Introdução ao estudo de equações diferenciais

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Introdução ao estudo de equações diferenciais
Existe uma grande variedade de situações nas quais se deseja determinar uma quantidade
variável a partir de um seu coe…ciente de variação: se se quer calcular a posição de um
ponto móvel, conhecendo, além da posição inicial e do tempo decorrido, a sua velocidade ou
aceleração; no caso de uma colónia de bactérias, conhecer o seu número ao …m de um certo
espaço de tempo, sabendo a velocidade inicial e a velocidade de crescimento; no caso de uma
substância radioactiva que se desintegra, com coe…ciente de variação conhecido, determinar
a quantidade de substância remanescente ao …m de um dado tempo, conhecida a quantidade
inicial, etc. Em exemplos como estes procura-se determinar uma função desconhecida por
meio de uma equação que envolve pelo menos uma derivada da função a determinar. Tal
equação tem o nome de equação diferencial.
Se a função desconhecida é uma função real de variável real, as derivadas que aparecem
na equação diferencial são derivadas usuais e a equação é chamada equação diferencial
ordinária (se a função desconhecida é função de mais de uma variável, as derivadas que
aparecem são derivadas parciais e a equação diferencial é chamada equação com derivadas
parciais). Os exemplos mais simples de equações diferenciais ordinárias são as equações do
tipo y 0 = f (x), em que para obter a solução basta primitivar a função f . Neste capítulo
serão estudados somente alguns tipos muito simples de equações diferenciais ordinárias.
Solução de uma equação diferencial
Uma solução, num intervalo I de R, de uma dada equação diferencial é uma função, de…nida
em I ; que transforme a equação numa identidade, isto é, que veri…que a equação em todos
os pontos x 2 I: Chama-se solução geral de uma equação diferencial, num intervalo I, ao
conjunto de todas as suas soluções em I:
Exemplos
1. y = e2x é solução, em R, da equação diferencial y 0
2y = 0, pois y 0 = 2e2x e,
substituindo na equação, obtém-se
2e2x
p
2e2x = 0; 8x 2 R:
x2 é solução, no intervalo I = ] 1; 1[ ; da equação
x
e, substituindo na equação, obtém-se
diferencial yy 0 + x = 0, pois y 0 = p
1 x2
p
x
p
1 x2
+ x = 0; 8x 2 ] 1; 1[ :
1 x2
2. A função de…nida por y =
1
1
: Como, para uma constante real k;
x2
0
1
1
1
arbitrária,
+ k = 2 ; 8x 2 Rn f0g ; a expressão
+ k; k 2 R de…ne uma
x
x
x
1
família de soluções de y 0 = 2 em Rn f0g .
x
3. Consideremos a equação diferencial y 0 =
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4. A equação diferencial (y 0 )2 + x2 y 2 + 1 = 0 não tem nenhuma solução real, pois o
primeiro membro é positivo para todas as funções diferenciáveis reais.
5. A equação diferencial (y 0 )2 + y 2 tem como única solução y = 0; 8x 2 R.
De…nição: Ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que
…gura nessa equação.
Exemplo: As equações diferenciais dos exemplos anteriores são de 1a ordem; a equação
y 00 + xy 0 = 0 é de 2a ordem, y 000
x2 = 0 é de 3a ordem, etc.
A solução geral de uma equação diferencial de ordem n contém, em geral, n constantes
arbitrárias.
Exemplo: A equação diferencial y 00 = 6x tem por solução y = x3 + C1 x + C2 em que C1 e
C2 são constantes.
Quando todas as soluções de uma equação diferencial se podem obter a partir da solução
geral dando diferentes valores às constantes, a solução geral diz-se solução completa, sendo
cada solução assim obtida uma solução particular. Qualquer outra solução que não possa
ser obtida deste modo a partir da solução geral diz-se uma solução singular. As soluções
particulares podem-se obter …xando, à partida, condições a que a função solução tem de
obedecer e que se designam por condições iniciais. Chama-se problema de Cauchy ou
problema de valores iniciais ao problema de resolver uma equação diferencial sujeita a
condições iniciais.
Exemplos:
1. y = sin x + k; k 2 R, é solução geral da equação diferencial y 0 = cos x e é solução
completa, visto que, efectivamente, duas funções cujas derivadas são iguais a cos x
diferem por uma constante.
2. y = Cx + C 2 é solução geral da equação diferencial (y 0 )2 + xy 0
y = 0; mas não
x2
é solução completa, pois a equação admite também a solução singular y =
4
(note-se que y = Cx + C 2 representa uma família de rectas em que a ordenada
x2
na origem é o quadrado do declive e y =
tem por grá…co uma parábola).
4
3. O problema de Cauchy y 0 = 3y; y (0) = 5 admite como solução y = 5e3x ; pois
y 0 = 15e3x = 3 (5e3x ) e y (0) = 5e3 0 = 5:
1
3
1
1
4. y = x3
x
+ é solução do problema de valores iniciais
2x
6
2
4e
4
y 00 = x
e
2x
; y 0 (0) =
1; y (0) = 0:
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A resolução de uma equação diferencial ordinária é um problema, de modo geral, bastante
difícil, havendo métodos gerais de resolução para poucos tipos de equações. Apresentam-se
de seguida as soluções para alguns tipos simples de equações diferenciais de primeira ordem,
de maior aplicação em problemas concretos que possam estar ligados às ciências naturais.
Ao longo de todo este capítulo consideram-se as soluções das equações diferenciais de…nidas
em intervalos convenientes.
Equação diferencial de primeira ordem para a função exponencial
(Esta tipo de equações, embora podendo ser inserido no estudo feito à frente, é estudado à
parte pela importância de que se reveste, dado incluir as equações que re‡ectem fenómenos
de crescimento, por exemplo, de espécies biológicas)
A função exponencial y = ex é igual à sua derivada e o mesmo sucede à função y = Cex ; em
que C é uma constante real. Vamos mostrar que são as únicas funções com essa propriedade.
Teorema 1 Se f (x) é solução da equação
y 0 = y;
(1)
então
f (x) = Cex ; para C 2 R:
Demonstração: Por derivação veri…ca-se que, para C 2 R, a função f (x) = Cex satisfaz
(1). Suponhamos que g é outra função tal que g 0 (x) = g (x) : Queremos provar que g é da
forma g (x) = Cex , para C 2 R, ou, o que é o mesmo, que g (x) e
nova função h (x) = g (x) e
x
x
= C: De…nimos uma
e calculamos a sua derivada:
h0 (x) = g 0 (x) e
x
g (x) e
x
= (g 0 (x)
g (x)) e
x
=0
Dado que a derivada é 0, a função h (x) é constante, ou seja, existe C 2 R tal que
h (x) = C; 8x 2 R;
o que prova que g (x) = Cex :
O problema de valores iniciais associado à equação y 0 = y; com a condição y (0) = b; sendo
b constante real, tem solução única:
Corolário Se b 2 R, existe uma e uma só função f que satisfaz simultaneamente a equação
diferencial (1) e a condição inicial
y (0) = b:
(2)
f (x) = bex :
(3)
Essa função é de…nida por
Demonstração: Por derivação e substituição, veri…ca-se que a função f (x) = bex satisfaz
simultaneamente (1) e (2). Para ver que é a única função nessas condições suponhamos que
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existe outra função g tal que g 0 (x) = g (x) e g (0) = b: Pelo teorema sabemos que g é da
forma g (x) = Cex . Mas g (0) = b ) C = b e g (x) = bex .
De forma completamente análoga se prova que a solução geral da equação diferencial
y 0 = ky
sendo k uma constante real, é da forma
y 0 = Cekx ; com C 2 R.
Se, além disso, considerarmos a condição inicial
y (0) = b;
a solução tem a forma
y = bekx :
Equações diferenciais de variáveis separáveis de 1a ordem
Denomina-se equação diferencial de variáveis separáveis de 1a ordem a uma equação de 1a
ordem da forma
y 0 = f (x; y)
em que f (x; y) se pode escrever como um produto de duas funções contínuas, uma dependendo só de x e a outra em que só aparece y:
Exemplos:
As seguintes equações diferenciais são equações de variáveis separáveis:
1. y 0 = xy
sin x
2. y 0 =
cos y
1 + y2
3. y 0 =
x2
Antes de dar o modo de encontrar solução para este tipo de equações, note-se que, se a
equação diferencial se pode escrever na forma
y 0 = A (x) C (y)
em que A (x) e C (x) são funções contínuas e se C (y) 6= 0; a equação pode tomar a forma
B (y) y 0 = A (x)
em que B (y) =
(4)
1
:
C (y)
O teorema seguinte dá a solução para este tipo de equações, embora essa solução seja obtida
de forma implícita, podendo ser posteriormente explicitada para intervalos convenientes do
domínio de y:
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Teorema 2 Seja y uma solução da equação (4) tal que y 0 ; A e a função composta B y são
funções contínuas num certo intervalo I e seja F qualquer primitiva de B em y (I) : Então
y satisfaz também a equação
F (y) =
Z
A (x) dx + k:
(5)
Reciprocamente, se y satisfaz (5), então y é solução de (4).
Demonstração: Se y é solução de (4), veri…ca-se
B (y (x)) y 0 (x) = A (x) ; 8x 2 I:
(6)
F 0 (y (x)) y 0 (x) = A (x) ; 8x 2 I:
(7)
Como F 0 = B; obtém-se
De acordo com a regra de derivação da função composta, o primeiro membro de (7) é a
derivada da função composta F y e, portanto, F y = F (y) é uma primitiva de A (x) ; pelo
que
F (y) =
que é a relação (5).
Z
A (x) dx + k;
Reciprocamente, se y satisfaz (5), derivando ambros os membros da dessa igualdade, obtémse (6), o que prova que y é solução da equação diferencial (4).
Observações:
A fórmula (5) pode também exprimir-se em função de B.
De (6) deduz-se que
Z
0
B (y (x)) y (x) dx =
Z
A (x) dx
(8)
Atendendo ao estudado sobre o método de substituição no cálculo integral, (8) pode-se
escrever na forma:
Como o integral inde…nido
escrever (5).
R
Z
B (y) dy =
Z
A (x) dx:
(9)
B (y) dy é uma primitiva de B; (9) é outra forma de
Na prática, a fórmula (9) obtém-se directamente de (4) por um processo "mecânico".
dy
Na equação diferencial (4) substituímos y 0 por
(notação de Leibniz) e considerandodx
a como um cociente obtemos a relação
B (y) dy = A (x) dx:
(10)
Colocando então os sinais de integral inde…nido em ambos os membros de (10) e somando uma constante, obtêm-se (9). Note-se que o teorema anterior já deu a justi…cação deste processo "mecânico".
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Concluindo, a solução de uma equação diferencial da forma
B (y) y 0 = A (x)
é calculada, de forma implícita, através do cálculo de
R
R
B (y) dy = A (x) dx :
Exemplos:
Nas resoluções que se seguem, como já foi referido atrás, consideramos sempre os
cálculos efectuados em domínios reais em que são possiveis (por exemplo,
y0 =
só é verdade quando
y 2 sin x ,
y0
= sin x
y2
y 2 6= 0). Também as soluções …nais são consideradas apenas em
intervalos em que estejam de…nidas.
1. A equação yy 0 =
x é uma equação de variáveis separáveis, já escrita na forma (4),
com B (y) = y e A (x) =
x. Aplicando a fórmula (9) obtém-se
Z
Z
B (y) dy =
A (x) dx ,
Z
Z
,
ydy =
xdx
x2
y2
=
+ k:
2
2
, y 2 = x2 + 2k:
,
Como referido atrás, a solução y obtém-se em forma implícita.
2. y 0 + y 2 sin x = 0 é uma equação de variáveis separáveis. Começamos por escrevê-la na
forma (4):
y 0 + y 2 sin x = 0
, y 0 = y 2 sin x
y0
,
= sin x
y2
Neste caso B (x) =
1
e A (x) = sin x e tem-se
y2
Z
Z
B (y) dy =
A (x) dx ,
Z
Z
1
,
dy = sin xdx
y2
1
,
= cos x + k:
y
1
, y=
cos x + k
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1 + y2
y0
1
3. y =
,
= 2
2
2
x
1+y
x
1
1
Neste caso B (x) =
e A (x) = 2 e tem-se
2
1+y
x
Z
Z
B (y) dy =
A (x) dx ,
Z
Z
1
1
,
dy =
dx
2
1+y
x2
1
, arctan y =
+ k:
x
1
, y = tan
+k
x
0
sin x
, cos y y 0 = sin x.
cos y
Neste caso B (x) = cos y e A (x) = sin x e tem-se
Z
Z
B (y) dy =
A (x) dx ,
Z
Z
,
cos ydy = sin xdx
4. y 0 =
, sin y =
cos x + k:
, y = arcsin ( cos x + k)
Equações diferenciais lineares
De…nição: Uma equação diferencial diz-se linear se pode ser escrita na forma
a0 (x) y (n) + a1 (x) y (n
1)
+
+ an
1
(x) y 0 + an y = F (x)
em que a0 ; a1 ; : : : ; an e F (x) são funções conhecidas e contínuas de x: Todas as outras
equações diferenciais são não lineares.
Exemplos:
1. y 00 + xy 0 + x2 y = ex é linear.
2. y 00 + cos x = 0 é linear. (neste caso a1 (x) = 0 e a2 (x) = 0)
3. y 00 + yy 0 + x = 0 é não linear.
4. (y 0 )2 + yy 0 + x = 0 é não linear.
As equações diferenciais lineares, dado terem uma forma muito regular, permitem, em várias
situações particulares, o cálculo de soluções gerais, não existindo, no entanto, nem neste caso,
solução geral para uma equação linear arbitrária. Neste curso vamos apenas dar a solução
geral para equações diferenciais lineares de 1a ordem.
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Equações diferenciais lineares de 1a ordem
A forma geral de uma equação diferencial linear de 1a ordem é
A (x) y 0 + B (x) y = C (x) ;
(11)
onde A; B e C representam funções contínuas de x de…nidas num conjunto X formado por
um ou mais intervalos. Supõe-se que A (x) 6= 0; isto é, que A (x) é sempre positiva ou sempre
negativa em cada um dos intervalos de X, para poder dividir (11) por A (x) e obter a forma
y 0 + P (x) y = Q (x) ;
(12)
onde P (x) e Q (x) são funções contínuas de x:
Vamos ver como resolver (12).
Consideremos em primeiro lugar o caso em que Q (x) é a função identicamente nula. A
equação resultante,
y 0 + P (x) y = 0;
(13)
chama-se equação reduzida ou homogénea correspondente a (12). Esta equação é uma
equação de variáveis separáveis, pelo que é possível calcular a solução:
:y 0 + P (x) y = 0 ,
, :y 0 = P (x) y
y0
, : = P (x) (se y 6= 0)
y
1
e A (x) = P (x) e tem-se
y
Z
Z
B (y) dy =
A (x) dx ,
Z
Z
1
,
dy =
P (x) dx
y
Z
, ln jyj =
P (x) dx + k; k 2 R
Tem-se, neste caso, B (x) =
, jyj = e
R
, jyj = ek e
P (x)dx+k
R
P (x)dx
;k 2 R
;k 2 R
Da última expressão, e atendendo ainda a que a função y = 0 é solução de (13), que a solução
geral de
y 0 + P (x) y = 0;
é
y = Ce
R
P (x)dx
;C 2 R
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Exemplos:
1. Na equação y 0 + 2y = 0 tem-se P (x) = 2; pelo que a solução é
y = Ce
R
2dx
, y = Ce
2. xy 0 + y = 0 , y 0 +
;C 2 R
2x
;C 2 R
1
y
= 0: Neste caso P (x) = e
x
x
R 1
dx
x ;C
y = Ce
2R
, y = Ce ln x ; C 2 R
C
, y = ;C 2 R
x
O problema de valores iniciais associado a este tem solução única, como se vê no seguinte
teorema:
Teorema 3 Seja P uma função contínua num intervalo aberto I; x0 um ponto de I e yo
um número real qualquer. Existe uma e uma só função y = f (x) que é solução da equação
y 0 + P (x) y = 0 no intervalo I e que satisfaz a condição inicial f (a) = b: Essa função é
dada pela fórmula
f (x) = be
Rx
P (t)dt
a
Demonstração: Seja
f (x) = be
A(x)
com A (x) =
Zx
P (t) dt:
(14)
a
Por derivação veri…ca-se que (14) satisfaz (13). Tem-se ainda que A (a) = 0 e, portanto,
f (a) = b; o que prova que (14) é solução do problema apresentado. Falta ver que é a única
solução, para o que segue um caminho semelhante ao da demonstação do teorema 1. Seja
g (x) outra função também solução de (13) e tal que g (a) = b: Provar que g (x) = be
A(x)
éo
mesmo que provar que g (x) eA(x) = b: Pelo teorema fundamental do cálculo integral sabemos
que
0
A(x)
Sendo h (x) = g (x) e
A0 (x) = @
; então
Zx
a
10
P (t) dtA = P (x) :
h0 (x) = g 0 (x) eA(x) + g (x) eA(x) A0 (x) =
= eA(x) (g 0 (x) + g (x) P (x)) :
Como g (x) é solução (13),
g 0 (x) + P (x) g (x) = 0; 8x 2 I
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72
e, portanto h0 (x) = 0 em I; pelo que h (x) é constante em I: Tem-se assim que
8x 2 I; h (x) = h (a) = g (a) eA(a) = g (a) e0 = b;
isto é
h (x) = g (x) eA(x) = b
ou seja
A(x)
g (x) = be
= f (x)
como se queria provar.
(
Exemplo: Consideremos o problema de valores iniciais
Como (1 + x2 ) y 0 + y = 0 , y 0 +
b = 1. Pelo teorema
(1 + x2 ) y 0 + y = 0
y (1) = 1
:
1
y
= 0; a função P (x) =
e temos a = 1 e
2
1+x
1 + x2
y = 1e
Rx
1
1
dt
1+t2
,
[arctan t]x
1
, y=e
arctan x+ 4
, y=e
De seguida vamos estudar a forma de resolver a equação diferencial não homogénea (12).
A partir da solução da equação homogénea, é possível concluir que a solução geral para a
equação
y 0 + P (x) y = Q (x)
é da forma
R
y = Ce
P (x)dx
R
+e
P (x)dx
R
R
e
P (x)dx
Q (x) dx
Exemplo: Consideremos a equação y 0 +y tan x = cos2 x: Nesta equação P (x) = tan x; Q (x) =
cos2 x e
Z
Então:
y = Ce
R
P (x) dx =
P (x)dx
, y = Ce
(
+e
Z
R
ln(cos x))
tan xdx =
P (x)dx
(
Z
R
e
ln (cos x)
P (x)dx
ln(cos x))
Z
Q (x) dx
+e
e
Z
1
, y = C cos x + cos x
cos2 xdx
cos x
Z
, y = C cos x + cos x cos xdx
, y = C cos x + cos x sin x; C 2 R
ln(cos x)
cos2 xdx
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Como no caso das equações homogéneas, o problema de valores iniciais associado a este tem
solução única, como se vê no seguinte teorema:
Teorema 4 Sejam P e Q funções contínuas num intervalo aberto I; a um ponto de I e b
um número real qualquer. Existe uma e uma só função y = f (x) que é solução da equação
y 0 + P (x) y = Q (x) no intervalo I e que satisfaz a condição inicial f (a) = b: Essa função
é dada pela fórmula
f (x) = be
A(x)
A(x)
+e
Rx
eA(t) Q (t) dt;
(15)
a
em que
A (x) =
Rx
P (t) dt
a
Demonstração: Suponhamos que uma função f (x) é solução de (12) e que f (a) = b: Seja
Rx
h (x) = f (x) eA(x) ; em que A (x) = P (t) dt: Então
a
h0 (x) = f 0 (x) eA(x) + f (x) eA(x) A0 (x) =
= f 0 (x) eA(x) + f (x) eA(x) P (x) =
= eA(x) (f 0 (x) + P (x) f (x)) :
(16)
Como f é solução de (12), f 0 (x) + P (x) f (x) = Q (x) e (16) …ca
h0 (x) = eA(x) Q (x) :
Utilizando o teorema fundamental do cálculo integral,
h (x)
h (a) =
Zx
eA(t) Q (t) dt;
a
isto é
h (x) = b +
Zx
eA(t) Q (t) dt; (visto que h (a) = f (a) = b).
a
A(x)
Dado que h (x) = f (x) e
; então f (x) = h (x) e
f (x) = be
A(x)
+e
A(x)
A(x)
Zx
; ou seja
eA(t) Q (t) dt;
a
que é a fórmula (15) que se procurava. É imediato que f (a) = b: Chegou-se, portanto à
expressão de qualquer função f que seja solução da equação diferencial (12). Reciprocamente,
por simples derivação, veri…camos que (15) é solução de (12).
Assim podemos concluir que a expressão (15) é a única solução de (12) que toma o valor b
no ponto a:
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< y 0 + xy = x
Exemplo: Consideremos o problema de valores iniciais
1 :
: y (0) =
2
1
Neste caso P (x) = x; Q (x) = x; a = 0; b =
:
2
Rx
Rx
Assim, A (x) = P (t) dt = tdt = 21 x2 e
a
0
y = be
A(x)
+e
A(x)
Zx
eA(t) Q (t) dt;
a
y =
1
e
2
1 2
x
2
+e
1 2
x
2
Zx
1 2
e 2 t t dt;
0
, y=
, y=
, y=
1
e
2
1
e
2
3
e
2
1 2
x
2
1 2
x
2
1 2
x
2
+e
+1
+1
1 2
x
2
e
1 2
e2x
1 2
x
2
1
74