Aula 17 | Extra

Analise as imagens a seguir e responda a questão 1:
1. Esse quadro de decoração é um porta-rolhas. Sabe-se que o raio da base de uma rolha
cilíndrica é 1cm e a altura 4,5cm. Quantas rolhas cilíndricas, aproximadamente, cabem
nesse quadro? Despreze a espessura da moldura. (Use   3,14 )
a)
b)
c)
d)
e)
1 173 rolhas
117 rolhas
678 rolhas
897 rolhas
990 rolhas
.
2. A festa de aniversário de minha filha está chegando e o tema será circo. Quantos
centímetros quadrados de cartolina decorada, aproximadamente, vou gastar para fazer 50
chapéus de palhaço de altura 35cm e raio da base 10cm?
(Use   3,14 )
a)
b)
c)
d)
e)
1 142,96 cm²
11 429,6cm²
34 288,8 cm²
45 718,4 cm²
57 148 cm²
3. Para o final de ano, a avó de Carlos gostaria de reaproveitar as bolinhas da árvore de
Natal e recobri-las com pano estampado.
a) Quantos centímetros quadrados de tecido ela irá gastar para recobrir as 100
bolinhas de Natal, sabendo que o raio de cada bolinha é 2cm? (Use   3,14 )
b) Quanto ela irá gastar se o metro quadrado do tecido estampado é R$ 12,00?
4. Observe essa esfera de raio 10 cm que foi cortada em 24 fatias e cada fatia tem a forma
de uma cunha esférica, representada na figura abaixo.
a) Calcule o volume da cunha esférica, em cm3.
b) Calcule a área total da cunha esférica.
5. A segunda pirâmide mais famosa é chamada de Quéfren, na região do Egito. A base
dessa pirâmide é um quadrado de lado 215 metros e altura 143 metros. Qual é o volume,
em m3, dessa pirâmide?
a)
b)
c)
d)
e)
2 230 391 m3.
15 408 m3.
1 465 511 m3.
30 745 m3.
92 235 m3.
6. Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao
final de um minuto do início das observações, existia 1 elemento na população; ao final de
dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte seqüência de figuras apresenta as
populações do vírus (representado por um círculo) ao final de cada um dos quatro
primeiros minutos.
Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, qual é o
número de vírus no final de 1 hora?
7. Qual é o vigésimo oitavo termo da PA.(3, 8, ...)?
(Obs: Não será considerada a contagem um a um, é necessário aplicação da fórmula)


15
8. O coeficiente de x 15 no desenvolvimento de x 2  x 3
é:
a) 455
b) 500
c) 555
d) 643
e) 600
9. Uma urna contém 3 bolas: uma verde, uma azul e uma branca. Tira-se uma bola ao
acaso, registra-se a cor e coloca-se a bola de volta a urna. Repete-se essa experiência
mais duas vezes. Qual a probabilidade de serem registradas três cores distintas?
10. Onze cubinhos, todos possuindo a mesma aresta, foram colados, conforme a figura a
seguir. O menor número de cubinhos, iguais aos já utilizados, que devem ser agregados
ao sólido formado pelos onze cubinhos, para obtermos um cubo maciço é igual a:
a) 48.
b) 49.
c) 52.
d) 53.
e) 56.
11. Esse caminhão é usado principalmente para o armazenamento e transporte de
gasolina, diesel, petróleo bruto, óleo de lubrificação. Sabendo que seu comprimento é
12m, largura 5m, e profundidade 3,4m
Ele já passou em alguns
nesse momento com ¼ de
Quantos litros ainda restam nesse caminhão? (Use   3,14 )
a)
b)
c)
d)
e)
postos e está
sua capacidade.
235 500 litros.
47 100 litros.
58 875 litros.
117 750 litros.
78 500 litros.
12. Para o aniversário de meu sobrinho, minha irmã encomendou 50 desses cones de
brigadeiro para enfeitar a mesa do bolo e distribuir entre os convidados.
Dados da casquinha: - altura: 12 cm
- diâmetro: 10 cm
- geratriz: 13 cm
(Use   3,14)
a) Qual é o volume, em cm³, de brigadeiro que minha irmã vai ter que fazer para
preencher todos os 50 cones?
b) Qual é, em cm², a área de uma casquinha de sorvete?
13.Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base
quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide, 3m. As telhas para cobrir esse
telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m². Supondo que possa haver 10 lotes de
telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser
comprado é:
a) 90
b) 100
c) 110
d) 120
e) 130
14. Uma moça seria contratada como balconista para trabalhar de segunda a sábado nas
duas últimas semanas que antecederiam o Natal. O patrão ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro
dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A moça
recusou o trabalho. Se ela tivesse aceitado a oferta, quanto teria recebido pelos 12 dias de
trabalho?
9
1

15. O coeficiente do termo em x no desenvolvimento do binômio  x 2   é:
x

3
a) 252
b) 138
c) 264
d) 126
e) 132
16. Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja 4
ou 5?
17. A aresta do cubo representado na figura mede 20 cm. A área da secção representada
pelo triângulo EDG,
em cm2, é:
a) 100 6
b) 25 6
c) 200 3
d) 20 3
e) 200 2
a + a6 = -320
18. Em uma P.G. de razão positiva sabe-se que  4
. Determine o quinto termo
a4 - a6 = 192
dessa P.G.
19. Todos os anos uma fábrica aumenta a produção em uma quantidade constante. No 5º
ano de funcionamento, ela produziu 1460 peças, e no 8º ano, 1940. Quantas peças, então,
ela produziu no 1º ano de funcionamento?
a) 520
b) 475
c) 598
d) 621
e) 820
20. Uma praga atacou uma criação de aves. No primeiro dia, uma ave adoeceu; no
segundo dia, duas outras aves adoeceram; no terceiro dia, adoeceram mais quatro e
assim por diante, até o oitavo dia. Nenhuma das aves morreu. Sabendo-se que ao fim do
oitavo dia não havia nenhuma ave sem a doença, qual é o total de aves dessa criação?
21. Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus. Ao
final de um minuto do início das observações, existia 1 elemento na população; ao final de
dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte seqüência de figuras apresenta as
populações do vírus (representado por um círculo) ao final de cada um dos quatro
primeiros minutos.
Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, qual é o
número de vírus no final de 1 hora?
21. Leia com atenção a história em quadrinhos.
Considere que o leão da história tenha repetido o convite por várias semanas. Na primeira,
convidou a Lana para sair 19 vezes; na segunda semana, convidou 23 vezes; na terceira,
27 vezes e assim sucessivamente, sempre aumentando em 4 unidades o número de
convites feitos na semana anterior. Imediatamente após ter sido feito o último dos 492
convites, qual era o número de semanas já decorridas desde o primeiro convite?
22. Nos quilômetros 31 e 229 de uma rodovia estão instalados telefones de emergência.
Ao longo da mesma rodovia e entre estes quilômetros pretende-se instalar 10 outros
telefones de emergência. Se os pontos adjacentes de instalação dos telefones estão
situados a uma mesma distância, qual é esta distância, em quilômetros?
23. Uma moça seria contratada como balconista para trabalhar de segunda a sábado nas
duas últimas semanas que antecederiam o Natal. O patrão ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro
dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A moça
recusou o trabalho. Se ela tivesse aceitado a oferta, quanto teria recebido pelos 12 dias de
trabalho?
24. Sempre quando alguém perguntava sobre as idades dos 3 filhos da professora
Geralda, de Matemática, ela respondia de uma maneira bem enigmática:
“O mais novo tem (x + 10) anos, o do meio tem (4x + 6) anos e o mais velho, (3x² - 4)
anos”.
Mas para saber exatamente a idade deles ela completava: “As idades dos meus filhos são,
nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão aritmética”.
Qual é a idade do filho mais novo de Geralda?
25. Considere uma prova de Matemática constituída de quatro questões de múltipla
escolha, com quatro alternativas cada uma, das quais apenas uma é correta.
Um candidato decide fazer essa prova escolhendo, aleatoriamente, uma alternativa em
cada questão.
Então, é correto afirmar que a probabilidade de esse candidato acertar, nessa prova,
exatamente uma questão é
26. Determine o 201o termo da P.A. 530, 510, 490, 470,  .
27. Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8 cm e a aresta da base
mede 2 3 cm . Calcule o volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos.
a)
b)
c)
d)
e)
27
64
27
256
9
64
9
256
27
512
28. Um aluno prestou vestibular em apenas duas Universidades. Suponha que, em uma
delas, a probabilidade de que ele seja aprovado é de 30%, enquanto na outra, pelo fato de
a prova ter sido mais fácil, a probabilidade de sua aprovação sobe para 40%. Nessas
condições, a probabilidade de que esse aluno seja aprovado em pelo menos uma dessas
Universidades é de:
a)70%
b)68%
c)60%
d)58%
e)52%
29. Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírculo de raio 20cm. Com essa
cartolina, um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre
uma mesa. Qual a distância do bico do chapéu à mesa? Dica: com um semicírculo se
origina um cone eqüilátero.
0DLVTXHVW}HVFRPUHVSRVWD
QUESTÕES RESOLVIDAS
1) Determine o 201o termo da P.A. 530, 510, 490, 470,  .
Solução
a1 = 530
n = 201
r = a2 – a1 = 510 – 530 = – 20
a201 = ?
an = a1 + ( n – 1). r
a201 = a1 + 200. r
a201 = 530 + 200. (– 20)
a201 = 530 – 4000
a201 = – 3470
2) Numa P.A., temos a1 =
Solução
1
2
a6 = 5
r= ?
a1 =
an = a1 + ( n – 1). r
R: a201 = –3470
1
e a6 = 5. Calcule a razão dessa P.A..
2
a6 = a1 + 5.r
1
5=
+ 5.r
2
1
5 r= 5 –
2
5 r=
9
2
 r=
9
10
R: r =
9
10
3) O décimo termo de uma P.A. de razão –5 é –17. Calcule o 1o termo.
Solução
a10 = –17
r = –5
a1 = ?
an = a1 + ( n – 1). r
a10 = a1 + 9.r
–17 = a1 + 9.( –5)
–17 = a1 –45
–17 + 45 = a1
a1 = 28
R: a1 = 28
4) Quantos termos tem a P.A. (4, 9, 14,, 59)?
Solução
a1 = 4
r = a2 – a1 = 9 – 4 = 5
an = 59
n=?
an = a1 + ( n – 1). r
59 = 4 + ( n – 1). 5
59 = 4 + 5n – 5
59 = 5n – 1
5n = 60
n = 12
R: n = 12
5) Uma criança anêmica pesava 8,3 kg. Iniciou um tratamento médico que fez com que
a
engordasse 150 g por semana durante 4 meses. Quanto pesava ao término da 15 semana
de trata-mento?
Solução
A sequência (8300, 8450, 8600, ...) é uma P.A. onde a1 = 8300g é o peso inicial da
criança,
a2 = 8450g o peso da criança ao término da 1ª semana de tratamento, a3 =
8600g o peso ao término da 2ª semana e, assim por diante. Assim, o termo a16 representa
o peso da criança ao término da 15ª semana:
a1 = 8300
r = 150
a16 = ?
an = a1 + ( n – 1). r
a16 = a1 + 15.r
a16 = 8300 + 15.150
a16 = 8300 + 2250 = 10550
A criança pesava ao término da 15ª semana 10550g ou 10,55 kg.
6) As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x e x2 – 5, e nessa ordem
formam uma P.A. Qual é o perímetro do triângulo?
Solução
2
A sequência (x+1, 2x, x –5) é uma P.A., então a razão é constante. Logo,
r = a2 – a1 = a3 – a2
Assim,
2
2x – (x +1) = x – 5 – 2x
2
2x – x – 1= x – 5 – 2x
2
x – 3x – 4 = 0
x
x
  3  
 32  4.1. 4
2 .1
3  9  16 3  25 3  5


2
2
2
x1 = 4 ou x2 = –1 (não serve, pois a medida do lado de um triângulo é positiva). Logo, x = 4
e os lados do triângulo medem:
x +1 = 4+1 = 5
2x = 2.4 = 8
2
2
x –5 = 4 –5 = 16–5 = 11.
Portanto, o perímetro do triângulo é 5+8+11=24.
7) Nos quilômetros 31 e 229 de uma rodovia estão instalados telefones de emergência. Ao
longo da mesma rodovia e entre estes quilômetros pretende-se instalar 10 outros telefones
de emergência. Se os pontos adjacentes de instalação dos telefones estão situados a uma
mesma distância, qual é esta distância, em quilômetros?
Solução
Este é um problema de interpolação aritmética: inserir 10 meios aritméticos entre 31 e 229,
formando, assim, uma P.A. de 12 elementos cujos termos representam os km onde cada
poste será instalado e a razão, a distância entre os postes. Então:
a1 = 31
a12 = 229
r=?
an = a1 + (n – 1). r
a12 = a1 + 11r
229 = 31 +11r
229 – 31= 11r
11r = 198
r = 18
A distância entre os postes é de 18 km.
8) Imagine que fossem construídos outros quadrados conforme sugerem as figuras. Observe
a seqüência que indica o número de pontos assinalados de cada figura. Esses números
formam uma progressão aritmética. Escreva o termo geral dessa progressão.
Solução
A sequência que indica o número de pontos assinalados de cada figura éuma P.A.:
(4, 8, 12, ...)
Então, seu termo geral é dado pela fórmula:
an = a1 + ( n – 1). r
an = 4 + ( n – 1).4
an = 4 + 4n – 4
an = 4n
R: an = 4n
9) Quantos múltiplos de 3 existem entre 10 e 95?
Solução
A sequência de múltiplos de 3 compreendidos entre 10 e 95 forma uma P.A. de razão 3.
Assim, o número de termos dessa sequência representa o número de múltiplos de 3 que
existem entre 10 e 95. Então temos a sequência:
(12, 15, 18, ..., 93)
a1 = 12
r=3
an = 93
n=?
an = a1 + ( n – 1). r
93 =12 + ( n – 1).3
93 = 12 + 3n – 3
93 = 9 + 3n
3n = 93 – 9
3n = 84
n = 28
Existem 28 múltiplos de 3 entre 10 e 95.
10) Interpole nove meios aritméticos entre –10 e 50.
Solução
Inserir (ou interpolar) 9 meios aritméticos entre
elementos onde a1 = –10 e a11 = 50. Então:
a1 = –10
a11 = 50
r=?
an = a1 + (n – 1). r
a11 = a1 + 10r
50 = –10 +10r
50 + 10 = 10r
10r = 60
–10 e 50, é formar uma P.A. de 11
r=6
Portanto, a P.A. é:
(–10, –4, 2, 8, 14, 20, 26, 32. 38, 44, 50)
11) Calcule a soma dos 38 primeiros termos da P.A. (12, 5, 2, ...).
Solução
a1 = 12
r = a2 – a1 = 5 – 12 = –7
a38 = ?
S38 = ?
Cálculo de a38
an = a1 + (n – 1). r
a38 = a1 + 37r
a38 = 12 + 37. (–7)
a38 = 12 – 259
a38 = –247
Cálculo de S38
Sn 
S38
S 38
S 38
S38
S 38
n a1  an 
2
38 a1  a38 

2
38 12  247 

2
38  235 

2
 19.  235 
 4465
A soma dos 38 primeiros termos da sequência é – 4465.
12) Numa cerimônia de formatura de uma
faculdade, os formandos foram dispostos
em 20 filas de modo a formar um triângulo, com 1 formando na primeira fila, 3
formandos na segunda fila, 5 na terceira, e assim por diante, constituindo uma
progressão aritmética. Qual é o número total de formandos?
Solução
A sequência (1, 3, 5, 7, ...) indica o número de formandos por fila, onde:
a1 = 1
r=2
n = 20
Devemos calcular a soma dos 20 primeiros termos dessa sequência e assim
obteremos o número total de formandos.
Cálculo de a20:
an = a1 + (n – 1). r
a20 = a1 + 19r
a20 = 1 + 19. 2
a20 = 1 + 38
a20 = 39
Cálculo de S20
Sn 
S 20
S 20
S 20
S 20
S 20
n a1  an 
2
20 a1  a 20 

2
20 1  39 

2
20 . 40

2
 10 . 40
 400
O número total de formandos é 400.
13) Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população de vírus.
Ao final de um minuto do início das observações, existia 1 elemento na população;
ao final de dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte seqüência de
figuras apresenta as populações do vírus (representado por um círculo) ao final de
cada um dos quatro primeiros minutos.
Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, qual
é o número de vírus no final de 1 hora?
Solução. A sequência (1, 5, 9, 13, ...) indica as populações do vírus ao final de cada
minuto. Em uma hora há 60 minutos. Logo, devemos calcular o termo a60.
a1 = 2
r=4
a60 = ?
an = a1 + (n – 1). r
a60 = a1 + 59r
a60 = 1 + 59. 4
a60 = 1 + 236
a60 = 237
O número de vírus ao final de uma hora é 237.
14) Três irmãos têm suas idades formando uma P.A. Sabendo que a soma das idades dos três
é 36 anos e a diferença de idade do mais velho para o mais novo é 10 anos, calcule a
idade de cada um deles
Solução
As idades dos três irmãos formam uma P.A.. Vamos representar essa P.A. por:
(x – r, x, x + r)
Como a soma das idades dos três é 36 anos e a diferença de idade do mais velho para o
mais novo é 10 anos temos o seguinte sistema:
 x - r + x + x + r = 36
 3x = 36  x  12


x  r - x - r   10
x  r - x  r  10  r  5
Então:
x – r = 12 – 5 = 7
x =12
x + r = 12 + 5 = 17
Logo, as idades dos irmãos são: 7,12 e 17anos.
15) Um terrreno será vendido através de um plano de pagamentos mensais em que o primeiro
pagamento de R$ 500,00 será feito 1 mês após a compra, o segundo de R$ 550,00 será
feito 2 meses após a compra, o terceiro de R$ 600,00 será feito 3 meses após a compra, e
assim por diante. Sabendo que o preço total do terreno é de R$ 22 550,00, qual é o
número de prestações mensais que devem ser pagas?
Solução
A sequência (500, 550, 600, ...) representa o pagamento feito a cada mês após a compra.
Então temos:
a1 = 500
r = 50
Sn = 22.550
an = ?
n=?
Cálculo de an
an = a1 + (n – 1). r
an = 500 + (n – 1). 50
an = 500 + 50n – 50
an = 450 + 50n
Cálculo de n
Sn 
n a1  an 
2
n 500  450  50n
2
22.550  2  n 950  50n
22550 
45.100  50n 2  950n
n 2  19n  902  0
n
 19  19 2  4.1. 902 
2 .1
n
 19  361  3608
2
 19  3969  19  63

2
2
n1 = 22 ou n2 = –41 (não serve, pois n é um número inteiro positivo). Logo, n = 22.
n
Portanto, o número de prestações mensais que devem ser pagas é 22.