Apostila

PROBABILIDADE
E
ESTATÍSTICA
(1000 ton)
2500
Gráfico 4.1. Produção de Arroz do Município X - 1984-1994
2000
1500
1000
500
0
84
85
86
87
88
89
90
91
Luiz Roberto M. Bastos
2005
92
93
94
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
SUMÁRIO
1
TEORIA DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS .....................
5
1.1
Introdução .......................................
5
1.2
Símbolos .........................................
5
1.3
Noções sobre Conjuntos ...........................
6
1.4
Conjunto dos Números Naturais (N) ................
7
1.5
Conjunto dos Números Inteiros (Z) ................
8
1.6
Representação decimal das frações ................
11
1.7
Conjunto dos Números Irracionais .................
12
1.8
Conjunto dos Números Reais (R) ...................
12
1.9
Intervalos .......................................
13
1.10
Problemas com número finito de elementos .........
14
ANÁLISE COMBINATÓRIA ...............................
17
2.1
Introdução .......................................
17
2.2
Fatorial de um número natural ....................
18
2.3
Princípio fundamental da contagem - PFC ..........
19
2.4
Arranjos simples .................................
23
2.5
Cálculo do número de arranjos ....................
23
2.6
Permutações simples ..............................
25
2.7
Permutações com elementos repetidos ..............
27
2.8
Combinações simples ..............................
28
2.9
Exercícios .......................................
33
PROBABILIDADE .......................................
34
3.1
Experimento aleatório ............................
34
3.2
Espaço amostral ..................................
35
2
3
2
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
3.3
Evento ...........................................
36
3.4
Probabilidade de um Evento .......................
36
3.5
Evento complementar ..............................
38
3.6
Probabilidades em espaços amostrais equiprováveis
38
3.7
Probabilidade da união de dois eventos ...........
43
3.8
Experiência Composta .............................
45
3.9
Probabilidade condicional ........................
46
ESTATÍSTICA BÁSICA ..................................
48
4.1
Conceitos fundamentais ...........................
48
4.2
Divisão da estatística ...........................
49
4.3
População ........................................
50
4.4
Amostragem .......................................
52
4.5
Amostra ..........................................
52
4.6
Censo ............................................
52
4.7
Tipos de variáveis ...............................
53
4.8
Definição do problema ............................
54
4.9
Definição dos objetivos (geral e específico) .....
55
4.10
Planejamento ......................................
56
4.11
Coleta dos dados ..................................
56
4.12
Crítica dos dados .................................
57
4.13
Apuração (armazenamento) dos dados ................
58
4.14
Exposição ou apresentação dos dados ...............
58
4.15
Análise e interpretação dos dados .................
59
4.16
Regras de arredondamento ..........................
59
4.17
Série temporal, histórica ou cronológica ..........
60
4.18
Gráficos estatísticos .............................
61
4
3
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Principais tipos de gráficos ......................
62
4.19.1 Gráficos em curvas ou em linhas ...................
62
4.19.2 Gráficos em colunas ...............................
63
4.19.3 Gráficos em barras ...............................
65
4.19.4 Gráfico em colunas múltiplas (agrupadas) .........
66
4.19.5 Gráfico em barras múltiplas (agrupadas) ..........
67
4.19.6 Gráfico em setores ...............................
68
4.20
Distribuição de freqüências ......................
69
4.21
Distribuições cumulativas ........................
74
4.22
Medidas de posição (ou de tendência central) .....
75
4.22.1 Média aritmética .................................
76
4.22.2 Esperança matemática ............................
79
4.22.3 Moda (mo) .......................................
79
4.22.4 Mediana (md) ....................................
81
4.22.5 Medidas de dispersão (medidas de variabilidade) .
82
4.22.6 Variância .......................................
83
4.22.7 Desvio-padrão ...................................
84
4.23
88
4.19
Distribuições discretas de probabilidade ........
4.23.1
Distribuição de “bernoulli” .....................
88
4.23.2
Distribuição binomial ...........................
88
BIBLIOGRAFIA ...........................................
4
91
Probabilidade e Estatística
1
Luiz Roberto
TEORIA DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS
1.1 Introdução
Conjuntos numéricos são certos conjuntos cujos elementos são números
que guardam entre si alguma característica comum. Tais conjuntos possuem
elementos perfeitamente caracterizados e, dentre eles, o conjunto dos números
naturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, o dos
números reais.
O conjunto dos números naturais surgiu da necessidade de se contarem os
objetos; os outros foram surgindo com ampliações do conjunto dos números
naturais.
Para se trabalhar com conjuntos, são adotados símbolos que representam
os relacionamentos entre eles.
1.2
Símbolos
I
: pertence
: existe
: não pertence
: não existe
: está contido
: para todo (ou qualquer que seja)
: não está contido
: conjunto vazio N
: contém
N: conjunto dos números naturais
: não contém
Z : conjunto dos números inteiros
: tal que
Q: conjunto dos números racionais
: implica que
Q'= I: conjunto dos números irracionais
: se, e somente se
R: conjunto dos números reais
: pertence
∨
: existe
∧
: ou
:e
Símbolos sobre Operações
: A intersecção B
a > b: a maior que b
: A união B
: a maior ou igual a b
a - b: diferença de a com b
: a e b
a < b: a menor que b
: a ou b
: a menor ou igual a b
≠
5
: Diferente
Probabilidade e Estatística
1.3
Luiz Roberto
Noções sobre Conjuntos
Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto
vazio é representado por
ou { }.
Subconjuntos:
todos
quando
os
elementos
de
um
conjunto
A
qualquer
pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B,
ou seja A
Obs.:
B.
Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja
;
- O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto,
ou seja
União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos
, formado por todos os
conjuntos A e B ao conjunto representado por
.
elementos pertencentes a A ou B, ou seja:
Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como
intersecção dos conjuntos A e B ao conjunto representado por
por todos
os elementos pertencentes a A e
Diferença
de
Conjuntos:
dados
os
, formado
B, simultaneamente, ou seja:
conjuntos
A
e
B,
define-se
como
diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado
por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B, ou seja
6
Probabilidade e Estatística
1.4
Luiz Roberto
Conjunto dos Números Naturais (N)
N é o conjunto dos números naturais:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}
Onde n representa o elemento genérico do conjunto.
Sempre
que
possível,
procuraremos
destacar
o
elemento
genérico
do
conjunto em questão.
Quando houver “...” ao final dos elementos de um conjunto, trata-se de
um conjunto de infinitos elementos, como acontece com N.
O conjunto N pode ser representado geometricamente por meio de uma reta
numerada; escolhemos sobre essa reta um ponto de origem (correspondente ao
número
zero),
uma
medida
unitária
e
uma
orientação
(geralmente
para
a
direita).
unidade
O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos importantes:
1°
O conjunto dos números naturais não nulos
N* ={1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}
N* = N - {0}
Utilizamos o * (asterisco) à direita do nome do conjunto do qual se
quer suprimir o elemento zero.
2°
O conjunto dos números naturais pares:
Np={0, 2, 4, 6, ..., 2n, ...}
3°
n
∈
N
O conjunto dos números naturais ímpares:
Ni={1, 3, 5, 7, ..., 2n+1, ...}
7
n
∈N
Probabilidade e Estatística
4°
Luiz Roberto
O conjunto dos números primos:
Pi={2, 3, 5, 7, 11, 13 ...}
No conjunto dos números naturais estão definidas duas operações: adição
e
multiplicação.
Note
que
adicionando
ou
multiplicando
dois
elementos
quaisquer de N, a soma ou o produto pertence igualmente a N. Em símbolos,
temos:
m,n
N, m + n
N
e
m*n
N
Essa característica pode ser sintetizada na frase:
“N é fechado em relação à adição e à multiplicação”.
1.5
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Todos os elementos de N pertencem também a Z, o que vale dizer que N é
subconjunto de Z:
N
Z
ou Z
N
Temos também outros subconjuntos de Z:
Z* = Z - {0}
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}
Z+ = {0,1,2,3,4,5,...}
conjunto dos inteiros não negativos
Z *+ = {1,2,3,4,5,...}
conjunto dos inteiros positivos
Z_ = {..., -4, -3, -2, -1, 0}
conjunto dos inteiros não positivos
Z *__ = {..., -4, -3, -2, -1}
conjunto dos inteiros negativos
Observe que
Z+ = N.
8
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Números Opostos
Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam
soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem
(zero).
Considerando
os
números
inteiros
ordenados
sobre
uma
reta,
podemos
tomar como exemplo o número 2.
O oposto de 2 é –2, e o oposto de –2 é 2, pois:
2 + (-2) = -2 + 2 = 0
2 unidades
2 unidades
No geral, dizemos que o oposto (ou simétrico) de a é -a., e vice-versa;
particularmente, o oposto de zero é o próprio zero.
Módulo de um número inteiro
Damos o nome de módulo, ou valor absoluto de a, à distância da origem
ao ponto que representa o número a.
Conjunto dos Números Racionais (Q)
O conjunto Z é fechado em relação às operações adição, multiplicação e
subtração, mas o mesmo não acontece à divisão: embora
(-12):(+4) = -3
Z,
não existe número inteiro x para o qual se tenha x = (+4) : (-12). Por esse
motivo, fez-se uma ampliação do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos
números racionais.
O conjunto dos números racionais é inicialmente descrito como o
conjunto dos quocientes entre dois números inteiros.
Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma
de fração (com o numerador e denominador
Z), ou seja, o conjunto dos
números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações
positivas e negativas.
9
Probabilidade e Estatística
Q =
Luiz Roberto
2 2
1 1
p
0, ± 1,± , ± ,.... ± 2,± ,± ,...,± ,...
3 5
2 3
q
I
p e q inteiros e q ≠ 0
Utilizando o elemento genérico, podemos dizer que:
Q =
p
q
I
p
Z*
Z e q
Desta forma, podemos definir Q como o conjunto das frações
um número é racional quando pode ser escrito como uma fração
p
;
q
assim,
p
, com p e q
q
inteiros e q ≠ 0.
Quando q = 1, temos
p
= p
1
p
=
q
Z, de onde se conclui que Z é
subconjunto de Q.
Assim, podemos construir o diagrama:
N
Z
Q
No conjunto Q destacamos os seguintes sub-conjuntos:
*
Q : conjunto dos racionais não nulos
Q+ : conjunto dos racionais não negativos
*
Q + : conjunto dos racionais positivos
Q _ : conjunto dos racionais não positivos
*
Q _ : conjunto dos racionais negativos
O
conjunto
Q
é
fechado
para
multiplicação e divisão.
10
as
operações
adição,
subtração,
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Exemplos:
−3 −6 −9
=
=
1
2
3
1 2 3
b) 1 = = =
1 2 3
a) − 3 =
Assim, podemos escrever:
Q = {x | x =
1.6
p
, com p ∈ Z , q ∈ Z e q ≠ 0}
q
Representação decimal das frações
Tome
um
número
racional
p , tal que p não é múltiplo de q.
q
Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo
denominador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1°) O número decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de
algarismos (não nulos):
1
= 0,5
2
−
5
= −1,25
4
75
= 3,75
20
Tais números racionais são chamados decimais exatos.
2°) O número decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem
todos nulos), que se repetem periodicamente:
9
= 0,777... = 0,7
7
1
= 0,333... = 0,3
3
1
= 0,0454545... = 0,045
22
167
= 2,5303030... = 0,530
66
11
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de
número racional.
1.7
Conjunto dos Números Irracionais (I)
Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja,
os números que não podem ser escritos na forma de fração (divisão de dois
inteiros).
Vejamos alguns exemplos:
1.
O número 0,212112111... não é dízima periódica, pois os algarismos
após a vírgula não se repetem periodicamente.
2.
O
número
0,203040...
também
não
comporta
representação
fracionária, pois não é dízima periódica.
3.
Os números
π=3,1415926535... ,
2 = 1,4142136… e
3 = 1,7320508…
por não apresentarem representação infinita periódica, também não são números
racionais.
1.8
Conjunto dos Números Reais (R)
Dados os conjuntos dos números racionais (Q) e dos irracionais (I),
definimos o conjunto dos números reais como:
R = Q ∪ I = {x | x é racional ou x é irracional}
O diagrama abaixo mostra a relação entre os conjuntos numéricos:
I
R
12
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Além desses (N, Z, Q, I), o conjunto dos números reais apresenta
noutros subconjuntos importantes:
R* = {x
R I x ≠ 0}
R+ = {x
R I x ≥ 0}
conjunto dos números reais não negativos
R *+ = {x
R I x > 0}
conjunto dos números reais positivos
R- = {x
R I x ≤ 0}
conjunto dos números reais não positivos
R *− = {x
conjunto dos números reais não nulos
R I x < 0}
conjunto dos números reais negativos
Portanto, os números naturais, inteiros, racionais e irracionais
são todos números reais. Como subconjuntos importantes de “I” temos:
I* = I - {0}
I+ =
conjunto dos números reais não negativos
I_ = conjunto dos números reais não positivos
Entre dois números inteiros existem infinitos números reais. Ex:
Entre os números 1 e 2 existem infinitos números reais:
1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; 1,1 ;
1,2
; 1,5 ; 1,99 ; 1,999 ; 1,9999 ...
Entre os números 5 e 6 existem infinitos números reais:
5,01 ; 5,02 ; 5,05 ;
1.9
5,1 ;
5,2
; 5,5 ; 5,99 ; 5,999 ; 5,9999 ...
Intervalos
a) Intervalo Aberto:
]a,b[ = {x
R
I
a < x < b}
3
5
3
5
3
5
3
5
b) Intervalo Fechado:
[a,b] = {x
R
I
a ≤ x ≤ b}
c) Intervalo aberto à direita:
[a,b[ = {x
R
I
a ≤ x < b}
d) Intervalo aberto à esquerda:
]a,b] = {x
R
I
a < x ≤ b}
13
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Existem ainda os intervalos infinitos:
e)
]-∞,a] = {x
R
f)
]-∞,a[ = {x
R
I
x ≤ a}
I
x < a}
3
3
g)
[a, +∞[ = {x
R
I
x ≥ a}
3
h)
]a, +∞[ = {x
R
I
x > a}
3
1.10
Problemas com número finito de elementos
Exemplo 1
O Instituto de Meteorologia de Curitiba quis fazer um estudo de variação da
temperatura à sombra e mediu-a de hora em hora, conforme a tabela abaixo:
Hora
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Temperatura
7°
6°
5°
4°
3°
2°
2°
3°
5°
7°
12°
15°
Hora
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Temperatura
18°
18°
20°
20°
20°
18°
15°
13°
11°
9°
8°
7°
Nesse exemplo, são medidas duas grandezas: a hora do dia e a correspondente
temperatura. A cada hora corresponde uma única temperatura. Dizemos, por
isso, que a temperatura é função da hora. Como à mesma temperatura podem
corresponder várias horas, a hora não é função da temperatura.
Exemplo 2
Uma barraca na praia da Barra da Tijuca vende cocos e exibe a seguinte
tabela:
Números de cocos
Preço (R$)
1
2
3
4
5
6
7
8
1,20 2,40 3,60 4,80 6,00 7,20 8,40 9,60
14
9
10
10,80
12,00
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Nesse exemplo estão sendo medidas duas grandezas: o número de cocos e o
respectivo preço. A cada quantidade de cocos corresponde um único preço.
Dizemos, por isso, que o preço é função do número de cocos comprados. Aqui é
possível até achar a fórmula que estabelece a relação de interdependência
entre o preço (y) e o número de cocos (x): y = 1,20 x.
Exemplo 3
Um pedreiro vai ladrilhar uma sala de 3 x 3 metros. Com ladrilhos quadrados,
todos iguais entre si. Se ele pode escolher ladrilhos com lados 10 cm, 12 cm,
15 cm, 20 cm, 25 cm e 30 cm, qual é o número de ladrilhos que usará em cada
caso?
Para achar o número de ladrilhos (y), basta dividir a área da sala (9m2) pela
área do ladrilho (em m2). Se o lado mede x m2, então a fórmula que relaciona y
com x é: y = 9/x2.
Medida do lado do ladrilho (x)
0,10
0,12
0,15
0,20
0,25
0,30
Número de ladrilhos (y)
900
625
400
225
144
100
Exercícios
1.
A tabela abaixo indica o deslocamento de um móvel num dado intervalo
de tempo:
Intervalo de tempo (s)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Deslocamento (cm)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
a) Qual é o deslocamento do móvel num intervalo de 4 segundos?
b) Qual é o intervalo de tempo correspondente a um deslocamento de 21 cm?
c) O deslocamento é função do intervalo de tempo?
d) Qual é o deslocamento d num intervalo de tempo t? (supor velocidade do
móvel constante).
2.
A tabela abaixo indica o custo de produção de certo número de peças de
automóvel:
Número de peças
1
2
3
4
5
6
Custo (R$)
1
4
9
16
25
36
15
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
a) Qual é o custo da produção de três peças?
b) Qual é o número de peças produzidas com R$25,00?
c) Qual é o custo c da produção de n peças?
d) Com
relação
ao
item
anterior,
qual
é
o
numero
máximo
de
peças
produzidas com R$1.000,00?
3.
O preço do serviço executado por um pintor consiste em uma taxa fixa,
que é de R$250,00, e mais uma quantia que depende da área pintada. A
tabela seguinte mostra alguns orçamentos apresentados pelo pintor:
Área pintada (m2)
Total a pagar (R$)
5
10
15
20
30
40
80
350
550
700
850
1.150
1.450
2.050
a) Como se exprime, matematicamente, o total a pagar (y) pela pintura de x
m2?
b) Qual é o preço cobrado pela pintura de uma área de 150 m2?
c) Qual é a área máxima que pode ser pintada dispondo-se de R$6.250,00?
4.
O num erro de y pessoas (em milhares) que tomam conhecimento do
resultado de um jogo de futebol, após x horas de sua realização é dado
por y = 10 x . Responda:
a) Quantas pessoas sabem o resultado do jogo após 4 horas?
b) Quantas pessoas sabem o resultado do jogo após um dia?
c) Após
quantas
horas
de
sua
realização,
30
mil
pessoas
tomam
conhecimento do resultado do jogo?
5.
A velocidade média de um automóvel em uma estrada é de 90 Km/h.
Responda:
a) Qual é a distância percorrida pelo automóvel em uma hora?
b) Em quanto tempo o automóvel percorre a distância de 360 Km?
c) Qual
é
a
expressão
matemática
que
relaciona
a
distância
percorrida (d) em função do tempo (t)?
6.
Um professor propõe a sua turma um exercício-desafio, comprometendo-se
a dividir um prêmio de R$120,00 entre os acertadores. Seja x o número
de acertadores (x = 1, 2, ..., 40) e y a quantia recebida por cada
acertador (R$). Responda:
a) y é função de x? Por quê?
b) Quais os valores de y para x=2, x=8, x=20 e x=25?
c) Qual é o valor máximo que y assume?
d) Qual é a lei de correspondência entre x e y?
16
Probabilidade e Estatística
2
Luiz Roberto
ANÁLISE COMBINATÓRIA
2.1
Introdução:
A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos
chamados jogos de azar levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória.
Trata-se de uma parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses
estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo
Fontana
(1500-1557),
conhecido
como
Tartaglia.
Depois
dele
vieram
os
franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).
Pascal
Fermat
Tartaglia
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de
uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses
elementos agrupados sob certas condições.
Consideremos o seguinte problema:
Uma lanchonete oferece a seus clientes apenas dois tipos de sanduíches:
hot dog e hambúrger. Como sobremesa, há três opções: sorvete, torta ou salada
de frutas.
Pergunta-se: quantas são as possibilidades de uma pessoa fazer uma refeição
incluindo um sanduíche e uma sobremesa?
Podemos ter as seguintes refeições:
a)
hot dog e sorvete
b)
hot dog e torta
17
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
c)
hot dog e salada de frutas
d)
hambúrger e sorvete
e)
hambúrger e torta
f)
hambúrger e salada de frutas
A determinação de tais possibilidades pode ser simplificada através de um
diagrama, em que, na 1ª coluna, representaremos as possibilidades de escolha
do sanduíche e, na 2ª coluna, as possibilidades de escolha da sobremesa.
1ª coluna
2ª coluna
hot dog
hambúrger
sorvete
Refeição 1
torta
Refeição 2
salada de frutas
Refeição 3
sorvete
Refeição 4
torta
Refeição 5
salada de frutas
Refeição 6
Este esquema é conhecido como diagrama de árvore. Fazendo a leitura de todas
as “ramificações” da árvore, obtemos as possíveis refeições.
Notemos que fazer uma refeição completa representa uma ação constituída de
duas etapas sucessivas:
1ª
escolha
do
tipo
de
sanduíche:
há
duas
possibilidades
de
fazer
tal
escolha.
2ª
escolha da sobremesa: para cada uma das possibilidades anteriores, há
três maneiras de escolher a sobremesa.
Assim, a realização da ação (duas etapas sucessivas) pode ser feita de 2 x 3
= 6 maneiras distintas que foram anteriormente indicadas.
2.2
Para
Fatorial de um número natural
resolver
problemas
de
Análise
Combinatória
precisamos
utilizar
uma
ferramenta matemática chamada Fatorial.
Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado
pelo símbolo n!) como sendo:
n! = n . (n-1) . (n-2) . ... . 4 . 3 . 2 . 1
Se n = 1, então 1! = 1.
Se n = 0, então 0! = 1.
18
para n ≥ 2.
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Exemplos:
a) 6! = 6 . 5! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
b) 4! = 4. 3! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
c) 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040
d) 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1
e) 3! = 3 . 2 . 1 = 6
Perceba que 7! = 7 . 6 . 5 . 4!, ou que
6! = 6 . 5 . 4 . 3!, e assim sucessivamente.
Relação de correspondência:
N! = n . (n – 1)! ,
n
N*
e
n≥ 2
Exercícios:
1) efetuar:
8!
6!
2) efetuar:
(8!+7! )
6!
3) efetuar:
(n + 1)!
(n − 1)!
4) efetuar:
(n − 4)!
(n − 3)!
5) efetuar:
(6!−5! )
+ 0!
5!
6) efetuar:
(n + 2)!
(n + 1)!
7) efetuar:
(10!+9! )
11!
8) efetuar:
7!
6!
8!
+
+
6!
7!
6!
9) efetuar: 6! - 20
10) Resolva a equação: (n+2)! = 6n!
11) Resolva a equação:
2.3
(2n)!
= 12
(2n − 2)!
Princípio fundamental da contagem - PFC
Suponhamos que uma ação seja constituída de duas etapas sucessivas. A
primeira etapa pode ser realizada de p maneiras distintas. Para cada uma
19
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
dessas possibilidades, a 2ª etapa pode ser realizada de q maneiras distintas.
Então, o número de possibilidades de se efetuar a ação completa é dado por
p x q.
Esse princípio pode ser generalizado para ações constituídas de mais de
duas etapas sucessivas.
Se determinado acontecimento ocorre em etapas independentes, e se a
primeira
etapa
pode
maneiras
diferentes,
ocorrer
e
assim
de
k1
maneiras
diferentes,
sucessivamente,
então
o
a
segunda
número
de
k2
T
de
total
maneiras de ocorrer o acontecimento, composto por n etapas, é dado por:
T = k1. k2 . k3 . ... . kn
Exemplo 1
No Brasil as placas dos veículos são confeccionadas usando-se 3 letras do
alfabeto e 4 algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser
licenciado?
Imaginemos a seguinte situação: Placa ACD – 2172.
Como
o
alfabeto
possui
26
letras
e
nosso
sistema
numérico
possui
10
algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26
alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26
alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10
alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número
total de veículos que podem ser licenciados será igual a:
26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000.
Exemplo 2
No Brasil, antes da alteração do sistema de emplacamento de automóveis, as
placas dos veículos eram confeccionadas usando-se 2 letras do alfabeto e 4
algarismos. Qual o número máximo de veículos que podia ser licenciado neste
sistema?
Imaginemos a seguinte situação: Placa AC – 2172.
Como
o
alfabeto
possui
26
letras
e
nosso
sistema
numérico
possui
10
algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1ª posição, temos 26
alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, também teremos 26
alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10
alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos então afirmar que o número
total de veículos que podem ser licenciados será igual a:
26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 6.760.000.
20
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Percebe-se que a inclusão de apenas uma letra faz com que sejam licenciados,
aproximadamente, mais 170.000.000 de veículos.
Exemplo 3
Há quatro estradas ligando as cidades e A e B, e três estradas ligando as
cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando
por B?
Fazer a viagem de A a C pode ser considerado uma ação constituída de duas
etapas sucessivas:
1ª
2ª
ir de A até B: teremos quatro possibilidades
ir de B a C: para cada uma das possibilidades anteriores, há três
maneiras de chegar a C, a partir de B.
Assim, o resultado procurado é 4 x 3
=12.
Exemplo 4
Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de três algarismos
distintos podemos formar?
Formar um número de três algarismos pode ser considerado uma ação constituída
de três etapas sucessivas:
1ª
2ª
escolha do algarismo das centenas: são seis possibilidades.
escolha do algarismo das dezenas: como não pode haver repetição de
algarismo, devemos ter um algarismo diferente do algarismo escolhido para a
centena. Assim, há cinco possibilidades.
3ª
escolha do algarismo das unidades: devemos ter um algarismo diferente dos
dois algarismos escolhidos para a centena e para a dezena. Assim, há quatro
possibilidades.
Pelo PFC, o resultado é: 6 x 5 x 6 = 120 números.
Exemplo 5
Uma prova consta de 10 questões do tipo V ou F. De quantas maneiras distintas
ela pode ser resolvida?
Resolver a prova representa uma ação constituída de 10 etapas sucessivas, que
correspondem à resolução das 10 questões propostas.
Para cada questão, há duas possibilidades de escolha de resposta: V ou F.
Logo, pelo PFC, o resultado é: 2 x 2 x 2 ... x 2 = 210 = 1.024
possibilidades.
10 vezes
21
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Exemplo 6
Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6 e 7?
Algarismo das centenas: com exceção do zero, qualquer um dos algarismos dados
pode ser escolhido, havendo, portanto, sete possibilidades.
Algarismo das dezenas: não há restrição alguma, pois pode haver repetição de
algarismos. Assim, há oito possibilidades.
Algarismo das unidades: analogamente ao anterior, há oito possibilidades.
Logo, pelo PFC:
7 x 8 x 8 = 448.
Exemplo 7
Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar com os
algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?
Algarismo das unidades: há quatro possibilidades (1, 3, 5 e 7).
Algarismo das centenas: há seis possibilidades – devemos excluir o zero e o
algarismo escolhido para a unidade.
Algarismo das dezenas: há seis possibilidades – devemos escolher algarismos
diferentes dos algarismos escolhidos para a centena e unidade.
Assim, pelo PFC, temos: 6 x 6 x 4 = 144 números.
Todo problema de contagem pode, pelo menos teoricamente, ser resolvido pelo
PFC. Porém, na prática, a resolução de alguns desses problemas pode se tornar
muito complicada.
Dessa forma, estudaremos técnicas de contagem de determinados agrupamentos –
baseados no PFC – as quais simplificarão a resolução de muitos problemas.
Consideraremos
sempre
os
agrupamentos
simples:
arranjos,
permutações
e
combinações.
Exemplo 8
Determine
o
número
de
anagramas
da
palavra
MATEMÁTICA.(não
considere
o
acento).
Solução:
Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas
vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos:
n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever: k= 10! /
(2!.3!.2!) = 151.200 anagramas
22
Probabilidade e Estatística
2.4
Luiz Roberto
Arranjos simples
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos n elementos,
tomados
k
a
k,
a
qualquer
seqüência
ordenada
de
k
elementos
distintos
escolhidos entre os n existentes.
Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se
inverter a posição dos seus elementos.
Perceba que para formar centenas com algarismos distintos, utilizando apenas
os 5 primeiros algarismos ímpares (1; 3; 5; 7; 9) teremos as seguintes
centenas: 135; 137; 139; 153, 157, e assim sucessivamente.
Se
invertermos
a
posição
dos
elementos
de
qualquer
uma
destas
centenas
conseguiremos outra centena diferente: 135 • 351.
Temos então um ARRANJO de cinco elementos tomados de três em três.
Exemplo 1
Dado o conjunto A = (1, 2, 3, 4), vamos escrever todos os arranjos desses
quatro elementos tomados dois a dois.
(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (4,
1); (4, 2); (4, 3)
Notamos que (2, 3) ≠ (3, 2), isto é, a troca na ordem dos elementos de um
possível agrupamento gera um agrupamento diferente.
Exemplo 2
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do
cofre é marcado por uma seqüência de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa
tentar
abrir
o
cofre,
quantas
tentativas
deverá
fazer(no
máximo)
para
conseguir abri-lo?
As
seqüências
serão
do
tipo
xyz.
Para
a
primeira
posição
teremos
10
alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Aplicando a fórmula de
arranjos pelo PFC, chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720.
Observe que 720 = A10,3
2.5
Cálculo do número de arranjos
Seja um conjunto de n elementos distintos. Vamos encontrar uma expressão para
o número de arranjos dos n elementos tomados k a k (An,k).
Escrever um arranjo de n elementos formados k a k significa escrever uma
seqüência ordenada de k elementos distintos (k ≤ n), escolhidos entre os n
23
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
disponíveis. Assim, pelo PFC, a ação pedida consta de k etapas sucessivas,
que correspondem às escolhas dos k elementos.
1ª etapa
etapa
2ª etapa
(há n elementos
para serem escolhidos)
n
3ª etapa
...
k-ésima
(como os elementos
devem ser distintos,
há n-1 possibilidades)
n – 1
n – 2
n – (k – 1)
Desta forma, o número total de arranjos dos n elementos tomados k a k é:
An,k = n . (n – 1) . (n – 2) ... (n - k +1)
Multiplicando e dividindo a expressão acima por
(n – k)! = (n – k) (n – k – 1) ... 3 . 2 . 1
An,k = n (n – 1) (n – 2) ... (n - k +1) .
vem:
(n − k )(n − k − 1)...3.2.1
,
(n − k )(n − k − 1)...3.2.1
Isto é:
An,k =
n!
(n − k )!
n
≥
k
Exemplo 3
Obter o valor de A4,2 + A7,3.
Temos
A4,2 =
4!
4!
4.3.2!
=
=
= 12
(4 − 2)!
2!
2!
A7,3 =
7!
7!
7.6.5.4!
=
=
= 210
(7 − 3)!
4!
4!
Exemplo 4
O quadrangular de um torneio mundial de basquete é disputado por quatro
seleções: Brasil, China, Holanda e Itália. De quantas maneiras distintas
podemos ter os três primeiros colocados?
Um possível resultado do torneio é Holanda (campeã), Brasil (2°) e Itália
(3°). Se trocarmos a ordem desses elementos, obtemos, entre outras, Brasil
24
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
(campeão), Itália (2°) e Holanda (3°), que é um resultado diferente do
anterior. Dessa forma, cada resultado do torneio é um arranjo das quatro
equipes tomadas três a três.
Assim, o número de possibilidades é :
An,k =
n!
(n − k )!
Î
4!
(4 − 3)!
A4,3 =
4!
1!
=
=
24
Exemplo 5
A senha de um cartão de banco é formada por duas letras distintas seguidas
por uma seqüência de três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser
confeccionadas?
Como importa a ordem que são escolhidas as letras, o número de maneiras de
escolhê-las é dado por A26,2.
Analogamente, a seqüência de três algarismos distintos pode ser escolhida de
A10,3.
Pelo PFC, o número de senhas que podem ser confeccionas é:
A26,2
x
A10,3
=
650 x 720
=
468.000.
Exemplo 6
Usando-se
as
26
letras
do
alfabeto
(A,B,C,D,...,Z),
quantos
arranjos
distintos com 3 letras podem ser montados?
An,k =
n!
(n − k )!
n=26, k=3
26!
26 . 25 . 24 . 23!
=
= 26.25.24 = 15600
23!
23!
Resposta: A =
2.6
,
Permutações simples
Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com
todos
os
n
elementos
e
que
diferem
uns
dos
outros
pela
ordem
de
seus
elementos.
De outro modo, podemos entender permutação simples como um caso especial de
arranjo, onde n = k, ou seja:
An,k =
n!
(n − k )!
=
n!
0!
=
Chega-se então à relação:
n!
= n!
1
Pn
=
n!
25
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Notemos que a permutação é um caso particular de arranjo, pois, dado um
conjunto de n elementos distintos, selecionamos exatamente n elementos para
forma a seqüência ordenada.
Exemplo 1
Escrever todos os anagramas da palavra SOL.
Um anagrama da palavra SOL é qualquer permutação das letras S, O, L de modo
que se forme uma palavra com ou sem sentido.
Assim, temos:
SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO.
Exemplo 2
De quantas maneiras cinco pessoas, A, B, C, D e E
podem ser dispostas em
fila indiana?
Cada maneira de compor a fila é uma permutação das cinco pessoas, pois
qualquer fila obtida é uma seqüência ordenada na qual comparecem sempre as
cinco pessoas.
Assim, o resultado esperado é:
P5 = 5!
= 120
Exemplo 3
Baseado no exemplo anterior, quantas filas podem ser compostas começando por
A ou B?
A 1ª posição da fila pode ser escolhidas de duas maneiras (pois tanto A como
B pode iniciá-la).
Definido
o
início
da
fila,
restarão
sempre
quatro
lugares
para
preenchidos pelas quatro pessoas restantes, num total de P4 = 4!
serem
=
24
possibilidades.
Pelo PFC, o resultado é: 2 x 24 = 48.
Exemplo 4
Oito pessoas, entre elas, Antonio e Pedro, vão posar para uma foto. De
quantas maneiras elas podem ser dispostas se Antonio e Pedro se recusarem-se
a ficar lado a lado?
Caso não houvesse a restrição mencionada, o número total de possibilidades
seria:
P8 = 8! = 40.320.
Para determinar o número de possibilidades em que Antonio e Pedro aparecem
juntos, vamos considerá-los uma só pessoa, que irá permutar com as seis
restantes, num total de:
26
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
P7 = 7! = 5.040 maneiras.
Porém, para cada uma das possibilidades acima, Antonio e Pedro podem trocar
de lugar entre si, num total de:
P2 = 2! = 2.
Desta forma, o número de possibilidades em que Antonio e Pedro aparecem
juntos é: 2x 5.040
A diferença
= 10.080.
40.320 – 10.080 = 30.240
fornece o número de situações em que
Antonio e Pedro não aparecem lado a lado.
Exemplo 5
Quantas possibilidades de agrupamentos há com os elementos A,B,C?
São possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.
De forma matemática: P3 = 3! = 3 . 2 . 1 = 6
Exemplo 6
Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um
banco retangular de cinco lugares.
P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Exemplo 7
Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que
podem ter ou não significado na linguagem comum. Os possíveis anagramas da
palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. Calcule o número de anagramas
da palavra MUNDIAL.
P7 = 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040
2.7
Permutações com elementos repetidos
Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b
elementos repetidos, c elementos repetidos e assim sucessivamente, o número
total de permutações que podemos formar é dado por:
Pn
(a,b,c)
=
n!
a!b! c!
o
número
Exemplo 1
Determine
de
anagramas
da
palavra
MATEMÁTICA.(não
considere
o
acento)
Temos 10 elementos, com repetições. A letra M está repetida duas vezes, a
27
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
letra A três, a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2,
b=3 e c=2.
P = 10! / (2!.3!.2!) = 151200
Exemplo 2
Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA?
Neste problema temos n = 5 (cinco letras) e a = 2 (a letra A se repete duas
vezes)
P = 5!/2! = 5.4.3 = 60
Exemplo 3
Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA?
Neste problema temos n = 5 (cinco letras), a = 2 (a letra R se repete duas
vezes) e b = 3 (a letra A se repete três vezes).
P = 5!/(3!.2!) = 5.4.3!/(3!.2) = 10
2.8
Combinações simples
Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinação dos n
elementos
de
A,
tomados
k
a
k,
a
qualquer
subconjunto
formado
por
k
elementos, isto é, temos uma combinação quando os agrupamentos conseguidos
permanecem iguais ao se inverter a posição dos seus elementos.
Perceba que se houver cinco pessoas entre as quais desejamos formar grupos de
três, o grupo formado por João, Pedro e Luís é o mesmo grupo formado por
Luís, Pedro e João. Temos, então, uma COMBINAÇÃO de cinco elementos em grupos
de três.
Cálculo do número de combinações
Considere o seguinte problema:
Uma turma é formada por 10 alunos. Deseja-se formar uma comissão de três
alunos
para
representação
discente
na
universidade.
De
quantas
maneiras
podemos fazer tal escolha?
Calculemos inicialmente o número de triplas ordenadas de alunos:
A10,3 =
10!
= 720 seqüências ordenadas.
7!
Suponhamos que A, B, C estejam entre os 10 alunos da turma. Essas 720
possibilidades incluem, entre outras, os seguintes arranjos:
28
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
(A,B,C), (A,C,B), (B,A,C), (B,C,A), (C,A,B) e (C,B,,A)
Em cada um desses casos – que diferem entre si apenas pela ordem – os alunos
A, B e C farão parte da comissão. Assim, os seis arranjos acima passam a ser
equivalentes entre si, correspondendo a uma única combinação
{A, B, C} ,
pois
determinam sempre a mesma comissão.
Desta forma, aos seis arranjos corresponde uma combinação; então, para os 720
arranjos, teremos x combinações:
6 arranjos
1 combinação
720 arranjos
x combinações
Número de arranjos dos 10 alunos tomados três a três
Logo,
720
x =
= 120 comissões
6
Número de permutações da tripla (A,B,C)
De modo geral, qualquer permutação de uma determinada seqüência ordenada dá
origem e uma única combinação.
Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k
a k
(taxa k), temos:
Cn,k =
A n, k
Pk
ou
Cn,k =
n!
k! (n − k )!
,n ≥ k
Exemplo 1
Escrever todas as combinações dos cinco elementos do conjunto
M =
{a, e, i, o, u}
tomados dois a dois.
Devemos determinar todos os subconjuntos de M formados por dois elementos.
Lembremos que não importa a ordem dos elementos escolhidos:
{a, e}
exemplo.
Assim, as combinações pedidas são:
{a, e}, {a, i}, {a, o}, {a, u}, {e, i}, {e, o} , {e, u}, {i, o}, {i, u}, {o, u}
29
=
{e, a},
por
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Exemplo 2
Cinco alunos – Pedro, Luís, José, Abel e Márcio – participam de um concurso
que
serão
sorteadas
três
bicicletas.
Quais
os
possíveis
resultados
do
concurso?
{Pedro, José, Márcio}
Sortear
é o mesmo que sortear
{José, Márcio, Pedro},
pois
nas duas situações, esses alunos ganharão as bicicletas.
Desta forma, cada resultado do sorteio é uma combinação dos cinco alunos
tomados três a três.
Os possíveis resultados do concurso são:
{P, J , M } {P, J , A} {P, M , A} {P, L, J } {P, L, M } {P, L, A} {L, J , A} {L, J , M }
{J , A, M } {L, A, M }
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Exemplo 3
Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De
quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?
Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que
trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com taxa 10.
Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:
C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! /
5.4.3.2.1.10! = 3003
Tanto arranjo como combinação são agrupamentos de k elementos
escolhidos a partir de um conjunto de n elementos. A diferença é que,
no arranjo, se mudarmos a ordem dos elementos de certo agrupamento,
obteremos um novo agrupamento; na combinação, mudando a ordem dos
elementos de certo agrupamento, obtemos o mesmo agrupamento.
Exemplo 3
Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De
quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?
Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que
trata-se
de
C15,10
15!
(15 − 10)!.10!
=
um
problema
=
de
combinação
15!
5!.10!
=
30
de
15
elementos
15.14.13.12.11.10!
5.4.3.2.1.10!
com
taxa
10.
=
3003
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Exemplo 4
Um coquetel é preparado com três bebidas distintas. Se existem 7 bebidas
distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados?
7!
(7 − 3)!.3!
C7,3 =
=
7!
4!.3!
7.6.5.4!
4!.3.2.1
=
=
35
Exemplo 5
Sobre
uma
circunferência
são
marcados
9
pontos,
dois
a
dois
distintos.
Quantas retas podem ser construídas passando por estes 9 pontos?
C9,2 =
9!
(9 − 2)!.2!
=
9!
7!.2!
9.8.7!
7!.2.1
=
=
36
Exemplo 6
Uma pizzaria oferece 15 sabores de pizzas diferentes.
a) De quantas maneiras se pode escolher três desses sabores?
b) Suponha que uma família sempre opte por mussarela. Como poderão ser
escolhidos os outros dois sabores?
Resp. a)
Escolher as pizzas
{P1, P 2, P3}
é o mesmo que escolher as pizzas
{P3, P 2, P1}.
Assim, cada possível escolha é uma combinação das 15 pizzas tomadas três a
três:
C15,3
=
15!
3!12!
=
15.14.13.12!
3.2.1.12!
=
455
Resp. b)
Como um dos sabores já foi definido, os outros dois sabores serão escolhidos
entre os 14 restantes.
C14,2
=
14!
12!2!
=
14.13.12!
12!.2.1
=
91
Exemplo 7
Uma turma tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6 meninas.
a) Quantas comissões de dois meninos e duas meninas podem ser formadas?
O número de escolher os meninos é
C9,2.
O número de escolher as meninas é
C6,2.
Pelo PFC, temos: C9,2
x C6,2
=
36 x 15 =
31
540
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
b) Quantas comissões de quatro pessoas têm pelo menos um menino?
O número total de comissões de quatro pessoas, sem nenhuma restrição, é
C15,4.
O número de comissões onde não aparecem meninos é C6,4, pois as vagas serão
preenchidas pelas meninas.
Assim, o número de comissões onde há pelo menos um menino é:
C15,4 – C6,4 = 1.365 – 15 = 1.350
Exemplo 8
Marcam-se cinco pontos sobre uma reta r. Sobre outra reta s, paralela a r,
marcam-se quatro pontos. Quantos triângulos podem ser formados com vértices
em três quaisquer desses pontos?
Observando a figura, vemos que para construir um triângulo não importa a
ordem dos pontos escolhidos, pois, por exemplo,
{A, B, C}
e
{B, C , A}
determinam
o mesmo triângulo.
B
A
C
Por outro lado, podemos construir um triângulo se escolhermos:
1° caso:
dois pontos de r
e
C5,2 = 10 possibilidades
um ponto de s
C4,1 = 4 possibilidades
Pelo PFC, há 10 x 4 = 40 possibilidades.
2° caso:
um ponto de r
C5,1 = 5 possibilidades
e
dois pontos de s
C4,2 = 6 possibilidades
Pelo PFC, há 5 x 6 = 430 possibilidades.
Dessa forma, o número total de triângulos que podem ser construídos é:
40 + 30 = 70.
32
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Exemplo 9
Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar
aberto?
Para
a
primeira
porta
temos
duas
opções:
aberta
ou
fechada
Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.
Para as seis portas, teremos então, pelo PFC:
N = 2.2.2.2.2.2 = 64
Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas,
teremos então que o número procurado é igual a 64
- 1 = 63.
Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.
2.9
Exercícios
01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7
bebidas
distintas,
quantos
coquetéis
diferentes
podem
ser
preparados?
Resp: 120
02 -
Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos
triângulos
podem
ser
construídos
com
vértices
nos
9
pontos
marcados?
Resp: 84
03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que
somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para
uma viagem?
Resp: 48
33
Probabilidade e Estatística
3
Luiz Roberto
PROBABILIDADE
Todas
as
vezes
que
se
estudam
fenômenos
de
observação,
cumpre-se
distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático que melhor o explique.
Os fenômenos estudados pela Estatística são fenômenos cujos resultados,
mesmo em condições normais de experimentação variam de uma observação para
outra.
Para
a
explicação
desses
fenômenos
–
fenômenos
aleatórios
–
adota-se um modelo matemático probabilístico. Nesse caso, o modelo
utilizado será o CÁLCULO DAS PROBABILIDADES.
3.1
Experimento aleatório
Todo experimento que, repetido em condições idênticas, pode apresentar
diferentes
resultados,
recebe
o
nome
de
experimento
aleatório.
A
variabilidade de resultados deve-se ao acaso.
A
fim
de
se
entender
melhor
a
caracterização
desses
experimentos,
convém observar o que há de comum nos seguintes experimentos:
E1: Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe.
E2: Jogar uma moeda 10 vezes e observar o número de coroas obtidas.
E3: Retirar com ou sem reposição, bolas de uma urna que contém 5 bolas
brancas e seis pretas.
E4: Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima.
E5: Contar o número de peças defeituosas da produção diária da máquina A.
A análise desses experimentos revela:
a) Cada
experimento
poderá
ser
repetido
indefinidamente
sob
as
mesmas
condições.
b) Não se conhece um particular valor do experimento “a priori” , porém
pode-se
descrever todos os possíveis resultados – as possibilidades.
34
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
c) Quando o experimento for repetido um grande número de vezes surgirá uma
regularidade,
isto
é,
haverá
uma
estabilidade
da
fração
f
=
r/n
(freqüência relativa), onde n é o número de repetições e r o número de
sucessos.
3.2 Espaço amostral
Para cada experimento aleatório E, define-se espaço amostral o conjunto
de todos os resultados possíveis desse experimento.
Consideremos um experimento aleatório. O conjunto de todos os possíveis
resultados desse experimento é chamado espaço amostral e indicado por Ω
(letra grega que se lê: “omega”).
Indicaremos o número de elementos de um espaço amostral por n(Ω).
Exemplo 1
a) E = Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) E = jogar duas moedas e observar os resultados.
Ω = {(C,C), (C,K), (K,C), (K,K)} onde C = cara e K = coroa.
Exemplo 2
Lançamos uma moeda honesta e observamos a face voltada para cima:
Temos:
Ω = {K,C}, onde K: cara; e C: coroa; n(Ω) = 2.
Chamamos cada um dos resultados possíveis de ponto amostral.
Exemplo 3
Uma urna contém cinco bolas vermelhas e quatro brancas. Duas bolas são
extraídas, ao acaso, sucessivamente e sem reposição. Observamos a seqüência
de cores das bolas sorteadas.
Para determinar Ω , vamos construir um diagrama de árvore:
1ª extração
2ª extração
vermelha
vermelha
branca
Vermelha
branca
branca
35
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Indicando vermelha por V e branca por B, temos:
Ω =
{(V , V ), (V , B), ( B, V ), ( B, B)}
Î
n(Ω) = 4.
Cada par acima é um dos pontos amostrais de Ω.
3.3
Evento
Evento
é
um
conjunto
de
resultados
do
experimento,
em
termos
de
conjuntos, é um subconjunto de Ω. Em particular, Ω e Ø (conjunto vazio) são
eventos. Ω é dito o evento certo e Ø o evento impossível.
Usando as operações em conjunto, podemos formar novos eventos:
A
U B Î é o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem.
A
I B Î é o evento que ocorre se A e B ocorrem.
Ā
Î
é o evento que ocorre se A não ocorre.
Exemplo 1
a) Seja o experimento E: jogar três moedas e observar os resultados:
Ω = {(c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c), (k,k,k), (k,k,c), (k,c,k),
(c,k,k)}
Seja E1 o evento: ocorrer pelo menos duas caras. Então,
E1 = {(c,c,c),(c,c,k), (c,k,c), (k,c,c)}
b) Seja o evento E2: lançar um dado e observar o número de cima.
Então,
E2 = Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} é um evento certo.
E3: ocorrência de número maior que 8.
E3 = Ø é um evento impossível.
Seja E4: ocorrer múltiplo de 2.
Então E4 = {2, 4, 6}; observe que E4 ⊂ Ω.
Seja E5: ocorrer número ímpar.
Então E5 = {1, 3, 5}; observe que E5 ⊂ Ω.
3.4
Probabilidade de um Evento
Agora podemos quantificar o grau de confiança de qualquer evento.
36
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Atribuímos a cada evento um número obtido da soma das imagens de cada
um
de
seus
elementos
na
relação
de
freqüência.
Este
número
chama-se
probabilidade do evento. Observe como se resolve o seguinte caso.
Exemplo:
O experimento consiste em extrair uma bola do interior de uma caixa e
observar sua cor. Há um total de nove bolas na caixa: duas brancas, três
vermelhas e quatro pretas.
Qual será a probabilidade de tirar uma bola que não seja preta?
Para solucionar esta questão, preparamos o esquema da figura acima:
O espaço amostral da figura acima é:
Elemento
Imagem
(B) branca
2/9
(V) vermelha
3/9
(P) preta
4/9
= {branca, vermelha, preta}
O evento “tirar uma bola de cor diferente do preto”, A = {B,V}, consta
de dois elementos.
Como foi dito na definição de probabilidade, atribuímos a cada evento
um
número
obtido
da
soma
das
imagens
de
cada
elemento
na
relação
de
freqüência.
Portanto, se somarmos as imagens da bola branca, 2/9, e da vermelha,
3/9, que aparecem na relação de freqüência deste exemplo, vamos conhecer o
valor da probabilidade do evento A, indicado por P(A).
Assim,
p(A) =
2
3
5
+
=
9
9
9
Em alguns experimentos aleatórios, cada um dos resultados (eventos
elementares) tem a mesma freqüência relativa esperada.
37
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Este é o caso de lançar uma moeda ou um dado e comprovar o resultado.
Dizemos,
então,
que
o
espaço
amostral
é
equiprovável,
e
que
sua
probabilidade é uniforme.
3.5
Evento complementar
Consideremos um evento E relativo a um espaço amostral Ω. Chamamos
evento complementar de
– indicado por
E
– ao evento que ocorre quando se,
e somente se, E não ocorre.
Observe o seguinte diagrama:
Notemos que E
E
I
= Ø e E
Ω
U
E
= Ω
Exemplo 1
Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se da urna, ao acaso,
uma bola. Se E é o evento “ocorre múltiplo de 3”, então
= {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} Î é o evento “não ocorre múltiplo de 3”.
Notemos que E
3.6
será:
Ω = {1, 2, 3, ..., 10} e E = {3, 6, 9}; logo:
Temos:
E
E
U
E
= Ω.
Probabilidades em espaços amostrais equiprováveis
Consideremos o espaço amostral Ω formado por k pontos amostrais (ou eventos
elementares):
Ω = {a1, a2, a3, ..., ak}
Vamos associar cada um desses pontos amostrais um número real, p{ai}, ou
simplesmente pi, chamado probabilidade do evento {ai}, ou seja, probabilidade
de ocorrência do ponto amostral ai, tal que:
(I)
0 ≤ pi ≤ 1
k
(II)
∑p
i=1
i
= 1 , isto é, p1 + p2 + ... + pk = 1
38
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Consideremos aqui os espaços amostrais equiprováveis, isto é, aqueles cujos
pontos amostrais têm a mesma probabilidade de ocorrer. Assim, se denotarmos
por p a probabilidade de ocorrência de cada um dos pontos amostrais de Ω,
temos, em (II):
Î
p + p + p + ... + p = 1
k . p = 1
Î
p =
1
k
K vezes
A probabilidade de ocorrência de um evento E, formado por r pontos amostrais
E = {a1, a2, a3, ..., ar} , com r ≤ k, é dada por:
Î
P (E) = p1 + p2 + ... + pr
Î
p(E) =
1
1
1
1
+
+
+ …
k
k
k
k
r
Número de elementos de E
=
k
Número de elementos de Ω
Como E ⊂ Ω, temos que
P(E) =
p(E) =
n(E)
n(Ω)
=
Î
n(E)
n(Ω)
n(E) ≤ n(Ω). Assim:
tal que
0 ≤ p(E) ≤ 1
Essa definição de probabilidade é intuitiva, isto é, a probabilidade de
ocorrer
determinado
favoráveis
(ou
evento
número
de
é
dada
caos
que
pala
nos
razão
entre
interessam)
e
o
número
de
casos
o
número
de
casos
possíveis (ou número total de casos).
Assim:
p(E) =
n(E)
n(Ω)
=
Número de casos favoráveis
Número de casos possíveis
Uma vez que o número de casos favoráveis coincide com o número de
elementos do evento, e o número de casos possíveis corresponde ao número de
elementos do espaço amostral, podemos escrever:
p(A) =
f
, onde o evento A tem
k
f
elementos e k o número possível de
elementos. Para ocorrer o evento A, o resultado deve ser algum desses f
elementos, que são os casos favoráveis.
Assim, no exemplo do lançamento de um dado, se o evento A consiste em
obter um “5”, o número de casos favoráveis será 1, pois num dado não-viciado
39
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
só existe um “5”, e o número de casos possíveis é 6, portanto o espaço
= {1,2,3,4,5,6}
amostral é:
Assim, a probabilidade do evento A será: P (A) = 1/6
Quando
dizemos
que
a
probabilidade
do
evento
A
é
1/6,
isto
não
significa que, se jogarmos o dado seis vezes, em uma delas sairá, com toda a
certeza, o número “5”. Pode ser que o número “5” não saia nenhuma vez, ou ele
pode sair mais de uma vez.
A probabilidade 1/6 indica apenas que, se repetirmos esse experimento
um número muito grande de vezes, o evento A vai ocorrer em aproximadamente
1/6 do total de jogadas.
Exemplo 1
Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso.
Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11?
Temos:
Ω = {1, 2, 3, ..., 15}
Seja o evento E: “o número da bola sorteada é maior ou igual a 11”.
Logo: E = {11, 12, 13, 14, 15}.
n(E)
Assim, p(E) =
n(Ω)
=
5
1
=
15
3
= 33,3%
Exemplo 2
Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a
probabilidade desse número ser:
a) menor que 3?
b) Maior ou igual a 3?
a) Temos Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = {1, 2}.
Então,
p(E)
=
2
6
1
3
=
b) basta considerar o evento complementar: Ec = {3, 4, 5, 6}.
Assim,
Note que
n(Ec)
p(E ) =
n(Ω)
c
=
4
6
=
2
.
3
p(E) + p(Ec) = 1
Exemplo 3
Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Qual a probabilidade de
observarmos: a) exatamente uma cara?;
b) No máximo duas caras?
40
Probabilidade e Estatística
Vamos
construir
um
Luiz Roberto
diagrama
de
árvore
onde
na
1ª,
2ª
e
3ª
colunas,
respectivamente, representaremos os possíveis resultados para o 1°, 2° e 3°
lançamentos.
K
K
C
K
C
C
K
(K,K,K)
C
(K,K,C)
K
(K,C,K)
C
(K,C,C)
K
(C,K,K)
C
(C,K,C)
K
(C,C,K)
C
(C,C,C)
K: cara
C: coroa
O espaço amostral é formado pelas oito seqüências indicadas.
a) O evento E1 = {(K,C,C), (C,C,K), (C,K,C)}
n(E1)
Assim, p(E1) =
n(Ω)
=
3
8
=
37,5%
b) As seqüências que nos interessam são aquelas que apresentam nenhuma,
uma ou duas caras. Assim, o evento pedido é:
E2 = {(C,C,C),(K,C,C),(C,K,C),(C,C,K),(K,K,C),(K,C,K),(C,K,K)}
Logo, p(e2) =
7
= 87,5%.
8
Exemplo 4
Uma turma tem 20 homens e 25 mulheres. Deseja-se formar uma comissão de cinco
alunos para representantes de turma. Qual a probabilidade de essa comissão
vir a ser formada exclusivamente por meninos?
O número de elementos de Ω é igual ao número de maneiras de se escolher uma
comissão qualquer de cinco pessoas, a partir dos 45 alunos. Como vimos, n(Ω)
= C45,5 .
O evento que interessa é aquele em que “todos os alunos da comissão são
meninos”. O número de comissões assim existentes é C20,5 .
Assim, a probabilidade pedida é:
C20,5
P(E) =
C45,5
=
0,0126 = 1,26%
41
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Exemplo 5
Escolhe-se,
ao
acaso,
um
dos
anagramas
da
palavra
XADREZ.
Qual
a
probabilidade da palavra escolhida começar por XA?
O número de elementos de Ω é o número de permutações da palavra XADREZ.
Então, n(Ω) = P6 = 6! = 720.
O evento E = “palavra começa por XA”:
X A __ __ __ __
Definidas as duas primeiras letras, há P4 = 4!
maneiras de se preencherem as lacunas restantes.
Assim, n(E) = 4! = 24.
n(E)
Logo, a probabilidade pedida é p(E) =
n(Ω)
=
24
= 3,33%
720
Exemplo 6
Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre os hábitos
alimentares dessa comunidade revelou que:
•
25 pessoas consomem carnes e verduras
•
83 pessoas consomem verduras
•
39 pessoas consomem carnes
Uma pessoa da comunidade é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de ela:
a) consumir exclusivamente carne?
b) Ter o hábito alimentar de não comer nem carne nem verdura?
Vamos construir um diagrama representando carne por C e verdura por V.
comunidade
V
C
25
58
14
3
1°) Há 25 pessoas na integração de C e V.
2°) Pessoas que consomem exclusivamente verduras: 83 – 25 = 58
3°) Pessoas que consomem exclusivamente carnes: 39 – 25 = 14
4°) Como 25 + 58 + 14 = 97, há 3 pessoas que não comem carnes nem verduras.
Assim, as probabilidades pedidas são:
a)
14
= 0,14 = 14%
100
b)
3
= 0,03 = 3%
100
42
Probabilidade e Estatística
3.7
Luiz Roberto
Probabilidade da união de dois eventos
Sejam A e B eventos de um mesmo espaço amostral Ω. Vamos encontrar uma
expressão para a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B, isto é, a
U B.
probabilidade da ocorrência do evento A
Consideremos dois casos:
1°) eventos mutuamente exclusivos
A
I B = Ø
Temos:
Ω
n(A U B) = n(A) + n(B)
Como n(Ω) ≠ 0, podemos escrever:
A
n(A
B
U B)
=
n(Ω)
n(A)
n(Ω)
+
n(B)
n(Ω)
Da definição de probabilidade, segue:
P(A
U B) = p(A) + p(B)
Nesse caso, A e B são chamados eventos mutuamente exclusivos.
2°) eventos com ocorrências simultâneas:
A
I B ≠ Ø
Da teoria dos conjuntos, temos:
n(A
A
B
A
De modo análogo ao primeiro caso:
I B
O evento A
U B) = n(A) + n(B) – n(A I B)
p(A
U B) = p(A) + p(B) – p(A I B)
I B representa a ocorrência simultânea dos eventos A e B.
Exemplo 1
Uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso
dessa urna.
a) Qual é a probabilidade de o número da bola sorteada ser múltiplo de 2
ou de 3?
Consideremos os eventos A, “o número é múltiplo de 2” e B, “o número é
múltiplo de 3”. Queremos encontrar p(A
U B). Temos:
43
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24} Î p(A) =
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} Î p(B) =
n(B)
=
n(Ω)
n(A)
n(Ω)
=
12
25
8
25
A I B = {6, 12, 18, 24}: é o evento formado pelos múltiplos de 2 e 3 ao mesmo
tempo, isto é, pelos múltiplos de 6. Temos:
Como
p(A
U B) = p(A) + p(B) – p(A I B)
Temos:
p(A
U B) =
12
8
4
+
–
=
25
25
25
p(A
I B) =
4
.
25
16
= 0,64 = 64%.
25
b) Qual é a probabilidade de o número da bola sorteada ser múltiplo de 5
ou de 7?
A = {5, 10, 15, 20, 25} Î p(A) =
B = {7, 14, 21} Î p(B) =
Como A
p(A
5
25
3
25
I B = Ø, temos:
U B) = p(A) + p(B) Î p(A U B) =
5
3
+
=
25
25
8
= 0,32 = 32%.
25
Exemplo 2
A probabilidade de um guarda rodoviário aplicar quatro ou mais multas em um
dia é de 63%; a probabilidade de ele aplicar quatro ou menos multas em um dia
é de 56%. Qual é a probabilidade de o guarda aplicar exatamente quatro
multas?
Consideremos os eventos:
A: “quatro ou mais multas”; p(A) = 0,63
B: “quatro ou menos multas”; p(B) = 0,56
Temos:
1°) A
I B é o evento “guarda aplica exatamente quatro multas”. Queremos
determinar p(A
I B).
2°) A
(em um dia o guarda aplica menos de quatro multas, ou quatro
U B =
multas, ou mais de quatro multas).
44
Probabilidade e Estatística
Assim, p(A
P(A
Luiz Roberto
U B) = p(Ω) = 1 (pois A U B é o evento certo). Daí:
U B) = p(A) + p(B) – p(A I B)
1 = 0,63 + 0,56 - p(A
I B) Î p(A I B) = 0,19 = 19%
Exemplo 3
Observe a roleta da figura abaixo e pense na probabilidade existente de saída
para cada número.
a) Qual a probabilidade de cada evento elementar?
P(1) = P(2) = P(4) = P(5) = P(6) = P(7) = 1/8 P(3) = 2/8
Î
b) Qual a probabilidade de o número ser par?
Î
c) Qual a probabilidade de dar o número 3?
3.8
P({2,4,6}) = 3/8
P(3) = 2/8 = 1/4
Experiência Composta
Também
pode
nos
interessar
o
cálculo
da
probabilidade
de
uma
experiência composta, ou seja, a realização de dois ou mais experimentos
aleatórios simples.
Nesses
possível
do
casos,
a
freqüência
experimento
é
obtida
relativa
a
esperada
partir
do
para
produto
cada
das
resultado
freqüências
relativas esperadas de cada elemento que compõe o referido resultado.
Exemplo:
Temos uma moeda e duas caixas cheias de bolas coloridas. Na caixa A
temos duas bolas vermelhas e cinco pretas, enquanto na B há quatro bolas
vermelhas e uma bola azul.
Imagine a seguinte experiência composta: lançamos uma moeda; se der
"cara", extraímos uma bola da caixa A; e se der "coroa", uma bola da caixa B.
Em seguida, vamos representar por um diagrama em árvore os resultados
possíveis da experiência composta.
Vamos
Indicar
também
as
freqüências
relativas
esperadas
para
cada
experiência parcial.
Como observamos no esquema da figura anterior, o espaço amostral é:
= {(cara, vermelha), (cara, preta), (coroa, vermelha), (coroa, azul)}
45
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
2
7
vermelha
cara
5
7
1
2
1
2
preta
vermelha
4
5
coroa
1
5
O
objetivo
é
definir
uma
azul
probabilidade
para
o
conjunto
,
que
representa os resultados possíveis da experiência composta.
A relação de freqüência é obtida atribuindo-se a cada resultado o
produto das freqüências relativas esperadas, que aparecem em cada ramo
completo do diagrama em árvore da figura.
Desta maneira, comprovamos que a relação de freqüência, neste caso, é a
seguinte:
Elemento
Imagem
cara, vermelha
1/2 x 2/7 = 2/14
cara, preta
1/2 x 5/7 = 5/14
coroa, vermelha
1/2 x 4/7 = 4/14
coroa, azul
1/2 x 1/7 = 1/10
Agora podemos calcular a probabilidade de qualquer evento dessa
experiência composta.
3.9
Probabilidade condicional
Seja E:
lançar um dado e o evento A = {sair o n° 3}. Então, P(A) =
1
6
Considere agora o evento B = {sair um número ímpar} = {1, 3, 6}.
É de grande importância para o cálculo das probabilidades se calcular
a
probabilidade
condicional.
No
exemplo,
pode-se
querer
avaliar
a
probabilidade do evento A condicionada à ocorrência do evento B. Em símbolos,
46
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
designa-se por P(A/B) e lê-se: “probabilidade do evento A condicionada à
ocorrência de B”, ou melhor, “probabilidade de A dado B”.
Assim:
P(A/B) = 1/3.
Obs: dada a ocorrência de um evento, teremos a redução do espaço-amostra; no
caso,
`
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi reduzido para
= {1, 3, 5} e é neste
espaço-amostra reduzido que se avalia a probabilidade do vento.
Definição:
Dados
dois
eventos,
A
e
B,
denota-se
P(A/B)
a
probabilidade
condicionada do evento A, quando B tiver ocorrido, por:
P(A/B)
=
com P(B) ≠ 0,
pois B já ocorreu
P(A I B)
P(B)
Vamos encontrar uma fórmula para o cálculo da probabilidade condicional:
P(A/B)
=
P(A I B)
P(B)
NCF(A I B)
NTC
=
=
NCF(A
NCF(B)
I B)
NTC = Número
total de casos
NCF (B)
NTC
Desta maneira, para calcular a probabilidade de A dado B, basta contar o
número de casos favoráveis ao evento A
I B: [NCF(A I B)] e dividir pela
quantidade de casos favoráveis ao evento B: [NCF(B)].
Exemplo: Dois dados são lançados. Consideremos os eventos:
A = {(X1, X2)/ X1 +
X2
=
10}
e
B = {(X1, X2)/ X1 > X2}
Onde X1 é o resultado do dado 1 e X2 é o resultado do dado 2.
Calcular P(A); P(B); P(A/B); P(B/A)
Solução
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
Ω =
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
P(A) =
NCF ao evento A
=
NTC
P(A/B) =
NCF a (A
I B)
NTC a B
=
3
36
1
3
47
=
1
12
Obs: apenas o par
(6,4) é favorável
ao evento (A I B).
Probabilidade e Estatística
4
Luiz Roberto
ESTATÍSTICA BÁSICA
4.4
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
A Estatística pode ser encarada como uma ciência ou como um método de
estudo. Duas concepções para a palavra ESTATÍSTICA:
a) no plural (estatísticas), indica qualquer coleção consistente de dados
numéricos, reunidos com a finalidade de fornecer informações acerca de uma
atividade qualquer. Por exemplo, as estatísticas demográficas referem-se
aos
dados
numéricos
sobre
nascimentos,
falecimentos,
matrimônios,
desquites, etc.
b) no singular (estatística), indica um corpo de técnicas, ou ainda uma
metodologia
técnica
desenvolvida
para
a
coleta,
a
classificação,
a
apresentação, a análise e a interpretação de dados quantitativos e a
utilização desses dados para a tomada de decisões.
Qualquer ciência experimental não pode prescindir das técnicas proporcionadas
pela Estatística, como por exemplo, a Física, a Biologia, a Administração, a
Economia, etc. Todos esses ramos de atividade profissional tem necessidade de
um instrumental que se preocupa com o tratamento quantitativo dos fenômenos
de massa ou coletivos, cuja mensuração e análise requerem um conjunto de
observações de fenômeno ou particulares.
DEFINIÇÃO DE ESTATÍSTICA
Estatística é a ciência que se preocupa com a coleta, a organização,
descrição (apresentação), análise e interpretação de dados experimentais e
tem como objetivo fundamental o estudo de uma população.
Este estudo pode ser feito de duas maneiras:
•
Investigando todos os elementos da população ou
•
Por amostragem, ou seja, selecionando alguns elementos da população.
48
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Planejamento
Modelagem
Formulação e
análise do
Problema
Experimentação
Coleta de
dados
Formulação do
modelo
conceitual
Tradução do
modelo
Experimentação
Verificação
e validação
do modelo
Análise
estatística
dos
resultados
Coleta de macro
informações
4.5
Conclusão
Planejamento do
projeto
Projeto
experimental
Comparação e
identificação
das melhores
soluções
Documentação
Apresentação
dos resultados
Implementação
DIVISÃO DA ESTATÍSTICA
Métodos
Estatísticos
Estatística
Descritiva
Estatística
Inferencial
Estatística Descritiva: é aquela que se preocupa com a coleta, organização,
classificação,apresentação, interpretação e analise de dados referentes ao
fenômeno através de gráficos e tabelas além de calcular medidas que permita
descrever o fenômeno.
Estatística Indutiva (Amostral ou Inferencial): é a aquela que partindo de
uma
amostra,
estabelece
hipóteses,
tira
conclusões
sobre
a
população
de
origem e que formula previsões fundamentando-se na teoria das probabilidades.
A estatística indutiva cuida da análise e interpretação dos dados.
O processo de generalização do método indutivo está associado a uma
margem de incerteza. Isto se deve ao fato de que a conclusão que se pretende
obter para o conjunto de todos os indivíduos analisados quanto a determinadas
características comuns baseia-se em uma parcela do total de observações.
49
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
População?
Envolve:
• Estimação
• Teste de Hipótese
Propósito:
• Tomar Decisões sobre as
características da População
População
Estimativas &
testes
Estatística
Amostral
( X )
Amostra
4.6
POPULAÇÃO
É
o
apresentam
conjunto,
em
finito
comum
ou
infinito,
determinadas
de
indivíduos
características
ou
objetos
definidas,
que
cujo
comportamento interessa analisar.
A população é estudada em termos de observações de características nos
indivíduos (animados ou inanimados) que sejam relevantes para o estudo, e não
em termos de pessoas ou objetos em si. O objetivo é tirar conclusões sobre o
fenômeno em estudo, a partir dos dados observados.
Como em qualquer estudo estatístico temos em mente estudar uma ou mais
características dos elementos de uma população, é importante definir bem
essas características de interesse para que seja delimitado os elementos que
pertencem à população e quais os que não pertencem.
50
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Exemplos:
1. Estudar os filhos tidos, tipo de moradia, condições de trabalho, tipo de
sanitário. Números de quartos para dormir, estado civil, uso da terra, tempo
de trabalho, local de nascimento, tipo de cultivo, etc., dos agricultores do
Estado do Amazonas.
População: Todos os agricultores (proprietários de terra ou não) plantadores
das culturas existentes no Estado do Amazonas.
2. Estudar a precipitação pluviométrica anual (em mm) na cidade de Manaus.
População: Conjunto das informações coletadas pela Estação Pluviométrica,
durante o ano.
4.
As
alturas
dos
cidadãos
do
Amazonas
constituem
uma
população
ou
a
população dos pesos desses cidadãos.
População
Dados
Amostragem
Estatística
Descritiva
Estatística Inferencial
(Probabilidade)
Divisão Da População
- População Finita: apresenta um número limitado de elementos. É possível
enumerar todos os elementos componentes.
Exemplos:
1. Idade dos universitários do Estado do Pará.
População: Todos os universitários do Estado do Pará.
- População Infinita: apresenta um número ilimitado de elementos. Não é
possível enumerar todos os elementos componentes.
Entretanto, tal definição existe apenas no campo teórico, uma vez que,
na prática, nunca encontraremos populações com infinitos elementos, mas sim,
51
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
populações com grande número de componentes; e nessas circunstâncias, tais
populações são tratadas como se fossem infinitas.
Exemplos:
1. Tipos de bactérias no corpo humano
População: Todas as bactérias existentes no corpo humano.
2. Comportamento das formigas de certa área
População: Todas as formigas da área em estudo.
4.4
AMOSTRAGEM
É
a
coleta
das
informações
de
parte
da
população,
chamada
amostra (representada por pela letra “n”), mediante métodos adequados de
seleção destas unidades.
4.5
AMOSTRA
É
uma
parte
(um
subconjunto
finito)
representativa
de
uma
população selecionada segundo métodos adequados.
O objetivo é fazer inferências, tirar conclusões sobre populações
com base nos resultados da amostra, para isso é necessário garantir que
amostra
seja
representativa,
ou
seja,
a
amostra
deve
conter
as
mesmas
características básicas da população, no que diz respeito ao fenômeno que
desejamos pesquisar.
O termo indução é um processo de raciocínio em que, partindo-se do
conhecimento de uma parte, procura-se tirar conclusões sobre a realidade no
todo.
Ao
induzir
estamos
sujeitos
a
erros.
Entretanto,
a
Estatística
Indutiva, que obtém resultados sobre populações a partir das amostras, diz
qual a precisão dos resultados e com que probabilidade se pode confiar nas
conclusões obtidas.
4.6
CENSO
É o exame completo de toda população.
Quanto maior a amostra, mais precisas e confiáveis deverão ser as
induções feitas sobre a população. Logo, os resultados mais perfeitos são
obtidos pelo Censo. Na prática, esta conclusão muitas vezes não acontece: o
emprego de amostras, com certo rigor técnico, pode levar a resultados mais
52
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
confiáveis ou até mesmo melhores do que os que seriam obtidos através de um
Censo.
As razões de se recorrer a amostras são: menor custo e tempo para
levantar dados; melhor investigação dos elementos observados.
4.7
TIPOS DE VARIÁVEIS
Variável Qualitativa
Quando seus valores são expressos por atributos ou qualidade.
Exemplos:
1) População: Estudantes universitários do Estado do Pará.
Variáveis: sexo, profissão, escolaridade, religião, meio onde vivem (rural,
urbano).
2) População: População dos bairros periféricos do município de Belém.
Variáveis: tipo de casa, existência de água encanada (sim, não), bairro de
origem.
Variáveis qualitativas que não são ordenáveis recebem o nome de nominais.
Exemplo: religião, sexo, raça, cor.
Raça do AM - 2005
Raça
Freqüência
Branca
Negra
Parda
Outra
Total
Fonte: Fictícia
Variáveis qualitativas que são ordenáveis recebem o nome de ordinais.
Exemplo: nível de instrução, classe social.
Classe social
Classe social
do AM - 2005
Freqüência
Classe A
Classe B
Classe C
Classe D
Total
Fonte: Fictícia
53
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Variável Quantitativa
Quando seus valores são expressos por números. Esses números podem ser
obtidos por um processo de contagem ou medição.
Exemplos:
1) População: Todos os agricultores do Estado do Pará.
Variáveis: número de filhos tidos, extensão da área plantada, altura, idade.
2) População: População dos bairros periféricos do município de Belém
Variáveis: número de quartos, área da casa em m2, número de moradores.
A VARIÁVEL QUANTITATIVA DIVIDE-SE EM:
a. Variável Discreta: são aquelas que podem assumir apenas valores inteiros
em pontos da reta real. É possível enumerar todos os possíveis valores da
variável.
Exemplos:
. População: Universitários do Estado do Pará.
Variáveis: número de filhos, número de quartos da casa, número de moradores,
número de irmãos.
b. Variável Contínua: são aquelas que podem assumir qualquer valor num certo
intervalo (contínuo) da reta real. Não é possível enumerar todos os possíveis
valores.
. População: Todos os agricultores do Estado do Pará.
Variáveis: idade, renda familiar; extensão da área plantada (em m2 ) , peso e
altura das crianças agricultoras.
4.8
DEFINIÇÃO DO PROBLEMA
A primeira fase do trabalho estatístico consiste em uma definição ou
formulação correta do problema a ser estudado e a seguir escolher a natureza
dos dados. Além de considerar detidamente o problema objeto de estudo o
54
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
analista deverá examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo e
análogos, uma vez que parte da informação de que necessita pode, muitas
vezes, ser encontrada nesses últimos. Saber exatamente aquilo que pretende
pesquisar é o mesmo que definir de maneira correta o problema.
Por exemplo:
- os preços dos produtos agrícolas produzidos no Estado do Pará são menores
do que àqueles originados de outros Estados?
-
qual a natureza e o grau de relação que existe entre a distribuição da
pluviosidade e a colheita do produto x?
-
estudar uma população por sexo: dividi-se os dois grupos em masculino e
feminino;
-
estudar a idade dos universitários, por grupos de idade: distribui-se o
total de casos conhecidos pelos diversos grupos etários pré-estabelecidos;
-
Analisar a capacidade de germinação de certo tipo de cereal:
• Calcular a média, a mediana e a moda do número de sementes germinadas, ou
seja, descrever com alguns valores resultados obtidos.
• Representar graficamente os resultados.
• Calcular a proporção de vasos com mais de três sementes germinadas.
4.9
DEFINIÇÃO DOS OBJETIVOS (GERAL E ESPECÍFICO)
É definir com exatidão o que será pesquisado.
É recomendável ter em vista um objetivo para o estudo,
coletar o material
em lugar de
e definí-lo no decorrer do trabalho ou só no fim deste.
Objetivos mais comuns em uma pesquisa:
.
Dados
pessoais:
grau
de
instrução,
religião,
nacionalidade,
dados
profissionais, familiares, econômicos, etc.
. Dados sobre comportamento: como se comportam segundo certas circunstâncias.
Ex: possível remanejamento da área habitada.
.
Opiniões,
expectativas,
níveis
de
informação,
angústias,
esperanças,
aspirações sobre certos assuntos.
. Dados
sobre as
condições habitacionais e
de saneamento que avalie
condições em que vivem e a qualidade de vida de certo grupo.
55
as
Probabilidade e Estatística
4.10
Luiz Roberto
PLANEJAMENTO
Definição do Problema / Objetivos
Planejamento da pesquisa
Metodologia
de
estudo
Coleta e crítica e apuração dos dados
Apresentação dos dados
Metodologia
Estatística
Análise e interpretação dos dados
Resultados / Conclusões
O problema está definido. Como resolvê-lo? Se através de amostra, esta
deve ser significativa para que represente a população.
O planejamento consiste em se determinar o procedimento necessário para
resolver o problema e, em especial, como levantar informações sobre o assunto
objeto de estudo. Que dados deverão ser coletados? Como se deve obtê-los? É
preciso planejar o trabalho a ser realizado tendo em vista o objetivo que se
pretende atingir.
É nesta fase que será escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado,
que podem ser:
a) levantamento censitário, quando a contagem for completa, abrangendo todo o
universo;
b) levantamento por amostragem, quando a contagem for parcial.
Outros elementos importantes que devem ser tratados nessa fase são o
cronograma das atividades, através do qual são fixados os prazos para as
várias fases, os custos envolvidos, o exame das informações disponíveis, o
delineamento da amostra, a forma como serão coletados os dados, os setores ou
áreas de investigação, o grau de precisão exigido e outros.
4.11
COLETA DOS DADOS
Refere-se a obtenção, reunião e registro sistemático de dados, com o
objetivo determinado.
56
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
A escolha da fonte de obtenção dos dados está diretamente relacionada
ao
tipo
do
problema,
objetivos
do
trabalho,
escala
de
atuação
e
disponibilidade de tempo e recursos.
a) Fontes primárias: é o levantamento direto no campo através de mensurações
diretas ou de entrevistas ou questionários aplicados a sujeitos de interesse
para a pesquisa.
Vantagens:
grau
de
detalhamento
com
respeito
ao
interesse
dos
quesitos
levantados; maior precisão das informações obtidas.
b)
Fontes
secundárias:
quando
são
publicados
ou
registrados
por
outra
através
documentos
organização.
A
coleta
de
dados
secundários
se
realiza
de
cartográficos (mapas, cartas, imagens e fotografias obtidas por sensor remoto
ou por fotogrametria e imagens de radar). Estas fontes de informação são de
extrema importância.
Das fotografias aéreas em escalas reduzidas ou mais detalhadas, das
imagens de radares ou satélite e de cartas obtêm-se informações quanto ao uso
do solo, drenagem, estruturas viárias e urbanas, povoamento rural, recursos
florísticos, minerais e pedológicos, estrutura fundiária e de serviços, dados
altimétricos, etc.
Vantagens: inclui um processo de redução e agregação de informações.
A coleta dos dados pode ser feita de forma direta ou indireta.
4.12
CRÍTICA DOS DADOS
A crítica dos dados deve ser feita com cuidado através de um trabalho
de revisão e correção, ao qual chamamos de crítica (consistência), a fim de
não de incorrer em erros que possam afetar de maneira sensível os resultados.
As
perguntas
dos
questionários
uniformemente
mal
compreendidas,
os
enganos evidentes, tais como somas erradas, omissões, trocas de respostas e
etc, são fáceis de corrigir. É necessário, entretanto, que o crítico não faça
a correção por simples suposição sua, mas sim que tenha chegado a conclusão
absoluta do engano.
Quelet dividiu a crítica em: externa e interna.
A crítica externa refere-se as imperfeições porventura existentes na
coleta
dos
dados,
por
deficiência
do
observador,
por
imperfeição
do
instrumento de trabalho, por erro de registro nas fichas, imprecisão nas
respostas aos quesitos propostos e outros fatores de erro que justificam um
57
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
verificação minuciosa dos dados coletados antes de iniciar a elaboração do
trabalho de análise.
A
crítica
informações
interna
obtidas.
É
diz
respeito
mister
a
examinar
verificação
as
da
respostas
exatidão
dadas,
das
sanando
imperfeições e omissões, de forma que os dados respondam com precisão aos
quesitos formulados.
As informações relativas a profissão não devem ser vagas como, por
exemplo: operário, mas sim, oleiro, pedreiro, carpinteiro, etc., conforme o
caso.
O estado
civil será declarado: solteiro, casado, viúvo ou desquitado.
Em resumo, os dados devem sofrer uma crítica criteriosa com o objetivo
de afastar os erros tão comuns nessa natureza de trabalho. As informações
inexatas ou omissas devem ser corrigidas. Os questionários devem voltar a
fonte
de
origem
sempre
que
se
fizerem
necessário
sua
correção
ou
complementação.
4.13
APURAÇÃO (ARMAZENAMENTO) DOS DADOS
É um processo de apuração ou sumarização que consiste em resumir os
dados através de sua contagem ou agrupamento. É um trabalho de condensação e
de tabulação dos dados, que chegam ao analista de forma desorganizada.
Através da apuração, se tem a oportunidade de condensar os dados de
modo a obter um conjunto compacto de números, o qual possibilita distinguir
melhor o comportamento do fenômeno na sua totalidade.
Os
dados
de
fenômenos
geográficos
podem
ser
organizados
em
mapas,
tabelas, matrizes, disquetes ou fitas.
4.14
EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS
Há duas formas de apresentação que não se excluem mutuamente:
Apresentação Tabular
É uma apresentação numérica dos dados. Consiste em dispor os dados em
linhas
e
colunas
distribuídos
de
modo
ordenado,
segundo
algumas
regras
práticas adotadas pelo Conselho Nacional de Estatística. As tabelas têm a
vantagem de conseguir expor, sistematicamente em um só local, os resultados
58
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
sobre determinado assunto, de modo a se obter uma visão global mais rápida
daquilo que se pretende analisar.
Apresentação Gráfica
Constitui uma apresentação geométrica dos dados. Permite ao analista
obter uma visão rápida e clara do fenômeno e sua variação.
4.15
ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS
Nessa
auxiliem
etapa,
o
o
interesse
pesquisador
estatísticos
está
a
ligada
maior
resolver
consiste
seu
essencialmente
em
tirar
problema.
ao
A
cálculo
conclusões
análise
de
dos
medidas,
que
dados
cuja
finalidade principal é descrever o fenômeno. Assim, o conjunto de dados a ser
analisado
pode
ser
expresso
por
número-resumo,
as
estatísticas,
que
evidenciam características particulares desse conjunto.
4.16
REGRAS DE ARREDONDAMENTO
De acordo com as Normas de Apresentação Tabular - 3ª edição/1993 - da
Fundação IBGE, o arredondamento é feito da seguinte maneira:
1. Se o número que vai ser arredondado for seguido de 0, 1, 2, 3 ou 4 ele
deve ficar inalterado.
Número a arredondar
6,197
12,489
20,733
35,992
Arredondamento para
Inteiro
Inteiro
Décimos
Centésimos
Número arredondado
6
12
20,7
35,99
2. Se o número que vai ser arredondado for seguido de 5, 6, 7, 8 ou 9 ele
deve ser acrescido de uma unidade.
Número a arredondar
15,504
21,671
16,571
17,578
215,500
216,500
216,750
216,705
Arredondamento para
Inteiro
Inteiro
Décimos
Centésimos
Inteiros
inteiros
décimos
centésimos
59
Número arredondado
16
22
16,6
17,58
216
217
216,8
216,71
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
OBS: Não faça arredondamento sucessivos
Ex.: 17,3452 passa a 17,3 e não para 17,35 , para 17,4.
Se houver necessidade de um novo arredondamento, voltar aos dados originais.
Tabela 3.1: Produção de Café
Brasil - 1978-1983
Anos
Quantidade
(1000 ton)
2535
2666
2122
3760
2007
2500
1978 (1)
1979
1980
1981
1982
1983
Fonte: Fictícia
Nota: Produção destinada para o consumo interno.
(1) Parte exportada para a Argentina.
Denomina-se SÉRIE ESTATÍSTICA toda tabela que apresenta a distribuição
de um conjunto de dados estatísticos em função da ÉPOCA, do LOCAL, ou da
ESPÉCIE (fenômeno).
Numa série estatística observa-se a existência de três elementos ou
fatores: o TEMPO, o ESPAÇO e a ESPÉCIE.
Conforme varie um desses elementos, a série estatística classifica-se
em TEMPORAL, GEOGRÁFICA e ESPECÍFICA.
4.17
SÉRIE TEMPORAL, HISTÓRICA OU CRONOLÓGICA
É a série cujos dados estão em correspondência com o tempo, ou seja,
variam com o tempo.
Tabela 3.2: Produção Brasileira de Trigo
1988-1993
Quantidade
Anos
(1000 ton)
1988 (1)
2345
1989
2451
1990
2501
1991
2204
1992
2306
1993
2560
Fonte: IBGE
Nota: Produção voltada para o consumo interno.
(1) Parte da produção exportada.
. Elemento variável: tempo (fator cronológico)
. Elemento fixo: local (fator geográfico) e o fenômeno (espécie)
60
Probabilidade e Estatística
4.18
Luiz Roberto
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS
A Estatística Descritiva pode descrever os dados através de gráficos.
A
apresentação
gráfica
é
um
complemento
importante
da
apresentação
tabular. A vantagem de um gráfico sobre a tabela está em possibilitar uma
rápida
impressão
visual
da
distribuição
dos
valores
ou
das
freqüências
observadas. Os gráficos propiciam uma idéia inicial mais satisfatória da
concentração e dispersão dos valores, uma vez que através deles os dados
estatísticos se apresentam em termos de grandezas visualmente interpretáveis.
REQUISITOS FUNDAMENTAIS EM UM GRÁFICO:
a. Simplicidade: possibilitar a análise rápida do fenômeno observado. Deve
conter apenas o essencial.
b. Clareza: possibilitar a leitura e interpretações correta dos valores do
fenômeno.
c. Veracidade: deve expressar a verdade sobre o fenômeno observado.
TIPOS DE GRÁFICOS QUANTO A FORMA:
a. Diagramas: gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São mais
usados na representação de séries estatísticas.
b. Cartogramas: é a representação sobre uma carta geográfica, sendo muito
usado na Geografia, História e Demografia.
c. Estereogramas: representam volumes e são apresentados em três dimensões.
d. Pictogramas: a representação gráfica consta de figuras representativas do
fenômeno. Desperta logo a atenção do público.
CLASSIFICAÇÃO DOS GRÁFICOS QUANTO AO OBJETIVO
Gráficos de informação
O
objetivo
é
proporcionar
uma
visualização
rápida
e
clara
da
intensidade das categorias ou dos valores relativos ao fenômeno. São gráficos
tipicamente expositivos, devendo ser o mais completo possível, dispensando
comentários explicativos.
61
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Características:
- deve conter título em letra de forma;
-
as
legendas
podem
ser
omitidas,
desde
que
as
informações
presentes
possibilitem a interpretação do gráfico.
Gráficos de análise
Estes gráficos fornecem informações importantes na fase de análise dos
dados, sendo também informativos.
Os gráficos de análise, geralmente, vêm acompanhado de uma tabela e um
texto onde se destacam os pontos principais revelados pelo gráfico ou pela
tabela.
4.19
PRINCIPAIS TIPOS DE GRÁFICOS
4.19.1
GRÁFICOS EM CURVAS OU EM LINHAS
São usados para representar séries temporais, principalmente quando a
série cobrir um grande número de períodos de tempo.
Considere a série temporal:
Tabela 4.1
Produção de Arroz do Município X - 1984-1994
Quantidade
Anos
(1000 ton)
1984
816
1985
904
1986
1.203
1987
1.147
1988
1.239
1989
1.565
1990
1.620
1991
1.833
1992
1.910
1993
1.890
1994
1.903
Fonte: Fictícia
62
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Gráfico 4.1. Produção de Arroz do Município X - 1984-1994
(1000 ton)
2500
2000
1500
1000
500
0
84
4.19.2
É
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
GRÁFICOS EM COLUNAS
a
representação
de
uma
série
estatística
através
de
retângulos,
dispostos em colunas (na vertical) ou em retângulos (na horizontal). Este
tipo de gráfico representa praticamente qualquer série estatística.
As regras para a construção são as mesmas do gráfico em curvas.
As bases das colunas são iguais e as alturas são proporcionais aos
respectivos dados.
Exemplo:
Tabela 4.2
Produção de Soja do Município X - 1991-1995
Quantidade
Anos
(ton.)
1991
117.579
1992
148.550
1993
175.384
1994
220.272
1995
265.626
Fonte: Secretaria Municipal de Agricultura
Para cada ano é construída uma coluna, variando a altura (proporcional
a cada quantidade). As colunas são separadas uma das outras.
Observação: O espaço entre as colunas pode variar de 1/3 a 2/3 do tamanho da
base da coluna.
63
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Toneladas
Gráfico 4.2. Produção de Soja do Município X - 1991-1995
300000
250000
200000
150000
100000
50000
0
1991
1992
1993
1994
1995
Uso do gráfico em colunas para representar outras séries estatísticas
Tabela 4.3
Áreas (Km2) das Regiões Fisiográficas - Brasil - 1966
Regiões Fisiográficas
Área
(Km2)
Norte
3.581.180
Nordeste
965.652
Sudeste
1.260.057
Sul
825.621
Centro-oeste
1.879.965
Brasil
8.511.965
Fonte: IBGE.
Grafico 4.3. Áreas (Km2) das Regiões Fisiográficas - Brasil - 1966.
Km2 4.000.000
3.500.000
3.000.000
2.500.000
2.000.000
1.500.000
1.000.000
500.000
0
Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro-Oeste
Obs: Na tabela as regiões são apresentadas em ordem geográficas. No gráfico
as colunas são ordenadas pela altura, da maior para a menor, da esquerda para
a direita.
64
Probabilidade e Estatística
4.19.7
Luiz Roberto
GRÁFICOS EM BARRAS
As alturas dos retângulos são iguais e arbitrárias e os comprimentos
são proporcionais aos respectivos dados.
As barras devem ser separadas uma das outras pelo mesmo espaço de forma
que as inscrições identifiquem as diferentes barras. O espaço entre as barras
pode ser a metade (½)
ou dois terços(2/3) de suas larguras.
As barras devem ser colocadas em ordem de grandeza de forma decrescente
para
facilitar
a
comparação
dos
valores.
A
categoria
“outros”
(quando
existir) são representadas na barra inferior, mesmo que o seu comprimento
exceda o de alguma outra.
Outra representação gráfica da Tabela 4.3:
Grafico 4.4. Áreas (Km2) das Regiões Fisiográficas - Brasil - 1966.
Norte
Centro-Oeste
Sudeste
Nordeste
Sul
0
00
00
00
00
00
00
00
00
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
.0
0
0
0
0
0
0
0
0
Km2
00
00
50
50
50
00
00
50
1.
2.
2.
1.
3.
3.
4.
Tabela 4.4 Matrícula no Ensino Superior, segundo os ramos de ensino -Brasil - 1995
Ramos de ensino
Filosofia, Ciências e Letras
Direito
Engenharia
Administração e Economia
Medicina
Odontologia
Agricultura
Serviço Social
Arquitetura e Urbanismo
Farmácia
Demais ramos
Total
65
Matrículas
44.802
36.363
26.603
24.027
17.152
6.794
4.852
3.121
2.774
2.619
11.002
180.109
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Grafico 4.5. Matrícula efetiva no Ensino Superior, segundo os ramos de ensino - Brasil - 1999.
Filosofia, Ciências e Letras
Direito
Engenharia
Administração e Econômia
Medicina
Odontologia
Agricultura
Serviço Social
Arquitetura e Urbanismo
Farmácia
Demais ramos
0
0
00
10
00
50
0
00
15
0
00
20
0
00
40
0
00
35
0
00
30
0
00
25
0
00
45
Matrículas
OBS: Quando a variável em estudo for qualitativa e os nomes das categorias
for extenso ou as séries forem geográficas ou específicas é preferível o
gráfico em barras, devido a dificuldade em se escrever a legenda em baixo da
coluna.
4.19.8
É
GRÁFICO EM COLUNAS MÚLTIPLAS (AGRUPADAS)
um
tipo
de
gráfico
útil
para
estabelecer
comparações
entre
as
Gráfico
de
grandezas de cada categoria dos fenômenos estudados.
A
modalidade
de
apresentação
das
colunas
é
chamado
de
Colunas Remontadas. Ele proporciona economia de espaços sendo mais indicado
quando a série apresenta um número significativo de categorias.
Exemplo:
Tabela 4.5 Entrada de migrantes em três Estados do Brasil - 1992-1994
Número de migrantes
Anos
Estados
Total
1992
4.526
1993
4.633
1994
4.450
Fonte: Fictícia
Amapá
2.291
2.456
2.353
66
São Paulo
1.626
1.585
1.389
Paraná
609
592
708
Quantidade
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Gráfico 4.6. Entrada de migrantes em três Estados do Brasil
1992-1994.
2500
2000
1500
1000
500
0
1992
Amapá
4.19.9
1993
São Paulo Paraná
1994
GRÁFICO EM BARRAS MÚLTIPLAS (AGRUPADAS)
Útil quando a variável for qualitativa ou os dizeres das categorias a
serem escritos são extensos.
Exemplo:
Tabela 4.6
Importação de vinho e champanhe (BR) proveniente de várias origens - 1994
Países
Importação (1.000 dólares)
Vinho
Champanhe
220
15
175
25
230
90
50
5
75
20
110
16
Portugal
Itália
França
Argentina
Chile
Espanha
Gráfico 4.7. Importação Brasileira de vinho e champanhe proveniente de várias origens 1994.
França
Portugal
Itália
Espanha
Chile
Argentina
0
50
100
Vinho
67
Champanhe
150
200
250
1000 dólares
Probabilidade e Estatística
4.19.10
Luiz Roberto
GRÁFICO EM SETORES
É a representação gráfica de uma série estatística em um círculo de
raio qualquer, por meio de setores com ângulos centrais proporcionais às
ocorrências.
É utilizado quando se pretende comparar cada valor da série com o
total.
O total da série corresponde a 360° (total de graus de um arco de
circunferência).
O
gráfico
em
setores
representam
valores
absolutos
ou
porcentagens
complementares.
As séries geográficas, específicas e as categorias em nível nominal são
mais representadas em gráficos de setores, desde que não apresentem muitas
parcelas (no máximo sete).
Cada parcela componente do total será expressa em graus, calculada
através de uma regra de três:
Total
Parte
Exemplo:
-
360°
x°
Tabela 4.7
Produção Agrícola do Estado A - 1995
Produtos
Quantidade (t)
Café
400.000
Açúcar
200.000
Milho
100.000
Feijão
20.000
Total
720.000
Fonte: Fictícia
Gráfico 4.8. Produção Agrícola do Estado A - 1995.
Milho
14%
Feijão
3%
Café
55%
Açucar
28%
Outras maneiras de representar graficamente a Tabela 4.7:
68
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Gráfico 4.9. Produção Agrícola do Estado A - 1995.
Quantidade (t)
400.000
350.000
300.000
250.000
200.000
150.000
100.000
50.000
0
Café
Açucar
Milho
Feijão
Gráfico 4.10. Produção Agrícola do Estado A - 1995.
Café
Açucar
Milho
Feijão
0
00
.0
0
5
0
00
1
.
00
0
00
1
.
50
0
00
2
.
00
0
00
2
.
50
0
00
3
.
00
0
00
3
.
50
0
00
4
.
00
Quantidade (t)
4.20 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
As tabelas estatísticas, geralmente, condensam informações de fenômenos
que necessitam da coleta de grande quantidade de dados numéricos. No caso das
distribuições de freqüências que é um tipo de série estatística, os dados
referentes ao fenômeno objeto de estudo se repetem na maioria das vezes
sugerindo a apresentação em tabela onde apareçam valores distintos um dos
outros.
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA PARA DADOS AGRUPADOS
É a série estatística que condensa um conjunto de dados conforme as
freqüências ou repetições de seus valores. Os dados encontram-se dispostos em
classes ou categorias junto com as freqüências correspondentes. Os elementos
69
Probabilidade e Estatística
época,
local
e
fenômeno
Luiz Roberto
são
fixos.
O
fenômeno
apresenta-se
através
de
gradações, ou seja, os dados estão agrupados de acordo com a intensidade ou
variação quantitativa gradual do fenômeno.
REPRESENTAÇÃO DOS DADOS AMOSTRAIS OU POPULACIONAIS
a. Dados brutos: são aqueles que não foram numericamente organizados, ou
seja, estão
Tabela
2
6
1
3
3
na forma com que foram coletados.
4.1 - Número de filhos
3
0
2
1
1
4
4
1
3
1
3
5
0
4
1
de um grupo de 50 casais
1
1
1
3
0
1
5
6
1
7
6
2
7
1
3
1
2
2
1
2
2
0
0
1
3
5
2
1
0
2
b. Rol: é a organização dos dados brutos em ordem de grandeza crescente ou
decrescente.
Tabela 4.2 - Número de filhos de um grupo de 50 casais
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
4
4
5
5
5
6
6
6
1
1
2
3
7
1
1
2
4
7
A simples observação dos dados brutos apresentados na Tabela 4.1 não
nos permite explicar o comportamento das variáveis em estudo.
Um primeiro passo a ser dado, na obtenção de informações mais resumidas
e precisas a respeito do comportamento das variáveis, é a construção de
tabelas de freqüência.
Para cada variável estudada, contamos o número de vezes que ocorre cada
uma das suas realizações (ou valores). O número obtido é chamado freqüência
absoluta e indicado por ni (cada realização de uma variável apresenta um
valor para n).
Considerando as realizações da variável “número de filhos”, temos os
seguintes valores de ni (conforme Tabela 4.2):
O filhos: 6
4 filhos: 3
1 filho: 16
5 filhos: 3
2 filhos: 9
6 filhos: 3
3 filhos: 8
7 filhos: 2
70
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
c. Distribuição de freqüências: é a disposição dos valores com as respectivas
freqüências.
O
número
levantamento
qualquer,
de
é
observações
chamado
ou
repetições
freqüência
desse
de
um
valor.
valor,
Uma
em
um
tabela
de
freqüências é aquela onde se procura fazer corresponder os valores observados
da variável em estudo e as respectivas freqüências.
Freqüência
absoluta
(Fi): a freqüência absoluta não é uma medida muito
eficiente para a análise dos dados, especialmente nos caso em que se deseja
comparar
a
distribuição
de
uma
mesma
variável
ao
longo
de
populações
diferentes (poderíamos estar interessados em comparar o número de filhos em
vários países africanos). Assim, precisamos definir uma medida que leve em,
consideração o número total de observações colhidas.
Freqüência relativa (fi): Para isso, definimos a freqüência relativa (fi)
como a razão entre a freqüência absoluta (Fi) e o número total de observações
n, isto é:
fi =
Como Fi
≤
n, segue que 0
≤
Fi
n
fi
≤
1. Por esse motivo, é comum
expressar fi em porcentagem.
Para
expressar
o
resultado
em
termos
percentuais,
multiplica-se
o
quociente obtido por 100.
Em % = fi =
Fi
n
. 100
Obs 1: a soma das freqüências relativas de uma tabela de freqüência é sempre
igual a 1,00 : ∑fi = 1,00.
Obs
2:
a
soma
das
freqüências
relativas
percentuais
de
uma
freqüência é sempre igual a 100%.
c.1. Distribuição de freqüências para variável discreta
Os dados não são agrupados em classes:
Tabela 4.4 - Número de filhos de um grupo de 50 casais
71
tabela
de
Probabilidade e Estatística
Variável N°
filhos (xi)
0
1
2
3
4
5
6
7
Total (∑)
Luiz Roberto
Freqüência
absoluta:
Numero de
casais (Fi)
6
16
9
8
3
3
3
2
50
Freqüência
relativa (fi)
Porcentagem
6/50 = 0,12
16/50 = 0,32
9/50 = 0,18
8/50 = 0,16
3/50 = 0,06
3/50 = 0,06
3/50 = 0,06
2/50 = 0,04
1,00
12%
32%
18%
16%
6%
6%
6%
4%
100%
Obs:
1. X: representa a variável Número de filhos.
2. xi: representa os valores que a variável assume.
3. Fi: é o número de vezes que cada valor aparece no conjunto de dados
(freqüência absoluta).
4. fi: representa a freqüência relativa
5. ∑ni = n = 50 : tamanho da amostra (ou nº de elementos observados).
c.2. Distribuição de freqüências para variável contínua
Os dados da variável são agrupados em classe (grupo de valores).
1. Dados brutos
Tabela 4.5 - Taxas municipais de urbanização (em %) no Estado
8
24
46
13
38
54
44
20
18
15
30
24
20
8
24
18
38
79
15
62
23
13
62
18
11
17
9
35
23
22
37
36
10
6
92
16
15
23
37
36
44
17
9
30
26
18
37
43
28
41
42
35
35
42
71
50
19
7
28
23
29
29
58
77
12
40
25
7
32
34
22
7
9
16
31
30
de AL - 2000
17
14
9
10
8
22
8
13
8
13
14
9
52
17
72
34
44
15
2. Rol
Tabela 4.6 - Rol das taxas municipais de urbanização,
6
6
7
7
7
8
8
9
9
9
9
10
10
11
13
13
14
14
14
15
15
16
17
17
17
17
18
18
20
20
22
22
22
23
23
24
24
25
26
28
28
29
30
31
32
34
34
34
35
37
37
38
38
40
41
42
44
44
46
50
52
54
58
72
77
79
92
72
em AL (em %) - 2000.
8
8
9
12
13
13
15
15
16
18
18
19
23
23
24
29
30
30
35
35
36
42
43
44
62
62
71
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
3. Distribuição de freqüências para dados agrupados em classes
Tabela 4.7 - Taxas municipais de urbanização, no Estado de AL (em %) - 2000.
Freqüência absoluta:
Taxas (em %)
Número de municípios(Fi)
6 --- 16
29
16 --- 26
24
26 --- 36
16
36 --- 46
13
46 --- 56
4
56 --- 66
3
66 --- 76
2
76 --- 86
2
86 --- 96
1
94
Total (∑)
Obs:
recomenda-se
agrupar
os
valores
observados
em
classes,
tanto
para
variáveis contínuas quanto para discretas. Assim, evita-se grande extensão da
tabela e a não interpretação dos valores de fenômeno.
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
a.
Amplitude
total
(AT):
é
a
diferença
entre
o
maior
e
o
menor
valor
observado no experimento.
No exemplo, tabela 4.6, AT = 92 - 6 = 86
b. Amplitude da classe (Ac): é a diferença entre o maior e o menor valor da
classe.
No exemplo, tabela 4.7, Ac = 16 - 6 = 10
ou
36 – 26 = 10.
Devemos procurar construir classes de mesma amplitude para que não haja
comprometimento na análise.
c. Classe: é cada um dos grupos de valores do conjunto de valores observados,
ou seja, são os intervalos de variação da variável.
Identifica-se uma classe pelos seus extremos ou pela ordem em que se
encontra na tabela.
6 --- 16
(1ª classe);
86 --- 96
(7ª classe)
Formas de expressar os limites das classes
20 ├--┤ 23: compreende todos os valores entre 20 e 23, inclusive os extremos.
20 ├---- 23: compreende todos os valores entre 20 e 23, excluindo o 23.
20 ----┤ 23: compreende todos os valores entre 20 e 23, excluindo o 20.
20 ----- 23: compreende todos os valores entre 20 e 23, excluindo os extremos.
73
Probabilidade e Estatística
4.21
Luiz Roberto
DISTRIBUIÇÕES CUMULATIVAS
Freqüência absoluta acumulada (Fac)
É a soma das freqüências de valores inferiores ou iguais ao valor dado.
Exemplo:
xi
Fi
Fac
0
5
5
1
7
12
2
2
14
∑
14
Se quisermos incluir a freqüência relativa (fi=
xi
Fi
Fac
fi
0
5
5
5/14
1
7
12
7/14 = 1/2
2
2
14
2/14 = 1/7
∑
14
Fi
) nesta tabela:
n
1
Pontos médios das classes
È a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe.
Assim, se a classe for 10-12, teremos:
Xi =
10 + 12
= 11
2
Histograma
É a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de
retângulos justapostos.
Polígono de freqüência
É a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de um
polígono.
74
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Fi
Exemplo:
Idade
Fi
2-4
3
4-6
5
6-8
10
8-10
6
10-12
2
∑
26
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
limite das classes
4.22 MEDIDAS DE POSIÇAO (ou DE TENDÊNCIA CENTRAL)
As distribuições de freqüências para variáveis discretas e contínuas
descrevem os grupos que uma variável pode assumir. É possível visualizar a
concentração de valores de uma distribuição de freqüências. Se se localizam
no início, no meio ou no final, ou se distribuem de forma igual.
As medidas de posição são chamadas de medidas de tendência central,
devido à tendência dos dados observados se concentrarem em torno desses
valores centrais que se localizam em torno do centro de uma distribuição.
As medidas (número-resumo) mais usadas para representar um conjunto de
dados são a média, a moda e a mediana.
75
Probabilidade e Estatística
4.22.1
Luiz Roberto
Média Aritmética
16 Médias amostrais
Distribuição amostral
1ª
2ª Obs.
Obs
1
2
3
4
1
1,0
1,5
2,0
2,5
.3
2
1,5
2,0
2,5
3,0
.2
3
2,0
2,5
3,0
3,5
.1
4
2,5
3,0
3,5
4,0
.0
Histograma
‫־‬
X
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Média aritmética – para dados não-agrupados (ou dados simples)
Seja X uma variável que assume os valores x1, x2, x3 ,..., xn. A média
aritmética simples de X, representada por x, é definida por:
n
x1 + x2 + x3 + ... + xn
=
∑ xi =
n
∑ xi
i =1
ou simplesmente
n
X
=
∑x
n
xi : são os valores que a variável X assume
n: número de elementos da amostra observada
Exemplo: A produção leiteira diária da vaca V, durante uma semana, foi de 10,
15, 14, 13, 16, 19, e 18 litros. Determinar a produção média da semana (a
média aritmética).
∑ xi =
x1 + x2 + x3 + ... + xn
n
=
10 + 15 + 14 + 13 + 16 + 19 + 18
7
=
15 litros
Média aritmética – para dados agrupados
Se
os
valores
da
variável
forem
agrupados
em
uma
distribuição
de
freqüências será usada a média aritmética dos valores x1, x2, x3 ,..., xn
ponderadas pelas respectivas freqüências absolutas: F1, F2, F3 ,..., Fn.
76
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
N
X=
∑ xiFi
ou
I =1
n
X=
∑ Fixi
n
A fórmula acima será usada para as distribuições de freqüências sem classes e
com classes.
Média
aritmética
para
dados
agrupados
sem
classes
(Média
aritmética
ponderada)
Tabela 4.4 - Número de filhos de um grupo de 50 casais
Número de
Numero
filhos
de casais
Fi . xi
(xi)
(Fi)
0
6
∑ Fixi
X =
=
1
16
n
2
9
3
8
4
3
5
3
X = 2,3 filhos
6
3
7
2
50
Total (∑)
Os 50 casais possuem, em média 2,3 filhos.
117
50
= 2,34
Média aritmética para dados agrupados com classes intervalares
(Dados com classes): Determinar a média aritmética da Tabela 4.7
Tabela 4.7 - Taxas municipais de urbanização, no Estado AL (em %) 1970.
Número de
Municípios
xi
Taxas (em %)
xi . Fi
(Fi)
6 --- 16
29
16 --- 26
24
26 --- 36
16
36 --- 46
13
46 --- 56
4
56 --- 66
3
66 --- 76
2
76 --- 86
2
86 --- 96
1
94
Total (∑)
X
=
∑ Fixi
n
=
__________
→ X
=
77
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Propriedades da média aritmética
1ª propriedade
A soma algébrica dos desvios em relação à média é zero (nula).
∑ di = ∑ (xi - x) = 0 ; onde: di são as distâncias ou afastamentos da média.
Em uma distribuição simétrica, a soma algébrica dos desvios em relação à
média será igual a zero; e tenderá a zero se a distribuição for assimétrica.
Idades (xi)
2
4
6
8
10
∑
d1
d2
d3
d4
d5
=
=
=
=
=
di = xi 2 – 6 =
4 – 6 =
6 – 6 =
8 – 6 =
10 – 6 =
x
-4
-2
0
+2
+4
0
X =
2 + 4 + 6 + 8 + 10
5
=
2ª propriedade
Somando-se ou subtraindo-se uma constante (c) a todos os valores de uma
variável, a média do conjunto fica aumentada ou diminuída dessa constante.
Somar o valor 2 aos dados da tabela e calcular a nova média
Idades (xi)
2
4
6
8
10
∑
A nova média será:
X =
xi +
2 + 2 =
4 + 2 =
6 + 2 =
8 + 2 =
10 + 2 =
2
4
6
8
10
12
40
40
= 8.
5
No caso, a média aritmética anterior ficou aumentada de 2.
3ª propriedade
Multiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de uma variável por
uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada ou dividida por essa
constante:
Multiplicar o valor 2 aos dados da tabela e calcular a nova média
Idades (xi)
2
4
6
8
10
∑
xi x
2 x 2 =
4 x 2 =
6 x 2 =
8 x 2 =
10 x 2 =
78
2
4
8
12
16
20
60
6
Probabilidade e Estatística
A nova média é: X =
4.22.2
Luiz Roberto
60
= 12. A média aritmética ficou multiplicada por 2.
5
Esperança matemática
Esperança Matemática ou Média de uma variável aleatória discreta é definida:
E[X] =
µx
= µ =
∑x
P(xi)
i
Exemplo:
E = lançamento de um dado
X = ponto obtido: 1, 2, 3, 4, 5, 6
P(X) =
1
1
1
1
1
1
,
,
,
,
,
6
6
6
6
6
6
E(X) = 1 .
4.22.3
1
1
1
1
1
1
+2.
+3.
4.
+5.
+6.
= 3,5
6
6
6
6
6
6
Moda (Mo)
Também chamada de norma, valor dominante ou valor típico.
Define-se
a
moda
como
o
valor
que
ocorre
com
maior
freqüência
em
conjunto de dados.
Exemplo: Se o salário modal dos empregados de uma empresa é igual a mil
reais, este é o salário recebido pela maioria dos empregados dessa empresa.
A moda é utilizada quando os dados estão na escala nominal.
Exemplo:
Sexo dos alunos – Turma A – Escola Z
Sexo
Freqüência
Masculino
40
Feminino
60
Total
100
A moda é sexo feminino porque tem maior freqüência.
Moda – para dados não agrupados
Primeiramente os dados devem ser ordenados para , em seguida,
observar o valor que tem maior freqüência.
Exemplo: Calcular a moda dos seguintes conjuntos de dados:
79
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
1. X = (4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8) → Mo = 6 (o valor mais freqüente)
Esse conjunto é unimodal, pois apresenta apenas uma moda.
2. Y = (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6) → Mo = 2 e Mo = 4 (valores mais
freqüentes)
Esse conjunto é bimodal, pois apresenta duas modas.
3. Z = (1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5) → Mo = 2, Mo = 3 e Mo = 4 (valores
mais freqüentes)
Esse conjunto é plurimodal, pois apresenta mais de duas modas.
4. W = (1, 2, 3, 4, 5, 6) → Esse conjunto é amodal porque não apresenta um
valor predominante.
Moda – para dados agrupados sem classes
Basta observar, na tabela, o valor que apresenta maior freqüência.
1º) Cálculo da moda pelo ROL
Na Tabela 4.2, o resultado 1 aparece mais vezes → Mo =1.
Tabela 4.2 - Número de filhos de um grupo de 50 casais
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
2º) Cálculo da moda pela distribuição de freqüências sem classes
Tabela 4.4 - Número de filhos de um grupo de 50 casais
Número de
filhos
(xi)
0
1
2
3
4
5
6
7
Total (∑)
Numero de
casais
(fi)
6
16
9
8
3
3
3
2
50
O valor 1 apresenta a maior freqüência.
Mo = 1
Esse resultado indica que casais com
um filho foi o resultado mais observado.
80
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Moda – para dados agrupados com classes
Tabela 4.7 – Taxas municipais de urbanização (em %) – Alagoas, 1970.
1º passo: Identifica-se a classe de maior freqüência:
Número de
Taxas(%)
A maior freqüência é 29 (1ª classe): 6 --- 16
Municípios
(fi)
6 --- 16
16 --- 26
26 --- 36
36 --- 46
46 --- 56
56 --- 66
66 --- 76
76 --- 86
86 --- 96
Total (∑)
4.22.4
29
24
16
13
4
3
2
2
1
94
2º passo: Aplica-se a fórmula:
Mo =
Li + Ls
2
Li: limite inferior da classe modal = 6
Ls: limite superior da classe modal = 16
6 + 16
Mo =
2
=
11
Mediana (Md)
É uma medida de posição cujo número divide um conjunto de dados em duas
partes
iguais.
Por
esse
motivo,
a
mediana
é
considerada
uma
medida
separatriz. Portanto, a mediana se localiza no centro de um conjunto de
números ordenados segundo uma ordem de grandeza.
Mediana -
para dados não agrupados
a) O número de valores
b) O número de valores observados é par
observados é impar
Exemplo: Considere o conjunto de dados:
Exemplo: Considere o conjunto de
dados:
X = (4, 3, 9, 8, 7, 2, 10, 6)
X = (5, 2, 7, 10, 3, 4, 1)
1º) Colocar os valores em ordem crescente
ou decrescente:
1º) Colocar os valores em ordem X = (2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10)
crescente ou decrescente:
2º) Determinar a ordem ou posição (P) da
X = (1, 2, 3, 4, 5, 7, 10)
2º)
Determinar
a
ordem
posição (P) da Mediana por
ou
P =
n +1
,
2
7 +1
P =
= 4 ==> 4ª posição.
2
4ª posição é o número 4.
Mediana:
P =
P =
n
2
e
8
= 4ª posição
2
P =
e
n
+ 1 ,
2
P =
8
+ 1 = 5ª
2
posição
Os números são 6 (4ª posição) e 7 (5ª
posição). Tira-se a média aritmética entre
os dois números.
Md = 4
Md =
6+7
2
81
= 6,5
Probabilidade e Estatística
4.22.5
Luiz Roberto
Medidas de dispersão (Medidas de variabilidade)
São medidas utilizadas para medir o grau de variabilidade, ou dispersão
dos valores observados em torno da média aritmética. Servem para medir a
representatividade da média e proporcionam conhecer o nível de homogeneidade
ou heterogeneidade dentro de cada grupo analisado.
Considere a seguinte situação:
Um empresário deseja comparar a performance de dois empregados, com
base na produção diária de determinada peça, durante cinco dias:
Empregado A : 70, 71, 69, 70, 70 → x = 70
Empregado B : 60, 80, 70, 62, 83 → x = 71
A
performance
média
do
empregado
A
é
de
70
peças
produzidas
diariamente, enquanto que a do empregado B é de 71 peças. Com base na média
aritmética, verifica-se que a performance de B é melhor do que a de A. Porém,
observando bem os dados, percebe-se que a produção de A varia apenas de 69 a
71 peças, ao passo que a de B varia de 60 a 83 peças, o que revela que a
performance de A é bem mais uniforme do que de B.
Qual o melhor empregado?
Amplitude total (AT)
É é a diferença entre o maior e o menor valor observado.
AT
=
xmax − xmin
Empregado A = 71 − 69 = 2
Empregado B = 83 − 60 = 23
Desvio médio (DM)
Analisa todos os desvios ou distâncias em relação a média aritmética.
O cálculo dos desvios feito por:
di
=
A soma de todos os desvios em
relação a média aritmética é
igual a zero:
(xi − X )
xi = valores observados
∑ di = ∑ (xi – X ) = 0
X = média aritmética
82
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Cálculo dos di:
Empregado
d1 = 70 –
d2 = 71 –
d3 = 69 –
d4 = 70 –
d5 = 70 –
∑ di = 0
A
70
70
70
70
70
=
=
=
=
=
0
+1
− 1
0
0
Empregado
d1 = 60 –
d2 = 80 –
d3 = 70 –
d4 = 62 –
d5 = 83 –
∑ di = 0
B
71
71
71
71
71
Para eliminar a soma zero, coloca-se os
desvios em módulo:
Empregado B
Empregado A
=
=
=
=
=
− 11
+9
− 1
− 9
+12
d1 =
d2 =
d3 =
d4 =
d5 =
∑
|0|=0
|+1| = 1
|−1|= 1
|0|=0
|0|=0
| di | = 2
d1 =
d2 =
d3 =
|–11|
|+9 |
|–1 |
|–9 |
= 11
= 9
= 1
= 9
d4 =
d5 = |+12 | = 12
∑ | di | = 42
Dessa forma, é possível calcular a média dos desvios por:
DM
=
∑ | di |
n
=
∑ | xi − X |
Empregado A
n
DM =
2
5
Empregado B
DM =
= 0,4
42
5
= 8,4
Com freqüência absoluta (Fi):
DM =
4.22.6
∑ | di | .Fi
=
n
∑ | xi − X |.Fi
n
Variância
Considera-se o quadrado de cada desvio, (xi – X )2, evitando que Σ di =
0.
Assim, a definição da variância populacional é dada por:
σ=
2
∑ (di)2.Fi
n
=
∑ (xi - X )2.Fi .
n
Trata-se da média aritmética dos quadrados
dos desvios.
σ2 Î indica a variância populacional e lê-se sigma ao quadrado.
X Î indica a média da população.
d1
d2
d3
d4
d5
Empregado A
= (0)2 = 0
= (+1)2 = 1
= (−1)2 = 1
= (0)2 = 0
= (0)2 = 0
∑ (di)2 = 2
d1
d2
d3
d4
d5
Empregado B
Empregado A
= (–11)2 = 121
2
= 0,4
σ2 =
= (+9)2 = 81
5
= (−1)2 = 1
= (–9)2 = 81
= (+12)2 = 144
∑ (di)2 = 428
83
Empregado B
σ2 =
428
= 85,6
5
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Para o caso do cálculo da variância amostral, é conveniente o uso da
seguinte fórmula:
∑ (xi - X)2.Fi .
2
S =
As
n −1
diferenças
populacional
entre
( σ2 ),
as
fórmulas
utiliza-se
a
são:
média
para
o
populacional
caso
da
(X )
variância
tendo
como
denominador o tamanho da população (n). Para o cálculo da variância amostral
(S2), utiliza-se a média amostral ( X ), tendo como denominador o tamanho da
mostra menos um (n-1). Assim, podemos usar as fórmulas práticas para os
cálculos das variâncias:
σ2 =
1
 ∑ xi 2 Fi −
n

(∑ (xiFi) 2 )
n
S2 =



1 
n −1 

∑
2
xi Fi −
(∑ (xiFi) 2 )
n


que foram obtidas por transformação nas respectivas fórmulas originais.
4.22.7
Desvio-padrão
É a raiz quadrada da variância.
Na fórmula original para o cálculo da variância, observa-se que é uma soma
de quadrados. Por exemplo, se a unidade original for metro (m) o resultado
será metro ao quadrado (m2). Para retornar a unidade de medida original,
extrai-se a raiz quadrada da variância, passando a chamar-se de desviopadrão.
Desvio-padrão populacional
σ
σ
=
Desvio-padrão amostral
s
2
=
s2
Exemplo 1: Calcular o desvio-médio, a variância e o desvio padrão da seguinte
distribuição amostral:
xi
Fi
5
2
7
3
8
5
1°) Cálculo do desvio médio:
DM =
∑ | xi − X |.Fi
n
ou
∑ | di | .Fi
n
84
9
4
11
2
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Primeiramente, precisa-se do valor da média:
Fi
2
3
5
4
2
16
xi
5
7
8
9
11
∑
xi . Fi
10
21
40
36
22
129
X
=
∑ Fixi
n
=
129
= 8,06
16
Para o cálculo do DM , são abertas novas colunas, assim:
xi
Fi
xi . Fi
| xi − X |
|di| Fi
5
7
8
9
11
2
3
5
4
2
16
10
21
40
36
22
129
| 5 - 8,06 |
| 7 - 8,06 |
| 8 - 8,06 |
| 9 - 8,06 |
| 11 - 8,06 |
6,12
3,18
0,30
3,76
5,88
19,24
∑
Portanto, DM =
∑ | di | .Fi
n
=
19,24
= 1,20
16
2°) Cálculo da variância amostral:
2
S =

1 
n −1 

∑ xi
2
(
( xiFi) 2 )
∑

Fi −
n


Observe que o cálculo será facilitado, pois n = 16 e ∑ xi Fi = 129.
Falta encontrar ∑ xi2 Fi. Para isso, uma nova coluna é considerada na tabela.
xi
5
7
8
9
11
∑
Logo: S2 =
Fi
2
3
5
4
2
16
xi2 Fi
10
147
320
324
242
1.083
xi . Fi
10
21
40
36
22
129
(129 )2  = 2,86
1 
1083 −
16 − 1 
16 
Então, a variância amostral é S2 = 2,86.
85
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
3°) Cálculo do desvio padrão amostral:
Como S
=
S2
Î
2,86 = 1,69.
S =
Resumindo: a distribuição possui uma média 8,06. Isto é, seus valores estão
em torno de 8,06 a seu grau de concentração é de 1,2, medido pelo Desvio
Médio, e de 1,69, medido pelo Desvio-Padrão.
Exemplo 2: Dada a distribuição amostral abaixo, calcular a média, o desvio
médio e o desvio padrão.
Classes
2 ├---- 4
4 ├---- 6
Fi
2
4
6 ├---- 8 8 ├---- 10 10 ├---- 12
7
4
3
A construção da tabela auxiliar para os cálculos deve ser construída à
medida que você for necessitando dos resultados parciais; a ordem das colunas
não é importante. Eis a tabela auxiliar:
|di| Fi
X2 Fi
- 7,2|= 4,2
8,4
18
|7
- 7,2|= 2,2
8,8
100
49
|8
- 7,2|= 0,2
1,4
343
4
36
|9
- 7,2|= 1,8
7,2
324
11
3
33
|11
- 7,2|= 3,8
11,4
363
∑
16
129
37,2
1.148
Classes
xi
Fi
xi . Fi
2 ├---- 4
5
2
6
|3
4 ├---- 6
7
4
20
6 ├---- 8
8
7
8 ├---- 10
9
10 ├---- 12
∑
X =
| xi − X |
144
= 7,2
20
Logo: S2 =
DM =
37,2
= 1,86
20
(144)2  = 5,86
1 
1148 −

20 − 1 
20 
σ
=
86
5,86
= 2,42
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Exemplo 3: Cálculo da variância populacional. Determinar a variância para a
série:
xi
2
3
5
6
7
Fi
1
4
5
3
2
Solução: A fórmula prática para calcular a variância popu8lacional é:
( xiFi) 2 
1
2
2
 xi Fi −

σ =
n

(∑
∑
)


n
Será conveniente construir a seguinte tabela:
xi
Fi
xi . Fi
X2 Fi
2
1
2
4
3
4
12
36
5
5
25
125
6
3
18
108
7
2
14
98
∑
15
71
371
(71)2  = 2,33
1 
371
−


15 
15 
σ2 =
Desvio-padrão populacional:
σ =
2,33
= 1,53
Exemplo 4: Cálculo da variância e do desvio-padrão para a Tabela 4.4
Tabela 4.4 - Número de filhos de um grupo de 50 casais
N°
filhos
(xi)
0
1
2
3
4
5
6
7
∑
N°
casais
(Fi)
6
16
9
8
3
3
3
2
50
xi . Fi
xi2
Variância amostral:
xi2. Fi
S2 =

1 
n −1 

∑
2
xi Fi −
(∑ (xiFi) 2 )
Desvio-padrão:
s
117
87
=
s2
n


Probabilidade e Estatística
4.23
Luiz Roberto
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE
4.23.1
DISTRIBUIÇÃO DE “BERNOULLI”
Suponhamos a realização de um experimento E, cujo resultado pode ser um
sucesso (se acontecer o evento que nos interessa) ou um fracasso (o evento
não se realiza).
Seja x a variável aleatória: sucesso ou fracasso.
X Î x1 = 1
(sucesso)
ou
x2 = 0
P(X) Î p (x1) = p
Diz-se
que
esta
(fracasso)
p (x2) = 1 – p = q
variável,
assim
definida,
tem
uma
distribuição
de
“Bernoulli”. Suas principais características são:
1
Média:
µ (X) =
∑
xi P(Xi) = 0 . p + 1 . p = p
0
2
2
2
(X )
Variância: σ ( X ) = E[(X1 - µ )2] = E(X i ) - µ
2
E[X i ] =
1
∑
2
x i P(Xi) = 02 q + 12 p = p
0
2
σ ( X ) = p – p2 = p(1-p) = pq
4.23.2
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Trata-se de uma distribuição de probabilidade adequada aos experimentos que
apresentam
apenas
dois
resultados
(sucesso
ou
fracasso).
Esse
modelo
fundamenta-se nas seguintes hipóteses:
H1: n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas.
H2: cada prova admite dois resultados – sucesso ou fracasso.
H3: a probabilidade de sucesso em cada prova é p
e de fracasso 1-p = q
Define-se a variável Y como o número de sucessos das n provas.
Logo, Y pode tomar os valores 0, 1, 2, 3, ..., n.
Fazendo
sucesso
corresponder
a
1
e
fracasso
a
0,
ou
seja,
provas
Bernoulli, tem-se:
Para Y = 0, uma seqüência de n zeros: 0000 ... 0. Logo:
P (Y=0) = q . q . q . q ... q = qn
Para Y = 1, uma seqüência do tipo: 1000 ... 0; 0100 ... 0; 001000 ... 0;
88
de
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
Serão n seqüências, cada uma com um único sucesso e n-1 fracassos:
P (Y-1) = n . p . qn-1
Para Y = y, tem-se y sucessos e (n-y) fracassos, correspondendo às seqüências
com y algarismos 1 e n – y zeros. Cada seqüência terá probabilidade pyqn-y e
n
como há   seqüências distintas, tem-se:
 y
n
P (Y=y) =   pyqn-y
 y
Que é a expressão geral da distribuição Binomial.
Para Y = n, tem-se uma seqüência de n uns: 1111 ... 1, logo: P(Y=n) = pn
n
O nome Binomial é porque   pyqn-y nada mais é que o termo de grau y em p no
 y
desenvolvimento do Binômio de Newton (p + q)n.
Média:
De acordo com as hipóteses, vê-se que y é a soma de n variáveis do
tipo “Bernoulli”, daí:
µ
= nµ
Variância:
2
(X)
= n . p
ou
µ (Y) = np
seja
Baseado no que foi feito acima, temos:
2
σ (Y ) = n σ ( X ) = n . p . p
2
σ (Y ) =
ou seja
npq
Exemplo: Uma moeda não viciada é lançada oito vezes. Encontre a
probabilidade:
a) dar cinco caras
b) pelo menos uma cara
c) no máximo duas caras.
d) Calcular a média e a variância da distribuição.
Solução: Sabe-se que: n = 8, p =
1
1
e q =
; Y Î número de caras
2
2
(sucessos).
5
8−5
a) P(Y=5) =
8  1   1 
     
 5  2   2 
b) P(Y ≥ 1) =
1 – P(Y=0) = 1 - 
 7 
  = 0,22 = 22%
 32 
=
1

2
89
8
 255 
 = 0,996 = 99,6%
 256 
= 
Probabilidade e Estatística
c) P(Y ≤ 2) =
Luiz Roberto
P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2) =
8
7
2
6
8  1   1 
1
1 1
  + 8     +       =
2
2 2
 2  2   2 
1
8
28
37
+
+
+
= 0,14 = 14%
256
256
256
256
A média será: 9(Y) = n . p = 8 .
2
A variância será: σ (Y ) =
1
= 4
2
n . p . q
90
=
8 .
1
1
.
= 2
2
2
Probabilidade e Estatística
Luiz Roberto
BIBLIOGRAFIA
FONSECA, Jairo Simon; MARTINS, G. A. Curso de Estatística.
Atlas, 1996.
São Paulo:
MARTINS, G. A. DONAIRE, D. Princípios de estatística. São Paulo: Atlas,
1990.
TOLEDO, G. L; OVALLE, I(. I. Estatística básica. 2ª ed. São Paulo:
Atlas, 1995.
IEZZI, G; DOLCE, O; DEGENSZAJN, D. M; PÉRIGO, R. Matemática volume
único. São Paulo: Atual Editora, 1999.
91