Bobinas de Helmholtz – medida do campo magnético da Terra

I. Estudo de circuitos série RC e RL em função da frequencia
II. Grupo
Davi dos Santos Zocchio - 083414
Francisco Azevedo Alves - 081432
Guilherme de Morais Bueno - 076047
III. Resumo
O experimento destina-se a obter o valor previsto na literatura para o campo
magnético terrestre (entre 0,3 a 0,6G) e também do momento de dipolo magnético do
imã permanente através da coleta de dados e medidas efetuadas no laboratório. Tais
medidas serão realizadas com base num circuito elétrico simples (fig. 1) consistindo de
um miliamperímetro, uma fonte elétrica, um reostato e, a peça fundamental do
experimento, uma bobina de Helmholtz.
Mede-se a frequência de oscilação de um imã permanente conectado à bobina
em função da corrente elétrica que a atravessa. Com os dados obtidos uma análise
matemática simples conduz à elaboração de um gráfico (f² x I), do qual obtemos o valor
do campo magnético da Terra, 0,67x10-5 T e um momento de dipolo magnético
3,74Am².
Os resultados obtidos estão muito próximos do previsto. Ressaltamos que as
discrepâncias observadas devem-se não somente aos erros sistemáticos, mas também à
configuração da bobina que não permitiu obter dados consistentes a baixos valores de
corrente, ocasião em que a deflexão do imã foi muito acentuada.
IV. Introdução
A proposta do experimento é obter a frequencia de corte dos circuitos montados
e verificar o significado dos termos filtro passa-alto e filtro passa baixo.
Filtros elétricos são utilizados para os mais diversos fins. São equipamentos que
tem como função selecionar faixas de freqüência que se consideram ótimas para o
perfeito funcionamento do equipamento.
Assim, filtros passa-baixo são aqueles que têm por função eliminar freqüências
acima da freqüência de corte e permite que as abaixo desta passem inalteradas. Sendo
válido o contrário para os filtros passa-alto.
Exemplos de usos são no controle de subwoofers bloqueando os picos mais
agudos, nos transmissores de rádios, nos sintetizadores analógicos e outros.
V. Teoria
Para concluir nosso objetivo, utilizamos o fato de que uma distribuição de
corrente elétrica gera um campo magnético que pode ser determinado utilizando a lei de
Biot-Savart: dB  (  o / 4 ) Idl  r / r .
Dada a simetria do problema, o campo magnético das espiras estará contido no
eixo destas e sua intensidade será dada por: B  (  o / 2) IR 2 /( x 2  R 2 ) 3 / 2 , para uma
espira.
Assim ao suspendermos um imã permanente cilíndrico no eixo das espiras, a
meia distância destas, ele sofrerá um torque (  ) devido à força magnética que o campo
gerado bobina (BH) exerce sobre o cilindro, fazendo-o se alinhar com o campo. Este
alinhamento, entretanto, configura-se como uma oscilação em torno da direção de B.
3
O módulo desse campo é dado por B H  8 o NI /(5 3 / 2 R) , onde se combinou o
campo gerado por cada uma das espiras. Nessa formula, N é o número de espiras de
uma bobina, I a corrente que as atravessa, R o raio da bobina e  o  4  10 7 T a
permeabilidade do vácuo.
Aplicando-se a 2ª Lei de Newton sobre a forma angular ao cilindro obtemos a
relação f 2  ( / 4 2 mI ) B , onde f é a freqüência de oscilação, µ o momento de dipolo
magnético e mI o momento de inércia do cilindro. B é a intensidade do campo
magnético resultante que atua no cilindro, nesse caso, a soma do campo magnético
terrestre (BT) com o campo magnético gerado pela bobina (BH). Essa intensidade é dada
por B  BH  BT onde o sinal + corresponde ao caso em que os dois campos são
paralelos e – quando o são antiparalelos. Neste experimento orientamos o campo gerado
pela bobina dessa forma para que possamos reduzir a soma vetorial da intensidade do
campo a uma soma escalar (já que ambos os campos possuem a mesma direção).
O momento de inércia do imã (um cilindro de densidade uniforme) é dado por
mI  m(r 2 / 4  L2 /12) onde m é a massa do imã, r o seu raio e L o comprimento.
Combinando-se os resultados: f 2  (  / 4 2 mI )[(8 o N / 53 / 2 R)  BT ] , i.e., a
equação de uma reta. Podemos obter os valores de µ e de BT a partir do gráfico ƒ2 X I
realizando a regressão linear dos dados coletados. Será obtida uma reta da forma
 2 mI 53 / 2 Ra
f ²  aI  b . Comparando as duas expressões concluímos que:  
e
2 o N
BT 
4 2 mI b

Nota: no desenvolvimento dessa formulação fazemos a aproximação sen   ,
que é válida somente se as oscilações forem pequenas.
VI. Metodologia experimental
Para realizar o experimento
montamos, em primeiro lugar, o
circuito elétrico esquematizado ao
lado na figura 1.
Tal circuito consiste de uma
fonte de corrente alternada (gerador
de sinal), um osciloscópio digital de
dois canais um resistor de 100 e um
capacitor de 1F.
Entre os terminais do canal 1 ligamos
o gerador e, no canal 2, o capacitor. Feito isso
coletamos os dados: a voltagem (de pico a
pico, medidos na tela do osciloscópio) entre os
terminais do gerador e a do capacitor e a
freqüência do circuito.
Em seguida construímos o circuito da
figura 2 e procedemos analogamente como
descrito acima.
Os valores nominais são os mesmos embora a posição do capacitor seja alterada
com a do resistor.
Em posse dos dados, construímos tabelas e esboçamos o gráfico da situação. A partir do
gráfico, determinamos a freqüência de corte do circuito, o comportamento do
capacitor com a variação da frequência, as correntes em cada caso e
se o circuito funciona como filtro passa-alta ou passa-baixa.
VII. Resultados e análise dos dados
Tabela 1: Imã
M(kg)
L(m)
r(m)
0,00488±0,00001 0,02550±0,00005 0,00590±0,00005
m = massa do imã
r = raio do imã
L = comprimento do imã
Cálculo do momento de inércia do imã: mI  m(r 2 / 4  L2 /12) = 3,069x10-7 kg.m²
Tabela 2: Bobina
R(m)
N
0,0970±0,0005 135
R = raio da bobina
N = número de espiras da bobina
Calculo dos erros da tabela 3.
Coletamos t e n=10, i.e., 10 oscilações num intervalo de tempo. Então T  t /10 e
 t  0,01s . Por propagação de erros temos:
 T 
     t2   T  0,001s
 t 
Nota: para I=0,000A , n=20   T  0,0005s
2
2
T
 ( f 2 ) 
 2 
 t   3  T (Propagação de erros).
Como f  1/ T  f 2  (1/ T ) 2   f 2  
T 
 T 
Tabela 3: Campos magnéticos paralelos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
I(A)
T(s)
f²(Hz)
0,000±0,005 1,3915±0,0005 0,5165±0,0004
0,020±0,005 1,074±0,001
0,867±0,002
0,040±0,005 0,830±0,001
1,452±0,003
0,060±0,005 0,729±0,001
1,882±0,005
0,080±0,005 0,649±0,001
2,374±0,007
0,100±0,005 0,600±0,001
2,778±0,009
0,120±0,005 0,549±0,001
3,32±0,01
0,140±0,005 0,515±0,001
3,77±0,01
0,160±0,005 0,475±0,001
4,43±0,02
0,180±0,005 0,466±0,001
4,60±0,02
0,200±0,005 0,444±0,001
5,07±0,02
0,220±0,005 0,391±0,001
6,54±0,03
0,240±0,005 0,359±0,001
7,76±0,04
0,260±0,005 0,316±0,001
10,01±0,06
I = corrente que percorre o circuito
T = período das oscilações
f² = quadrado da freqüência das
oscilações
Os cálculos dos erros da tabela 4 são análogos aos da tabela 3.
Tabela 4: Campos magnéticos antiparalelos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
I(A)
T(s)
F²(Hz)
0,000±0,005 1,4120±0,0005 0,5016±0,0004
0,020±0,005 2,083±0,001 0,2305±0,0002
0,040±0,005 1,262±0,001
0,628±0,001
0,060±0,005 0,964±0,001
1,076±0,002
0,080±0,005 0,809±0,001
1,528±0,004
0,100±0,005 0,701±0,001
2,035±0,006
0,120±0,005 0,633±0,001
2,50±0,01
0,140±0,005 0,581±0,001
2,96±0,01
0,160±0,005 0,546±0,001
3,35±0,01
0,180±0,005 0,508±0,001
3,88±0,02
0,200±0,005 0,493±0,001
4,11±0,02
0,220±0,005 0,469±0,001
4,55±0,02
0,240±0,005 0,437±0,001
5,24±0,02
0,260±0,005 0,423±0,001
5,59±0,03
I = corrente que percorre o circuito
T = período das oscilações
f² = quadrado da freqüência das
oscilações
Para realizar as regressões lineares desses dados vamos desprezar os primeiros
pontos porque para a leitura desses dados a deflexão do imã permanente se mostrou
muito acentuada e conseqüentemente a aproximação que utilizamos na teoria, sen   ,
não funcionará.
ƒ² x I
12,0000
10,0000
ƒ²(Hz²)
8,0000
6,0000
4,0000
2,0000
0,0000
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
I(A)
Realizando a regressão obtemos a seguinte equação para o caso em que os
campos são paralelos: f ²  (42,1  0,4) I  (2,71  0,08)
Para o caso onde os campos são antiparalelos: f ²  (21,8  0,2) I  (1,41  0,04)
0,3
O valor médio dos coeficientes linear e angular é portanto:
a   (42,1  21,8) / 2  31,95 e  b  (2,71  1,41)) / 2  2,06
Para calcular o momento de dipolo magnético e o campo magnético terrestre usamos a
fórmula encontrada na teoria. Obtemos assim:   3,74 A m² e BT  0,67 10 5 T
VIII. Discussão e conclusão
Os resultados encontrados para este experimento se mostraram muito
satisfatórios. O valor encontrado para o campo magnético terrestre, 0,67x10-5 T, está
próximo do previsto na literatura, que varia de 0,4 a 0,6x10-5 T na região da América do
Sul.
Também o valor obtido para o momento de dipolo magnético do imã
permanente, 3,74Am², parece ser um valor adequado.
Não podemos esquecer que estes dados estão sobre influência de fatores de
inexatidão tais como os erros instrumentais das medidas, a presença de instrumentos
eletrônicos que afetam as leituras dos instrumentos e do próprio campo magnético
gerado pela bobina de Helmholtz.
Além disso, destaca-se aqui que a disposição do imã utilizado pelo grupo
atrapalhou a obtenção de dados mais confiáveis.
IX. Bibliografia

Livros:
o H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica, vol 3.
o Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos da Física, vol 3.

Apostila:
o Apostila de F429 do curso.