Universidade Federal do Rio de Janeiro Princípios de Instrumentação Biomédica Módulo 5 Heaviside Dirac Newton Conteúdo 5 - Circuitos de primeira ordem..................................................................................................1 5.1 - Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta a excitação zero.....................1 5.1.1 - O circuito RC (resistor-capacitor)..........................................................................1 5.1.2 - O circuito RL (resistor-indutor)..............................................................................3 5.2 - Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta ao estado zero........................4 5.3 - Linearidade da resposta ao estado zero..........................................................................7 5.4 - Invariância com o tempo................................................................................................8 5.5 - Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta completa................................8 5.6 - Generalização...............................................................................................................11 5.6.1 - Resposta a excitação zero.....................................................................................11 5.6.2 - Resposta ao estado zero........................................................................................11 5.7 - Exercícios.....................................................................................................................12 5 Circuitos de primeira ordem 5.1 Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta a excitação zero 5.1.1 O circuito RC (resistor-capacitor) O circuito abaixo mostra um capacitor sendo carregado por uma fonte de tensão constante. Em t=0 a chave S1 abre e a chave S2 fecha. Para t≥0 , i C t i R t=0 dv C −v R C⋅ = e v C 0=v 0 dt R Como v C =v R=v { { dv v C⋅ =0 dt R v 0=v 0 dv −1 = ⋅v dt R⋅C v 0=v 0 Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear, homogênea com coeficientes constantes cuja solução geral é Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 1 S 0⋅t v t =K⋅e ⋅ut onde S 0=− 1 e K =v 0=v 0 R⋅C −1 ⋅t v 0 R⋅C dv i C t =C⋅ =− ⋅e ⋅u t dt R Esta resposta é chamada de resposta a excitação zero (sem excitação) e apresenta solução que depende das características do circuito ( S 0 só depende da topologia) e das condições iniciais do circuito (K depende das condições iniciais). A solução da equação diferencial de primeira ordem linear é uma função linear do estado inicial do problema. A curva exponencial que corresponde a resposta deste problema é apresentada na figura abaixo. Nesta figura v 0=1 e R⋅C =1 . Observa-se que a reta que passa pelas coordenadas t=0 e v=v(0) e apresenta inclinação igual a derivada da função no ponto t=0 cruza o eixo do tempo em um valor igual ao do produto R⋅C . Este produto é chamado −1 constante de tempo τ e corresponde a S 0 . Toda exponencial unitária apresenta 37% de seu valor inicial em 1⋅ , 14% para 2⋅ , 5% para 3⋅ , 2% para 4 ̇ e 0,5% para 5⋅ . Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 2 A constante de tempo tem unidade de tempo (segundos) e corresponde a freqüência natural do circuito. Um circuito RC com apenas um capacitor equivalente e um resistor equivalente sempre apresenta constante de tempo da forma de um produto RC. 5.1.2 O circuito RL (resistor-indutor) O circuito abaixo mostra um indutor sendo carregado por uma fonte de corrente constante. Em t=0 a chave S1 troca de posição e a chave S2 fecha. Para t≥0 v L v R=0 L⋅ { di L R⋅i L =0 e i L 0=I 0 dt di R =− ⋅i dt L i L 0= I 0 Esta é uma equação diferencial de primeira ordem, homogênea, linear de parâmetros constantes cuja solução, de forma semelhante ao problema do circuito RC, é i L t =I 0⋅e −R ⋅t L ⋅u t Esta solução também depende das condições iniciais do problema ( I 0 ) e da topologia do circuito (constante de tempo). Neste caso a constante de tempo é definida como = L R Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 3 que também apresenta unidade de tempo (segundos). 5.2 Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta ao estado zero Para o circuito abaixo a chave S1 abre em t=0 Para t≥0 i C i R =i S dv v C⋅ =i S t e v 0=0 dt R Esta é uma equação diferencial de primeira ordem, linear, não homogênea (com excitação) e condição inicial nula (estado zero). A equação diferencial em questão deve satisfazer outras duas condições impostas pelo circuito: para t=0 + dv i S = (condição imposta pela topologia do circuito) dt C para t=∞ v= R⋅i S t (condição imposta pela fonte) A solução para a equação diferencial linear não homogênea pode ser obtida pela soma da solução homogênea e de uma solução particular que apresenta o mesmo formato da excitação, assim v completa =v hv p . A solução homogênea depende das condições iniciais do Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 4 problema e da sua topologia e a solução particular depende da excitação. Algumas vezes a resposta particular é chamada de resposta forçada pois é imposta pela excitação. Para o exemplo em questão v t =K 1⋅e −1 ⋅t R⋅C R⋅i S t , para t≥0 . sendo que K 1 pode ser calculado pela condição inicial do problema v 0= K 1R⋅i S t =0 K 1=−R⋅i S t , logo −1 v t =R⋅i S t⋅ 1 – e R⋅C ⋅t Se a excitação fosse senoidal a resposta forçada seria senoidal, se a excitação fosse uma exponencial a resposta forçada seria uma exponencial e assim por diante. Exemplo: Se i S t =A1⋅cos ⋅t1 =A ' 1⋅cos ⋅t A ' ' 1⋅sen ⋅t então v p t= A2⋅cos ⋅t2 =A ' 2⋅cos ⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t dv v C⋅ =A ' 1⋅cos ⋅t A ' ' 1⋅sen ⋅t dt R −1 ⋅t v t =K 1⋅e R⋅C A' 2⋅cos ⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t , para t≥0 v 0= K 1 A' 2⋅cos 0=K 1 A' 2=0 K 1=−A' 2 Após o fim do transitório (a exponencial decrescente), o problema restringe-se a Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 5 dv v C⋅ p p =A ' 1⋅cos ⋅tA ' ' 1⋅sen ⋅t dt R como v p t= A' 2⋅cos ⋅t A ' ' 2⋅sen ⋅t então C⋅⋅[−A ' 2⋅sen ⋅t A' ' 2⋅cos ⋅t ]... [ A' 2⋅cos⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t] ... =A ' 1⋅cos ⋅t A ' ' 1⋅sen ⋅t R agrupando os termos em seno e os termos em cosseno podemos montar duas equações: para senos: −C⋅⋅A' 2 A' ' 2 = A' ' 1 R para cossenos: C⋅⋅A' ' 2 A '2 =A ' 1 R A figura abaixo foi produzida com R=1 , C=1F , A1=0 e 1=−900 . A resposta completa é a soma da exponencial (resposta homogênea) com o cosseno defasado (resposta particular). A influência da exponencial desaparece depois de 5 constantes de tempo por isso a resposta homogênea é chamada de resposta transitória ao passo que a resposta particular é chamada de resposta em regime permanente. Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 6 5.3 Linearidade da resposta ao estado zero É uma propriedade de qualquer circuito linear que a resposta ao estado zero é uma função linear da excitação, isto é, a dependência da resposta ao estado zero com a forma de onda da excitação é expressa por uma função linear. Se o símbolo Z t0 for utilizado para representar uma rede no estado zero então a linearidade é obtida se forem satisfeitas as seguintes condições. Z t0 i 1i 2 =Z t0 i 1 Z t0 i 2 Z t0 k⋅i 1=k⋅Z t0 i 1 Para uma determinada rede, v 1 é a resposta a excitação com uma fonte i 1 t tal que dv 1 v 1 C⋅ =i 1 t com v 1 0=0 dt R e v 2 é a resposta para uma excitação i 2 t de tal forma que dv v C⋅ 2 2 =i 2 t com v 2 0=0 . dt R A soma das duas equações resulta em dv 1 dv 2 v 1 v 2 C⋅ C⋅ =i 1 t i 2 t dt dt R R ou seja d v 1v 2 1 C⋅ ⋅v 1v 2 =i 1 t i 2 t com v 1 0v 2 0=0 dt R o que satisfaz a primeira condição para linearidade. Caso a fonte i 1 t seja multiplicada por por um determinado valor k então Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 7 d k⋅v 1 k⋅v 1 C⋅ =k⋅i 1 t com k⋅v1 0=0 dt R Assim as duas condições para linearidade são satisfeitas se a rede estiver no estado zero mesmo que R e C forem variantes com o tempo. 5.4 Invariância com o tempo Seja uma rede linear invariante excitada por uma corrente i 1 e cuja resposta ao estado zero seja v 1 tal que dv 1 v1 =i . dt 1 Agora, supondo que a excitação mude para i 1 t−T1 , então a resposta ao problema é v 1 t−T1 tal que dv 1 t−T1 v 1 t−T1 =i 1 t−T1 dt cuja solução é idêntica a da equação dy y =x onde dt y=v 1 t−T1 e x=i 1 t−T1 com v 1 0−T1=0 . Isto significa que em uma rede invariante a resposta ao estado zero é deslocada T1 segundos se a entrada estiver deslocada T1 segundos. 5.5 Circuito linear invariante de primeira ordem – resposta completa Para os casos onde haja condição inicial não nula e excitação diferente de zero a resposta da equação diferencial corresponde a soma da resposta a excitação zero mais a resposta ao estado zero. Isto pode ser demonstrado se as equações para o caso de excitação Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 8 zero e estado zero forem analisadas separadamente e em conjunto. Separadamente estas equações são dv v C⋅ I I =0 (equação para o circuito RC com excitação zero) dt R dv v C⋅ O O =i S t (equação para o circuito RC com estado zero) dt R onde v I e v O são as respostas a excitação zero e ao estado zero respectivamente. Somando as equações temos dv v dv v C⋅ I I C⋅ O O =i S t dt R dt R que pode ser reescrita como d v I v 0 v I v 0 C⋅ =i S t . dt R Por esta razão a soma das respostas separadas corresponde a solução para o problema completo. v C t=v I tv O t , para t≥0 . v C t=v 0⋅e −1 ⋅t R⋅C R⋅i S⋅ 1 – e −1 ⋅t R⋅C . Esta resposta completa também pode ser obtida pela soma da resposta transitória e da resposta em regime permanente. v C t=v transitoria t v permanente t −1 ⋅t v C t=v 0 – R⋅i S ⋅e R⋅C R⋅i S t , para t≥0 . Se a excitação é um degrau ou um impulso a resposta sempre terá o formato Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 9 sol t=sol ∞−[sol ∞−sol 0]⋅e −t onde sol corresponde a solução do problema (corrente ou tensão) e é a constante de tempo do circuito, seja ele RC ou RL. Exemplo: Determinar a equação da tensão sobre o capacitor da figura abaixo. A chave S1 abre para t=0 e a chave S2 fecha para t=R1⋅C . para t≤0 v C =0 para 0≤t≤R1⋅C v C 0=0 v C ∞=R1⋅I v C =R1⋅I⋅ 1 – e −t R1⋅C para t=R1⋅C=T1 v C T1=R1⋅I1⋅ 1− v C ∞= I⋅ 2 =C⋅ R1⋅R2 R1 R2 R1⋅R2 R1 R2 1 e Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 10 v C t=v C T1⋅e −t −T1 2 vC ∞⋅ 1 – e v C t =v C ∞−[v C ∞−v C T1]⋅e −t – T1 2 −t −T1 2 =v excitação zerov estado zero =v permanente v transitória 5.6 Generalização 5.6.1 Resposta a excitação zero A resposta a excitação zero é a resposta do circuito quando a excitação é nula. Assim a equação diferencial que descreve o sistema é dn y d n−1 y a ⋅ ...a n⋅y=0 1 dt n dtn −1 O polinômio característico desta equação é s na 1⋅s n−1...a n−1⋅sa n=0 e as raízes deste polinômio são as chamadas freqüências naturais da variável de rede y. Se todas as raízes forem distintas então n y t=∑ k i⋅e s ⋅t i i =1 onde as constantes ki são determinadas pelas condições iniciais. Se alguma das raízes coincidirem então a resposta deve ser reescrita levando-se em conta os termos com potência de t adequadas. 5.6.2 Resposta ao estado zero A resposta ao estado zero é da forma n y t=∑ k i⋅e s ⋅t y p t i i =1 Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 11 onde yp é uma solução particular que depende da excitação w e, por conveniência, podem ser escolhidas de acordo com a tabela abaixo. As constantes ki são obtidas pelas condições iniciais. Função forçada Solução assumida K A K⋅t A⋅t B K⋅t 2 A⋅t 2 B⋅tC K⋅sen⋅t A⋅sen ⋅tB⋅cos ⋅t K⋅e−a⋅t −a⋅t A⋅e 5.7 Exercícios 1) Um circuito RC série no qual entra uma onda quadrada está representado na figura a seguir. A entrada é formada por um trem periódico de pulsos com uma amplitude de 10V e uma largura de 1ms, sendo cada pulso gerado a cada 2ms. A constante de tempo do circuito é de 0,1ms. Calcule a tensão sobre o capacitor v C e o resistor v R . Quando a fonte V é considerada entrada e a saída corresponde a v C o circuito é chamado de passa baixas e quando a saída é v R o circuito é chamado passa altas. Qual seria a razão para estes nomes? Transformando o circuito Thévenin em um equivalente Norton e resolvendo o problema dv v v − C C⋅ C R R dt Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 12 dv C v v C = dt R⋅C R⋅C onde R⋅C =constante de tempo==0,1 ms 1 − ⋅t v C =k 1⋅e k 2 Para os 0,1ms onde v=10V v C ∞=10V 1 − ⋅t v C t=[ vC 0−10]⋅e 10 a tensão chega a 10V em 0,5ms (5 constante de tempo) Para os 0,1ms onde v=0V v C ∞=0V 1 − ⋅t v C t=10⋅e a tensão chega a 0V em 1,5ms. Do segundo pulso em diante 1 − ⋅t v C t=−10⋅e 1 − ⋅t v C t=10⋅e 10 (considerando que t=0 quando a fonte muda para 10V) (considerando que t=0 quando a fonte muda para 0V) Fazendo o gráfico destas funções observa-se que o desenho se parece com a onda quadrada da entrada porém apresenta as bordas arredondadas. As bordas são mudanças rápidas associadas a altas frequências. Os patamares, que não mudam, estão associados as baixas frequências. Por esta razão este circuito é chamado de passa baixas (passa baixas frequências). Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 13 v R t =v−vC t 1 − ⋅t v R t =10⋅e (considerando que t=0 quando a fonte muda para 10V) 1 − ⋅t v R t =10−10⋅e (considerando que t=0 quando a fonte muda para 0V) Fazendo o gráfico destas funções percebe-se que o desenho mantém as bordas da onda quadrada mas “zera” as partes constantes. Por esta razão este circuito é chamado de passa altas (passa altas frequências). V(V1,C1) – tensão sobre o resistor 2) Considere o circuito linear invariante mostrado na figura abaixo. Seja v C 0=1V e V =30⋅cos 2 ̇⋅1000⋅t ⋅u tV . Calcular a corrente do circuito para t≥0 . Determinar se há alguma condição inicial para o capacitor e/ou fase para o sinal V tal que a resposta transitória seja nula. Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 14 dv v [ A' 1⋅cos ⋅t A ' ' 1⋅sen ⋅t ] C⋅ = dt R R onde =2⋅⋅1000 , A ' 1=30 e A ' ' 1=0 −1 ⋅t v t =K 1⋅e R⋅C A' 2⋅cos ⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t , para t≥0 v 0= K 1 A' 2⋅cos 0=K 1 A' 2=1 se v 0= A' 2 então K 1=0 e não há transitório Após o fim do transitório (a exponencial decrescente), o problema restringe-se a dv v [ A ' 1⋅cos ⋅t ] C⋅ p p = dt R R como v p t= A' 2⋅cos ⋅t A ' ' 2⋅sen ⋅t então C⋅⋅[−A ' 2⋅sen ⋅t A' ' 2⋅cos ⋅t ]... [ A' 2⋅cos⋅t A' ' 2⋅sen ⋅t] [ A' 1⋅cos ⋅t ] ... = R R agrupando os termos em seno e os termos em cosseno podemos montar duas equações: para senos: −C⋅⋅A' 2 A' ' 2 =0 R para cossenos: C⋅⋅A' ' 2 A '2 =30 R Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 15 3) No circuito abaixo o indutor está descarregado quando a chave S1 abre e a chave S2 fecha. a) Calcule a energia armazenada no indutor no instante t=4s; b) Em t=4s a chave S1 fecha e a S2 abre. Calcule a corrente que passa pelo resistor de 4Ω para t>4. Indique o sentido correto desta corrente; c) Calcule a energia total dissipada no resistor de 4Ω no intervalo 4t∞ . a) Transformando o Norton (I=10A e R=2Ω) em Thévenin di L R R ⋅i L= ⋅I S dt L L di L 1 1 ⋅i L = ⋅10=2,5 dt 4 4 i L 0=0A , i L ∞=10A −t i L t =10 – 10⋅e 4 para t>0 −1 i L 4=10 – 10⋅e =6,32 A 1 1 2 2 w L 4= ⋅L⋅i L 4= ⋅8⋅6,32 =159,8 J 2 2 b) L 8 i L 4=6,32 A e i L ∞=0 e = = =2 R 4 i L t =6,32⋅e −t −4 2 para t>4 Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 16 c) ∞ w R =∫ R⋅I 2 t dt 0 ∞ w R =4⋅∫ 6,322⋅e −2⋅ t−4 2 ∞ ⋅dt=4⋅6,322⋅−1⋅e−t −4∣4 =159,8 J 4 4) Para os problemas abaixo, cujas condições iniciais foram calculadas no módulo anterior calcule tensão e corrente sobre o capacitor ou indutor. a) Considere I S1 t uma fonte constante e independente e o capacitor descarregado. −I S1 i R1i C =0 e i R1=I S1−i C 1 −R1⋅i R1 ⋅∫ i C t ⋅dtR1⋅i C =0 – considerando v C 0=0 C derivando esta equação di di 1 R1⋅ C ⋅i C R 1⋅ C =0 dt C dt di C 1 ⋅i =0 dt C⋅ R1R1 C −t i C t =k⋅e C⋅ R R 1 i C 0+ = 1 R1⋅I S1 =k R1R1 Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 17 −t R ⋅I it = 1 S1 ⋅e C⋅ R R para t>0 R 1 R 1 1 1 b) Considere I 1 t uma fonte constante e independente. i L1 0- =i L1 0+ = I1 ⋅G G1 G2 2 i L1 ∞=I1 Com o modelo Norton (I1, R1) transformado em um modelo Thévenin o problema I1⋅R1=L⋅ = di L1 R1⋅I1 dt L1 R1 1 − ⋅t i L1 t =k 1⋅e k 2 , para t>0. i L1 ∞=k 2= I1 , i L1 0=k 1k 2= k 2= I1 , k 1=− I1 ⋅G G−1G2 2 I1⋅G1 G 1G 2 di t , para t>0. v L1 t =L⋅ L1 dt c) Considere V 1 t uma fonte constante e independente Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 18 V TH =− 40 20 V , RTH =R N = , I N =−2A 9 9 + v C1 0 =V TH , v C1 ∞= V TH ⋅R =3,48V RTH R2 2 Considerando o equivalente Norton, teremos um circuito formado por C1, R2, RN e IN em paralelo. Este circuito já foi calculado. R EQ= R2⋅RN R2 R N I N =C⋅ dvC1 v C1 dt R EQ =REQ⋅C 1 1 − ⋅t v C1 t=k 1⋅e k 2 , para t>0. v C1 ∞=k 2=3,48 v C1 0=k 1k 2=−4,44 k 1=−7,92 d) I 1 t é um degrau unitário de corrente. Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 19 Observe que neste circuito R1 esta em paralelo com L1. Este conjunto está em série com o paralelo de C2 com R2. Desta forma este circuito é equivalente a dois circuitos paralelo independentes: a) I1, R1 e L1 ; b) I1, R2 e C2. − i L1 t =k 1⋅e R1 ⋅t L1 − v C2 t=k 3⋅e k 2 1 ⋅t R2⋅C 2 k 4 e) I 1 t é um degrau de corrente de 10mA e I 2 t é uma fonte de corrente constante de 4mA. Solução: Calculando o equivalente Norton nos terminais do capacitor R EQ=RTH =12k // 20k16k =9k i EQ=[10⋅u t – 4]mA V C1 0– =− 4 mA⋅[20k 12k // 16k] ⋅12k =−16V 20k12k Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 20 i C 0+ =6mA 16V =7,77 mA 9k i C ∞=0 dv C v i C = EQ dt REQ⋅C C + i C t =i C 0 ⋅e −t C⋅REQ ⋅u t mA f) V 1 t é um pulso de tensão de amplitude 10V e largura 0,5s. v R2=V1 logo i R2= V1 (a mesma corrente que flui pelo paralelo de C1 com R1) R2 v C1 =v R1=Vo Para 0<t<0,5 v C1 0+ =0V , v C1 ∞=− V1 ⋅R R2 1 =R1⋅C 1 1 − ⋅t v C1 t=k 1⋅e k 2 v C1 ∞=k 2=−5 Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 21 v C1 0=k 1k 2=0 k 1=5 Para t>0,5 − v C1 0,5=5⋅e 1 ⋅0,5 0,1 −5≈−4,9V , v C1 ∞=0V 1 − ⋅ t−0,5 v C1 t=k 3⋅e k 4 k 4 =0 v C1 0,5=k 3 =−4,9 g) V 1 t é um pulso de tensão de amplitude 10V e largura 6⋅R⋅C segundos. Transformando o Thévenin (V1, R1) em um modelo Norton dv v V1 =C⋅ C1 C1 R1 dt R1 Para 0t6⋅R1⋅C 1 v C1 0+ =0V , v C1 ∞=V1 =R1⋅C 1 Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 22 1 − ⋅t v C1 t=k 1⋅e k 2 1 − ⋅t v C1 t=−V1⋅e V1 Para t6⋅R1⋅C 1 v C1 6⋅R1⋅C 1 =−V1⋅e − 1 ⋅6⋅R1⋅C 1 R1⋅C 1 V1≈V1 , v C1 ∞=0V 1 − ⋅ t−6⋅R1⋅C 1 v C1 t=V1⋅e h) V 1 t é uma fonte constante e independente. Solução: i L 0– = V1 V1 , i L ∞= , i L 0+ =i L 0- R1 R1 – + v C 0 =V 1 , v C 0 =V 1 , v C ∞=0V dv C v C C⋅ =0 dt R −t v C t =6⋅e R⋅C V para t>0. Princípios de Instrumentação Biomédica – COB781 23