Compactificados equivariantes - MTM

Compactificados equivariantes
Vladimir Pestov
1 University
of Ottawa / Université d’Ottawa
Ottawa, Ontario, Canadá
2 Universidade
Federal de Santa Catarina
Florianópolis, SC, Brasil
UFSC, Colóquio de Matemática,
30 do Setembro 2016
Vladimir Pestov (U. Ottawa / UFSC)
Compactificados equivariantes
UFSC, Colóquio, 30.09.2016
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Prefácio
Exemplo motivador
R
2
Pode-se compactifar (imergir num espaço compacto)?
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Prefácio
Exemplo motivador
ξ
x
Compactificado pelo um ponto, 8 (a esfera de Riemann)
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Prefácio
Exemplo motivador
R
2
θ
R2 , munido da ação do grupo compacto T “ tz P C : |z| “ 1u pelas
rotações
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Prefácio
Exemplo motivador
dois
pontos
fixos
pelo
T
Compactificado pelo um ponto fixo, 8. (Compactificado equivariante).
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Prefácio
Espaços mt́ricos e topológicos
pX , dq; a topologia consiste de todos os abertos:
V é aberto ðñ @x P V Dε ą 0, Bε pxq Ď V .
(X ` topologia) “ um espaço topológico (esquecemos a métrica, d).
X é dito separável se existe um subconjunto enumerável denso,
Y “ ty1 , y2 , . . .u, Ȳ “ X
Quase todos os espaços aqui são metrizáveis, separáveis, completos
(espaços poloneses).
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Prefácio
Espaços métricos e topológicos
Exemplos
Espaço de Hilbert separável: `2
Todos as sequências de reais, x “ pxn q8
n“1 , quadrado somáveis:
8
ÿ
xn2 ă 8.
n“1
O produto
bř escalar: xx, y y “
8
2
}x} “
n“1 xn .
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ř8
i“1 xi yi .
A métrica: dpx, y q “ }x ´ y },
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Prefácio
´ ¯
Axioma de Tychonoff T3 1
2
Um espaço topológico X é dito um espaço de Tychonoff, ou: satisfaz o
axioma T3 1 , se para cada x P X e cada vizinhança V de x, existe uma
2
função contíinua f : X Ñ R, tal que f pxq “ 0, e se y R V , f py q ě 1.
f
R
1
x
V
y
0
X
‚ Espaços métricos satisfazem o axioma T3 1 .
2
1
f py q “ dpx, y q
ε
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Prefácio
´ ¯
Axioma de Tychonoff T3 1
2
Um espaço topológico X é dito um espaço de Tychonoff, ou: satisfaz o
axioma T3 1 , se para cada x P X e cada vizinhança V de x, existe uma
2
função contíinua f : X Ñ R, tal que f pxq “ 0, e se y R V , f py q ě 1.
f
R
1
x
V
y
0
X
‚ Espaços métricos satisfazem o axioma T3 1 .
2
1
f py q “ dpx, y q
ε
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Espaços compactos
Noção
Um espaço métrico X é compacto se cada sequência pxn q contém
uma sub-sequência convergente: xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . . Ñ x.
Definição equivalente: se F é uma família de sub-conjuntos fechados
cujos interseções finitas são não vazias, então XF ‰ H.
Esta definição vale para espaços topológicos gerais.
Exercício: a bola fechada B1 p0q no espaço `2 não é compacta.
e1 , e2 , e3 , . . . , en , . . .
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Espaços compactos
Noção
Um espaço métrico X é compacto se cada sequência pxn q contém
uma sub-sequência convergente: xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . . Ñ x.
Definição equivalente: se F é uma família de sub-conjuntos fechados
cujos interseções finitas são não vazias, então XF ‰ H.
Esta definição vale para espaços topológicos gerais.
Exercício: a bola fechada B1 p0q no espaço `2 não é compacta.
e1 , e2 , e3 , . . . , en , . . .
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Espaços compactos
Exemplos
Espaços finitos; r0, 1s; S1 ;
Exercício: Bola unitária fechada no espaço de Hilbert, munida da
topologia fraca:
xn Ñ x ðñ @y , xxn , y y Ñ xx, y y,
é compacta.
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Prefácio
Compactificados
Noção
Sejam X um espaço topológico, K um espaço compacto, i : X Ñ K
uma aplicação contínua tal que ipX q é denso em K (isso é, a
adherência de ipX q é K ). Então, o par pK , iq é dito um compactificado
de X .
K
i
i(X)
X
Por abuso da língua, dizemos: K é um compactificado de X .
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Compactificados
Exemplos
‚ p0, 1q ãÑ r0, 1s, i é a imerção identidade.
‚ X é qualquer, Y “ t˚u um espaço unitário, ipxq “ ˚.
O compactificado dito trivial.
‚ Esfera unitária S “ tx P `2 : }x} “ 1u,
S ãÑ B1 p0q, topologia fraca
Exercício. A topologia da norma e a topologia fraca coincidem na
esfera S.
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Compactificados e funções contínuas
Cada função contínua e limitada f : X Ñ R produz um compactificado
do X :
K “ f pX q.
f
X
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f(X)
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Compactificados e funções contínuas
Seja X um espaço topológico T31{2 qualquer. Existe um
compactificado i : X Ñ K tal que i é uma imerção topológica: um
homeomorfismo entre X e ipX q.
Notons F conjunto de funções contínuas X Ñ r0, 1s.
X Q x ÞÑ pf pxqqf PF P r0, 1sF
∆F
f
X
f(x)
x
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Compactificado maximal (de Stone–Čech)
O cubo r0, 1sF é compacto (teorema de Tychonoff).
A adherência de X no cubo r0, 1sF é notada βX .
O compactificado maximal, ou compactificado de Stone-Čech, de X .
Cada função contínua e limitada f : X Ñ R prolonger-se sobre βX .
Se X é um espaço T3 1 , então i : X Ñ βX é uma imerção topológica,
2
como um sub-espaço topológico.
Tipicamente, βX é um espaço compacto “muito grande”. Por exemplo,
βN, βR, e cetra, não são metrizáveis.
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Grupos topológicos
G é um grupo (¨, e, ´1 ), munido de uma topologia T3 1 , da maneira que
2
as leis são contínuas:
G ˆ G Q pg, hq ÞÑ gh P G, G Q g ÞÑ g ´1 P G.
exemplos:
R, adição,
T “ tx P C : |z| “ 1u, multiplicação,
Homeo` p0, 1q, homeomorhismos crescentes do intervalo aberto,
com a topologica pontual:
V pf q “ tg : |gpxi q ´ f pxi q| ă ε, i “ 1, 2, . . . , k u
Op`2 q, rotações de `2 , topologia pontual
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Prefácio
Ações contínuas
Noção
O grupo topológico G age sobre o espaço X se a cada g P G
corresponde um homeomorfismo τg : X Ñ X da maneira que
τgh “ τh ˝ τh , e
a ação é contínua como aplicação G ˆ X Ñ X :
G ˆ X Q pg, xq ÞÑ τg x P X .
Habitualmente, denotaremos
τg x “ gx.
Grupos de transformações / dinâmica topológica abstrata / topologia
equivariante.
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Ações contínuas
Exemplos
T age sobre R2 pelas rotações:
ˆ
˙ˆ ˙
cos θ ´ sin θ
x
θ ¨ px, y q “
.
sin θ cos θ
y
Ação de Op`2 q sobre `2 pelas rotações.
Ação de Homeo` p0, 1q sobre p0, 1q pelos homeomorfismos.
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Noção
Seja um grupo topológico G age sobre um espaço X e um espaço
compacto K :
G ý X, G ý K.
Seja i : X Ñ K uma aplicação contínua equivariante:
g ¨ ipxq “ ipg ¨ xq.
X
K
x
i(x)
i
gi(x)
gx
Se a imagem ipX q é denso em K , dizemos que pK , iq é um
compactificado equivariante de X .
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Prefácio
Compactificados equivariantes
Exemplos
O compactificado trivial, X Ñ t˚u, é sempre equivariante.
O grupo ortogonal Op`2 q age sobre a esfera, S, assim que sobre a
bola unitária, B, com a topologia fraca. A imerção canónica,
i : S ãÑ B,
e um compactificado equivariante da esfera.
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Pergunta motivando
Existe sempre um compactificado equivariante tal que i : X ãÑ K é um
homeomorfismo entre X e sua imagem, ipX q?
É preciso entender o “tamanho” do compactificado equivariante
maximal de X . Notação: βG X .
Por exemplo, pode ser que
βG X “ βX ,
qualquer seja G?
Investigaremos para T ý R2 . É verdade que βT R2 “ βR2 ?
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Funções τ -uniformes
Se G age sobre um compacto K , então G age sobre o espaço de
Banach CpK q:
CpK q Q f ÞÑ g f P CpK q,
g
f pxq “ f pg ´1 xq
(um translado de f por g).
Esta ação é contínua, particularmente a aplicação de órbita é
contínua:
G Q g ÞÑ g f P CpK q.
Isso signífica:
@ε ą 0, DV Q e, @x P K , @g P V ,
|f pxq ´ f pgxq| ă ε.
Uma função f que satisfaz esta condição, é dita τ -uniforme.
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Funções τ -uniformes
Se G ý X , então uma f : X Ñ R limitada é τ -uniforme se
@ε ą 0, DV Q e, @x P K , @g P V ,
|f pxq ´ f pgxq| ă ε.
Uma f : X Ñ R prolonge-se sobre βG X se e somente se f é
τ -uniforme.
Relembramos: cada função contínua e limitada prolonge-se sobre βX .
Para mostrar que βT R2 é menor que βR2 , basta monstrar uma função
contínua limitada f : R2 Ñ R que não é τ -uniforme.
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Funções τ -uniformes: caso T ý R2
Seja f : R2 Ñ R uma função limitada. Então,
@ε ą 0, Dθ ą 0, @x P R2 , @φ, |φ| ă θ ñ |f pxq ´ f pφxq| ă ε.
<ε
R
θ
f
Por exemplo, f pxq “ cos x1 não é τ -uniforme. 6 βT R2 ‰ βR2 .
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Caso de grupos localmente compactos
R. Palais - grupos de Lie (1960); Jan de Vries - caso geral (1977)
Pergunta: Existe sempre um compactificado equivariante tal que
i : X ãÑ K é um homeomorfismo entre X e sua imagem, ipX q?
teorema: Si G é localmente compacto, sim: X imerge-se, como um
sub-espaço topológico e da maneira equivariante, em βG X .
Por exemplo, todos os grupos compactos, todos os grupos de
matrizes, ...
Ÿ Basta construir muitas funções τ -uniformes que separam os pontos
e os conjuntos fechados – como no axioma T3 1 . A técnica parecida ao
2
lema de Titze-Urysohn.
Ź
A técnica destas funções é útil pelos sistemas dinâmicos topológicos –
se o grupo agindo não for discreto.
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Caso geral
Exemplo do Michael Megrelishvili (1988)
Um grupo polonês G agindo sobre um espaço polonês X de maneira
que i : X Ñ βG X não é um homeomorfismo sobre a imagem.
t2
t1
t3
t4
t5
...
.....
tn
....
.....
o leque
metrico
pontos
fixos
t0
X é o leque métrico; dpti , tj q “ 2, @i ‰ j;
G é o grupo de homeomorfismos consevando os pontos fixos, com a
topologia de convergência simples (compacto-aberta)
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Prefácio
Caso geral
Exemplo do Michael Megrelishvili (1988)
Um grupo polonês G agindo sobre um espaço polonês X de maneira
que i : X Ñ βG X não é um homeomorfismo sobre a imagem.
t1
t2
t3
t4
t5
.....
tn
....
R
...
pontos
controlando
a vizinhanca
V no grupo
.....
f
τ− uniforme
t0
Qual quer seja ε ą 0, sobre todos segmentos exceito um número
finito, f tem uma oscilação ă ε.
6 em βG X , temos iptn q Ñ ipt0 q. (em X , não).
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Prefácio
Caso geral
Exemplo do Michael Megrelishvili (1988)
Um grupo polonês G agindo sobre um espaço polonês X de maneira
que i : X Ñ βG X não é um homeomorfismo sobre a imagem.
t1
t2
t3
t4
t5
...
t’0
.....
tn
....
.....
t0
Em βG X , temos iptn q Ñ ipt0 q e iptn q Ñ ipt01 q,
6 ipt0 q “ ipt01 q, i não é injetiva!
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Caso geral
Meu exemplo (Dez. 2015)
Pergunta (Yu. Smirnov, meados de 1980): Existe um grupo topológico
G agindo sobre um espaço X da maneira que βG X “ tastu?
Sim. A construção recursiva.
....
.....
...
.....
Vladimir Pestov (U. Ottawa / UFSC)
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Caso geral
Meu exemplo (Dez. 2015)
Pergunta (Yu. Smirnov, meados de 1980): Existe um grupo topológico
G agindo sobre um espaço X da maneira que βG X “ tastu?
Sim. A construção recursiva.
....
.....
...
.....
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Prefácio
Caso geral
Meu exemplo (2016, arXiv:1601.03084)
Pergunta (Yu. Smirnov, meados de 1980): Existe um grupo topológico
G agindo sobre um espaço X da maneira que βG X “ tastu?
Sim. A construção recursiva.
....
.....
.
..
.....
Podemos obter um espaço X – Q, e um grupo agindo polonês, G.
Não tem compactificados equivariantes não triviais.
Vladimir Pestov (U. Ottawa / UFSC)
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Uma pergunta aberta
Existe um exemplo “natural” de um grupo topológico G agindo sobre
um espaço X da maneira que βG X “ t˚u?
Pode ser um grupo de homeomorfismos de `2 ?
Vladimir Pestov (U. Ottawa / UFSC)
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