Revisão de álgebra linear.

Revisão de álgebra linear.
ENGC33: Sinais e Sistemas II
Departamento de Engenharia Elétrica - DEE
Universidade Federal da Bahia - UFBA
06 de fevereiro de 2017
Prof. Tito Luís Maia Santos
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Sumário
1
Apresentação
2
Motivação
3
Noções Fundamentais
4
Autovalores e Autovetores
5
Autovetores Generalizados
6
Função de Matrizes
7
Comentários Finais
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2/ 32
Sumário
1
Apresentação
2
Motivação
3
Noções Fundamentais
4
Autovalores e Autovetores
5
Autovetores Generalizados
6
Função de Matrizes
7
Comentários Finais
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3/ 32
Apresentação
Objetivos da aula de hoje:
Revisar a noção de representação por variáveis de estado;
Revisar alguns conceitos elementares de álgebra linear.
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Sumário
1
Apresentação
2
Motivação
3
Noções Fundamentais
4
Autovalores e Autovetores
5
Autovetores Generalizados
6
Função de Matrizes
7
Comentários Finais
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5/ 32
Motivação
Representação em espaço de estados
Seja um sistema descrito por
ẋ (t) = Ax (t) + Bu(t)
y (t) = Cx (t) + Du(t)
com x (t) ∈ Rn , u(t) ∈ Rq , y (t) ∈ Rp .
Definições:
O sinal u(t) representa um vetor com q entradas;
O sinal y (t) representa um vetor com p saı́das;
O sinal x (t) representa um vetor com n estados.
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Motivação
Representação em espaço de estados
Seja um sistema de tempo discreto descrito por
x [k + 1] = Ad x [k ] + Bd u[k ]
y [k ] = Cd x [k ] + Dd u[k ]
com x [k ] ∈ Rn , u[k ] ∈ Rq , y [k ] ∈ Rp .
Definições:
O sinal u[k ] representa um vetor com q entradas;
O sinal y [k ] representa um vetor com p saı́das;
O sinal x [k ] representa um vetor com n estados.
Para obter a solução de problemas deste tipo, faz-se necessário
calcular a solução de funções matriciais na forma eAt e Akd .
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Sumário
1
Apresentação
2
Motivação
3
Noções Fundamentais
4
Autovalores e Autovetores
5
Autovetores Generalizados
6
Função de Matrizes
7
Comentários Finais
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Noções Fundamentais
Espaço Vetorial
Definição 1. Um espaço vetorial é um conjunto V, não vazio,
com duas operações: soma vetorial e multiplicação por
escalar, tais que, para quaisquer u ∈ V, u ∈ V e w ∈ V e
a ∈ R e b ∈ R as seguintes propriedades sejam satisfeitas:
1
2
3
4
5
6
7
8
u+v=v+u
(u + v) + w = u + (w + v)
Existe 0 ∈ V, tal que 0 + u = u
Existe −u ∈ V, tal que −u + u = 0
(ab)u =a(bu)
a(u + v) =au+av
(a + b)u =au+bu
1u = u
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Noções Fundamentais
Subespaço Vetorial
Definição 2. - Um subespaço vetorial W é um subconjunto
de um espaço V, que também é um espaço vetorial.
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Noções Fundamentais
Independência Linear
Considere um conjunto de vetores {v1 , v2 , ..., vn } com v1 ∈ Rn , v2 ∈ Rn ,
..., vn ∈ Rn .
Diz-se que o conjunto de vetores {v1 , v2 , ..., vn } é Linearmente
Independente (LI) se a equação
a1 v1 + a2 v2 + ... + an vn = 0
implica em a1 = a2 = ... = an = 0.
Diz-se que o conjunto de vetores {v1 , v2 , ..., vn } é Linearmente
Dependente (LD) se existe ao menos um escalar não nulo, ai , tal
que a equação a seguir é verificada
a1 v1 + a2 v2 + ... + an vn = 0
Se o conjunto de vetores é L.D., um vetor pode ser obtido a partir
da combinação linear dos outros.
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Noções Fundamentais
Independência Linear
Considere um conjunto de vetores {v1 , v2 , ..., vn } com v1 ∈ Rn , v2 ∈ Rn ,
..., vn ∈ Rn .
Diz-se que o conjunto de vetores {v1 , v2 , ..., vn } é Linearmente
Independente (LI) se a equação
a1 v1 + a2 v2 + ... + an vn = 0
implica em a1 = a2 = ... = an = 0.
Diz-se que o conjunto de vetores {v1 , v2 , ..., vn } é Linearmente
Dependente (LD) se existe ao menos um escalar não nulo, ai , tal
que a equação a seguir é verificada
a1 v1 + a2 v2 + ... + an vn = 0
Se o conjunto de vetores é L.D., um vetor pode ser obtido a partir
da combinação linear dos outros.
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Noções Fundamentais
Dimensão
Definição 3. - A dimensão de um espaço vetorial é da pelo
número máximo de vetores LI deste espaço.
No Rn há no máximo n vetores L.I.
Um conjunto de n vetores L.I. do Rn formam uma base do Rn .
Seja {v1 , v2 , ..., vn } uma base do Rn , então qualquer vetor
w∈ Rn pode ser obtido por uma combinação linear dos
elementos desta base:
w = c1 v1 + c2 v2 + ... + cn vn .
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Noções Fundamentais
Sistema de Equações Lineares
Considere um sistema de equações lineares com m
equações e n incógnitas descrito da forma matricial:

   
y1
x1
a11 a12 ... a1n
 a21 a22 ... a2n  x2   y2 

   
 ..
..
..   ..  =  .. 
..
 .
.
.
.  .   . 
|
am1 am2 ...
{z
A
amn
xn
} | {z }
x
Problema - dados A ∈ Rm×n e y∈ Rm :
ym
| {z }
y
Existe x que soluciona este problema?
Se existe x, qual o número de soluções e qual o número de
soluções L.I.?
Situações m = n, m > n, m < n.
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Noções Fundamentais
Sistema de Equações Lineares
Considere um sistema de equações lineares com m equações e n
incógnitas descrito da forma matricial:

   
a11 a12 ... a1n
x1
y1
 a21 a22 ... a2n  x2   y2 

   
 ..
..
..   ..  =  .. 
..
 .
.
.
.  .   . 
am1
|
am2 ...
{z
A
amn
xn
} | {z }
x
ym
| {z }
y
O Rank ou Posto da matriz A é definido pelo número de colunas
L.I. de A (ρ(A)).
O Espaço nulo, Núcleo ou Kernel da matriz A consiste do
conjunto de vetores x∈ Rn tais que Ax = 0.
A dimensão do espaço nulo é chamada de nulidade da matriz A
(ν(A)).
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Noções Fundamentais
Sistema de Equações Lineares
Propriedades
Seja A ∈ Rm×n , então:
O posto de A, ρ(A), é dado pelo número de colunas L.I. de A
que é igual ao número de linhas L.I. de A.
Importante → ν(A) = n − ρ(A).
Se ν(A) = 0 ⇒ ρ(A) = n.
Se ν(A) = 0, então o sistema Ax = 0 possui apenas a solução
trivial.
Se ν(A) = k , então o sistema Ax = 0 possui k soluções L.I.
Seja A ∈ Rn×n , então:
Se o determinante da matriz A for diferente de 0 (det(A) 6= 0),
então ν(A) = 0 (posto completo).
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Sumário
1
Apresentação
2
Motivação
3
Noções Fundamentais
4
Autovalores e Autovetores
5
Autovetores Generalizados
6
Função de Matrizes
7
Comentários Finais
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Autovalores e Autovetores
Definições
Considere A ∈ Rn×n e v ∈ Rn .
Um vetor não-nulo v é um autovetor quando existir um
escalar λ tal que:
Av = λv
sendo o escalar λ o autovalor associado ao autovetor v.
Para tanto, é necessário que
det(A − λI) = −det(λI − A) = 0.
O polinômio caracterı́stico
det(A − λI) = ∆(λ) = 0
determina n autovalores associados (λ1 , λ2 , ..., λn ).
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Autovalores e Autovetores
Diagonalização de matrizes
Considere uma matriz A ∈ Rn×n com n autovetores L.I. distintos.
Uma matriz de mudança de base Q é dada por estes autovetores
L.I. como segue:
Q = v1 v2 ... vn
Neste caso, pode-se diagonalizar a matrriz A através da operação
A = Q −1 AQ
sendo

λ1
0

A= .
 ..
0
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0
λ2
..
.
0
0
..
.
...
...
..
.
0
0
...

0
0

.. 
.
λn
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Autovalores e Autovetores
Diagonalização de matrizes
Considere uma matriz A ∈ Rn×n cuja multiplicidade do autovalor λi é
dada por mi .
Autovalores repetidos mi 6= 1, podem gerar autovetores L.D.
Se ν(A − λi I) = mi , é possı́vel gerar mi autovetores L.I.
Se ν(A − λi I) < mi , não possı́vel gerar mi autovetores L.I.
Se ν(A − λi I) < mi , não é possı́vel diagonalizar a matriz Q, pois
não existirá inversa.
Se ν(A − λi I) < mi para algum λi , deve-se utilizar a noção de
autovalor generalizado.
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Sumário
1
Apresentação
2
Motivação
3
Noções Fundamentais
4
Autovalores e Autovetores
5
Autovetores Generalizados
6
Função de Matrizes
7
Comentários Finais
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20/ 32
Autovetores Generalizados
Bloco de Jordan- Forma Canônica de Jordan
Um bloco de Jordan Jk (λi ) ∈ Rk ×k associado a um autovalor λi é
dado por


λi 1 0 ... 0
 0 λi 1 ... 0 



.. 
.. .. . .
Jk (λi ) =  ...
. .
. .


 0 0 0 ... 1 
0 0 0 ... λi
Para qualquer matriz A ∈ Rn×n , existe uma matriz não singular Q,
tal que:


Jk 1 (λ1 )


Jk 2 (λ2 )


J = Q −1 AQ = 

.
..


Jkn (λn )
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Autovetores Generalizados
Bloco de Jordan- Forma Canônica de Jordan
Para um dos blocos Jk (λi ), observa-se

λi
0


A vi1 vi2 ... vik = vi1 vi2 ... vik  ...
|
{z
} |
{z
}
0
Q
Q
0
|
Assim, a cada linha verifica-se:
1
λi
..
.
0
1
..
.
0
0
0 ...
0 ...
{z
...
...
..
.
J

0
0

.. 
.

1
λi
}
Avi1 = λi vi1 ⇒ (A − λi I)vi1 = 0
Avi2 = vi1 + λi vi2 ⇒ (A − λi I)vi2 = vi1
Avi3 = vi2 + λi vi3 ⇒ (A − λi I)vi3 = vi2
.. ..
.=.
Avik = vik−1 + λi vik ⇒ (A − λi I)vik = vik−1
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Autovetores Generalizados
Bloco de Jordan- Forma Canônica de Jordan
Da condição anterior, verifica-se
(A − λi I)vi1 = 0
(A − λi I)vi2 = vi1
(A − λi I)vi3 = vi2
.. ..
.=.
(A − λi I)vik = vik−1
Multiplicando ambos os lados por (A − λi I)j−1 para cada linha j,
obtém-se
(A − λi I)vi1 = 0
(A − λi I)2 vi2 = (A − λi I)vi1 = 0
(A − λi I)3 vi3 = (A − λi I)2 vi2 = 0
.. ..
.=.
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(A − λi I)k vik = (A − λi I)k−1 vik−1 = 0
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Autovetores Generalizados
Bloco de Jordan- Forma Canônica de Jordan
Multiplicando ambos os lados por (A − λi I)j−1 , obté-se
(A − λi I)vi1 = 0
(A − λi I)2 vi2 = (A − λi I)vi1 = 0
(A − λi I)3 vi3 = (A − λi I)2 vi2 = 0
.. ..
.=.
(A − λi I)k vik = (A − λi I)k−1 vik−1 = 0
Por fim, observa-se que para um autovetor generalizado,
verifica-se:
(A − λi I)j vij = 0
(A − λi I)j−1 vij 6= 0
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Sumário
1
Apresentação
2
Motivação
3
Noções Fundamentais
4
Autovalores e Autovetores
5
Autovetores Generalizados
6
Função de Matrizes
7
Comentários Finais
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Função de Matrizes
Definições
Seja A uma matriz quadrada, A ∈ Rn×n define-se:
A0 = I;
Ak −1 A = AAk −1 = Ak = A
A ... A}.
| A {z
k vezes
k
k
Seja A = Q −1 AQ, então A = Q −1 Ak Q ⇒ Ak = QA Q −1 .
Função polinomial escalar: f (λ) = a0 + a1 λ + a2 λ2 + ... + an λn ,
λ ∈ Rn .
Função polinomial matricial: f (A) = a0 I + a1 A + a2 A2 + ... + an An ,
A ∈ Rn×n .
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Função de Matrizes
Teorema de Cayley-Hamilton
Polinômio caracterı́tico:
∆(λ) = det(A − λI) = α0 + α1 λ + α2 λ2 + ... + αn λn .
Função polinomial correspondente:
∆(A) = α0 I + α1 A + α2 A2 + ... + αn An .
O teorema de Cayley Hamilton afirma que:
∆(λ) = 0 ⇒ ∆(A) = 0.
Sem perda de generalidade, considere o caso com autovalores
distintos:
α0 I + α1 A + α2 A2 + ... + αn An =
0
1
n
α0 QA Q −1 + α1 QA Q −1 + ... + αn QA Q −1 =
0
1
n
Q [α0 A + α1 A + ... + αn A ] Q −1 = 0
|
{z
}
0
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Função de Matrizes
Teorema de Cayley-Hamilton
Polinômio caracterı́tico:
∆(λ) = det(A − λI) = α0 + α1 λ + α2 λ2 + ... + αn λn .
Função polinomial correspondente:
∆(A) = α0 I + α1 A + α2 A2 + ... + αn An .
O teorema de Cayley Hamilton afirma que:
∆(λ) = 0 ⇒ ∆(A) = 0.
Sem perda de generalidade, considere o caso com autovalores
distintos:
α0 I + α1 A + α2 A2 + ... + αn An =
0
1
n
α0 QA Q −1 + α1 QA Q −1 + ... + αn QA Q −1 =
0
1
n
Q [α0 A + α1 A + ... + αn A ] Q −1 = 0
|
{z
}
0
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Função de Matrizes
Teorema de Cayley-Hamilton
Consequência do Teorema de Cayley-Hamilton:
1
[α0 I + α1 A1 + ... + αn−1 An−1 ]
αn
1
α0 A + α1 A2 + ... + αn An+1 = 0 ⇒ An+1 = − [α0 A + α1 A2 + ... + αn−1 An ]
αn
1
α0 A2 + α1 A3 + ... + αn An+2 = 0 ⇒ An+2 = − [α0 A2 + α1 A3 + ... + αn−1 An+1 ]
αn
α0 I + α1 A1 + ... + αn An = 0 ⇒ An = −
Uma função polinomial matricial g(A) de qualquer ordem k pode ser
reescrita como segue:
g(A) = f (A) = β0 I + β1 A1 + ... + βn−1 An−1
Duas funções possuem os mesmo valores no espetro da matriz A, se:
g(λ)|λ=λi = f (λ)|λ=λi ,
d ji
d
=
,
g(λ)
f
(λ)
ji
dλji
dλ
λ=λ
λ=λ
ji
i
i
sendo λi os n autovalores da matriz A e ji a ordem da derivada.
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Função de Matrizes
Teorema de Cayley-Hamilton
Consequência do Teorema de Cayley-Hamilton:
1
[α0 I + α1 A1 + ... + αn−1 An−1 ]
αn
1
α0 A + α1 A2 + ... + αn An+1 = 0 ⇒ An+1 = − [α0 A + α1 A2 + ... + αn−1 An ]
αn
1
α0 A2 + α1 A3 + ... + αn An+2 = 0 ⇒ An+2 = − [α0 A2 + α1 A3 + ... + αn−1 An+1 ]
αn
α0 I + α1 A1 + ... + αn An = 0 ⇒ An = −
Uma função polinomial matricial g(A) de qualquer ordem k pode ser
reescrita como segue:
g(A) = f (A) = β0 I + β1 A1 + ... + βn−1 An−1
Duas funções possuem os mesmo valores no espetro da matriz A, se:
g(λ)|λ=λi = f (λ)|λ=λi ,
d ji
d
=
,
g(λ)
f
(λ)
ji
dλji
dλ
λ=λ
λ=λ
ji
i
i
sendo λi os n autovalores da matriz A e ji a ordem da derivada.
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Função de Matrizes
Teorema de Cayley-Hamilton
Dois polinômio que possuem os mesmos autovalores no espectro de A
definem a mesma função polinimial matricial.
Exemplos:
1 2
Seja A =
e g(A) = A100 , determine f (A).
0 1
1 2
Seja A =
e g(A) = eAt , determine f (A).
0 1
Considere f (λ) uma função qualquer, para


λ1 1 0 0
 0 λ1 1 0 

 = 
 0 0 λ1 1  .
0 0 0 λ1
Determine f (Â).
Para o caso anterior, considere que f (λ) = eλt .
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Função de Matrizes
Teorema de Cayley-Hamilton
Dois polinômio que possuem os mesmos autovalores no espectro de A
definem a mesma função polinimial matricial.
Exemplos:
1 2
Seja A =
e g(A) = A100 , determine f (A).
0 1
1 2
Seja A =
e g(A) = eAt , determine f (A).
0 1
Considere f (λ) uma função qualquer, para


λ1 1 0 0
 0 λ1 1 0 

 = 
 0 0 λ1 1  .
0 0 0 λ1
Determine f (Â).
Para o caso anterior, considere que f (λ) = eλt .
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Função de Matrizes
Teorema de Cayley-Hamilton
Dois polinômio que possuem os mesmos autovalores no espectro de A
definem a mesma função polinimial matricial.
Exemplos:
1 2
Seja A =
e g(A) = A100 , determine f (A).
0 1
1 2
Seja A =
e g(A) = eAt , determine f (A).
0 1
Considere f (λ) uma função qualquer, para


λ1 1 0 0
 0 λ1 1 0 

 = 
 0 0 λ1 1  .
0 0 0 λ1
Determine f (Â).
Para o caso anterior, considere que f (λ) = eλt .
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29/ 32
Função de Matrizes
Teorema de Cayley-Hamilton
Dois polinômio que possuem os mesmos autovalores no espectro de A
definem a mesma função polinimial matricial.
Exemplos:
1 2
Seja A =
e g(A) = A100 , determine f (A).
0 1
1 2
Seja A =
e g(A) = eAt , determine f (A).
0 1
Considere f (λ) uma função qualquer, para


λ1 1 0 0
 0 λ1 1 0 

 = 
 0 0 λ1 1  .
0 0 0 λ1
Determine f (Â).
Para o caso anterior, considere que f (λ) = eλt .
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Função de Matrizes
Teorema de Cayley-Hamilton
4 métodos para cálculo da Matriz eAt .
1
g(A) = eAt = f (A)
2
A = Q −1 AQ ⇒ eAt = QeAt Q −1
3
eAt = L{(sI − A)−1 }
4
eAt = I + tA +
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t2 2 t3 3
A + A + ...
2!
3!
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Sumário
1
Apresentação
2
Motivação
3
Noções Fundamentais
4
Autovalores e Autovetores
5
Autovetores Generalizados
6
Função de Matrizes
7
Comentários Finais
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31/ 32
Comentários Finais
Nesta aula apresentou-se uma breve revisão de álgebra linear e
uma discussão sobre o teorema de Cayley-Hamilton.
Na próxima aula discutiremos sobre:
Solução de sistemas em espaço de estados.
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