R - Tolstenko

Capítulo 8: Transferência de calor
por condução
Aletas
Condução de calor
bidimensional
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Transferência de calor
• É desejável em muitas aplicações industriais
aumentar a taxa de transferência de calor de
uma superfície sólida para um fluido
adjacente.
• Para tanto é preciso analisar os parâmetros
de projeto e fazer as alterações necessárias
para aumentar esta transferência de calor.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Aumento de transferência de calor
• Considerando uma placa plana com temperatura
da superfície fixa (uniforme), a taxa de
transferência de calor pode ser elevada:
– Com o aumento da velocidade do fluido, que tem o
efeito de aumentar o coeficiente de transferência de
calor (h);
– Com o aumento da diferença de temperaturas da
superfície e do fluido;
– Com o aumento da área da superfície transversal,
através da qual ocorre a convecção.
Ar: T∞ , h
& = hA(T − T )
Q
s
∞
• As duas primeiras medidas podem, em alguns
casos, ser limitadas e se tornarem insuficientes,
dispendiosas e/ou impraticáveis.
Ts , A
• Uma das opções mais comuns é aumentar a
área da superfície transversal.
EM-524 Fenômenos de Transporte
ALETAS
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Aletas
• São superfícies estendidas, que vão desde a parede
da superfície sólida em direção ao fluido adjacente.
• São utilizadas para o aquecimento e para o
resfriamento de sistemas.
• A condutibilidade térmica do material da aleta tem
forte efeito na distribuição de temperatura ao longo
da aleta e afeta o grau no qual a taxa de
transferência de calor é aumentada ou diminuída.
• O ideal é que a aleta tenha uma condutibilidade
térmica alta para minimizar as variações de
temperatura de sua base para a extremidade. No
caso limite (condutibilidade infinita), toda a aleta
estaria à mesma temperatura da base.
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Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Aletas
Aleta tipo pino
Aleta tipo retangular
• Como a área de contato entre o fluido e a superfície (área
molhada) no caso aletado é superior, o fluxo de calor total é
maior que no caso sem aletas.
• O problema básico no projeto térmico das superfícies aletadas é
determinar uma correlação entre o fluxo de calor e as grandezas
pertinentes ao sistema (∆
∆T, h e k).
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Aletas
• Aletas que
aquecem
EM-524 Fenômenos de Transporte
• Aletas que
resfriam
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Aletas
Convecção
Temp. Ambiente ( T∞
∞ )
Base aleta
T0
Base aleta
T0
• O calor é transportado da base (ou para a base) por
meio da condução térmica e adicionado (ou removido)
ao ambiente externo pela convecção térmica.
Condução
Convecção
Temp. Ambiente ( T∞
∞ )
Condução
T0
T∞
∞
Distribuição temp. Aleta
EM-524 Fenômenos de Transporte
T∞
∞
T0
Distribuição temp. Aleta
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Aletas de seção transversal constante
• É a aleta mais simples de se analisar.
• A hipótese básica desse tipo de aleta é que a
distribuição de temperatura nela é função
unicamente de x (fluxo de calor unidimensional na
aleta): esta hipótese é uma boa aproximação para
certas condições.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Balanço de energia: análise
preliminar
A = A ba + A na
Base
aleta T
• Antes de iniciar o balanço de energia é importante
notar que a área da superfície original (sem aletas)
é a soma da área das bases das aletas com a área
Convecção
não aletada restante:
Temp. Ambiente ( T∞
∞ )
• Logo, a transferência de calor total será:
& = q& " A + q& " A ⇒ Q
& = q& " A + hA (T − T )
Q
ba a
na na
ba a
na
∞
Onde o índice “ba” refere-se a base das aletas e “na” a parte
não aletada.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Balanço de energia na aleta
• Da hipótese unidimensional, o fluxo de calor na
base da aleta é independente de y e pode ser
determinado por:
q
EM-524 Fenômenos de Transporte
"
ba
 dT 
= −k 

 dx  x =0
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Balanço de energia na aleta
• Aplicando a 1a lei a um
sistema composto pela
fatia de aleta com
espessura ∆x:
& =Q
&
&
Q
+
Q
x
x + ∆x
conv
q"x Ac − q"x + ∆x Ac − ( P∆x)h(T − T∞ ) = 0
onde P é o perímetro molhado
da aleta e o último termo é
a taxa de transferência de
calor por convecção da
fatia de aleta para o fluido.
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Balanço de energia na aleta
• Aplicando a lei de Fourier nos
termos referentes a condução,
obtém-se:
"
dq
d 
dT 
"
"
x
A c (q x − q x + ∆x ) = − A c
∆x = − A c
−k
∆x
dx
dx 
dx 
• Considerando a condutibilidade constante, obtémse que:
"
x
A c (q − q
EM-524 Fenômenos de Transporte
"
x + ∆x
2
dT
) = A c k 2 ∆x
dx
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Equação da aleta
• Substituindo a expressão anterior na 1a lei:
2
dT
kAc 2 − hP(T − T∞ ) = 0
dx
• Esta equação mostra que a taxa líquida de
transferência de calor por condução na fatia de aleta
é igual a taxa de transferência de calor por
convecção do fluido através da superfície lateral da
fatia considerada.
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Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Aleta Longa
• A ponta da aleta está em equilíbrio térmico
com o fluido, impondo neste caso a seguinte
condição de contorno:
T → T∞ quando x → ∞
• A outra condição é que a temperatura na
base da aleta é igual a temperatura da
superfície onde estão montadas as aletas:
T = Tb quando x = 0
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Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Equação da aleta longa
2
dT
kAc 2 − hP(T − T∞ ) = 0
dx
• Fazendo uma transformação de variável:
θ(x) = T(x) - T∞
• A equação diferencial torna-se:
2
dθ
2
−
m
θ=0
2
dx
hP
m=
kAc
• Como condições de contorno:
para x = 0 => θ = θb e para x → ∞ => θ → 0
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Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Aleta longa: solução em θ
• Sendo h constante ao longo da aleta, a solução da
equação diferencial é:
θ(x) = θb exp(−mx)
• A temperatura decai exponencialmente a partir da
temperatura da base até a do fluido numa posição
remota da base.
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Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Aleta finita e ponta isolada
• Neste caso as condições de
contorno são dadas por:
– x=0
– x = La
T = Tb
dT/dx = 0
dθ
θ/dx = 0
• E o perfil de temperaturas é
dado por:
cosh[m(L a − x )]
θ(x) = θb
cosh(mL a )
EM-524 Fenômenos de Transporte
θb
θ(L a ) =
cosh(mL a )
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Transferência de calor: aleta finita e
ponta isolada
• A taxa de transferência de calor da aleta pode ser
determinado como:
& = kA hP .(T − T ).tanh(mL )
Q
a
c
b
∞
a
• Onde:
e mLa − e − mLa
tanh(mL a ) = mLa − mLa
e +e
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Transferência de calor: aleta finita e
ponta isolada
• Analisando através do circuito térmico, a resistência
térmica da aleta:
1
Ra =
N kAchP .tanh(mL a )
onde N é o número de aletas fixadas à superfície.
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Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Transferência de calor: parte não
aletada
• No entanto, existe ainda a
resistência térmica
associada a parte não
aletada:
R na
1
=
hA na
onde Ana é área referente a
parte não aletada.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Transferência de calor total
h
T∞
∞
Tb, Ana
h2
T2
& =Q
& +Q
&
Q
a
na
Ac
Rna =
L
R2
T2
EM-524 Fenômenos de Transporte
Qna
Rk
Tb
1
h2A
1
hA na
1
kA
1
Ra =
N kAchP .tanh(mL a )
T∞
∞
Qa
Ra
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Resistência equivalente
Rna
R2
T2
Rk
Qna
Tb
T∞
∞
Qa
Ra
R eq
& =Q
& +Q
&
Q
a
na
• Como a resistência térmica da aleta e da parte não
aletada estão em paralelo, tem-se uma resistência
térmica equivalente:
R na R a
R eq =
R na + R a
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Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Taxa de transferência de calor total
Rna
R2
T2
Rk
Qna
Tb
T∞
∞
Qa
R eq
Ra
& =Q
& +Q
&
Q
a
na
• A taxa de transferência de calor será:
(T2 - T∞ )
&
Q=
∑R
EM-524 Fenômenos de Transporte
• E neste exemplo:
∑R = R
2
+ R k + R eq
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Transferência de calor: aleta finita e
condição de convecção
• Caso exista uma condição de contorno de
convecção na extremidade da aleta (com
transferência de calor para o ambiente, por
exemplo), o comprimento da aleta precisa ser
alterado:
Ac
Lc = La +
P
• Este novo comprimento de aleta (Lc) será usado
no cálculo da resistência térmica da aleta:
1
Ra =
N kAchP .tanh(mL c )
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Aleta cilíndrica
• Para o caso de uma aleta cilíndrica com diâmetro
D, a correção do comprimento da aleta será:
D
Lc = La +
4
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exemplo: Água quente a 98oC escoa através de um tubo de bronze
comercial com diâmetro interno de 2 cm. O tubo é extrudado e tem o
perfil da seção transversal mostrado abaixo. O diâmetro externo do
tubo aletado é de 4,8 cm e as aletas têm 1 cm de comprimento e 2 mm de
espessura. O coeficiente de calor por convecção do lado da água é de
1200W/m2.oC O tubo aletado está exposto ao ar a 15oC e o coeficiente de
calor por convecção é 5 W/m2.oC Determine a taxa de transferência de
calor por metro de comprimento do tubo.
h=5 W/m2oC
15oC
de = 28 mm
di=20mm
98oC
Material do Tubo & Aletas:
Bronze (tab. A14)
k = 52 W/m.oC
2
10
m
m
h=1200W/
m2.oC
m
m
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Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
h=5 W/m2oC
15oC
de = 28 mm
Material do Tubo & Aletas:
Bronze (tab. A14)
k = 52 W/m.oC
di=20mm
Circuito térmico equivalente
98oC
2
10
m
m
h=1200W/
m2.oC
Ti
98oC
m
m
Ra
Te
15oC
•
Logo:
E:
Rc,i Rk
Rna
Q = (Ti-Te)/RT
RT = Rc,i+Rk+[(Rna.Ra)/(Rna+Ra)]
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Rc,i Rk
Ti
98oC
h=5 W/m2oC
15oC
Rna
Ra
de = 28 mm
Te
15oC
di=20mm
98oC
h=1200W/
m2.oC
ln(d e /d i ) ln(0,028/0,02) 1,030.10
Rk =
=
=
2πkL
2 * 3,14 * 52 * L
L
R na
−3
2
10
m
m
1
1
1,327.10 −2
R c,i =
=
=
h i .πd i .L 1200 * 3,14 * 0,02 * L
L
m
m
1
1
1
=
=
=
=
h e .A na h e .L.Pna h e .L.[πd e − (12 * 0,002)]
R na =
1
3,129
=
5.L.[3,14 * 0,028 − (12 * 0,002)]
L
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Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Rc,i Rk
Ti
98oC
h=5 W/m2oC
15oC
Rna
Ra
de = 28 mm
Te
15oC
di=20mm
98oC
1
Ra =
N kAchP .tanh(mL)
2
• Perímetro da aleta: P ≈ 2 L (m)
10
m
m
h=1200W/
m2.oC
m
m
• Área transv. Aleta: Ac = 0,002 L (m)
• Comprimento da aleta: Lc = La+(Ac/P) = 0,011 m
heP
5 * 2L
m=
=
= 9,806
kAc
52 * 0,002L
mL c = 9,806 * 0,011 = 0,108
e 0,108 − e −0,108
tanh(mL c ) = 0,108 −0,108 = 0,1076
e
+e
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Ti
98oC
Ra
de = 28 mm
Te
15oC
di=20mm
98oC
h=1200W/
m2.oC
1
0,7595
Ra =
=
L
12 52 * 0,002L * 5 * 2L * 0,0977
2
• Assim:
 R na * R a  1,327.10
 =
R T = R c,i + R k + 
L
 R na + R a 
• E:
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−2
+
1,030.10
L
−3
10
m
m
Rc,i Rk
h=5 W/m2oC
15oC
Rna
m
m
 3,129 0,7595 
*

 6,254.10 −1
L =
+ L
L
 3,129 + 0,7595 


L 
 L
Q&
(98 − 15)
=
= 132,7 W/m
−1
L 6,254.10
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
h=5 W/m2oC
15oC
de = 28 mm
di=20mm
98oC
• Caso não houvessem as aletas, a
taxa de transferência de calor seria:
R T = R c,i + R k + R c,e
• E:
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2
10
m
m
h=1200W/
m2.oC
m
m
1,327.10 −2 1,030.10 −3 2,275 2,289
=
+
+
=
L
L
L
L
Q& (98 − 15)
=
= 36,3 W/m
L
2,289
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Condução de calor bidimensional
• Soluções analíticas para condução térmica em casos
2D requer um esforço muito maior daquelas para
casos 1D.
• Há no entanto inúmeras soluções baseadas em
técnicas da Física-Matemática, tais como: séries de
Fourier, séries de Bessel, séries de Legendre,
Transformada de Laplace entre outras.
• Baseado nestas soluções analíticas o Livro Texto
propõe a determinação da taxa de calor para algumas
situações bidimensionais baseado em ‘fatores de
forma de condução’.
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Fator de forma de condução
• Considerando que a geometria contém somente DUAS
superfícies ISOTÉRMICAS, T1 e T2, e que o material é
homogêneo:
& = S ⋅ k ⋅ (T − T ) → R =
Q
2
1
1
S⋅k
Onde S é o fator de forma de condução
e tem dimensão de comprimento (m).
• Comparando esta equação com a das placas planas
infinitas (unidimensional) pode-se determinar que o
seu fator de forma de condução é:
kA
A
&
Q=
(T2 − T1 ) ⇒ S =
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L
L Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Exemplo: Uma tubulação com vapor d’agua a 200oC está enterrada a 2 m
abaixo do solo (ksolo = 41 W/moC) que está a 0oC. O tubo (k = 41W/moC)
tem um diâmetro interno de 20 cm, uma espessura de 5mm e um
coeficiente de transferência de calor interno de 1000 W/m2oC. O tubo é
envolto em uma manta isolante (k = 0,06 W/moC) com 6 cm de
diâmetro. Determine a taxa de calor perdida por metro linear de tubo.
• A taxa de transferência de
calor do vapor para o solo
pode ser determinada pelo
circuito equivalente:
T2=0oC
z = 2m
D=33cm
Ln ( d3 d 2 )
R isol =
2πk isol ⋅ L
200oC
0oC
Rc,i =
1
hi .πd i .L
EM-524 Fenômenos de Transporte
R aco =
Ln ( d 2 d1 )
2πk aco ⋅ L
Rs =
1
S⋅k
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
Ln ( d3 d 2 )
R isol =
2πk isol ⋅ L
200oC
0oC
Rc =
Z= 2 m
d2 = 21 cm
1
hi .πd i .L
R aco =
Ln ( d 2 d1 )
2πk aco ⋅ L
ksolo = 41 W/moC
hi=1000 W/m2oC
R aco =
Rm =
2πk aco ⋅ L
=
Ln ( 21 20 )
2π41 ⋅ L
= 1, 89 ⋅ 10−4 / L
ln(d3/d2)
ln(33/21)
=
= 1,20/L
2πk m L
2 * π * 0,06 * L
EM-524 Fenômenos de Transporte
1
S⋅k
ktubo = 41W/moC
d1 = 20 cm
d3 = 33 cm
km = 0,06 W/moC
1
1
Rc =
=
= 0,0016/L
h i .A i 1000 * π * 0,2 * L
Ln ( d 2 d1 )
Rs =
S=
2πL
= 1,970 L
ln(4z/d 3 )
1
1,238.10 − 2
Rs =
=
S * k solo
L
R T = 1,214/L
(200 - 0)
&
Q/L =
= 164,8W/m
1,214
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero
FIM !
EM-524 Fenômenos de Transporte
Profa. Dra. Carla K. N. Cavaliero