INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS 1

APOSTILA DE MATEMÁTICA
Data: __ / __ / 2016
Aluno (a):
Nº:
Unidade: Barra/Botafogo
Ano: 6º
Profa: Adriana Leal /Sandra Di Flora
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS
1) NOÇÃO DE CONJUNTO E ELEMENTO
No dia a dia, encontramos vários tipos de conjuntos. Por exemplo: o conjunto de alunos
de uma sala de aula, o conjunto de fotos de um álbum, o conjunto de atletas de uma equipe
de voleibol.
Então, podemos imaginar um conjunto como um grupo ou coleção de objetos.
Os componentes de um conjunto são chamados de elementos.
Exemplo:
 Conjunto das capitais dos estados da região Nordeste.
Elementos: São Luís, Teresina, Fortaleza, Natal, João Pessoa, Recife, Maceió, Aracajú,
Salvador.
2) REPRESENTAÇÃO DE CONJUNTOS
Podemos representar um conjunto de duas maneiras: entre chaves e por diagramas.
a) Representação entre chaves
Nesse caso, utilizamos duas chaves, entre as quais escrevemos uma propriedade
característica dos elementos do conjunto ou nomeamos cada um de seus elementos.
Exemplos:


A = {números naturais pares entre 1 e 9} ou A = {2, 4, 6, 8}
B = {letras da palavra “arara”} ou B = {a, r}
Observe que os conjuntos são geralmente indicados por letras maiúsculas do nosso
alfabeto: A, B, C, D, ...X, Y, Z.
Se os elementos de um conjunto forem letras, deverão ser representados por letras
minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c, d, ... x, y, z, como no exemplo do conjunto B = {a, r}.
b) Representação por diagramas
Escrevemos os elementos do conjunto no interior de uma linha fechada simples.
Exemplos:
1

A = {números naturais pares entre 1 e 9}

B = {letras da palavra “arara”}
Observações:
1) Em um conjunto, não devemos repetir os elementos iguais.
Exemplo:
{a, a, r, a } = {a, r}
2) Os elementos podem ser dispostos em qualquer ordem nos conjuntos.
Exemplo:
{a, b, c} = {b, c, a} = {c, a, b}
3) O número de elementos de um conjunto A, por exemplo, é indicado por n(A).
Exemplo:
A = {0, 1, 2, 5, 7}, em que n(A) = 5
3) CONJUNTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO

Conjunto unitário é aquele que possui um único elemento.
Exemplo:
K = {consoantes da palavra ana} = {n}

Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento e pode ser assim
representado: { } ou .
Exemplo:
B = {planetas cujo nome começa com a letra z} =  ou { }.
2
CUIDADO!
O conjunto {  } não representa o conjunto vazio, e sim um conjunto unitário.
4) CONJUNTO FINITO E CONJUNTO INFINITO
Considere o conjunto A dos números naturais menores que 5: A = {0, 1, 2, 3, 4}
Esse conjunto possui cinco elementos, ou seja, n(A) = 5.
Um conjunto que possui uma quantidade definida de elementos é chamada de conjunto
finito.
Agora, considere o conjunto B dos números naturais maiores que 5:
B = {6, 7, 8, 9, ...}
Observe que não podemos determinar a quantidade de elementos desse conjunto.
Um conjunto com quantidade indefinida de elemento é denominado conjunto infinito.
Na representação de um conjunto com infinitos elementos, usamos reticências após
alguns deles.
Exemplo:
P = {0, 2, 4, 6, 8, ...}  conjunto dos números naturais pares
CUIDADO!
A presença de reticências nem sempre significa que um conjunto é infinito.
Exemplo:
M = {1, 2, 3, ...,48, 49, 50 } é um conjunto finito, sendo n(M) = 50
As reticências substituem os
elementos situados entre 3 e 48.
5) CONJUNTOS IGUAIS
Dois ou mais conjuntos são iguais se possuem os mesmos elementos.
Exemplo:
A=B
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OBSERVAÇÃO:
Para demonstrar que dois conjuntos são diferentes, usamos o símbolo .
Exemplos:

{1, 3, 5}  {1, 3}

{ 9 }  {99}
6) RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
A relação entre um elemento e um conjunto é denominada relação de pertinência.
Utilizamos os símbolos  (pertence) e  (não pertence) nas relações de pertinência.
Exemplo:
Sendo M = {1, 2}, podemos afirmar que:

1  M  Lê-se: “um pertence a M”.

2  M  Lê-se: “dois pertence a M”.

5  M  Lê-se: “cinco não pertence a M”.
7) RELAÇÃO DE INCLUSÃO
Considere os conjuntos A = {a, e, o} e B = {a, e, i, o, u}.
Observe que todos os elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B. Nesse
caso, dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B e indicamos assim:
AB
Lê-se: “A está contido em B”.
Como A está condido em B, podemos também afirma que B contém A:
BA
Lê-se: “B contém em A”.
Os símbolos
conjuntos.

e

Usamos os símbolos
são chamados de sinais de inclusão e relacionam dois
 (não contém) e  (não está contido) como negações de 
(contém) e  (está contido).
Exemplos:

{a, b, c}  {b, c, d, e, f}

{0, 1, 2, 3}  {1, 4}
4
CUIDADO!
A afirmação {1}  {1, 2, 3} é falsa, pois a relação de pertinência ocorre somente
entre um elemento e um conjunto, e {1} não é elemento, mas um conjunto unitário. Seriam
corretas as afirmações: {1}  {1, 2, 3} e 1  {1, 2, 3}.
OBSERVAÇÃO:
Se dois conjuntos, A e B são iguais, podemos afirmar que: A  B e B  A.
8) SUBCONJUNTOS
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Observe que todos os elementos do conjunto A são também elementos do conjunto B.
Então, dizemos que A é subconjunto de B ou que A está contido em B.
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se todos os
elementos de A são também elementos de B.
Indicamos essa relação com: A  B.
OBSERVAÇÕES:
1 – Todo conjunto é subconjunto de si próprio, ou seja, A  A.
2 – O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto, ou seja, para qualquer conjunto
A, podemos afirmar que:   A.
3 – O símbolo  relaciona um subconjunto e o conjunto que o contém.
9) REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA DE SUBCONJUNTO DE IN.
Um número pode ser representado por uma letra minúscula do alfabeto. Assim, podemos
ter: número x, número y, número z, entre outros.
Observe estas notações:

O número x representa um número natural: x  IN.
Lê-se: “x pertence a IN”

O número x representa um número natural ímpar: x  IN / x é ímpar
Lê-se: “x pertence a IN” tal que x é ímpar.

O símbolo
/ significa
“tal que”
O número x representa um número natural menor que 8: x  IN / x < 8
Lê-se: “x pertence a IN” tal que x é menor que oito”
Veja a seguir como representar alguns subconjuntos de IN, pela nomeação ou pela
propriedade de seus elementos.
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
Conjunto P dos números pares:
P = {0, 2, 4, 6, 8, ...} ou P = {x  IN / x é par}


Conjunto I dos números ímpares:
I = {1, 3, 5, 7, 9, ...} ou I = {x  / x é ímpar}
Conjunto A dos números naturais menores que 4:
A = {0, 1, 2, 3} ou A = {x  IN / x < 4}

Conjunto B dos números naturais maiores que 10:
B = {11, 12, 13, ...} ou B = {x  IN / x > 10}

Conjunto C dos números naturais maiores que 5 e menores que 10:
C = { 6, 7, 8, 9} ou C = {x  IN / 5 < x < 10}

Conjunto D dos números naturais maiores ou iguais a 7 e menores que 11:
D = {7, 8, 9, 10} ou D = {x  IN / 7  x < 11}
10) CONJUNTO DAS PARTES
Seja o conjunto A = {1, 2, 3}. Observe a relação de todos os subconjuntos de A:




vazio: 
unitários: {1}, {2}, {3}
com dois elementos: {1, 2}, {1, 3} e {2, 3}
com três elementos: {1, 2, 3}
O conjunto formado por todos esses subconjuntos é denominado conjunto das partes
de A e é assim representado:
P(A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
conjunto das partes de A
Dado um conjunto A, denomina-se conjunto das partes de A
aquele formado por todos os subconjuntos de A.
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11) DIAGRAMA DE VENN
Já vimos que, em uma representação por diagrama, devemos
escrever os elementos do conjunto no interior de uma linha fechada
simples.
Quando essa linha é uma circunferência, o diagrama recebe o
nome de diagrama de Euler, em homenagem a Leonhard Euler (1707 –
1783).
O inglês John Veen (1834 -1883) desenvolveu diversos estudos
sobre a representação de dois ou mais conjuntos em um diagrama.
Esse diagrama, utilizado para facilitar a visualização das relações e
operações entre conjuntos, é conhecido como diagrama de Venn.
Observe a representação de alguns conjuntos no diagrama de Venn:
Vamos considerar os conjuntos A = {1, 6} e B = {1, 2, 3, 4, 6}:
Observe que o conjunto A é subconjunto de B.
Vamos considerar os conjuntos C = {1, 5, 7, 8} e D = {1, 2, 5, 9}:
Verifique que os elementos 1 e 5 pertencem aos dois conjuntos.
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Vamos considerar os conjuntos E = {2, 3, 7} e F = {1, 4, 8}:
Verifique que não existe nenhum elemento que pertença aos
dois conjuntos.
Nesse caso, os conjuntos E e F são disjuntos.
Vamos considerar os conjuntos G = {1, 2, 3, 6}, H = {2, 3, 4, 5} e
I = {2, 5, 6, 8}:
Observe que:
 o elemento 2 pertence aos três conjuntos;
 os elementos 2 e 3 pertencem aos conjuntos G e H;
 os elementos 2 e 5 pertencem aos conjuntos H e I;
 os elementos 2 e 6 pertencem aos conjuntos G e I.
12) CONJUNTO UNIVERSO (U)
Ao desenvolver um assunto ou resolver uma questão matemática, admitimos a
existência de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados em tal
assunto ou questão. Esse conjunto recebe o nome de conjunto universo, representado
por U.
Exemplo:
Vamos considerar um problema que envolva os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {7, 8, 9} e
os elementos 6 e 10.
Dispondo-os em um diagrama, temos a figura a seguir.
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Podemos indicar o conjunto universo usado no problema por:
U = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}.
13) UNIÃO DE CONJUNTOS
Considere os conjuntos A = {0, 1, 3, 6, 8} e B = {1, 2, 4, 5, 6}.
Determinando um conjunto C, formado por todos os elementos que pertencem ao
conjunto A e ao conjunto B, obtemos:
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}  Os elementos 1 e 6 devem constar uma só vez.
Portanto, realizaremos a operação de união ou reunião entre os conjuntos A e B.
O resultado dessa operação é o conjunto C, denominado conjunto união. Observe:
AB=C
Lê-se: “A união é igual A C”.
Assim, no exemplo dado:
{0, 1, 3, 6, 8}  {1, 2, 4, 5, 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
14) INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {2, 3, 4, 6, 7}.
Determinando um conjunto C, formado por todos os elementos que pertencem ao conjunto
A e também ao conjunto B, obtemos:
C = {2, 3, 4, 6}
Portanto, realizamos a operação de intersecção entre os conjuntos A e B. O resultado
dessa operação é o conjunto C, denominado conjunto intersecção. Observe:
AB=C
Lê-se: “A interseção B é igual a C”.
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Assim, no exemplo dado: {1, 2, 3, 4, 5, 6}  {2, 3, 4, 6, 7} = {2, 3, 4, 6}
OBSERVAÇÕES:
1 – Quando A  B = , dizemos que A e B são disjuntos.
2 – A intersecção do conjunto vazio com qualquer outro conjunto é igual ao conjunto vazio:
A=
15) DIFERENÇA DE CONJUNTOS
Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 5, 7} e B = {0, 1, 3, 4, 7}.
Determinando um conjunto C, formado por todos os elementos que pertencem ao
conjunto A e não pertencem ao conjunto B, obtemos:
C = {2, 5}
Portanto, realizamos a operação diferença entre os conjuntos A e B. O resultado dessa
operação é o conjunto C, denominado diferença entre A e B. Observe:
A–B=C
Lê-se: “A menos B é igual a C”
Assim, no exemplo dado: {1, 2, 3, 5,7} – {0, 1, 3, 4, 7} = {2, 5}
CUIDADO!
É importante observar que, em geral, A – B  B – A.
Exemplo:
Considerado A = {0, 1, 3, 5} e B = {1, 3, 4, 7, 9}:
A – B = {0, 5}
A – B  B – A.
B – A = {4, 7, 9}
16) APLICAÇÕES – Operações com conjuntos
Vamos resolver um problema com a aplicação das operações com conjuntos.
Considere esta situação:
Em uma escola foi realizada uma pesquisa entre os 900 alunos para identificar os
jornais mais lidos por eles. Obteve-se este resultado.
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PESQUISA
Número de alunos
500
280
75
Jornal
A
B
AeB
Nessas condições, determine:
a) quantos alunos leem somente o jornal A;
b) quantos alunos leem somente o jornal B;
c) quantos alunos não leem nenhum desses jornais.
Solução:
Para resolver esse problema, vamos utilizar um diagrama de Venn. Os conjuntos A e B
representam os leitores dos dois jornais.
Inicialmente, vamos colocar na intersecção dos dois conjuntos o número de alunos que
leem os dois jornais.
A  B tem 75 elementos.
Como 500 alunos leem o jornal A, para saber quantos alunos leem somente o jornal A
devemos determinar a quantidade de elementos do conjunto A – B.
500 – 75 = 425
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Como 280 alunos leem o jornal B, para saber quantos alunos leem somente o jornal B
devemos determinar a quantidade de elementos do conjunto B - A.
280 – 75 = 205
Para saber quantos alunos leem os dois jornais, devemos calcular o número de
elementos do conjunto A  B.
425 + 75 + 205 = 705
Como na escola estudam 900 alunos (conjunto universo U) e 705 deles leem jornais,
podemos afirmar que 195 alunos não leem nenhum desses jornais, pois:
900 – 705 = 195
Logo, a resposta de cada item é:
a) 425 alunos leem somente o jornal A;
b) 205 alunos leem somente o jornal B;
c) 195 alunos não leem nenhum desses jornais.
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