Apostila de Circuitos Elétricos

Circuitos Elétricos 1 - Análise Senoidal e Propriedades Gerais dos Circuitos em C.A.
Impedância Elétrica
Na disciplina de Eletricidade constatou-se que a análise no tempo de um circuito com condensadores e bobinas
exige a obtenção e a resolução de uma equação diferencial. Constatou-se ainda que a dinâmica temporal desta
classe de circuitos é composta por duas parcelas essencialmente distintas: a solução natural e a solução forçada
pelas fontes independentes do circuito. A solução natural é tipicamente constituída por funções exponenciais
negativas, portanto funções que tendem para zero com o tempo, ao passo que a solução forçada impõe ao circuito
uma dinâmica cuja forma é estabelecida por fontes independentes. Por exemplo, verificou-se que as fontes
independentes senoidais conduzem a soluções forçadas senoidais, cuja amplitude e fase na origem são função da
freqüência angular (ω) e dos parâmetros do circuito.
Uma das características mais interessantes dos circuitos lineares é o fato de as soluções forçadas senoidais em
todos os nós e componentes do circuito apresentarem exatamente a mesma freqüência angular da fonte
independente. A principal conseqüência desta propriedade é a possibilidade de reduzir a análise da solução
forçada senoidal à identificação das amplitudes e das fases na origem dos sinais.
A análise da solução forçada senoidal de um circuito conduz aos conceitos de fasor e de impedância elétrica. O
fasor de uma variável senoidal é um número complexo com informação relativa à amplitude e à fase na origem,
desprezando assim a informação relativa à freqüência que à partida se sabe ser igual em todos os nós e
componentes do circuito. Por outro lado, a impedância elétrica de um elemento ou circuito mais não é que a
relação entre os fasores da tensão e da corrente aos terminais respectivos, sendo, portanto, em geral um número
complexo dependente da frequência angular da senóide sob análise.
O fato de as relações fasoriais entre tensão e corrente elétrica nos elementos R, C e L serem de tipo linear, apesar
de entre números complexos, permite que a solução forçada senoidal de um circuito possa ser estudada recorrendo
aos métodos e teoremas típicos da análise dos circuitos resistivos puros. Por exemplo, é possível estender a
aplicação dos métodos das malhas e dos nós à análise da solução forçada senoidal de um circuito, recorrendo
ainda aos resultados dos teoremas de Norton, de Thévenin, de Millman, de Miller, da sobreposição das fontes e da
máxima transferência de potência.
1.1 Fasor e Impedância
1.1.1 Números Complexos e
Sinais Senoidais
Os números complexos podem ser
representados em dois formatos
básicos (Figura 1.1): no formato
retangular
P = a + jb
(1.1)
em que a e b definem as coordenadas retangulares do ponto no plano, e no formato polar
P = P∠ θ
(1.2)
cuja representação em notação exponencial é
P = Pejθ
(1.3)
e em que P eθ definem, respectivamente, o módulo e o ângulo com a horizontal do segmento que une o ponto com
a origem. A conversão entre estes dois formatos baseia-se nas regras
Figura 1.1 Representação de um número complexo nos formatos retangular (a) e polar (b)
Circuitos Elétricos 1
1
(1.4)
E
(1.5)
Os sinais senoidais são caracterizados por uma amplitude, uma frequência angular e uma fase na origem. Por
exemplo, o sinal
v(t) = Vcos(ωt+θ)
(1.6)
define uma tensão elétrica senoidal de amplitude máxima V, frequência angular ω e fase na origem θ. Por outro
lado, as funções cos(x) e sin(x) podem ser expressas em notação exponencial
(1.7)
e
(1.8)
respectivamente, podendo as exponenciais complexas expressar-se nas formas
(1.9)
e
(1.10)
Uma notação alternativa para as funções cos(x) e sin(x) consiste na utilização dos operadores Real de e Imaginário
de. Neste caso,
(1.11)
e
(1.12)
Os operadores Real de e Imaginário de gozam das seguintes propriedades:
(1.13)
Circuitos Elétricos 1
2
ou seja,
(1.18)
relativamente ao operador derivada, e
(1.14)
que após aplicação sucessiva das propriedades enunciadas em (1.13) e (1.14) se simplifica para
relativamente ao operador adição.
(1.17)
π/2), obtém-se
Recorrendo
à notação
anteriormente,
e sabendo
sin(x)=cos(xAdmita-se então
que seestabelecida
pretende derivar
o resultado
da soma que
de duas
funções senoidais,
por exemplo
(1.16)
(1.15)
Circuitos Elétricos 1
3
(1.21)
valores que se repetem com uma periodicidade T=2π/ω. A periodicidade da função em (1.20) indica que o
segmento que une o centro do plano complexo aos pontos sobre a circunferência de raio A roda com uma
velocidade angular de ω rad/s. No entanto, se considerar um novo referencial que roda no sentido anti-horário
com uma velocidade angular ω, então nesse plano obtém-se (Figura 11.2.b)
(1.22)
grandeza que é complexa, designada por fasor e representada pelas formas
(1.23)
ou
(1.24)
Figura 1.2 Conceito de fasor
A importância da notação fasorial na análise do regime forçado senoidal deve-se ao fato de nos circuitos lineares
excitados por fontes senoidais as tensões e as correntes em todos os nós e componentes do circuito serem também
senoidais e com a mesma frequência angular. As metodologias de análise e de representação das grandezas podem,
portanto, ser abreviadas, de modo a conterem apenas a informação relativa à amplitude e à fase na origem,
relegando para segundo plano aquela relativa à frequência angular (e ao tempo) que, como se disse, é comum a
todo o circuito. No entanto, a informação relativa à dinâmica temporal pode sempre ser recuperada, por exemplo
através da seqüência de operações
(1.25)
1.1.3 Impedância Elétrica
Considere-se a resistência representada na Figura 1.3.a, em conjunto com a Lei de Ohm correspondente
(1.26)
e admita-se que a corrente é senoidal, i(t)=Icos(ωt+θ). De acordo com (1.26), a tensão aos terminais da resistência
é também senoidal
(1.27)
Circuitos Elétricos 1
4
e apresenta uma fase na origem idêntica à da corrente. A representação da Lei de Ohm em notação exponencial
(1.28)
permite escrever a relação fasorial
(1.29)
Figura 1.3 Impedância elétrica da resistência
a qual, basicamente, indica que os fasores da corrente e da tensão na resistência se encontram relacionados pelo
parâmetro resistência elétrica. Como se indica na Figura 1.3.b, e dada a natureza real do parâmetro R, os fasores da
tensão e da corrente na resistência encontram-se em fase. Designa--se por impedância elétrica da resistência o
cociente entre os fasores da tensão e da corrente (Figura 1.3.c)
Ω, ohm
(1.30)
Considere-se agora o condensador representado na Figura 1.4, cuja característica tensão-corrente é expressa pela
derivada
(1.31)
e admita-se ainda que a tensão aplicada é senoidal, v(t)=Vcos(ωt+θ). Neste caso, a representação em notação
exponencial
(1.32)
permite escrever a relação fasorial entre a tensão e a corrente
(1.33)
a qual indica que no condensador o fasor da corrente se encontra avançado de π/2 radianos relativamente ao fasor
da tensão (Figura 1.4.b). A impedância elétrica do condensador é um número imaginário puro (Figura 1.4.b)
Ω, ohm
Circuitos Elétricos 1
5
(1.34)
cujo módulo é inversamente proporcional à frequência angular da senóide sob análise.
Figura 1.4 Impedância elétrica do condensador
Por
com os resultados anteriores, verifica-se que a característica tensão-corrente da bobina (Figura 1.5)
isto analogia
é,
(1.35)
(1.39)
conduz
à relação
fasorialque o fasor da tensão na bobina se encontra avançada de π/2 radianos relativamente à
A relação
(1.37) indica
corrente.
de onde se obtém a expressão da impedância elétrica
(1.36)
Ω, ohm
(1.37)
Figura 1.5 Impedância elétrica da bobina
Considere-se o circuito RL representado na Figura 1.6.a e admita-se que a tensão aplicada é senoidal. Neste caso,
(1.38)
Circuitos Elétricos 1
6
(1.39)
e a impedância do conjunto é
(1.40)
A impedância elétrica de um componente ou de um conjunto de componentes é um número complexo cuja
representação no formato polar é
(Figuras 1.6.b), em que Z e ϕ representam o módulo e a fase, respectivamente, ao passo que no formato retangular
é
(Figura 1.6.c), em que R e X representam, respectivamente, as partes real e imaginária (esta última é vulgarmente
designada por reatância). O inverso da impedância designa-se por admitância elétrica, cuja unidade é o siemens
(S).
Figura 1.6 Circuito RL (a) e representação em coordenadas retangulares (b) e polares (c) da impedância elétrica
Na Tabela 1.1 resumem-se as características tensão-corrente no domínio do tempo, as relações fasoriais, as
impedâncias e as admitâncias elétricas dos componentes resistência, condensador e bobina.
COMPONENTE
resistência
DOMÍNIO
TEMPO
v(t)=Ri(t)
NOTAÇÃO IMPEDÂNCIA ADMITÂNCIA
(S)
FASORIAL
(Ω)
V=RI
condensador
I=jωCV
bobina
V=jωLI
R
G
jω C
j ωL
Tabela 1.1 Resistência, condensador e bobina
1.2 Leis de Kirchhoff em Notação Fasorial
A validade das Leis de Kirchhoff estende-se à análise em notação fasorial do regime forçado senoidal. Por
exemplo, o somatório dos fasores de tensão ao longo de um caminho fechado satisfaz a igualdade (Figura 1.7.a)
(1.41)
o mesmo se verificando com o somatório dos fasores das correntes incidentes num qualquer nó de um circuito
(Figura 1.7.b)
Circuitos Elétricos 1
7
(1.42)
(1.42)
A aplicação conjunta das Leis de Kirchhoff e das relações fasoriais da resistência, do condensador e da bobina,
permitem obter para as impedâncias exatamente as mesmas regras de associação em série e em paralelo
estabelecidas anteriormente, no âmbito dos circuitos resistivos puros. Por exemplo, no circuito da Figura 1.7.a
verifica-se que
Figura 1.7 Leis de Kirchhoff em notação fasorial
(1.43)
ou seja,
(1.44)
igualdade na qual se inscreve a expressão da associação em série de impedâncias
(1.45)
Por outro lado, a aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes ao circuito da Figura 1.7.b permite obter
sucessivamente
(1.46)
e
(1.47)
igualdades nas quais se inscreve a expressão da associação em paralelo de admitâncias
(1.48)
ou seja,
(1.49)
Pode ainda demonstrar-se que as regras dos divisores de tensão e de corrente, estudados anteriormente, são
transponíveis para a análise fasorial do regime forçado senoidal. Por exemplo, e referindo aos dois circuitos
representados em 1.8, verifica-se que
Circuitos Elétricos 1
8
representados em 1.8, verifica-se que
(1.50)
no caso do divisor de tensão em (a), e
(1.51)
no caso do divisor de corrente em (b).
Figura 1.8 Divisores de tensão (a) e de corrente (b) em notação fasorial
1.3 Métodos de Análise em Notação Fasorial
Os métodos de análise de circuitos são generalizáveis à análise fasorial do regime forçado senoidal. Os
procedimentos de aplicação dos métodos dos nós e das malhas coincidem na forma com aqueles estabelecidos
anteriormente. São válidas todas as considerações relativas à construção da matriz do circuito e dos vetores coluna
das variáveis e das fontes independentes, para além, naturalmente, dos diversos casos particulares que permitem
identificar a priori o número de equações linearmente independentes e a dimensão da relação matricial a resolver.
Em vez de repetir os dois métodos alternativos, e naturalmente todos os seus casos particulares, optou-se por
desenvolver dois exemplos de aplicação cuja resolução ilustra as diferenças existentes na parte numérica da
obtenção dos resultados.
Considere-se então o circuito representado na Figura 1.9, com duas fontes de tensão senoidais de igual frequência
angular, Vs1 e Vs2, e três impedâncias, Z1, Z2 e Z3, todas elas especificadas no formato polar. Pretende-se
determinar o fasor da corrente na impedância Z1, no sentido indicado na figura.
Figura 1.9 Método das malhas em notação fasorial (as fases estão especificadas em grau)
De acordo com o procedimento estabelecido, a aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões às malhas-1 e -2 permite
escrever a relação matricial
(1.52)
cujas variáveis são os fasores das correntes nas malhas-1 e -2. A aplicação da regra de Cramer permite obter a
expressão do fasor da corrente I1
Circuitos Elétricos 1
9
(1.53)
(1.53)
a qual, por substituição dos valores indicados na Figura 1.9, conduz ao valor (a fase é especificada em radianos)
I1 = 49.2 ∠ 0.098
mA
(1.54)
mA
(1.55)
ou seja
i1(t) = 49.2 cos(ωt+0.098)
Considere-se agora o circuito representado na Figura 1.10, no qual se indicam os valores da capacidade, da
indutância, das resistências e da frequência angular da senóide imposta pela fonte de corrente. Pretende-se
determinar o fasor da tensão VC1 aos terminais do condensador.
A aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes aos nós-1 e -2 do circuito permite escrever a relação matricial
(1.56)
cujas variáveis são os fasores das tensões nos nós-1 e -2. A aplicação da regra de Cramer permite obter a expressão
do fasor da tensão V1
(1.57)
cuja solução numérica é
V1=1 ∠ -0.927
(1.58)
No domínio do tempo, a tensão aos terminais do condensador toma então a forma
(1.59)
v1(t)= cos(10000t-0.927)
Circuitos Elétricos 1
10
Figura 1.10 Método dos nós em notação fasorial
1.3 Métodos de Análise em Notação Fasorial
Os métodos de análise de circuitos são generalizáveis à análise fasorial do regime forçado senoidal. Os
procedimentos de aplicação dos métodos dos nós e das malhas coincidem na forma com aqueles estabelecidos no
anterior. São válidas todas as considerações relativas à construção da matriz do circuito e dos vetores coluna das
variáveis e das fontes independentes, para além, naturalmente, dos diversos casos particulares que permitem
identificar a priori o número de equações linearmente independentes e a dimensão da relação matricial a resolver.
Em vez de repetir os dois métodos alternativos, e naturalmente todos os seus casos particulares, optou-se por
desenvolver dois exemplos de aplicação cuja resolução ilustra as diferenças existentes na parte numérica da
obtenção dos resultados.
Considere-se então o circuito representado na Figura 1.9, com duas fontes de tensão senoidais de igual frequência
angular, Vs1 e Vs2, e três impedâncias, Z1, Z2 e Z3, todas elas especificadas no formato polar. Pretende-se
determinar o fasor da corrente na impedância Z1, no sentido indicado na figura.
Figura 1.9 Método das malhas em notação fasorial (as fases estão especificadas em grau)
De acordo com o procedimento estabelecido anteriormente, a aplicação da Lei de Kirchhoff das tensões às malhas1 e -2 permite escrever a relação matricial
(1.52)
cujas variáveis são os fasores das correntes nas malhas-1 e -2. A aplicação da regra de Cramer permite obter a
expressão do fasor da corrente I1
Circuitos Elétricos 1
11
(1.53)
(1.53)
a qual, por substituição dos valores indicados na Figura 1.9, conduz ao valor (a fase é especificada em radianos)
I1 = 49.2 ∠ 0.098
mA
(1.54)
mA
(1.55)
ou seja
i1(t) = 49.2 cos(ωt+0.098)
Considere-se agora o circuito representado na Figura 1.10, no qual se indicam os valores da capacidade, da
indutância, das resistências e da frequência angular da senóide imposta pela fonte de corrente. Pretende-se
determinar o fasor da tensão VC1 aos terminais do condensador.
A aplicação da Lei de Kirchhoff das correntes aos nós-1 e -2 do circuito permite escrever a relação matricial
(1.56)
cujas variáveis são os fasores das tensões nos nós-1 e -2. A aplicação da regra de Cramer permite obter a expressão
do fasor da tensão V1
(1.57)
cuja solução numérica é
V1=1 ∠ -0.927
(1.58)
No domínio do tempo, a tensão aos terminais do condensador toma então a forma
(1.59)
v1(t)= cos(10000t-0.927)
Circuitos Elétricos 1
12
Figura 1.10 Método dos nós em notação fasorial
1.4 Teoremas Básicos em Notação Fasorial
1.4.1 Transformação de Fonte
Uma fonte de tensão senoidal não ideal, expressa por um fasor de tensão (Vs) e por uma impedância (Zs), pode ser
transformada numa fonte de corrente senoidal por aplicação da transformação
(1.60)
e
(1.61)
Figura 1.11 Transformação de fonte em notação fasorial
Na Figura 1.12 representam-se alguns exemplos de fontes às quais se aplicou o teorema da transformação de fonte.
Circuitos Elétricos 1
13
Figura 1.12 Transformação de fonte em notação fasorial
Por exemplo, no caso (b) verifica-se que
(1.62)
e que
(1.63)
em que θs representa a fase na origem da fonte de tensão e ϕs o ângulo do número complexo representativo da
impedância da fonte.
1.4.2 Teorema de Thévenin e Equivalente de Norton
A metodologia de cálculo dos equivalentes de Thévenin e de Norton fasoriais baseia-se num conjunto de
procedimentos em tudo semelhantes aos estabelecidos anteriormente, para os circuitos resistivos puros. Na Figura
1.13 apresentam-se diversos circuitos que exemplificam a metodologia de cálculo dos equivalentes de Thévenin e
de Norton em notação fasorial.
Circuitos Elétricos 1
14
Figura 1.13 Equivalentes de Thévenin e de Norton em notação fasorial
No circuito da Figura 1.13.a, o fasor da tensão de Thévenin coincide com a tensão em aberto medida entre os
terminais a-b,
(1.64)
ao passo que a impedância de Thévenin é expressa por
(1.65)
Circuitos Elétricos 1
15
No caso de 1.13.b, a fonte de corrente de Norton é
(1.66)
e a impedância
(1.67)
Finalmente, nos circuitos de 1.13.c e 1.13.d obtêm-se, respectivamente, os equivalentes de Thévenin
(1.68)
(1.69)
e
(1.70)
1.4.3 Teorema da Sobreposição das Fontes
A generalização do teorema da sobreposição das fontes à análise fasorial do regime forçado senoidal - ou seja, a
adição dos fasores associados a fontes senoidais distintas - só pode efetuar-se nos casos em que se verifique uma
mesma frequência angular. Na Figura 1.14 visualiza-se a causa desta limitação da aplicação do teorema da
sobreposição das fontes: os fasores associados a frequências angulares distintas reportam-se a planos complexos
distintos, em particular devido à diferente velocidade angular com que cada plano é suposto girar. Por outro lado,
frequências angulares distintas conduzem a valores também distintos para as impedâncias dos elementos
condensadores e bobina, devendo as contribuições de cada uma das fontes reportar-se aos seus parâmetros
próprios.
Figura 1.14 Fasores de sinais senoidais com frequências angulares distintas
Considere-se então o circuito representado na Figura 1.15.a e admita-se que as duas fontes independentes senoidais
se caracterizam pela mesma frequência angular.
Circuitos Elétricos 1
16
Figura 1.15 Teorema da sobreposição das fontes (fontes senoidais com idêntica frequência angular)
De acordo com o teorema da sobreposição das fontes (em notação fasorial), o fasor da tensão V2 é expresso pelo
somatório
(1.71)
em que (Figura 1.15.b)
(1.72)
e (Figura 1.15.c)
(1.73)
ou seja,
(1.74)
O fasor em (1.74) corresponde à expressão no domínio do tempo
(1.75)
Considere-se agora o circuito da Figura 1.16.a e admita-se que as duas fontes de sinal são senoidais, mas
apresentam frequências angulares distintas, ω1≠ ω2.
Circuitos Elétricos 1
17
apresentam frequências angulares distintas, ω1≠ ω2.
Figura 1.16 Teorema da sobreposição das fontes (fontes senoidais com frequências angulares distintas)
As conseqüências desta diferença são basicamente duas:
(i) as impedâncias dos componentes do circuito diferem consoante a fonte considerada;
(ii) os fasores relativos a cada uma das fontes não podem ser adicionados entre si, sendo
necessário convertê-los primeiramente para o domínio do tempo.
Assim, no caso da fonte Vs (Figura 1.16.b) o fasor da tensão V2 é
(1.76)
subjacente ao qual se encontra a frequência ω1=1000 rad/s, ao passo que no caso da fonte Is (Figura 1.16.c) o fasor
é
(1.77)
em que ω2=10000 rad/s. No domínio do tempo a tensão v2(t) é expressa por
(1.78)
um resultado distinto daquele obtido em (1.75).
1.4.4 Teorema de Millman
A generalização do teorema de Millman é conseqüência da validade da transformação de fonte no regime forçado
senoidal. Como a Figura 1.17 indica visualmente, a aplicação sucessiva da transformação de fonte permite associar
e simplificar tanto a associação em paralelo de fontes de tensão não ideais, como a associação em série de fontes
Circuitos
Elétricos
1
18 para constatar a igualdade na forma entre o teorema de
de
corrente.
A informação
contida nas figuras é suficiente
Millman em notação fasorial e no domínio do tempo.
e simplificar tanto a associação em paralelo de fontes de tensão não ideais, como a associação em série de fontes
de corrente. A informação contida nas figuras é suficiente para constatar a igualdade na forma entre o teorema de
Millman em notação fasorial e no domínio do tempo.
Figura 1.17 Teorema de Millman
1.4.5 Teorema de Miller
Considere-se o circuito da Figura 1.18, relativamente ao qual se pretende determinar a impedância equivalente à
direita dos terminais a-b.
Circuitos Elétricos 1
19
direita dos terminais a-b.
Figura 1.18 Teorema de Miller
A particularidade deste circuito consiste no fato de a impedância Z se encontrar ligada a dois terminais entre os
quais existe uma relação de ganho, conseguido pela fonte dependente -aVx. A aplicação da Lei de Kirchhoff das
tensões à única malha do circuito permite escrever a igualdade
(1.79)
na qual se inscreve a impedância à direita dos terminais a-b
(1.80)
A relação (1.80) indica que a impedância Z é dividida pelo fator (1+a), indicativo da tensão que na realidade se
encontra aplicada aos terminais.
Um resultado de particular interesse inscrito na relação (1.80) é o designado efeito de Miller sobre a capacidade
dos condensadores. Como se indica na Figura 1.19, nos casos em que a impedância Z é definida por um
condensador, Z=(jωC)-1, o valor aparente da capacidade é amplificado de um fator (1+a)
(1.81)
O efeito de Miller é amplamente utilizado na compensação da resposta em frequência de amplificadores
operacionais e na redução do efeito de injeção do sinal de relógio em circuitos amostradores-retentores de sinal.
Figura 1.19 Efeito de Miller sobre a capacidade de um condensador
1.5 Potência
1.5.1 Potência nos Elementos R, C e L
Considere-se o circuito representado na Figura 1.20 e admita-se que o fasor da fonte de tensão é Vs=V∠ 0.
Circuitos Elétricos 1
20
ou ainda
(1.88)
Figura 1.20 Potência dissipada numa resistência no regime forçado sinusoidal
Dada
a natureza real da resistência, o fasor da corrente no circuito encontra-se em fase com o da tensão
ou seja,
(1.82)
(1.87)
Em
instantâneos,
Umavalores
vez que
a potência instantânea é periódica no tempo, e em particular com período duplo daqueles
característicos da corrente e da tensão (Figura 1.21.b), o valor médio respectivo é dado pelo integral
(1.83)
eque em conjunto conduzem à expressão da potência instantânea
(1.86)
(1.84)
(1.85)
Circuitos Elétricos 1
21
(1.89)
valor que no caso dos sinais senoidais é dado por
(1.90)
Considere-se agora o circuito da Figura 1.21, cujos fasores da tensão e da corrente se encontram desfasados de π/2
radianos,
(1.91)
ou seja,
(1.92)
e
(1.93)
respectivamente. A potência instantânea fornecida ao condensador (Figura 1.21.b) é expressa pelo produto
(1.94)
cujo valor médio no tempo é nulo,
(1.95)
O resultado em (1.105) indica que o condensador não dissipa energia elétrica, pelo contrário é um elemento capaz
de armazenar e restituir energia à fonte de alimentação. É facilmente demonstrável que a potência média dissipada
numa bobina é identicamente nula.
Figura 1.21 Potência acumulada num condensador no regime forçado senoidal
1.5.2 Potência nos Circuitos RC e RL
Circuitos Elétricos 1
22
Considere-se o circuito RC da Figura 1.22, relativamente ao qual se pretende determinar as potências instantânea e
média fornecida pela fonte.
Figura 1.22 Potência dissipada num circuito RC
De acordo com a metodologia estabelecida anteriormente, o fasor da corrente no circuito é expresso pelo cociente
(1.96)
em que ϕ=artg(-1/ωRC). As expressões da tensão e da corrente no domínio do tempo são, respectivamente,
(1.97)
e
(1.98)
A potência instantânea fornecida ao circuito pela fonte é expressa pelo produto
(1.99)
ou ainda
(1.100)
cujo valor médio no tempo é
(1.101)
Circuitos Elétricos 1
23
ou
(1.102)
ou ainda
(1.103)
em que Z define o módulo da impedância do conjunto RC. Observando o triângulo das impedâncias da Figura
1.22.b verifica-se que
(1.104)
isto é, que a potência fornecida pela fonte ao circuito coincide na íntegra com aquela dissipada na resistência
(1.105)
O resultado expresso por (1.105) concorda com a conclusão obtida anteriormente para as potências médias
dissipadas pelos elementos resistência e condensador. A potência fornecida pela fonte é, assim, composta por duas
parcelas:
(i) uma parcela relativa à energia dissipada por efeito de Joule na resistência, que constitui um
processo irreversível;
(ii) e outra parcela, alternadamente acumulada e restituída pelo condensador à fonte. Estas trocas
de energia contribuem apenas para aumentar a amplitude máxima da corrente no circuito.
Pode facilmente demonstrar-se que a potência fornecida por uma fonte a um circuito RL coincide com aquela
estabelecida em (1.105).
1.5.3 Potências Ativa, Reativa e Aparente
Considere-se o circuito representado em 1.23.a, constituído por uma fonte de tensão senoidal e uma impedância
Z=R+jX (Figuras 11.23 a e b).
Circuitos Elétricos 1
24
Figura 1.23 Potências aparente, ativa e reativa
Admita-se ainda que a parte imaginária da impedância é positiva (hipótese que equivale a considerar a carga como
um circuito RL), que o fasor da tensão aplicada é
(1.106)
que representa a potência alternadamente trocada entre a fonte de tensão e o elemento acumulador de energia. As
epotências
que, portanto,
o fasor
da corrente
no(ativa
circuito
é (Figura
aparentes,
reativas
e ativas
no sentido
de1.23.c)
potência dissipada por efeito de Joule sobre as
resistências) definem o triângulo das potências representado na Figura 1.23.d. As potências ativa e reativa definem
os catetos do triângulo, em direções perpendiculares entre si, ao passo que a hipotenusa do mesmo define
a
(1.107)
define
a potência
fornecida
ao circuito
pela
sejaaparente
a fracção dissipada na
O produto
potência
aparente.aparentemente
O cociente entre
a potência
dissipada
porfonte,
efeitopotência
de Jouleque
e a inclui
potência
parte resistiva da impedância, seja a parte trocada com a parte imaginária. Por outro lado, designa-se por potência
reativa o produto
VA, volt-ampere
(1.108)
(1.110)
VAr, volt-ampere reativo
(1.109)
Circuitos Elétricos 1
25
(1.110)
é designado por fator de potência da carga e constitui uma medida da eficácia com que a potência é transferida da
fonte para a carga. Quando o fator de potência é inferior à unidade, a corrente no circuito encontra-se acima do
valor estritamente necessário para transferir a potência que na realidade se transfere, ocorrendo perdas de energia
desnecessárias por efeito de Joule sobre as linhas de distribuição.
A correção do fator de potência é uma das tarefas que mais preocupa as companhias distribuidoras de energia
elétrica. Com efeito, os consumidores de energia elétrica, sejam eles os motores das fábricas, os eletrodomésticos
nas casas etc., conduzem em geral a impedâncias com caráter indutivo, isto é, a cargas cuja parte imaginária é
positiva. Nestes casos, o fator de potência pode ser aumentado introduzindo, em paralelo com a carga, um
condensador de compensação, conduzindo assim à redução da parte reativa da potência.
1.5.4 Teorema da Máxima Transferência de Potência
No âmbito dos circuitos resistivos puros, constatou-se que a máxima transferência de potência entre uma fonte e
uma carga ocorre quando estas se encontram adaptadas, isto é, quando a carga e a resistência de saída da fonte
apresentam valores idênticos. Este teorema pode ser generalizado ao âmbito da análise fasorial do regime forçado
senoidal, concluindo-se neste caso que a máxima transferência de potência ocorre quando as impedâncias da fonte
e da carga são complexas conjugadas.
Considere-se então o circuito representado na Figura 1.24, constituído por uma fonte de tensão senoidal com
impedância de saída Zs=Rs+jXs, e por uma carga complexa, Z=R+jX.
Figura 1.24 Teorema da máxima transferência de potência
O fasor da corrente no circuito é dado pelo cociente
(1.111)
cujo módulo é
(1.112)
De acordo com os resultados obtidos na secção anterior, o valor médio da potência ativa (de Joule) efetivamente
dissipada pela carga é
(1.113)
Independentemente das partes resistivas da impedância de saída da fonte e da carga, Rs e R respectivamente,
ambas positivas, o máximo da transferência de potência ocorre certamente quando
Circuitos Elétricos 1
26
(1.114)
dado que estas podem ser positivas (as bobinas) ou negativas (os condensadores). Neste caso, a expressão da
potência média em (1.113) simplifica-se para
(1.115)
expressão que coincide na forma com aquela obtida anteriormente no âmbito da análise dos circuitos resistivos
puros. A determinação do máximo de (1.115) conduz então ao resultado
(1.116)
o qual, em conjunto com (11.114), permite escrever a condição de máxima transferência de potência
(1.117)
Na Figura 1.25 ilustra-se o significado prático da adaptação de impedâncias entre fonte e carga: a igualdade X=-Xs
equivale a cancelar a parte reativa do conjunto de impedâncias formado pela fonte e pela carga, ou seja, a
reconduzir o circuito à forma encontrada na análise das redes resistivas puras (Figura 1.25.b). Convém, no
entanto, salientar o fato de a adaptação de impedâncias se verificar apenas para uma frequência angular bem
definida. Significa isto que a escolha da impedância de carga deve ser feita em função da frequência para a qual se
pretende maximizar a transferência de potência.
Figura 1.25 Adaptação de impedâncias
Sumário
O regime forçado senoidal estuda as relações existentes entre as amplitudes e as fases das variáveis tensões e
corrente elétrica nos circuitos excitados exclusivamente por fontes senoidais.
O fasor é uma entidade complexa que compila a informação relativa à amplitude e à fase na origem de uma
senóide de tensão ou corrente, ao passo que a impedância elétrica é o número complexo resultante do cociente
entre os fasores de tensão e corrente num componente. Os elementos resistência, condensador e bobina
apresentam impedâncias dadas por R, jωL e 1/jωC, respectivamente, sendo nos dois últimos casos uma função da
frequência angular sob análise.
As Leis de Kirchhoff das tensões e das correntes, as regras de associação série e paralelo de impedâncias e as
regras dos divisores de tensão e de corrente são generalizáveis à análise fasorial do regime forçado senoidal. O
mesmo sucede com os métodos das malhas e dos nós, e os teoremas da transformação de fonte, de Thévenin, de
Norton, da sobreposição das fontes, de Millman e de Miller.
Apenas a resistência é responsável pela dissipação de energia (o efeito de Joule). Os elementos condensadores e
bobina acumulam e restituem energia às fontes.
Circuitos Elétricos 1
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bobina acumulam e restituem energia às fontes.
A máxima transferência de potência entre uma fonte e uma carga complexa ocorre quando a carga e a
impedância de saída da fonte são complexas conjugadas. Esta situação é designada por adaptação de
impedâncias.
Exercícios de Aplicação
*1.1 Admitindo que a relação entre a corrente e a tensão num componente é dada por:
(a) v(t)= 10 cos(10000t) e i(t)= 0.01 cos(10000t);
(b) v(t)= 10 cos(10000t+π/2) e i(t)= 0.01 cos(10000t);
(c) v(t)= 10 cos(10000t+π/2) e i(t)= 0.01 cos(10000t+π).
Indique qual o tipo de elemento em questão.
*1.2 Considere as seguintes expressões das tensões elétricas v1(t) e v2(t) aos terminais de dois elementos de um
circuito:
(a) v1(t)=10cos(10000t) e v2(t)=10cos(10000t+π/2);
(b) v1(t)=10cos(t+π/3) e v2(t)=10cos(t+π/2).
Em cada um dos casos determine a expressão da tensão v(t)=v1(t)+v2(t), recorrendo à notação fasorial.
*1.3 Efetue os seguintes cálculos:
(a)
(b)
*1.4 Determine o valor do módulo, da fase, da parte real e da parte imaginária das impedâncias e admitâncias
representadas na Figura E1.4. Em qualquer dos casos, considere uma frequência f=1000 Hz.
Figura E1.4
1.5 Considere o circuito representado na Figura E1.5. Determine os valores numéricos dos seguintes fasores e
impedâncias:
(a) a impedância vista à direita dos terminais da fonte;
(b) o fasor da corrente fornecida pela fonte de tensão.
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Figura E1.5
*1.6 Considere o circuito representado na Figura E1.6. Por aplicação do método dos nós, determine o fasor da
tensão aos terminais do condensador. Estabeleça também a expressão da tensão no domínio do tempo.
Figura E1.6
*1.7 Considere o circuito representado na Figura E1.7. Determine a expressão da corrente i(t) na resistência R.
Figura E1.7
1.8 Considere os circuitos representados na Figura 1.8. Por aplicação do método dos nós ou das malhas, obtenha a
relação matricial relativa às tensões e às correntes nos diversos nós e elementos do circuito.
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Figura E1.8
*1.9 Determine os equivalentes de Thévenin e Norton dos circuitos representados na Figura E1.9.
Figura E1.9
*1.10 Por aplicação do teorema da sobreposição das fontes, determine a expressão da tensão vo(t) indicada no
circuito representado na Figura E1.10. Admita que:
(a) ω1=ω2=1000 rad/s;
(b) ω1=1000 rad/s e ω2=500 rad/s.
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Figura E1.10
1.11 Considere os circuitos representados na Fig.E.1.11. Determine o valor da indutância (L) e da resistência (R)
para as quais se verifica a máxima transferência de potência entre a fonte e a carga RL.
Figura E1.11
11.12 Considere o circuito representado na Figura E1.12. Determine:
(a) a potência instantânea transferida para cada elemento;
(b) a potência média dissipada por cada elemento;
(c) a potência ativa, aparente e reativa fornecida pela fonte.
Figura E1.12
Desenhe o respectivo triângulo das potências.
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