Aritmética dos Números Binomiais IV Teorema Nível III

Aritmética dos Números Binomiais
IV Teorema
Nível III
Fortaleza, 30/04 e 01/05 de 2006
Marcelo Rufino (PA): [email protected]
1) a) Prove que o produto de n inteiros consecutivos
é divisível por n!.
b) Prove que se a1 + a2 + ... + ak n então a fração
n!
é um inteiro.
a 1 !.a 2 !...a k !
é divisível por pn.
c) Prove que (n!)! é divisível por n!(n 1)!.
d) Prove que o produto de n inteiros de uma
progressão aritmética de n termos, onde a razão da
PA é primo relativo com n!, é divisível por n!.
12) Demonstre que se n > 1, então
2) Analise se
1000
é divisível por 7.
500
3) Prove que se p é um número primo maior que 3,
então o numerador da fração redutível
1
2
1
1
1
...
é divisível por p2.
3
p 1
pn
q
11) Prove que se q não é divisível por p então
2n
1
2n
2n
2n
1
é
divisível por 22n + 2.
13) (Brasil Preparação Cone Sul-2002) Para cada
2n
inteiro positivo n, seja a n
.
n
a) Mostre que o número binomial an é sempre par.
b) Prove que 4 | an
n não é potência de 2.
14) (Canadá-85) Prove que 2n 1 divide n! se e
somente se n = 2k 1 para algum inteiro positivo k.
4) Prove que se p é um número primo então
n
p
n
p
15) (Espanha-85) Seja n um número natural. Prove
que a expressão (n + 1)(n + 2) (2n 1)(2n) é
divisível por 2n.
é divisível por p.
n
2n 1
5) (IMO-74) Prove que o número
2k 1
k 0
é divisível por 5 para todo inteiro n
2p
6) Prove que
2 3k não
0.
2 (mod. p2) para todo número
p
17) (Repúblicas Tcheca e Eslovaca-1999) Mostre
que para todo número natural n o produto
4
primo p.
7) Prove que
2p 1
p 1
1 (mod. p2) para todo número
2
1
4
2
2
4
8) Demonstre que se a, b, c, d são inteiros nãonegativos, p é um número primo e c < p, d < p,
p.a c
a
c
p.b d
b d
(mod. p).
9) Sejam n = a0 + a1p + ... + asps, com 0 ai < p, k =
b0 + b1p + ... + bsps, com 0 bi < p. Demonstre que
n
a0
a1
k
b0
b1
...
10) Mostre que
as
(mod. p).
bs
n
1
,
n
2
, ...,
2
3
4
2
n
é um inteiro.
18) (Nórdica-98) Seja n um inteiro positivo. Prove
que o número k
primo p.
então:
16) (Brasil Teste Cone Sul-2003) Encontre o menor
inteiro positivo n tal que 32003 é um divisor de (n + 1)
(n + 2) ... (3n).
{0, 1, 2, ..., n} para o qual
n 1
se e somente se n é uma potência de 2.
é
19) (Hungria/Israel-99) Analise a seguinte
afirmação: Para todo inteiro positivo k, existe um
inteiro positivo n > 1 tal que o coeficiente binomial
n
i
pn).
são todos pares
k
ímpar é uma potência de 2.
é divisível por k para todo 1
20) Seja p um primo. Prove que
n
n
i
n
pn
p
1.
pn
1
(mod.
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