números inteiros

Professor Luiz Antonio de Carvalho
Uma breve história
NÚMEROS
INTEIROS
RACIONAIS
PROBABILIDADES
Professora RosanaREAIS
Relva
Números Inteiros e Racionais
AULA 02
[email protected]
1
NÚMEROS
O surgimento dos sistemas de numeração:
babilônios, egípcios e maias
O homem sempre
teve a necessidade
de se organizar
e administrar os
seus bens de forma
a não ser enganado.
2
NÚMEROS
MAIAS
Há um agrupamento de cinco em cinco
3
4
NÚMEROS
NÚMEROS
Já os egípcios......
Principais Conjuntos
Numéricos
IN = Números
Naturais
N = { 0, 1, 2, 3, ... }
agrupavam de dez em dez
5
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6
1
Professor Luiz Antonio de Carvalho
NÚMEROS
OPERAÇÕES
SOMAR............SUBTRAIR............???
MULTIPLICAR..............................????
6X0=0
DIVIDIR.......................................?????
0:6=
6:0=
7
NÚMEROS
a) 1 e 12
b) 8 e 11
c) 10 e 12
d) 11 e 15
e) 12 e 11
F
NÚMEROS
FCC - Ao se dividir o número 762 por um
número inteiro de dois algarismos,
Natanael enganou-se e inverteu a ordem
dos dois algarismos. Assim, como
resultado, obteve o quociente 13 e o resto
21. Se não tivesse se enganado e
efetuasse corretamente a divisão, o
quociente e o resto que ele obteria seriam,
respectivamente, iguais a
8
NÚMEROS
REGRA DA DIVISÃO
D = d.q + r
Vamos supor que NATANAEL dividiu 762
por xy mas como ele se enganou, acabou
dividindo por yx
Logo
D = 762 d = yx
q = 13
r = 21
9
10
NÚMEROS
NÚMEROS
TEREMOS
Como Natanel trocou
D = d. q + r
762 = yx . 13 + 21
13 yx = 762 – 21
13 yx = 741
yx = 741/13
yx = 57
11
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Deveria ter dividido por 75 e não 57
Vamos a divisão correta
12
2
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NÚMEROS
NÚMEROS
PROVA
Vamos então fazer a divisão
CORREÇÃO 10X75 = 760
RESTO = 12
a) 1 e 12
b) 8 e 11
c) 10 e 12
d) 11 e 15
e) 12 e 11
762
75
75
12
1
13
NÚMEROS
ENADE
a) 1 e 12
b) 8 e 11
c) 10 e 12
d) 11 e 15
e) 12 e 11
762
- 75
12
75
10
C
14
NÚMEROS
ENADE 21
QUESTÃO
FCC - As 23 ex-alunas de uma turma que
completou o curso de Ciências
Contábeis há 10 anos se encontraram
em uma reunião comemorativa. Várias
delas haviam se casado e tido filhos. A
distribuição das mulheres, de acordo
com a quantidade de filhos, é mostrada
no gráfico abaixo.
15
NÚMEROS
ENADE
Um prêmio foi sorteado entre todos os
filhos
dessas
ex-alunas.
A
probabilidade de que a criança
premiada tenha sido um(a) filho(a)
único(a) é
A) 1/3.
B) 1/4.
C) 7/15.
D) 7/23.
E) 7/25.
17
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16
TABELAS
E GRÁFICOS
NÚMEROS
ENADE
Total de filhos
8.0 + 7.1 + 6.2 + 2.3 = 25
Filhos únicos = 7.1 = 7
Probabilidade = 7/25
E
18
3
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NÚMEROS
TRE- O produto de um número natural
pela sua quarta parte é igual a 25.
Qual é esse número?
a) 10
b) 20
c) 40
d) 50
e) 100
19
NÚMEROS
X
X.
 25
4
X2
 25
4
X 2  100
X  
COMO X É NATURAL
ENTÃO X = 10
100
X   10
A
21
NÚMEROS
SEJAM QUATRO NÚMEROS
CONSECUTIVOS: X , X+1, X+2 E X+3
A SOMA SERÁ:
X + X + 1 + X + 2 + X +3 = 4X + 6
NÚMEROS
COMO NÃO CONHEÇO O NÚMERO
CHAMAREI DE X E SUA QUARTA
PARTE DE X
4
ENTÃO TEREMOS
20
NÚMEROS
CESGRANRIO – 1, 2, 3 e 4 são quatro
números
naturais e consecutivos.
256,257,258 e 259 , também. Se você
pegar
quatro
números
naturais
consecutivos quaisquer, então a soma
desses quatro números é sempre:
a) Um número ímpar
b) Menor do que quatro vezes o menor deles
c) Maior do que três vezes o maior deles
d) Um número par
e) Igual a três vezes o maior deles
22
NÚMEROS
QUALQUER QUE SEJA O VALOR DE X
QUE MULTIPLICADO POR 4 E SOMADO
COM 6
( 4X + 6)
SEMPRE DARÁ UM NÚMERO PAR
LOGO
D
23
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24
4
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NÚMEROS
ENADE
NÚMEROS
ENADE
QUESTÃO 05
No retângulo abaixo, cada um dos quatro
símbolos diferentes representa um
número natural. Os números indicados
fora do retângulo representam as
respectivas somas dos símbolos na
linha 2 e nas colunas 2 e 4:
Conclui-se das informações que o
símbolo X representa o número
A) 3
B) 5 C) 7 D) 8 E) 9
25
26
NÚMEROS
ENADE
NÚMEROS
ENADE
=3
=7
=13
27
2
+1
= 14 + 13 = 27
A
28
NÚMEROS
NÚMEROS
FCC)Uma senhora tinha entre trinta e quarenta
ações de uma empresa para dividir
igualmente entre todos os seus netos. Num
ano, quando tinha 3 netos, se a partilha fosse
feita, deixaria 1 ação sobrando. No ano
seguinte, nasceu mais um neto e, ao dividir
igualmente entre os quatro netos o mesmo
número de ações, ela observou que
sobrariam 3 ações. Nesta última situação,
quantas ações receberá cada neto?
a) 6 b) 7 c) 8 d)29 9 e) 10
COMO TEM ENTRE 30 E 40 AÇÕES
ESTE NÚMERO SÓ PODE SER
31,32,33,34,35,36,37,38 OU39
QUANDO DIVIDIDO POR 3 RESTA 1
E
QUANDO DIVIDIDO POR 4 RESTA 3
LOGO
(
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30
5
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NÚMEROS
NÚMEROS
VERIFICAR QUAIS NÚMEROS
DEIXARAM ESTES RESTO
CADA NETO RECEBERÁ
31 DIVIDIDO POR 4 = 7 AÇÕES
DIVIDIDOS POR 3 COM RESTO 1 SÃO
31,34, 37
DIVIDIDOS POR 4 COM RESTO 3 SÃO
31, 35,39
LOGO O NÚMERO 31 SATISFAZ
B
31
32
NÚMEROS
NÚMEROS
- cada símbolo representa um número
TRT- A figura indica um quadrado de 3 linhas
e 3 colunas contendo três símbolos
diferentes:
Sabe-se que:
-a
soma dos correspondentes números
representados na 1ª linha é 16
-a soma dos correspondentes números
representados na 3ª coluna é 18
-a soma de todos os correspondentes números
no quadrado é 39
Nas condições dadas, o valor numérico do
símbolo
é:
a) 8
b) 6
c) 5
33
NÚMEROS
a soma dos correspondentes números
representados na 1ª linha é 16
Temos
2
+1
d) 3
= 16
NÚMEROS
• a soma dos correspondentes números
representados na 3ª coluna é 18
3
= 18
Logo cada
35
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e) 2
34
vale 6
36
6
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NÚMEROS
NÚMEROS
• Voltando a equação
2
Substituindo
2
+1
= 16
+ 6 = 16
2
= 16 - 6
2
= 10
por 6 teremos
= 10 / 2
= 5
37
38
• a soma de todos os
correspondentes
números
no
quadrado é 39
O total de figuras é
3
+ 3
+ 3
= 39
3.5 + 3.6
+3
= 39
15 + 18
+ 3
= 39
39
VALE 2
E
41
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15 + 18 + 3
= 39
3
= 39 – 15 – 18
3
=6
=6/3
40
NÚMEROS
LOGO CADA
NÚMEROS
NÚMEROS
FCC – No almoxarifado de certa empresa
há 68 pacotes de papel sulfite, dispostos
em 4 prateleiras. Se as quantidades de
pacotes em cada prateleira corresponde a
4 números pares e sucessivos, então, dos
números seguintes, o que representa uma
dessas quantidades é
a) 24
b) 22
c) 18 d) 12 e) 8
42
7
Professor Luiz Antonio de Carvalho
NÚMEROS
NÚMEROS
PODEMOS ESCREVER 4 NÚMEROS
PARES CONSECUTIVOS COMO
1ª PRATELEIRA = X
2ª PRATELEIRA = X+2
3ª PRATELEIRA = X+4
4ª PRATELEIRA = X+6
ENTÃO TEREMOS DE ACORDO COM O
ENUNCIADO
ENTÃO TEREMOS DE ACORDO
COM O ENUNCIADO
X + X + 2 + X + 4 + X + 6 = 68
4X = 68 – 12
4X = 56
X = 56/4
X = 14
43
NÚMEROS
LOGO OS NÚMEROS DE PACOTES
SÃO
14 , 16 , 18 , 20
44
NÚMEROS
UFRJ – A soma de quatro números inteiros
primos é 108. O maior dos quatros é igual
a um dos outros mais 10; esse é igual a
outro mais 20, e esse é igual ao menor
mais 10. Esses quatros números primos
contêm o seguinte algarismo em comum:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 7
C
45
46
NÚMEROS
NÚMEROS
SUPOR a, b, c e d OS 4 NÚMEROS
PRIMOS
UM NÚMERO É CHAMADO DE PRIMO
QUANDO ELE POSSUI
DOIS DIVISORES
• O NÚMERO 1
• E ELE MESMO
ANTES VAMOS CITAR A DEFINIÇÃO
DE NÚMEROS PRIMOS
47
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48
8
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NÚMEROS
NÚMEROS
2,3,5,7,11,13,17,...
VOLTANDO AO EXERCÍCIO
OBSERVEM QUE O NÚMERO 1 NÃO
É PRIMO
E O NÚMERO 2 É O ÚNICO PRIMO
PAR
PODEMOS ESCREVER QUE
a + b + c + d = 108
49
50
NÚMEROS
NÚMEROS
a + b + c + d = 108
O maior dos quatros é igual a um dos
outros mais 10
Supor d = c + 10
esse é igual a outro mais 20
c = b + 20
e esse é igual ao menor mais 10
b = a + 10
a + b + c + d = 108
Se b = a + 10
Então
c = b + 20
c = a + 10 +20
c = a + 30
51
52
NÚMEROS
NÚMEROS
Se c = a + 30
Então
d = c + 10
d = a + 30 + 10
d = a + 40
Substituindo em
b +
c + d
53
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a
+
= 108
a + a + 10 + a + 30 + a + 40 = 108
4 a = 108 – 80
4a = 28
a = 28/4
a=7
54
9
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NÚMEROS
NÚMEROS
NÚMEROS INTEIROS
• Z = Números Inteiros
• Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }
• Todo número natural é inteiro, isto é,
N é um subconjunto de Z.
Como a = 7
Teremos
b = a + 10 = 17
c = a + 30 = 37
d = a + 40 = 47
Logo o algarismo em comum é o 7
E
55
56
NÚMEROS
NÚMEROS
OPERAÇÕES
CUIDADO!!!
• SOMA / SUBTRAÇÃO
2–4–6+7–8+1=-8
• MULTIPLICAÇÃO/ DIVISÃO
(-2).(-4) = 8
(-2) . (+4) = -8
(-10) / (-5) = 2
-2 – (-2) = -2 + 2 = 0
57
58
NÚMEROS
NÚMEROS
Números Racionais
0 0
1 -⅔
-⅓ 0 ⅓ ⅔ 1
3 4 5 0 0
0
0
1
1
0
0
0 0
1 -⅔
-⅓ 0 ⅓ ⅔ 1
59
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• São todos os números que podem ser
representados na forma de a
b
• com a e b inteiros e b diferente de zero.
• Representado pela letra Q
3 4 5 0 0
60
10
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NÚMEROS
FRACIONÁRIO
7
NÚMEROS
DECIMAL
7
1
2,5 
25 5

10 2
DÍZIMA PERIÓDICA
0,666... 
6 2

9 3
FCC –Cada um dos 784 funcionários de um
Repartição Pública presta serviço em um único
dos seguintes setores: administrativo (1),
processamento de dados (2) e serviços gerais
(3). Sabe-se que o número de funcionários do
setor (2) é numericamente igual a 2/5 do
número dos de (3). Se os funcionários do setor
(1) são numericamente iguais a 3/8 do total de
pessoas que trabalham na Repartição, então a
quantidade de funcionários do setor
a) (3) é 380
b) (3) é 350 c)(2) é 180
d) (2) é 150
e) (1) é 284
61
62
NÚMEROS
SERTOR 1 = ADM =
setor (1) são numericamente iguais a
3/8 do total
2
x  x  294  784
5
3
x  .784  294
8
x
SETOR 2 = PD =
NÚMEROS
setor (2) é numericamente igual
a 2/5 do número dos de (3)
5 X  2 X  1470
3920

5
5
2
x
5
5X  2X  3920  1470
7 X  2450
SETOR 3 = SG =
x
2450
7
X  350
X
63
64
NÚMEROS
SERTOR 1 = ADM =
SETOR 2 = PD =
x
x
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3
.784  294
8
2
.350  140
5
SETOR 3 = SG = 350
65
NÚMEROS
B
(AOCP)Um prêmio em dinheiro foi dividido
entre 3 pessoas: a primeira recebeu 1/4
do valor do prêmio, a segunda recebeu
1/3 e a terceira ganhou R$ 1.000,00.
Então, o valor desse prêmio, em reais, era
de:
a)
b)
c)
d)
e)
2.400,00
2.200,00
2.100,00
1.800,00
1.400,00
66
11
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NÚMEROS
primeira = 1/4 do valor do prêmio
segunda = 1/3 do valor do prêmio
terceira = R$ 1.000,00
1
1
X
X  1000  X
4
3
3 X  4 X  12000
12 X

12
12
NÚMEROS
12X  3X  4X  12000
5X  12000
12000
5
X  2400
X
67
68
NÚMEROS
DÍZIMAS PERIÓDICAS
APRESENTAÇÃO
0,4444....  0, 4  0,4
NÚMEROS
FRAÇÃO GERATRIZ
1º CASO
0,4444.... 
4
9
0,525252.... 
0,122122122... 
0,9999... 
69
2º CASO
5
23

9
9
12
111
37
0,121212...  1 


99
99
33
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122
999
9
1
9
NÚMEROS
FRAÇÃO GERATRIZ
3º CASO
4
13
1,4444....  1 

9
9
71
52
99
70
NÚMEROS
FRAÇÃO GERATRIZ
2,555....  2 
A
1,1444....  x
10x 
10x  11,444....
10x  11 
4
9
x
103
9
103
90
72
12
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NÚMEROS
NÚMEROS
FCC- Considere os seguintes pares de números:
I . 1,666... e 3/5
II. 0,3666... e 30/11
III. 5 1/3 e 16/9
IV. 0,25 e ¼
Indique os itens em que os pares são formados
por um número e seu respectivo inverso
a) III e IV
b) I e II
c) I e IV
d) II e III
73
e) todos
I . 1,666... e 3/5
1,666...  1 
6 15 5


9 9 3
O inverso de 5/3 é 3/5
verdadeira
74
NÚMEROS
NÚMEROS
II. 0,3666... e 30/11
III. 5 1/3 e 16/9
0,3666....  x
10x  3,666....
10x  3 
6
9
x 
33
90
x 
11
30
33 O inverso de 11/30 é 30/11
10x 
verdadeira
9
5
1
16

3
3
O inverso de 16/3 é 3/16
falsa
75
76
NÚMEROS
NÚMEROS
IV. 0,25 e 1/4
SÃO VERDADEIRAS APENAS OS
ITENS I e II
0,25 
25 1

100 4
B
O inverso de 1/4 é 4/1 ou 4
falsa
77
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78
13
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NÚMEROS
NÚMEROS
(AOCP) O número (0,444...)1/2 é
a) Natural
4
b) inteiro positivo 0,4444....  9
c) Inteiro
1
1
 4 2
2  


0
,
444
...

d) Irracional
 9
e) decimal periódico
1
 4
 
 9
E
2


4
9
FCC - Os números de identificação utilizados no
cotidiano (de contas bancárias, de CPF, de
Carteira de Identidade etc.) usualmente
possuem um dígito de verificação, normalmente
representado após o hífen, como em 17326-9.
Esse dígito adicional tem a finalidade de evitar
erros no preenchimento ou digitação de
documentos. Um dos métodos usados para gerar
esse dígito utiliza os seguintes passos:
4
2

 0,666...
9
3
79
80
NÚMEROS
NÚMEROS
• Multiplica-se o último algarismo do número por
1, o penúltimo por 2, o antepenúltimo por 1, e
assim por diante, sempre alternando
multiplicações por 1 e por 2.
• Soma-se 1 a cada um dos resultados dessas
multiplicações que for maior do que ou igual a
10.
• Somam-se os resultados obtidos .
• Calcula-se o resto da divisão dessa soma por 10,
obtendo-se assim o dígito verificador.
O dígito de verificação fornecido pelo processo
acima para o número 24685 é
(A)1.
(B)2.
(C) 4.
(D)6.
(E) 8.
81
82
NÚMEROS
NÚMEROS
24685
• Soma-se 1 a cada um dos resultados dessas
multiplicações que for maior do que ou igual a
10.
Multiplica-se o último algarismo do número por 1,
o penúltimo por 2, o antepenúltimo por 1, e
assim por diante, sempre alternando
multiplicações por 1 e por 2.
5X1
8X2
6X1
4X2
2X1
83
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5X1= 5
8X2= 16 + 1
6X1= 6
4X2= 8
2X1= 2
84
14
Professor Luiz Antonio de Carvalho
NÚMEROS
NÚMEROS
ENADE
• Somam-se os resultados obtidos .
5X1= 5
8X2= 16 + 1= 17
6X1= 6
4X2= 8
2X1= 2
• Calcula-se o resto da divisão dessa soma por
10, obtendo-se assim o dígito verificador.
38 : 10 RESTO 8
E
• TOTAL = 5 + 17 + 6 + 8 + 2 = 38
85
86
NÚMEROS
ENADE
NÚMEROS
NÚMEROS
ENADE
FCC - Um trabalhador tinha em seu portaníqueis apenas moedas de R$ 0,50 e de R$
0,10 em quantidades iguais. Após pagar R$
1,40 pela passagem de ônibus, usando as
moedas que possuía e sem receber troco,
ficou com R$ 4,60.
O número de moedas que restaram a esse
trabalhador, após isso acontecer, passou a
ser
A. 6 ou 10
B. 9 ou 15
C. 9 ou 14
D. 10 ou 14
E. 8 ou 15
87
88
NÚMEROS
NÚMEROS
Total = 1,40 + 4,60 = 6,00
Moedas em quantias iguais
10 moedas
D
10 moedas
Como pagar 1,40
1
9
9 e 1= 10
ou
8 e 6 = 14
sobra
2
Em uma repartição pública que funciona de 2ª
a 6ª feira, 11 novos funcionários foram
contratados. Em relação aos contratados, é
necessariamente verdade que.
4
89
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90
15
Professor Luiz Antonio de Carvalho
NÚMEROS
a) Todos fazem aniversário em meses
diferentes
b) Ao menos dois fazem aniversário no
mesmo mês
c) Ao menos dois começaram a trabalhar no
mesmo dia do mês
d) Ao menos três começaram a trabalhar no
mesmo dia da semana
e) Algum começou a trabalhar em uma 2ª
feira
NÚMEROS
Atente para a sucessão de figuras seguintes e
determine o valor de x:
a) 13
91
b) 34
c) 48
E
d) 64 e) 120
92
“Evite desencorajar-se:
mantenha ocupações e faça do
otimismo a maneira de viver.
Isso restaura a fé em”.
93
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94
16