os
termos de uma fração por um mesmo
número natural, diferente de zero, obtemos
uma fração equivalente à fração inicial.
(1
o
b)
Uma fração é alterada quando é adicionado
ou subtraido um valor igual tanto do
numerador quanto do denominador.
Exemplos:
a)
2) A fatoração corresponde em obter o
máximo
divisor
comum
entre
o
numerador e o denominador e dividir
ambos por esse valor.
Exemplo: Simplifique
.
Como m.d.c. (36,60) = 12, então:
b)
Operações fundamentais com frações
Adição: Há dois casos possiveis:
1º) Frações com denominadores iguais.
25
Neste caso, somamos os numeradores e
conservamos o valor do denominador.
Exemplos:
Subtração: Procede-se de maneira análoga
à adição.
a)
Por exemplo:
1º) Frações com denominadores iguais.
b)
Exemplo:
2º) Frações com denominadores diferentes.
Neste caso, reduzimos as frações ao mesmo
denominador comum e, em seguida
procedemos como no caso anterior.
Para reduzir duas ou mais frações ao mesmo
denominador comum, procedemos do
seguinte modo:
2º) Frações com denominadores diferentes.
Exemplo:
Como mmc (2,6) = 6, então:
-Calculamos o mmc dos denominadores.
Esse mmc será o menor denominador
comum.
mesmo denominador comum.
Multiplicação: O produto de duas ou mais
frações resulta em uma fração cujo
numerador
é
a
multiplicação
dos
numeradores
das
frações
a
serem
multiplicadas e o denominador é a
multiplicação dos denominadores das frações
a serem multiplicadas.
Como mmc(3,5,6)=30 então:
Exemplos:
-Dividimos o denominador comum pelo
denominador de cada fração e multiplicamos
o resultado pelo numerador dessa fração.
Exemplo: Reduza as frações
, ao
a)
b)
Inverso Multiplicativo:
Logo temos que:
=
Exemplo: Usando a redução ao mesmo
denominador comum, calcule:
a)
Toda fração (número racional) diferente de
zero possui um inverso multiplicativo.
Exemplo:
é o inverso de , pois:
=
Como mmc (4,2) = 4, então,
Para que um número seja o inverso
multiplicativo de outro número, o produto
entre eles deverá ser igual a 1.
26
Divisão: Para que haja a divisão entre
frações, multiplicamos a primeira fração pelo
inverso da segunda fração.
Exemplo:
Representando esses três números em uma
mesma reta numerada, teremos:
a)
As frações e a reta numérica
EXERCÍCIOS
Aula 3
As frações podem ser representadas
geometricamente na reta numerada.
Sejamos
um
exemplo:
representação geométrica
Obtenha
a
das frações
.
Quando os números estão na forma
fracionária, dividimos o segmento de reta que
representa a unidade de referência em partes
iguais, conforme o denominador da fração:
Dividimos a unidade em 2 partes iguais
Dividimos a unidade em 3 partes iguais
Dividimos a unidade em 6 partes iguais
01) Escreva por extenso, os seguintes
números decimais:
a) 4, 4
b) 0, 25
c) 3, 456
d) 2, 034
e) 15, 200
f) 25, 63
g) 65, 354
h) 78, 1234
i) 321, 225
j) 154, 890
k) 759, 1233
l) 564, 2000
m) 410, 6
n) 11, 312
o) 0, 005
02) Efetue as adições e subtrações:
a) 12, 48 + 19 =
b) 12, 5 + 0, 07 =
c) 12, 8 + 3, 27 =
d) 31, 3 + 29, 7 =
e) 107, 03 + 32, 7 =
f) 83, 92 + 16, 08 =
g) 275, 04 + 129, 3 =
h) 94, 28 + 36, 571 =
i) 189, 76 + 183, 24 =
j) 13, 273 + 2, 48 =
27
39, 73 =
03) Efetue as multiplicações e divisões:
a) 200 × 0, 3 =
b) 130 × 1, 27 =
c) 93, 4 × 5 =
d) 208, 06 × 3, 15 =
e) 0, 3 × 0, 7 =
f) 112, 21 × 3, 12 =
g) 12, 1 × 4, 3 =
h) 243, 5 × 2, 53 =
i) 357 × 0, 5 =
j) 793 × 0, 07 =
k) 3 ÷ 2 =
l) 21 ÷ 2 =
m) 7 ÷ 50 =
n) 9, 6 ÷ 3, 2 =
o) 4064 ÷ 3, 2 =
p) 1, 5 ÷ 2 =
q) 4, 8 ÷ 30 =
r) 1, 776 ÷ 4, 8 =
s) 7, 502 ÷ 12, 4 =
t) 0, 906 ÷ 3 =
u) 50, 20 ÷ 5 =
v) 21, 73 ÷ 1, 06 =
w) 35, 28 ÷ 9, 8 =
04) Efetue as expressões:
3, 5 + 2) =
06) Se um número racional está na forma
fracionária e um outro está na forma decimal,
é possível compará-los, escrevendo, por
exemplo, a fração na forma decimal. Podese, também, escrever o número decimal na
forma fracionária e efetuar a comparação
com o número que está na forma fracionária.
Qual é o maior número: 0,815 ou ?
07) Compare os números a seguir, colocando
<, > ou =
a)
b)
c)
08) Represente as frações na forma decimal:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
09) Converta os números que estão forma
decimal para a forma de fração irredutível:
a) 0,4
b) 1,2
c) 0,065
d) 3,75
e) 0,125
f) 0,025
10) Paulo Pintou
05) Efetue:
a) 36, 9 x 721 =
b) 36, 9 x 7, 21 =
c) 0, 369 x 7, 21 =
d) 3, 69 x 7, 21 =
e) 3, 69 x 0, 721 =
f) 0, 369 x 0, 721 =
g) 1, 2 0, 08 =
h) 3, 2 x 0, 25 =
i) 0, 15 x 0, 12 =
j) 123, 45679 x 0, 9 =
de uma figura que
representa um inteiro. Represente na forma
decimal a parte não pintada.
11) Identifique os decimais equivalentes a
1,2:
a) 102; b) 1,20; c) 1,200; d) 1,0020
12) Coloque uma vírgula no número 25314
de modo a obter:
a) um número menor que 3
b) um número maior que 100
c) um número maior que 2500 e menor que
2600.
28
13) Pensei em um número, adicionei 0,73 e
obtive 1,27. Em que número pensei?
14) Um reservatório de água tem um
vazamento e perde 0,15 litro por hora.
Supondo que o vazamento continue no
mesmo ritmo e que o reservatório continue
recebendo água, responda:
a) quantos litros esse reservatório perderá
em 27 horas?
b) quantos litros esse reservatório perderá
em uma semana?
15) Simplifique as frações:
a)
b)
c)
d)
16) Calcule:
a)
=
b)
c)
=
=
e)
=
g)
=
h)
i)
semana?
b) Quantos dias correspondem a do mês?
c) Quantas horas correspondem a
do dia?
d) Quantos minutos correspondem a
de
hora?
e) Quantos anos correspondem a
de
século?
19) Qual é o quociente?
a) 28,5 0,15
b) 0,625
c) 10,24 3,2
d) 3,408 0,04
e) 1,743 24,9
(resolva este exercício utilizando a divisão
pelo método da chave e também resolva-o
convertendo os decimais em fração para
fazer divisão entre frações)
21) A parede de uma cozinha tem 5,7 m de
comprimento. Ela será revestida com
azulejos de 0,15 m por 0,15 m. quantos
azulejos inteiros poderão ser colocados em
casa fila?
=
f)
da
20) Cálcule o quociente aproximado com
uma casa decimal após a vírgula.
a) 38
b) 138
c) 267 45
=
d)
18) Responda:
a) Quantos dias correspondem a
22) Nesta igualdade n
0,07 = 2, a letra n
representa um número racional. Qual é o
valor de n?
23)
=
Determine
qual
número
é
menor:
=
17) Em julho de 1969, os astronautas
americanos Armstrong e Aldrin foram os
primeiros homens a pisar na Lua, lá
permanecendo cerca de 21 horas. Mais
tarde, o segundo grupo que pisou na Lua
permaneceu cerca de uma vez e meia o
tempo dos primeiros. Quantas horas o
segundo grupo permaneceu na Lua?
23) Transforme as frações mistas a seguir
em frações impróprias:
a)
b)
29