Apresentação 02

Modelagem Matemática de
Sistemas Eletromecânicos
Estudos e Analogias de modelos de funções de transferências.
Prof. Edgar Brito
Introdução
• Os sistemas elétricos são
componentes essenciais de muitos
sistemas dinâmicos complexos que
necessitam de certos circuitos
elétricos para funcionar.
• Por exemplo, controladores de
drivers, controlador da velocidade,
etc.
Considerações
• Existem diversas abordagens que tratam de diversos sistemas
dinâmicos, por exemplo analogias do tipo:
• eletromecânicas,
• eletro-hidráulicas,
• eletro-pneumáticas,
• eletrotérmicas, etc.)
Nesse caso trataremos dos sistemas eletromecânicos como inicio dos
estudos de casos.
Definições
• É preciso deixar bem claro que um sistema de controle consiste em
subsistemas e processos (ou plantas) reunidos com o propósito de
controlar as saídas dos processos.
Função de Transferência
• Relaciona, de forma algébrica, a entrada e a saída de um sistema.
• Relacionados à Transformada de Laplace para simplificar a
representação. A transformada da entrada R(s) pode calcular a saída:
Modelagem de circuitos elétricos
•Componentes passivos – não produzem
energia (sem fontes internas)
• Resistor
• Indutor
• Capacitor
Relações tensão-corrente, tensão-carga e impedância
para capacitores, resistores e indutores
As equações de um circuito elétrico obedecem às
leis de Kirchhoff, que estabelecem:
A soma algébrica das diferenças de potencial ao logo de um
circuito fechado é igual a zero.
• A soma algébrica das correntes em uma junção ou nó é igual a
zero.
• A partir destas relações podemos escrever as equações
diferenciais do circuito.
Aplica-se, então, a Transformada de Laplace das equações e
finalmente se soluciona a Função de Transferência
Exemplo:
• Obter a função de transferência relacionando a tensão, VC(s), no
capacitor à tensão de entrada, V(s), da figura.
Resolução:
• Utilizando as leis de Kirchhoff, obteremos a equação diferencial para o
circuito. Somando as tensões ao longo da malha, supondo condições
iniciais nulas, resulta a equação íntegro-diferencial.
Fazendo uma mudança de variável, de corrente para carga, usando a relação i(t) = dq(t) / dt resulta:
Finalizando
• A partir da relação tensão-carga em um capacitor da Tabela
• Substituindo:
• Aplicando Laplace:
Calculando a função de transferência, Vc(s)/V(s):
Sistemas Mecânicos em translação
Sistemas Mecânicos em rotação
Exemplos:
Outras Analogia para formas concentradas.
Conversão de sistemas elétricos-mecânicos
Passos para a conversão de um sistema mecânico para elétricos, são os seguintes:
• 1. Cada massa do sistema mecânico é substituída por um capacitor no sistema
elétrico análogo. (Todos capacitores que representam as massas, são aterrados.) A
tensão inicial nestes capacitores é igual à velocidade inicial das massas no sistema
mecânico.
• 2. Encontram‐se os análogos elétricos dos componentes mecânicos restantes:
molas são substituídas por indutores e amortecedores são substituídos por
resistores.
• 3. As ligações entre os componentes elétricos são realizadas, observando‐se como
o análogo mecânico que está ligado aos demais elementos mecânicos. Por
exemplo, se uma mola está ligada a duas massas, no análogo elétrico o indutor
análogo da mola deve estar conectado aos capacitores análogo das massas.
• 4. As fontes de corrente representando as forças no sistema mecânico são incluídas
no diagrama elétrico.
Sistema Mecânico Ex.
Massas do sistema mecânico substituídas por
Capacitores.
Substituem‐se as massas por capacitores. As tensões nos capacitores são análogas as velocidades das massas
Componentes Análogos.
• A seguir, os outros componentes mecânicos são substituídos pelos componentes elétricos
análogos
Conexões Finais.
• componentes elétricos são conectados para formar o análogo elétrico
Circuito elétrico Análogo
• Neste sistema, as tensões são análogas às velocidades dos componentes
mecânicos e as correntes têm como análogo as forças aplicadas no sistema
mecânico.