campo elétrico em um cabo isolado e blindado

CAMPO ELÉTRICO EM UM CABO ISOLADO E BLINDADO
João J. A. de Paula
Introdução
Os materiais utilizados como isolação dos cabos elétricos têm uma rigidez dielétrica tão
alta que este parâmetro somente é considerado em média e alta tensão. Cabos de baixa
tensão têm sua isolação normalmente dimensionada em função de sua resistência mecânica.
Já os cabos de média e alta tensão – o limite não é perfeitamente definido, considerando-se
média tensão valores acima de 3 kV ou até acima de 6 kV – têm normalmente, sobre a
isolação, uma blindagem que é normalmente aterrada, garantindo uma tensão praticamente
igual a zero sobre a superfície dessa isolação.
O termo “rigidez dielétrica” refere-se ora à tensão elétrica capaz de alterar as características
elétricas do material da isolação, tornando-o condutivo, ora ao campo elétrico associado a
essa tensão. Usam-se também termos como “gradiente elétrico máximo” ou “gradiente de
perfuração do dielétrico” para designar o máximo campo elétrico suportável pela isolação
do cabo. Evidentemente, não se quer que o cabo opere sob seu campo elétrico máximo, mas
sob um valor bem menor que garanta seu bom desempenho ao longo dos anos.
Desenvolvimento Teórico
Aplicando a equação de Poisson:
∇2V = −
ρv
ε
onde:
V = potencial elétrico (V)
ρv = densidade volumétrica de cargas (C/m3)
ε = permissividade do meio (F/m)
Assumindo que não existam cargas livres na isolação, ρv = 0, e têm-se a equação de
Laplace:
∇2V = 0
(1)
Em coordenadas cilíndricas:
1 ∂  ∂V  1 ∂ 2 V ∂ 2 V
∇ V = ⋅ r ⋅
+
+ ⋅
r ∂r  ∂r  r 2 ∂θ 2 ∂z 2
2
As variações em função do ângulo (θ) e do comprimento (z) inexistem; portanto:
1 ∂  ∂V 
∇ 2 V = ⋅ r ⋅
r ∂r  ∂r 
(2)
Igualando (1) e (2):
1 ∂  ∂V 
⋅
=0
r⋅
r ∂r  ∂r 
Chamando r
∂V
=K
∂r
(3)
e considerando que a tensão na superfície do condutor seja Vo e que a tensão na superfície
da isolação seja zero:
Integrando (3) resulta:
r
∂V
=K
∂r
0
R
Vo
ro
∫ dV = ∫
K=−
Vo
ln
R
ro
===>
K⋅
dr
r
dV = K ⋅
===>
(4)
dr
r
− V o = K ⋅ ln
R
ro
Igualando (4) e (3):
r
V
∂V
=− o
R
∂r
ln
ro
ou
−
∂V
=
∂r
Vo
(5)
R
r ⋅ ln
ro
→
Como E = −gradV = −
ou E = −
∂V
∂r
∂V →
ur
∂r
(6)
Comparando (5) e (6):
E=
Vo
r ⋅ ln
R
ro
O gradiente máximo Emáx. ocorrerá no condutor, para r = ro e o gradiente mínimo Emín.
ocorrerá sobre a isolação, para r = R:
E máx. =
Vo
ro ⋅ ln
R
ro
E mín. =
Vo
R ⋅ ln
R
ro
Aplicação
Tipicamente, a curva da rigidez dielétrica com o tempo de um material tem a forma:
Como não se quer a ruptura do dielétrico, trabalha-se com um gradiente menor que o
máximo suportável e com uma certa margem de segurança. A margem de segurança é
necessária pois fatores como temperatura, umidade, impurezas, etc. podem alterar o valor
máximo suportável do material.
Muitas vezes, explora-se a curva realizando-se ensaios de tensão de curta duração.
Avaliações estatísticas da rigidez dielétrica são também realizadas, de forma a garantir uma
vida útil elevada da instalação.
Estabelecido o valor do gradiente máximo de trabalho, o valor da tensão elétrica fase-terra
(Vo) e a seção do condutor – de onde se tem o valor de ro – calcula-se, pela expressão de
Emáx. o valor da espessura da isolação necessária.
É preciso ter em mente, entretanto, que este desenvolvimento foi feito partindo-se da
premissa de que a tensão na camada externa da isolação seria nula, fato que somente ocorre
caso haja uma blindagem metálica perfeitamente aterrada.