Circuitos Eletricos

NOTA DE AULA
PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO
CIRCUITOS ELÉTRICOS
1 INTRODUÇÃO
Os circuitos elétricos são a corrente sanguínea no equipamento do cientista e do engenheiro. Neste capítulo
estudaremos os circuitos mais simples e veremos processos para analisá-los. Limitaremos nosso estudo ao caso em que
o sentido da corrente é contínuo segundo uma direção - os circuitos de corrente contínua (CC). Os circuitos em que o
sentido da corrente oscila para frente e para trás, chamados circuitos de corrente alternada (CA), não serão abordados
nesse capítulo.
2 FORÇA ELETROMOTRIZ E CIRCUITOS
Para que um condutor possua uma corrente estacionária, ele deve ser parte de uma trajetória fechada ou
circuito completo. Explicaremos a seguir a razão disso. Quando um campo elétrico E1 é aplicado no interior de um
condutor isolado com resistividade ρ que não seja parte de um circuito completo, uma corrente começa a fluir com uma
densidade de corrente J = E1/ρ (figura 1a). Em decorrência disso, uma carga positiva se acumula rapidamente em uma
das extremidades e uma carga negativa se acumula na outra extremidade (figura 1b). Por sua vez, essas cargas
produzem um campo elétrico E2 em sentido oposto ao de E1 , fazendo diminuir o campo elétrico e, portanto, a corrente.
Em uma fração de segundo acumulam-se cargas nas extremidades do condutor de tal modo que o campo elétrico
resultante E  E1  E2  0 no interior do condutor. Então, também J = 0 e a corrente para de fluir. Logo, é impossível
haver uma corrente estacionaria em tal circuito incompleto.
FIGURA 1 (a) Quando um campo elétrico E1 é aplicado no interior de
um condutor que não faz parte de um circuito completo, uma
corrente começa a fluir pelo menos temporariamente,
(a)
b) Essa corrente produz um acúmulo de cargas nas extremidades do
condutor criando um campo elétrico E2 em sentido oposto ao de E1 .
O campo resultante E  E1  E2 é menor e a corrente diminui. Depois
de um tempo muito curto, o módulo de E2 torna-se igual ao módulo
(b)
de E1 , de modo que o campo resultante E é igual a zero; a corrente
para de fluir completamente.
Para sabermos como manter uma corrente estacionária em um circuito completo, lembremos um fato básico
sobre diferença de potencial: quando uma carga q percorre um circuito completo e retorna ao seu ponto de partida, a
energia potencial no final da trajetória é igual à energia potencial no início da trajetória. Conforme descrito no Capítulo
anterior, existe sempre diminuição da energia potencial quando as cargas se movem através de um material condutor
normal com resistência. Portanto, deve existir alguma parte do circuito na qual a energia potencial aumenta.
O problema é semelhante ao de uma fonte de água ornamental que recicla sua água. No topo da fonte, a água
jorra através de aberturas, descendo os declives em sua trajetória (movendo-se no sentido da diminuição da energia
potencial gravitacional), sendo coletada em um recipiente na base da fonte. A seguir, uma bomba eleva a água
novamente para o topo da fonte (aumentando a energia potencial) para iniciar um novo ciclo. Se não houvesse a
bomba, a água simplesmente fluiria para o recipiente na base, onde permaneceria em repouso.
FORÇA ELETROMOTRIZ
Em algum ponto de um circuito elétrico, deve existir um dispositivo que desempenhe um papel semelhante ao
da bomba na fonte de água. Nesse dispositivo, a carga se desloca "para cima", de uma energia potencial mais baixa para
uma mais elevada, embora a força eletrostática tente empurrá-la de uma energia potencial mais elevada para uma mais
baixa. O sentido da corrente elétrica nesse dispositivo é do potencial mais baixo para o mais elevado, sentido
exatamente oposto ao que ocorre em um condutor comum. O agente que faz a corrente fluir do potencial mais baixo
para o mais elevado denomina-se força eletromotriz (fem). Esse termo não é muito exato, pois a fem não é uma força,
mas sim uma grandeza com dimensão de energia por unidade de carga, tal como o potencial. A unidade SI de fem é a
mesma de potencial, o volt (1V = 1 J/C). Uma pilha típica de uma lanterna possui fem igual a 1,5V; isso quer dizer que a
pilha realiza um trabalho de 1 J sobre cada coulomb de carga que passa através dela. Para designar uma fem, usaremos
o símbolo ε (uma letra "E" manuscrita maiúscula).
Todo circuito completo por onde passa uma corrente estacionária deve possuir algum dispositivo que forneça
uma fem. Tal dispositivo denomina-se fonte de fem. Pilhas, baterias, geradores elétricos, células solares, termopares e
células de combustível são exemplos de fontes de fem. Todos esses dispositivos convertem algum tipo de energia
(mecânica, química, térmica e assim por diante) em energia potencial elétrica e transferem essa energia para o circuito
no qual o dispositivo esteja conectado. Uma fonte de fem ideal mantém uma diferença de potencial constante através
de seus terminais, independentemente de a corrente passar ou não através do dispositivo. Definimos
quantitativamente a fem como o módulo dessa diferença de potencial. Como veremos, tal fonte ideal é um mito, como
o plano sem atrito e a corda sem massa. Mais adiante, mostraremos a diferença entre uma fonte de fem ideal e uma
fonte real.
A figura 2 mostra um diagrama esquemático de uma fonte de fem ideal que mantém uma diferença de
potencial constante entre os condutores a e b, chamados de terminais da fonte. O terminal a, marcado pelo sinal +, é
mantido a um potencial mais elevado do que o potencial do terminal b, marcado pelo sinal -. Associado com a diferença
de potencial, existe um campo elétrico E na região em torno dos terminais, tanto no interior quanto no exterior da
fonte. O campo elétrico no interior do dispositivo é orientado de a para b, como indicado. Uma carga q no interior da
fonte sofre a ação de uma força elétrica Fe  qE . Porém, a fonte também fornece uma influência adicional, que vamos
representar como uma força não-eletrostática Fn . Essa força, agindo no interior do dispositivo, arrasta cargas "para
cima" em sentido contrário ao da força elétrica Fe . Logo, Fn é responsável pela manutenção da diferença de potencial
entre os terminais. Caso não existisse a força Fn , as cargas se escoariam entre os terminais até que a diferença de
potencial se tornasse igual a zero. A origem da influência adicional de Fn depende do tipo da fonte. Em um gerador
elétrico, ela decorre das forças magnéticas que atuam sobre cargas que se movem. Em uma bateria ou em uma célula
de combustível, ela é associada com processos de difusão e com as variações de concentrações eletrolíticas produzidas
por reações químicas.
FIGURA 2 Diagrama esquemático de uma fonte de fem para a situação de
um "circuito aberto" no qual a fonte não está conectada a um circuito.
Indicamos a força elétrica Fe  qE e a força não-eletrostática Fn que atuam
sobre uma carga positiva q. O trabalho realizado por Fn sobre uma carga
positiva q que se move de a até b é igual a qε, onde ε é a fem. Para a
situação de um circuito aberto, Fe e Fn possuem módulos iguais.
Quando uma carga positiva q se move de b para a no interior de uma fonte, a força não-eletrostática Fn realiza
um trabalho positivo Wn = qε sobre a carga. Esse deslocamento é oposto ao da força eletrostática Fe , de modo que a
energia potencial associada com a carga cresce de qVab , onde Vab é o potencial de a (positivo) em relação ao ponto b.
Para uma fonte ideal de fem que descrevemos, Fe e Fn possuem o mesmo módulo e a mesma direção, porém sentidos
contrários, de modo que o trabalho realizado sobre a carga q é igual a zero; ocorre um aumento de energia potencial,
porém nenhuma variação da energia cinética da carga. Isso é semelhante a levantar um livro com velocidade constante
até o alto de uma estante. O aumento da energia potencial é exatamente igual ao trabalho não-eletrostático Wn, de
modo que qε = qVab , ou seja,
Vab = ε (fonte de fem ideal).
[1]
Vamos agora fazer um circuito completo conectando um fio com resistência R aos terminais de uma fonte de
tensão (figura 3). A diferença de potencial entre os terminais a e b cria um campo elétrico no interior do fio; isso produz
uma corrente que flui de a para b no circuito externo, do potencial mais elevado para o mais baixo. Note que, nos locais
onde o fio se encurva, surgem cargas de sinais contrários nas partes "internas" e "externas" das curvas. Essas cargas são
responsáveis pelas forças que obrigam a corrente a seguir um caminho ao longo das curvas dos fios.
2
FIGURA 3 Diagrama esquemático de uma fonte ideal em um
circuito completo. Os vetores Fe e Fn são as forças que atuam
sobre uma carga positiva q no interior da fonte. A corrente flui
de a para b no circuito externo e de b para a no interior da
fonte.
De acordo com a lei de Ohm, a diferença de potencial entre as extremidades do fio indicado na figura 3 é dada
por Vab = IR. Combinando com a equação (1), obtemos
ε = Vab = IR
(fonte de fem ideal).
[2]
Ou seja, quando uma carga positiva q flui em torno do circuito, o aumento de potencial através da fonte ideal é
igual à queda de potencial Vab = IR quando a corrente passa pelo restante do circuito. Conhecendo-se os valores de ε e
de R, pela relação anterior podemos determinar a corrente no circuito.
RESISTÊNCIA INTERNA
Uma fonte real em um circuito não se comporta exatamente da maneira que descrevemos; a diferença de
potencial entre os terminais de uma fonte real não é igual à fem, como indica a equação (2). A razão disso é que a carga
que se move no interior do material de qualquer fonte real encontra uma resistência chamada de resistência interna da
fonte e designada pela letra r. Quando essa resistência segue a lei de Ohm, r deve ser constante e independente da
corrente I. À medida que a corrente se desloca através de r, ela sofre uma queda de potencial igual a Ir. Logo, quando
uma corrente flui através de uma fonte do terminal negativo b até o terminal positivo a, a diferença de potencial Vab
entre os terminais é dada por
Vab = ε - Ir (voltagem nos terminais da fonte com resistência interna).
[3]
A diferença de potencial Vab, chamada de voltagem nos terminais, é menor do que a fem ε em virtude do termo
Ir, que representa a queda de potencial através da resistência interna r. Expressando de outra maneira, o aumento da
energia potencial qVab que ocorre quando a carga q se desloca de b até a no interior da fonte é menor do que o trabalho
qε realizado pela força não-eletrostática Fn , visto que uma certa energia potencial se perde quando a carga atravessa a
resistência interna.
Uma pilha de 1,5 V possui fem igual a 1,5 V, porém a voltagem Vab nos terminais da pilha é igual a 1,5 V somente
quando nenhuma corrente flui através dela, de modo que I = 0 na equação (3). Quando a pilha faz parte de um circuito
completo pelo qual passa uma corrente, a voltagem nos terminais da pilha é menor do que 1,5 V. A voltagem nos
terminais de uma fonte de fem real possui valor igual ao da fem somente quando nenhuma corrente flui através da
fonte. Portanto, podemos descrever o comportamento de uma fonte com base em duas propriedades: uma fem ε, que
fornece uma diferença de potencial constante independente da corrente, e uma resistência interna r ligada em série
com a fonte.
A corrente que passa no circuito externo conectado com os terminais a e b da fonte é ainda determinada pela
relação V=IR que, combinada com a equação (3), fornece
ε - Ir = IR,
ou

(corrente, fonte com resistência interna).
[4]
I
R r
Ou seja, a corrente é obtida dividindo-se o valor da fem da fonte pela resistência total do circuito (R + r).
SÍMBOLOS USADOS NOS DIAGRAMAS DE CIRCUITOS
Uma etapa importante na análise de qualquer circuito consiste em desenhar um diagrama do circuito
esquemático. A Tabela 1 mostra os símbolos geralmente empregados nesses diagramas. Usaremos muito esses
símbolos neste capítulo.
Geralmente, supomos que os fios que conectam os elementos de um circuito possuem resistência desprezível;
pela equação V = IR, concluímos que a diferença de potencial nas extremidades desses fios é igual a zero. A Tabela 1
inclui dois instrumentos de medida usados nas medidas das propriedades dos circuitos. Um medidor ideal não perturba
o circuito no qual ele está conectado. Um voltímetro mede a diferença de potencial entre os pontos nos quais seus
terminais são conectados; um voltímetro ideal possui resistência interna infinita e, quando mede uma diferença de
potencial, nenhuma corrente é desviada para ele. Um amperímetro mede a corrente que passa através dele; um
3
amperímetro ideal possui resistência igual a zero e não apresenta nenhuma diferença de potencial entre seus terminais.
Como esses instrumentos de medida fazem parte do circuito no qual estão conectados, é importante lembrar essas
propriedades.
Condutor com resistência desprezível
Resistor
Fonte de fem (a linha vertical mais longa indica o terminal positivo, geralmente o potencial mais
elevado)
Fonte de fem com resistência interna r (a resistência interna r pode ser colocada em qualquer
lado)
Voltímetro (mede uma diferença de potencial entre seus terminais)
Amperímetro (mede uma corrente que passa através dele)
Tabela 1 Símbolos empregados nos diagramas deste capítulo.
3 APARELHOS DE MEDIDA
São colocados nos circuitos para indicar correntes e tensões em determinados aparelhos que se pretende
monitorar.
De modo geral, denominamos amperímetro, ou amperômetro, o aparelho destinado a medir intensidades de
correntes elétricas. Neste item vamos analisar também o aparelho chamado voltímetro, ou voltômetro, destinado a
medir a tensão ou ddp entre dois pontos de um circuito elétrico.
Devemos ressaltar que ao colocarmos esses instrumentos de medida em um circuito elétrico, geralmente
buscamos fazê-lo de modo que a inserção dos aparelhos não modifique a intensidade das correntes elétricas ou as
diferenças de potencial. Entretanto, essa é uma situação apenas teórica, ideal, pois, pelo fato de esses instrumentos
serem constituídos por condutores, a simples colocação dos aparelhos no circuito provoca, inevitavelmente,
modificações nas intensidades de corrente e nas tensões.
Dizemos que o aparelho de medida é ideal quando sua inserção no circuito não provoca alterações nas
intensidades de corrente ou nas diferenças de potencial.
Vamos, então, analisar as características que esses medidores ideais devem apresentar.
3.1 Amperímetro
Aparelho destinado a medir corrente elétrica. Para não interferir na medição do circuito em questão deve ter
resistência interna nula que é o ideal. Deve ser ligado em série com o ponto desejado para verificar a intensidade de
corrente.
FIGURA 4 Amperímetro de fundo de escala de 50 A.
Num circuito elétrico, um amperímetro (A) será representado por um símbolo como na figura 5.
FIGURA 5 Representação simbólica do amperímetro.
4
O amperímetro deve ser introduzido no circuito de modo que o aparelho seja atravessada corrente elétrica cuja
intensidade i se deseja medir. Para que isso aconteça, o amperímetro deve ser associado em série com o elemento de
circuito.
Numa situação ideal, na qual a intensidade de corrente elétrica não sofre modificação, a resistência elétrica do
amperímetro deve ser nula, como na figura 6. Nesse caso, logicamente, a ddp terminais do amperímetro ideal será nula.
Observe ainda que, se tivéssemos conectado o amperímetro ideal em paralelo com qualquer um dos dois resistores,
estaríamos provocando um curto-circuito.
FIGURA 6 Amperímetro com resistência elétrica nula.
3.2 Voltímetro
Aparelho destinado a medir tensão elétrica. Ele não interfere na medição do circuito em questão. Tem
resistência interna infinitamente grande, o que é ideal. Usado para verificar U (d.d.p.), liga-se em paralelo com o
aparelho estudado ou trecho de circuito.
FIGURA 7 Voltímetro.
Num circuito elétrico, também representaremos um voltímetro (V) por um símbolo.
FIGURA 8 Representação simbólica do Voltímetro.
Para medirmos a ddp U entre dois pontos de um circuito elétrico, devemos ligar os terminais do voltímetro a
esses pontos. Naturalmente, para que não se introduzam alterações no circuito original, o voltímetro ideal não deve
permitir nenhum desvio de corrente elétrica através de si. Portanto, o voltímetro ideal tem resistência elétrica
infinitamente grande (Rv —> ∞).
FIGURA 9 Voltímetro com resistência elétrica infinita.
Na figura 9, o voltímetro ideal está sendo usado para medir a ddp no resistor de resistência elétrica R2 e para
tanto foi ligado em paralelo a tal. Observe que, se tivéssemos conectado o voltímetro ideal em série no circuito, isto
impediria a passagem de corrente elétrica, e o voltímetro estaria medindo a ddp entre os terminais da associação.
Deste ponto em diante, a menos que se diga algo em contrário, admitiremos que os aparelhos de medi
utilizados sejam ideais.
Os amperímetros e voltímetros reais, para que possam ser considerados de boa qualidade, devem se aproximar
o máximo possível do instrumento ideal. Um bom amperímetro deve ter resistência elétrica muito pequena, da ordem
de 0,1Ω, enquanto um bom voltímetro deve ter resistência elétrica bastante elevada, da ordem de 10 kΩ.
5
3.3 Ponte de Wheatstone
Podemos medir a resistência elétrica R de um resistor, medindo a corrente elétrica I e a ddp U nos seus
terminais. Pela lei de Ohm:
R = V/I
Ocorre que os valores de I e U, medidos com amperímetro e voltímetro não ideais, não são precisos, gerando,
dessa forma, imprecisão no cálculo da resistência elétrica R.
Uma maneira bastante precisa de se medir o valor de R é montando o circuito abaixo, denominado ponte de
Wheatstone, constituído de um gerador, um galvanômetro, um reostato (resistor de resistência arbitrariamente
variável) e dois outros resistores de resistências elétricas conhecidas.
FIGURA 10 Ponte de Wheatstone.
Variando-se o valor da resistência R1 do reostato, varia-se o valor da corrente ig no galvanômetro. Quando a
corrente elétrica no galvanômetro se anula (ig = 0), dizemos que a ponte está em equilíbrio e, nesse caso, UCD = 0.
Assim:
UAC = UAD  R1.i1 = R2.i2 (I)
UBC = UBD  R4.i'1 = R3.i'2 (II)
Como i1 = i'1 e i2 = i'2 pois ig = 0, dividindo membro a membro as igualdades (I) e (II), temos:
R1 .i1 R2 .i2
R R

 1 2
R4 .i'1 R3 .i'2
R4 R3
ou seja,
R4.R2 = R1.R3
[5]
e, dessa forma, temos medido o valor de R = R4.
3.4 Ponte de Fio
Substituindo-se os resistores R2 e R3 por um fio homogêneo de secção transversal constante, sobre o qual
desliza um cursor P conectado ao galvanômetro, obtemos uma variante da ponte de Wheatstone, conforme a figura 11.
FIGURA 11 Ponte de fio.
Sendo:
R2  
R4 .
2
A
2
e R3   3 (segunda lei de Ohm).
A
A
Na posição D do cursor, a ponte atinge o equilíbrio e, nesse caso:
 R1 .
3
A
 R4.ℓ2 = R1.ℓ3 (produto em cruz) [6]
4 REDE ELÉTRICA
Os circuitos elétricos que estudamos até este ponto, por mais complicados que nos pareçam, são circuitos
simples, pois podem ser reduzidos a um circuito contendo um gerador, um resistor e um receptor, com um único
caminho fechado através do qual circula corrente elétrica como ilustrado na figura 12.
6
FIGURA 12 Representação de um circuito simples.
A resolução desse tipo de circuito elétrico, ou seja, a determinação de todas as suas variáveis, envolve
basicamente a aplicação da lei de Ohm. Algumas vezes, entretanto, poderemos encontrar um circuito elétrico mais
complexo, denominado rede elétrica, contendo vários caminhos fechados, e a resolução desse tipo de circuito usando
aquelas leis torna-se complicada.
FIGURA 13 Rede elétrica complexa.
A resolução desse tipo de circuito pode ser feita com a utilização de algumas regras simples, denominadas leis
de Kirchhoff, em homenagem ao físico alemão Gustav Rupert Kirchhoff (1824-1887), que as estabeleceu em meados do
século XIX.
5 NÓ, RAMO E MALHA EM UM CIRCUITO ELÉTRICO
Consideremos a rede elétrica mostrada abaixo, constituída por geradores, receptores e resistores. Numa rede
elétrica qualquer, podemos definir os seguintes elementos:
FIGURA 14 Exemplo de uma rede elétrica.
 Nó: é o ponto onde a corrente se divide. Na rede elétrica acima, os pontos F e C constituem os nós do circuito.
 Ramo: é o nome dado ao trecho de circuito entre dois nós consecutivos. Na rede elétrica que estamos considerando
temos três ramos: FABC, FC e FEDC. Observe que a cada ramo do circuito corresponde uma intensidade de corrente
elétrica.
 Malha: é a denominação dada ao conjunto de ramos que delimitam um percurso fechado. Na rede elétrica dada
acima temos três malhas: FABCF, FEDCF e ABCDEFA.
6 REGRAS DE KIRCHHOFF E CIRCUITOS SIMPLES DE CORRENTE CONTÍNUA
Como foi indicado na seção precedente, os circuitos simples podem ser analisados usando-se ΔV = IR e as regras
para combinações em série e em paralelo dos resistores. Entretanto, os resistores podem ser conectados de modo que
os circuitos formados não possam ser reduzidos a um único resistor equivalente. O procedimento para analisar tais
circuitos complexos é bastante simplificado pelo uso de duas regras simples, chamadas regras de Kirchhoff:
7
• A soma das correntes que entram em qualquer nó é igual à soma das correntes que saem desse nó. (Essa regra é
frequentemente chamada de regra dos nós ou o Lei das Correntes de Kirchhoff - LCK).
• A soma das diferenças de potencial em todos os elementos de uma malha fechada do circuito é igual a zero. (Essa
regra é chamada geralmente de regra das malhas ou Lei das Tensões de Kirchhoff - LTK).
As regras de Kirchhoff geralmente são usadas para determinar a corrente em cada elemento do circuito. Ao usar
essas regras, primeiramente desenhamos o diagrama de circuito e adotamos uma direção para a corrente em cada
dispositivo do circuito. Desenhamos uma seta representando essa direção ao lado do dispositivo e designamos um
símbolo para cada corrente independente, como I1, I2 e assim por diante. Lembre-se de que as correntes nos
dispositivos conectados em série são as mesmas, então as correntes nesses dispositivos serão designadas pelo mesmo
símbolo.
A regra dos nós é um enunciado da conservação da carga. Qualquer que seja a corrente entrando em um ponto
dado em um circuito, ela deve sair desse ponto porque a carga não pode acumular-se ou desaparecer em um ponto. Se
aplicarmos essa regra ao nó na figura 15a, teremos
I1 = I2 + I3
A figura 15b representa um análogo hidráulico a essa situação, em que a água flui através de um cano
ramificado sem vazamentos. A taxa de fluxo entrando no cano é igual à taxa de fluxo total para fora das duas
ramificações.
FIGURA 15 (a) Um diagrama esquemático ilustrando a regra
dos nós de Kirchhoff. A conservação da carga requer que
qualquer corrente que entra em um nó tenha de deixar esse
nó. Portanto, neste caso, I1 = I2 + I3. (b) Um análogo mecânico
da regra dos nós: A quantidade de água saindo das
ramificações à direita tem de ser igual à quantidade entrando
pela única ramificação à esquerda.
A segunda regra é equivalente à lei de conservação da energia. Suponha que uma carga se movimenta ao redor
de qualquer malha fechada em um circuito (a carga começa e termina no mesmo ponto). Nesse caso, o circuito deve
ganhar tanta energia quanto perde. Esse é o modelo de sistema isolado para o sistema do circuito - nenhuma energia
atravessa a fronteira do sistema, mas ocorrem transformações de energia dentro do sistema (desprezando-se a
transferência de energia pela radiação e pelo calor para o ar a partir dos elementos quentes no circuito). A energia do
circuito pode diminuir devido a uma queda de potencial -IR à medida que uma carga atravessa um resistor ou em
consequência do movimento da carga na direção oposta através de uma fem. No último caso, a energia potencial
elétrica é convertida em energia química enquanto a bateria é carregada. A energia aumenta quando a carga atravessa
uma bateria na mesma direção que a fem.
Outra abordagem para compreender a regra das malhas é recordar a definição de força conservativa visto em
Mecânica. Um dos comportamentos matemáticos de uma força conservativa é que o trabalho realizado por esse tipo de
força quando um membro do sistema percorre uma trajetória fechada é zero. Uma malha em um circuito é uma
trajetória fechada. Se imaginarmos uma carga percorrendo uma malha, o trabalho total realizado pela força elétrica
conservativa tem de ser nulo. O trabalho total é a soma dos trabalhos positivo e negativo enquanto a carga atravessa os
vários elementos do circuito. Como o trabalho está relacionado com as variações de energia potencial e como as
variações da energia potencial estão relacionadas com as diferenças de potencial, o fato de a soma de todos os
trabalhos ser nula é equivalente ao fato de a soma de todas as diferenças de potencial ser nula, que é regra das malhas
de Kirchhoff.
Ao aplicar a lei das malhas, precisamos de algumas convenções de sinais. Sempre supomos um sentido para a
corrente elétrica e marcamos o sentido escolhido no diagrama do circuito. A seguir, partindo de qualquer ponto do
circuito, percorremos o circuito e adicionamos os termos IR e cada fem, à medida que passamos através dos elementos.
Quando atravessamos uma fonte de tensão no sentido do - para o +, a fem deve ser considerada positiva. Quando
atravessamos uma fonte de tensão no sentido do + para o -, a fem deve ser considerada negativa. Quando atravessamos um resistor no mesmo sentido que escolhemos para a corrente, o termo IR é negativo porque a corrente está
fluindo no sentido dos potenciais decrescentes. Quando atravessamos um resistor no sentido contrário ao sentido da
corrente, o termo IR é positivo porque isso corresponde a um aumento de potencial.
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As convenções de sinal para diferenças de potencial para os resistores e para as baterias baseadas nessas duas
direções estão resumidas na figura 16, onde se considera que o deslocamento é do ponto a para o ponto b:
• Se um resistor for atravessado na direção da corrente, a diferença de potencial no resistor é - IR (figura 16a).
• Se um resistor for atravessado na direção oposta à da corrente, a diferença de potencial no resistor é + IR (figura 16b).
• Se uma fonte de fem for atravessada na direção da fem (do terminal - para o terminal +), a diferença de potencial é +ε
(figura 16c).
• Se uma fonte de fem for atravessada na direção oposta à da fem (do terminal + para o terminal -), a diferença de
potencial é - ε (figura 16d).
FIGURA 16 Regras para a determinação das diferenças de
potencial em um resistor e em uma bateria. (A bateria é
considerada sem resistência interna.) Cada elemento do
circuito é percorrido de a para b.
Os usos da regra dos nós e da regra das malhas têm limitações. Você pode usar a regra dos nós quantas vezes
forem necessárias, desde que, cada vez que escreva uma equação, inclua nela uma corrente que não tenha sido usada
em uma equação precedente da regra dos nós. Em geral, o número de vezes em que a regra dos nós pode ser usada é
um a menos do que o número de nós no circuito. A regra das malhas pode ser usada tão frequentemente quanto for
necessário, desde que um novo elemento do circuito (um resistor ou uma bateria) ou uma nova corrente apareça em
cada equação nova. Em geral, o número de equações independentes de que você precisa deve igualar o número de
correntes desconhecidas a fim de resolver um problema de circuito particular.
Em geral, a parte mais trabalhosa da solução não é o entendimento dos princípios básicos envolvidos, porém o
uso correto dos sinais algébricos!
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Na figura a seguir, está representado um elemento de circuito elétrico:
Sabendo que os potenciais em A e B valem, respectivamente, 2 V e 13 V, calcule a intensidade de corrente nesse
elemento, especificando seu sentido.
SOLUÇÃO
VA - 0,5i + 12 = VB
2 - 0,5i + 12 = 13
- 0,5i = - 1
i = 2A de A para B
02. No circuito a seguir, tem-se um gerador ligado a um conjunto de resistores.
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Determine:
a) a intensidade de corrente elétrica que percorre o gerador AB;
b) a diferença de potencial entre os pontos C e D;
c) a intensidade de corrente nos resistores de resistências R2 e R3.
SOLUÇÃO
a) Os resistores de resistências R2 e R3 estão em paralelo. Assim:
R .R
3.6
RCD  2 3 
 RCD  2
R2  R3 3  6
Podemos, então, redesenhar o circuito, como segue:
Como os elementos do circuito estão todos em série (circuito de “caminho” único), podemos usar a equação do circuito
simples:
ε = Req i1
Como ε = 30 V e Req = 2 Ω + 6 Ω + 2 Ω = 10 Ω (série), temos:
30 = 10 i1 ⇒ i1 = 3 A
b) A diferença de potencial entre C e D é obtida aplicando-se a Primeira Lei de Ohm a RCD:
UCD = RCD i1 = 2 · 3 ⇒ UCD = 6 V
c) Aplicando a Primeira Lei de Ohm aos resistores de resistências R2 e R3 do circuito original, temos:
UCD = R2 i2 ⇒ 6 = 3 i2 ⇒ i2 = 2 A
UCD = R3 i3 ⇒ 6 = 6 i3 ⇒ i3 = 1 A
03. Usando seis lâmpadas iguais e duas baterias iguais, foram montados os dois circuitos a seguir:
Considerando as baterias ideais e desprezando a influência da temperatura na resistência elétrica, compare o brilho da
lâmpada L2 com o da lâmpada L5.
SOLUÇÃO
Sendo R a resistência elétrica de cada lâmpada, temos:
• No circuito da esquerda:


2
i1 


Re q R  R 3R
2
10
i2 =i1/2⇒ i2 = ε/3R
• No outro circuito:
i5 = ε/Req= ε/3R
• i2 = i5 ⇒ Brilhos iguais
04. No circuito a seguir, qual deve ser o valor da resistência x, para que o galvanômetro G indique zero?
SOLUÇÃO
O circuito fornecido é uma típica ponte de Wheatstone em equilíbrio (a corrente elétrica no galvanômetro é nula).
Assim, podemos redesenhar esse circuito na forma convencional:
Uma vez que a ponte encontra-se em equilíbrio, vale a igualdade entre os produtos das resistências opostas:
12 (x + 5) = 15 · 20
x + 5 = 25 ⇒ x = 20 Ω
05. O circuito A foi ligado ao circuito B pelo fio MN:
Determine a intensidade de corrente no circuito A, no circuito B e no fio MN.
SOLUÇÃO
No circuito A:
11
iA 
 iA  0,1A
100  10
No circuito B:
36  12
iB 
 iB  1A
9  4  56
No fio MN:
iMN = 0
06. Calcule as intensidades das correntes elétricas nos ramos do circuito a seguir:
11
SOLUÇÃO
Aplicando a Lei das Tensões de Kirchhoff – LTK, teremos
I: 70 = 6 + 18 i1 – 11 i2
II: 6 = 0 + 18 i2 + 11 i1
Resolvendo, temos:
i1 = 6 A e i2 = 4 A
Assim:
07. No circuito visto na figura, as baterias são ideais, suas fem são dadas em volts e as resistências em ohms. Determine,
em volts, a diferença de potencial Vab, isto é, Va – Vb.
SOLUÇÃO
Aplicando a Lei das Tensões de Kirchhoff – LTK, teremos
I: 13 = 4 i1 – 1 i2
12
II: 11 = 3 + 4 i2 – 1 i1
Resolvendo, temos:
i1 = 4 A e i2 = 3 A
08. No circuito esquematizado, determine o potencial no ponto D:
SOLUÇÃO
Aplicando a Lei das Tensões de Kirchhoff – LTK, teremos
No circuito I:
6 = (2 + 2 + 2) i1 ⇒ i1 = 1 A (sentido horário)
No circuito II:
12 = (2 + 1 + 1) i2 ⇒ i2 = 3 A (sentido horário)
VA = 0
VB – VA = R i1 ⇒ VB – 0 = 2 · 1 ⇒ VB = 2 V
VC – VB = ε1 ⇒ VC – 2 = 10 ⇒ VC = 12 V
VD – VC = ε2 – r2 i2 ⇒ VD – 12 = 12 – 2 · 3
VD = 18 V
09. No circuito mostrado na figura abaixo:
a) Encontre as correntes I1, I2 e I3.
b) Encontre a diferença de potencial entre os pontos b e c.
13
SOLUÇÃO
a)Escolhemos as direções das correntes como na figura. A aplicação da Lei das Correntes de Kirchhoff - LCK ao nó c
fornece
I1 + I2 = I3
(1)
O circuito tem três malhas: abcda, befcb e aefda (a malha mais externa). Necessitamos somente de duas equações de
malha para determinar as correntes desconhecidas. A terceira equação de malha não daria nenhuma informação nova.
Aplicando a Lei das Tensões de Kirchhoff - LTK para as malhas abcda e befcb e percorrendo essas malhas no sentido
horário, obtemos as expressões
Malha abcda: 10 - 6I1 - 2I3 = 0
(2)
Malha befcb: - 14 - 10 + 6I1- 4I2 = 0
(3)
Observe que na malha befcb um sinal positivo é obtido ao se atravessar o resistor de 6,0Ω porque a direção da trajetória
é oposta à direção de I1. Uma terceira equação de malha para aefda fornece 14 - 2I3 - 4I2= 0, que é exatamente a soma
de (2) e de (3).
As expressões (1), (2) e (3) representam três equações independentes com três incógnitas. Podemos resolver o
problema da seguinte maneira: A substituição de (1) em (2) fornecem
10 - 6I1 - 2(I1 + I2) = 0
10 = 8I1 + 2I2
(4)
A divisão por 2 de cada termo de (3) e o rearranjo da equação fornecem
- 12 = - 3I1 + 2I2
(5)
A subtração (5) de (4) elimina I2, dando
22 = 11I1
I1 = 2A
O uso desse valor de I1 em (5) fornece um valor para I2:
2I2 = 3I1 - 12 = 3(2) - 12 = -6
I2 = - 3 A
Finalmente, I3 = I1 + I2 = - 1 A. Logo, as correntes têm os valores
I1 = 2 A
I2 = - 3 A
I3 = - 1 A
O fato de I2 e I3 serem negativas indica somente que escolhemos as direções erradas para essas correntes. Contudo, os
valores numéricos estão corretos.
b)Seguindo de b a c ao longo do ramo central, temos
Vc - Vb = + 10 - 6I1 = +10 - 6.2 = -2V
10. No circuito esquematizado, calcule as intensidades de correntes i1, i2 e i3.
SOLUÇÃO
Este problema só pode ser resolvido usando as regras de Kirchhoff, embora apresente poucos elementos e os sentidos
da corrente já sejam conhecidos. Assim, usando a LCK para o nó A (ou para B), teremos:
i3 = i1 + i2
(1)
Para usar a regra das malhas, vamos redesenhar cada uma das duas malhas independentes, já polarizando os diversos
bipolos. Para a malha à direita, que chamaremos de α:
14
Percorrendo a malha no sentido anti-horário, teremos, partindo do nó A:
+ R3 i3 - E2 + r2 i2 = 0
2,5 i3 - 5 + 5 i2 = 0
Simplificando e reordenando (dividindo por 2,5):
i3 + 2i2 = 2
(2)
Para a malha à esquerda, chamada de β:
Percorrendo essa malha no sentido horário, a partir do nó A, teremos:
+ R3 i3 - E1 + r1 i1 = 0
2,5 i3 - 3 + 5 i1 = 0
Simplificando e reordenando (x 2):
5 i3 + 10 i1 = 6 (3)
Reescrevendo as três equações obtidas:
i3 = i1 + i2
(1)
i3 + 2 i2 = 2
(2)
5 i3 + 10 i1 = 6 (3)
Exprimindo i2 e i1 em função de i3, obtém-se:
de [2]
2 – i3
i2 
2
de [3]
6 – 5i3
i1 
10
Substituindo em [1]:
2 – i3 6 – 5i3
i3 

2
10
10 i3 = 10 - 5 i3 + 6 - 5 i3
20 i3 = 16
i3 = 0,8 A
Substituindo:
2 – 0,8
i2 
 0,6A
2
6 – 5.0,8
i1 
 0,2A
10
Assim, obteve-se:
i1 = 0,2 A
i2 = 0,6 A e
i3 = 0,8 A
EXERCÍCIOS PARA RESOLVER
01. Na figura abaixo, o potencial elétrico do ponto M é 36 V. De M para N circula uma corrente elétrica de intensidade
2,0 A.
Determine o potencial elétrico do ponto N.
02. Para o circuito esquematizado abaixo, determine:
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a) a intensidade da corrente que o atravessa;
b) a tensão elétrica entre os pontos A e B;
c) a tensão elétrica entre os pontos A e C.
03. A figura a seguir mostra uma parte de um circuito.
As resistências são R1 = 2,0 Ω, R2 = 4,0 Ω e R3 = 6,0 Ω, e a corrente indicada é i = 6,0 A. A diferença de potencial entre os
pontos A e B que ligam o conjunto ao resto do circuito é VA - VB = 78 V.
a) O elemento representado como "?" está absorvendo energia do circuito ou cedendo energia ao circuito?
b) Qual é a potência absorvida ou fornecida pelo elemento desconhecido?
04. O diagrama representa, esquematicamente, o circuito de uma lanterna: três pilhas idênticas ligadas em série, uma
lâmpada e uma chave interruptora.
Com a chave Ch aberta, a diferença de potencial entre os pontos A e B é 4,5 V. Quando se fecha a chave Ch, a lâmpada,
de resistência RL = 10 Ω, acende- se e a diferença de potencial entre A e B cai para 4,0 V. Responda:
a) Qual é a força eletromotriz de cada pilha?
b) Qual é a corrente que se estabelece no circuito quando se fecha Ch?
c) Qual é a resistência interna de cada pilha?
d) Qual é a resistência equivalente do circuito?
05. No circuito representado a seguir, calcule a resistência do reostato para que se anule a diferença de potencial entre
os pontos A e B:
06. É dado o circuito a seguir:
16
Determine:
a) a diferença de potencial entre os pontos Q e P;
b) a diferença de potencial entre os pontos Q e P, se o circuito for cortado no ponto S.
07. Considere o circuito a seguir, em que o potencial da Terra é tomado como referência (0 V) e o gerador é ideal:
Determine os potenciais nos pontos B, C, D e E.
08. O circuito elétrico indicado na figura seguinte contém duas baterias, cada uma delas com uma fem e uma resistência
interna, ligadas em série a dois resistores.
Calcule
a) a corrente no circuito (módulo e sentido);
b) a voltagem Vab nos terminais da bateria de 16 V;
c) Usando a figura como modelo, faça um gráfico do aumento e da queda de potencial no circuito.
09. Observe o circuito abaixo:
a) Qual é a diferença de potencial Vad no circuito?
b) Qual é a voltagem nos terminais da bateria de 4 V?
c) Uma bateria com fem igual a 10 V é inserida no circuito no ponto d, com seu terminal negativo conectado ao terminal
negativo da bateria de 8 V. Qual é agora a diferença de potencial Vbc nos terminais da bateria de 4 V?
10. Determine os módulos das correntes elétricas nos ponto A, B e C do circuito, mostrado na figura abaixo, em todas as
situações em que apenas duas das chaves S1, S2 e S3 estejam fechadas.
17
11. Nos circuitos 1 e 2 representados a seguir, o amperímetro A e as baterias de forças eletromotrizes ε1 e ε2 têm
resistências internas desprezíveis. Do circuito 1 para o 2, a única mudança foi a inversão da polaridade da bateria de fem
ε2. Observe as intensidades e os sentidos das correntes nos dois casos e calcule ε2.
12. Com relação ao circuito dado a seguir, determine:
a) a intensidade e o sentido da corrente elétrica;
b) os potenciais nos pontos A, B, C, D, E, F e G, supondo nulo o potencial da Terra (potencial de referência);
c) a diferença de potencial entre os pontos C e G (UCG = Vc - VG).
13. No trecho de circuito elétrico mostrado abaixo, os geradores de tensão são ideais.
Determine a ddp entre os terminais A e B.
14. No circuito esquematizado, determine a intensidade de corrente i.
18
15. Em uma lanterna com duas pilhas, elas são geralmente conectadas em série. Por que não ligá-las em paralelo? Qual
seria uma possível vantagem na conexão de pilhas idênticas em paralelo?
16. Calcule a fem ε1 e a fem ε2 no circuito da figura e a diferença de potencial do ponto b em relação ao ponto a.
17. No circuito indicado na figura:
Calcule
a) a corrente no resistor de 3 Ω;
b) a fem ε1 e a fem ε2;
c) a resistência R. Observe que foram fornecidas três correntes.
18. Quando se acendem os faróis de um carro cuja bateria possui resistência interna ri = 0,050 Ω, um amperímetro
indica uma corrente de 10 A e um voltímetro, uma voltagem de 12 V. Considere desprezível a resistência interna do
amperímetro. Ao ligar o motor de arranque, observa-se que a leitura do amperímetro é de 8,0 A e que as luzes
diminuem um pouco de intensidade. Calcular a corrente que passa pelo motor de arranque quando os faróis estão
acesos.
19. Determine a intensidade da corrente elétrica total nos circuitos a seguir:
20. No circuito visto na figura, as baterias são ideais. Determine, em volts, o módulo da diferença de potencial entre os
pontos a e b.
19
21. Calcule a maior intensidade de corrente elétrica no circuito a seguir, em que estão presentes quatro baterias.
22. As 3 baterias do circuito abaixo são inteiramente idênticas. As duas lâmpadas também são idênticas. Quando o
interruptor S está aberto, as duas lâmpadas têm a mesma luminosidade. Se o interruptor for fechado, o que acontece?
a) A lâmpada de cima fica mais brilhante que a de baixo.
b) A lâmpada de baixo fica mais brilhante que a de cima.
c) As duas ficam com o mesmo brilho de antes.
23. Determine o módulo e o sentido da corrente no resistor de 2 Ω da figura abaixo:
24. Determine a voltagem entre os extremos do resistor de 5 Ω da figura abaixo. Qual extremidade do resistor está no
potencial mais elevado?
25. Determine a corrente no resistor de 4 Ω da figura abaixo. Especifique o sentido da corrente.
26. Oito pilhas de lanterna em série fornecem uma fem aproximada de 12 V, igual à fem da bateria de um carro. Você
pode usar essas pilhas para dar a partida do motor quando a bateria do carro está descarregada?
20
27. A energia que pode ser extraída de uma bateria com acumuladores é sempre menor do que a energia fornecida para
carregá-la. Por quê?
28. No circuito esquematizado na figura, sabemos que I = 2 A, determine o valor de R e a potência dissipada na
resistência de 20 Ω.
29. Determine o módulo e o sentido da corrente no resistor de 2 Ω do circuito abaixo:
30. Num circuito elétrico, uma fonte, de força eletromotriz 18V e resistência elétrica 0,50Ω, alimenta três resistores, de
resistências 1,0Ω, 2,0Ω e 6,0Ω, conforme abaixo representado.
Determine as leituras dos amperímetros ideais A1 e A2, em ampères.
31. No circuito apresentado na figura abaixo:
Determine a corrente I5, R2 e R3.
32. O circuito esquematizado a seguir contém duas baterias consideradas ideais e três resistores R1, R2 e R3, de
resistências iguais a 6 Ω, 3 Ω e 2 Ω, respectivamente.
Calcule as intensidades e os sentidos das correntes elétricas em R1, R2 e R3.
21
33.
Um perigo para os mergulhadores em rios e oceanos é o contato com peixes elétricos. Sabe-se que essa espécie produz
eletricidade a partir de células biológicas (eletro-placas) que funcionam como baterias elétricas. Certos peixes elétricos
encontrados na América do Sul contêm um conjunto de eletro-placas organizadas de forma análoga ao circuito elétrico
representado na figura. Existem, ao longo do corpo deles, 150 linhas horizontais, com 5 000 eletroplacas por linha. Cada
eletroplaca tem uma força eletromotriz — ε — de 0,15 V e uma resistência elétrica — R — interna de 0,30 Ω. A
resistência da água — Rágua — em torno do peixe deve ser considerada igual a 740 Ω. Com base nessas informações,
calcule:
a) O número total de eletroplacas do peixe elétrico, expressando a quantidade calculada em milhares de eletroplacas.
b) A resistência equivalente em cada linha de eletroplacas, em ohms.
c) A resistência equivalente do peixe elétrico, observada entre os pontos A e B, em ohms.
34. O sentido da corrente de uma bateria pode ser invertido conectando-a a uma segunda bateria com fem mais
elevada, ligando o pólo positivo de uma com o pólo positivo da outra. Quando o sentido da corrente da bateria é
invertido, sua fem também se inverte? Por quê?
35. O amperímetro mostrado na figura indica 2,00 A. Encontre I1, I2 e ε.
36. Determine a corrente em cada resistor do circuito mostrado na figura abaixo:
37. Se R = 1,00 Ω e ε = 250 V na figura, determine a direção e o módulo da corrente no fio horizontal entre a e e .
22
38. Uma bateria de força eletromotriz de 12 V e resistência interna desprezível alimenta o circuito resistivo indicado na
figura:
a) Quais os potenciais nos pontos A e B, referidos à Terra?
b) Qual a resistência que deve ser adicionada ao circuito, entre os pontos C e D, para que o potencial no ponto A,
referido à Terra, torne-se igual a 6 V?
39. No circuito dado a seguir, determine as intensidades e os sentidos de todas as correntes elétricas.
40. Calcule a DDP VAB = VA - VB no circuito a seguir:
41. No circuito esquematizado, determine o potencial no ponto C:
42. No circuito da figura, determine a resistência do resistor R, para que a potência nele consumida seja máxima.
23
43. No circuito abaixo, calcule a intensidade da corrente no resistor de 4,0 Ω para os seguintes valores de R:
a) 2,0 Ω
b) 3,0 Ω
44. Com relação ao circuito a seguir, determine a corrente que atravessa a bateria de 2,0 V.
45. O poraquê (Electrophorus electricus) é um peixe provido de células elétricas (eletrocitos) dispostas em série,
enfileiradas em sua cauda. Cada célula tem uma fem ε = 60 mV (0,060 V). Num espécime típico, esse conjunto de células
é capaz de gerar tensões de até 480 V, com descargas que produzem correntes elétricas de intensidade máxima de até
1,0 A.
a) Faça um esquema representando a associação dessas células elétricas na cauda do poraquê. Indique, nesse esquema,
o número n de células elétricas que um poraquê pode ter. Justifique a sua avaliação.
b) Qual a potência elétrica máxima que o poraquê é capaz de gerar?
46. No circuito representado na figura, os voltímetros V, V1, V2 e V3 são digitais e considerados ideais.
Sabendo que o voltímetro V indica 6,0 V e que as resistências R1, R2 e R3 dos três resistores são respectivamente iguais a
1 Ω, 0,5 Ω e 2,5 Ω, determine as indicações dos voltímetros V1, V2 e V3.
47. No circuito, determine a indicação UAB do voltímetro, suposto ideal.
48. A figura abaixo representa um circuito elétrico constituído de um voltímetro (V) e um amperímetro (A) ideais, cinco
resistores e uma bateria. A bateria fornece uma tensão de 12,0 V e o voltímetro registra 6,0 V.
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a) Qual a leitura no amperímetro?
b) Qual a diferença de potencial no resistor de 1,5 Ω?
c) Qual a potência dissipada no resistor situado entre os pontos X e Y?
49. Na figura seguinte, R1 = 2,0 Ω, R2 = 4,0 Ω e R3 = 6,0 Ω:
a) Determine a leitura do amperímetro para  = 5,0 V (fonte ideal).
b) Mostre que se a fonte for colocada na posição do amperímetro e vice-versa, a leitura do amperímetro será a mesma.
50. No circuito abaixo é nula a corrente no fio de resistência R. Qual é o valor, em ohms, da resistência X?
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