GEOMETRIA VIVA NO ENSINO BÁSICO Cristina Loureiro, ESE de

GEOMETRIA VIVA NO ENSINO BÁSICO
Cristina Loureiro, ESE de Lisboa
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Resumo
A expressão geometria viva que dá nome e conteúdo a esta conferência decorre
de algumas experiências de sala de aula realizadas no âmbito do Programa de formação
contínua em Matemática para professores dos 1º e 2 ciclos do Ensino Básico. Estas
experiências e a reflexão sobre episódios nelas vividos têm contribuído para encarar
novas caminhos para o ensino e a aprendizagem da geometria nos níveis elementares. O
ponto de partida são sequências de tarefas de geometria que incidem fundamentalmente
no estudo dos quadriláteros mas que incluem também o conhecimento sobre ângulos e
sobre simetria. Por um lado, este trabalho tem-me levado a formular problemas
matemáticos interessantes em que nunca tinha pensado. Por outro, as minhas
perspectivas didácticas têm-se vindo a alargar ao analisar o raciocínio geométrico das
crianças e o poder das actividades de geometria. Além disso, estas experiências têm
constituído momentos de desenvolvimento profissional muito ricos para os professores
que comigo as têm vivido. É por isso que considero que nos episódios escolhidos foram
vividas situações que desafiam o saber matemático e didáctico do professor. Este
trabalho apresenta e discute esses problemas geométricos e algumas perspectivas
didácticas.
Este trabalho tem vindo a ser realizado nos dois últimos anos lectivos com
professores participantes no programa de Formação contínua em Matemática para
professores do 1º e 2º ciclos do Ensino Básico. A motivação para uma reflexão e estudo
mais profundo sobre a geometria vivida nas salas de aula do 1º ciclo ganhou força no
ano de 2008 em duas experiências realizadas com duas professoras diferentes, uma com
alunos do 2º ano e outra com alunos do 3º ano. Essas duas experiências levaram-me a
pensar em aspectos da geometria novos para mim. Este ano lectivo, num trabalho mais
consistente com quatro professoras, fui novamente levada a pensar em mais geometria
nova. Foi por isso que decidi designar este trabalho por geometria viva.
Perfilhando a ideia de geometria “como uma rede complexa de interligações
entre conceitos, modos de pensar, e sistemas de representação que são usados para
conceptualizar e analisar ambientes espaciais físicos e imaginados” (Battista, 2007),
faz sentido afirmar que a geometria está viva quando se descobrem ligações novas nessa
rede, ou quando se apela a novos modos de pensar e se recorre a novos sistemas de
representação, entendendo o novo como o que é desconhecido para o sujeito ou que ele
descobre pela primeira vez. Na perspectiva das crianças que viveram esta geometria,
penso que a vivacidade esteve presente no desenvolvimento do seu raciocínio espacial,
entendida como “a capacidade para “ver”, analisar e reflectir sobre objectos
espaciais, imagens, relações e transformações” (Battista, 2007).
As ideias geométricas novas que apresento procuram enquadrar-se nas
orientações desenvolvidas por Hans Freudenthal (1991) ao propôr o recurso a pequenos
mundos que possam ser estruturados pelas crianças. Essa actividade das crianças
constitui uma real actividade matemática que pode ser designada por matematização.
Neste caso particular da actividade geométrica penso que é importante destacar também
a visualização como um processo cognitivo fundamental. Segundo Duval (1998)
visualização, construção e raciocínio são os três processos cognitivos envolvidos na
actividade geométrica.
Classificação de quadriláteros
A primeira discussão parte de uma sequência de três tarefas experimentada com
alunos do 2º ano. O encadeamento foi a descoberta condicionada de figuras geométricas
no geoplano de 5 por 5 pela seguinte ordem: quadrados; rectângulos; quadriláteros. No
desenvolvimento das tarefas os alunos começavam sempre por representar a figura no
geoplano e depois representavam-na em folhas de papel ponteado. Na passagem da
primeira para a segunda actividade foi introduzido um pequeno instrumento de
cartolina, o detector de ângulos rectos, visível na figura 1, com o qual os alunos
aprendiam a decidir se um ângulo era ou não recto. Este tipo de decisão é fundamental
para identificar quadrados e rectângulos nas “posições inclinadas” no geoplano, isto é,
aqueles cujos lados não estão sobrepostos à rede de rectas paralelas e perpendiculares
definidas pelos pontos do geoplano.
Fig. 1
A segunda tarefa causou alguma discussão na turma sobre o facto de os
quadrados poderem ou não ser considerados também como rectângulos. Alguns alunos
aceitaram bem esta ideia, mas outros não. Sendo alunos muito pequenos, a professora e
eu decidimos avançar e foi por isso que passámos à tarefa dos quadriláteros para os
deixar livremente ampliar o seu mundo de quadriláteros. Nesta terceira tarefa surgiu
uma variedade muito grande de quadriláteros que permitiu organizar uma discussão
colectiva sobre classificação. Embora os alunos tenham ficado apenas na classificação
mais simples, separando os quadriláteros côncavos dos convexos, havia outras
possibilidades muito interessantes acessíveis a estes alunos. A reflexão sobre as
produções destes alunos levou-me à realização de um estudo sobre a classificação
(Loureiro, 2008), em que desenvolvo alguns aspectos desta acção como componente
básica do raciocínio matemático. Registo três classificações possíveis de quadriláteros:
sem
lados paralelos
sem
lados paralelos
sem
ângulos rectos
com
2 lados paralelos
com
1 ângulo recto
com
lados paralelos
com
2 pares de lados paralelos
com
2 ângulos rectos
com
4 ângulos rectos
Chamo especialmente à atenção para esta última classificação quanto ao número
de ângulos rectos pois é a que tenho discutido mais frequentemente. Na perspectiva
geométrica, esta classificação não se enquadra na geometria absoluta e sim na geometria
euclidiana, atendendo a que ela parte da incorporação implícita do axioma das paralelas
e assim corresponde a um nível de conceptualização mais elementar, como defende
Bongiovanni (2009). O seu grande valor didáctico é que esta classificação forma
naturalmente a classe dos rectângulos, onde se incluem os quadrados, como a classe dos
quadriláteros com 4 ângulos rectos. Para crianças tão pequenas o destaque de uma
classe de quadriláteros obtida desta forma ajuda a construir o conceito de rectângulo no
sentido lato que desejamos.
Os diversos exemplos de classificação matemática que estudei procuram seguir
a linha da importância dada a esta componente básica do raciocínio matemático,
destacada por Zaslavsky, Chapman e Roza (2003), que afirmam que a classificação de
diferentes objectos matemáticos de acordo com vários critérios pode salientar a
consciência que temos dos modos como eles se relacionam entre si. Para além da
identificação de semelhanças e diferenças entre os objectos matemáticos em diversas
dimensões, este tipo de raciocínio obriga-nos a pensar nas figuras geométricas como
objectos compostos cujas componentes têm papéis diversificados. Por isso este estudo
conduziu-me naturalmente à necessidade de melhorar as tarefas a propor aos alunos e à
realização de outras experiências de sala de aula sobre classificações de quadriláteros.
Assim, a tarefa da construção livre de quadriláteros evoluiu para uma proposta
condicionada à existência de pelo menos um ângulo recto em que era exigida a
identificação com cores dos ângulos do quadrilátero. Este destaque das componentes do
quadrilátero
revelou-se
muito
importante e
permitiu
deixar abertos
outros
encadeamentos de tarefas.
Ângulos num quadrilátero
Na classificação de quadriláteros pelo critério do número de ângulos rectos
destaca-se uma situação interessante, não há nenhum quadrilátero com apenas três
ângulos rectos. Este facto originou reacções expressivas por parte dos alunos,
nomeadamente a vontade de ir procurar esse quadrilátero na internet e a necessidade da
confirmação de que não é possível obtê-lo. Uma forma muito simples de provar que ele
não pode existir tem por base a ideia de que ao tentar obter o terceiro ângulo recto
necessariamente o quarto ângulo também fica recto. Esta verificação dinâmica pode ser
feita com recurso a um geoplano como ilustra a figura 2.
Fig. 2
A procura da explicação para a impossibilidade de obter um quadrilátero apenas
com 3 ângulos rectos conduziu-me a uma série de perguntas interessantes para trabalhar
sobre geometria elementar. Esta perguntas foram alimentadas também pelas
classificações que os alunos do 4º ano fizeram com os quadriláteros com os ângulos
assinalados. Na discussão colectiva sobre essas classificações começaram a despontar
ideias de separação pelo critério do número de ângulos agudos ou obtusos. Apresento as
questões que formulei sobre os ângulos de um quadrilátero. Porque é que não podem ser
todos agudos? Porque é que não podem ser todos obtusos? Pode haver 3 ângulos
obtusos? Pode haver só 2 ângulos obtusos? Pode haver só 1? Estas perguntas podem ser
formuladas também para ângulos agudos. Questões desta natureza conduzem muito
naturalmente à procura de figuras com as características pretendidas. Procurar um
exemplo de existência é um tipo de acção fundamental no raciocínio geométrico. Assim
como é próprio da geometria, no caso de não se obter nenhum exemplo, procurar uma
explicação para essa inexistência. O raciocínio geométrico consolida-se a partir das
relações que se vão estabelecendo na procura de objectos geométricos com
determinadas condições. A geometria elementar é fértil neste tipo de situações, como os
exemplos que discuto ilustram.
3 ângulo agudos
3 ângulos obtusos
a<90
b<90
c<90
a+b+c<270
a>90
b>90
c>90
a+b+c>270
a+b+c+d=360
a+b+c=360-d
360-d<270
d>90
a+b+c+d=360
a+b+c=360-d
360-d>270
d<90
Fig. 3
Procurei uma garantia da existência de um quadrilátero com três ângulos obtusos
estabelecendo um raciocínio algébrico como mostra o quadro da figura 3, e para obter
os exemplares correspondentes, figura 4, recorri à geometria dinâmica. Apesar da
elementaridade da situação, chamo a atenção para a analogia das duas colunas da tabela
da figura 3 e para a analogia dos dois quadriláteros da figura 4.
Fig. 4
Penso que é interessante estender a discussão anterior a outros polígonos. Na
geometria euclidiana, temos triângulos com um ângulo recto no máximo pois já não é
possível obter triângulos com dois ângulos rectos. Para os quadriláteros, vimos que
temos no máximo quatro ângulos rectos e é impossível ter um quadrilátero com os 4
ângulos obtusos ou com os 4 ângulos agudos. E como será num pentágono? Pode ter 5
ângulos rectos? Já poderá ter 5 ângulos obtusos? E 5 ângulos agudos? Estas questões
remetem-nos para a re-descoberta da soma dos ângulos internos de um polígono,
actividade de investigação que considero acessível a alunos do 2º ciclo, ou mesmo do
fim do 1º, quando existe um ambiente de aprendizagem favorável.
A curiosidade e o desafio são duas atitudes muito comuns nas crianças do 1º
ciclo. As questões que tenho vindo a debater alimentam essa curiosidade e desafio e são
muito bem aceites por alunos dos primeiros anos. Estes pequenos mundos geométricos,
constituídos por figuras construídas pelas crianças, ganham dimensões muito
interessantes porque o seu poder inventivo procura criar uma forma diferente da do
colega do lado. Além disso, a reprodução da figura do colega é também encarada com
interesse. O mundo a estruturar pertence-lhes, o papel do professor é alimentar essa
realidade. O episódio seguinte ilustra bem esta apetência.
Na procura de quadriláteros com ângulos rectos surgiram naturalmente
quadriláteros côncavos, com um novo tipo de ângulo que era preciso identificar. O
nosso instrumento auxiliar, o detector de ângulos rectos, teve aqui uma nova utilidade.
Recorremos a dois detectores, como mostra a sequência de imagens da figura 5, e
demos a essa ângulo o nome de super-obtuso. Este tipo de ângulo é habitualmente
designado por ângulo reflexo na literatura anglo-saxónica, designação esta muito pouco
comum no nosso léxico da geometria elementar.
Fig. 5
Composições com simetria
Esta discussão parte de uma actividade realizada numa turma de 3º ano a partir
da proposta de construir quadrados com simetria como composição de 16 quadrados de
duas cores, oito de uma cor e oito de outra. Para cada decomposição descoberta os
alunos tinham de identificar os eixos de simetria e registavam a composição, bem como
esses eixos em papel quadriculado. Não estava previsto pela professora a obtenção de
composições com simetria de rotação, mas é verdade que nenhum aluno as referenciou.
Os alunos descobriram composições diversas, tendo obtido composições com 1 eixo,
com 2 eixos e com 4 eixos, como ilustra a figura 5 com alguns dos exemplos obtidos.
Fig. 6
A exploração destes alunos não foi mais além porque o objectivo da aula era
apenas a obtenção das composições com simetria e a identificação das características de
cada composição. No entanto, no fim desta aula e em muitos momentos posteriores
ficámos a pensar em várias questões ligadas àquela conjunto de composições que os
alunos mal tinham começado a desvendar. A classificação aqui está novamente
presente. Porque é que não é possível fazer uma composição de quadrados com apenas
3 eixos de simetria? Haverá mais composições com 1, 2 e 4 eixos do que aquelas que os
alunos obtiveram? No caso de haver, em que posições relativas podem estar os eixos?
Será possível descobrir todas as composições para cada situação? E no caso de não
haver mais composições, como explicar essa impossibilidade?
A demonstração da impossibilidade de obter um composição com 3 eixos
parece-me simples e interessante. Uma via possível é recorrer a uma demonstração por
contradição. Este tipo de demonstração baseia-se na ideia de que se chegarmos a uma
contradição entre a hipótese, considerada esta como os pressupostos de partida, e a tese,
o que queremos provar, esta é falsa.
Hipótese: a composição tem 3 eixos de simetria, os eixos assinalados na figura 7.
Tese: o quarto eixo, assinalado a tracejado na figura 8, não é eixo de simetria.
A
A
A
B
Fig. 7
Fig. 8
Fig. 9
Assumindo que o quarto eixo não é eixo de simetria, temos que na figura 9 os
dois triângulos assinalados não são congruentes e por isso os designamos por letras
diferentes, A e B. Aplicando a esta figura as reflexões e suas composições que decorrem
dos 3 eixos considerados na hipótese, teremos a seguinte sequência de imagens, figura
10, em que os triângulos assinalados pela mesma letra são sempre congruentes.
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
A
B
A
A
Fig. 10
Chegamos assim à conclusão de que um dos triângulos assinalados é
simultaneamente congruente e não congruente com o triângulo A. Estamos perante uma
contradição que decorre do facto de termos considerado que estes dois triângulos
poderiam não ser congruentes, ou seja, que o eixo assinalado a tracejado poderia não ser
um eixo de simetria. Esta demonstração explica-nos a impossibilidade do quarto eixo
não poder deixar de ser um eixo de simetria e que é consequência de termos assumido
os três eixos como tal.
Uma ideia importante a registar sobre demonstrações em matemática é o desejo
de que uma demonstração dê indicações do modo como foi descoberta. Se queremos
aprender como as demonstrações são construídas é importante ir aprendendo como uma
demonstração pode evoluir a partir das ideias que lhe estão subjacentes e dos
pressupostos em que ela assenta. Garnier e Taylor afirmam que a lição importante a
aprender é que uma demonstração é um exercício de comunicação. Este exemplo
procura combinar estas duas preocupações, ou seja, articular a apresentação escrita com
o processo de construção da demonstração. Um dos desafios recentes mais
significativos para mim como professora de matemática tem sido o de construir
demonstrações para conjecturas surgidas em situações deste tipo. As vivências dos dois
últimos anos em salas de aula do 1º ciclo proporcionaram-me condições para pensar em
várias demonstrações como a que apresentei.
Esta família de figuras suscita outras questões da mesma natureza. Porque é que
se houver apenas 2 eixos, eles são perpendiculares entre si, isto é, não pode haver um
eixo paralelo aos lados do quadrado e outro coincidente com a diagonal. Esta
demonstração pode seguir um caminho análogo ao anterior para concluir que a
existência destes 2 eixos arrasta a existência de outros dois. Dito de outra forma, se dois
eixos fazem um ângulo de 45º existem simetrias com qualquer par de eixos cujo ângulo
é múltiplo de 45°, isto é, 45º, 90°, 135º, 180°.
Este desenvolvimento de ideias sobre a reflexão e sobre relações entre ângulos
abre uma porta para o estudo experimental do efeito de simetria produzido por um
espelho e por um livro de espelhos e é uma abordagem interessante à reflexão, como
transformação geométrica com determinadas propriedades. Este tipo de actividades
geométricas articulam-se com o estudo da simetria de figuras particulares, como por
exemplo dos polígonos regulares, com a realização de experiências com caleidoscópios
e até mesmo com a construção destes objectos (Gay, 2998). Uma das dificuldades do
ensino da geometria elementar é a concertação do trabalho sobre transformações
geométricas com o estudo da simetria. Sobre esta concertação ainda há muito por
estudar e experimentar.
Didacticamente falando
As situações que levaram ao levantamento de todas estas questões foram vividas
em salas de aula do 1º ciclo do Ensino Básico, do 2º ao 4º ano. O ambiente de
investigação, ou inquiry como prefiro dizer, a construção de ideias, a procura de
materiais adequados às estruturas em jogo, a discussão e troca de ideias foram aspectos
que estiveram sempre presentes no trabalho destas aulas e sobre estas aulas, envolvendo
os professores por elas responsáveis. Assim, o desenvolvimento do saber matemático
ligou-se ao desenvolvimento do saber didáctico, mostrando que um não pode viver sem
o outro quando se trabalha com crianças. Esta ideia de geometria viva é a de que há
relações novas, interessantes e significativas para construir com as crianças. Podemos
criar novos mundos geométricos e novas formas de pensar mesmo quando os objectos
parecem já estar esgotados e nada mais terem para oferecer, como é o caso dos
quadriláteros. Fundamental é o modo como chegamos a esses mundos e o que fazemos
com eles, bem como as questões e os problemas que as crianças e nós professores
somos capazes de pensar sobre esses mundos. A aprendizagem da geometria elementar
tem aqui vários caminhos esboçados com algumas portas já entreabertas. Quero
acreditar que é possível vislumbrar mais geometria nas salas de aula, uma geometria
humanista, nossa, como Hersh tão bem defende.
“The view I favor is humanism. To the humanist, mathematics is ours — our
tool, our plaything”. (Hersh, 1998, p. 60).
Referências Bibliográficas
Battista, Michael T. (2007). The Development of Geometric and Spatial Thinking. In Frank K.
Lester, Jr. (Eds.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and
Learning, 843-908. NCTM.
Bongiovanni, Vincenzo (2009). Um outro olhar sobre definições “equivalentes”. Educação e
Matemática, nº 101, 36. APM.
Clements, D. H. & Battista, M. T. (1992). Geometry and spatial reasoning. In D. A. Grouws
(Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning, 420-464. New
York, NY: National Council of Teachers of Mathematics/ Macmillan Publishing Co.
Duval, Raymond (1998). Geometry from a cognitive point of view. In C. Mammana e V.
Villani (Eds.), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century, 29-83.
Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic.
Freudenthal, Hans (1991). Revisiting Mathematics Education – China Lectures. Dordrecht:
Kluwer Academic Publishers.
Garnier, Rowan e Taylor, John (1996) 100% Mathematical Proof. New York: John Wiley &
Sons.
Gay, David (1998) Geometry by Discovery. New York: John Wiley & Sons.
Hersh, Reuben (1998) What is Mathematics, really. London: Vintage.
Loureiro, C. (2008). A par e passo. Dissertação apresentada no âmbito de concurso de provas
públicas, não editada.
Zaslavsky, Orit, Chapman, Olive e Lekin, Roza (2003). Professional Development of
Mathematics Educators: Trends and Tasks. In Bishop, A., Clements, M. A., Keitel, C.,
Kilpatrick, J. e Leung, F. K. S. (Eds.), Second International Handbook of Mathematics
Education, 877-917. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.