Apresentação do PowerPoint - Unifal-MG

Educação
Matemática
MATEMÁTICA – LICENCIATURA
Professora Andréa Cardoso
OBJETIVO DA AULA:
Valorizar a linguagem
matemática na
resolução de problemas
científicos e sociais
Educação Matemática 2016/2 - Profª. Andréa Cardoso - Aula 17
29/09/2016
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UNIDADE I:
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E
ENSINO
Origem da
Álgebra:
Resolução de
Equações
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Na Europa, o ocidente toma conhecimento da matemática árabe,
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muito superior ao conhecimento europeu.
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• Afirmação
que
estabelece
igualdade entre duas expressões
matemáticas.
• Mesma raiz latina das palavras
igual e igualdade.
• Tem papel fundamental na Ciência.
• Consequentemente, na construção do
mundo moderno.
• Revelam os segredos da natureza.
Então, muda o curso da história.
Equação
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Telecomu
nicações
As Equações de
Maxwell
James Maxwell (1831-1879)
Matemático escocês
Michel Faraday (1791-1867)
Físico e químico inglês
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• Ciência
busca
o
estabelecimento de correlações
entre fatos, conceitos e ideias.
• Equações como linguagem,
para resolver problemas.
• Técnicas para encontrar valores
para a incógnita.
cos 𝑥
+ 𝑥 2 cos
3𝑥 = 5
Equação
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Tipos de
Equações
Algébricas
𝑎𝑥 2 + 𝑏 = 0
Exponen
ciais
𝑒 𝑥 + 3𝑥 = 1
2𝑥
𝑑
2𝑥 = 0
Diferenciais
+
𝜔
𝑑𝑡 2
Trigono
métricas
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• Os egípcios resolviam
pela técnica do número
falso, para resolver
problemas que recaiam
em equações do tipo
𝑎𝑥 = 𝑏
• Os povos
mesopotâmicos já
resolviam equações
quadráticas.
Contribuição Grega
“Os Elementos”
• Entidades iguais a uma
terceira são iguais entre si.
• Se a iguais somam-se ou
subtraem-se iguais, os
resultados permanecem iguais.
• A parte é menor que o todo
• Iguais multiplicados ou
divididos por iguais continuam
iguais.
• Uso de
geometria e
proporções.
Resolução de Equações
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“Lilavati e Vija-Ganita:
Qual é o número que,
multiplicado por 5,
aumenta depois 9, se
divide por 6, se multiplica
por si mesmo, se
acrescenta a 19 e, depois
de extraída a raiz
quadrada, diminui 2, se
divide por 4 e dá 2?”
(Bhaskara)
Texto
Operação
se divide por 4 e dá
2
2∙4=8
diminui 2
depois de extraída a
raiz quadrada
se acrescenta a 19
8 + 2 = 10
102 = 100
100 − 19 = 81
se multiplica por si
mesmo
81 = 9
aumenta depois 9
6 ∙ 9 = 54
54 − 9 = 45
multiplicado por 5
45: 5 = 9
se divide por 6
Indía: regra da inversão
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• A incógnita aparece apenas submetida às operações
aritméticas: adição, subtração, multiplicação, divisão,
potenciação inteira e radiciação.
• Exemplos:
Algébricas
Não algébricas
𝑎𝑥 2 + 𝑏 = 0
𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2 = 𝑒 𝑥
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
cos 𝑥 + 𝑥 2 cos 3𝑥 = 5
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 =
4
𝑥 3 + 8𝑥 = 64
𝑥 −2 = 4 + 𝑥 −3
𝑚𝑥 5 + 7𝑥 3 + 𝑘 = 8
• Caso Particular de Interesse: Equações Polinomiais
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0
Equações Algébricas
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com 𝑛 ∈ 𝑁 e 𝑎𝑖 ∈ 𝑅
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• Produto de práticas compartilhas com diversas civilizações
no contexto do império árabe.
• Álgebra como “Classificação e resolução de equações” .
Equações
Resolução de equações
lineares e quadráticas
Al-jabr
Al-muqabala
O livro da Restauração e
do Balanceamento
Al-Khwarizmi
Traduziu “Os Elementos”
para o árabe. (±800 d.C.)
A Álgebra árabe
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• Al-Khowarizmi reduziu as equações lineares e quadráticas
em seis tipos:
1. Quadrados iguais a raízes.
𝑎𝑥 2 = 𝑏𝑥
2. Quadrados iguais a números.
𝑎𝑥 2 =c
3. Raízes iguais a números.
4. Quadrados e número iguais a raiz.
5. Quadrados e raízes iguais a número.
b𝑥 =c
𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 𝑏𝑥
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 =c
6. Raízes e números iguais a quadrados.
𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎𝑥 2
Classificação Árabe das Equações
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Raízes
(jidhr)
𝑥
𝑥2
Quadrados
(mal)
Al-jabr
Simbologia atual
Qual é o quadrado que combinado com 10 de suas 𝑥 2 + 10𝑥 = 39
raízes é igual a 39 unidades?
10
A forma de resolver este tipo de equação é tomar
=5
metade das raízes. As raízes diante de nós são 10.
2
Portanto tomai 5
que multiplicado por si mesmo dá 25
um total que você vai adicionar a 39 resultando em
64
52 = 25
25 + 39 = 64
Tendo tomado a raiz desta que é 8
64 = 8
𝑥 =8−5=3
Subtrair metade das raízes deixando 3
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• Sridhara (Índia, século XI)
• Reduz o grau da equação, extraindo
raízes quadradas, para resolver
qualquer equação polinomial do
segundo grau.
Consequências:
• Equações podem ter mais do que
uma solução, na época positivas (é
claro!).
• Em alguns casos, a aplicação do
método conduzia a uma coisa
misteriosa.
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Em notação moderna,
o método hindu de
resolução
−𝑏 ± 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
𝑥=
2𝑎
O método aplicado a
𝑥 2 + 2𝑥 + 5 = 0
Produz raiz
quadrada de um
número negativo
A regra hindu para
resolução de Equações Quadráticas
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• Omar Khayyam, Império Persa, século XI.
• Poeta, matemático e astrônomo.
• Participou da a reforma do calendário
Persa, que ficou mais realístico que o
calendário Juliano utilizado na Europa.
• Construiu numerosas tabelas astronômicas.
• Enumerou 14 diferentes tipos de equações cúbicas, pois
não considerava números negativos.
• Seus tratados de Álgebra que foram difundidos na Europa
durante a Idade Média, refere-se a outros trabalhos seus
que, por infelicidade, estão hoje perdidos.
Resolução da Cúbica
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• Álgebra de natureza geométrica, resolveu equações lineares
e quadráticas por métodos que estão presentes na
Geometria de Euclides.
• Descobriu um método para
resolução
de
equações
cúbicas,
por
meio
da
intersecção de cônicas, pelo
menos em parte, este método
já havia sido descrito por
outros autores.
Álgebra de Omar Khayyam
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• A solução de uma equação cúbica
do tipo
𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
• Pode ser vista como a interseção de
duas cônicas.
÷ 𝑎𝑥
𝑥2
𝑏
𝑐
𝑑
+ 𝑥=− −
𝑎
𝑎 𝑎𝑥
parábola
hipérbole
Resolução de Equações Cúbicas
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• Resolução geométrica de
uma cúbica se dá pela
intersecção de duas curvas
cônicas,
construídas
no
mesmo plano cartesiano.
• Até o século XVI, as cúbicas
eram classificadas de acordo
com a posição do termo
quadrático, linear e numérico.
Cada tipo demandava um
método específico
Método de Khayyam
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Retórica
• Escrita com palavras,
sem uso de símbolos.
• al Khwarizmi,Bagdá,
séc.VIII.
• Euclides-Alexandria,
300 a.C.
Potência mais lado dobrado
mais três é igual a 0
Sincopada
• Abreviações e
alguns símbolos
para facilitar a
escrita.
• Diofanto
Alexandria,200
a.C.
Fases da Álgebra
ሶ
Δ 𝛼ς𝛽𝑀γ
γ
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Simbólica
• Extenso uso de
símbolos.
• Viete &
Descartes
Europa, séc.
XVII.
𝑥 quad+𝑥2 + 3 é igual 0
𝑥 2 + 2𝑥 + 3 = 0
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• A tradução das obras árabes para o latim, trouxeram além
dos métodos algébricos e aritméticos, o desenvolvimento
da simbologia.
• A raiz
Jidhr
(coisa)
Radix
(raiz)
R
(letra r)
• O desenvolvimento da simbologia ocorre principalmente na
Itália, Alemanha, Inglaterra e França.
Os símbolos da Álgebra
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• François Viète (1540 - 1603), advogado francês conhecido
com “O pai da Álgebra”, foi substituindo aos poucos
substituindo as palavras por símbolos nas equações.
• Introduziu os sinais ( + ) mais e ( - ) menos, a palavra “in”
para multiplicação.
• Um passo importante foi representar os coeficientes junto
às incógnitas por consoantes.
Viète
Simbologia atual
B in A é igual a C
B in A área + C in A é igual a 0
𝑎𝑥 = 𝑏
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0
Os símbolos da Álgebra
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A Álgebra simbólica foi completada por René Descartes
(1596-1650) que:
• Introduziu o sinal (=) criado por Robert Recorde (15101558) e substituiu o sinal “in” por ( · ) para multiplicação;
• Criou a notação de expoentes que usamos até hoje;
• Usou as primeiras letras do alfabeto para os coeficientes;
• E as últimas letras para representarem as incógnitas.
B in A área + C in A + D é igual a 0
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝟎
Os símbolos da Álgebra
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“Para evitar a tediosa repetição destas palavras: é igual
a: vou estabelecer como frequentemente faço no
trabalho, um par de paralelas, ou linhas gêmeas de
mesmo comprimento: =====, porque não pode haver 2
coisas mais iguais.”
(Robert Recorde, The Whetstone, 1557)
Os símbolos da Álgebra
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• GARBI, G. O romance das equações algébricas. 2003.
• GUELLI, O. Equação: o idioma da álgebra. Contando a
história da matemática. São Paulo: Ática, 2003.
• ROQUE, T.; CARVALHO, J.B.P. Tópicos de história da
matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2012.
Referências
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1. Como era a Álgebra da Antiguidade e da Idade Média?
2. Qual a contribuição de hindus, árabes e europeus em
relação ao desenvolvimento da Álgebra?
3. O que é uma cúbica? Como era resolvida?
4. Qual a importância da
desenvolvimento da Álgebra?
simbologia
para
o
Atividade Aula 17
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