eletricidade e magnetismo - SOL

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA
Professores: Edson Vaz e Renato Medeiros
ELETRICIDADE E MAGNETISMO
NOTA DE AULA IV
Goiânia - 2013
MAGNETISMO
As primeiras observações de fenômenos magnéticos são muito antigas. Acreditase que estas observações foram realizadas pelos gregos, em uma região denominada
Magnésia. Eles verificaram que existia, nesta região, certo tipo de pedra (minério de
ferro atualmente denominado imã natural) que era capaz de atrair pedaços de ferro.
Portanto, os primeiros fenômenos magnéticos observados foram associados aos
chamados imãs naturais, fragmentos das rochas encontradas perto da cidade de
Magnésia. Esses imãs naturais têm a propriedade de atrair ferro desmagnetizado, o
efeito sendo mais pronunciado em certas regiões do imã conhecidas como polos. A
Terra tem um campo magnético próprio, como mostra a figura abaixo. Nesta figura
podemos observar que os polos Norte e Sul geográficos terrestre estão invertidos com
relação aos polos Norte e Sul magnéticos. Devemos observar que os polos magnéticos e
geográficos não são coincidentes, ou seja, o polo sul do campo magnético da Terra está
situado nas proximidades do polo norte geográfico.
Observa-se que um pedaço de ferro, depois de colocada perto de um imã,
adquire as mesmas propriedades deste imã. Assim, foi possível obter-se os imãs
artificiais. Os imãs (naturais ou artificiais) apresentam determinados fenômenos
magnéticos, entre os quais destacamos:

Polos de um imã – os pedaços de ferro são atraídos com maior intensidade
por certas partes do imã, as quais são denominadas polos do imã.
Polo norte de um imã é aquela extremidade que, quando o imã pode girar
livremente, aponta para o norte geográfico (sul magnético) da Terra. A extremidade que
aponta para o sul geográfico (norte magnético) da Terra é o polo sul do imã.

Princípio da atração e repulsão – Polos de mesmo nome se repelem e
polos de nomes contrários se atraem.

Inseparabilidade dos polos – Quando uma barra de um imã é cortada, ao
invés de obter um polo norte isolado e um polo sul isolado, obtemos dois
imãs, cada um dos quais tem polos norte e sul. Portanto, é impossível obter
um polo magnético isolado.
Durante muitos anos, o estudo dos fenômenos magnéticos esteve restrito aos
imãs, não havia conexão entre os fenômenos elétricos e magnéticos. Em 1819 o
cientista dinamarquês Hans Cristian Oersted (1777 – 1851) observou que a agulha de
uma bússola era defletida quando colocada próxima de um fio por onde passava uma
corrente elétrica. Doze anos mais tarde, o físico inglês Michael Faraday (1971 – 1867)
verificou que aparecia uma corrente momentânea em um circuito, quando, em um
circuito vizinho, se iniciava ou se interrompia uma corrente. Pouco depois, seguiu-se a
descoberta de que o movimento de um imã que se aproximava ou se afastava de um
circuito produzia o mesmo efeito. O trabalho de Oersted demonstrou que efeitos
magnéticos podiam ser produzidos por cargas elétricas em movimento, enquanto os de
Faraday mostraram que correntes podiam ser produzidas por imãs em movimento. Após
as descobertas das relações entre os fenômenos elétricos e magnéticos temos os estudos
de eletromagnetismo.
Acredita-se, hoje em dia, que os chamados fenômenos magnéticos resultam de
forças entre cargas elétricas em movimento. Isto é, cargas em movimento criam tanto
um campo magnético quanto um campo elétrico e esse campo magnético exerce força
sobre uma segunda carga que esteja em movimento. Como os elétrons nos átomos estão
em movimento em torno dos núcleos atômicos e como cada elétron parece estar em
rotação contínua em torno de um eixo passando por ele, espera-se que todos os átomos
exibam efeitos magnéticos; de fato, verifica-se que este é o caso. A possibilidade de que
as propriedades magnéticas da matéria resultassem de minúsculas correntes atômicas
foi, primeiramente, sugerida por Ampère em 1820.
Campo Magnético
Já estudamos que um corpo carregado produz um campo vetorial (o campo elétrico
E ) em todos os pontos do espaço ao seu redor. De forma análoga, um imã produz um
campo vetorial (o campo magnético B ) em todos os pontos no espaço ao seu redor.
Você pode ter uma noção desse campo magnético sempre que prende um bilhete a uma
porta de geladeira com um pequeno imã. O imã age sobre a porta por meio do seu
campo magnético.
Linhas de Indução de um Campo Magnético
Podemos representar campos magnéticos com linhas de campo, como fizemos
para os campos elétricos. Regras semelhantes se aplicam; ou seja, estas linhas devem
ser traçadas de tal modo que o vetor B seja sempre tangente a elas em qualquer um de
seus pontos. Além disso, o espaçamento entre as linhas representa a intensidade de B , o
campo magnético é mais intenso onde as linhas estiverem mais próximas. As linhas de
campo saem do polo norte e chega ao polo sul.
ELETROMAGNETISMO
Podemos considerar como princípio básico do eletromagnetismo, o fato de que: quando
duas cargas elétricas estão em movimento, manifesta-se entre elas, além da força eletrostática,
outra força, denominada força magnética. Ou seja, uma carga em movimento cria, no espaço
em torno dela, um campo magnético que atuará sobre outra carga, também em movimento,
exercendo sobre ela uma força magnética.
Antes de iniciarmos o estudo do nosso próximo assunto (a força magnética), iremos
discutir o conceito de produto vetorial.
PRODUTO VETORIAL
O produto vetorial entre dois vetores, a e b , representados por a x b , é um vetor c
cujo módulo c é dado pela expressão c  ab sen ,
Onde  é o menor dos ângulos entre as direções de a e b . A direção de c é perpendicular
ao plano formado por a e b , o sentido ao longo desta direção pode ser dado pela regra da
mão direita.
Quando a e b forem paralelos ou antiparalelos (  0 ou   180º ) , a  b  0 .
EXERCÍCIO
1. Usando a regra do determinante, mostre que o produto vetorial entre dois vetores a e b
pode ser escrito como:
a x b  (aybz  by az )iˆ  (azbx  bz ax ) ˆj  (axby  bx a y )kˆ
Força magnética sobre cargas elétricas em movimento
Alguns aspectos da Força magnética sobre uma carga em movimento são análogos a
propriedades correspondentes da força do campo elétrico. Ambos têm intensidade
proporcional à carga. Além disto, ambos são proporcionais à intensidade ou ao módulo do
campo.
A dependência da força magnética com a velocidade da partícula é muito diferente do
caso da força do campo elétrico. A força elétrica sobre uma carga não depende da velocidade;
ela é a mesma quer a carga se mova ou não; já a força magnética tem um módulo que é
proporcional à componente de velocidade perpendicular ao campo.
A força magnética que atua em uma partícula com carga q, pode ser definida como o
produto da carga q pelo produto vetorial da sua velocidade v pelo campo magnético B .
F = q v B
 F = q v B sen 
onde:
F  é o módulo da força magnética que atua na carga q
v  é o módulo da velocidade de q
B  é o módulo do campo magnético
Direção e sentido da força magnética
A força magnética tem direção perpendicular a v e a B , isto é , ao plano definido
por v e B . O sentido de F é o mesmo do produto vetorial v  B , se a carga q for positiva e
contrária a este sentido se q for negativa. A direção e sentido da força magnética podem ser
encontrados por várias regras práticas, entre elas podemos citar a regra da mão direita ou da
mão esquerda.
Observando a equação anterior podemos verificar que a força será igual a zero se a
carga for nula ou se a partícula estiver em repouso. A mesma equação também nos diz que a
intensidade da força será nula se v e B forem paralelos (   0 ) ou antiparalelos (   180 ), e
a força atingirá seu valor máximo quando v e B forem perpendiculares um ao outro.
Como a força magnética não possui uma componente paralela à v , ela não consegue
alterar o valor da velocidade da partícula (portanto não consegue alterar a energia cinética da
partícula). A força pode modificar apenas a direção da velocidade da partícula, mudando,
portanto, a direção de sua trajetória.
Regra da mão direita.

dedão  FB


dedos  v  B
Unidade de campo magnético
A unidade do campo magnético no SI é o Newton. Segundo por Coulomb.Metro. Por
conveniência, esta unidade e chamada de tesla () .
1
N .s
= 1 tesla = 1 
C.m
No eletromagnetismo é comum a representação de vetores perpendiculares ao plano da
folha, portanto alguns alunos relacionam, equivocadamente, a representação de vetores
entrando ou saindo da folha, apenas com grandezas estudadas no eletromagnetismo. Devemos
lembrar que esta representação pode ser usada para qualquer grandeza vetorial.
Como iremos trabalhar no plano, usamos a seguinte definição para as linhas de campo:
  entrando pelo plano
 saindo pelo plano
EXERCÍCIO
2. Suponha que você possua alguns imãs nos quais assinalou quatro polos com as letras A , B
, C e D . Você verifica que:

o polo A repele o polo B

o polo A atrai o polo C

o polo C repele o polo D
e sabe-se que o polo D é um polo norte . Nestas condições determine se o polo
B é um polo norte ou sul.
3. Represente a força magnética que age sobre a carga elétrica q, lançada no campo magnético
B,
nos seguintes casos:
a)
b)
B
c)
 B
B

q

v
q

v
q
v
d)
v
B
q
4. Por que, simplesmente não definimos a direção e o sentido do campo magnético B como
sendo idênticos aos da força magnética que atua sobre uma carga em movimento?
Movimento de uma carga elétrica em um campo magnético uniforme
1o Caso:
A carga elétrica é lançada paralelamente às linhas de indução. Neste caso  = 0o ou 
= 180o  sen  = 0 e a força magnética é nula. Então, a carga elétrica realiza um movimento
retilíneo e uniforme.
2o Caso:
A carga elétrica é lançada perpendicularmente às linhas de indução. Neste caso, o ângulo
entre a velocidade e o campo magnético é de noventa graus. Isso significa que o sen é igual
a um, e a força magnética é constante e igual a: FB  qvB , essa força é apontada para o centro
da curva, e, portanto, o movimento é circular e uniforme.
Cálculo do raio da trajetória
Fmagnética = Fcentrípeta
v2
 qvB
r
mv
r
qB
F m
Cálculo do período ( T )
Sabemos que o período T é o intervalo tempo que corresponde a uma volta completa.
T
2 r 2 mv

v
vqB
T
2 m
qB
Observe que o período T não depende da velocidade.
3o Caso:
A carga elétrica é lançada obliquamente às linhas de indução. Neste caso a
componente v (paralela ao campo magnético) ocasiona um MRU e a componente v
(perpendicular ao campo magnético) ocasiona um MCU. A composição destes dois
movimentos é um movimento helicoidal uniforme e a trajetória é chamada de hélice
cilíndrica. Na figura abaixo temos a representação de trajetória para o caso de um campo
magnético uniforme (b) e de um campo não uniforme (c). Ver estudo mais detalhado sobre
garrafa magnética, cinturões de radiação de Van Allen e aurora, no livro texto.
O passo da hélice (p) pode ser encontrado da seguinte maneira:
p  v T  v cos 
p
Aceleradores de partículas
2 m
qB
2 mv
cos   2 r cos 
qB
Aceleradores de partículas podem usar campos elétricos e magnéticos para obter
partículas com alta energia. O cíclotron e o sincrotron são aceleradores de partículas que
utilizam um campo magnético para fazer a partícula passar repetidas vezes por uma região
onde existe um campo elétrico, o qual gera um aumento no valor da velocidade da partícula.
O cíclotron é um instrumento que foi desenvolvido em 1931 pelos físicos Lawrence e
Livingston da Universidade da Califórnia. A teoria envolvida na descrição do funcionamento
do cíclotron é bastante simples. A parte principal do acelerador é formada por um par de
câmaras metálicas em forma de um semicírculo, algumas vezes denominadas de "D", por
causa da sua forma. No caso do cíclotron, as partículas descrevem uma trajetória espiral,
ganhando energia cada vez que atravessa a região onde existe um campo elétrico (o espaço
entre os dês). O funcionamento do cíclotron se baseia no fato de que a frequência com a qual
a partícula circula, sob o efeito do campo magnético, não depende da velocidade. Portanto
podemos ter um oscilador que inverte o sentido do campo elétrico na mesma frequência que a
partícula circula. No sincrotron a frequência de revolução das partículas varia com o tempo,
mas permanece em fase com a frequência do oscilador. Neste caso a trajetória das partículas é
circular em vez de espiral.
EXERCÍCIO
5. Quais são as funções fundamentais (a) do campo elétrico e (b) do campo magnético no
cíclotron?
6. Uma partícula eletrizada positivamente, colocada em um campo magnético uniforme,
é lançada para a direita com uma velocidade
v
, como mostra a figura abaixo.
Desenhe, na figura, a trajetória que a partícula descreverá.
7. Considerando o esquema do exercício anterior, desenhe a trajetória da partícula
supondo que sua carga seja negativa.
8. Uma partícula eletrizada positivamente é lançada horizontalmente para a direita, com
v
uma velocidade
perpendicular a
v
. Deseja-se aplicar à partícula um campo magnético
B,
, de tal modo que a força magnética equilibre o peso da partícula.
a) Qual devem ser a direção e o sentido do vetor
B
para que isto aconteça?
b) Supondo que a massa da partícula seja m = 4,0 miligramas, que sua carga seja q =
2,0 .10- 7 C e que sua velocidade seja v = 100 m / s, determine qual deve ser o valor de
B.
R: a)  B b) 1,96 T
9. Em um laboratório de Física Moderna, um dispositivo emite íons positivos que se
deslocam com uma velocidade
v
muito elevada. Desejando medir o valor desta
velocidade, um cientista aplicou na região onde os íons se deslocam os campos
uniformes,
E
e
B
E
e
B,
mostrados na figura deste problema . Fazendo variar os valores de
ele verificou que , quando E = 1,0x103 N /C e B = 2,0x10-
2
T , os íons
atravessavam os dois campos em linha reta , como está indicado na figura . Com estes
dados, o cientista conseguiu determinar o valor de
ele? Despreze a massa do íons. R: 5x104 m/s
v
. Qual foi o valor encontrado por
10. Uma partícula com carga q = 2,0 C, de massa m= 1,0x10- 7 kg penetra , com uma
velocidade v = 20 m/s , num campo magnético uniforme de indução B = 4,0 T através
de um orifício existente no ponto O de um anteparo. R: 0,5 m
a) Esquematize a trajetória descrita pela partícula no campo, até incidir pela primeira
vez no anteparo.
b) Determine a que distância do ponto O a partícula incide no anteparo.
11. Um elétron que tem velocidade
num campo magnético
B
v
= (2,0x10
= ( 0,03 T )
i
6
m/s )
i
+ ( 3,0x10 6 m/s )
j
penetra
- ( 0,15 T ) j . Determine o módulo, a direção
e o sentido da força magnética sobre o elétron. R: 6,24x10-14 N na direção positiva
do eixo z
12. Um elétron num campo magnético uniforme tem uma velocidade v = (40 km/s) i + (35
km/s) j. Ele experimenta uma força F = - (4,2 fN) i + (4,8 fN) j. Sabendo-se que Bx =
0, calcular as componentes By e Bz do campo magnético. (1fN = 10 – 15 N). R: By=0 e
Bz=0,75T
13. Um elétron num tubo de TV está se movendo a 7,20 x 10 6 m/s num campo magnético
de intensidade 83,0 mT. (a) Sem conhecermos a direção do campo, quais são o maior
e o menor módulo da força que o elétron pode sentir devido a este campo? (b) Num
certo ponto a aceleração do elétron é 4,90 x 1014 m/s2. Qual o ângulo entre a
velocidade do elétron e o campo magnético? A massa do elétron é 9,11 x 10 -31 kg. R:
a) 0 e 9,44x10-14 N b) 0,27º
14. Um próton que se move num ângulo de 230 em relação a um campo magnético de
intensidade 2,6 mT experimenta uma força magnética de 6,50x10-17 N. Calcular (a) a
velocidade escalar e (b) a energia cinética em elétron - volts do próton. A massa do
próton é 1,67x10-27 kg, 1eV = 1,6x10-19 J. R: a) 4x105 m/s b) 835 eV
15. Campos magnéticos são frequentemente usados para curvar um feixe de elétrons em
experiências físicas. Que campo magnético uniforme, aplicado perpendicularmente a
um feixe de elétrons que se move a 1,3x106 m/s, é necessário para fazer com que os
elétrons percorram uma trajetória circular de raio 0,35 m? R: 2,11x10-5 T
16. (a) Num campo magnético com B = 0,5 T, qual é o raio da trajetória circular
percorrida por um elétron a 10% da velocidade escalar da luz? (c = 300 000 Km/s). (b)
Qual é a sua energia cinética em elétron - volts? R: a) 3,41x10-4 m b) 2,56x103 eV
17. Um elétron com energia cinética de 1,20 keV está circulando num plano perpendicular
a um campo magnético uniforme. O raio da órbita é 25,0 cm. Calcular (a) a velocidade
escalar do elétron, (b) o campo magnético. R: a) 6,49x107 m/s b) 1,48x10-3 T
18. Um feixe de elétrons de energia cinética K emerge de uma “janela” de folha de
alumínio na extgremidade de um acelerador. A uma distância d dessa janela existe
uma placa de metal perpendicular à direção do feixe (figura abaixo). (a) Mostre que é
possível evitar que o feixe atinge a placa aplicando um campo uniforme B tal que:
B
2mK
e2 d 2
Onde me e a massa e a carga do el[étron. (b) Qual deve ser a orientação do campo elétrico
B?
19. O espectrômetro de massa de Bainbridgem, mostrado de forma esquemática na figura
abaixo, separa íons de mesma velocidade e mede a razão q/m desses íons. Depois de
entrar no aparelho através das fendas colimadoras S1 e S2, os íons passam por um
seletor de velocidade composto por um campo elétrico produzido pelas placas
carregadas P e P´ sem serem desviados (ou seja, os que possuem uma velocidade E/B),
entram em uma região onde existe um segundo campo magnético B ' que os faz
descrever um semicírculo. Uma placa fotográfica (ou um detector moderno) registra a posição
final dos íons. Mostre que a razão entre a carga e a massa dos íons é dada por
q / m  E / rBB' , onde r é o raio do semicírculo.
20. Um elétron é acelerado a partir do repouso por uma ddp de 350 V. Ele penetra, a
seguir, num campo magnético uniforme de módulo 200 mT com sua velocidade
perpendicular ao campo. Calcular (a) a velocidade escalar do elétron e (b) o raio de
sua trajetória no campo magnético.
R: a) 1,11 x 107 m/s b) 3,16 x 10-4 m
Força magnética sobre um condutor retilíneo percorrido por uma corrente elétrica
Se há interação entre campo magnético e partículas portadoras de carga elétrica, há
uma interação entre campo magnético e um condutor percorrido por corrente elétrica, pois a
corrente elétrica é constituída pelo movimento de portadores de carga elétrica.
Se um segmento de fio retilíneo, de comprimento L, percorrido por uma corrente i, for
colocado numa região onde existe um campo magnético uniforme B (como está representado
na figura abaixo), sobre este segmento de fio atuará uma força magnética dada por
F  iL  B  F  B i L sen
onde:
F  é a força magnética que atua no fio
L é o comprimento do segmento do fio, sendo que: L  é um vetor de intensidade
L e está dirigido na mesma direção do segmento do fio no sentido (convencional) da
corrente elétrica.
ϕ  é o ângulo entre o campo magnético B e a corrente i ou o vetor L .
Direção da força magnética
A direção (e sentido) da força magnética é a do produto vetorial L x B . Então, a força
magnética é sempre perpendicular ao plano definido pelos vetores L x B , e o sentido de F
pode ser dado pela regra da mão direita ou da mão esquerda.
Observação:
Se o fio não for retilíneo ou o campo magnético não for uniforme, podemos imaginar o
fio repartido em pequenos segmentos retos e calcular a força em cada segmento. A força
sobre o fio como um todo e, então, a soma vetorial de todas as forças que agem sobre os
segmentos que compõem o fio. No limite diferencial, podemos escrever o elemento de força
sobre dL como:
dF  i dL  B
Podemos determinar a força resultante sobre qualquer arranjo fornecido de correntes por
meio da integração de dF sobre este arranjo.
Torque em uma espira percorrida por corrente elétrica.
O princípio de funcionamento dos motores elétricos é baseado no torque produzido por
forças magnéticas. Na figura abaixo temos a representação de uma espira percorrida por uma
corrente elétrica, imersa em um campo magnético. As forças magnéticas produzem um torque
na espira que tende a fazê-la girar em torno de um eixo central.
Uma bobina na presença de um campo magnético uniforme experimente um torque dado
por:
    B , onde  é o momento magnético dado por:   NiA , onde N é o número de espiras
e A é a área da espira (Ver a demonstração desta expressão no livro texto). Usando a definição
de produto vetorial, temos:
   Bsen
  NiABsen
EXERCÍCIO
21. Represente a força magnética que atua sobre cada condutor retilíneo, percorrido por
corrente elétrica e imerso no interior de um campo magnético uniforme, nos casos:
b) 
a)

 B

 B
i
i







c)
d)
22. A figura abaixo mostra uma espira retangular CDEG, situada no plano da folha de
papel, colocada entre os polos de um imã. Observando o sentido da corrente que está
passando na espira responda:
a) Qual é o sentido da força que atua em cada um dos lados GE , ED e DC da espira?
b) Descreva o movimento que a espira tende a adquirir.
23. Um condutor, mesmo transportando uma corrente elétrica, tem carga líquida zero. Por
que, então, um campo magnético exerce força sobre ele?
24. Um condutor reto e horizontal de comprimento L = 0,5m , e massa m = 2,0 .10 - 2 kg ,
percorrido por uma corrente elétrica de intensidade i = 8,0 A , encontra-se em
equilíbrio sob ação exclusiva do campo da gravidade e de um campo magnético
uniforme
B
, conforme mostra a figura abaixo. Determine: R: a) 4,9x 10-2 T; b) para
direita
a) A intensidade do vetor
B
.


B



b) O sentido da corrente i .
25. Um fio de 50 cm de comprimento, situado ao longo do eixo x, é percorrido por uma
corrente de 0,50 A, no sentido positivo dos x. O fio está imerso num campo magnético
dado por
B
= (0,003 T) j + (0,01 T) k. Determine a força magnética sobre o fio. R: (-
2,5x10-3 N) j + (7,5x10-4N) k
26. Um fio reto de 1,8 m de comprimento transporta uma corrente de 13 A e faz um
ângulo de 35
o
com um campo magnético uniforme B = 1,5 T . Calcular o valor da
força magnética sobre o fio . R: 20,13 N
27. Um fio com 13,0 g de massa e L = 62,0 cm de comprimento está suspenso por um par
de contatos flexíveis na presença de um campo magnético uniforme de módulo 0,440
T entrando pelo plano da folha (veja figura abaixo). Determine (a) o valor absoluto e
(b) o sentindo (para direita ou para a esquerda) da corrente necessária para remover a
tensão dos contatos. R:a) 0,47 A; b) a Corrente está para a direita.
28. Considere a possibilidade de um novo projeto para um trem elétrico. O motor é
acionado pela força devido ao componente vertical do campo magnético da Terra
sobre um eixo de condução. Uma corrente passa debaixo de um dos trilhos, através de
uma roda condutora, do eixo, da outra roda condutora e, então, volta à fonte pelo outro
trilho. (a) Que corrente é necessário para fornecer uma força modesta de 10 kN?
Suponha que o componente vertical do campo magnético da Terra seja igual a 10 μT e
que o comprimento do eixo seja 3 m. (b) Quanta potência será dissipada para cada
ohm de resistência nos trilhos? (c) Um trem como este é real. R: a)3,33x108 A; b)
1,11x1017 W; c) não.
Campo magnético gerado por corrente elétrica
Já comentamos que a experiência de Oersterd levou à conclusão de que as cargas
elétricas em movimento (corrente elétrica) criam campo magnético no espaço em torno delas.
Em 1820, Hans Christian Oersted (1777-1851) mostrou que uma bússola sofria deflexão
quando era colocada perto de um fio percorrido por corrente elétrica. Por outro lado era
conhecido que campos magnéticos produzem deflexão em bússola, o que levou Oersted a
concluir que correntes elétricas induzem campos magnéticos. Com isto ele havia encontrado,
então, uma conexão entre eletricidade e o magnetismo.
Iremos, agora, analisar a relação entre o campo magnético e as correntes elétricas que
originaram este campo. Estudaremos os campos magnéticos que são estabelecidos por alguns
tipos particulares de condutores percorridos por uma corrente elétrica.
Devemos lembrar que o campo magnético é uma grandeza vetorial e que este campo
pode ser representado por linhas de campo. Para facilitar a representação do campo magnético
gerado por corrente elétrica podemos usar uma regra da mão direita que relaciona a corrente
elétrica com o campo magnético gerado por esta corrente elétrica. Esta regra prática, muito
usada, nos permite facilmente obter o sentido do campo magnético em torno de um fio.
Dispondo o polegar da mão direita ao longo do fio condutor, no sentido da corrente elétrica, e
os demais dedos envolvendo o condutor, estes dedos nos indicarão o sentido das linhas de
campo magnético. O sentido das linhas de campo em cada pondo nos indica a direção e
sentido do campo magnético neste ponto.
Na figura abaixo temos a representação desta regra da mão direita e das linhas de campo
magnético gerado por um fio reto percorrido por uma corrente elétrica i.
No estudo do campo elétrico usamos duas leis para determinar este campo, a lei de
Coulomb e a lei de Gauss. De modo semelhante vamos usar duas leis para estudar o campo
magnético gerado por corrente elétrica, a lei de Biot - Savart e a lei de Ampère.
Lei de Biot – Savart
O campo magnético criado por um condutor transportando uma corrente elétrica pode
ser encontrado pela lei de Biot – Savart. Para determinarmos o campo magnético gerado por
um fio de forma arbitrária podemos dividir mentalmente o fio em elementos infinitesimais ds
e definir para cada elemento um vetor comprimento
ds. Se definirmos um elemento de corrente i
contribuição
dB
ds
ds ,
de módulo ds e sentido da corrente em
a lei de Biot – Savart assegura que a
do campo magnético, devido ao elemento de corrente i
ds ,
num ponto P , a
uma distância r do elemento de corrente, é dado por:
dB 
0i d s  r
4 r 3
Podemos calcular o campo resultante B no ponto P somando, por meio de integração,
as contribuições dB de todos os elementos de corrente.
Na expressão acima, o é uma constante chamada de permeabilidade do vácuo, cujo
valor é: o =4  x10-7T.m/A.
Campo Magnético no centro de uma espira circular
O campo magnético no centro de uma espira circular, percorrida por uma corrente
elétrica i, é diretamente proporcional à corrente elétrica e inversamente proporcional ao raio
da espira.
B
i
2r
onde:
r  é o raio da espira
Direção e sentido de B

A direção do campo magnético é normal ao plano da espira.

O sentido de B pode ser dado pela regra da mão direita.
Podemos usar a lei de Biot - Savart para demonstrar a expressão usada para o cálculo do
campo magnético no centro de uma espira circular de raio r, percorrida por uma corrente i.
Partindo da Lei de Biot-Savart, temos:
dB 
o ids  r
o idsrsen90o o ids

dB


4 r 3
4
r3
4 r 2
int egrando :
o ids
 dB   4
i
B o 2
4 r
B  o
2 r
i
2r
r2
o i
 ds  4 r
0
2
2 r
LEI DE AMPÈRE
Podemos determinar o campo magnético resultante devido a qualquer distribuição de
correntes com a lei de Biot-Savart, mas se a distribuição for complicada, podemos ter que usar
um computador para o cálculo. Entretanto se a distribuição apresentar determinada simetria é
possível que possamos aplicar a lei de Ampère para determinar o campo magnético com um
esforço consideravelmente menor (de modo semelhante ao uso da lei de Gauss para calcular o
campo elétrico).
A lei de Ampére pode ser enunciada da seguinte maneira: A integral de linha do
campo magnético B em torno de qualquer trajetória fechada é igual a  0 vezes a corrente
líquida que atravessa a área limitada pela trajetória. Ou seja, para uma curva amperiana (curva
fechada), temos que:
 B.ds   i
0
A integral de linha nesta equação é calculada ao redor da curva amperiana, e i é a
corrente líquida englobada pela curva amperiana.
Não precisamos saber o sentido de B antes de fazer estão integração. Supomos
arbitrariamente B como estando geralmente no mesmo sentido da integração e usamos a
seguinte regra da mão direita para atribuir o sinal de cada uma das correntes envolvida pela
curva amperiana: curve a sua mão direita ao redor da curva amperiana, com os seus dedos
apontados no sentido de integração. A uma corrente que atravessa a curva, no sentido do seu
dedo polegar estendido se atribui um sinal positivo e a uma corrente no sentido contrário se
atribui um sinal negativo.
Campo magnético devido a uma corrente em um fio reto e longo
A intensidade do campo magnético a uma distância d de um fio reto e longo
transportando uma corrente i é diretamente proporcional à corrente elétrica i e inversamente
proporcional à distância d. Esta relação é dada por
B
i
2 d
onde:
B  é a intensidade do campo magnético
 é a permeabilidade magnética do meio
d  é a distância do ponto até o condutor
As linhas de campo de B formam círculos concêntricos ao redor do fio, como está
representado na figura abaixo.
Podemos usar a lei de Ampère para demonstrar a expressão usada para o cálculo do
campo magnético gerado por uma corrente i, a uma distância r de um fio reto e longo.
Usando a lei de Ampère
 B.ds   i
 Bds cos 0   i
B  ds   i  B 2 r   i
o
o
o
o
o
Com isso temos que o módulo do campo magnético em um fio retilíneo longo é dado por:
B
o i
2 r
Vamos usar a lei de Ampère para estudar o campo magnético no interior de um fio longo
retilíneo percorrido por corrente elétrica distribuída uniformemente na seção reta do fio.
 B.ds  
int erior
o
io
B 2 r  oio
oio
2 r
B
.
Como a corrente está uniformemente distribuída na seção reta do fio, a densidade de corrente
tem o mesmo valor para a área no interior da curva amperiana e em toda a área do fio:
J  Jo 
io 
i
i
i io
 o 
A Ao
 R2  r 2
ir 2
R2
Substituindo, temos:
o i
 ir 2
 o . 2
2 r 2 r R
oir 

 B  2 R 2 


B
Observe que no interior do fio o campo magnético é proporcional a r; o campo é nulo centro
do fio e máximo na superfície, onde r = R.
Campo magnético de um solenóide
Denomina-se por solenoide um fio condutor enrolado em uma helicoidal com voltas de
espaçamento muito próximo, ou seja, uma bobina helicoidal formada por espiras circulares
muito próximas. Ele é considerado um solenoide ideal quando for infinitamente grande, com
isto queremos dizer que ele é formado por um número muito grande de espiras. Se uma
corrente percorre o solenoide ela induz campos magnéticos em seu entorno.
Se o solenoide é considerado infinito (solenoide ideal) não teremos efeitos de bordas, portanto
só existirão campos magnéticos no seu interior. Então, quanto mais longo for o solenoide
mais uniforme é o campo magnético no seu interior e mais fraco é o campo magnético no seu
exterior. Deste modo, o vetor campo magnético (ou indução magnética) B em qualquer ponto
no interior de um solenoide ideal é o mesmo, ou seja, ele é uniforme. Este campo magnético
tem as seguintes características:
- O vetor B , no interior do solenoide é paralelo ao seu eixo central.
- O sentido de B pode ser dado pela regra da mão direita.
- O campo magnético no solenoide é equivalente ao campo criado por imãs, com polos Norte
e Sul.
- O campo magnético no interior do solenoide é uniforme e diretamente proporcional à
intensidade da corrente nas espiras e ao número de espiras por unidade de comprimento do
solenoide.
B  0in
onde:
n  é o número de espiras por unidade de comprimento.
Podemos usar a lei de Ampère para demonstrar e expressão do campo magnético no
interior de um solenoide.
 B.ds   i
o env
b
c
d
a
a
b
c
d
 0 B  0
 0 B  ds
 B.ds   B.ds   B.ds   B.ds
 0  B  ds
 oienv
b
 B.ds   i
o env
a
Bh  oienv
Bh  oinh
 B  oin 
A importâcia de estudarmos modêlos ideais, se justifica na aproximação destes modêlos
ideais com modêlos reais. Em pontos bem afastados das extremidades de um solenóide real
(quando o comprimento deste solenóide for muito maior do que o seu diâmetro) podemos
aplicar as mesmas propriedades de um solenóide ideal.
Um solenóide fornece uma forma prática de se criar um campo magnético uniforme
conhecido, da mesma forma que um capacitor de placas paralelas fornece uma forma prática
de criar um campo elétrico uniforme conhecido. Estes campos têm importantes aplicações
para experimentos.
Campo Magnético de um Toróide
O toróide pode ser considerado como um solenóide que foi encurvado em forma de
um círculo, assumindo a forma da câmara de ar de um pneu.
O módulo do campo magnético B criado em seus pontos interiores (dentro do tubo
em forma de pneu) é dado por B 
0iN
.
2 r
Onde:
i  é a corrente nos enrolamentos do toróide
N  é o número total de voltas
r  é a distância do ponto até o centro do toróide
O campo magnético no interior de um toróide ou de um solenóide pode ser dado por
outra regra da mão direita: envolva o toróide (ou solenóide) com os quatro dedos da mão
direita, curvados no sentido da corrente nos enrolamentos; o seu dedo polegar estendido
aponta no sentido do campo magnético.
O campo magnético é nulo em pontos no exterior de um toróide ideal (como se o
toróide fosse feito de um solenóide ideal).
Força magnética entre dois fios retos e paralelos percorridos por correntes elétricas
Dois fios longos e paralelos, percorridos por correntes elétricas, exercem forças um sobre
o outro. Considere dois fios percorridos pelas correntes ia e ib, separados por uma distância d.
A força que o fio percorrido por ia exerce sobre o comprimento L do outro é dado por
Fb  ib LBa
O campo magnético criado por este fio, a uma distância d (posição do outro fio), é igual a:
Ba 
oia
2 d
Substituindo esta equação na equação da força temos que,
Fb  ib LBa  ib L
oia
2 d
o Lia ib 

 F  2 d 


Representando as forças que atuam em cada fio, quando as correntes forem de sentidos
opostos ou de mesmo sentido, podemos verificar que: Quando as correntes forem no mesmo
sentindo os fios irão se atrair. Caso as correntes tenham sentidos opostos os fios irão se
repelir.
EXERCÍCIO
29. Topógrafo está usando uma bússola a 6m abaixo de uma linha de transmissão na qual
existe uma corrente constante de 100 A. (a) Qual é o valor do campo magnético no
local da bússola em virtude da linha de transmissão? (b) Isso irá interferir seriamente
na leitura da bússola? O componente horizontal do campo magnético da Terra no local
é de 20 μT. R:a) 3,33x10-6T; b)sim.
30. Um fio retilíneo longo transporta uma corrente de 50 A horizontalmente para a direita.
Um elétron está se movendo a uma velocidade de 1,0 × 10 7 m/s ao passar a 5 cm deste
fio. Que força atuará sobre o elétron se a sua velocidade estiver orientada (a)
verticalmente para cima e (b) horizontalmente para a direita?
31. Na figura abaixo estão representados dois fios retos e longos, percorridos pelas
correntes elétricas i1 e i2. Considerando o meio, o vácuo, determine o módulo, a
direção e o sentido do campo magnético resultante no ponto P. R: 1,0x10-5 T 
i1 = 3A
i2 = 4A
P
2 cm 4 cm
32. Duas espiras circulares, concêntricas e coplanares, de raios R1 = 6 cm e R2 = 24 cm
são percorridas por correntes elétricas i1 e i2 respectivamente. R: a) i2 = 4i ; b) antihorário
a) Determine a relação entre i1 e i2, sabendo-se que o campo magnético resultante no
centro das espiras é nulo.
b) Se i1 tem sentido horário, qual o sentido de i2.
33. Duas bobinas (solenoides 1 e 2), cada uma com 100 espiras e cujos comprimentos são
L1 = 20cm e L2 = 40cm, são ligadas em série aos polos de uma bateria. R: a) igual ; b)
maior c) B2 = 3x10-3 T
a) A corrente que passa na bobina (1) é maior, menor ou igual àquela que passa na
bobina (2)?
b) O campo magnético B1 no interior da bobina (1), é maior, menor ou igual ao campo
magnético B2 no interior da bobina (2)?
c) Sabendo-se que B1 = 6,0 . 10- 3 T, qual é o valor de B2?
34. Módulo do campo magnético a 88,0 cm do eixo de um fio retilíneo longo é 7,3 T .
Calcule o valor da corrente que passa no fio. R: 32,12 A
35. Um fio retilíneo longo transportando uma corrente de 100 A é colocado num campo
magnético externo uniforme de 5,0 mT como está representado na figura abaixo.
Localize os pontos onde o campo magnético resultante é zero. R: nos pontos sobre
uma reta a 4 . 10-3 m abaixo do fio.
36. Dois fios longos e paralelos estão separados uma distância de 8,0 cm. Que correntes
de mesma intensidade devem passar pelos fios para que o campo magnético a meia
distância entre eles tenha módulo igual a 300 μT? R: 30A em sentidos opostos
37. Dois fios, retilíneos e longos, separados por 0,75 cm estão perpendiculares ao plano da
página, como mostra a figura abaixo. O fio 1 transporta uma corrente de 6,5 A para
dentro da página. Qual deve ser a corrente (intensidade e sentido) no fio 2 para que o
campo magnético resultante no ponto P seja zero? R: 4,33 A p/ fora da página.
38. Dois fios longos e paralelos, separados por uma distância d, transportam correntes i e
3i no mesmo sentido. Localize o ponto ou os pontos em que seus campos magnéticos
se cancelam.
R: nos pontos sobre uma reta, entre os fios, a uma distância d/4 do fio que
transporta a corrente i.
39. Na figura abaixo dois arcos de circunferência têm raios R2 = 7,80 cm e R1 = 3,15 cm,
submetem um ãngulo θ = 180o, conduzem uma corrente i = 0,281 A e têm o mesmo
centro de curvatura C. determine (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora
do papel) do campo magnético no ponto C
40. Na figura abaixo, um fio é formado por uma semicircunferência de raio R = 9,26 cm e
dois segmentos retilíneos (radiais) de comprimento L = 13,12 cm cada um. A corrente
no fio é i = 34,8 mA. Determine (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora
do papel) do campo magnético no centro de curvatura C da semicircunferência.
41. Na figura abaixo um fio retilíneo longo conduz uma corrente i1 = 30,0 A e uma espira
retangular conduz uma corrente i2 = 20,0 A. Suponha que a = 1,00 cm e b = 8,00 cm
e L = 30,0 cm. Em ermos dos vetores unitários, qual é a força a que está submetida a
espira? R :  3, 2 x103 N  ˆj
42. Os oito fio da figura abaixo conduzem correntes iguais de 2,0 A para dentro ou para
fora do papel. Duas curvas estão indicadas para a integral de linha
o valor da integral (a) para a curva 1; (b) para a curva 2. R : a)2o b)0
 B  d s . Determine
43. A figura abaixo mostra um seção reta de um fio cilíndrico longo de raio a = 2,00 cm
que conduz uma corrente uniforme de 170 A. determine o módulo do campo
magnético produzido pela corrente a uma distância do eixo do fio igual a (a) 0; (b)
1,00 cm; (c) 2,00 cm (superfície do fio); (d) 4,00 cm.
44. A figura abaixo mostra uma seção reta de um condutor cilíndrico oco de raios a e b
que conduz uma corrente i uniformemente distribuída. (a) mostre que, no intervalo b <
r < a, o módulo B(r) do campo elétrico a uma distância r do eixo central do condutor é
o i
r 2  b2
dado por B 
. (b) mostre que, para r = a, a equação do item (a)
2  a 2  b 2  r
fornece o módulo B do campo magnético na superfície do condutor; para r = b, o
campo magnético é zero; para b= 0, a equação fornece o módulo do campo magnético
no interior de um condutor cilíndrico maciço de rio a.
FORÇA ELETROMOTRIZ INDUZIDA
Desde que Oersted, em 1820, descobriu que uma corrente elétrica gera um campo
magnético, a simetria das relações entre o magnetismo e a eletricidade levou os físicos a
acreditar na proposição inversa: se a corrente elétrica num condutor gera um campo
magnético então um campo magnético deve gerar uma corrente elétrica. A questão era saber
como isso poderia ser feito, o que acabou sendo descoberto por Faraday, em 1831.
A produção de corrente elétrica por campo magnético é chamada de indução
eletromagnética e a corrente elétrica de corrente induzida.
No exercício abaixo, temos uma maneira bem simples de gerar uma força eletromotriz
e uma corrente induzida.
EXERCÍCIO
45. Considere uma barra metálica C D deslocando-se com velocidade
v
, dentro de um
campo magnético B, como mostra a figura abaixo:
a. Qual é o sentido da força magnética que atua nos elétrons livres da barra?
b. Então, diga qual das extremidades da barra ficará eletrizada positivamente e
qual ficará eletrizada negativamente?
c. Ligando-se C e D por um fio condutor, como mostra a figura abaixo,
represente o sentido da corrente induzida neste fio.
D
B
v
F
C
R:
a) C para D
b) C positiva e D negativa
c) CFD
46. No exercício anterior, suponha que fosse interrompido o movimento da barra CD. A
separação das cargas na barra permaneceria? Explique. R: não, a força magnética
seria nula
Fluxo do campo magnético
Para entender o Fenômeno da Indução eletromagnética é necessário introduzir o
conceito de fluxo de campo magnético. Semelhante ao conceito de fluxo do campo elétrico
(estudado na lei de Gauss), o fluxo do campo magnético está relacionado ao número de linhas
de campo magnético que atravessam determinada superfície.
Na Figura abaixo está representada uma espira retangular envolvendo uma área A,
colocada em uma região onde existe um campo magnético B . O fluxo magnético através
desta espira é
B   B.dA
Como no estudo do fluxo do campo elétrico, o vetor dA é perpendicular a uma área
diferencial dA .
dA
B

A unidade de fluxo magnético, no SI é o tesla-metro quadrado, que é chamado e weber
(abreviado por Wb)
1 weber = 1wb = 1T.m2
Para o caso particular onde o campo B tem o mesmo módulo por toda uma superfície
de área A e que o ângulo  seja constante, temos que:
B  B A cos
onde:
B
- é o fluxo magnético através da superfície de área A
 - é o ângulo entre dA (normal à superfície) e B (campo magnético uniforme)
Lei de Faraday da Indução Eletromagnética
Quando ocorrer uma variação do fluxo magnético através de uma espira condutora,
aparece nesta espira uma força eletromotriz induzida. A intensidade desta fem é igual à taxa
de variação do fluxo magnético através dessa espira.

d  B
dt
Para uma taxa de variação constante no fluxo (  constante), temos que:   
B
t
Se variarmos o fluxo magnético através de uma bobina de N voltas, enroladas de
forma compacta de modo que o mesmo fluxo magnético  B atravesse todas as voltas, a fem
total induzida na bobina é:
 
NdB
dt
Apresentamos a seguir algumas maneiras, por meio das quais podemos variar o fluxo
magnético que atravessa uma bobina.
1. Variando a intensidade B do campo magnético no interior da bobina.
2. Variando a área da bobina, ou a porção dessa área que esteja dentro de uma região onde
existe campo magnético (por exemplo, deslocando a bobina para dentro ou para fora do
campo).
3. Variando o ângulo  entre B e dA (por exemplo, girando a bobina de modo que o
campo B esteja primeiramente perpendicular ao plano da bobina e depois esteja paralelo
a esse plano).
No esquema representado na figura abaixo, quando o imã em forma de barra se
aproximar ou se afastar da espira, o fluxo magnético através da espira sofre uma variação
e, portanto aparece uma corrente induzida na espira. No entanto, se o imã permanecer em
repouso em relação à espira, não haverá variação no fluxo magnético e, portanto não
teremos corrente induzida na espira.
LEI DE LENZ
O sinal negativo na lei de Faraday indica que a força eletromotriz se opõe à variação do
fluxo magnético. Este sinal é frequentemente omitido, pois geralmente esta lei é usada para se
obter o módulo da força eletromotriz induzida. Para determinar o sentido da corrente induzida
podemos usar uma regra proposta por Heinrich Friedrich Lenz, a qual é conhecida como lei
de Lenz. A lei de Lenz pode ser enunciada da seguinte maneira:
A corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o campo magnético
produzido por esta corrente se opõe à variação do fluxo magnético através da espira.
Exemplo:
Vamos usar o caso em que uma espira retangular passa por uma região onde existe um
campo magnético uniforme para aplicar a lei de Lenz. Considerando que na região limitada
pelo retângulo tracejado tenha um campo uniforme B , e que fora desta região não tenha
campo magnético, represente o sentido da corrente induzida, na espira, em cada caso, ou seja,
quando a espira penetra no campo magnético, quando ela está completamente imersa neste
campo e quando ela está saindo da região onde existe o campo magnético:
B
R
B
B
v
EXERCÍCIO
47. Qual é o sentido da corrente induzida no amperímetro da bobina Y representada na
figura abaixo (a) quando a bobina Y é movida na direção da bobina X e (b) quando a
corrente na bobina X é diminuída, sem qualquer alteração na posição relativa das
bobinas? R: a) esquerda b) direita
AMPERÍMETRO
48. Um ímã, polo norte voltado para um anel de cobre, é afastado do anel como mostra a
figura abaixo. Na parte do anel mais afastada do leitor, em que sentido aponta a
corrente? R: Direita
49. Uma espira circular é deslocada com velocidade constante através de regiões onde
campos magnéticos uniformes de módulos iguais estão orientados para fora ou para
dentro da página, como mostra a figura abaixo. Para quais das sete posições mostradas
a corrente induzida será (a) horária, (b) anti-horária e (c) zero? R: a) 2 e 6 b) 4 c) 1,3,5
e7
50. A resistência R no lado esquerdo do circuito da figura abaixo está sendo aumentada
numa taxa constante. Qual é o sentido da corrente induzida na espira do lado direito do
circuito? R: Horário
51. Considere uma barra metálica CD deslocando-se com velocidade constante
região onde existe um campo magnético uniforme
B.
v
, numa
A barra desloca-se apoiando em
dois trilhos, também metálicos, separados de uma distância L, como mostra a figura
abaixo. Usando a lei de Faraday, mostre que o valor da fem induzida na barra é dado
por:  = L B v.
C
 B
v
L
D
52. Na figura abaixo o segmento retilíneo de fio está se movendo para a direita com
velocidade constante
v
. Uma corrente induzida aparece no sentido mostrado. Qual
deve ser o sentido do campo magnético uniforme (suposto constante e perpendicular à
página) na região A? R: entrando na página
53. Uma antena circular de televisão para UHF (frequência ultra-elevada) tem um
diâmetro de 11 cm. O campo magnético de um sinal de TV é normal ao plano da
antena e, num dado instante, seu módulo está variando na taxa de 0,16 T/s. O campo é
uniforme. Qual é a fem na antena? R: 1,5x10-3 V
54. O fluxo magnético através da espira mostrada na figura abaixo cresce com o tempo de
acordo com a relação
 B  6,0t 2  7,0t ,
onde  B é dado em miliwebers e t em segundos. (a) Qual é o módulo da fem induzida
na espira quando t = 2,0s? (b) Qual é o sentido da corrente em R? R: a) 31mV ; b)
esquerda
55. A figura abaixo mostra uma barra condutora de comprimento L sendo puxada ao
longo de trilhos condutores horizontais, sem atrito, com um velocidade constante
Um campo magnético vertical e uniforme
B,
v
.
preenche a região onde a barra se move.
Suponha que L = 10 cm, v = 5,0 m/s e B = 1,2 T (a) Qual é a fem induzida na barra?
(b) Qual é a corrente na espira condutora? Considere que a resistência da barra seja
0,40  e que a resistência dos trilhos seja desprezível. (c) Com que taxa a energia
térmica está sendo gerada na barra? (d) Que força um agente externo deve exercer
sobre a barra para manter seu movimento? (e) Com que taxa este agente externo
realiza trabalho sobre a barra? Compare esta resposta com a do item (c). R: a) 0,6V; b)
1,5ª; c) 0,9W; d) 0,18N; e) 0,9W
56. Uma barra metálica está se movendo com velocidade constante ao longo de dois
trilhos metálicos paralelos, ligados por tira metálica numa das extremidades, como
mostra a figura do exercício 55. Um campo magnético
B=
0,350T aponta para fora da
página. (a) Sabendo-se que os trilhos estão separados em 25,0 cm e a velocidade
escalar da barra é 55,0 cm/s, que fem é gerada? (b) sabendo-se que a resistência
elétrica da barra vale 18,0 e que a resistência dos trilhos é desprezível, qual é a
corrente na barra? R: a) 4,8x10-2 V b) 2,67 x 10-3 A
INDUTORES
Assim como os capacitores podem ser usados para produzir um campo elétrico
numa determinada região os indutores podem ser usados para produzir um campo
magnético. O tipo mais simples de indutor é um solenoide longo.
Um indutor pode ser representado pelo símbolo da figura abaixo.
Indutância
Quando uma corrente i percorre as N espiras de um indutor (por exemplo, um
solenóide), um fluxo magnético  é produzido, pela corrente elétrica, no interior do
indutor. A indutância L do indutor é dada por:
L
N
i
Unidade de indutância no SI .
1 T m2 / A = 1 henry (H)
Indutância de solenóide
A indutância L por unidade de comprimento l, na região central, de um
solenóide longo, de seção transversal de área A e com n espiras por unidade de
comprimento, é dada por (ver demonstração no livro texto):
L
 0 n 2 A
1
Observações:

Para um solenóide de comprimento muito maior do que o seu raio, a equação
acima fornece a sua indutância com uma boa aproximação.

Assim como a capacitância de um capacitor a indutância de um indutor depende
apenas das características (forma geométrica) deste dispositivo.
EXERCÍCIOS
57. Mostre que a indutância por unidade de comprimento próximo a região central
de um solenóide longo é dada por:
L
 0 n 2 A
l
Auto indução
Quando houver uma variação do fluxo magnético em um circuito, mesmo uma
variação do fluxo magnético produzido pela corrente fluindo no próprio circuito, será
induzido uma força eletromotriz no circuito. As forças eletromotrizes geradas por
correntes do próprio circuito são chamadas de força eletromotriz auto-induzidas. Então
uma fem auto-induzida  L aparece numa bobina quando a corrente nesta bobina estiver
variando.
Aplicando a lei da indução de Faraday podemos encontrar a relação entre está
fem auto-induzida e a taxa de variação da corrente elétrica.
L
L 
onde:
N
 N  iL
i
 d ( N )
(di )
  L  L
dt
dt
(di )
é a taxa de variação da corrente elétrica com o tempo .
dt
Observação: O sentido da fem auto-induzida pode ser encontrado usando a lei de Lenz.
Esta fem atua num sentido tal que ela se opõe à variação do fluxo magnético que a
produz.
O sentido de um campo elétrico auto-induzido (não eletrostático) pode ser
encontrado pela lei de Lenz. Considerando-se a “fonte” deste campo e, portanto, a fem a
ele associado, como a corrente variável no condutor. Se a corrente estiver aumentando,
o sentido do campo induzido será oposto ao desta corrente. Se a corrente diminui, o
campo induzido terá o mesmo sentido da corrente. Então, o campo induzido se opõe à
variação da corrente e não a corrente em si.
EXERCÍCIOS
58. A indutância de uma bobina compacta de 400 espiras vale 8,0 mH. Calcule o
fluxo magnético através da bobina quando a corrente é de 5,0 mA. R : 1x10
–7
Wb
59. Um solenóide é enrolado com uma única camada de fio de cobre isolado
(diâmetro = 2,5 mm). O solenóide tem 4,0 cm de diâmetro, um comprimento de
2,0 m e 800 espiras. Qual é a indutância por metro de comprimento, na região
central do solenóide? Suponha que as espiras adjacentes se toquem e que a
espessura do isolamento seja desprezível.R : 2,52x10 – 4 H / m.
60. Num dado instante, a corrente e a fem induzida num indutor têm os sentidos
indicados na Fig.01. (a) A corrente está crescendo ou decrescendo? (b) A fem
vale 17 V e a taxa de variação da corrente é 25 kA/s; qual é o valor da
indutância? R: a) decrescente ; b) 6,8x10 – 4 H
E
i
61. Indutores em Série. Dois indutores L1 e L2 estão ligados em série e separados
por uma distância grande. (a) Mostre que a indutância equivalente é dada por
Leq = L1 + L2
(b) porque a separação entre os indutores tem de ser grande para que a relação
acima seja válida? (c) Qual é a generalização do item (a) para N indutores em
série? R: b) para que um não induza corrente no outro.
62. Indutores em paralelo. Dois indutores L1 e L2 estão ligados em paralelo e
separados por uma distância grande. (a) Mostre que a indutância equivalente é
dada por
1
1 1
 
Leq L1 L2
(b) Por que a separação entre os indutores tem de ser grande para que a relação
acima seja válida? (c) Qual é a generalização do item (a) para N indutores em
paralelo?
63. Um solenóide cilíndrico longo com 100 espiras/cm tem um raio de 1,6 cm.
Suponha que o campo magnético que ele produz seja paralelo ao eixo do
solenóide e uniforme em seu interior. (a) Qual é a sua indutância por metro de
comprimento? (b) Se a corrente variar a um taxa de 13 A/s, qual será a fem
induzida por metro? R: a) 0,1 H/m ; b) 1,3 V/m.
Circuitos RL (Resistor – indutor)
No estudo do circuito RC (resistor capacitor), vimos que se introduzirmos
subitamente uma fem  em um circuito contendo um resistor R e um capacitor C, a
carga sobre o capacitor não aumenta imediatamente até o seu valor final de equilíbrio C
 , mas dele se aproxima de forma exponencial. E quando removermos a fem deste
mesmo circuito, a carga não cai imediatamente para zero, mas se aproxima de zero de
forma exponencial.
Um atraso semelhante ocorre no crescimento (ou na queda) da corrente se
introduzirmos (ou removermos) uma fem  em um circuito de malha simples contendo
um resistor R e um indutor L (circuito RL).
Todo indutor tem necessariamente uma resistência. Para distinguir entre os
efeitos da resistência e da indutância, é comum representar um indutor como um indutor
ideal sem resistência, em série com um resistor não-indutivo. O mesmo diagrama
também pode representar um resistor em série com um indutor, sendo R, agora, a
resistência total da combinação, como está representado na figura a seguir.
Suponha que a chave ch no circuito, representado na figura acima, seja
subitamente fechada na posição a. Por causa da fem auto-induzida E L   Ldi / dt , a
corrente não cresce imediatamente até seu valor final, no instante em que o circuito é
fechado, mas cresce numa taxa que depende da indutância e da resistência do circuito.
Aplicando a lei das malhas, de kirchhoff, podemos escrever para este circuito:
E  iR  L
di
0
dt
Esta é uma equação diferencial que pode determinar a corrente i no circuito
como uma função do tempo. A solução para esta equação diferencial é:
i
E
(1  et / L )
R
Onde:
L = L / R (é a constante de tempo indutiva)
Substituindo t = 0 na equação acima temos i0 = 0, o que indica que a corrente é
inicialmente nula. Para um longo tempo após a chave ter sido fechada (t  )
podemos verificar que a corrente tende ao seu valor de equilíbrio i 
E
.
R
Agora, suponha que após a corrente ter atingido o seu valor final ( i 
chave ch seja ligada na posição b.
E
) a
R
Aplicando a lei das malhas e este novo circuito teremos outra equação
diferencial:
L
di
 iR  0
dt
Cuja solução é:
i

R
et / L
De acordo com a equação anterior a corrente decai de um valor inicial
i0 
E
(em t  0) , para um valor final nulo (t  ) .
R
Devemos observar que inicialmente, um indutor atua se opondo a variações na
corrente que passa por ele. Muito tempo depois, ele atua como um fio de ligação
comum.
EXERCÍCIOS
64. Esboce o gráfico i  t, para os dois casos do circuito RL citados anteriormente,
corrente aumentando e diminuindo com o tempo.
65. Um solenóide de indutância igual a 6,30 H está ligado em série a um resistor
de 1,20 K. (a) Ligando-se uma bateria de 14 V a esse par, quanto tempo levará
para que a corrente através do resistor atinja 80,0% de seu valor final? (b) Qual é
a corrente através do resistor no instante t =1,0 L? R: a) 8,85x10 –9 s ; b) 7,37 x
10 –3 A.
66. Quanto tempo, após a remoção da bateria, a diferença de potencial através do
resistor num circuito RL (com L = 2,00 H, R = 3,00 ) decai a 10,0% de seu
valor inicial? R : 1,53 s
67. Um solenóide tem uma indutância de 53 mH e uma resistência de 0,37  .
Sendo ligado a uma bateria, em quanto tempo a corrente atingirá metade do seu
valor final de equilíbrio? R : 9,93x10-2 s.
Indução Mútua
Quando duas bobinas estão próximas uma da outra, uma corrente variando numa
das bobinas pode induzir uma fem na outra. A fem induzida neste fenômeno, de indução
mútua é dada por:
E 1  M
di2
dt
e
E 2  M
di1
dt
Onde: M é o coeficiente de indutância mútua do conjunto das duas
bobinas. A unidade de M, é a mesma de L.
Assim, vemos que a fem induzida em qualquer uma das bobinas é proporcional à
taxa de variação da corrente na outra bobina.
Energia Armazenada num Campo magnético
Os indutores podem armazenar energia, em seus campos magnéticos, assim
como os capacitores armazenam energia em seus campos elétricos.
A energia total armazenada por um indutor de indutância L transportando uma
corrente elétrica i, é dada por (ver demonstração no livro texto):
Li 2
UB 
2
EXERCÍCIOS
68. Duas bobinas estão em posições fixas. Quando na bobina 1 não há corrente e na
bobina 2 existe uma corrente que cresce numa taxa constante de 15 A/s, a fem da
bobina vale 25 mv. Determinar a indutância mútua destas bobinas. R: 1,67x10-3
H.
69. A energia armazenada num certo indutor é de 25 mJ quando a corrente é 60 mA.
(a) Calcular a indutância deste indutor. (b) Que corrente é necessária para a
energia magnética armazenada ser quatro vezes maior? R: a) 13,89 H ; b)120
mA
70. Uma bobina tem uma indutância de 53 mH e uma resistência de 0,35  .
a) Aplicando-se uma fem de 12 V através da bobina, qual é a energia
armazenada no campo magnético após a corrente atingir o seu valor de
equilíbrio ?
b) Depois de quantas constantes de tempo , metade desta energia de equilíbrio
estará armazenada no campo magnético ? R: a) 31 J ; b) 1,2 L.
Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada
Circuito LC (Indutor-Capacitor)
Neste momento, estudaremos como a carga q varia com o tempo num circuito
constituído de um indutor L, um capacitor C e um resistor R. Discutiremos como a
energia é transferida do campo elétrico do capacitor para o campo magnético do indutor
e vice-versa, sendo dissipada gradualmente — no decorrer das oscilações — sob a
forma de energia térmica no resistor. Para começar vamos tratar de um caso mais
simples, um circuito contendo apenas um indutor e um capacitor, onde desprezaremos a
resistência do condutor. Portanto, não há dissipação de energia.
Estudamos os circuitos RC e RL, onde verificamos que a carga e a corrente
elétrica crescem e decaem exponencialmente. Quando ligamos um capacitor carregado,
a um indutor sem resistência (circuito LC) a carga e a corrente elétrica, não variam
exponencialmente, mas variam sonoidalmente com o tempo. No instante em que é feita
a ligação, o capacitor começa a se descarregar através do indutor, a energia armazenada
no campo elétrico do capacitor é transferida para o campo magnético no indutor.
Num instante posterior, o capacitor estará completamente descarregado e toda
energia estará armazenada no campo magnético do indutor. O campo magnético está
então com a sua intensidade máxima, e a corrente através do indutor terá seu valor
máximo. Esse campo magnético agora decresce transferindo energia do indutor para o
capacitor, sendo que a corrente diminui gradualmente durante está transferência de
energia. Quando, finalmente, a energia se transferiu totalmente de volta para o
capacitor, a corrente se reduz a zero (momentaneamente) e o capacitor estará carregado
com polaridade invertida.
O processo agora se repete no sentido oposto e na ausência de perdas de energia,
as cargas no capacitor movimentar-se-ão num sentido e noutro indefinidamente. Este
processo é chamado de oscilações eletromagnéticas.
Do ponto de vista de energia, oscilações de um circuito LC, consiste numa
transferência de energia do campo elétrico para o magnético e vise-versa, de modo que
a energia total permaneça constante.
Isto é análogo à transferência de energia num sistema mecânico oscilante
(massa-mola), transferindo energia cinética em potencial e vice-versa.
UE
C
L
UB
Num circuito LC oscilante (sem resistência), como está representado na figura
acima as energias armazenadas no campo elétrico do capacitor UE
e no campo
magnético do indutor UB , são dadas por :
UE 
q2
Li 2
e UB 
2C
2
Onde: U = UE + UB é a energia total.
Usando a condição de que a energia total permanece constante, podemos
encontrar a equação diferencial que descreve as oscilações de um circuito LC sem
resistências.
d 2q 1

q0
dt 2 LC
Cuja solução geral é:
equação como
q  qm cos t   
onde:
qm é a amplitude da carga
  é a constante de fase
  é a frequência angular das oscilações
A constante de fase  é determinada pelas condições existentes em um
determinado instante, e a frequência angular é dada por:
1
LC
  2 f 
Oscilações da energia elétrica e magnética num circuito LC.
A energia elétrica armazenada no circuito LC é:
1 q 2 qm2
UE 

cos 2 t   
2 C 2C
E a energia magnética é
1 2 qm2
U B  Li 
s en 2 t   
2
2C
Somando a energia elétrica e a energia magnética, obtemos a energia total do circuito
LC:
U
qm2
cos 2 t     s en 2 t    
2C 
1
U
2
m
q
2C
OSCILAÇÕES AMORTECIDAS NUM CIRCUITO RLC
Num circuito LC real, as oscilações não continuam indefinidamente porque
sempre existe alguma resistência presente, dissipando energia dos campos elétrico e
magnético. É possível sustentar as oscilações eletromagnéticas providenciando um meio
de fornecer, periodicamente, de uma fonte externa, energia capaz de compensar a
dissipada como energia térmica. Ver estudo mais aprofundado no livro texto.
OSCILAÇÕES FORÇADAS E RESSONÂNCIA
Considere um circuito LC amortecido contendo uma resistência R. Se o amortecimento é
pequeno, o circuito oscila com uma frequência ω = (LC)−1/2, que é chamada de frequência
natural do sistema.
Suponha agora que uma fem (  ) variável no tempo é aplicada ao circuito dada por
   m cos  ''t através da utilização de um gerador externo. Nesta equação, ω′′ é a frequência
da fonte externa. Dizemos neste caso que o sistema executa oscilações forçadas.
“Qualquer que seja a frequência natural do circuito, as oscilações da carga, corrente ou da
diferença de potencial no circuito ocorrerão com a frequência da fonte externa”.
A corrente no circuito será dada pela expressão
i  im s en  ''t   
Onde im é a amplitude da corrente. O valor de im será máximo quando a frequência da fonte
externa ω′′ for igual à frequência natural do circuito, isto é, quando:
 ''   
1
LC
Que chamamos de condição de ressonância. Uma aplicação prática da ressonância ocorre
quando sintonizamos uma estação de rádio. Quando giramos o botão de sintonia, estamos
ajustando a frequência natural ω de um circuito LC interno, de modo que ela se torne igual à
frequência ω′′ do sinal transmitido pela antena da estação que queremos sintonizar; estamos
procurando por uma ressonância.
EXERCÍCIOS
71. Qual é a capacitância de um circuito LC, sabendo-se a carga máxima do capacitor é
1,6 C e a energia total é 140 J ? R : 9,14x10 – 9 F
72. Um capacitor de 1,5 F é carregado a 57 V. A bateria que o carrega é, então, retirada,
e uma bobina de 12 mH é ligada aos terminais do capacitor , de modo que ocorram
1
oscilações LC . Qual é a corrente máxima na bobina? Suponha que o circuito não
contenha nenhuma resistência. R : 640 mA
73. Num circuito LC, um indutor de 1,5 mH armazena uma energia máxima de 17 J .
Qual é o pico (valor máximo) da corrente elétrica ? R :150 mA
74. Em um circuito LC oscilatório com L  50mH e C  4 F , a corrente é inicialmente
máxima. Quanto tempo se passará antes que o capacitor esteja completamente
carregado pela primeira vez? R: 7,02x10-4 s
75. Em um circuito LC oscilatório no qual C  4,00 F , a diferença de potencial máxima
entre os terminais do capacitor durante as oscilações é de 1,50 V e a corrente máxima
que atravessa o indutor é igual a 50,0 mA. (a) Qual a indutância L? (b) Qual a
freqüência das oscilações? (c) Quanto tempo é necessário para que a carga no
capacitor cresça de zero até o seu valor máximo? R: a) 3,6x10-3 H; b) 1326,97 Hz; c)
1,88x10-4s
76. Em um circuito LC oscilatório, 75% da energia total estão armazenados no campo
magnético do indutor em um determinado instante. (a) Em termos da carga máxima no
capacitor, qual a carga no capacitor nesse instante? (b) Em termos da corrente máxima
no indutor, qual a corrente que passa por ele nesse instante? R: a) 50%; b) 87%
Correntes alternadas
A maioria das casas são providas de fiação elétrica que conduz corrente alternada (ca) , isto é,
corrente cujo valor varia senoidalmente com o tempo. Uma bobina de fio, rodando com
velocidade angular constante, em um campo magnético, pode dar origem a uma fem alternada
senoidalmente. Este dispositivo simples é o protótipo do gerador de corrente alternada
comercial, ou alternador.
A corrente elétrica distribuída para utilização industrial e residencial é corrente alternada
(AC, do inglês “Alternating Current”), tipicamente de frequência f = 60 Hz. A principal
vantagem da corrente alternada é que sua voltagem pode ser facilmente aumentada ou
reduzida usando transformadores. Isso permite transmitir a energia elétrica em linhas de alta
2
voltagem, convertendo-a no valor “caseiro” (110–220 V) ao chegar a seu destino. A vantagem
da transmissão de potência em alta voltagem é que a corrente i associada é baixa, reduzindo a
perda por efeito Joule nos fios de transmissão (i2R).
Consideraremos agora alguns circuitos ligados a uma fonte de corrente alternada que
mantém entre seus terminais uma ddp alternada senoidal, dada por:
v  Vsen t
onde:
v  é a ddp instantânea
V  é a ddp máxima ou amplitude de voltagem
  é a freqüência angular.
Observação:
As letras minúsculas, como a letra v, representam valores instantâneos de grandezas
variáveis no tempo e as letras maiúsculas, como V, representam as amplitudes
correspondentes.
O símbolo de uma fonte de corrente alternada é:
Diagrama de fasores
Como as curvas senoidais não são fáceis de desenhar, faz-se uso frequente dos
diagramas vetoriais, nos quais o valor instantâneo de uma grandeza é representado pela
projeção, em um eixo vertical, de um vetor cujo comprimento corresponde á amplitude da
grandeza, girando com velocidade angular  no sentido anti-horário . Para os circuitos de
corrente alternada, estes vetores são chamados fasores e os diagramas que os contêm,
diagramas de fasores.
Vamos estudar um sistema formado por uma fonte externa de força eletromotriz
alternada e um circuito RLC série. Mas inicialmente vamos estudar três circuitos mais
simples, constituídos por uma fonte externa e um dos elementos R, L e C.
3
CIRCUITO RESISTIVO ( R )
Na figura abaixo está representado um circuito contendo um resistor R e um gerador
de CA com a fem alternada dada por:
vR  VR sen t
R
A corrente instantânea no resistor é dada por:
iR 
vR
R

VR
R
sen( t )
A corrente máxima (amplitude da corrente) é: I R  VR
R
 iR  I R sen t
Observação:
A relação entre as amplitudes de voltagem e corrente (VR = IR R) se aplica a um resistor
distinto em qualquer circuito de corrente alternada, não importando quão complexo seja.
Tanto a voltagem como a corrente varia com sen t , de modo que a corrente está em
fase com a voltagem, o que significa que os seus máximos (e mínimos) correspondentes
ocorrem ao mesmo instante e os fasores de corrente e de voltagem giram juntos, como está
representado nas figuras abaixo.
Na figura abaixo estão representados o gráfico (iR e vR) com t e o diagrama de
fasores.
vR . i R
iR
iR
vR
IR
vR
2
0

t
VR
wt
4
CIRCUITO CAPACITIVO (C)
Suponha, agora, que um capacitor de capacitância C esteja ligado entre os terminais da
fonte de fem alternada, como está representado na figura abaixo:
A carga instantânea no capacitor é dada por: qC  CvC  CVC sent
Como, ic 
dqc
 iC  CVC cos t
dt
Temos que: cos t  sen(t  90º )
Definindo uma quantidade XC, chamada reatância capacitiva do capacitor, como:
XC 
1
1
 C 
C
XC
Podemos escrever a equação da corrente
 iC  (VC / X C )sen(t  90º )  iC  IC sen(t  90º )
Onde, a relação entre as amplitudes de voltagem e corrente VC  IC X C se aplica a um
capacitor distinto em qualquer circuito de corrente alternada, não importando quão complexo
seja.
Observação:
A unidade de reatância capacitiva XC, no SI, é o ohm, mesma unidade de resistência
elétrica.
Para este circuito a corrente e a voltagem não estão em fase, elas estão defasadas em
90º. Como a corrente está adiantada em relação à voltagem, os picos de corrente ocorrem um
quarto de ciclo antes dos picos de voltagem. No diagrama de fasores o vetor corrente está
5
adiantado do vetor voltagem por um quarto de ciclo ou 90º, como está representado nas
figuras seguintes:
Na figura abaixo estão representados o gráfico (iC e vC) com t e o diagrama de
fasores.
CIRCUITO INDUTIVO ( L )
No circuito indutivo, vamos supor que um indutor de resistência nula e indutância L,
seja ligado a uma fonte de fem alternada, como está representado na figura abaixo:
Da definição de indutância, temos que:
di
di
di
 vL sen t  L   (vL / L)sen t
dt
dt
dt
 iL  (vL /  L) cos t
vL  L
Usando,  cos t  sen (t  90º )  e definindo que  L  X L , onde XL é a reatância
indutiva do indutor temos que:
 iL  (vL / X L )sen(t  90º )  iL  I L sen(t  90º )
6
Onde, a relação entre as amplitudes de voltagem e corrente VL  I L X L se aplica a um
indutor distinto em qualquer circuito de corrente alternada, não importando quão
complexo seja.
Observação:
A unidade de reatância indutiva XL, no SI, é o ohm, mesma unidade de resistência.
Para este circuito a corrente e a voltagem não estão em fase, elas estão defasadas em 90 o. A
corrente está atrasada em relação à voltagem. Esta relação pode ser verificada nas figuras a
seguir:
Na figura abaixo estão representados o gráfico (iL e vL) com t e o diagrama de
fasores.
EXERCÍCIOS
77. Num circuito capacitivo, onde C = 15 F , f = 60 Hz e VC = 36 V , determine:
a ) A frequência angular .
b ) A reatância capacitiva .
c ) A amplitude de corrente IC , neste circuito .
R : a ) 376,8 rad/s ; b ) 176,93  ; c ) 203 mA
7
78. Num circuito Indutivo, onde L = 230 mH , f = 60 Hz e V L = 36 V , determine:
a ) A frequência angular .
b ) A reatância indutiva .
c ) A amplitude de corrente IL , neste circuito .
R : a ) 376,8 rad /s ; b ) 86,7  ; c ) 415 mA
79. Num circuito E C, um capacitor de 1,5 F está ligado a um gerador de corrente
alternada com E m = 30 V. Qual será a amplitude da corrente alternada resultante se a
frequência da fem for ( a ) 1 kHz e ( b ) 8 kHz . R: a) 283 mA ; b) 2,261 A
80. Num circuito E L, um indutor de 50 mH está ligado a um gerador de corrente
alternada com E m = 30 V . Qual será a amplitude da corrente alternada resultante se a
frequência da fem for (a) 1 kHz e ( b ) 8 kHz . R: a) 95 mA ; b) 12 mA.
81. Num circuito E R, um resistor de 50 está ligado a um gerador de corrente alternada
com E m = 30 V . Qual será a amplitude da corrente alternada resultante se a
frequência da fem for (a) 1 kHz e (b) 8 kHz . R : a ) 0,6 A ; b ) 0,6 A
82. Um indutor de 45 mH tem uma reatância de 1,3 k. (a) Qual é a sua frequência de
operação. (b) Qual é a capacitância de um capacitor com a mesma reatância nesta
frequência? (c) Dobrando-se o valor desta frequência quais serão os novos valores das
reatâncias do indutor e do capacitor? R : a ) 4,6 kHz ; b ) 2,66x10 –8 F ; c ) XL = 2,6
k e XC = 0,65 k
83. Um gerador de CA tem uma fem E = E msen(d t   / 4) , onde E m =30,0 V e d =350
rad/s.
A corrente produzida
i (t )  Isen(d t  3 / 4) ,
em um circuito
ligado
a este gerador
é
I = 620mA. (a) Em que instante t após t = 0 a fem do gerador
alcança pela primeira vez um máximo? (b) Em que instante t após t = 0 a corrente
alcança pela primeira vez um máximo? (c) O circuito contém um único elemento além
do gerador. Este elemento é um capacitor, um indutor ou uma resistência? Justifique a
sua resposta. (d) Qual o valor da capacitância, da indutância ou da resistência,
conforme for o caso? R: a)6,73x10-3 s; b) 11mA; c) indutor; d) 0,138H
8
84. Um gerador de CA tem uma fem E = E msend t , com E m  25,0 V e d =377 rad/s.
Ele está ligado a um indutor de 12,7 H. (a) Qual o valor máximo da corrente? (b) Qual
a fem do gerador quando a corrente é máxima? (c) Qual a corrente quando a fem do
gerador é de -12,5 V e está aumentando em módulo? R: a) 5,22x10-3A; b)0; c) -4,52
mA
85. O gerador de CA do problema 28 está ligado a um capacitor de 4,15 μF. (a) Qual o
valor máximo da corrente? (b) Qual a fem do gerador quando a corrente é máxima? (c)
Qual a corrente quando a fem do gerador é igual a -12,5V e está aumentando em
módulo? R: a) 39 mA; b)0; c) 34mA
O circuito RLC
Em muitas situações, os circuitos de corrente alternada incluem resistência, reatância
indutiva e reatância capacitiva. Na figura abaixo está representado um circuito LCR em série
com um gerador de fem alternada.
Quando aplicamos uma fem alternada (   sen t ) no circuito RLC acima, uma
corrente alternada dada por
i  Isen (t   ) é estabelecida no circuito. Nossa tarefa é
determinar a amplitude de corrente I e a constante de fase .
A análise desse circuito é facilitada pelo uso do diagrama de fasores, que inclui os
vetores voltagem e corrente para os vários componentes.
Como a corrente tem um mesmo valor em todos os pontos do circuito, um único fasor
I, é suficiente para representar a corrente no circuito.
Aplicando a lei das malha no circuito acima, temos que: E  vR  vC  vL (soma
algébrica)
9
Os diagramas de fasores para I , VR , VC , VL e E m , está representado nas figuras
abaixo
O fasor E m é igual à soma (vetorial) dos fasores VR, VC e VL, dada por:
E m2  VR2  (VL  VC )2 E m2  ( IR) 2  ( IX L  IX C ) 2
I 
EM
[ R  ( X L  X C ) 2 ]1/ 2
2
1/ 2
onde:  R 2  ( X L  X C )2 
 Z , é chamado de impedância do circuito .
 I
m
Z
Devemos observar que a unidade de impedância é a mesma de resistência (ohm).
Para determinar a constante de fase, temos que:
 tan  
VL  Vc
VR
 tan  
X L  Xc
R
Dependendo da relação entre as reatâncias indutiva XL e capacitiva XC, o circuito será
mais indutivo (o fasor I gira atrás do fasor E m ) ou mais capacitivo (o fasor I gira à frente do
fasor E m ).
Observação
10
Nos circuitos estudados, foi considerado o estado estacionário, isto é, a condição que
prevalece depois que o circuito foi ligado à fonte por algum tempo, logo que a fonte é ligada,
podem existir breves correntes e voltagens adicionais chamadas transientes.
Ressonância
As reatâncias indutivas XL e capacitiva XC dependem da frequência da fem aplicada ao
circuito RLC, consequentemente a impedância Z e a amplitude de corrente I também
dependem desta frequência. Teremos uma impedância mínima e uma amplitude de corrente
máxima quando X L  X C  0  X L  X C   L 
1
 
C
1
.
LC
Esta frequência angular  é a frequência natural ou de ressonância do circuito.
Portanto a impedância tem o menor valor possível, e a amplitude de corrente o maior valor
possível, quando a frequência da fem do gerador for igual à frequência natural do circuito.
Nesta frequência, se diz que o circuito está em ressonância com o gerador.
EXERCÍCIOS
86. Num circuito RLC, considere R = 160  , C = 15 F , L = 230 mH , f = 60 Hz e m =
36V.
R: a) 183,7 . b) 196 mA c) – 29,4º
a) Determine a impedância do circuito.
b) Determine a amplitude de corrente I.
c) Determine a constante de fase .
87. Determine Z,  e I para a situação do exercício 30 com o capacitor removido do
circuito e todos os demais parâmetros permanecendo inalterados. R: 182Ω; 28,4º;
198mA
88. Determine Z,  e I para a situação do exercício 30 com o indutor removido do circuito
e todos os demais parâmetros permanecendo inalterados. R: 238Ω; -48º; 151mA
11
89. Determine Z,  e I para a situação do exercício 30 com C = 70  F e os demais
parâmetros permanecendo inalterados. R: 167,3Ω; 16,9º ; 215mA
90. Em um circuito RLC, a amplitude da tensão entre os terminais de um indutor pode ser
maior do que a amplitude do gerador de fem? Considere um circuito RLC com
E m  10, R = 10Ω, L = 1,0H e C = 1,0μF. Determine a amplitude da tensão entre os
terminais do indutor na ressonância. R: 1000 V
91. Uma bobina com um resistência desconhecida e uma indutância de 88mH está ligada
em série a um capacitor de 0,94  F e a uma fem alternada com freqüência de 930 Hz.
Se a constante de fase entre a tensão aplicada e a corrente for de 75º, qual a resistência
da bobina? R: 89 
Potência em circuitos de corrente alternada
Em um circuito RLC em série, a potência média (Pmed) do gerador é igual à taxa de
produção de energia térmica no resistor, e é dada por:
2
Pmed  I rms
R E rms I rms cos 
Na equação acima as grandezas com o índice rms, se refere ao valor médio quadrático
ou valor eficaz destas grandezas. Os valores eficazes e os valores máximos de cada grandeza
estão relacionados por:
I rms 
E
1
V
, Vrms 
e E rms  m
2
2
2
O termo cos  é chamado de fator de potência do circuito, para maximizar a taxa com
que se fornece a uma carga resistiva em um circuito RLC, devemos manter a constante de fase
 o mais próximo possível de zero. Para uma resistência pura,   0 , cos  1 e
Pmed E rmsI rms . Para um capacitor ou indutor,   90º , cos   0 e Pmed  0 .
Observação:
12
Os instrumentos de medição de corrente alternada, como por exemplo, o amperímetro
e voltímetro, normalmente são calibrados para mostrarem os valores eficazes Irms , Vrms , E rms
e não os seus valores máximos.
EXERCÍCIOS
92. Que corrente contínua produzirá a mesma quantidade de energia térmica, em um
resistor particular, que é produzida por uma corrente alternada que possui um valor
máximo de 2,60 A? R: 1,84 A
93. Qual o valor máximo de uma tensão de CA cujo valor eficaz é igual a 100V? R: 141V
94. Um aparelho de ar condicionado ligado a uma linha de CA de 120V, valor eficaz,
equivale a uma resistência de 12,0Ω e a uma reatância indutiva de 1,30Ω em série. (a)
Calcule a impedância do ar condicionado.(b) Determine a taxa média com que se
fornece energia ao aparelho. R: a) 12,1Ω; b) 1186W
TRANSFORMADORES
Por razões de eficiência, é desejável transmitir potência elétrica a altas voltagens e
baixas correntes, para diminuir as perdas por aquecimento na linha de transmissão. Uma das
características mais úteis dos circuitos de correntes alternadas é a facilidade e a eficiência com
a qual voltagens (e correntes) podem ser mudadas de um valor para outro, por meio de
transformadores.
Em princípio, o transformador consiste em duas bobinas isoladas eletricamente uma da
outra e enroladas no mesmo núcleo de ferro. Uma corrente alternada em um enrolamento cria
um fluxo alternado no núcleo e o campo elétrico induzido devido a esta variação do fluxo
induz uma fem no outro enrolamento. O enrolamento para o qual se fornece a potência é
chamado de primário e aquele do qual se retira a potência é chamado de secundário, sendo
que, a potência de saída de um transformador é sempre menor que a potência de entrada,
devido às perdas inevitáveis.
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Para um transformador suposto ideal (são desprezadas as perdas de energia) a relação
entre a voltagem no primário VP e no secundário VS é dada por:
VP N P

VS N S
Onde, NP e NS, são, respectivamente, o número de voltas na bobina primária e
secundária.
Se NS > NP, dizemos que o transformador é um transformador elevador porque ele
eleva a tensão do primário VP para uma tensão mais alta VS. Analogamente, se NS < NP, o
dispositivo é um transformador abaixador.
Para obtermos a relação entre as correntes na bobina primária e secundária de um
transformador ideal, podemos aplicar o princípio da conservação de energia. A taxa com que
o gerador transfere energia para o primário é igual à taxa com que o primário transfere então
energia para o secundário, ou seja: ISVS=IPVP.
EXERCÍCIOS
95. Um gerador fornece 100V à bobina primária de um transformador de 50 voltas. Se a
bobina secundária tiver 500 voltas, qual será a tensão no secundário? R:1000V
96. Um transformador possui 500 voltas no primário e 10 voltas no secundário. (a) Se VP
for igual a 120V(eficaz), qual será Vs, com um circuito aberto? (b) Se o secundário
tiver agora uma carga resistiva de 15Ω, quais serão as correntes no primário e no
secundário? R:a) 2,4V; b) 3,2mA; c) 0,16A
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Propriedades magnéticas da matéria
Discutimos os campos magnéticos criados por corrente em condutores, quando os
condutores estão no ar (ou vácuo).
Quando mergulharmos o condutor em um meio material, o valor do campo magnético
em torno do condutor é diferente daquele que existiria se o condutor estivesse situado no ar.
Para estudar as modificações no campo magnético, provocadas pela presença de um meio
material, vamos usar o conceito de imã elementar.
No interior de qualquer substância, existem correntes elétricas elementares,
constituídas pelos movimentos dos elétrons nos átomos destas substâncias. Estas correntes
elementares criam pequenos campos magnéticos, de modo que cada átomo pode ser
considerado como um pequeno imã, isto é, um imã elementar.
No interior de um material não magnetizado, estes imãs elementares encontram-se
orientados inteiramente ao acaso, de modo que os campos magnéticos criados pelos átomos
da substância tendem a se anular. Entretanto, se este material for colocado numa região onde
existe um campo magnético, este campo atuará sobre os imãs elementares, tendendo a orientálos. Dependendo da orientação dos imãs elementares, na presença de um campo magnético
externo, as substâncias podem ser classificadas em paramagnéticas, diamagnéticas e
ferromagnéticas.
Substâncias Paramagnéticas
São aquelas que, na presença de um campo magnético, se imantam muito fracamente,
fazendo com que o valor do campo magnético seja ligeiramente aumentado. Nestas
substâncias, os imãs elementares tendem a se orientar no mesmo sentido do campo aplicado.
Exemplos: alumínio, a platina.
Substâncias Diamagnéticas
Na presença de um campo magnético se imantam também fracamente, fazendo,
porém, com que o valor do campo magnético se torne ligeiramente menor. Nestas substâncias,
os imãs elementares tendem a se orientar em sentido contrario ao do campo aplicado.
Exemplos: o cobre, a prata, o ouro, a água.
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Substâncias Ferromagnéticas
Grande parte das substâncias existentes na natureza. São paramagnéticas ou
diamagnéticas. Somente uma pequena parte apresentam propriedades ferromagnéticas.
Sob a ação de um campo magnético externo, as substâncias ferromagnéticas se
imantam fortemente, fazendo com que o campo magnético resultante seja muitas vezes maior
que o campo aplicado.
Nas substâncias ferromagnéticas os imãs elementares se orientam no mesmo sentido
do campo aplicado. O ferro, cobalto, níquel e as ligas que contêm esses elementos são
exemplos de substâncias ferromagnéticas.
Histerese magnética
É a propriedade que algumas substâncias possuem de “guardar imantação“, isto é, de
permanecerem magnetizadas mesmo após cessar a ação do campo magnetizador.
Exemplos:
aço temperado  histerese magnética muito acentuada.
ferro doce  histerese magnética muito reduzida.
EXERCÍCIO
97. Um imã permanente pode perder totalmente sua imantação se for muito aquecido. Por
quê?
R: porque a elevação da temperatura provoca um aumento da agitação térmica dos
átomos, desfazendo a orientação dos imãs elementares.
98. Explique, por que um imã atrai um pedaço de ferro. R: o pedaço de ferro fica
imantado
Equações de Maxwell
As equações de Maxwell são um grupo de equações diferenciais parciais que,
juntamente com a lei da força de Lorentz, compõe a base do eletromagnetismo clássico no
qual está embebido toda a óptica clássica. O desenvolvimento das equações de Maxwell, e o
entendimento do eletromagnetismo, contribuíram significativamente para toda uma revolução
tecnológica iniciada no final do século XIX e continuada durante as décadas seguintes.
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As equações de Maxwell podem ser divididas em duas grandes variações. O grupo
"microscópico" das equações de Maxwell utiliza os conceitos de carga total e corrente total,
que inclui as cargas e correntes a níveis atômicos, que comumente são difícieis de se calcular.
O grupo "macroscópico" das equações de Maxwell definem os dois novos campos auxiliares
que podem evitar a necessidade de ter que se conhecer tais cargas e correntes em dimensões
atômicas.
As equações de Maxwell variam conforme o sistema de unidades usado. Embora a
forma geral permaneça, várias definições são alteradas e diferentes constantes aparecem em
diferentes lugares. As equações nesta seção são dadas no Sistema Internacional de
Unidades (SI). Outras unidades comumente usadas são as unidades gaussianas, baseado
nosistema CGS de unidades, as unidades de Lorentz-Heaviside, usado principalmente
em física de partículas e as unidades naturais, conhecidas também como unidades de Planck,
usada em física teórica.
Nas equações abaixo, símbolos em negrito representam grandezas vetoriais, e símbolos
em itálico representam grandezas escalares. As definições dos termos usados abaixo são dadas
logo abaixo em tabelas a parte.
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Tabela das equações "microscópicas"
Formulação em termos de carga e corrente total
Nome
Lei
Forma diferencial
Forma integral
de
Gauss
Lei
de
Gauss para
o
magnetismo
Lei
de
Faraday da
indução
Lei
de
Ampère
(com
a
correção de
Maxwell)
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Tabela das equações "macroscópicas"
Formulação em termos de carga e corrente "livres"
Nome
Forma diferencial
Forma integral
Lei de Gauss
Lei de
Gauss
para
o
magnetismo
Lei de Faraday
da indução
Lei de Ampère
(com a correção
de Maxwell)
BIBLIOGRAFIA
1.
D. Halliday , R. Resnick e J. Walker . Fundamentos de Física . Vol. 3 , LTC – Livros
Técnicos e Científicos Editora S. A . Rio De janeiro , 2003 .
2.
F. Sears , M. W. Zemansky e H. D. Young . Física .Vol. 3 , LTC – Livros Técnicos e
Científicos Editora S. A . Rio De janeiro , 1984.
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