Lista de Exercıcios sobre Cônicas - TADS

Lista de Exercı́cios sobre Cônicas - TADS - 2014/02
1. Estabeleça equação de cada uma das parábolas, sabendo que:
(a) vértice: V (0, 0); diretriz d : y = −2
(b) vértice: V (0, 0); foco: F (0, −3)
(c) vértice: V (0, 0); simetria em relação ao eixo dos y e passando pelo ponto P (2, −3)
(d) vértice: V (−2, 3); foco: F (−2, 1)
(e) vértice: V (2, −1); foco: F (5, −1)
(f) foco: F (2, 3); diretriz y = −1
(g) foco: F (3, −1); diretriz x = − 12
(h) eixo de simetria paralelo ao eixo dos y e passa pelos pontos A(0, 1), B(1, 0)eC(2, 0).
2. Determine o vértice, o foco, uma equação para a diretriz e uma equação para o eixo da parábola de
equação dada. Esboçar o gráfico.
(a) x2 = −12y
(b) y 2 = −100x
(c) x2 = 10y
(d) x2 + 4x + 8y + 12 = 0
(e) x2 − 2x − 20y − 39 = 0
(f) y 2 + 4y + 16x − 44 = 0
(g) y 2 + 2y − 16x − 31 = 0
(h) y = x2 − 4x + 2.
3. Determine os vértices, os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico.
(a) x2 + 25y 2 = 25
(b) 9x2 + 5y 2 − 45 = 0
(c) 4(x − 3)2 + 9(y + 1)2 − 36 = 0
(d) 16(x + 2)2 + (y − 2)2 − 16 = 0
(e) 16(x − 3)2 + 9(y + 4)2 − 144 = 0
(f) 4(x − 1)2 + 9(y − 2)2 − 18 = 0.
4. Determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.
(a) eixo maior mede 10 e focos (±4, 0)
√
(b) centro C(0, 0), um foco F (0, − 5) e eixo menor mede 4.
(c) centro C(0, 0), focos no eixo dos x, excentricidade e = 2/3 e passa pelo ponto P (2, −5/3)
(d) centro C(−3, 0), um foco F (−1, 0) e tangente ao eixo dos y.
(e) centro C(−3, 4), semi-eixos de comprimento 4 e 3 e eixo maior paralelo ao eixo dos x.
(f) vértices A1 (−1, 2), A2 (−7, 2) e a medida do eixo menor igual a 2.
1
5. Determine a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.
(a) focos F (0, ±3), vértice A(0, ±2)
(b) vértices A(±4, 0), passando por P (8, 2)
(c) centro C(0, 0), eixo real sobre o eixo dos y, b = 8 e excentricidade 5/3.
(d) vértices em (5, −2) e (3, −2), um foco em (7, −2)
(e) vértices em (5, 5) e (5, −1), excentricidade e = 2
√
(f) centro C(5, 1), um foco em (9, 1), eixo imaginário mede 4 2
(g) focos F1 (−1, −5) e F2 (5, −5), hipérbole equilátera
(h) centro C(−2, 1), eixo real paralelo ao eixo x, passando por (0, 2) e (−5, 6).
6. Determine os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.
(a) 4x2 − 5y 2 + 20 = 0
(b) x2 − y 2 − 8 = 0
(c) 3x2 − y 2 + 3 = 0
(d) x2 − y 2 = 1
(e) 9(x − 1)2 − 4(y + 2)2 − 36 = 0
(f) 9(x − 3)2 − 4(y − 1)2 + 36 = 0
(g) 4(x − 4)2 − (y − 2)2 = 36
(h) 9(x + 2)2 − (y − 3)2 + 36 = 0.
7. Ache os vértices e os focos da cônica e trace o gráfico.
(a) y 2 = 64x
(b) y = 8x2 + 32x + 33
(c) x2 − y 2 − 4 = 0
(d) 25x2 + 36y 2 = 1
(e) 3(x − 3)2 + 4(y + 1)2 = 12
(f) (x + 4)2 − 9(y − 5)2 = 1
(g) x = 2y 2 + 8y + 3
(h) 4(x + 3)2 + 9(y − 2)2 − 36 = 0
(i) −2(x − 2)2 + (y + 3)2 − 4 = 0
(j) (x − 5)2 + (y + 4)2 − 2 = 0.
Gabarito
1. (a) x2 = 8y
(e) y 2 + 2y − 12x + 25 = 0
(f) (x − 2)2 = 8(y − 1)
(b) x2 = −12y
(g) y = x2 /2 − 3x/2 + 1
(c) 3x2 + 4y = 0
(d) x2 + 4x + 8y − 20 = 0
2. (a) V (0, 0), F (0, −3), y = 3, x = 0
(c) V (0, 0), F (0, 5/2), y = −5/2, x = 0
(b) V (0, 0), F (−25, 0), x = 25, y = 0
(d) V (−2, −1), F (−2, −3), y = 1, x = −2
2
(e) V (1, −2), F (1, 3), y = −7, x = 1
(g) V (−2, −1), F (7, −1), x = −1, y = −1
(f) V (3, −2), F (−1, −2), x = 7, y = −2
√
√
3. (a) C(0, 0), A(±5, 0), F (±2 6, 0), e = 2 6/5
(h) V (2, −2), F (2, −7/4), y = −9/4, x = 2.
(b) C(0, 0), A(0, ±3), F (0, ±2), e = 2/3
√
√
5, −1), e = 5/3
√
√
(d) C(−2, 2), A1 (−2, −2), A2 (−2, 6), F (−2, 2 ± 15), e = 15/4
√
√
(e) C(3, −4), A1 (3, −8), A2 (3, 0), F (3, −4 ± 7), e = 7/4
√
√
(f) C(1, 2), A1 (−2, 2), A2 (4, 2), F (1 ± 5, 2), e = 5/3
(c) C(3, −1), A1 (6, −1), A2 (0, −1), F (3 ±
4. (a) 9x2 + 25y 2 = 225
(d) 5x2 + 9y 2 + 30x = 0
(b) 9x2 + 4y 2 − 36 = 0
(e) 9x2 + 16y 2 + 54x − 128y + 193 = 0
(c) 5x2 + 9y 2 − 45 = 0
(f) x2 + 9y 2 + 8x − 36y + 43 = 0
5. (a) 4x2 − 5y 2 + 20 = 0
(e) x2 − 3y 2 − 10x + 12y + 40 = 0
(b) x2 − 12y 2 − 16 = 0
(f) x2 − y 2 − 10x + 2y + 16 = 0
(c) 16y 2 − 9x2 − 576 = 0
(g) 2x2 − 2y 2 − 8x − 20y − 51 = 0
(d) 8x2 − y 2 − 64x − 4y + 116 = 0
(h) 24x2 − 5y 2 + 96x + 10y = 0
6. (a) A(0, ±2), F (0, ±3), e = 3/2
√
√
(b) A(0, ± 3), F (0, ±2), e = 2 3/3
√
√
(c) A(±1, 0), F (± 2, 0), e = 2
√
√
(d) C(1, −2), A1 (−1, −2), A2 (3, −2), F (1 ± 13, −2), e = 13/2
√
√
(e) C(3, 1), A1 (3, −2), A2 (3, 4), F (3, 1 ± 13), e = 13/3
√
√
(f) C(4, 2), A1 (1, 2), A2 (7, 2), F (4 ± 3 5, 2), e = 5
√
√
(g) C(−2, 3), A1 (−2, −3), A2 (−2, 9), F (−2, 3 ± 2 10), e = 10/3
3