Circuitos Elétricos - corradi.junior.nom.br

Eletricidade Básica - www.corradi.junior.nom.br
Departamento de Eletroeletrônica -COTUCA
Circuitos
Elétricos
Sumário
1
2
3
4
5
6
7
8
2
INTRODUÇÃO
VARIÁVEIS ELÉTRICAS
2.1
Sistema Internacional de Unidades
2.2
Corrente
2.3
Tensão
2.4
Potência
2.5
Energia
2.6
Notação
CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
3.1
Definição:
3.2
Fonte de Tensão Independente
3.3
Fonte de Corrente Independente
3.4
Fontes Dependente de Tensão e Corrente
3.5
Elementos Ativos no Circuito
3.6
Elementos Passivos no Circuito
RESISTÊNCIA ELÉTRICA (LEI DE OHM)
4.1
Características dos Resistores
4.1.1
Tipos de Resistores
4.1.2
Código de Cores
4.1.3
Interpretação do Código de Cores
4.1.4
Casos Especiais de Código de Cores
4.2
Exercícios
LEIS DE KIRCHHOFF
5.1
Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK)
5.2
Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK)
5.3
Exercícios
ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES E RESISTÊNCIA EQUIVALENTE
6.1
Associação em Série de Resistores
6.2
Associação em Paralelo de Resistores
6.3
Associação Mista de Resistores
6.4
Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Independentes
6.5
Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Dependentes e
Independentes
6.6
Transformação Estrela-Triângulo
6.6.1
Conversão de Triângulo para Estrela
6.6.2
Conversão de Estrela para Triângulo
6.7
Exercícios
DIVISOR DE TENSÃO E CORRENTE
7.1
Divisor de Tensão
7.2
Divisor de Corrente
7.3
Exercícios
MÉTODO DE ANÁLISE DE MALHAS
8.1
Definição das Malhas e Sentidos de Percurso
8.2
Aplicação da LTK para as Malhas
8.3
Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos
8.4
Solução do Sistema de Equações
8.5
Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos
6
6
6
7
7
7
7
8
8
8
8
8
9
9
10
10
11
12
12
12
13
14
14
15
15
17
20
20
21
22
23
24
25
25
25
26
29
29
30
32
34
34
34
34
35
35
8.6
Exemplo de Aplicação
8.6.1
Definição das Malhas e Sentidos de Percurso
8.6.2
Aplicação de LTK para as Malhas
8.6.3
Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos
8.6.4
Solução do Sistema de Equações
8.6.5
Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos
8.7
Análise de Malhas com Fontes de Corrente
8.8
Exemplo de Aplicação
8.9
Exercícios
9
MÉTODO DE ANÁLISE NODAL
9.1
Seleção do Nó de Referência
9.2
Aplicação da LCK aos Nós
9.3
Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos
9.4
Solução do Sistema de Equações
9.5
Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos
9.6
Exemplo de Aplicação
9.6.1
Seleção do Nó de Referência
9.7
Aplicação da LCK aos Nós
9.7.1
Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos
9.7.2
Solução do Sistema de Equações
9.7.3
Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos
9.8
Análise Nodal com Fontes de Tensão
9.9
Exercícios
10
SUPERPOSIÇÃO
10.1 Exemplo de Aplicação
10.2 Exercícios
11
CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E NORTON
11.1 Introdução
11.2 Circuito Equivalente de Thévenin
11.3 Circuito Equivalente de Norton
11.4 Exemplo de Aplicação
11.5 Exercícios
12
Indutores e Capacitores
12.1 Indutor
12.2 Associação de Indutores
12.3 Capacitor
12.4 Associação de Capacitores
12.5 Exercícios
13
ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS
13.1 Fontes Senoidais
13.2 Exemplo de Aplicação
13.3 Exercícios
14
FASORES
14.1 O Conjugado de um Número Complexo
14.2 Soma de Números Complexos
14.3 Subtração de Números Complexos
14.4 Multiplicação de Números Complexos
14.5 Divisão de Números Complexos
14.6 Exercícios
3
35
36
36
36
37
37
38
39
41
45
45
45
45
46
46
46
47
47
47
47
48
48
51
54
54
55
57
57
57
58
59
60
63
63
65
67
69
71
72
72
74
75
76
77
78
78
78
79
79
15
RESPOSTAS DOS COMPONENTES PASSIVOS A FONTES SENOIDAIS 80
Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Resistivo
80
Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Puramente Indutivo 81
Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Puramente Capacitivo
83
15.4 Impedância e Reatância
84
15.5 Exemplo de Aplicação
85
15.6 Exercícios
86
16
ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS
87
16.1 Associação em Série de Impedâncias
87
16.2 Associação em Paralelo de Impedâncias
88
16.3 Transformação Estrela-Triângulo
89
16.3.1
Conversão de Triângulo para Estrela
89
16.3.2
Conversão de Estrela para Triângulo
89
16.4 Exemplo de Aplicação
90
16.5 Exercícios
92
17
MÉTODO DE ANÁLISE DE MALHAS NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA95
17.1 Exemplo de Aplicação
95
17.2 Exercícios
96
18
MÉTODO DAS TENSÕES DE NÓ NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA
99
18.1 Exemplo de Aplicação
99
18.2 Exercícios
100
19
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
102
19.1 Exemplo de Aplicação 1
102
19.2 Exemplo de Aplicação 2
104
19.3 Exercícios
106
20
TRANSFORMAÇÃO DE FONTES
108
21
CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E NORTON NO DOMÍNIO
DA FREQÜÊNCIA
108
21.1 Exemplo de Aplicação
109
21.2 Exercícios
110
22
RESSONÂNCIA
112
22.1 Ressonância Série
112
22.2 Ressonância Paralela
113
22.3 Exemplo de Aplicação
114
22.4 Exercícios
115
23
POTÊNCIAS E FATOR DE POTÊNCIA
117
23.1 Potência Instantânea
117
23.2 Potência Complexa e Triângulo das Potências
122
23.3 Correção do Fator de Potência
124
23.4 Exemplo de Aplicação
124
23.5 Exercícios
127
24
CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS
128
24.1 Tensões Trifásicas Equilibradas
129
24.2 Fonte de Tensão Trifásica
130
24.3 Análise do Circuito Ligado em Y-Y
131
24.4 Correntes de Linha em um Circuito Ligado em Triângulo (∆)
133
24.5 Potência em Carga Trifásica Equilibrada
134
24.6 Exemplo de Aplicação
135
15.1
15.2
15.3
4
24.7
Exercícios
João Marcio Buttendorff
136
5
1 INTRODUÇÃO
Esta apostila foi escrita, baseada na literatura atual, a fim de auxiliar nas aulas de
circuitos elétricos, apresentando um resumo dos principais tópicos abordados nesta cadeira.
Dá-se especial ênfase às leis básicas, teoremas e técnicas clássicas.
No próximo item são apresentados conceitos básicos indispensáveis para a
assimilação dos conhecimentos que posteriormente serão apresentados.
2 VARIÁVEIS ELÉTRICAS
2.1
Sistema Internacional de Unidades
O Sistema Internacional de Unidades, ou SI, é adotado pelas principais sociedades
de engenharia e pela maioria dos engenheiros do mundo inteiro. Neste sistema existem seis
unidades principais, das quais as unidades para todas as outras quantidades físicas podem
ser derivadas. A tabela 2.1 apresenta as seis unidades, seus símbolos, e a quantidade física
que elas representam.
Tabela 2.1 – Unidades Básicas no SI.
Grandeza
Comprimento
Massa
Tempo
Corrente Elétrica
Temperatura
Intensidade Luminosa
Unidade
metro
quilograma
segundo
ampère
kelvin
candela
Símbolo
m
kg
s
A
k
cd
As unidades derivadas comumente utilizadas em teoria de circuitos elétricos são
apresentadas na tabela 2.2.
Grandeza
Carga Elétrica
Potencial Elétrico
Resistência
Condutância
Indutância
Capacitância
Freqüência
Força
Energia, Trabalho
Potência
Fluxo Magnético
Densidade de Fluxo
Magnético
João Marcio Buttendorff
Unidade
coulomb
volt
ohm
siemens
henry
farad
hetz
newton
joule
watt
weber
tesla
Símbolo
C
V
S
H
F
Hz
N
J
W
Wb
T
6
2.2
Corrente
A corrente em um componente do circuito é definida como a quantidade de carga
elétrica que atravessa seus terminais por unidade de tempo. A unidade física utilizada é o
ampère, simbolizado por A.
i=
dq
dt
(2.1)
i = ampère (A), q = coulomb (C), t = segundos (s).
(O elétron possui carga de 1, 602.10−19 C).
2.3
Tensão
A tensão (diferença de potencial) entre dois pontos de um circuito é definida como
a variação do trabalho realizado por unidade de carga para movimentar esta carga entre
estes dois pontos. A unidade utilizada é o volt, simbolizado por V.
v=
dw
dq
(2.2)
v = volt (V), w = energia (J), q = coulomb (C).
2.4
Potência
Potência é a variação da energia (liberada ou absorvida) em função da variação do
tempo. Nos circuitos elétricos ela é definida pelo produto entre tensão e corrente em dois
terminais. A unidade utilizada é o watt (ou joule/s), simbolizado por W.
p = v.i =
2.5
dw dq dw
. =
dq dt dt
(2.3)
Energia
Energia é definida como a integral da potência ao longo do tempo. A unidade
utilizada é o joule. Outra unidade bastante utilizada na prática é o watt-segundo (W.s) e
demais unidades dela derivadas, tais como o kW.hora.
t
t
w = p.dt = v.i.dt
0
(2.4)
0
João Marcio Buttendorff
7
2.6
Notação
É comum em análise de circuitos distinguir-se entre quantidades constantes e
variáveis com o tempo através da utilização de letras maiúsculas e minúsculas. Por
exemplo, uma corrente constante no tempo, ou contínua, de dez ampères deverá ser escrita
I=10A, enquanto uma corrente senoidal de mesma amplitude deverá ser escrita i=10A.
3 CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
3.1
Definição:
Um circuito elétrico pode ser definido como uma interligação dos seguintes
componentes básicos:
– Fontes de tensão dependentes ou independentes;
– Fontes de corrente dependentes ou independentes;
– Resistores;
– Capacitores;
– Indutores.
3.2
Fonte de Tensão Independente
A fonte ideal de tensão é um elemento que mantém uma tensão especificada
constante entre seus terminais para qualquer que seja a corrente que a atravesse. As fontes
independentes podem ser do tipo contínua ou alternada.
Uma bateria pode ser considerada como um exemplo de fonte de tensão contínua.
A tensão fornecida pela concessionária de energia elétrica, por outro lado, é um exemplo
de fonte de tensão alternada.
V
Tensão Contínua
V
Tensão Alternada
Fig. 3-1 - Fontes de Tensão.
3.3
Fonte de Corrente Independente
Uma fonte ideal de corrente é um elemento que é atravessado por uma corrente
especificada, para qualquer que seja a tensão entre seus terminais. As fontes de corrente
também podem ser do tipo contínuo ou alternado.
João Marcio Buttendorff
8
+
+
I
I
Corrente Contínua
Corrente Alternada
Fig. 3-2 - Fontes de Corrente.
3.4
Fontes Dependente de Tensão e Corrente
São aquelas que estabelecem uma tensão ou corrente em um circuito cujo valor
depende do valor da tensão ou da corrente em outro ponto do circuito. Não é possível
especificar o valor de uma fonte dependente a menos que se conheça o valor da tensão ou
corrente da qual ela depende. Como exemplo de fontes dependentes podem-se citar
unidades geradoras, pois a tensão induzida no enrolamento do estator é função da corrente
no rotor e, o transistor, onde a corrente de coletor é proporcional à corrente de base.
+
V=a.Vx _
Fonte de Tensão
Dependente
I=b.Ix
Fonte de Corrente
Dependente
Fig. 3-3 - Fontes Dependentes.
3.5
Elementos Ativos no Circuito
São fontes de tensão e corrente capazes de fornecer energia elétrica para os demais
componentes do circuito.
Em componentes ativos, deve-se definir se a potência está sendo fornecida ou
absorvida pelo mesmo. Se a corrente estiver entrando no terminal positivo da fonte, diz-se
que a fonte está absorvendo energia, resultando em uma potência negativa. Para o caso em
que a corrente estiver saindo do terminal positivo, diz-se que a fonte está fornecendo
potência, ou seja, a potência é positiva.
I
V
Fornecendo
Potência
P=V.I
I
V
Absorvendo
Potência
P=-(V.I)
Fig. 3-4 - Convenção para fontes.
João Marcio Buttendorff
9
3.6
Elementos Passivos no Circuito
São dispositivos capazes de absorver ou armazenar a energia elétrica fornecida
pelos elementos ativos (fontes). Os resistores, indutores e capacitores são elementos
passivos.
Em componentes passivos, a corrente entra pelo lado de maior potencial (positivo)
e sai do mesmo pelo lado de menor potencial.
I
+ VR R
I
+ VC C
I
+ VL L
Fig. 3-5 - Convenção para elementos passivos.
4 RESISTÊNCIA ELÉTRICA (LEI DE OHM)
Resistência é a propriedade dos materiais de se opor à passagem de corrente
elétrica, mais precisamente, ao movimento de cargas elétricas. O elemento ideal usado
como modelo para este comportamento é o resistor. A Fig. 4-1 mostra o símbolo do
resistor. A letra R indica a resistência do resistor.
R
Fig. 4-1 - Símbolo do resistor.
A Lei de Ohm é uma homenagem a Georg Simon Ohm, um físico alemão que a
formulou pela primeira vez no início do século XIX. A lei de Ohm é a relação algébrica
entre tensão e corrente em um resistor e é medida em ohms no sistema internacional (SI).
O símbolo de ohm é a letra grega Omega ( ) . A equação (4.1) descreve esta lei.
V
R.I
(4.1)
Onde:
V = Tensão em volts (V);
I = Corrente em ampères (A);
R = Resistência em ohms ( ) .
A potência dissipada por um resistor consiste em calcular o produto da tensão entre
os terminais do resistor pela corrente que o atravessa. A unidade da potência é watts (W).
P
V .I
(4.2)
Substituindo-se a equação (4.1) na (4.2) pode-se obter a equação da potência em
função da corrente e da resistência e a potência em função da tensão e da resistência.
João Marcio Buttendorff
10
P
I 2 .R
(4.3)
P
V2
R
(4.4)
O recíproco da resistência é chamando de condutância, representado pela letra G e
medido em Siemens (S). Assim:
G=
1
R
(4.5)
Exemplos 2.1:
Calcule nos circuitos da Fig. 4-2 os valores das tensões nos resistores e as potências
dissipadas nos mesmos.
1A
8R
1A
20R
(B)
(A)
Fig. 4-2 – Exemplos.
Aplicando-se a Lei de Ohm aos circuitos, obtém-se:
4.1
VRA
R.I
VRA
8.1
PRA
VRA .I
PRA
8.1
8V
8W
VRB
R.I
VRB
20.1
PRB
VRB .I
PRB
20.1
20V
20W
(4.6)
(4.7)
Características dos Resistores
Em geral os fabricantes de resistores fornece três parâmetros que caracterizam os
mesmos:
• Resistência ôhmica;
• Percentual de tolerância;
• Potência.
Resistência Ôhmica – O valor específico da resistência do componente é indicada
numericamente ou por código de cores. Os resistores são fabricados em valores
padronizados. Os valores comerciais no Brasil são múltiplos de dez de:
1 – 1,2 – 1,5 – 1,8 – 2,2 – 2,7 – 3,3 – 3,9 – 4,7 – 5,6 – 6,8 – 8,2.
Percentual de Tolerância – Os resistores estão sujeitos a diferenças em seus
valores decorrentes aos processos de fabricação. Estas diferenças se situam em 5 faixas de
percentual:
± 20%, ± 10%, ± 5%, ± 2%, ± 1% de tolerância.
João Marcio Buttendorff
11
Os três primeiros são considerados resistores comuns, enquanto os demais são
chamados resistores de precisão. Deve-se notar que a tolerância pode ser tanto acima como
abaixo do valor padrão do resistor.
Potência – A dissipação de potência do resistor indica a capacidade de suportar
calor sem se danificar e sem que o valor se altere. O calor é produzido pela potência
desenvolvida no resistor e pela capacidade do mesmo de transferir essa potência para as
redondezas.
4.1.1 Tipos de Resistores
Resistores de Filme de Carbono: Constituído por um corpo cilíndrico de cerâmica
que serve como base para uma fina camada espiral de material resistivo (filme de carbono
ou grafite em pó) que determina seu valor ôhmico.
O corpo do resistor pronto recebe um revestimento que dá acabamento na
fabricação e isola o filme de carbono da ação da umidade.
As principais desvantagens dos resistores de carbono são o baixo percentual de
precisão e a baixa dissipação de potência. Em geral apresentam tolerância de 5 e 10%,
apesar de existir também 1 e 2%.
Resistores de Carvão: São constituídos por um corpo de porcelana. No interior da
porcelana são comprimidas partículas de carvão que definem a resistência do componente.
Neste tipo de resistor os valores das resistências não são precisos.
Resistores de Fio: Constituem-se de um corpo de porcelana que serva como base.
Sobre o corpo é enrolado um fio especial (por exemplo, níquel – cromo) cujo comprimento
e seção determinam o valor da resistência. Nos resistores de fio obtém-se maior precisão, e
maior dissipação de potência.
4.1.2 Código de Cores
O valor ôhmico dos resistores e sua tolerância podem ser impressos no corpo do
componente através de anéis coloridos. A cor de cada anel e a sua posição com relação aos
demais anéis, corretamente interpretada fornece dados sobre o valor do componente. A
disposição em forma de anéis permite a leitura do valor em qualquer posição do
componente.
4.1.3 Interpretação do Código de Cores
O código se compõe de três anéis usados para representar o valor ôhmico e um para
representar o percentual de tolerância. Para uma correta leitura, os anéis devem ser lidos na
seqüência correta, sendo que o primeiro é aquele que estiver mais próximo da extremidade.
A Fig. 4-3 apresenta um resistor codificado por cores.
1º 2 º 3 º 4 º
1º - Unidade;
2 º - Dezena;
3º - Número de zeros;
4 º - Percentual de tolerância.
Fig. 4-3 - Resistor codificado por cores.
João Marcio Buttendorff
12
Cada cor representa um número, como segue:
Valor
Preto
Marrom
Vermelho
Laranja
Amarelo
Verde
Azul
Violeta
Cinza
Branco
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tolerância
Marrom
Vermelho
Dourado
Prata
Sem a quarta faixa
1%
2%
5%
10%
20%
Tabela 1 – Código de cores.
O código é interpretado da seguinte forma:
• Os dois primeiros anéis são números;
• O terceiro anel é o fator multiplicativo por dez, ou seja, “n” números de
zeros que virão após os dois primeiros números;
• O quarto anel é a tolerância do valor da resistência.
Exemplo:
1º anel – amarelo = 4
2º anel – violeta = 7
3º anel – vermelho = 2 zeros (00)
4º anel – dourado = 5% de tolerância.
Resistor de 4700 Ohms ± 5%, 4,7k Ohms ± 5% ou 4k7 Ohms ± 5%.
4.1.4 Casos Especiais de Código de Cores
Resistores de 1 a 10 Ohms: Para representar resistores de 1 a 10 Ohms, o código
estabelece o uso da cor dourada no terceiro anel. Esta cor no terceiro anel indica a
existência de uma vírgula entre os dois primeiros números ou também pode ser
considerado como um fator de multiplicação de 0,1.
Exemplo: Marrom, cinza, dourado, dourado = 18 x 0,1 = 1,8 Ohms ± 5%.
Resistores abaixo de 1 Ohm: Para representar resistores abaixo de 1 Ohm, o
código determina o uso do prateado no terceiro anel. Esta cor no terceiro anel indica a
existência de um zero antes dos dois primeiros números ou um fator de multiplicação de
0,01.
Exemplo: Marrom, cinza, prata, dourado= 18 x 0,01 = 0,18 Ohms ± 5%.
Resistores de cinco anéis: Em algumas aplicações são necessários resistores com
valores mais precisos, que se situam entre os valores padronizados. Nestes resistores, os
três primeiros anéis são dígitos significativos, o quarto anel representa o número de zeros
(fator multiplicativo) e o quinto anel é a tolerância.
Exemplo: Azul, cinza, vermelho, laranja, marrom = 682.000 Ohms ± 1%.
João Marcio Buttendorff
13
4.2
Exercícios
1-) Determine a corrente e a potência dissipada nos resistores.
12V
120R
40V
1k
(A)
(B)
Respostas: (A) I=12mA e P=144mW; (B) I=333,33mA e P=13,33W.
2-) Determine a tensão das fontes.
2A
10A
V
50R
V
R
(A)
P=200W
(B)
Respostas: (A) V=100V; (B) V=20V.
3-) Determine a tensão sobre os resistores e a potência dissipada pelos mesmo.
3A
100R
(A)
100mA
2,2k
(B)
Respostas: (A) V=300V e P=900W; (B) V=220V e P=22W.
5 LEIS DE KIRCHHOFF
Os comportamentos dos circuitos elétricos são governados por duas leis básicas
chamadas Leis de Kirchhoff. Elas estabelecem relações entre as tensões e correntes entre
os diversos elementos dos circuitos, servindo assim como base para o equacionamento
matemático dos circuitos elétricos. Antes do enunciado das referidas Leis, torna-se,
entretanto, necessário à introdução de algumas definições básicas:
– Nó: É um ponto de junção de dois ou mais componentes básicos de um circuito
(ramos). Na Fig. 5-1 está representado um circuito simples composto de dois nós
(nós 1 e 2);
– Ramo: É a representação de um único componente conectado entre dois nós, tal
como um resistor ou uma fonte de tensão. Na Fig. 5-1, o componente dois (R2)
conectado entre os nós 1 e 2 é um ramo do circuito.
– Malha: É qualquer percurso de um circuito que permita, partindo de um nó
escolhido arbitrariamente, voltar ao ponto de partida sem passar mais de uma vez
pelo mesmo nó.
João Marcio Buttendorff
14
I1
1
I2
I3
Vcc
R1
R2
1k
2
Fig. 5-1 - Circuito com dois nós.
5.1
Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK)
A lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que chegam a
um nó é igual à soma das correntes que saem do mesmo nó. Considerando-se as correntes
que chegam a um nó como positivas e as que saem como negativas, a Lei das Correntes de
Kirchhoff estabelece que a soma algébrica das correntes incidindo em um nó deve ser nula.
Baseado no enunciado da LCK e considerando-se o circuito mostrado na Fig. 5-1,
pode-se escrever a seguinte equação para o nó marcado como 1:
I1
5.2
I2
I3
0
I1
I2
I3
(5.1)
Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK)
A lei das tensões de Kirchhoff estabelece que a soma algébrica das tensões em
qualquer malha de um circuito é sempre nula.
R1
R2
+ VR1 -
+ VR2 +
VR2
-
I
Vcc
R3
Fig. 5-2 - Circuito com uma malha.
Baseado no enunciado da LTK e considerando-se o circuito da Fig. 5-2, pode-se
escrever a seguinte equação:
Vcc VR1
VR 2
VR 3
0
Vcc
VR1
VR 2
VR 3
(5.2)
Exemplo 3.1:
Use as lei de Kirchhoff e a lei de Ohm para determinar o valor da corrente I1 no
circuito da Fig. 5-3.
João Marcio Buttendorff
15
R1=10R
I1
120V
R2=50R
6A
Fig. 5-3 - Exemplo 3.1.
Antes de iniciar a resolução do circuito, deve-se associar uma corrente ao ramo
formado pelo resistor R2. Como se têm duas correntes entrando no nó superior, formado
por I1 e pela fonte de corrente (6A), será considerado que a corrente em R2 está saindo do
nó. Também deve-se acrescentar tensões desconhecidas aos resistores. O circuito passa a
ser o apresentado na Fig. 5-4.
+ VR1 _ Nó 1
I2
I1
120V
+
VR2
_
6A
Nó 2
Fig. 5-4 - Circuito resultante.
Aplicando a LCK ao nó 1 e considerando que as correntes entrando no nó são
positivas e as que saem são negativas, obtém-se:
6
I1
I2
0
I1
6
I2
(5.3)
Aplicando a LTK a malha da esquerda e considerando o caminha percorrido no
sentido horário, obtém-se:
120 VR1
VR 2
0
VR1
VR 2
120
(5.4)
Substituindo-se a lei de Ohm na equação (5.4).
R1.I1
R2 .I 2
120
10.I1
50.I 2
120
(5.5)
Substituindo-se a equação (5.3) na (5.5) e resolvendo-se as equações, obtém-se:
I1
I2
3A
3A
(5.6)
O resultado negativo de I1 representa que o sentido real da corrente é o contrário do
sentido apresentado na Fig. 5-3. Outro detalhe importante neste exemplo consiste no fato
que a corrente esta entrando no terminal positivo da fonte de tensão, o que resulta que a
mesma está absorvendo potência ao invés de estar fornecendo potência para o circuito.
João Marcio Buttendorff
16
Exemplo 3.2:
Calcule no circuito da Fig. 5-5 as tensões sobre os resistores, a corrente da malha e
a potência fornecida pela fonte de tensão.
3R
7R
+ VR1 -
+ VR2 -
24V
I
+
VR3
-
2R
Fig. 5-5 - Exemplo 3.2.
Aplicando-se a LTK ao circuito, obtém-se:
24 VR1
VR1
VR 2
VR 2
VR 3
0
(5.7)
24
VR 3
Substituindo a Lei de Ohm na equação (5.7) e resolvendo-se a equação, obtém-se a
corrente do mesmo.
R1.I
R2 .I
3.I 7.I
I 2A
R3 .I
2.I
24
(5.8)
24
Aplicando a Lei de Ohm para cada resistor do circuito, determina-se a tensão sobre
os mesmos.
VR1
R1.I
3.2
6V
VR 2
R2 .I
7.2
14V
VR 3
R3 .I
2.2
4V
(5.9)
A potência da fonte é obtida pelo produto da tensão fornecida pela mesma e pela
corrente que circula por ela.
P
5.3
V .I
24.2
(5.10)
48W
Exercícios
1-) Calcule as grandezas desconhecidas indicadas nos circuitos abaixo.
1V
20A
2A
10A
2V
I=?
I
20V
V=?
1V
6V
Respostas: I=8A e V=10V.
João Marcio Buttendorff
17
2-) Calcule a corrente e as quedas de tensão através de R1 e R2.
R2
R1
20R
10R
50V
40V
20V
Respostas: I=1A; VR1=10V e VR2=20V.
3-) Use a lei de Ohm e a lei de Kirchhoff para determinar o valor de R no circuito abaixo.
R
+
120V
_
200V
24R
Resposta: R
8R
4
4-) Calcule a corrente, as tensões nos resistores e a potência fornecida pela fonte.
+ VR1 -
+ VR2 -
3R
7R
+
VR3
_
24V
2R
Respostas: I=2A, VR1=6V, VR2=14V, VR3=4V e P=48W.
5-) Para o circuito abaixo, calcule:
a) As correntes da fonte e no resistor de 80 ;
b) A tensão no resistor de 90 ;
c) Verifique que a potência fornecida pela fonte é igual à potência dissipada nos
resistores.
30R
I
I
1,6A
80R
90R
Respostas: a) I=4A, I1=2,4A; b) V=144V; c) Ptot=768W.
6-) Dado o circuito, determine:
a) O valor de Ia;
b) O valor de Ib;
c) O valor de Vo;
d) As potências dissipadas nos resistores;
e) A potência fornecida pela fonte.
João Marcio Buttendorff
18
4R
Ib
Ia
50V
+
Vo
_
20R
80R
Respostas: a) Ia=2A; b) Ib=0,5A; c) Vo=40V;
d) P4R=25W, P20R=80W e P80R=20W; e) P=125W.
7-) A corrente I0 no circuito é 4A.
a) Determine a corrente I1;
b) Determine as potências dissipadas nos resistores;
25R
I0
5R
10R
I1
180V
70R
8R
Respostas: a) I1=2A; b) P25R=400W, P5R=320W, P70R=280W, P10R=360W e P8R=800W.
8-) Determine no circuito abaixo a corrente I1 e a tensão V.
54k
+ V -
1V
1,8k
30.I1
I1
6k
5V
8V
Respostas: I1=25uA e V=-2V.
9-) A corrente I1 no circuito abaixo é de 2A. Calcule:
a) A tensão Vs;
b) A potência recebida pela fonte de tensão independente;
c) A potência fornecida pela fonte de corrente independente;
d) A potência fornecida pela fonte de corrente dependente;
e) A potência total dissipada pelos dois resistores.
2.I1
10R
5A
I1
30R
Vs
Respostas: a-) Vs=70V; b-) P=210W; c-) P=300W; d-) P=40W; e-) P=130W.
João Marcio Buttendorff
19
6 ASSOCIAÇÃO DE
EQUIVALENTE
RESISTORES
E
RESISTÊNCIA
A análise e projeto de circuitos requerem em muitos casos a determinação da
resistência equivalente a partir de dois terminais quaisquer do circuito. Além disso, pode-se
numa série de casos práticos solucionar o circuito a partir da associação dos resistores que
compõem determinadas partes do circuito. Esta técnica é denominada de redução dos
circuitos e será brevemente apresentada aqui, junto com as técnicas básicas de
determinação da resistência equivalente.
6.1
Associação em Série de Resistores
Neste caso, todos os resistores são percorridos pela mesma corrente, sendo que o
terminal final do primeiro é conectado ao início do segundo e assim por diante, conforme
mostra a Fig. 6-1. O resistor equivalente é o resistor que quando conectado aos terminais
da fonte possui as mesmas características elétricas que a associação série dos resistores 1 a
n, sendo n o número total de resistores em série. Portanto, para a fonte conectada aos
resistores, a corrente no resistor equivalente será a mesma da associação série dos n
resistores.
+ VR1 -
+ VR2 -
R1
+ VR3 -
R2
R3
+ VRn Rn
I
V
Fig. 6-1 - Circuito série.
A Lei das tensões de Kirchhoff estabelece que a soma das tensões em um circuito
fechado é igual a zero. Deduz-se daí que a soma das quedas de tensões em todo o circuito
da Fig. 6-1 é igual a tensão da fonte V.
V
VR1
VR 2
VR 3
(6.1)
...VRn
Substituindo-se as quedas de tensões nos resistores pela Lei de Ohm, Obtém-se:
V
I .R1
I .R2
V
I .( R1
R2
I .R3
R3
...
...
I .Rn
Rn )
(6.2)
(6.3)
A resistência vista pela fonte de alimentação é a resistência equivalente (Req) do
circuito. Desta forma, tem-se:
V
I .Req
João Marcio Buttendorff
(6.4)
20
Substituindo-se a equação (6.4) na (6.3) e dividindo-se ambos os lados da equação
por I, determina-se a equação da resistência equivalente do circuito.
R1
R eq
R2
R3
...
(6.5)
Rn
A Fig. 6-2 apresenta o circuito equivalente da Fig. 6-1.
I
V
Req
Fig. 6-2 - Circuito equivalente.
6.2
Associação em Paralelo de Resistores
Na Fig. 6-3 é mostrado um circuito paralelo na qual todos os resistores estão
conectados em paralelo. Desta maneira, cada um dos resistores está conectado diretamente
a fonte de tensão e, portanto a tensão sobre cada resistor é igual à tensão da fonte. Por
outro lado, a corrente através de cada resistor é determinada pelo valor de cada um deles.
I1
I2
R1
R2
I
I3
In
R3
Rn
V
Fig. 6-3 - Circuito paralelo.
A Lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que entram
em um nó é igual à soma das correntes que saem do nó. Assim:
I
I1
I2
I3
...
In
(6.6)
A corrente que circula pela fonte de alimentação é a corrente total (I) do circuito.
Desta forma, tem-se:
I
V
Req
(6.7)
Substituindo-se cada termo da equação (6.6) pela Lei de Ohm e substituindo-se a
corrente total pela equação (6.7), obtém-se:
João Marcio Buttendorff
21
V
R eq
V
R1
V
R2
V
R3
...
V
Rn
(6.8)
Dividindo-se ambos os lados da equação (6.8) por V, obtém-se:
1
R eq
R eq
1
R1
1
R2
1
R3
1
R1
1
R2
1
1
R3
...
1
Rn
...
1
Rn
(6.9)
(6.10)
Esta equação é usada para determinar o valor da resistência equivalente dos
resistores conectados em paralelo. Deduz-se desta equação que o valor total da resistência
é menor que o menor valor das resistências individuais.
Para o caso particular de dois resistores em paralelo, pode-se utilizar a equação
(6.11) para determinar a resistência equivalente.
Req
6.3
R1.R2
R1 R2
(6.11)
Associação Mista de Resistores
No caso de haver partes do circuito que estão conectadas em série e partes que
estão conectadas em paralelo deve-se aplicar sucessivamente as equações (6.5), (6.10) e
(6.11) até que se obtenha a resistência equivalente nos terminais desejados. O exemplo a
seguir ilustra este procedimento.
Considere o circuito da Fig. 6-4 onde se deseja calcular a resistência equivalente a
partir dos terminais a-b.
R2
R4
R2
a
(A)
RA
a
R1
R3
(B)
R5
b
R3
R1
b
R2
a
(C)
a
R1
RB
(D)
b
R1
RC
b
a
(E)
RD
b
Fig. 6-4 - Associação mista de resistores.
João Marcio Buttendorff
22
Pela Fig. 6-4, os resistores R4 e R5 estão em série, podendo-se determinar a
resistência equivalente RA pela equação (6.5) (vide figura A).
RA
R4
R5
(6.12)
O circuito possuirá agora a forma mostrado na Fig. 6-4(B), onde observa-se que os
resistores RA e R3 estão conectados em paralelo, podendo ser associados utilizando-se a
equação (6.11), resultando na resistência RB:
RB
RA .R3
RA R3
(6.13)
Após esta operação o circuito assumirá a forma mostrada na figura (C). Os
resistores RB e R2 estão agora em série e a resistência equivalente RC correspondente a
estes dois é dada pela equação (6.5):
RC
RB
R2
(6.14)
O circuito assume agora a forma mostrada na figura (D), onde os resistores RC e R1
estão em paralelo e podem ser associados pela equação (6.11), resultando na resistência
equivalente do circuito a partir dos terminais a-b, a qual é denominado de RD.
RD
RC .R1
RC R1
(6.15)
Deve-se salientar que a resistência equivalente está sempre relacionada a dois
terminais específicos do circuito. Existe para cada par de terminais um valor de resistência
equivalente diferente. Não existe, portanto, o conceito da resistência equivalente do
circuito ou resistência total do circuito, mas sim uma resistência equivalente a partir de
dois terminais do circuito.
6.4
Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes
Independentes
Nos casos anteriores, a resistência equivalente foi determinada para um circuito (ou
parte dele) onde não existiam fontes de corrente ou tensão. Mesmo quando houver fontes
independentes, pode-se determinar a resistência equivalente a partir de um par de
terminais.
Neste caso a resistência equivalente será determinada anulando-se todas as fontes
independentes do circuito. Para isso, as fontes de tensão serão substituídas por terminais
em curto-circuito e as fontes de corrente por terminais em circuito aberto. Por exemplo, a
resistência equivalente para o circuito mostrado na Fig. 6-5(A), será obtido a partir do
circuito mostrado na Fig. 6-5(B), onde as fontes foram anuladas.
João Marcio Buttendorff
23
R2
R3
(A)
R1
(B)
Vcc
I
b
R3
R2
a
a
R1
b
Fig. 6-5 - Resistência equivalente contendo fontes.
6.5
Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes
Dependentes e Independentes
Neste caso deve-se, como no caso anterior anular as fontes independentes e,
contudo, manter as fontes dependentes no circuito, uma vez que estas dependem de tensões
e correntes do circuito. Deve-se calcular a resistência equivalente aplicando-se uma fonte
de tensão aos terminais onde a resistência equivalente deve ser calculada e em seguida
determinar a corrente da mesma. A resistência equivalente será a relação entre a tensão
aplicada e a corrente. A fonte aplicada poderá ter um valor qualquer, devendo-se optar por
um valor que simplifique o calculo (1V, por exemplo). O exemplo a seguir ilustra este
procedimento.
Considere o circuito apresentado na Fig. 6-6 para o qual deseja-se determinar a
resistência equivalente a partir dos terminais a-b. O circuito original é mostrado na Fig.
6-6(A) e o circuito utilizado para o cálculo da resistência equivalente é mostrado na Fig.
6-6(B). Neste caso foi aplicado aos terminais a-b uma tensão de 1V.
I
3R
2R
a
2R
3R
a
+ Vx 4R
5.Vx
+ Vx +
_
12V
1V
4R
+
5.Vx _
b
b
(B)
(A)
Fig. 6-6 - Circuito exemplo.
Aplicando-se a Leis das Tensões de Kirchhoff, obtém-se:
−1 + Vx + 5.Vx = 0
Vx = 0,1667V
(6.16)
Aplicando-se a LCK no nó formado pela fonte de tensão e pelos resistores de 2 e
4 , obtém:
I = I 2 Ω + I 4Ω
I=
1 0,1667
+
= 0,3333 A
4
2
(6.17)
Assim, a resistência equivalente é obtida por:
João Marcio Buttendorff
24
V
1
=
= 3Ω
I 0,3333
Req =
6.6
(6.18)
Transformação Estrela-Triângulo
Existem muitos casos práticos em que a resistência equivalente necessita ser
determinada e não é possível utilizar as regras de associação série nem as de associação em
paralelo. Nestes casos pode-se simplificar o problema utilizando as regras de conversão
estrela-triângulo. A conexão de resistores em estrela é mostrado na Fig. 6-7(a), ao passo
que a conexão em triângulo é mostrado na Fig. 6-7(b). A conexão em estrela também é
denominada de conexão Y ou ainda conexão T. Por outro lado, a conexão triângulo
também é denominada de conexão delta ou ainda conexão .
R1
R2
1
Rc
3
1
R3
3
Rb
2
4
Ra
4
2
(a)
(b)
Fig. 6-7 - Equivalência entre a conexão (a) estrela e (b) triângulo.
6.6.1 Conversão de Triângulo para Estrela
Quando o circuito original está na conexão triângulo, pode-se converter o circuito
para estrela utilizando-se as seguintes relações:
R1 =
Rb .Rc
Ra + Rb + Rc
R2 =
R3 =
Ra .Rc
Ra + Rb + Rc
Ra .Rb
Ra + Rb + Rc
(6.19)
(6.20)
(6.21)
A regra para a conversão triângulo-estrela é, portanto: cada resistor do circuito em
estrela é o produto dos resistores dos dois ramos adjacentes do triângulo dividido pela
soma dos três resistores do triângulo.
6.6.2 Conversão de Estrela para Triângulo
Quando o circuito original está na conexão estrela, pode-se converter o circuito para
triângulo utilizando-se as seguintes relações:
João Marcio Buttendorff
25
Ra =
R1.R2 + R2 .R3 + R3 .R1
R1
(6.22)
Rb =
R1.R2 + R2 .R3 + R3 .R1
R2
(6.23)
Rc =
R1.R2 + R2 .R3 + R3 .R1
R3
(6.24)
A regra para a conversão estrela-triângulo é, portanto: cada resistor do circuito em
triângulo é o produto dos resistores da estrela dois a dois dividido pelo resistor oposto da
estrela.
6.7
Exercícios
1-) Calcule a tensão sobre cada resistor dos circuitos abaixo.
R1
1R
2R
3R
4R
5R
110V
R2
10R
115V
R3
7R
(b)
(a)
Respostas: (a) V1=25V; V2=50V e V3=35V
(b) V1=11,5V; V2=23V; V3=34,5V e V4=46V.
2-) Um circuito paralelo é formado por uma cafeteira elétrica (15 ), um torrador de pão
(15 ) e uma panela de frituras (12 ) ligados às tomadas de 120V de uma cozinha. Que
corrente fluirá em cada ramo do circuito e qual é a corrente total consumida por todos os
eletrodomésticos?
Respostas: ICaf=8A; ITor=8A; IPan=10A e Itot=26A.
3-) Determine a resistência equivalente para o circuito abaixo:
a) Como está desenhado;
b) Com o resistor de 5 substituído por um curto-circuito;
c) Com o resistor de 5 substituído por um circuito aberto.
3R
4R
10R
4R
4R
Respostas: a) Req
João Marcio Buttendorff
5R
2R
10 ; b) Req
9R
1R
9,933
e c) Req
10, 2 .
26
4-) Determine a resistência equivalente para os dois circuitos abaixo.
2R
7k
12R
24R
24k
30k
15k
20k
30k
6R
Respostas: (A) Req
16 ; (B) Req
6k .
5-) Determine a resistência equivalente do circuito abaixo.
5R
10R
8R
15R
20R
Resposta: Req=12,162 .
6-) Determine para os três circuitos abaixo:
a) A resistência equivalente;
b) As potências fornecidas pelas fontes.
8R
12R
144V
10R
6R
16R
18R
20R
4R
15R
14R
10R
20V
15R
48R
(B)
6R
8R
20R
6R
18R
(A)
6A
60R
15R
10R
15R
48R
30R
18R
10R
(C)
Respostas: (A) Req
10
e P=40W; (B) Req
(C) Req
27
e P=768W;
24 e P=864W.
7-) Determine Vo e Vg no circuito abaixo.
João Marcio Buttendorff
27
12R
50R
30R
+
Vg
_
25A
25R
+
Vo
30R
60R
_
Respostas: Vo=300V e Vg=1050V.
8-) Calcule a tensão Vx no circuito.
5k
60k
- Vx +
30V
1k
15k
Resposta: Vx=1V.
9-) A corrente no resistor de 9 do circuito abaixo é 1A, como mostra a figura.
a) Calcule Vg;
b) Calcule a potência dissipada no resistor de 20 .
20R
10R
5R
4R
1A
40R
Vg
9R
25R
32R
3R
2R
1R
Respostas: a) Vg=144V; b) P=28,8W.
10-) Calcule a potência dissipada pelo resistor de 3k do circuito abaixo.
750R
15k
25k
5k
192V
3k
5k
Resposta: P=300mW.
João Marcio Buttendorff
28
11-) Obtenha a resistência equivalente do circuito abaixo e utilize-a para encontrar a
corrente I.
I
12,5R
10R
5R
120V
30R
15R
20R
Respostas: Req=9,632 e I=12,458A.
7 DIVISOR DE TENSÃO E CORRENTE
A solução de circuitos, ou partes dele, pode ser simplificada por meio da aplicação
de técnicas conhecidas como divisor de tensão e divisor de corrente. As regras de
aplicação dos divisores são obtidas a partir das regras de associação série e paralela de
resistores vistas anteriormente, as quais por sua vez derivam diretamente das Leis de
Kirchhoff.
7.1
Divisor de Tensão
A regra do divisor de tensão se aplica a componentes (resistores) conectados em
série, como no caso do circuito mostrado na Fig. 7-1(A), e destina-se a determinar a tensão
sobre cada componente individual. A resistência equivalente vista pela fonte V é mostrada
na figura (B), sendo dada pela relação:
R eq
R1
R2
R3
...
R4
(7.1)
Rn
+VR1- +VR2- +VR3- +VR4+
R1
R2
R4
R3
V
+VRnI
Rn
(A)
_
+VReq+
Req
I
V
(B)
_
Fig. 7-1 - Divisão de tensão entre resistores em série.
Em um circuito em série a corrente em todos os componentes é a mesma, sendo
dada pela equação:
I
V
Req
V
( R1
R2
João Marcio Buttendorff
R3
R4
...
Rn )
(7.2)
29
Desta forma, a tensão sobre cada resistor será dada pelas seguintes equações:
VR1
R1.I
VR 2
R2 .I
VR 3
R3 .I
( R1
R2
R1.V
R3 R4
...
Rn )
R2
R2 .V
R3 R4
...
Rn )
R2
R3 .V
R3 R4
...
Rn )
R2
Rn .V
R3 R4
...
Rn )
( R1
( R1
(7.3)
(7.4)
(7.5)
...
VRn
Rn .I
( R1
(7.6)
As equações anteriores permitem determinar diretamente a tensão sobre cada
resistor a partir da tensão aplicada à associação. A regra é: a tensão sobre cada
componente é a tensão aplicada aos terminais de entrada multiplicada pela resistência e
dividida pela soma das resistências dos componentes.
Ao aplicar-se a regra é fundamental observar que as polaridades das tensões e
sentidos das correntes sobre os componentes são conforme mostra a Fig. 7-1.
7.2
Divisor de Corrente
Analogamente ao caso de resistências em série, a regra do divisor de corrente se
aplica a componentes (resistores) conectados em paralelo, como no caso do circuito
mostrado na Fig. 7-2, e destina-se a determinar a corrente que circula por cada componente
individual. A resistência equivalente é mostrada na figura (B), sendo dada pela relação:
R eq
1
1
R1
1
R2
1
R3
+
V
1
R4
...
I2
I1
I
R1
(7.7)
1
Rn
I3
R3
R2
In
I4
R4
Rn
_
(A)
Req
+
I
V
_
(B)
Fig. 7-2 - Divisão de corrente entre resistores em paralelo.
João Marcio Buttendorff
30
A tensão em todos os componentes é mesma, sendo então determinada pela
equação (7.8):
V
I .R e q
I.
1
1
R1
1
R2
1
R3
1
R4
1
Rn
...
(7.8)
Desta forma, a corrente em cada um dos resistores será dada pelas seguintes
equações:
I1
I2
I3
I4
1
V
R1
1
R1
1
R2
1
R3
1
R4
...
1
Rn
1
V
R2
1
R1
1
R2
1
R3
1
R4
...
1
Rn
1
V
R3
1
R1
1
R2
1
R3
1
R4
...
1
Rn
1
V
R4
1
R1
1
R2
1
R3
1
R4
...
1
Rn
I
R1
(7.9)
.
I
R2
(7.10)
.
I
R3
(7.11)
.
I
R4
(7.12)
.
I
Rn
(7.13)
.
...
In
1
V
Rn
1
R1
1
R2
1
R3
1
R4
...
1
Rn
As equações anteriores permitem, assim, determinar a corrente em cada resistor a
partir da corrente total. A regra geral pode ser expressa da seguinte forma: a corrente em
cada componente é a corrente de entrada multiplicada pela resistência equivalente e
dividida pela resistência na qual deseja-se obter a corrente.
Ao aplicar-se a regra é fundamental observar que as polaridades das tensão e
sentidos das corrente sobre os componentes são conforme apresentado na Fig. 7-2.
Para o caso particular de apenas dois resistores conectados em paralelo, podem-se
obter as seguintes expressões:
I1
I.
I2
I.
R2
R1
R2
R1
R1
R2
João Marcio Buttendorff
(7.14)
(7.15)
31
7.3
Exercícios
1-) Calcule através do método do divisor de tensão a queda de tensão através de cada
resistor.
R1
2k
R2
6k
10V
Respostas: VR1=2,5V e VR2=7,5V.
2-) Calcule as correntes I1 e I2 utilizando divisor de corrente.
I1
It=18mA
3k
I2
6k
Respostas: I1=12mA e I2=6mA.
3-) Determine no circuito abaixo:
a) O valor de Vo na ausência de carga.
b) Calcule Vo quando RL 150k .
c) Qual é a potência dissipada no resistor de 25k se os terminais da carga forem
acidentalmente curto circuitados?
d) Qual a potência máxima dissipada no resistor de 75k ?
25k
200V
+
75k
RL
Vo
_
Respostas: a) Vo=150V; b) Vo=133,33V; c) P=1,6W e d) P=300mW.
4-) Determine a potência dissipada no resistor de 6
do circuito abaixo.
1,6R
10A
16R
4R
6R
Resposta: P=61,44W.
João Marcio Buttendorff
32
5-) No circuito divisor de tensão da figura abaixo, o valor de Vo sem carga é 6V. Quando a
resistência de carga RL é inserida ao circuito, a tensão cai para 4V. Determine o valor de R2
RL.
40R
+
18V
R2
RL
Vo
_
Respostas: R2
20
e RL
26, 67 .
6-) Calcule no circuito divisor de tensão abaixo:
a) A tensão de saída Vo sem carga;
b) As potências dissipadas em R1 e R2;
R1
4,7k
R2
3,3k
160V
Vo
Respostas: a) Vo=66V e b) PR1=1,88W e PR2=1,32W.
7-) Muitas vezes é necessário dispor de mais de uma tensão na saída de um circuito divisor
de tensão. Assim, por exemplo, as memórias de muitos computadores pessoais exigem
tensões -12V, 6V e +12V, todas em relação a um terminal comum de referência. Escolha
os valores de R1, R2 e R3 no circuito abaixo para que as seguintes especificações de projeto
sejam atendidas:
a) A potência total fornecida ao circuito divisor de tensão pela fonte de 24V deve ser
de 36W quando o circuito não está carregado.
b) As três tensões, todas medidas em relação ao terminal comum de referência, devem
ser V1=12V, V2=6V e V3=-12V.
V1
R1
V2
24V
R2
Comum
R3
V3
Respostas: R1
João Marcio Buttendorff
4 , R2
4
e R3
8 .
33
8-) Calcule a corrente no resistor de 6, 25 , no circuito divisor de corrente apresentado
abaixo.
1142mA
0,25R
2,5R
1R
6,25R
10R
20R
Resposta: I=32mA.
8 MÉTODO DE ANÁLISE DE MALHAS
A análise de malhas envolve sempre os cinco passos descritos a seguir.
8.1
Definição das Malhas e Sentidos de Percurso
Inicialmente devem ser determinadas quantas malhas contém o circuito. Para um
circuito contendo b ramos (componentes) e n nós existirão sempre (b-n+1) malhas, as quais
permitirão escrever um número de equações independentes também igual a (b-n+1). Uma
vez identificadas às malhas, deve-se numerá-las e designá-las como I1, I2, I3...Ib-n+1. Além
disso, deve-se escolher um sentido de percurso para cada malha. A escolha do sentido não
interfere com as equações que serão obtidas, mas é importante na determinação das
correntes e tensões de ramo. Também nesta etapa serão definidas polaridades para as
tensões nos ramos, as quais definem as correntes de ramo que serão consideradas positivas.
8.2
Aplicação da LTK para as Malhas
Após a definição das malhas, deve-se percorrê-las de acordo com o sentido
atribuído para cada uma delas, retornando-se ao ponto de partida após a malha ter sido
percorrida. Pode-se adotar a seguinte convenção quanto às diferenças de potencial: quedas
de potencial ao longo deste percurso serão consideradas positivas, ao passo que elevações
de potencial serão consideradas negativas. Como resultado desta etapa haverá (b-n+1)
equações que representam os somatórios das tensões sobre os componentes que compõem
cada malha, de acordo com a convenção adotada.
8.3
Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos
Considerando que as equações da etapa anterior foram escritas em função das
tensões dos ramos e as incógnitas são correntes de malha, devem-se utilizar as relações de
tensão-corrente (Lei de Ohm) para substituir as tensões dos ramos por relações envolvendo
as correntes de malha. Como resultado desta etapa, obtém-se (b-n+1) equações envolvendo
as correntes de malha. Deve-se observar que existe uma relação tensão corrente para cada
ramo (componente), existindo, portanto b relações deste tipo.
João Marcio Buttendorff
34
8.4
Solução do Sistema de Equações
Após a obtenção das equações de malha, deve-se utilizar algum método de solução
de sistemas lineares para determinar as (b-n+1) incógnitas.
8.5
Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos
Depois de solucionado o sistema de equações e obtido as correntes das malhas,
pode-se obter todas as correntes e tensões de ramo do circuito a partir das correntes de
malha. Por exemplo, a corrente de ramo IK, percorrido por um lado pela corrente de malha
Ix e por outro pela corrente de malha IY do circuito conforme mostra a Fig. 8-1, pode ser
obtida pela seguinte equação:
Ik
Ix
Iy
(8.1)
Fig. 8-1 - Tensão e corrente de ramo.
Na equação (8.1), foi considerada como positiva a corrente de malha que circula no
mesmo sentido que a corrente do ramo, ao passo que foi considerada negativa a que circula
em sentido contrário. Deve-se também atentar que a equação pode ser obtida aplicando-se
a LCK a qualquer um dos nós do ramo k. Considerando-se os sentidos associados, a tensão
no ramo k será dada como:
Vk
I k .Rk
(I x
I y ).Rk
Rk – Resistência do ramo k (ohms,
8.6
(8.2)
)
Exemplo de Aplicação
O método exposto será ilustrado por meio de um exemplo simples ilustrado na Fig.
8-2, onde todas as etapas citadas serão realizadas passo a passo.
João Marcio Buttendorff
35
8.6.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso
Para o circuito da Fig. 8-2, existem n=4 nós e b=5 componentes. Desta forma, o
número de malhas fechadas é (5-4+1)=2. Os sentidos adotados para os percursos das
malhas serão todos no sentido horário, conforme mostra a Fig. 8-2, podendo no entanto ser
escolhido um outro sentido. Na figura também são mostrados os sentidos considerados
positivos para as quedas de tensão (polaridade das tensões) para os componentes.
+ R1 I1
+
+
Malha 1 R3
V
R2 I2
+
Malha 2 R4
-
-
Fig. 8-2 - Circuito de exemplo.
8.6.2 Aplicação de LTK para as Malhas
De acordo com convenção adotada, as equações para as malhas 1 e 2 são dadas
pelas seguintes equações:
V
VR 3
VR1
VR 3
VR 2
V
0
VR 4
VR1
VR 3
0
(8.3)
(8.4)
8.6.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos
As relações tensão corrente para os ramos do circuito são estabelecidas baseadas
nas equações (8.1) e (8.2) da forma que segue:
I R1
I1
(8.5)
I R2
I2
(8.6)
I R3
I1
I R4
I2
VR1
I R1.R1
VR 2
I R 2 .R2
I 2 .R2
VR 3
I R 3 .R3
( I1
VR 4
I R 4 .R4
I 2 .R4
I2
(8.7)
(8.8)
I1.R1
João Marcio Buttendorff
(8.9)
(8.10)
I 2 ).R3
(8.11)
(8.12)
36
Inserindo-se as relações tensão-corrente nas equações de malha, obtêm-se as
equações em termos das correntes de malha.
Equação da malha 1:
VR1
VR 3
I1.R1
V
( I1
I1.( R1
I 2 ).R3
V
I 2 .R3
V
R3 )
(8.13)
Equação da malha 2:
VR 3
VR 2
( I1
I 2 ).R3
I1.R3
VR 4
0
I 2 .R2
I 2 .( R2
R3
I 2 .R4
R4 )
(8.14)
0
0
8.6.4 Solução do Sistema de Equações
Para a obtenção da solução serão considerados os seguintes valores:
V
20V
R1
2
R3
6
R4
3
R2
4
(8.15)
Desta forma, o sistema de equações terá a seguinte forma:
8.I1
6.I 2
6.I1
20
13.I 2
(8.16)
0
Solucionando-se o sistema, obtém-se:
I1
3,824 A
I2
1, 765 A
8.6.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos
A partir das correntes de malha podem-se obter as correntes e tensões em todos os
ramos:
I R1
I1
3,824 A
(8.17)
I R2
I2
1, 765 A
(8.18)
I R3
I1
I2
I R4
I2
1, 765 A
VR1
I1.R1
3,824 1, 765
3,824.2
João Marcio Buttendorff
2, 059 A
(8.19)
(8.20)
7, 684V
(8.21)
37
VR 2
I 2 .R2
VR 3
( I1
VR 4
I 2 .R4
1, 765.4
I 2 ).R3
7, 06V
(3,824 1, 765).6
1, 765.3
(8.22)
12,354V
5, 295V
(8.23)
(8.24)
Uma vez conhecidas as correntes e tensões nos ramos pode-se também determinar
as potências em cada um dos componentes bem como a potência total dissipada no
circuito.
8.7
Análise de Malhas com Fontes de Corrente
A análise de malhas, sendo um método geral de análise, pode também ser
empregada quando o circuito contiver fontes de corrente, sejam elas dependentes ou
independentes. As fontes de corrente impõem uma determinada corrente num ramo, não
sendo, contudo possível determinar à tensão da mesma antes de solucionar o circuito. Na
realidade a presença de uma fonte de corrente não altera praticamente nada no método de
análise descrito anteriormente. Estas características devem ser consideradas quando do
estabelecimento das equações do circuito.
Considerando que a fonte de corrente está inserida entre as malhas x e y conforme a
Fig. 8-3, observa-se que a tensão da fonte aparecerá nas equações de ambas as malhas que
possuem a fonte de corrente em comum. Como não há uma relação entre a corrente da
fonte e a sua tensão pode-se manter a tensão Vk da fonte como uma incógnita a ser
determinada. Por outro lado, devido à presença da fonte, as correntes das malhas x e y
estão relacionadas pela seguinte relação:
I
Ix
Iy
(8.25)
Fig. 8-3 - Fonte de corrente entre duas malhas.
Desta forma, foi acrescentada uma incógnita ao sistema de equações, mas também
foi acrescentada uma equação, sendo ainda possível solucionar o circuito.
João Marcio Buttendorff
38
Também se pode eliminar a tensão da fonte do sistema de equações isolando-se a
tensão Vk na equação da malha x, por exemplo, e substituindo-a na equação da malha y.
Desta forma, elimina-se a equação de uma das malhas do sistema.
Caso a fonte de corrente estiver inserida num caminho por onde apenas uma malha
passa, significa que a corrente da malha está determinada pela própria corrente da fonte.
Neste caso pode-se desconsiderar a equação desta malha e estabelecer o seguinte valor
para a corrente da malha, conforme mostra a Fig. 8-4:
Ix
I
(8.26)
Fig. 8-4 - Fonte de corrente em uma única malha.
8.8
Exemplo de Aplicação
O exemplo mostrado na Fig. 8-5 ilustra o procedimento.
+
R1=6
I1
V=20V
R2=10
+
-
Malha 1
Vf
+
R3=2
I2
Malha 2
+
I=6A
-
+
R4=4
-
Fig. 8-5 - Análise de malha com fonte de corrente.
Para este circuito, as equações das malhas são as seguintes:
Malha 1:
V
VR1
VR 3
Vf
0
VR 4
Vf
0
VR1
VR 3
Vf
V
(8.27)
Malha 2:
VR 2
VR 3
(8.28)
As relações tensão corrente no circuito são as seguintes:
João Marcio Buttendorff
39
I R1
I1
(8.29)
I R2
I2
(8.30)
I R3
I1
I R4
I2
VR1
I R1.R1
VR 2
I R 2 .R2
I 2 .R2
VR 3
I R 3 .R3
( I1
VR 4
I R 4 .R4
I 2 .R4
I2
(8.31)
(8.32)
I1.R1
(8.33)
(8.34)
I 2 ).R3
(8.35)
(8.36)
A equação adicional considerando a fonte de corrente é:
I
I2
I1
(8.37)
Substituindo-se as equações (8.29) a (8.36) obtém-se finalmente as equações do
circuito. Deve-se notar que a tensão da fonte de corrente aparece como uma incógnita a
mais, havendo também uma equação a mais (equação (8.37)).
Malha 1:
VR1
VR 3
I1.R1
Vf
( I1
I1.( R1
V
I 2 ).R3
Vf
V
I 2 .R3
Vf
V
R3 )
(8.38)
Malha 2:
VR 2
VR 3
I 2 .R2
VR 4
( I1
I1.R3
Vf
I 2 ).R3
I 2 .( R2
0
I 2 .R4
R3
Vf
0
R4 ) V f
0
(8.39)
As equações (8.37), (8.38) e (8.39) são portanto as equações básicas do circuito,
sendo as incógnitas I1, I2 e Vf. Substituindo os valores nas equações, obtém-se:
I1
I2
8.I1
6
2.I 2
2.I1
Vf
16.I 2
(8.40)
20
Vf
0
Resolvendo-se o sistema acima, obtém-se finalmente a solução:
I1
3, 2 A
I2
2,8 A
Vf
51, 2V
João Marcio Buttendorff
(8.41)
40
8.9
Exercícios
1-) Determine as correntes no circuito abaixo utilizando o método das correntes de malha.
4R
1R
I1
I2
25V
5R
I3
6R
3R
1R
Respostas: I1=3A; I2=1A e I3=2A.
2-) Calcule a corrente em cada resistor, utilizando o método da corrente de malha.
2R
4R
I1
I2
10V
2R
I3
10V
Respostas: I1=2A; I2=-1A e I3=3A.
3-) Calcule as correntes I1 e I2 e a corrente através da fonte de 20V, usando o método da
corrente de malha.
1R
I2
I1
22V
20V
4R
Respostas: I1=2A; I2=5A e I20V=-3A.
4-) Use o método das correntes de malha para determinar:
a) As potências associadas às fontes de tensão.
b) A tensão Vo entre os terminais do resistor de 8 .
2R
40V
4R
6R
8R
+
Vo
_
6R
20V
Respostas: a) P40=224W e P20=16W; b) Vo=28,8V.
5-) Calcule as correntes nas malhas do circuito abaixo.
João Marcio Buttendorff
41
10R
2R
3R
5A
100V
50V
6R
4R
Respostas: I1=1,75A, I2=6,75A e I3=1,25A.
6-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência dissipada no resistor
de 2 do circuito a seguir.
3R
8R
30V
2R
5R
16A
4R
6R
Resposta: P=72W.
7-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência dissipada no resistor
de 1 no circuito abaixo.
2R
2A
10V
2R
2R
6V
1R
Resposta: P=36W.
8-) Determine pelo método das correntes de malha:
a) As correntes de ramo Ia, Ib e Ic.
b) Repita o item (a) se a polaridade da fonte de 64V for invertida.
3R
4R
Ic
Ia
40V
45R
2R
Ib
64V
1,5R
Respostas: a) Ia=9,8A, Ib=-0,2A e Ic=-10A; b) Ia=-1,72A, Ib=1,08A, Ic=2,8A.
9-) Use o método das correntes de malha para determinar:
a) A potência fornecida pela fonte de corrente de 30A.
João Marcio Buttendorff
42
b) A potência total fornecida ao circuito pelas fontes.
4R
600V
3,2R
16R
424V
0,8R
5,6R
30A
Respostas: a) P=-312W; b) 17,296kW.
10-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência total fornecida pelas
fontes ao circuito.
6R
12R
10R
3R
110V
70V
12V
4R
2R
Resposta: P=1,14kW.
11-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência dissipada nos
resistores do circuito abaixo.
3R
18V
3A
2R
9R
15V
6R
Respostas: P3R=1,08W, P2R=0,72W, P9R=51,84W e P6R=34,56W.
12-) O circuito da figura abaixo é um a versão em corrente contínua de um sistema de três
fios para distribuição de energia elétrica. Os resistores Ra, Rb e Rc representam as
resistências dos três condutores que ligam as três cargas R1, R2 e R3 à fonte de alimentação
125/250V. Os resistores R1 e R2 representam cargas ligadas aos circuitos de 125V e R3
representa uma carga ligada ao circuito de 250V.
a) Determine V1, V2 e V3.
b) Calcule a potência dissipada em R1, R2 e R3.
c) Que porcentagem da potência total fornecida pelas fontes é dissipada nas cargas?
d) O ramo Rb representa o condutor neutro do circuito de distribuição. Qual seria a
conseqüência desagradável de uma ruptura do condutor neutro? (Sugestão: Calcule
João Marcio Buttendorff
43
V1 e V2 e observe se as cargas ligadas a este circuito teriam uma tensão de trabalho
de 125V).
Ra=0,2R
125V
125V
+
V1 R1=9,4R
_
+
Rb=0,4R
V3
_
+
V2 R2=19,4R
_
Rc=0,2R
R3=21,2R
Respostas: a) V1=117,758V, V2=123,9V, V3=241,658V; b) PR1=1,475kW,
PR2=791,3W, PR3=2,755kW; c-) 96,3%; e) V1=79V, V2=163V.
13-) Determine Vo e Io no circuito abaixo.
3R
1R
2R
Vo
Io
2R
2.Io
16V
Respostas: Vo=33,78V e Io=10,67A.
14-) Aplique a análise de malhas para encontrar Vo no circuito abaixo.
5A
Vo
2R
8R
1R
4R
20V
40V
Resposta: Vo=20V.
15-) Utilize a análise da malhas para obter Io no circuito abaixo.
João Marcio Buttendorff
44
6V
2R
4R
Io
1R
12V
5R
3A
Resposta: Io=-1,733A.
9 MÉTODO DE ANÁLISE NODAL
A análise nodal envolve sempre os cinco passos descritos a seguir:
9.1
Seleção do Nó de Referência
Inicialmente deve ser selecionado um nó qualquer do circuito como nó de
referência, em relação ao qual todas as tensões serão medidas. O potencial deste nó será
assumido como zero, motivo pelo qual ele muitas vezes também é denominado de nó de
terra. Em seguida os demais nós são numerados de 1 a (n-1), sendo n o número total de nós
do circuito incluindo o nó de referência. As demais tensões dos nós serão designadas como
V1, V2, V3....Vn-1.
9.2
Aplicação da LCK aos Nós
Após a escolha do nó de referência e numeração dos nós restantes, deve-se aplicar a
Lei de Kirchhoff para os (n-1) nós. A LCK não necessita ser aplicada para o nó de
referência, uma vez que resultará numa equação a mais do que o necessário. Deve-se
adotar uma convenção de sinal de acordo com o sentido das correntes em relação aos nós.
Geralmente, considera-se que correntes que entram no nó são consideradas positivas,
enquanto que correntes que saem são consideradas negativas. Como resultado desta etapa
haverá (n-1) equações que representam os somatórios das correntes que incidem e saem
dos (n-1) nós.
9.3
Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos
Uma vez que as equações da etapa anterior foram escritas em função das correntes
de nós e as incógnitas são tensões de nó, deve-se utilizar as relações de tensão-corrente
para substituir as correntes de nós por relações envolvendo as tensões de nó. Como
resultado desta etapa, obtém-se (n-1) equações envolvendo as tensões de nó. Deve-se
atentar que existe uma relação tensão-corrente para cada ramo, existindo, portanto b
relações deste tipo.
João Marcio Buttendorff
45
9.4
Solução do Sistema de Equações
Após a obtenção das equações de nó, deve-se utilizar algum método de solução e
determinar as (n-1) incógnitas. Caso o circuito seja composto apenas de resistores, obtémse um sistema de (n-1) equações algébricas onde os coeficientes são obtidos a partir das
resistências do circuito.
9.5
Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos
Deve-se observar para o fato que, após solucionado o sistema de equações, pode-se
obter todas as correntes e tensões de ramo do circuito a partir das tensões de nó. Por
exemplo, a tensão do ramo k, conectado entre os nós x e y do circuito conforme a Fig. 9-1,
pode ser obtida pela seguinte equação:
Vk
Vxy
Vx
(9.1)
Vy
Ik
_
+
Vx
Vy
Rk
Fig. 9-1 - Tensão e corrente de ramo.
Considerando-se os sentidos associados, a corrente no ramo k que circula do nó x
para o nó y será dada como:
Ik
Vx
Vy
(9.2)
Rk
Rk – Resistência do ramo k (ohms)
9.6
Exemplo de Aplicação
O método exposto será ilustrado por meio de um exemplo simples ilustrado na Fig.
9-2, onde todas as etapas citadas serão realizadas.
Ib
I2
V1
+
1
R2
+
Ia
I1
R1
_
_
V2
2
+
R3
_
I3
0
Fig. 9-2 - Circuito de exemplo.
João Marcio Buttendorff
46
9.6.1 Seleção do Nó de Referência
Para o circuito mostrado na Fig. 9-2 existem 3 nós, sendo que o nó inferior será
escolhido como nó de referência (terra). As tensões nos outros dois nós serão denominados
V1 e V2. As correntes nos resistores R1, R2 e R3 serão denominadas I1, I2 e I3.
9.7
Aplicação da LCK aos Nós
Aplicando-se a LCK para os nós 1 e 2 e considerando-se como positivas as
correntes que entram no nós, obtém-se:
Nó 1:
Ia
Ib
I1
0
I2
I1
I2
Ia
(9.3)
Ib
Nó 2:
I2
Ib
I3
0
I2
I3
(9.4)
Ib
9.7.1 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos
Considerando os sentidos das tensões e correntes associados aos resistores (Ramos)
do circuito, obtém-se:
I1
V1 0
R1
I2
V1 V2
R2
I3
V2 0
R3
V1
R1
(9.5)
(9.6)
V2
R3
(9.7)
Substituindo-se as equações (9.5), (9.6) e (9.7) nas equações (9.3) e (9.4), obtém-se
o seguinte sistema de equações em termos das resistências e fontes de corrente:
V1
R1
V1 V2
R2
V1 V2
R2
Ia
V2
R3
Ib
Ib
V1.
V1
R2
1
R1
1
R2
V2
R2
Ia
V 2.
1
R2
1
R3
Ib
Ib
(9.8)
(9.9)
9.7.2 Solução do Sistema de Equações
A solução do sistema será realizada considerando os seguintes valores numéricos:
João Marcio Buttendorff
47
Ia
5A
Ib
3A
R1 2
R2 4
R3 8
Com os valores dos resistores e das fontes de corrente, o sistema de equações
assumirá a seguinte forma:
0, 75.V1
0, 25.V2
0, 25.V1
2
0,375.V2
(9.10)
3
Solucionando-se o sistema, obtém-se:
V1
6,857V
V2
12,571V
9.7.3 Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos
A partir das tensões dos nós V1 e V2 obtém-se por meio das equações (9.5) a (9.7)
as correntes de ramo:
I1
V1
R1
I2
V1 V2
R2
I3
V2
R3
6,857
2
6,857 12,571
4
12,571
8
(9.11)
3, 429 A
1, 429 A
(9.12)
(9.13)
1,571A
As tensões sobre os ramos serão dadas pelas seguintes equações:
VR1
V1
0
VR 2
V1 V2
VR 3
V2
0
(9.14)
6,857V
6,857 12,571
5, 714V
12,571V
(9.15)
(9.16)
O sinal negativo da tensão VR2 que aparece na solução significa que a tensão que
efetivamente existe sobre este componente possui polaridade contrária ao sentido assumido
como positivo. Da mesma forma, a corrente negativa significa que o sentido que
efetivamente existe é contrário aquele considerado positivo.
Com a determinação de todos as tensões e correntes do circuito, pode-se também
determinar a potência dissipada em cada um dos resistores e nas fontes de corrente.
9.8
Análise Nodal com Fontes de Tensão
A análise nodal, sendo um método geral de análise, pode também ser empregada
quando o circuito contiver fontes de tensão sejam elas dependentes ou independentes. As
João Marcio Buttendorff
48
fontes de tensão impõem uma determinada diferença de potencial entre dois nós, não sendo
possível determinar a corrente da mesma antes de solucionar o circuito. Estas
características devem ser consideradas quando do estabelecimento das equações do
circuito. Existem diversas formas de considerar o efeito das fontes de tensão, sendo que
uma delas é descrita a seguir.
Considerando que a fonte de tensão está conectada entre os terminais x e y
conforme a Fig. 9-3, observa-se que a corrente da fonte aparecerá nas equações de ambos
os nós do circuito onde a fonte está conectada. Como não há uma relação entre a corrente
da fonte e a sua tensão, pode-se manter a corrente Ik como uma incógnita a ser
determinada. Por outro lado, as tensões dos nós x e y estão relacionados da seguinte forma.
V
Vx
(9.17)
Vy
Ik
x
Ik
_
+
Vx
y
Vy
V
Fig. 9-3 - Fonte de tensão entre dois nós.
Desta forma, foi acrescentada uma incógnita ao sistema de equações (Ik), mas
também foi acrescentada uma equação (9.17), sendo ainda possível solucionar o circuito.
Caso a fonte de tensão estiver conectada entre o nó x e o nó de terra, significa que a
tensão do nó está imposta, podendo-se neste caso desconsiderar a equação deste nó e
estabelecer o seguinte valor para a tensão do nó:
V
(9.18)
Vx
O exemplo mostrado na Fig. 9-4 ilustra este procedimento.
I3
_
+
R3=10R
V=2V_
+
V1
+
R1
2R
_
Ia
2A
V2
2
1
I1
If
+
R2
4R
_
I2
Ib
7A
0
Fig. 9-4 - Análise nodal com fonte de tensão.
As equações dos nós para este circuito são:
Nó 1:
Ia
If
I1
I3
0
I1
I3
If
Ia
(9.19)
Nó 2:
João Marcio Buttendorff
49
I3
I2
If
0
Ib
I2
I3
If
Ib
(9.20)
As relações tensão corrente são:
I1
V1 0
R1
V1
R1
(9.21)
I2
V2 0
R2
V2
R2
(9.22)
I3
V1 V2
R3
(9.23)
A equação adicional considerando a fonte de tensão é:
V
(9.24)
V1 V2
Substituindo-se as relações (9.21) a (9.23) obtém-se finalmente as equações do
circuito. Deve-se observar que a corrente da fonte de tensão aparece como uma incógnita a
mais, havendo também uma equação a mais (equação (9.24)).
I1
I3
V1
R1
V1 V2
R3
V1.
1
R1
I2
Ia
1
R3
I3
V2
R2
V1
R3
If
Ia
V2
R3
If
If
1
R2
Ia
Ib
V1 V2
R3
V2 .
(9.25)
If
If
1
R3
Ib
If
(9.26)
Ib
Substituindo-se os valores nas equações, obtém-se o seguinte sistema:
0, 6.V1
0,1.V2
0,1.V1
0,35.V2
V1 V2
If
If
2
7
(9.27)
2
Resolvendo-se o sistema, obtém-se as incógnitas desconhecidas:
V1
6V
V2
8V
If
4,8 A
João Marcio Buttendorff
50
9.9
Exercícios
1-) Calcule as correntes e as tensões nos resistores utilizando a análise nodal.
R1
R3
12R
3R
21V
6R
R2
84V
Respostas: V1=60V; V2=24V; V3=3V; I1=5A; I2=4A e I3=1A.
2-) Obtenha as tensões nodais do circuito abaixo.
1
1A
6R
2
4A
7R
2R
Respostas: V1=-2V e V2=-14V.
3-) Determine pelo método das tensões de nó:
a) V1, V2 e I1.
b) A potência fornecida pela fonte de 15A.
c) A potência fornecida pela fonte de 5A.
5R
15A
+
V1
_
I1
60R
15R
2R
+
V2
_
5A
Respostas: a) V1=60V, V2=10V, I1=10A; b) P=900W; c) P=-50W.
4-) Use o método das tensões de nó para determinar o valor de V no circuito abaixo.
2R
6R
4R
+
4,5A
1R
V
12R
30V
_
Resposta: V=15V.
5-) Determine pelo método das tensões de nó a tensão V1 e a potência fornecida pela fonte
de 60V no circuito abaixo.
João Marcio Buttendorff
51
60V
+
V1 20R
_
4A
10R
80R
30R
Respostas: V1=20V e P=180W.
6-) Determine pelo método das tensões de nó:
a) As correntes nos ramos.
b) A potência total consumida no circuito.
8R
18R
Ia
128V
10R
Ic
Ib
48R
Ie
20R
Id
70V
Respostas: a) Ia=4A, Ib=2A, Ic=2A, Id=3A, Ie=-1A; b) P=582W.
7-) Use o método das tensões de nó para determinar V1 e V2 no circuito abaixo.
25R
+
2,4A
V1
_
+
V2
_
125R 250R
375R
3,2A
Respostas: V1=25V e V2=90V.
8-) Use o método das tensões de nó para determinar Vo no circuito.
800R
40R
20R
_
+
Vo
75V
6A
50R
200R
Resposta: Vo=40V.
9-) Use o método das tensões de nó para determinar V1 e V2 no circuito abaixo.
80R
4R
144V
10R
+
+
V1
_
V2
_
3A
5R
Respostas: V1=100V e V2=20V.
10-) Use o método das tensões de nó para determinar a potência dissipada no circuito
abaixo.
João Marcio Buttendorff
52
4A
15R
30V
25R
31,25R
1A
50R
50R
Resposta: P=306W.
11-) Encontre Io no circuito abaixo.
1R
4A
2.Io
Io
2R
8R
4R
Resposta: Io=-4A.
12-) Determine V1 e V2 no circuito abaixo.
8R
+ Vo -
V1
3A
V2
2R
1R
4R
12V
_
5.Vo
+
Respostas: V1=-10,91V e V2=-100,36V.
13-) Utilize a análise nodal para encontrar Vo no circuito abaixo.
5R
3R
3V
+
Vo
_
4.Vo
2R
+
_
1R
Resposta: Vo=1,11V.
João Marcio Buttendorff
53
10 SUPERPOSIÇÃO
O princípio da superposição estabelece que quando um circuito contiver mais de
uma fonte independente, a resposta do circuito pode ser obtida da resposta individual do
circuito a cada uma das fontes atuando de forma isolada. Desta forma, pode-se determinar
a resposta individual do circuito considerando-se as fontes uma a uma e, ao final, somar
algebricamente as respostas individuais. A utilização do princípio da superposição pode,
em muitos casos reduzir a complexidade do circuito e facilitar a solução. Para a resolução
de circuitos utilizando o princípio da superposição deve-se levar em consideração os
seguintes passos:
1. Desligar todas as fontes independentes do circuito, exceto uma. Fontes de
tensão são substituídas por curtos-circuitos e fontes de corrente por circuitos
abertos. Fontes dependentes não devem ser alteradas.
2. Repetir o passo 1 até que todas as fontes independentes foram consideradas.
3. Determinar a resposta total somando-se as respostas individuais de cada
fonte. As tensões e correntes de cada ramo serão a soma das tensões e
correntes individuais obtidas. Deve-se observar o sentido das correntes e
tensões nas respostas individuais.
10.1 Exemplo de Aplicação
Considere o circuito da Fig. 10-1, onde existe duas fontes independentes. Deseja-se
calcular a corrente Ia e a potência dissipada no resistor de 4 .
5R
30R
10R
Ia
10A
4R
20R
15V
Fig. 10-1 - Circuito de exemplo.
Inicialmente será considerado apenas o efeito da fonte de corrente, sendo a de
tensão substituída por um curto-circuito. O circuito equivalente é apresentado na Fig. 10-2.
5R
30R
10R
Ia'
10A
20R
4R
Fig. 10-2 - Circuito equivalente para a fonte de corrente.
Solucionando-se o circuito obtém-se a corrente Ia’=2,703A. Esta corrente é
considerada positiva, pois coincide com o sentido arbitrado como positivo.
João Marcio Buttendorff
54
Considerando-se agora o efeito causado pela fonte de tensão, obtém-se o circuito
apresentado na Fig. 10-3.
5R
30R
10R
Ia''
4R
20R
15V
Fig. 10-3 - Circuito equivalente para a fonte de tensão.
Resolvendo-se o circuito, obtém-se uma corrente Ia’’=-1,014A. A corrente tem um
valor negativo pelo fato de que neste caso a fonte de tensão impõe uma corrente que
circula no sentido contrário ao assumido como positivo. Desta forma, pelo princípio da
superposição, a corrente total que circula no resistor será:
I a = I a ' + I a ''
(10.1)
I a = 2, 703 − 1, 014 = 1, 689 A
A potência dissipada no resistor será:
P = R.I a 2
(10.2)
P = 4.(1, 689)2 = 11, 41W
10.2 Exercícios
1-) Use o teorema da superposição para encontrar V no circuito abaixo.
8R
+
6V
4R
V
_
3A
Resposta: V=10V.
2-) Determine a tensão Vo usando o teorema da superposição.
5R
3R
+
2R
Vo
_
8A
20V
Resposta: Vo=12V.
João Marcio Buttendorff
55
3-) Determine o valor da corrente I, usando o princípio da superposição.
2R
8R
6R
I
4A
16V
12V
Resposta: I=0,75A.
4-) Determine a corrente I do circuito apresentado abaixo.
24V
8R
4R
4R
I
12V
3R
3A
Resposta: I=2A.
5-) Dado o circuito abaixo, utilize a superposição para determinar Io.
4A
Io
12V
3R
4R
2R
10R
5R
2A
Resposta: Io=0,1111A.
6-) Utilize a superposição para obter a tensão Vx no circuito abaixo.
20R
10V
Vx
2A
4R
0,1.Vx
Resposta: Vx=12,5V.
7-) Determine Ix no circuito abaixo pelo método da superposição.
João Marcio Buttendorff
56
2R
Ix
5.Ix
1R
10V
4R
2A
Resposta: Ix=-0,1176A.
8-) Determine Io no circuito abaixo.
2R
3R
5.Io
1R
+
4A
|
Io
5R
4R
20V
Resposta: Io=-0,4706A.
11 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E NORTON
11.1 Introdução
Em muitos casos práticos existe a necessidade de determinar a tensão, corrente e
potência em apenas um ramo (componente) do circuito. Assim, não existe a necessidade de
determinação das tensões e correntes em todos os ramos do circuito. Neste contexto, os
teoremas de Thévenin e Norton permitem que seja determinado um circuito equivalente
simples a partir de dois terminais, o qual pode substituir uma rede complexa e simplificar a
resolução.
11.2 Circuito Equivalente de Thévenin
A idéia do circuito equivalente de Thévenin está ilustrada na Fig. 11-1. A figura
(A) representa qualquer circuito constituído por fontes e resistores; as letras a e b indicam
os terminais na qual se tem interesse em obter a tensão, corrente ou potência. O circuito
equivalente de Thévenin aparece na figura (B). Como se pode ver na figura, o circuito
equivalente de Thévenin é constituído por uma fonte independente de tensão, VTh, e um
João Marcio Buttendorff
57
resistor, RTh, que substituem todas as fontes e resistores do circuito. Esta combinação em
série de VTh e RTh é equivalente ao circuito original no sentido de que, se ligarmos a
mesma carga aos terminais a e b dos circuitos, ela será submetida à mesma tensão e será
atravessada pela mesma corrente. Esta equivalência existe para todos os valores possíveis
de resistência da carga.
Circuito
Resistivo
Contendo
Fontes
a
a
RTh
VTh
b
b
(B)
(A)
Fig. 11-1 - (A) Circuito genérico; (B) Circuito equivalente de Thévenin.
Para se obter a tensão de Thévenin em um ponto do circuito, basta calcular a tensão
nos terminais a e b quando estes estão em aberto.
VTh
(11.1)
Vab
A resistência equivalente de Thévenin (RTh) é a resistência equivalente do circuito
obtida a partir dos terminais a e b, com todas as fontes independentes consideradas nulas.
Para isto, substituem-se as fontes de tensão por um curto-circuito e as fontes de corrente
por circuitos abertos.
11.3 Circuito Equivalente de Norton
O circuito equivalente de Norton é constituído por uma fonte independente de
corrente em paralelo com uma resistência, conforme mostrado na Fig. 11-2. O valor da
corrente da fonte é a corrente que circula do terminal a para b quando estes são curtocircuitados (Corrente de Norton, IN). A resistência de Norton (RN) é aquela obtida dos
terminais a e b quando todas as fontes são anuladas. Como a resistência a partir de dois
terminais só possui um valor, a resistência de Thévenin e Norton são, portanto, idênticas,
bastando que esta seja determinada para um dos circuitos equivalentes (RTh=RN).
Circuito
a
a
Resistivo
IN
RN
Contendo
Fontes
(A)
b
b
(B)
Fig. 11-2 - (A) Circuito genérico; (B) Circuito equivalente de Norton.
Uma alternativa para obter o circuito equivalente de Thévenin ou Norton, é
utilizando-se técnicas de transformação de fontes. Uma transformação de fonte permite
substituir uma fonte de tensão em série com um resistor por uma fonte de corrente em
paralelo com o mesmo resistor, ou vice-versa.
João Marcio Buttendorff
58
A equações (11.2) e (11.3) apresentam as relações para obter a corrente de Norton
ou a tensão de Thévenin quando utiliza-se destas técnicas.
IN
VTh
RTh
(11.2)
VTh
I N .RN
(11.3)
11.4 Exemplo de Aplicação
O exemplo mostrado na Fig. 11-3 ilustra este procedimento.
5R
25V
4R
20R
3A
+
a
+
V1
_
Vab
_
b
Fig. 11-3 - Circuito de exemplo.
Para determinar o circuito equivalente de Thévenin do circuito da Fig. 11-3,
calcula-se primeiramente a tensão de circuito aberto entre os terminais a e b. Observe que,
quando não há nenhuma carga ligada aos terminais a e b, a corrente no resistor de 4 é
zero, e portanto a tensão de circuito aberto, Vab, é igual à tensão entre os terminais da fonte
de corrente de 3A, V1. Para obter o valor de V1, basta resolver uma única equação de nó.
Escolhendo-se o nó inferior como nó de referência e adotando-se os sentidos das correntes
conforme a Fig. 11-4, obtém-se:
5R
4R
I2
25V
20R
I1
3A
+
a
+
V1
_
Vab
_
b
Fig. 11-4 - Sentido das correntes.
I1
I2
V1
25
5
3
V1
20
3
(11.4)
Resolvendo-se a equação, obtém-se:
V1
Vab
32V
João Marcio Buttendorff
59
Conforme apresentado anteriormente, a resistência de Thévenin é a resistência vista
pelos terminais a e b com as fontes anuladas. Anulando-se as fontes, obtém-se o circuito
equivalente da Fig. 11-5.
5R
4R
a
RTh
20R
b
Fig. 11-5 - Resistência equivalente.
Resolvendo-se o circuito equivalente pelo método das associações de resistores,
obtém-se:
RTh
8
Através da obtenção da resistência e tensão de Thévenin, pode-se montar o circuito
equivalente.
RTh=8R
VTh=32V
Fig. 11-6 - Circuito equivalente de Thévenin.
Aplicando a transformação de fontes, determina-se o circuito equivalente de
Norton.
IN
VTh
RTh
IN
4A
32
8
IN=4A
RN=8R
Fig. 11-7 - Circuito equivalente de Norton.
11.5 Exercícios
1-) Determine o circuito equivalente de Thévenin e Norton do ponto de vista dos terminais
a e b do circuito abaixo.
João Marcio Buttendorff
60
4R
a
10V
6R
b
Respostas: VTh=6V; IN=2,5A e RTh=RN=2,4 .
2-) Determine o equivalente de Thévenin de Norton do circuito abaixo.
3R
a
12V
2R
5R
b
Respostas: VTh=2,4V; IN=1,5A e RTh=RN=1,6 .
3-) Determine o circuito equivalente de Thévenin de Norton do circuito abaixo.
3R
a
12V
2R
2R
5R
b
Respostas: VTh=1,33V; IN=1,5A e RTh=RN=0,89 .
4-) Determine o circuito equivalente de Thévenin do circuito abaixo do ponto de vista dos
terminais a e b.
12R
5R
72V
8R
a
20R
b
Respostas: VTh=64,8V e RTh
6 .
5-) Determine o circuito equivalente de Norton do circuito abaixo.
2R
15A
8R
a
12R
10R
b
Respostas: IN=6A e RN
João Marcio Buttendorff
7,5 .
61
6-) Determine o circuito equivalente de Norton e thévenin do circuito abaixo em relação
aos terminais a e b.
40R
1,5A
5R
a
30V
25R
60R
20R
b
Respostas: VTh=45V, IN=1,5A e RTh
30 .
7-) Determine o circuito equivalente de Thévenin e Norton do circuito abaixo.
8A
2R
12R
12V
a
6R
b
Respostas: VTh=52V, IN-=8,67A e RTh
6 .
8-) Obtenha o circuito equivalente de Thévenin para o circuito à esquerda dos terminais ab. Determine, então, a corrente através do resistor RL, para RL=6, 16 e 36 .
1R
4R
a
12R
32V
2A
RL
b
Respostas: IL=3A, IL=1,5A e IL=0,75A.
9-) Determine o circuito equivalente de Norton.
8R
a
4R
5R
2A
12V
8R
b
Resposta: IN=1A e RN=4 .
João Marcio Buttendorff
62
10-) Determine o circuito equivalente de Norton para o circuito apresentado abaixo.
2.Vx
+
a
|
+
6R
2R
10A
Vx
_
b
Resposta: IN=10A e RN=1 .
11-) Determine o equivalente de Thévenin para o circuito apresentado abaixo.
2.Vx
+
|
2R
2R
a
+
5A
4R
Vx
_
6R
b
Resposta: VTh=20V e RTh=6 .
12 Indutores e Capacitores
Indutores e capacitores são elementos passivos que armazenam energia em
circuitos elétricos. Os indutores armazenam energia em forma de campo magnético,
enquanto os capacitores armazenam no campo elétrico.
12.1 Indutor
O indutor é um componente passivo que se opõe a variações da corrente elétrica.
Ele é composto basicamente por um enrolamento de fio condutor em torno de um núcleo,
conforme apresentado na Fig. 12-1.
Espiras
Núcleo
Fig. 12-1 - Indutor.
O comportamento dos indutores se baseia em fenômenos associados a campos
magnéticos. O campo magnético criado em torno de um fio condutor tem a forma de anéis
concêntricos com o condutor. A direção do campo (das linhas de força) pode ser
João Marcio Buttendorff
63
determinada pela “regra da mão direita”. Esta regra estabelece que quando se toma com a
mão direita um cabo condutor de corrente de tal forma que o polegar indique o sentido da
corrente, os dedos restantes indicaram o sentido circular do campo magnético produzido.
I
V
Sentido do campo
Magnético
Fig. 12-2 - Campo criado pela corrente I.
Estes campos magnéticos são produzidos por cargas elétricas em movimento, ou
seja, por corrente elétrica. Quando uma corrente elétrica varia com o tempo, o campo
magnético produzido por esta corrente também irá variar. Um campo magnético variável
induz uma tensão em um condutor imerso no campo. A tensão induzida está relacionada a
corrente por um parâmetro chamado Indutância.
A indutância é simbolizada pela letra L, medida em Henry (H). A Fig. 12-3 mostra
o símbolo de um indutor. A tensão entre os terminais de um indutor é proporcional à taxa
de variação da corrente que o atravessa e é dado pela equação (12.1):
vL (t ) = L.
di (t )
dt
(12.1)
Onde: vL = Tensão em volts (V);
L = Indutância em Henry (H);
i = Corrente em ampères (A);
t = Tempo em segundos (s).
L
+
VL _
I
Fig. 12-3 - Símbolo do indutor.
Duas observações importantes podem ser feitas a respeito da equação (12.1). Em
primeiro lugar, quando a corrente é constante, a tensão entre os terminais de um indutor
ideal é nula; em outras palavras, o indutor se comporta como um curto circuito para
corrente contínua. Em segundo lugar, a corrente que atravessa o indutor não pode variar
instantaneamente, ou seja, não pode sofrer uma variação finita em um tempo infinitesimal.
De acordo com a equação (12.1), esta variação faria aparecer uma tensão infinita entre os
terminais do indutor, o que é obviamente impossível. Assim, por exemplo, quando alguém
abre um interruptor em um circuito indutivo, a corrente inicialmente contínua passa de um
dos contatos do interruptor para o outro através do ar, este fenômeno é chamado de
centelhamento. O centelhamento impede que a corrente diminua instantaneamente para
João Marcio Buttendorff
64
zero. Ligar e desligar circuitos indutivos constitui um sério problema na engenharia, já que
o centelhamento e os picos de tensão associados podem danificar os equipamentos.
Isolando-se a corrente na equação (12.1), obtém-se a equação que determina o
comportamento da corrente nos indutores.
t
iL (t ) =
1
. vL (t ).dt + iL (0)
L t0
(12.2)
12.2 Associação de Indutores
Assim como as combinações de resistores em série e em paralelo podem ser
reduzidas a um único resistor equivalente, combinações de indutores em série e em
paralelo podem também ser reduzidas a um único indutor equivalente. A Fig. 12-4 mostra
indutores em série.
+ VL1 -
+ VL2 -
+ VL3 -
+ VLn -
L1
L2
L3
Ln
I
V
Fig. 12-4 - Indutores em série.
Como a corrente é a mesma em todos os indutores e a Lei de Kirchhoff das tensões
estabelece que a soma das tensões em um circuito fechado é igual a zero, obtém-se:
V = VL1 + VL 2 + VL 3 + ... + VLn
(12.3)
Substituindo-se as quedas de tensões nos indutores representados pela equação
(12.1) na equação (12.3), obtém-se:
V = L1.
di
di
di
di
+ L2 . + L3 . + ... + Ln .
dt
dt
dt
dt
V = ( L1 + L2 + L3 + ... + Ln ) .
di
dt
(12.4)
(12.5)
Por outro lado, para o indutor equivalente existe a seguinte relação:
V = Leq .
di
dt
(12.6)
Substituindo-se a equação (12.6) na (12.5) e dividindo-se ambos os lados da
equação por di dt , determina-se a equação da indutância equivalente para indutores
ligados em série.
João Marcio Buttendorff
65
Leq = L1 + L2 + L3 + ... + Ln
(12.7)
A Fig. 12-5 apresenta o circuito equivalente da Fig. 12-4.
I
V
Leq
Fig. 12-5 - Circuito equivalente.
Quando dois ou mais indutores são ligados em paralelo, conforme apresentado na
Fig. 12-6, todos estarão submetidos a mesma tensão, porém a corrente total do circuito será
a soma das correntes individuais que atravessa cada indutor.
I1
I
V
L1
I2
I3
L2
L3
In
Ln
Fig. 12-6 - Indutores em paralelo.
Aplicando-se a Lei de Kirchhoff das correntes, obtém-se:
I = I1 + I 2 + I 3 + ... + I n
(12.8)
Substituindo-se a equação (12.2) na equação (12.8), obtém-se:
t
I=
t
1
1
. vL (t ).dt + iL1 (0) + . vL (t ).dt + iL 2 (0) +
L1 t0
L2 t0
t
t
(12.9)
1
1
. vL (t ).dt + iL 3 (0) + ... + . vL (t ).dt + iLn (0)
L3 t0
Ln t0
t
I=
1 1 1
1
+ + + ... +
. vL (t ).dt + iL1 (0) + iL 2 (0) + iL 3 (0) + ... + iLn (0)
L1 L2 L3
Ln t0
(12.10)
A corrente total em função da indutância equivalente e definida por:
t
1
I=
. vL (t ).dt + iLeq (0)
Leq t0
(12.11)
Substituindo a equação (12.11) na (12.10), obtém-se a indutância equivalente da
associação paralela de n indutores.
João Marcio Buttendorff
66
1
1 1 1
1
= + + + ... +
Leq L1 L2 L3
Ln
Leq =
(12.12)
1
1 1 1
1
+ + + ... +
L1 L2 L3
Ln
(12.13)
A corrente inicial equivalente será dada pela soma de todas as correntes iniciais.
iLeq (0) = iL1 (0) + iL 2 (0) + iL 3 (0) + ... + iLn (0) = 0
(12.14)
Para o caso particular de dois indutores em paralelo, pode-se utilizar a equação
(12.15) para determinar a indutância equivalente.
Leq =
L1.L2
L1 + L2
(12.15)
12.3 Capacitor
Os capacitores são elementos passivos que tem a propriedade em um circuito
elétrico de se opor a qualquer variação da tensão.
Os capacitores são constituídos por duas placas metálicas, separadas por uma
camada isolante. O isolante pode ser o ar ou qualquer outro material com características
adequadas. A Fig. 12-7 apresenta o aspecto construtivo de um capacitor.
A
d
A
Fig. 12-7 - Construção básica do capacitor.
A capacitância de um capacitor é determinada por três fatores:
• Superfície das placas (Área);
• Distância entre as placas;
• Constante dielétrica ε , que é uma característica do tipo de isolação utilizada
entre as placas.
A capacitância em função dos três fatores mencionados é dada pela equação
(12.16).
C = ε.
A
d
(12.16)
Onde: A = Área, em metros (m);
d = Distância, em metros (m);
C = Capacitância, em Farads (F).
João Marcio Buttendorff
67
Quando uma tensão é aplicada aos terminais de um capacitor, as cargas elétricas
que existem no dielétrico não podem se mover de uma placa para outra, já que o dielétrico
é um material isolante, mas são deslocadas em relação á sua posição de equilíbrio. Quando
a tensão varia com o tempo, a posição das cargas também varia com o tempo, dando
origem à chamada corrente de deslocamento.
A corrente de deslocamento é proporcional à taxa de variação da tensão entre os
terminais do capacitor e é determinado pela equação (12.17).
iC (t ) = C.
dv(t )
dt
(12.17)
Onde: v = Tensão em volts (V);
C = Capacitância em Farads (F);
IC = Corrente em ampères (A);
t = Tempo em segundos (s).
Duas observações importantes podem ser feitas a respeito da equação (12.17). Em
primeiro lugar, quando a tensão é constante, a corrente em um capacitor é nula; em outras
palavras, o capacitor se comporta como um circuito aberto para corrente contínua. Em
segundo lugar, a tensão entre os terminais de um capacitor não pode variar
instantaneamente, ou seja, não pode sofrer uma variação finita em um tempo infinitesimal.
De acordo com a equação, esta variação faria aparecer uma corrente infinita no capacitor, o
que é obviamente impossível.
Isolando-se a tensão na equação (12.17), obtém-se a equação que determina o
comportamento da tensão nos capacitores.
t
vC (t ) =
1
. iC (t ).dt + vC (0)
C t0
(12.18)
A Fig. 12-8 apresenta a simbologia comumente usada para representar os
capacitores.
Comum
Comum
Eletrolítico
+
Eletrolítico
Variável
Fig. 12-8 – Simbologia.
Abaixo estão relacionados alguns tipos de capacitores.
Capacitor de cerâmica: Consiste de um tubo ou disco de cerâmica de constante
dielétrica na faixa de 10 a 10.000. Uma fina camada de prata é aplicada a cada lado do
dielétrico. Este tipo de capacitor é caracterizado por baixas perdas, pequeno tamanho e
uma conhecida característica de variação de capacitância com a temperatura.
Capacitor de papel: Consiste de folhas de alumínio e papel kraft (normalmente
impregnado com graxa ou resina) enroladas e moldadas formando uma peça compacta. Os
capacitores de papel são disponíveis na faixa de 0,0005µF a aproximadamente 2µF.
João Marcio Buttendorff
68
Capacitor de filme plástico: É bastante similar ao capacitor de papel, na sua forma
construtiva. Dielétricos de filme plástico, com poliéster ou polipropileno, separam folhas
metálicas usadas como placas. O capacitor é enrolado e encapsulado em plástico ou metal.
Capacitor de mica: Consiste de um conjunto de placas dielétricas de mica
alternadas por folhas metálicas condutoras. O conjunto é então encapsulado em um molde
de resina fenólica.
Capacitor de vidro: É caracterizado por camadas alternadas de folhas de alumínio
e tiras de vidros, agrupadas até que seja obtida a estrutura do capacitor desejado. A
construção é então fundida em um bloco monolítico com a mesma composição do vidro
usado como dielétrico.
Capacitor eletrolítico: Consiste de duas placas separadas por um eletrólito e um
dielétrico. Este tipo de capacitor possui altos valores de capacitância, na faixa de
aproximadamente 1µF até milhares de µF. As correntes de fuga são geralmente maiores do
que aos demais tipos de capacitores.
Os capacitores variáveis geralmente utilizam o ar como dielétrico e possuem um
conjunto de placas móveis que se encaixam num conjunto de placas fixas. Outro tipo de
capacitor variável é o trimmer ou padder, formado por duas ou mais placas separadas por
um dielétrico de mica. Um parafuso é montado de forma que ao apertá-lo, as placas são
comprimidas contra o dielétrico reduzindo sua espessura e, conseqüentemente,
aumentando a capacitância.
12.4 Associação de Capacitores
Para os capacitores, também é possível obter um circuito equivalente para n
capacitores associados em série, em paralelo ou mistos.
A Fig. 12-9 apresenta a associação em série de capacitores ligados a uma fonte de
tensão.
+ VC1 - + VC2 - + VC3 C1
C2
+ VCn -
C3
Cn
I
V
Fig. 12-9 - Circuito série.
A Lei das tensões de Kirchhoff estabelece que a soma das tensões em um circuito
fechado é igual a zero.
V = VC1 + VC 2 + VC 3 + ..... + VCn
(12.19)
Substituindo a equação (12.18) na (12.19), obtém-se:
t
V=
t
1
1
. iC (t ).dt + vC1 (0) + . iC (t ).dt + vC 2 (0) +
C1 t0
C2 t0
t
t
(12.20)
1
1
. iC (t ).dt + vC 3 (0) + ... + . iC (t ).dt + vCn (0)
C3 t0
Cn t0
João Marcio Buttendorff
69
t
1
1
1
1
+
+
+ ... +
. iC (t ).dt + vC1 (0) + vC 2 (0) + vC 3 (0) + ... + vCn (0) (12.21)
C1 C2 C3
Cn t 0
V=
O capacitor equivalente é definido por:
t
V=
1
. iC (t ).dt + vCeq (0)
Ceq t0
(12.22)
Substituindo-se a equação (12.22) na (12.21) obtém-se a equação que determina a
capacitância equivalente para a associação em série de n capacitores.
1
1
1
1
1
= +
+ + ..... +
Ceq C1 C2 C3
Cn
Ceq =
(12.23)
1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
C1 C2 C3
Cn
(12.24)
A tensão inicial equivalente será dada pela soma de todas as tensões iniciais.
vCeq (0) = vC1 (0) + vC 2 (0) + vC 3 (0) + ... + vCn (0)
(12.25)
Para o caso particular de dois capacitores, pode-se determinar a capacitância
equivalente através da equação (12.26).
Ceq =
C1.C2
C1 + C2
(12.26)
Na Fig. 12-10 é mostrado um circuito paralelo na qual todos os capacitores estão
conectados aos mesmos nós. Desta maneira, a tensão sobre cada capacitor é igual à tensão
da fonte.
I1
I
V
C1
I3
I2
C2
C3
In
Cn
Fig. 12-10 - Circuito paralelo.
Em um circuito paralelo, a corrente total da fonte de alimentação é igual à soma das
correntes individuais.
I = I1 + I 2 + I 3 + ... + I n
(12.27)
Substituindo a equação (12.17) na (12.27) e dividindo-se ambos os lados da
equação por dv dt , obtém-se a equação que determina a capacitor equivalente para o caso
de capacitores conectados em paralelo.
João Marcio Buttendorff
70
Ceq = C1 + C2 + C3 + .... + Cn
(12.28)
12.5 Exercícios
1-) Determine o circuito equivalente do circuito abaixo do ponto de vista dos terminais a e
b.
21H
4H
15H
a
12H
44H
10H
25H
1,2H
b
Resposta: Leq=8,64H.
2-) Determine o circuito equivalente.
5mH
12mH
10mH
80mH
6mH
60mH
24mH
14mH
15,8mH
Resposta: Leq=20mH.
3-) Calcule a indutância equivalente co circuito abaixo.
20mH
50mH
40mH
100mH
40mH
30mH
20mH
Resposta: Leq=25mH.
4-) Determine o circuito equivalente do circuito capacitivo apresentado abaixo.
8uF
16uF
5uF
4uF
1,6uF
6uF
12uF
Resposta: Ceq=6uF.
João Marcio Buttendorff
71
5-) Determine o circuito equivalente.
8nF
18nF
12,8nF
8nF
5,6nF
40nF
32nF
Resposta: Ceq=5nF.
6-) Calcule a capacitância equivalente vista nos terminais do circuito abaixo.
50uF
60uF
70uF
20uF
120uF
Resposta: Ceq=40uF.
13 ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS
Até agora, limitamos nossas discussões a circuitos com fontes de tensão ou de
corrente contínua. Neste item, será estudada a resposta em regime permanente de circuitos
alimentados por fontes de tensão ou de corrente que variam com o tempo. Em particular, a
fontes nas quais o valor da tensão ou da corrente varia senoidalmente. As fontes senoidais
e seus efeitos nos circuitos constituem uma importante área de estudo, devido à geração,
transmissão, distribuição e consumo de energia elétrica serem feitas na forma de tensões e
correntes senoidais.
13.1 Fontes Senoidais
Uma fonte de tensão senoidal (independente ou dependente) produz uma tensão
que varia senoidalmente com o tempo. Uma fonte de corrente senoidal (independente ou
dependente) produz uma corrente que varia senoidalmente com o tempo. Para iniciar os
estudos dos circuitos senoidais, utilizaremos uma fonte de tensão, mas as observações
também se aplicam a fontes de corrente.
Pode-se expressar uma função senoidal através da função seno ou da função coseno. Embora as duas funções sejam equivalentes, não se pode usá-las ao mesmo tempo. A
função que descreve o comportamento senoidal de uma fonte de tensão pode ser escrita
como apresentada nas equações (13.1) e(13.2):
v = V p .sen (ω .t + φ )
João Marcio Buttendorff
(13.1)
72
v = V p .cos (ω .t + φ − 90 )
(13.2)
Onde:
Vp = Tensão máxima ou tensão de pico em volts (V);
ω = Freqüência angular em radianos/segundos (rad/s);
t = Tempo em segundos (s);
φ = Ângulo de fase, ou ângulo que inicia a forma de onda.
A Fig. 13-1 apresenta a forma de onda de uma fonte de tensão senoidal.
V
Vp
0
π
2.π
3.π
4.π
ω .t
-Vp
T
Fig. 13-1 – Tensão senoidal.
Observe que uma função senoidal se repete a intervalos regulares. As funções que
apresentam esta propriedade são chamadas de periódicas. Um dos parâmetros de interesse
é o tempo necessário para que a função senoidal complete um ciclo, ou seja, passe uma vez
por todos o valores possíveis. Este tempo é chamado de período da função e é representado
pela letra T (s=segundos). O inversor de T é o número de ciclos por segundo, ou
freqüência, da função senoidal, cujo símbolo é a letra f (Hz=Hertz).
f =
1
T
(13.3)
Os coeficientes de t nas equações (13.1) e (13.2) são proporcionais a freqüência e
representado pela equação (13.4).
ω = 2.π . f =
2.π
T
(13.4)
Outra característica importante de uma função senoidal é o valor rms ou eficaz. O
valor rms de uma função periódica é obtido substituindo-se a função que descreve o
comportamento periódico na equação (13.5) e resolvendo-se a mesma.
tf
Vrms
1
=
. f (t ) 2 .dt
T to
(13.5)
Substituindo-se a equação (13.1) na equação(13.5), obtém-se:
João Marcio Buttendorff
73
tf
Vrms
2
1
=
. (V p .sen (ω .t + φ ) ) .dt
T to
Vrms =
Vrms =
Vrms =
Vrms =
1
π
π
. (V p .sen (ω .t + 0 ) ) .dt
2
0
Vp 2
.
π
Vp 2
ω .t
2
π
.
π
2
−
−
π
sen ( 2.ω .t )
(13.6)
4
0
sen ( 2.π )
4
π
0 sen ( 2.0 )
−
−
2
4
0
Vp
2
Desta forma, o valor rms de uma função senoidal depende apenas da amplitude da
função (VP=valor de pico).
O valor rms tem uma propriedade interessante: dados uma carga resistiva
equivalente, R, e um período de tempo equivalente, T, uma fonte senoidal com um certo
valor de tensão rms fornece a mesma energia à carga R que uma fonte de tensão contínua
com o mesmo valor. Assim, por exemplo, uma fonte de tensão contínua de 100V fornece a
mesma energia em T segundos a uma carga resistiva que uma fonte de tensão senoidal de
100Vrms.
13.2 Exemplo de Aplicação
A figura abaixo apresenta o sinal obtido na tela de um osciloscópio. Deseja-se
através deste sinal obter o valor de pico da tensão, de pico-a-pico, rms, freqüência e a
equação da tensão no domínio do tempo.
V
20V
10V
0V
2
4
6
8 t(ms)
-10V
-20V
O valor de pico é medido desde o eixo de simetria da onda até um de seus picos,
desta forma tem-se:
V p = 20V
O valor de pico-a-pico expressa a amplitude da onda de um extremo a outro.
V pp = 40V
O valor rms da onda é obtido em função do valor de pico e da equação (13.6).
Vrms =
Vp
2
=
20
= 14,14V
2
João Marcio Buttendorff
74
Para efetuar o cálculo da freqüência é necessário definir inicialmente o período da
forma de onda. Analisando-se a figura, observa-se que a mesma termina um ciclo completo
em um tempo T igual a 4ms, desta forma:
f =
1
1
=
= 250 Hz
T 4.10−3
A equação no domínio no tempo é definida pela equação (13.1). Substituindo-se os
valores, obtém-se:
v = V p .sen (ω .t + φ ) = V p .sen ( 2.π . f .t + φ )
v = 20.sen ( 2.π .250.t + 0 ) = 20.sen (1570,8.t )
Na equação acima o ângulo φ foi substituído por zero devido à forma de onda iniciar
seu ciclo exatamente na passagem por zero.
13.3 Exercícios
1-) Uma corrente senoidal tem uma amplitude de 20A. A corrente passa por um ciclo
completo em 1ms. O valor da corrente em t=0 é 10A. Determine:
a) Qual é a freqüência da corrente em hertz?
b) Qual é a freqüência da corrente em radianos por segundo?
c) Escreva uma equação para i(t) usando a função seno. Expresse φ em graus.
d) Qual o valor eficaz da corrente?
Respostas: a) 1kHz; b) 6,283krad/s; c) i(t)=20.sen.(6283.t+30°); d) Ief=14,14A.
2-) Uma tensão senoidal é dada pela expressão v(t)=300.sen.(120.π.t+30°). Determine:
a) O período da tensão em milisegundos.
b) A freqüência em hertz.
c) O valor da tensão em t=2,778 ms.
d) O valor eficaz da tensão.
Respostas: a) 16,667 ms; b) 60 Hz; c) 300V; d) 212,132V.
3-) Um sinal senoidal apresenta a seguinte equação: v(t)=110.sen.(120.π.t). Determine:
a) O valor de pico da senóide;
b) A freqüência;
c) O período;
d) A tensão eficaz.
Respostas: a) 110V; b) 60Hz; c) 16,67ms; d) 77,78V.
4-) Um sinal alternado senoidal apresenta uma tensão de pico de 156V e um período de
20ms. Determine:
a) A equação no domínio do tempo, sabendo que φ=0°;
b) O valor da tensão instantânea, para t1=0, t2=1ms, t3=10ms.
Respostas: a) v(t)=156.sen.(314,16.t); b) v(t1)=0V, v(t2)=48,20V e v(t3)=0V.
5-) Determine a amplitude, ângulo de fase, período e freqüência da senóide.
v(t)=12.cos.(50.t+10°).
Respostas: Vp=12V; φ=10°; T=0,1257s e f=7,958Hz.
João Marcio Buttendorff
75
14 FASORES
Fasor é um número complexo que representa a amplitude e fase de uma senóide.
Senóides são facilmente expressas em termos de fasores, os quais são muito mais
fáceis de serem trabalhados do que as funções seno e co-seno.
Os fasores possibilitam uma análise simples de circuitos lineares excitados por
fontes senoidais. As soluções destes circuitos podem ser impossíveis de serem
determinadas de outra maneira. A idéia de resolver circuitos CA usando fasores foi
apresentada por Charles Steinmetz em 1893. Antes de definirmos completamente os
fasores, aplicando-se à análise de circuitos, precisamos nos familiarizar totalmente com os
números complexos.
Um número complexo Z pode ser escrito na forma retangular como:
Z = R + j. X
(14.1)
Onde R e X são números reais, enquanto que j = −1 . O primeiro termo (R) do
número complexo R+j.X denomina-se “parte real” e é representado sobre o eixo dos
números reais. O segundo termo (j.X) é denominada “parte imaginária” e é representado
em um eixo perpendicular ao primeiro, chamado eixo imaginário ou eixo dos números
imaginários. Quando R=0 o número complexo se reduz a um número imaginário puro e de
modo análogo quando X=0 o número complexo se reduz a um real puro. Dois números
complexos R1+j.X1 e R2+j.X2 são iguais somente se R1=R2 e X1=X2.
Como se vê na Fig. 14-1 o eixo dos números reais é perpendicular ao eixo
imaginário. Os eixos se intersectam em um ponto comum chamado zero. Todo número
complexo pode ser representado por um ponto no plano complexo e todo ponto no plano
complexo representa um número complexo. Ao multiplicar um vetor por j obtém-se o
efeito de girar o vetor de 90° no sentido positivo (anti-horário).
j
Imaginário
Real
-j
Fig. 14-1 – Eixos do plano complexo.
A representação vetorial de um número complexo é por uma flecha e pela letra Z,
cujo início está na origem das coordenadas e a extremidade no ponto que representa o
número complexo no plano.
Na Fig. 14-2 são mostradas as representações vetoriais dos números complexos
R+j.X e R-j.X.
j
X
j
Z=R+j.X
R
φ
φ
R
-j
X
-j
Z=R-j.X
Fig. 14-2 – Representação vetorial de números complexos.
João Marcio Buttendorff
76
Na Fig. 14-2 pode-se observar que a parte real de um número complexo é a
projeção do vetor Z sobre o eixo horizontal (real) e a projeção sobre o eixo vertical
(imaginário) constitui a parte imaginária do mesmo. Conforme o teorema de Pitágoras,
pode-se calcular a magnitude do vetor Z, fazendo:
Z = R2 + X 2
(14.2)
Onde: |Z| = Magnitude ou módulo de Z;
R = Parte real do número complexo;
X = Parte imaginária do número complexo.
O sentido do vetor é definido através do ângulo de fase φ, que se mede em sentido
anti-horário, tomando como referência o eixo horizontal. A equação matemática para o
ângulo é dada por:
X
R
X
φ = arctg
R
tg (φ ) =
(14.3)
Conhecendo-se o módulo de Z e o ângulo de fase, pode-se expressar o número
complexo na forma polar, ou exponencial, como sendo:.
Z= Z φ
(14.4)
Z = Z e j.φ
(14.5)
Por outro lado, se conhecermos |Z| e φ, pode-se determinar R e X.
R = Z .cos φ
(14.6)
X = Z .senφ
(14.7)
Portanto, Z pode ser escrito como:
Z = R + j. X = Z φ = Z e j.φ = Z . ( cos φ + j.senφ )
(14.8)
14.1 O Conjugado de um Número Complexo
Dois números complexos são conjugados entre si se suas partes reais são iguais e as
partes imaginárias são da mesma grandeza, porém de sinais contrários. O conjugado, cujo
símbolo é Z , de um número complexo Z = R + j. X será o número complexo
Z = R − j. X . Na Fig. 14-2 dá-se a representação vetorial de dois números complexos.
Pode-se observar nesta figura que o conjugado Z do número complexo Z é a imagem de Z
com relação ao eixo real.
João Marcio Buttendorff
77
14.2 Soma de Números Complexos
Somam-se números complexos somando as partes reais e imaginárias
separadamente. Por exemplo, dados os números complexos:
Z1 = R1 + j. X 1
Z 2 = R2 + j. X 2
Sua soma será:
Z1 + Z 2 = ( R1 + R2 ) + j.( X 1 + X 2 )
(14.9)
O módulo do vetor resultante da soma e seu ângulo de fase (forma polar) são dados
pelas equações (14.10) e (14.11).
Z =
( R1 + R2 ) + ( X 1 + X 2 )
φ = arctg
2
2
X1 + X 2
R1 + R2
(14.10)
(14.11)
14.3 Subtração de Números Complexos
Subtrai-se um número complexo de outro, subtraindo as partes reais e imaginárias
separadamente. O resultado da subtração é dado pela equação (14.12).
Z1 − Z 2 = ( R1 − R2 ) + j. ( X 1 − X 2 )
(14.12)
14.4 Multiplicação de Números Complexos
A multiplicação de números complexos é similar à multiplicação algébrica comum,
ou seja:
Z1.Z 2 = ( R1 + j. X 1 ) + ( R2 + j. X 2 ) = R1.R2 + j.R1. X 2 + j.R2 . X 1 + j 2 . X 1. X 2
(14.13)
Como j = −1 e j 2 = −1 , obtém-se:
Z1.Z 2 = ( R1.R2 − X 1. X 2 ) + j. ( R1. X 2 + R2 . X 1 )
(14.14)
Uma alternativa é converter os números complexos para a forma polar. Após a
conversão devem-se multiplicar os módulos e somar os ângulos. A equação (14.15)
descreve este procedimento.
Z1.Z 2 = Z1 . Z 2 . φ1 + φ2
João Marcio Buttendorff
(14.15)
78
14.5 Divisão de Números Complexos
Para dividir números complexos multiplica-se o numerador e o denominador pelo
conjugado do denominador. Quando se multiplica um número complexo por seu conjugado
obtém um número real puro.
Z .Z = ( R + j. X ).( R − j. X ) = R 2 + X 2
(14.16)
Na equação (14.17) mostra-se a divisão de dois números complexos:
Z1 R1 + j. X 1 ( R1 + j. X 1 ) . ( R2 − j. X 2 )
=
=
Z 2 R2 + j. X 2 ( R2 + j. X 2 ) . ( R2 − j. X 2 )
(14.17)
Utilizando a regra de multiplicação de números complexos na equação (14.17),
obtém-se:
Z1 ( R1.R2 + X 1. X 2 ) + j. ( R2 . X 1 − R1. X 2 )
=
2
2
Z2
( R2 ) + ( X 2 )
(14.18)
Uma alternativa é converter os números complexos para a forma polar. Após a
conversão devem-se dividir os módulos e subtrair os ângulos. A equação (14.19) descreve
este método.
Z
Z1
= 1 φ1 − φ2
Z2 Z2
(14.19)
14.6 Exercícios
1-) Determine os seguintes números complexos:
10 −30° + (3 − j 4)
a-)
(2 + j 4).(3 − j 5)
b-) [ (5 + j 2).(−1 + j 4) − 5 60°]
c-)
10 + j 5 + 3 40°
+ 10 30°
−3 + j 4
Respostas: a-) 0,565 −42, 06° ; b-) –15,5+j13,67; c-) 8,29+j2,2.
2-) Transforme as seguintes senóides em fasores:
a-) v(t ) = 4.sen(30.t + 50°)
b-) i (t ) = 5.sen(30.t + 10°)
c-) p (t ) = 15.sen(100.t − 50°)
d-) v(t ) = 10.sen(377.t + 20°) + 15.sen(377.t − 60°)
e-) i (t ) = 311.sen(377.t + 5°) − 100.sen(377.t − 10°)
f-) v(t ) = 4.sen8.t + 3.sen(8.t − 10°)
g-) v(t ) = 40.sen(50.t ) + 30.cos(50.t − 45°)
João Marcio Buttendorff
79
Respostas: a-) V = 4 50°V ; b-) i (t ) = 5 10°A ; c-) P = 15 −50°W ;
d-). V = 19, 42 −29,53°V ; e-) I = 215,9311,88°A ; f-) V = 6, 97 −4, 28°V ;
g-) V = 64, 78 19,11°V
3-) Transforme as fasores abaixo para senóides.
a-) V = −10 30°
b-) I = j.(5 − j12)
c-) V = 60 15°; ω = 1
d-) V = 6 + j8; ω = 40
e-) I = −0,5 − j1, 2; ω = 103
f-) V = 40 −60°
g-) V = −30 10° + 50 60°
Respostas: a-) v(t ) = 10.sen(ω .t + 210°) ; b-) i (t ) = 13.sen(ω .t + 22, 62°) ;
c-) v(t ) = 60.sen(t + 15°) ; d-). 10.sen(40.t + 53,13°) ; e-) i (t ) = 1,3.sen(103.t − 112, 62°) ;
f-) v(t ) = 40.sen(ω .t − 60°) ; g-) v(t ) = 38,36.sen(ω .t + 96,8°)
15 RESPOSTAS DOS COMPONENTES
FONTES SENOIDAIS
PASSIVOS
A
Nesta seção será abordado o estudo do comportamento da tensão e da corrente em
circuitos contendo elementos passivos quando os mesmos estão submetidos a fontes de
alimentações senoidais.
15.1 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito
Resistivo
O circuito resistivo da Fig. 15-1 é submetido a fonte de tensão senoidal
representada por:
v = V p .sen (ω .t + φ )
(15.1)
V
I
R
Fig. 15-1 – Circuito Resistivo.
De acordo com a lei de Ohm, se a tensão aplicada aos terminais do resistor varia
senoidalmente no tempo, representado pela equação (15.1), a corrente que atravessa o
resistor será dada por:
João Marcio Buttendorff
80
i=
v V p .sen (ω .t + φ )
=
= I p .sen (ω .t + φ )
R
R
(15.2)
As equações (15.1) e (15.2) contêm uma importante informação – a de que um
resistor não introduz nenhuma diferença de fase entre a corrente e a tensão. A Fig. 15-2
apresenta o comportamento da tensão e da corrente em um resistor. Dizemos que em um
resistor a corrente e a tensão estão em fase, já que ambas atingem valores correspondentes
de sua curva ao mesmo tempo (passam simultaneamente pelo pico, por exemplo).
Vp
Ip
0
-Ip
-Vp
Fig. 15-2 – Comportamento da tensão e da corrente em um resistor.
15.2 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito
Puramente Indutivo
Para determinar a relação entre a tensão aplicada aos terminais de um indutor e a
corrente que atravessa o mesmo, conforme apresentado na Fig. 15-3, vamos supor que a
corrente é senoidal e usar a equação da tensão no indutor ( vL (t ) = L. di (t ) dt ) para calcular
a tensão correspondente. Supondo que a corrente é dada por:
iL (t ) = I P .sen(ω .t + φ )
(15.3)
V
I
L
Fig. 15-3 – Circuito indutivo.
Substituindo a equação (15.3) na equação da tensão no indutor, obtém-se:
di (t )
dt
dI .sen(ω .t + φ )
vL (t ) = L. P
dt
vL (t ) = L.
(15.4)
Derivando em função do tempo, obtém-se:
vL (t ) = ω .L.I P .cos(ω .t + φ ) = ω .L.I P .sen(ω .t + 90o + φ )
(15.5)
A equação (15.5) mostra que a tensão e a corrente estão defasadas de exatamente
90°. Na verdade, a tensão está adiantada de 90° em relação à corrente, ou, o que na prática
João Marcio Buttendorff
81
significa a mesma coisa, a corrente está atrasada de 90° em relação à tensão. A Fig. 15-4
ilustra este conceito de tensão adiantada em relação à corrente ou corrente atrasada em
relação à tensão. Por exemplo, a tensão atinge o pico negativo exatamente 90° antes que a
corrente atinja o pico negativo. A mesma observação pode ser feita em relação aos pontos
em que as funções passam pelo zero no sentido crescente e em relação ao pico positivo.
Vp
Ip
0
-Ip
-Vp
Fig. 15-4 – Comportamento da tensão e da corrente em um indutor.
Aplicando-se a lei de Ohm nas equações (15.3) e (15.5), obtém-se:
ZL =
VL ω .L.I P .sen(ω .t + 90o + φ )
=
IL
I P .sen(ω .t + φ )
(15.6)
ω .L.sen(ω .t + 90o + φ )
ZL =
sen(ω .t + φ )
Convertendo a equação (15.6) para a forma polar, temos:
ZL =
ω .L 90o + φ
1φ
(15.7)
Z L = ω .L 90o
Ou:
Z L = j.ω .L
(15.8)
Os termos j.ω .L na equação, representam a impedância do indutor no domínio da
freqüência, medida em Ohms.
Analisando a equação (15.8), pode-se observar que a impedância do indutor é
diretamente proporcional à freqüência e a indutância. A Fig. 15-5 apresenta a variação da
reatância com a freqüência.
XL(Ω)
f(Hz)
Fig. 15-5 – Variação da reatância com a freqüência.
João Marcio Buttendorff
82
15.3 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito
Puramente Capacitivo
Para determinar a relação entre a tensão aplicada aos terminais de um capacitor e a
corrente que atravessa o mesmo, conforme apresentado na Fig. 15-6, vamos supor que a
tensão é senoidal e usar a equação da corrente no capacitor ( iC (t ) = C. dv(t ) dt ) para
calcular a corrente correspondente. Supondo que a tensão é dada por:
vC (t ) = VP .sen(ω .t + φ )
(15.9)
V
I
C
Fig. 15-6 – Circuito capacitivo.
Substituindo a equação (15.9) na equação da corrente no capacitor, obtém-se:
dv(t )
dt
dV .sen(ω .t + φ )
iC (t ) = C. P
dt
iC (t ) = C.
(15.10)
Derivando em função do tempo, obtém-se:
iC (t ) = ω .C.VP .cos(ω .t + φ ) = ω .C.VP .sen(ω .t + 90o + φ )
(15.11)
A equação (15.11) mostra que a tensão entre os terminais de um capacitor está
atrasada de exatamente 90° em relação à corrente que o atravessa. Outra forma de
descrever a relação é dizer que a corrente está adiantada de 90° em relação à tensão. A Fig.
15-7 mostra o comportamento da tensão e da corrente em um capacitor.
Vp
Ip
0
-Ip
-Vp
Fig. 15-7 - Comportamento da tensão e da corrente em um capacitor.
Aplicando-se a lei de Ohm nas equações (15.9) e (15.11), obtém-se:
ZC =
VC
VP .sen(ω .t + φ )
=
I C ω .C .VP .sen(ω .t + 90o + φ )
sen(ω .t + φ )
ZC =
ω .C .sen(ω .t + 90o + φ )
João Marcio Buttendorff
(15.12)
83
Convertendo a equação (15.12) para a forma polar, temos:
ZC =
1φ
ω .C 90o + φ
(15.13)
1 −90
ZC =
ω .C
Ou:
ZC =
−j
ω .C
(15.14)
Os termos − j ω .C na equação, representam a impedância do capacitor no domínio
da freqüência, medida em Ohms.
Através da equação (15.14), pode-se observar que a impedância capacitiva é
inversamente proporcional a freqüência e a capacitância. A Fig. 15-8 mostra a variação da
impedância com a freqüência.
XC(Ω)
f(Hz)
Fig. 15-8 – Variação da reatância em função da freqüência.
15.4 Impedância e Reatância
Concluímos esta discussão do comportamento dos elementos passivos no domínio
da freqüência com uma observação importante. Quando comparamos as equações (15.2),
(15.6) e (15.12), observamos que todas são da forma:
V = Z .I
(15.15)
Onde Z representa a impedância do elemento. Explicitando Z na equação (15.15),
vemos que a impedância é a razão entre a tensão fasorial de um elemento do circuito e a
corrente que o atravessa. Assim, a impedância de um resistor é R, a impedância de um
indutor é j.ω .L e a impedância de um capacitor é − j / ω .C . Nos três casos a impedância é
medida em ohms.
A impedância no domínio da freqüência é uma grandeza análoga à resistência, à
indutância e à capacitância no domínio do tempo. A parte real da impedância é a
resistência; a parte imaginária é chamada de reatância. Os valores de impedância e
reatância de todos os elementos passivos são apresentados na tabela abaixo.
João Marcio Buttendorff
84
Impedância (Z)
R
j.ω .L
− j (1 ω .C )
Elemento
Resistor
Indutor
Capacitor
Reatância (X)
ω .L
1 ω .C
Na Fig. 15-9 mostra-se um circuito que contém os três elementos passivos: resistor,
indutor e capacitor. A impedância Z do circuito pode ser representada na forma retangular
ou na forma polar.
A impedância do circuito da Fig. 15-9 na forma retangular é dada por:
Z = R + j. X
Z = R + j . ω .L −
(15.16)
1
ω .C
Na forma polar a impedância é definida por:
Z= Z φ
(15.17)
Onde:
1
Z = R + X = R + ω .L −
ω .C
2
2
2
2
(15.18)
ω .L − 1ω .C
X
φ = arctg = arctg
R
R
R
L
C
j.ω .L
-j/ω.C
I
+
V
Fig. 15-9 – Circuito de CA com R, L e C.
Para converter da forma polar para retangular basta aplicar a equação (15.19).
Z = Z .cos (θ ) + j. Z .sen (θ )
(15.19)
15.5 Exemplo de Aplicação
De acordo com o circuito a seguir, calcule v(t):
João Marcio Buttendorff
85
i(t)
v(t)
C
C=200uF
i(t)=7.sen.(754.t+15°)
Inicialmente pode-se calcular a impedância capacitiva.
ZC =
−j
−j
=
= − j 6, 631Ω = 6, 632 −90°Ω
ω .C 754.200.10−6
Convertendo a corrente para a forma polar, obtém-se:
I = 7 15°A
Assim, a tensão da fonte é obtida por:
V = Z C .I = 6, 631 −90°.7 15°
V = 46, 42 −75°V
É importante observa que os cálculos foram efetuados levando-se em consideração
a corrente de pico, o que resulta na tensão de pico. Caso deseja-se obter a tensão eficaz da
fonte basta dividir o valor obtido por 2 . Assim:
Vrms = 32,822 −75°V
Convertendo a tensão da fonte para o domínio do tempo, tem-se:
v(t ) = 46, 417.sen(754.t − 75°)V
15.6 Exercícios
1-) A corrente no domínio do tempo no indutor abaixo é 10.sen(10000.t+30°)mA. Calcule:
a) A reatância indutiva;
b) A impedância do indutor;
c) A tensão fasorial (forma polar);
d) A expressão da tensão no domínio do tempo.
20mH
_
+
I
Respostas: a) 200Ω; b) j200Ω; c) 2 1200VP ; d) 2.sen(10000.t+120°)V.
2-) A tensão entre os terminais do capacitor abaixo é 30.sen(4000.t+25°)V. Calcule:
a) A reatância capacitiva;
b) A impedância do capacitor;
c) A corrente fasorial (forma polar);
d) A expressão da corrente no domínio do tempo.
5uF
+
_
I
Respostas: a) 50Ω; b) –j50Ω; c) 0, 6 1150 AP ; d) 0,6.sen(4000.t+115°)A
João Marcio Buttendorff
86
3-) Sabe-se que a corrente em uma capacitância de C=30uF é i(t)=12.sen.(2000.t)A.
Determine a tensão e construa o diagrama fasorial.
Resposta: v(t)=200.sen.(2000.t-90°)V
4-) De acordo com o circuito a seguir, calcule v(t).
i(t)
v(t)
L=0,01H
L
i(t)=5.cos.(2000.t)A
Resposta: v(t)=100.cos.(2000.t+90°) V
5-) Determine v(t) e i(t) no circuito abaixo:
i
5R
+
0,1F
v(t)=10.sen(4.t)
v
_
Respostas: i(t)=1,79.sen.(4.t+26,56°)A e v(t)=4,47.sen.(4.t-63,43°)V
16 ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS
As regras para combinar impedâncias em série, em paralelo ou mista são as
mesmas dos circuitos resistivos. A única diferença está no fato de que para combinar
impedâncias é preciso manipular números complexos.
16.1 Associação em Série de Impedâncias
Para combinar impedâncias em série, basta somar as impedâncias individuais. O
circuito da Fig. 16-1 define o problema em termos gerais. As impedâncias Z1, Z2,..., Zn
estão ligadas em série entre os terminais a e b. Quando duas ou mais impedâncias estão
ligadas em série, são atravessadas pela mesma corrente fasorial I.
a
Z1
Z2
Zn
+
Vab
I
_
b
Fig. 16-1 – Impedâncias em série.
Aplicando-se a lei de Kirchhoff das tensões obtém-se:
Vab = Z1.I + Z 2 .I + ... + Z n .I
João Marcio Buttendorff
(16.1)
87
Assim, a impedância equivalente entre os terminais a e b será:
Z eq = Z ab =
Vab
= Z1 + Z 2 + ... + Z n
I
(16.2)
A Fig. 16-2 apresenta o circuito equivalente.
a
+
Vab
I
Zeq
_
b
Fig. 16-2 – Circuito equivalente.
16.2 Associação em Paralelo de Impedâncias
A Fig. 16-3 apresenta um circuito com várias impedâncias em paralelo no domínio
da freqüência. Observe que a tensão é a mesma entre os terminais de todas as impedâncias.
A equação da impedância equivalente é obtida aplicando-se a lei das correntes de
Kirchhoff. Desta forma:
I
a
+
V
I1
Z1
I2
Z2
In
Zn
_
b
Fig. 16-3 – Impedâncias em paralelo.
I = I1 + I 2 + ... + I n
(16.3)
Substituindo-se as correntes pela lei de Ohm para o domínio da freqüência, obtémse:
V
V V
V
= +
+ ... +
Z eq Z1 Z 2
Zn
(16.4)
Dividindo-se por V, obtêm-se:
1
1
1
1
= +
+ ... +
Z eq Z1 Z 2
Zn
Z eq =
1
1
1
1
+
+ ... +
Z1 Z 2
Zn
(16.5)
(16.6)
Para o caso particular de duas impedâncias associadas em paralelo pode-se utilizar
a equação (16.7):
João Marcio Buttendorff
88
Z eq =
Z1.Z 2
Z1 + Z 2
(16.7)
16.3 Transformação Estrela-Triângulo
A transformação estrela triângulo discutida anteriormente, quando estávamos
estudando circuitos puramente resistivos, também se aplica a impedâncias. A Fig. 16-4
apresenta três impedâncias ligadas em estrela (a) e o circuito equivalente em triângulo (b).
Z1
Z2
1
Zc
3
1
Z3
3
Zb
2
4
Za
4
2
(a)
(b)
Fig. 16-4 – Equivalência entre a conexão (a) estrela e (b) triângulo.
16.3.1 Conversão de Triângulo para Estrela
Quando o circuito original está na conexão triângulo, pode-se converter o circuito
para estrela utilizando-se as seguintes relações:
Z1 =
Zb .Z c
Z a + Zb + Z c
(16.8)
Z2 =
Z a .Z c
Z a + Zb + Z c
(16.9)
Z3 =
Z a .Zb
Z a + Zb + Z c
(16.10)
A regra para a conversão triângulo-estrela é, portanto: cada impedância do circuito
em estrela é o produto das impedâncias dos dois ramos adjacentes do triângulo dividido
pela soma das três impedâncias do triângulo.
16.3.2 Conversão de Estrela para Triângulo
Quando o circuito original está na conexão estrela, pode-se converter o circuito
para triângulo utilizando-se as seguintes relações:
Za =
Z1.Z 2 + Z 2 .Z3 + Z 3.Z1
Z1
(16.11)
Zb =
Z1.Z 2 + Z 2 .Z3 + Z 3.Z1
Z2
(16.12)
João Marcio Buttendorff
89
Zc =
Z1.Z 2 + Z 2 .Z3 + Z3 .Z1
Z3
(16.13)
A regra para a conversão estrela-triângulo é, portanto: cada impedância do circuito
em triângulo é o produto das impedâncias da estrela duas a duas dividido pela impedância
oposta da estrela.
16.4 Exemplo de Aplicação
A fonte de corrente senoidal da figura abaixo produz uma corrente
iS=8.sen.(200.000.t)A
a) Determine o circuito equivalente no domínio da freqüência;
b) Determine a tensão da fonte e as correntes i1, i2 e i3.
I1
I2
I3
6R
Iac
1uF
10R
40uH
Inicialmente deve-se obter a transformada fasorial da fonte de corrente.
Iac = 8 0°A
A freqüência da fonte de corrente é dada por:
ω = 200.000 rad s
ω = 2.π . f
ω 200.000
=
= 31,831kHz
f =
2.π
2.π
(16.14)
As impedâncias individuais dos indutores e capacitores podem ser obtidas em
função da freqüência ou da freqüência angular.
Z L = j.ω .L = j.2.π . f .L
Z L = j.200.103.40.10−6
(16.15)
Z L = j8Ω
1
1
= − j.
ω .C
2.π . f .C
1
Z C = − j.
200.103.1.10−6
Z C = − j 5Ω
Z C = − j.
João Marcio Buttendorff
(16.16)
90
A Fig. 16-5 apresenta o circuito equivalente no domínio da freqüência.
6R
8 0 °A
-j5
10R
j8
Fig. 16-5 – Circuito equivalente no domínio da freqüência.
Observando-se o circuito equivalente da Fig. 16-5, verifica-se que para determinar
a tensão entre os terminais da fonte de corrente é preciso conhecer a impedância
equivalente das impedâncias em paralelo.Uma vez calculada a tensão fasorial V, pode-se
obter as três correntes fasorias. A impedância série, formada pelo resistor e indutor é dada
por:
Z S = 6 + j8Ω
Para facilitar a resolução das impedâncias em paralelo, é preciso passar as mesmas
para a forma polar, obtendo-se:
Z S = R 2 + X L 2 = 6 2 + 82
Z S = 10
θ = arctg
XL
8
= arctg
R
6
(16.17)
θ = 53,13°
Z S = 10 53,13°Ω
Z R = 10 0°Ω
ZC = 5 −90°Ω
A impedância equivalente é obtida aplicando-se a equação (16.6).
Z eq =
1
1
=
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
Z R Z S Z C 10 0° 10 53,13° 5 −90°
(16.18)
Z eq = 5 −36,87°Ω
A tensão V é dada por:
V = Z eq .I S = 5 −36,87°.8 0°
V = 40 −36,87°V
(16.19)
Assim, as correntes são obtidas por:
João Marcio Buttendorff
91
I1 =
40 −36,87°
V
=
= 4 −36,87°A
ZR
10 0°
(16.20)
I2 =
V 40 −36,87°
=
= 4 −90°A
ZS
10 53,13°
(16.21)
I3 =
40 −36,87°
V
=
= 8 53,13°A
ZC
5 −90°
(16.22)
As equações correspondentes no domínio do tempo são:
v = 40.sen(200.000.t − 36,87°)V
i1 = 4.sen(200.000.t − 36,87°) A
(16.23)
i2 = 4.sen(200.000.t − 90°) A
i3 = 8.sen(200.000.t + 53,13°) A
É importante observar que os resultados acima representam os valores de pico das
tensões e correntes no circuito. Para obter os valores eficazes ou rms basta dividir os
valores de pico por 2 , ou calcular o valor eficaz da fonte de corrente e efetuar todos os
cálculos novamente.
16.5 Exercícios
1-) Determine a impedância equivalente e a corrente da fonte do circuito abaixo.
24R
30V
2kHz
2,55mH
1,59uF
Respostas: Zeq=24-j18
e I=0,8+j0,6A.
2-) Determine no circuito abaixo:
a) A impedância total do circuito;
b) A corrente total da fonte;
c) As correntes nos respectivos componentes.
120V
60Hz
30R
100mH
44uF
Respostas: a-) 27,55+j8,21 ; b-) 4-j1,192A e c-) IR=4A; IL=-j3,183A e IC=j1,99A.
João Marcio Buttendorff
92
3-) Um resistor de 20Ω é ligado em paralelo com um indutor de 5mH. Esta combinação em
paralelo é ligada em série com um resistor de 5Ω e um capacitor de 25µF.
a) Calcule a impedância do circuito para uma freqüência de 318,31Hz;
b) Repita o item (a) para uma freqüência de 8k rad/s.
Respostas: a) 9-j12Ω; b) 21+j3Ω.
4-) O circuito do exercício anterior é ligado aos terminais de uma fonte cuja tensão é
v(t)=150.sen.4000.t V. Qual é a corrente de pico e eficaz no indutor de 5mH?
Respostas: I pk = 7, 07 −45°A e I ef = 5 −45°A .
5-) Três ramos, com impedâncias de 3+j4Ω, 16-j12Ω e –j4Ω, são ligados em paralelo.
Determine a impedância equivalente. Se o circuito for ligado a uma fonte senoidal cuja
corrente é i(t)=8.sen.(ω.t)A, qual será a amplitude da corrente no ramo puramente
capacitivo?
Respostas: Z eq = 5 −36,87° = 4 − j 3Ω e I=10A.
6-) Determine a tensão Vo (domínio do tempo) no circuito abaixo para ig(t)=0,5.sen.2000.t
V.
40R
120R
ig
60mH
12,5uF
+
Vo
_
Resposta: vo (t ) = 30. 2.sen(2000.t + 45°)V .
7-) Determine a impedância de entrada do circuito abaixo para ω = 10rad / s .
2mF
2H
20R
4mF
50R
Resposta: Z = 32,38 − j 73, 76
8-) Determine a impedância de entrada do circuito abaixo. Considere que o circuito opera
com ω = 50rad / s .
0,2H
2mF
3R
8R
Zin
10mF
Resposta: Zin = 3, 22 − j11, 07Ω
João Marcio Buttendorff
93
9-) Determine a corrente I.
-j4
2R
I
j4
12R
8R
j6
50 0°
-j3
8R
Resposta: I = 3, 666 −4, 204°A
10-) Determine I no circuito abaixo.
I
j4
-j3
j5
8R
30 0 °V
5R
10R
-j2
Resposta: I = 6,364 3,802°A
11-) Determine VS no circuito abaixo, para Io = 2 0°A .
Vs
-j2
-j1
Io
2R
j4
j2
1R
Resposta: Vs = 8, 485 −45°V
12-) Calcule v(t) no circuito abaixo.
João Marcio Buttendorff
94
50R
50uF
30R
+
60.sen(200.t) V
v(t)
0,1H
_
Resposta: v(t)=17,14.cos(200.t)V.
17 MÉTODO DE ANÁLISE DE MALHAS NO DOMÍNIO DA
FREQÜÊNCIA
Pode-se também usar o método das correntes de malha para analisar circuitos no
domínio da freqüência. O método é idêntico ao utilizado na análise de circuitos puramente
resistivos. Na seção 8, discutiu-se as técnicas básicas do método das correntes de malha; a
extensão deste método aos circuitos no domínio da freqüência é ilustrada no exemplo a
seguir.
17.1 Exemplo de Aplicação
Use o método das correntes de malha para determinar as tensões V1, V2 e V3 no
circuito da Fig. 17-1.
V1
_
+
j2R
1R
V3
_
+
+
j3R
1R
12R
+
150 0° V
_
V2
I1
I2
+
246,66 108,43° V
_
-j16R
_
Fig. 17-1 – Circuito do exemplo.
Como o circuito apresenta duas malhas, devem-se escrever duas equações para as
correntes das malhas. O sentido de referência escolhido para as correntes das malhas I1 e I2
é o sentido horário, como se pode ver na Fig. 17-1. Uma vez conhecidas as correntes I1 e
I2, é fácil calcular as tensões desejadas. Somando-se as quedas de tensões ao longo da
malha 1, obtém-se:
(1 + j 2).I1 + (12 − j16).( I1 − I 2 ) = 150
(17.1)
Ou
(13 − j14).I1 + (−12 + j16).I 2 = 150
João Marcio Buttendorff
(17.2)
95
Somando as tensões ao longo da malha 2, obtém-se:
(12 − j16).( I 2 − I1 ) + (1 + j 3).I 2 = 77,98 − j 234, 01
(17.3)
Ou
(−12 + j16).I1 + (13 − j13).I 2 = 77,98 − j 234, 01
(17.4)
Desta foram:
(13 − j14).I1 + (−12 + j16).I 2 = 150
(17.5)
(−12 + j16).I1 + (13 − j13).I 2 = 77,98 − j 234, 01
Resolvendo-se o sistema de equações acima, tem-se:
I1 = −26 − j52 A = 58,14 −116,56°A
(17.6)
I 2 = −24 − j 58 A = 62, 77 −112, 48°A
Assim, as três tensões pedidas são:
V1 = (1 + j 2).I1 = 2, 24 63, 43°.58,14 −116,56° = 130, 23 −53,13°V
V2 = (12 − j16).( I1 − I 2 ) = (12 − j16).(−26 − j 52 + 24 + j58)
(17.7)
V2 = 20 −53,13°.6,324 108, 43° = 126, 48 55,3°V
(17.8)
V3 = (1 + j 3).I 2 = 3,16 71,56°.62, 77 −112, 48° = 198,35 −40,92°V
(17.9)
17.2 Exercícios
1-) Determine ix(t) e vc(t) no circuito abaixo.
0,125F
3R
- vc +
5.cos(2.t+10°)A
ix
10.cos(2.t-60°)V
4H
Respostas: ix(t)=9,903.cos(2.t-129,17°)A e vc(t)=39,612.cos(2.t+140,83°)V.
2-) Determine i(t) e vc(t) usando a análise de malhas.
2H
4R
+
10.sen(2.t)V
i(t)
0,25F
+
v(t)
_
+
6.sen(2.t)V
Respostas: i(t)=4,122.sen(2.t+14,032°)A e vc(t)=8,244.sen(2.t-75,968)V.
João Marcio Buttendorff
96
3-) Use o método das correntes de malha para determinar a corrente fasorial Ig no circuito
abaixo.
j3
Ig
-j3
5R
5 0° A
+
5 -90° V
j2
Resposta: I g = 3 −90°A .
4-) Use o método das correntes de malha para determinar a equação de io(t) no circuito
abaixo.
v1(t)=60.sen.(40000.t+90°)V
v2(t)=90.sen.(40000.t+180°)V
1,25uF
20R
+
V1
io(t)
125uH
V2
+
Resposta: io(t)=9,49.sen.(40000.t+71,56°)
5-) Use o método das correntes de malha para determinar as tensões V1, V2 e V3 no circuito
abaixo.
+
V1
j2
1R
+
V3
j3
1R
+
-
12R
+
150 0 °V
V2
39.Ix
Ix
+
_
-j16
_
Respostas: V1 = 78 − j104V ; V2 = 72 + j104V e V3 = 150 − j130V .
6-) Use o método das correntes de malha para determinar a corrente fasorial I.
j2
1R
I
3R
+
33,8 0 °V
+
-j5
2R
0,75.Vx
Vx
_
Resposta: I = 29, 07 3,95°A
João Marcio Buttendorff
97
7-) Determine a corrente Io no circuito abaixo usando a análise de malhas.
4R
-j2
5 0 °A
Io
+
j10
20 90°V
8R
-j2
Resposta: I o = 6,12 144, 78°A
8-) Utilize a análise de malhas para determinar a corrente Io no circuito.
Io
80R
j60
20R
+
+
100 120°V
-j40
60 -30°V
-j40
Resposta: Io = 2,179 61, 44°A
9-) Determine Io usando a análise de malha.
2 0°V
-j2
6R
Io
+
8R
10 30°V
j4
Resposta: Io = 1,194 65, 45°A
10-) Determine a corrente das malhas do circuito abaixo.
j4
3R
2R
3R
j2
j1
30 20°V
-j6
Respostas: I1 = 4, 67 −20,17°A e I 2 = 1, 79 37,35°A .
João Marcio Buttendorff
98
18 MÉTODO DAS TENSÕES DE NÓ NO DOMÍNIO DA
FREQÜÊNCIA
Na seção 9, apresentaram-se os conceitos básicos do método das tensões de nó. Os
mesmos conceitos podem ser usados para analisar circuitos senoidais no domínio da
freqüência. O exemplo abaixo ilustra a solução de um circuito pelo método das tensões de
nó.
18.1 Exemplo de Aplicação
Use o método das tensões de nó para determinar as correntes de ramo Ia, Ib e Ic no
circuito da Fig. 18-1.
1R
V1
j2
5R
V2
Ib
10,6 0° A
10R
Ia
-j5
Ic
82,36 24,07° V
Fig. 18-1 – Circuito do exemplo.
O circuito da Fig. 18-1 pode ser descrito em termos de duas tensões de nó. Como
quatro ramos estão ligados ao nó inferior, ele é o mais indicado para ser escolhido como nó
de referência. Somando as correntes no nó 1 (V1), tem-se:
V1 V1 − V2
+
= 10, 6
10 1 + j 2
(18.1)
Ou
(0,3 − j 0, 4).V1 + (−0, 2 + j 0, 4).V2 = 10, 6
(18.2)
Somando-se as correntes no nó 2 (V2), obtém-se:
V2 V2 − 82,36 24, 07° V1 − V2
+
=
− j5
5
1+ j2
(18.3)
Ou
(−0, 2 + j 0, 4).V1 + (0, 4 − j 0, 2).V2 = 15,04 + j 6,72
(18.4)
Desta forma:
(0,3 − j 0, 4).V1 + (−0, 2 + j 0, 4).V2 = 10, 6
(−0, 2 + j 0, 4).V1 + (0, 4 − j 0, 2).V2 = 15,04 + j 6,72
(18.5)
Resolvendo-se o sistema de equações acima, obtém-se:
João Marcio Buttendorff
99
V1 = 68, 4 − j16,8V = 70, 43 −13,8°V
(18.6)
V2 = 68 − j 26V = 72,8 −20,92°V
Assim, as correntes de ramo são:
Ia =
Ib =
V1 68, 4 − j16,8
=
= 6,84 − j1, 68 A = 7, 04 −13,8°A
10
10
V2 − 82,36 24, 07°
=
72,8 −20,92° − 82,36 24, 07°
5
I b = −1, 44 − j11,92 A = 12 −96,89°A
Ic =
(18.7)
(18.8)
5
72,8 −20,92°
V2
=
= 5, 2 + j13, 6 A = 14,56 69, 08°A
− j5
5 −90°
(18.9)
18.2 Exercícios
1-) Determine io(t) no circuito abaixo utilizando análise nodal.
10R
i(t)
+ v(t) 1H
20.sen(10.t-60°)V
4.sen(10.t-45°)A
0,02F
Respostas: i(t)=4,21.sen(10.t+175°)A e v(t)=28,16.sen(10.t+60,96°)V.
2-) Utilize o método das tensões nos nós para obter a corrente I no circuito abaixo.
5R
4R
2R
I
+
+
j2
50 0° V
50 90° V
-j2
Resposta: I = 12,38 −17, 75°A .
3-) Use o método das tensões de nó para determinar v(t) no circuito abaixo. As fontes
senoidais são iS=10.sen(ω.t+90°)A e vS=100.sen(ω.t)V, onde ω=50k rad/s.
+
is
5R
v(t)
20R
9uF
100uH
+
vs
_
Resposta: v(t)=31,62.sen(50000.t+18,43°)V.
João Marcio Buttendorff
100
4-) Use o método das tensões de nó para determinar a tensão fasorial entre os terminais do
capacitor. Considere que a tensão é positiva no terminal do lado esquerdo do capacitor.
j3
Ig
-j3
5 0° A
5R
+
5 -90° V
j2
Resposta: VC = 17,5 −59, 02°V
5-) Use o método das tensões de nó para determinar Vo no circuito abaixo.
j40
60R
+
+
100 0° V
40R
j20
Vo
_
Resposta: Vo = 15,8118, 43°V
6-) Use o método das tensões de nó para determinar vo(t) no circuito.
v1(t)=10.sen.(5000.t+143,13°)V
v2(t)=8.sen.(5000.t)V
0,4mH
50uF
+
+
V1
6R
vo(t)
_
V2
+
Resposta: vo(t)=11,98.sen.(5000.t+89,94°)V.
7-) Determine ix(t) no circuito abaixo usando a análise nodal.
1H
10R
+
20.cos(4.t) V
Ix
0,1F
2.Ix
0,5H
Resposta: ix (t ) = 7,59.cos(4.t + 108, 4°) A
8-) Usando a análise nodal, determine v1 e v2 no circuito abaixo.
João Marcio Buttendorff
101
0,2F
v1
4R
v2
+
2R
10.sen(2.t) A
Vx
_
3.Vx
2H
+
-
Respostas: v1 (t ) = 11,32.sen(2.t + 60°)V e v2 (t ) = 33.sen(2.t + 57,1°)V .
9-) Determine V1 e V2 no circuito abaixo.
10 45° V
+
4R
V1
-j3
3 0° A
V2
j6
12R
Respostas: V1 = 25, 78 −70, 48°V e V2 = 31, 41 −87,18°V
10-) Utilize a análise nodal para determinar vo no circuito abaixo.
20R
50uF
10mH
Io
+
+
10.cos(1000.t) V
20R
4.Io
30R
Vo
_
Resposta: vo (t ) = 6,154.cos(1000.t + 70, 26°)V
19 TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
Como os circuitos CA são lineares, o teorema da superposição pode ser aplicado da
mesma maneira que aplica-se em circuitos CC. O teorema se torna importante se o circuito
possuir fontes operando em freqüências diferentes. Neste caso, como as impedâncias
dependem da freqüência, deve-se ter diferentes circuitos no domínio da freqüência para
cada freqüência. A resposta total é obtida pela soma das respostas individuais no domínio
do tempo.
19.1 Exemplo de Aplicação 1
Considere o circuito da Fig. 19-1, onde existem duas fontes independentes. Desejase obter a corrente (Io) fornecida pela fonte de tensão.
João Marcio Buttendorff
102
4R
-j2
5 0 °A
Io
+
j10
20 90°V
8R
-j2
Fig. 19-1 – Circuito de exemplo.
Seja:
I o = I o '+ I o ''
Na qual Io’ e Io’’ são devidos à fonte de tensão e corrente, respectivamente.
Considere o circuito da Fig. 19-2 para determinar Io’.
4R
-j2
Io'
+
j10
20 90°V
8R
-j2
Fig. 19-2 – Circuito equivalente para fonte de tensão.
A combinação paralela das impedâncias − j 2 e 8 + j10 e obtida por:
Z=
− j 2.(8 + j10)
= 0, 25 − j 2, 25Ω
− j 2 + 8 + j10
(19.1)
Assim, a corrente Io’ será:
Io ' =
20 90°
20 90°
=
= −2,353 + j 2,353 A
4 − j 2 + Z (4 − j 2) + (0, 25 − j 2, 25)
(19.2)
Para determinar Io’’,considere o circuito da Fig. 19-3.
4R
5 0 °A
I3
-j2
Io''
j10
I2
8R
I1
-j2
Fig. 19-3 – Circuito equivalente para a fonte de corrente.
João Marcio Buttendorff
103
Aplicando-se a análise de malhas no circuito, obtém-se:
Malha 1:
(8 + j8).I1 + j 2.I 2 − j10.I3 = 0
(19.3)
Malha 2:
j 2.I1 + (4 − j 4).I 2 + j 2.I3 = 0
(19.4)
Malha 3:
I3 = 5
(19.5)
Solucionando-se o sistema de equações, obtém-se:
I1 = 2, 647 + j 2,941A
I 2 = 2, 647 − j1,176 A
I3 = 5 A
Desta forma, a corrente Io’’, será obtida por:
I o '' = − I 2 = −2, 647 + j1,176
(19.6)
A partir das equações (19.2) e (19.6), pode-se estabelecer a corrente Io como sendo:
I o = I o '+ I o '' = (−2,353 + j 2,353) + (−2, 647 + j1,176)
(19.7)
I o = −5 + j3,529 = 6,12 144, 78°A
19.2 Exemplo de Aplicação 2
Determine vo no circuito da Fig. 19-4 usando o teorema da superposição.
2H
1R
+
Vo
4R
-
+
10.sen(2.t) V
2.sen(5.t-90°)A
0,1F
5V
Fig. 19-4 – Circuito de exemplo.
Como o circuito opera com três freqüências diferentes ( ω = 0 para a fonte de
alimentação CC), uma maneira de se obter a solução é a utilização da superposição, a qual
separa o problema em problemas de freqüência única. Portanto seja:
vo = v1 + v2 + v3
(19.8)
Na qual v1 é devido à fonte CC de 5V, v2 é devido à fonte de tensão de 10.sen(2.t) V
e v3 é devido à fonte de corrente de 2.sen(5.t-90°) A
João Marcio Buttendorff
104
Para determinar v1, ajusta-se todas as fontes para zero, exceto a fonte de 5V.
Lembre-se que, em regime permanente CC, o capacitor é um circuito aberto, enquanto que
o indutor é um curto-circuito. Existe uma maneira alternativa de se abordar este fato. Como
ω = 0 , j.ω .L = 0 e − j / ω .C = ∞ . O circuito equivalente é apresentado na Fig. 19-5.
1R
4R
+ V1 5V
Fig. 19-5 – Circuito equivalente para fonte CC.
Aplicando-se divisor de tensão.
v1 =
−5.1
= −1V
1+ 4
(19.9)
Para determinar v2, ajusta-se para zero a fonte de tensão CC de 5V, elimina-se a
fonte de corrente e converte-se o circuito para o domínio da freqüência. O circuito
equivalente é mostrado na Fig. 19-6.
j4
1R
+
V2
4R
-
+
10 0°V
-j5
Fig. 19-6 – Circuito equivalente para fonte de tensão CA.
A impedância paralela é obtida por:
Z=
4.(− j 5)
= 2, 439 − j1,941Ω
4 − j5
(19.10)
Aplicando-se divisor de tensão, obtém-se:
V2 =
1.10 0°
10
=
= 2, 498 −30,79°A
1 + j 4 + Z (1 + j 4) + (2, 439 − j1,941)
(19.11)
Passando para o domínio do tempo.
v2 (t ) = 2, 498.sen(2.t − 30, 79°)V
(19.12)
Para obter v3, ajustamos as fontes de tensão para zero e transforma-se o restante do
circuito para o domínio da freqüência. O circuito equivalente á apresentado na Fig. 19-7.
João Marcio Buttendorff
105
j10
I1
1R
+
V3
2 -90°A
4R
-j2
Fig. 19-7 – Circuito equivalente para a fonte de corrente.
A impedância paralela é obtida por:
Z1 =
4.(− j 2)
= 0,8 − j1, 6Ω
4 − j2
(19.13)
Aplicando-se divisor de corrente, obtém-se:
I1 =
j10
j10
.2 −90° =
.2 −90°
j10 + (1 + Z1 )
j10 + (1,8 − j1, 6)
(19.14)
I1 = 2,328 −77,9°A
V3 = I1.1 = 2,328 −77,9°V
(19.15)
Passando para o domínio do tempo:
v3 (t ) = 2,328.sen(5.t − 77,91°)V
(19.16)
Substituindo-se as equações (19.9), (19.12) e (19.16) na equação (19.8), tem-se o
comportamento da tensão vo(t).
vo (t ) = −1 + 2, 498.sen(2.t − 30, 79°) + 2,328.sen(5.t − 77,91°)V
(19.17)
19.3 Exercícios
1-) Determine Io usando o teorema da superposição.
2 0°V
-j2
6R
Io
+
8R
j4
10 30°V
Resposta: Io = 1,194 65, 45°A
João Marcio Buttendorff
106
2-) Calcule vo no circuito abaixo usando o teorema da superposição.
8R
+
+
0,2F
30.sen(5.t)V
Vo
_
1H
2.cos(10.t)A
Resposta: vo (t ) = 4, 631.sen(5.t − 81,12°) + 1, 051.cos(10.t − 86, 24°)V
3-) Usando o princípio da superposição, determine ix no circuito abaixo.
0,125F
Ix
3R
+
10.cos(2.t-60°)V
4H
5.sen(2.t+10°)A
Resposta: ix (t ) = 9,902.cos(2.t − 129,17°) A
4-) Calcule vo(t) no circuito abaixo usando o teorema da superposição.
6R
2H
+
+
0,0833F
12.cos(3.t)V
4.sen(2.t)A
Vo
_
10V
Resposta: vo (t ) = 10 + 21, 45.sen(2.t + 26,56°) + 10, 73.cos(3.t − 26,56°)V
5-) Determine io usando o teorema da superposição.
20uF
Io
+
50.cos(2000.t)V
80R
100R
40mH
2.sen(4000.t)A
60R
24V
Resposta: io (t ) = 0,1 + 0, 217.cos(2000.t + 134,1°) − 1,178.sen(4000.t + 7, 38°) A
João Marcio Buttendorff
107
20 TRANSFORMAÇÃO DE FONTES
A transformação de fontes no domínio da freqüência significa transformar uma
fonte de tensão em série com uma impedância em uma fonte de corrente em paralelo com
uma impedância, ou vice-versa. Quando parte-se de um tipo de fonte para outra, deve-se
ter em mente a seguinte relação:
VS = Z S .I S ⇔ I S =
VS
ZS
(20.1)
Zs
a
Vs
a
Zs
Is
b
b
Fig. 20-1 – Transformação de fontes.
21 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E NORTON
NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA
Os circuitos equivalentes de Thévenin e Norton apresentados na seção 11 são
técnicas analíticas que também podem ser aplicadas a circuitos no domínio da freqüência.
Pode-se provar a validade destas técnicas usando os mesmos processos adotados da seção
11, com a única diferença que a impedância (Z) aparece no lugar da resistência (R). A Fig.
21-1 mostra a versão no domínio da freqüência de um circuito equivalente de Thévenin.
Um circuito equivalente de Norton aparece na Fig. 21-2. As técnicas para determinar a
tensão e a impedância de Thévenin são idênticas às usadas nos circuitos resistivos, exceto
pelo fato de que no domínio da freqüência os cálculos envolvem a manipulação de
números complexos. A mesma observação se aplica à corrente e à impedância de Norton.
Circuito
Linear
No
Domínio
Da
Freqüência
a
a
ZTh
+
_
VTh
b
b
Fig. 21-1 – Versão no domínio da freqüência
de um circuito equivalente de Thévenin.
Circuito
Linear
No
Domínio
Da
Freqüência
a
a
IN
b
ZN
b
Fig. 21-2 – Versão no domínio da freqüência
de um circuito equivalente de Norton.
João Marcio Buttendorff
108
21.1 Exemplo de Aplicação
Determine o circuito equivalente de Thévenin e Norton do circuito da Fig. 21-3 em
relação aos terminais a e b.
-j40
10R
a
120R
+
100 0° V
+
253 34,69° V
b
Fig. 21-3 – Circuito do exemplo.
Para obter a impedância de Thévenin e Norton, deve-se substituir as fontes de
tensão por um curto e abrir as fontes de corrente. Desta forma, o circuito passa ser:
10R
-j40
a
120R
b
A impedância em série, formada pelo resistor e capacitor é dada por:
Z S = 10 − j 40Ω
(21.1)
Fazendo-se o paralelo da impedância em série com o resistor de 120Ω, obtém-se a
impedância de Thévenin e Norton.
ZTh = Z N =
(10 − j 40).120
= 18,81 − j 31,13Ω
(10 − j 40) + 120
(21.2)
Para determinar a tensão de Thévenin, que por sua vez é a tensão entre os terminais
a e b, pode-se aplicar o método das correntes de malha (sentido horário). Assim:
(130 − j 40).I = 100 0° − 253 34, 69°
I=
180 −126,88°
136, 01 −17,1°
= 1,32 −109, 77°A
(21.3)
A tensão de Thévenin é a queda de tensão sobre a resistência de 120Ω mais a
tensão da fonte.
João Marcio Buttendorff
109
VTh = 120.I + 253 34,69° = 120.(1,32 −109, 77°) + 253 34, 69°
VTh = 158,81 −109, 77° + 253 34, 69° = 154,39 −2, 03°V
(21.4)
A Fig. 21-4 apresenta o circuito equivalente de Thévenin.
18,81-j31,13
a
ZTh
+
VTh
_
154,39 -2,03° V
b
Fig. 21-4 – Circuito equivalente de Thévenin.
Aplicando-se a transformação de fontes, determina-se o circuito equivalente de
Norton.
IN =
VTh 154,39 −2, 03°
=
= 4, 24 56,83°A
RTh 36,37 −58,86°
(21.5)
A Fig. 21-5 apresenta o circuito equivalente de Norton.
a
IN
4,24 56,83° A
ZN 18,81-j31,13
b
Fig. 21-5 – Circuito equivalente de Norton.
21.2 Exercícios
1-) Determine o circuito equivalente de Norton e Thévenin do ponto de vista dos terminais
a e b.
j30
a
16 0° A
-j50
25R
15R
b
Respostas: RTh=RN=50-j25Ω; VTh = 447, 21 −63, 43°V ; I N = 8 −36,87°A .
2-) Determine o circuito equivalente de Thévenin e Norton do ponto de vista dos terminais
a e b do circuito.
João Marcio Buttendorff
110
j40
a
+
75 0° V
24R
-j22
b
Respostas: RTh=RN=8,64+j11,52Ω; VTh = 60 −36,87°V ; I N = 4,167 −90°A .
3-) A fonte de tensão senoidal do circuito abaixo gera
247,49.cos.(1000.t+45°)V. Determine:
a) A tensão eficaz de Thévenin e a corrente eficaz de Norton;
b) A impedância de Thévenin e Norton;
c) Desenhe o circuito equivalente de Thévenin e Norton.
uma
tensão
de
100mH
a
100R
+
10uF
v(t)
100mH
b
Respostas: RTh=RN=100+j100Ω; VTh = 247, 49 0°V ; I N = 1, 75 −45°A .
4-) Determine o circuito equivalente de Thévenin do circuito abaixo do ponto de vista dos
terminais a e b.
j10
10R
a
Ix
2 45°A
+
10.Ix _
20R
-j10
b
Resposta: VTh = 10 45°V e ZTh = 5 − j 5Ω .
5-) Determine o circuito equivalente de Norton do ponto de vista dos terminais a e b.
6.Ix
_ +
a
Ix
10 -45°A
2R
j1
b
Resposta: I N = 10 −45°A e Z N = 1, 6 + j 3, 2Ω .
6-) Obtenha o circuito equivalente de Thévenin nos terminais a e b do circuito abaixo.
João Marcio Buttendorff
111
4R
-j6
+
a
120 75° V
8R
b
j12
Resposta: VTh = 37,95 220,31°V e ZTh = 6, 48 − j 2, 64Ω
22 RESSONÂNCIA
A ressonância é a condição em um circuito RLC na qual as reatâncias capacitiva e
indutiva são iguais em módulo, resultando, portanto, em uma impedância puramente
resistiva.
22.1 Ressonância Série
Considere o circuito RLC série mostrado na Fig. 22-1.
L
R
Vs
I
C
Fig. 22-1 – Circuito série ressonante.
A impedância de entrada do circuito no domínio da freqüência é dada por:
Z = R + j.ω .L −
j
ω .C
(22.1)
Ou:
Z = R + j ω .L −
1
ω .C
(22.2)
A ressonância ocorre quando a parte imaginária da função é nula, ou seja:
Im( Z ) = ω .L −
1
=0
ω .C
João Marcio Buttendorff
(22.3)
112
O valor de ω que satisfaz esta condição é chamado de freqüência de ressonância
ωo . Portanto, a condição de ressonância é obtida por:
ω o .L =
1
ωo .C
ωo =
1
rad / s
L.C
(22.4)
Como:
ω o = 2.π . f o
fo =
1
2.π . L.C
(22.5)
(22.6)
Hz
Observa-se na ressonância, que a impedância é puramente resistiva, portanto,
Z = R . Em outras palavras, a combinação série LC opera como um curto-circuito e toda a
tensão estará em R. Além disso, a tensão Vs e a corrente I estão em fase; logo, o fator de
potência é unitário.
22.2 Ressonância Paralela
Considere o circuito RLC apresentado na Fig. 22-2.
Vs
R
L
C
Fig. 22-2 – Circuito ressonante paralelo.
A impedância de entrada no domínio da freqüência é obtida por:
Z=
1
1
1
ω .C
+
−
R j.ω .L
j
(22.7)
Ou:
Z=
1
1 1
1
+ .
− ω .C
R j ω .L
(22.8)
A ressonância ocorre quando a parte imaginária da equação (22.8) é nula. Assim:
João Marcio Buttendorff
113
1
− ω .C = 0
ω .L
ωo .
(22.9)
O valor de ω que satisfaz esta condição é chamado de freqüência de ressonância
1
= ωo .C
ω o .L
(22.10)
1
rad / s
L.C
ωo =
Como:
ω o = 2.π . f o
fo =
1
2.π . L.C
(22.11)
(22.12)
Hz
Observa-se que, na ressonância, a combinação LC paralela funciona com um
circuito aberto: logo, toda a corrente passa através de R.
22.3 Exemplo de Aplicação
Calcule a freqüência de ressonância no circuito abaixo.
1H
Vp.sen( t)
0,2F
10R
Fig. 22-3 – Circuito exemplo.
Passando o circuito para o domínio da freqüência, obtém-se:
j
Vp.sen( t)
-j/0,2
10R
Fig. 22-4 – Domínio da freqüência.
A impedância paralela formada pelo resistor e capacitor é definida por:
João Marcio Buttendorff
114
Zp =
− j10
2ω − j
(22.13)
A impedância equivalente do circuito é dada por:
Z eq
(
ω + j 2ω 2 − 10
j10
= jω −
=
2ω − j
2ω − j
)
(22.14)
Multiplicando-se a equação (22.14) pelo conjugado do denominador, obtém-se:
Z eq
(
)
ω + j 2ω 2 − 10 (2ω + j )
=
.
2ω − j
(2ω + j )
Z eq =
10
4ω 2 + 1
( 4ω
+j
3
− 19ω
(22.15)
)
(22.16)
4ω 2 + 1
Na ressonância a parte imaginária é nula. Desta forma, igualando-se a parte
imaginária a zero, determina-se a freqüência de ressonância.
( 4ω
3
− 19ω
4ω 2 + 1
) =0
4ω 3 = 19ω
(22.17)
ω = 19 / 4 = 2,179rad / s
22.4 Exercícios
1-) No circuito RLC paralelo abaixo, seja R=8k , L=0,2mH, C=8uF e Vs=10.sen( .t).
Determine a freqüência de ressonância em Hertz e a potência dissipada no resistor na
ressonância.
Vs
R
L
C
Respostas: f o = 3,978kHz e P = 8, 25mW
2-) No circuito RLC série abaixo, seja R=2 , L=1mH, C=0,4uF e Vs=20.sen( .t).
Determine a freqüência de ressonância em Hertz, a potência dissipada no resistor e a
amplitude da corrente.
João Marcio Buttendorff
115
C
R
Vs
L
Respostas: f o = 7,957 kHz , P = 100W e I = 10 A .
3-) Determine a freqüência de ressonância do circuito abaixo.
2H
0,1F
Is
10R
2R
Resposta: ω o = 2rad / s .
4-) Para o circuito abaixo, determine a freqüência
i(t)
1H
para a qual v(t) e i(t) estarão em fase.
1F
1R
v(t)
1H
Resposta: ω o = 0, 7861rad / s
5-) Para os circuitos abaixo, determine a freqüência de ressonância ωo .
0,4F
2R
3uF
1H
20mH
2k
6uF
6R
(a)
(b)
Respostas: a-) ω o = 1,581rad / s e b-) ω o = 5krad / s .
João Marcio Buttendorff
116
23 POTÊNCIAS E FATOR DE POTÊNCIA
Nosso esforço na análise de circuitos CA esteve, até agora, concentrado
principalmente no cálculo da tensão e da corrente. Neste capítulo, a análise da potência é o
aspecto que enfocaremos.
A análise da potência é da maior importância. A potência é a grandeza mais
importante em concessionárias de energia, sistemas eletrônicos e sistemas de comunicação,
pois esses sistemas trabalham com a transmissão de potência de um ponto a outro. Além
disto, todo eletrodoméstico ou equipamento industrial – todo ventilador, motor, lâmpada,
ferro de passar, TV, computador – é classificado em função da potência, indicando quanta
potência o equipamento necessita. Exceder a potência indicada pode danificar
permanentemente o equipamento. A forma mais comum de energia elétrica é a energia CA
em 60 ou 50Hz. A escolha de CA em vez de CC permitiu a transmissão de potência em
alta tensão, da unidade geradora até o consumidor.
23.1 Potência Instantânea
A potência instantânea p(t) entregue a qualquer dispositivo como função do tempo
é dada pelo produto da tensão instantânea v(t) aplicada sobre o dispositivo e a corrente
instantânea i(t) que o atravessa, como é apresentado na equação (23.1). Pela convenção de
sinais adotados, uma potência positiva corresponde a uma transferência de energia da fonte
para o circuito, e uma potência negativa significa que a fonte está drenando energia do
circuito.
p (t ) = v(t ).i (t )
(23.1)
Quando um circuito é puramente resistivo, conforme a Fig. 23-1, a tensão e a
corrente estão em fase. Assim, a potência instantânea é dada por:
p (t ) = VP .sen(ω.t ).I P .sen(ω.t )
p (t ) = VP .I P .[ sen(ω.t ) ]
2
p (t ) =
(23.2)
VP .I P
.[1 − cos(2.ω.t )]
2
i(t)
v(t)
R
Fig. 23-1 – Circuito resistivo.
A Fig. 23-2 apresenta a potência instantânea em um circuito puramente resistivo.
João Marcio Buttendorff
117
v(t)
i(t)
2
1
0
Fig. 23-2 – Potência instantânea em um circuito resistivo.
Observando o gráfico da Fig. 23-2, pode-se observar que a potência nunca chega a
se tornar negativa. Em outras palavras, é impossível armazenar energia em um circuito
puramente resistivo; toda a energia elétrica cedida ao circuito é dissipada como energia
térmica.
No caso de um circuito puramente indutivo alimentado por uma fonte de tensão
senoidal, como o apresentado na Fig. 23-3, a corrente resultante estará 90° atrasada em
relação a tensão, ou seja, para uma tensão do tipo v(t ) = VP .sen(ω .t ) , a corrente resultante
será i (t ) = I P .sen(ω .t − 90°) .
i(t)
v(t)
L
Fig. 23-3 – Circuito indutivo.
A potência instantânea neste tipo de circuito será dada por:
pL (t ) = VP .sen(ω.t ).I P .sen(ω.t − 90°)
pL (t ) = VP .sen(ω.t ).I P .[ sen(ω.t ).cos(90°) − cos(ω.t ).sen(90°) ]
pL (t ) = −VP .sen(ω.t ).I P .cos(ω.t )
(23.3)
pL (t ) = −VP .I P .[ sen(ω.t + ω.t ) + sen(ω.t − ω.t )]
pL (t ) = −
VP .I P
.sen(2.ω.t )
2
Este resultado é apresentado graficamente na Fig. 23-4, onde nos intervalos em que
tensão e corrente possuem a mesma polaridade, a potência é positiva, caracterizando
transferência de potência da fonte para o circuito. Nos intervalos, em que tensão e corrente
possuem polaridades diferentes, a potência é negativa, o que por sua vez caracteriza
devolução de potência do circuito para a fonte.
João Marcio Buttendorff
118
v(t)
i(t)
0
P
0
-P
Fig. 23-4 – Potência instantânea em um circuito puramente indutivo.
Para o caso de um circuito puramente capacitivo alimentado por uma fonte de
tensão senoidal, como o apresentado na Fig. 23-5, a corrente estará 90° adiantada em
relação à tensão, ou seja, para uma tensão do tipo v(t ) = VP .sen(ω .t ) , a corrente resultante
será i (t ) = I P .sen(ω .t + 90°) .
A potência instantânea será:
pC (t ) = VP .sen(ω.t ).I P .sen(ω.t + 90°)
pC (t ) = VP .sen(ω.t ).I P .[ sen(ω.t ).cos(90°) + cos(ω.t ).sen(90°) ]
pC (t ) = VP .sen(ω.t ).I P .cos(ω.t )
(23.4)
pC (t ) = VP .I P .[ sen(ω.t + ω.t ) + sen(ω.t − ω.t )]
pC (t ) =
VP .I P
.sen(2.ω.t )
2
i(t)
v(t)
C
Fig. 23-5 – Circuito capacitivo.
Assim como nos circuitos puramente indutivo, nos circuitos capacitivos a potência
média será zero, ou seja, não há dissipação de energia. A Fig. 23-6 mostra que a potência é
alternadamente armazenada pelos elementos capacitivos e devolvida à fonte que alimenta o
circuito, o que acontece com uma freqüência de 2.ω. Em outras palavras, quando a
potência é positiva, a energia está sendo armazenada nos campos elétricos dos capacitores;
quando a potência é negativa, os capacitores estão devolvendo esta energia.
João Marcio Buttendorff
119
v(t)
i(t)
0
P
0
-P
Fig. 23-6 - Potência instantânea em um circuito puramente capacitivo.
Sabe-se, no entanto, que circuitos puramente indutivos ou capacitivos são circuitos
muito particulares, raramente encontrados. Assim sendo, um caso mais geral é aquele em
que uma tensão do tipo v(t ) = VP .sen(ω .t ) resulta em uma corrente i (t ) = I P .sen(ω .t − φ ) ,
onde φ pode ser positivo ou negativo, correspondente à impedância indutiva ou capacitiva,
respectivamente.
Para o caso em que φ<0, ou seja, circuito indutivo têm-se:
p (t ) = VP .sen(ω.t ).I P .sen(ω.t − φ )
(23.5)
p (t ) = VP .I P .sen(ω.t ).sen(ω.t − φ )
Aplicando-se a integral para calcular o valor médio da potência, obtém-se:
T
Pmed =
1
p (t )dt
T 0
T
Pmed
1
VP .I P .sen(ω.t ).sen(ω.t − φ )dt
=
T 0
1
T
T
1
=
T
T
1
T
T
Pmed =
Pmed
Pmed =
{V .I
P
P
.sen(ω.t ).[ sen(ω.t ).cos(φ ) − cos(ω.t ).sen(φ ) ]}dt
0
{V .I .
P
0
0
P
}
sen 2 (ω.t ).cos(φ ) − sen(ω.t ).cos(ω.t ).sen(φ ) dt
1
VP .I P . sen 2 (ω.t ).cos(φ ) − sen(ω.t ).sen(φ ) dt
2
V .I .cos(φ )
V .I .sen(φ )
= P P
sen 2 (ω.t )dt − P P
sen(ω.t )dt
2.T
T
0
0
T
Pmed
(23.6)
T
1
Pmed = .VP .I P .cos(φ )
2
Onde φ é definido como a diferença entre o ângulo da tensão e da corrente, ou seja:
φ = φv − φi
(23.7)
A potência média também é chamada de potência ativa porque representa a
parcela da potência que é dissipada, ou seja, convertida em outra forma de energia.
João Marcio Buttendorff
120
A potência média também pode ser obtida em função dos valores eficazes da tensão
e da corrente, fazendo:
V
Vef = P
(23.8)
2
I ef =
IP
2
(23.9)
Substituindo a equação (23.8) e a (23.9) na(23.6), obtém-se:
P = Vef .I ef .cos(φ )
(23.10)
O produto de Vef e Ief recebe o nome de potência aparente ou potência complexa,
cujo símbolo é S, sendo medido em voltampères (VA). Quando trata-se de circuitos
lineares, a fator pela qual a potência aparente deve ser multiplicada para obter a potência
ativa é chamado fator de potência (FP), ou seja, o fator de potência é o termo que
determina quanto da potência entregue à carga está sendo realmente utilizado.
FP =
P Vef .I ef .cos(φ )
=
S
Vef .I ef
FP = cos(φ )
(23.11)
(23.12)
Neste ponto é importante lembrar que tal relação só é válida quando o circuito em
estudo é linear. Quando estuda-se um circuito não linear, como por exemplo um
retificador, cujas formas de onda da tensão e corrente típicas são mostradas na Fig. 23-7,
deve-se levar em conta a taxa de distorção harmônica da corrente. Assim sendo, o fator de
potência passa a ser dado por:
FP =
cos(φ )
(23.13)
1 + TDH 2
v(t)
i(t)
0
Fig. 23-7 – Tensão e corrente em um retificador de onda completa.
Quando trata-se do FP, o sinal de φ é um dado importante porque revela se o
circuito tem característica indutiva ou capacitiva, pois quando a corrente está atrasada,
φ>0. Seja como for, o módulo do fator de potência estará sempre compreendido entre
0<FP<1.
João Marcio Buttendorff
121
23.2 Potência Complexa e Triângulo das Potências
Considere uma carga CA sendo alimentada por uma fonte senoidal. Convertendo a
tensão e a corrente para a forma fasorial, obtém-se:
V = Vef φv
(23.14)
I = I ef φi
A potência complexa S absorvida pela carga é o produto da tensão pelo complexo
conjugado da corrente, ou seja:
S = V .I * = Vef φv .I ef −φi
S = Vef .I ef φv − φi
(23.15)
S = Vef .I ef .cos(φv − φi ) + j.Vef .I ef .sen(φv − φi )
Onde a parte real da equação representa a potência média P (W) e a parte
imaginária representa a potência reativa Q (Var).
Considere dois casos especiais da equação. Quando φv = φi , a tensão e a corrente
estão em fase. Isto significa que o circuito é puramente resistivo, resultando apenas a
potência média (ativa).
P = Vef .I ef
(23.16)
Quando φv − φi = ±90° , tem-se um circuito puramente reativo, ou seja, a potência
ativa é zero, resultando apenas a potência reativa Q.
P = Vef .I ef .cos(90°) = 0
Q = Vef .I ef .sen(90°) = Vef .I ef
(23.17)
A potência complexa também pode ser expressa em termos da impedância da carga
Z.
Z=
Vef
I ef
2
S = I ef .I ef * .Z = I ef .Z
S=
Vef .Vef *
Z*
=
Vef
(23.18)
2
Z*
Como Z = R + jX , a equação se torna:
2
S = I ef .( R + jX ) = P + jQ
(23.19)
Onde P e Q são as partes reais e imaginárias da potência complexa, ou seja:
João Marcio Buttendorff
122
2
P = Re( S ) = I ef .R
(23.20)
2
Q = Im( S ) = I ef . X
P é a potência média ou ativa e depende da resistência R da carga. Q depende da
reatância X da carga, sendo chamada de potência reativa (ou de quadratura).
A potência ativa P é a potência média, em watts, transmitida à carga. Esta é a única
potência utilizada, sendo a potência que realmente é dissipada pela carga. A potência
reativa Q é a medida da energia trocada entre a fonte e a parte reativa da carga. A unidade
de Q é o volt-ampére reativo (VAR) para distingui-la da potência real, cuja unidade é o
watt. Os elementos armazenadores de energia não dissipam nem fornecem potência, mas
trocam energia com o resto do circuito. Da mesma maneira, a potência reativa é transferia
da fonte para a carga e da carga para a fonte.
É uma prática padrão representar S, P e Q na forma de um triângulo, chamando de
triângulo das potências. O triângulo da potência representa quatro itens – a potência
aparente/complexa, potência real, potência reativa e o ângulo do fator de potência. Dados
dois destes itens, os outros dois podem ser facilmente obtidos do triângulo. Quando S está
no primeiro quadrante, tem-se uma carga indutiva e um FP atrasado. Quando S está no
quarto quadrante, a carga é capacitiva e o FP é adiantado.
R
Z
S(VA)
Q(VAr)
jXL
φ
P(W)
(a)
P(W)
φ
R
Q(VAr)
Z
S(VA)
-jXC
(b)
Fig. 23-8 – (a) Circuito indutivo e (b) Circuito capacitivo.
Para a análise de circuitos ligados em paralelo, como por exemplo várias cargas
ligadas a um mesmo alimentador (Fig. 23-9), pode-se determinar a potência complexa total
fornecida através das equações (23.21), (23.22) e (23.23).
Ief
Vef
I1
Z1
I2
Z2
In
Zn
b
Fig. 23-9 – Potências em cargas ligadas em paralelo.
João Marcio Buttendorff
123
PT = P1 + P2 + ... + Pn
(23.21)
QT = Q1 + Q2 + ... + Qn
(23.22)
ST = PT 2 + QT 2
(23.23)
Esses resultados, que também podem ser aplicados a circuitos ligados em série,
significam que o triângulo de potência total pode ser obtido ligando-se os triângulos de
potência de cada circuito independente de um vértice a outro.
23.3 Correção do Fator de Potência
Como foi demonstrado, para circuitos lineares alimentados por fontes senoidais, o
fator de potência é simplesmente definido como cos(φ), onde φ é o ângulo de defasagem
entre tensão e corrente. Para uma carga puramente resistiva, tensão e corrente estão em
fase, o que leva a um fator de potência unitário. Neste caso, a potência aparente e a ativa
são iguais.
No entanto, este tipo de carga não costuma ser encontrado com grande freqüência,
principalmente entre os grandes consumidores (indústrias), cujas cargas, em geral possuem
características indutivas. Esta componente indutiva preponderante deve-se ao grande
número de motores normalmente encontrado nas indústrias. Sabe-se também que quando a
potência elétrica é fornecida a grandes consumidores, as companhias que fornecem a
energia impõem limites aos valores de FP. Desta forma, torna-se uma prática usual, aplicar
técnicas de correção do fator de potência.
Teoricamente, é possível fazer com que uma carga indutiva (ou capacitiva), seja
“vista” pela rede como um resistor. Isto é obtido através da inserção, no circuito, de
elementos cujos valores, combinados à freqüência da rede provenham uma impedância de
entrada com ângulo de defasagem nula.
23.4 Exemplo de Aplicação
Uma carga elétrica é alimentada com 240 Vrms/60Hz. A carga consome uma
potência ativa de 8 kW com um fator de potência atrasado de 0,8. Determine:
a) O ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente;
b) A corrente eficaz;
c) A impedância;
d) A potência aparente;
e) A potência reativa;
f) A potência reativa capacitiva para obter fator de potência de 0,92;
g) O valor da capacitância.
Solução:
a-) Como o fator de potência é atrasado, sabe-se que a carga é indutiva e que portanto o
sinal da potência reativa é positiva. O ângulo de defasagem entre a tensão e corrente no
circuito pode ser obtido diretamente pela equação (23.12). Assim:
João Marcio Buttendorff
124
FP = cos(φ )
φ = cos −1 (0,8) = 36,87°
(23.24)
b-) A corrente eficaz pode ser obtida pela equação (23.10) que leva em consideração a
tensão eficaz, a potência ativa e o ângulo de defasagem.
P = Vef .I ef .cos(φ )
I ef =
P
8000
=
Vef .cos(φ ) 240.cos(36,87°)
(23.25)
I ef = 41, 67 A
c-) A impedância da carga é obtida em função da tensão e corrente eficaz. Desta forma:
Z =
Vef
I ef
=
240
= 5, 76Ω
41, 67
(23.26)
O ângulo φ que representa a defasagem entre a tensão e a corrente, também
representa o ângulo do módulo da impedância. Assim:
Z = 5, 76 36,87°Ω = 4, 608 + j 3, 456Ω
(23.27)
d-) A potência aparente do circuito pode ser obtida em função da tensão e corrente eficaz
ou através da equação (23.11).
P
S
P 8000
S=
=
FP
0,8
S = 10kVA
FP =
(23.28)
e-) A potência reativa é determina por:
Q = Vef .I ef .sen(φ ) = 240.41, 67.sen(36,87°)
Q = 6kVAr
(23.29)
f-) Para um fator de potência de 0,92 a potência aparente será:
P
S
P 8000
S=
=
FP 0,92
S = 8, 695kVA
FP =
(23.30)
A respectiva potência reativa é obtida através do teorema de Pitágoras
(equação(23.23)).
João Marcio Buttendorff
125
S 2 = P2 + Q2
Q0,92 = S 2 − P 2 = 86952 − 80002
(23.31)
Q0,92 = 3, 406kVAr
Desta forma, a potência reativa capacitiva necessária para tornar o fator de potência
0,92 é obtida subtraindo-se a potência reativa inicial da potência reativa correspondente a
0,92.
QC = Q − Q0,92 = 6000 − 3406
(23.32)
QC = 2,594kVAr
A Fig. 23-10 apresenta o triângulo das potências. Através deste, fica visível o valor
necessário da potência reativa capacitiva.
Q=2,6kVAr
S=10kVA
Q=6kVAr
S=8,7kVA
Q=3,4kVAr
φ
P=8kW
Qc=2,6kVAr
Fig. 23-10 – Triângulo das potências.
g-) Para obter a capacitância necessária para obter fator de potência de 0,92, deve-se
inicialmente determinar a reatância capacitiva.
IC =
QC 2594
=
= 10,808 A
Vef
240
(23.33)
A reatância é obtida por:
XC =
Vef
IC
=
240
= 22, 206Ω
10,808
(23.34)
Assim, a capacitância do capacitor é dada por:
1
2.π . f .C
1
1
C=
=
2.π . f . X C 2.π .60.22, 206
XC =
(23.35)
C = 119, 45µ F
João Marcio Buttendorff
126
23.5 Exercícios
1-) Determine as potências aparente, ativa e reativa de uma rede constituída por uma
resistência de 15Ω, uma indutância L de 0,2H e uma capacitância de 30uF ligadas em série
e alimentadas por uma fonte de 220V/50Hz. Desenhe o triângulo das potências.
Respostas: S=1,056kVA; P=346W e Q=998VAr.
2-) Um motor de 10cv (potência no eixo) tem um rendimento de 85%, fator de potência de
0,8 e encontra-se ligado a uma rede de 220V/50Hz. Calcule a capacitância que é necessária
colocar em paralelo para compensar o deslocamento entre a corrente a tensão. Considere:
1cv = 736W
P
Peletrica = eixo
η
Resposta: C=427uF.
3-) Aos terminais de uma impedância cujo valor é Z=3+j4Ω, aplica-se uma tensão
V=20+j10Vrms. Calcule a potência aparente, ativa e reativa do circuito.
Respostas: S=100VA; P=60W e Q=80VAr.
4-) Calcule a potência ativa, reativa, aparente e o fator de potência para:
v(t ) = 100.sen(ω .t + 45°)
i (t ) = 4.sen(ω .t − 15°)
Respostas: P=100W; Q=173,21VAr; S=200VA e FP=0,5.
5-) Calcule a potência média absorvida por uma impedância Z = 30 − j 70Ω quando
V = 120 0°V (valor de pico) é aplicada a ela.
Resposta: P=37,24W.
6-) Determine a potência fornecida por cada uma das fontes e a potência média absorvida
por cada um dos elementos passivos do circuito abaixo.
4 0°A
20R
-j5
2
4
1
j10
+
5
3
60 30°V
Respostas: P1=367,8W, P2=160W, P3=0W, P4=0W e P5=-207,8W.
7-) Determine o fator de potência do circuito visto pela fonte. Calcule a potência média
transmitida pela fonte.
6R
+
30 0°Vrms
-j2
4R
Respostas: FP=0,9734 e P=125W.
João Marcio Buttendorff
127
8-) Quando conectado a uma linha de alimentação de 120Vrms, 60Hz, uma carga absorve
4kW com um fator de potência de 0,8 atrasado. Determine o valor da capacitância,
necessária para aumentar o FP para 0,95.
Resposta: C=310,5uF.
9-) Determine o valor da capacitância paralela necessária para corrigir uma carga de
140kVAr e FP 0,85 atrasado para um FP unitário. Considere que a carga é alimentada por
uma tensão de linha de 110V (rms), 60Hz.
Resposta: C=30,69mF.
10-) Uma fonte de 120Vrms, 60Hz alimenta duas cargas conectadas em paralelo, como
mostra a figura abaixo.
a) Determine o fator de potência da combinação paralela;
b) Calcule o valor da capacitância conectada em paralelo que irá aumentar o fator de
potência para o unitário.
Carga 1
Carga 2
24kW
40kW
FP=0,8
FP=0,95
Atrasado
Atrasado
Respostas: a-) FP=0,8992 e b-) C=5,74mF.
24 CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS
Mesmo sendo uma função matemática especial, a forma de onda senoidal
corresponde a forma de excitação mais usada nos circuitos reais. Neste item, serão
estudadas as fontes de tensões senoidais polifásicas, já que estas são responsáveis pela
quase totalidades da potência gerada. Dentre os circuitos polifásicos existentes, o mais
importante é, sem dúvida alguma, o circuito trifásico.
Este tipo de fonte possui três ou quatro terminais de conexão. Quando o sistema é
equilibrado, a tensão entre esses terminais é igual em amplitude, porém defasadas em 120°
entre si.
Quando uma fonte trifásica alimenta uma carga, também trifásica e equilibrada, a
potência drenada de cada fase do gerador será igual. Quando uma das tensões fornece
potência instantânea nula a outras duas tensões deveram apresentar uma amplitude
correspondente exatamente a metade da amplitude máxima, devido a defasagem entre as
tensões. Dessa forma, pode-se concluir que a potência fornecida a carga nunca será nula.
Esta é uma importante característica para máquinas girantes, como, por exemplo, motores
elétricos, que apresentam torque mais constante e, portanto, menor vibração.
Dentre outros benefícios, deve-se também lembrar que máquinas de geração
trifásica são vantajosas em relação às monofásicas e a própria transmissão de energia na
forma trifásica é muito mais econômica que na forma monofásica.
A utilização de circuitos com um número maior de fases está limitada quase que
inteiramente à alimentação de retificadores de grande potência.
João Marcio Buttendorff
128
24.1 Tensões Trifásicas Equilibradas
Um conjunto de tensões trifásicas equilibradas é constituído por três tensões
senoidais de mesma freqüência e amplitude, defasadas entre si de exatamente 120°. As três
fases são quase sempre chamadas de A, B e C ou R, S e T; a fase A é tomada como fase de
referência. As três tensões são conhecidas como tensão da fase A, tensão da fase B e
tensão da fase C.
Só existem duas relações possíveis entre a fase da tensão A e as fases das tensões B
e C. Uma das possibilidades é a de que a tensão da fase B esteja atrasada de 120° em
relação à tensão da fase A, caso em que a tensão da fase C estará adiantada de 120° em
relação à tensão da fase A. Esta relação entre as três fases é conhecida como seqüência de
fases ABC ou seqüência de fases positiva. A outra possibilidade é de que a tensão da fase B
esteja adiantada de 120° em relação à tensão da fase A, caso em que a tensão da fase C
estará atrasada de 120° em relação à tensão da fase A. Esta relação entre as fases é
conhecida como seqüência de fases ACB ou seqüência de fases negativa. Em notação
fasorial, os dois conjuntos possíveis de tensões de fase equilibradas são:
VAN = Vef 0°
VBN = Vef −120°
(24.1)
VCN = Vef 120°
e
VAN = Vef 0°
VBN = Vef 120°
(24.2)
VCN = Vef −120°
Onde Vef representa a tensão eficaz da fonte. As equações (24.1) se aplicam à
seqüência ABC ou positiva; as equações (24.2), à seqüência ACB ou negativa. A Fig. 24-1
mostra os diagramas fasoriais e as formas de onda das tensões representadas pelas
equações (24.1). Na Fig. 24-1, a seqüência de fases corresponde à ordem dos índices
quando a figura é percorrida no sentido horário. O fato de que um circuito trifásico pode
ter duas seqüências de fases diferentes deve ser levado em consideração sempre que dois
destes circuitos são ligados em paralelo; os circuitos só funcionarão corretamente se
tiverem a mesma seqüência de fases.
Vc
Va
A
B
C
A
C
B
120°
240°
Vb
Vb
Va
Vc
Fig. 24-1 – Diagramas fasoriais e seqüência de fases.
João Marcio Buttendorff
129
Outra característica importante de um conjunto de tensões trifásicas equilibradas é
que a soma das três tensões é zero. Assim, tanto para as tensões das equações (24.1) como
para as das equações (24.2).
VA + VB + VC = 0
(24.3)
Se a soma das tensões fasoriais é zero, a soma dos valores instantâneos das tensões
também deve ser zero. Assim:
va + vb + vc = 0
(24.4)
24.2 Fonte de Tensão Trifásica
Uma fonte de tensão trifásica é um gerador com três enrolamentos separados
distribuídos ao longo da periferia do estator. Cada enrolamento constitui uma das fases do
gerador. O rotor do gerador é um eletroímã acionado com velocidade angular constante por
uma máquina motriz, como uma turbina a gás ou a vapor. A rotação do eletroímã induz
tensões senoidais nos três enrolamentos. Os enrolamentos são projetados de tal forma que
as tensões senoidais neles induzidas tem a mesma amplitude e estão defasadas de 120°. A
freqüência da tensão induzida pelo eletroímã rotativo é a mesma nos três enrolamentos, já
que permanecem estacionários durante todo o processo. Na Fig. 24-2, onde apresenta-se
um gerador simplificado, três bobinas estão igualmente distribuídas sobre o rotor do
gerador, ou seja, estão deslocadas entre si em 120° mecânicos.
A
C’
B’
Imã
Sul
Imã
Norte
B
C
A’
Fig. 24-2 – Gerador simplificado.
Existem duas formas de ligar os enrolamentos de um gerador trifásico. Estas
configurações, denominadas Y (estrela) ou ∆ (triângulo), são mostradas na Fig. 24-3, na
qual os enrolamentos do gerador estão representados por fontes de tensão independentes. O
terminal comum da ligação em Y é chamado de terminal neutro do gerador. O terminal
neutro pode estar ou não disponível para conexões externas.
João Marcio Buttendorff
130
A
A
Va
Vb
Va
Vc
Neutro
B
Vb
B
Vc
C
C
Ligação Triângulo
Ligação Estrela
Fig. 24-3 – Ligações de um gerador trifásico.
Como as fontes e cargas trifásicas podem ser ligadas em Y ou em ∆, os circuitos
podem assumir quatro diferentes configurações:
Fonte
Y
Y
∆
∆
Carga
Y
∆
Y
∆
24.3 Análise do Circuito Ligado em Y-Y
A Fig. 24-4 mostra um circuito Y-Y no qual foi incluído um quarto condutor
ligando o terminal neutro do gerador ao terminal neutro da carga. A presença deste quarto
condutor só é possível na configuração Y-Y (encontrada em instalações industrias,
residências e prediais).
Van
Za
Neutro
Vbn
Vcn
Zc
Zb
Fig. 24-4 – Sistema trifásico Y-Y.
Este circuito equilibrado trifásico pode ser substituído por circuitos equivalentes
por fase. Conforme apresentado na Fig. 24-5. A corrente no condutor da fase A é a tensão
gerada pela fonte Van dividida pela impedância total da fase A (Za). Como as relações
entre as tensões nas três fases são conhecidas, depois de resolver este circuito pode-se
facilmente determinar as correntes e tensões nas outras duas fases.
João Marcio Buttendorff
131
Za
Van
Fig. 24-5 – Circuito equivalente por fase.
É importante observar que o circuito equivalente fornece o valor correto da corrente
na linha das fases, mas não o valor correto da corrente no neutro. Em todas as situações nas
quais o circuito equivalente para uma fase pode ser aplicada, as correntes de linha formam
um conjunto equilibrado e a corrente no neutro, dada pela equação (24.5), é nula.
I A + I B + IC = 0
(24.5)
Um outro parâmetro importante é a relação entre as tensões entre linhas (fase-fase)
chamadas de tensões de linha e as tensões entre as linhas e o neutro (fase-neutro),
chamadas de tensões de fase. Vamos determinar esta relação para os terminais da carga da
Fig. 24-6, onde foram rotuladas como VAB, VBC e VCA; por convenção o primeiro índice é
o nó em que a tensão é mais elevada.
+
+
Vab
Van
Vbn
Neutro
_
+
Vcn
+
Za
Zb
+
Vbc
Zc
_
Fig. 24-6 - Tensões entre linhas e entre linha e neutro.
As tensões entre linha e neutro (tensões de fase) são VAN, VBN e VCN (equação
(24.1)). Pode-se expressar as tensões entre linhas em termos das tensões entre linha e
neutro usando a lei de Kirchhoff para tensões:
VAB = VAN − VBN
VBC = VBN − VCN
(24.6)
VCA = VCN − VAN
Substituindo-se a equação (24.1) na (24.6), obtém-se as tensões de linha para um
sistema trifásico equilibrado.
VAB = Vef 0° − Vef −120° = 3.Vef 30°
VBC = Vef −120° − Vef 120° = 3.Vef −90°
(24.7)
VCA = Vef 120° − Vef 0° = 3.Vef 150°
João Marcio Buttendorff
132
A equação (24.7) mostra que:
1. A amplitude das tensões de linha é igual a 3 vezes a amplitude das
tensões de fase;
2. As tensões de linha formam um conjunto equilibrado de tensões;
3. As tensões de linha estão adiantadas de 30° em relação às tensões de fase.
A Fig. 24-7 apresenta as tensões de linha e as tensões de fase de um sistema
trifásico.
Vab
Vbc
Vca
Van
Vbn
Vcn
0
Fig. 24-7 – Tensões de linha e entre fase e neutro.
24.4 Correntes de Linha em um Circuito Ligado em Triângulo (∆)
Quando uma carga (ou fonte) é ligada em ∆, as correntes nos ramos do ∆ são as
correntes de fase e as tensões entre os terminais dos ramos do ∆ são as tensões de fase.
Como pode-se observar na Fig. 24-8, no caso da configuração em ∆ a tensão de fase é
igual a tensão de linha.
A
Ia
Iab
Z1
Ica
Z3
Ib
Z2
C
B
Ibc
Ic
Fig. 24-8 – Carga equilibrada ligada em triângulo.
Para determinar a relação entre as correntes de fase (ramo) e as correntes de linha,
consideraremos uma seqüência de fase positiva e chamaremos de Ief o módulo da corrente
de fase. Nesse caso:
I AB = I ef . 0°
I BC = I ef . −120°
(24.8)
I CA = I ef .120°
João Marcio Buttendorff
133
Pode-se determinar as correntes de linha em termos das correntes de fase usando a
lei de Kirchhoff para as correntes:
I A = I AB − I CA = I ef . 0° − I ef .120° = 3.I ef . −30°
I B = I BC − I AB = I ef . −120° − I ef . 0° = 3.I ef . −150°
(24.9)
I C = I CA − I BC = I ef .120° − I ef . −120° = 3.I ef . 90°
Comparando-se as equações, verifica-se que o módulo das correntes de linha é 3
vezes maior que o módulo das correntes de fase e que as correntes de linha estão atrasadas
de 30° em relação às correntes de fase.
24.5 Potência em Carga Trifásica Equilibrada
Nos sistemas trifásicos a potência em cada fase da carga será Pf=Uf.If (onde f
representa tensão e corrente de fase), como se fosse um sistema monofásico independente.
A potência total será a soma das potências das três fases, ou seja:
P = 3.Pf = 3.V f .I f
(24.10)
Lembrando que nos sistemas trifásicos ligados em estrela ou triângulo, temos as
seguintes relações:
VL = 3.V f
Ligação estrela:
I = If
Ligação triângulo:
VL = V f
I = 3.I f
Assim, a potência total, para ambas as ligações, será:
P = 3.V .I
(24.11)
Esta equação vale para a carga formada por resistências, onde não há defasagem
entre a tensão e a corrente.
Para as cargas reativas, ou seja, onde existe defasagem, como no caso dos motores
de indução, esta defasagem tem que ser levada em consideração e a equação passa a ser:
P = 3.V .I .cos(φ )
(24.12)
Onde V e I são, respectivamente, tensão e corrente eficazes de linha e cos(φ) é o
ângulo entre a tensão e a corrente de fase.
Os valores das potências reativa e aparente são obtidas diretamente pelas equações
(24.13) e (24.14):
Q = 3.V .I .sen(φ )
(24.13)
S = 3.V .I
(24.14)
João Marcio Buttendorff
134
24.6 Exemplo de Aplicação
Um motor elétrico trifásico de 100cv/380V e rendimento de 93% apresenta um
fator de potência de 0,9. Deseja-se aumentar o fator de potência para 0,95. Calcule a
potência reativa necessária para elevar o fator de potência.
A potência em W, que o motor fornece ao eixo é dado por:
PM = 100.736 = 73, 6kW
A potência consumida pelo motor é obtida em função do rendimento do mesmo.
Assim:
P=
PM
η
=
73600
= 79,139kW
0,93
A potência aparente e reativa que o motor necessita para operar com um fator de
potência de 0,9 é obtida por:
cos(φ ) =
S0,9 =
P
S0,9
P
79139
=
= 87,933kVA
cos(φ )
0,9
S0,9 2 = P 2 + Q0,9 2
Q0,9 = S0,9 2 − P 2 = 879332 − 791392
Q0,9 = 38,33kVAr
Para que o mesmo motor opere com fator de potência de 0,95, as respectivas
potências aparentes e reativas devem ser:
cos(φ ) =
S0,95 =
P
S0,95
P
79139
=
= 83,304kVA
cos(φ ) 0,95
S0,95 2 = P 2 + Q0,95 2
Q0,95 = S0,95 2 − P 2 = 833042 − 791392
Q0,95 = 26, 012kVAr
Assim, a reatância capacitiva necessária para corrigir o fator de potência do motor
será dada por:
Q = Q0,9 − Q0,95 = 38330 − 26012
Q = 12,318kVAr
João Marcio Buttendorff
135
24.7 Exercícios
1-) A tensão de linha nos terminais de uma carga trifásica equilibrada tipo é 110V. As
impedâncias das três fases da carga são resistores de 3,667 em paralelo com indutores
cuja reatância é 2,75 . Qual é o módulo da corrente na linha que alimenta a carga?
Resposta: I=86,60A.
2-) Um gerador trifásico balanceado em com uma impedância de 0,4+j0,3 por fase é
conectado a uma carga balanceada, conectada em , com uma impedância de 24+j19 por
fase. A linha que une o gerador e a carga possui uma impedância de 0,6+j0,7 por fase.
Considerando uma seqüência positiva para as tensões da fonte e que Van = 120 30°V ,
determine:
a)
As tensões de linha;
b)
As correntes de linha.
Respostas: a-) 207,85 60°V , 207,85 −60°V e 207,85 180°V
b-) 3, 75 −8, 66°A , 3, 75 −128, 66°A e 3, 75 111,34°A
3-) Uma tensão de linha de uma fonte balanceada conectada em Y é Vab = 180 −20°V . Se a
fonte está conectada a uma carga conectada em de 20 40°Ω , determine as correntes de
fase e linha. Considere a seqüência abc.
Respostas: 9 −60°A , 9 −180°A , 9 60°A , 9 −60°A , 15,59 −90°A ,
15,59 −210°A e 15,59 30°A
4-) Uma fonte balanceada, conectada em , com seqüência positiva, alimenta uma carga
balanceada conectada em . Sendo a impedância por fase da carga 18+j12 e
I a = 22,5 35°A , determine IAB e VAB.
Respostas: 13 65°A e 281, 2 98, 69°V
5-) Uma fonte de tensão trifásica de 100V (eficaz) alimenta uma carga equilibrada,
mostrada na figura abaixo. Assume-se como referência a tensão VAB (ângulo zero).
Determine:
a) A corrente fasorial IAB;
b) A corrente de linha fasorial IA.
A
Ia
4R
4R
j3
j3
Iab
4R
j3
B
C
Respostas: a-) I AB = 20 −36,9°A ; b-) I A = 34, 641 −66,9°A .
João Marcio Buttendorff
136
6-) A fonte de tensão trifásica da figura abaixo alimenta uma carga cujo modelo por fase é
dado pela figura a direita. Determine:
a) A corrente de linha IL com relação à tensão de linha VAB (adote VAB como tensão
de referência, ou seja, ângulo igual a zero);
b) A potência ativa e reativa fornecida para a carga.
IL
A
2,236R
300Vef
(linha)
3 fases
B
C
j1
N
N
Respostas: a-) I L = 70, 7 −24,1°A ; b-) P = 33,5kW e Q = 15kVAr .
7-) Uma carga balanceada conectada em estrela absorve uma potência total de 5kW com
um fator de potência adiantado de 0,6 quando conectado a uma tensão de linha de 240V.
Determine a impedância de cada fase e a potência complexa total da carga.
Respostas: Z=4,15-j5,53 e S=5000-j6667VA.
8-) Um motor trifásico pode ser modelado como uma carga em Y balanceada. O motor
drena 5,6kW quando a tensão de linha é 220V e a corrente de linha é 18,2A. Determine o
fator de potência do motor.
Resposta: FP=0,8075.
9-) Um motor elétrico trifásico de 250cv/220V e rendimento de 95,4% apresenta um fator
de potência de 0,89. Deseja-se aumentar o fator de potência para 0,93. Calcule a corrente
nominal do motor, a potência reativa necessária para elevar o fator de potência e desenhe o
triângulo das potências.
Respostas: I=568,716A e Q=22,583kVAr.
10-) Duas cargas balanceadas são conectadas a uma linha de 240kV, 60Hz, como
apresentado na figura. A carga 1 drena 30kW com um fator de potência de 0,6 atrasado,
enquanto que a carga 2 drena 45kVAr com um fator de potência de 0,8 atrasado.
Determine:
a) As potências ativa, reativa e aparente absorvida pelas cargas;
b) A corrente total de linha;
c)
A quantidade de kVAr do banco capacitivo conectados em paralelo com a carga
para aumentar o fator de potência para 0,9 atrasado;
d)
A capacitância total dos capacitores.
Carga
Carga
Balanceada 1
Balanceada 2
Respostas: a-) P=90kW; S=123,8kVA e Q=85kVAr; b-)
João Marcio Buttendorff
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Referências Bibliográficas
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Companhia Editora., Porto Alegre, 2003.
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Janeiro, 2003
NAHVI, M.; EDMINISTER, J., Circuitos Elétricos, 2ª. Edição, Bookman Companhia
Editora, Porto Alegre, 2005.
GUSSOW, M., Eletricidade Básica, 2a Edição, Makron Books, São Paulo, 1996.
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