λ λ λ λ λ

Física Moderna – Exercícios Resolvidos e Lista de Problemas de Revisão
Prof. Dr. Cláudio S. Sartori
  1090nm
Tabela- Função trabalho para diversos elementos.
Elemento
Alumínio
Carbono
Cobre
Ouro
Níquel
Silício
Prata
Sódio
Função trabalho (eV)
4.3
5.0
4.7
5.1
5.1
4.8
2.7
2.7
1
Este comprimento de onda está na
região do infravermelho do EE. A energia mínima
de 1.14 eV corresponde ao comprimento de onda
máximo que produz fotocondutividade no silício,
portanto todos os fótons da luz visível também
produzirão fotocondutividade pois possuem
comprimento de onda menores do que esse limite
e energias mais elevadas do que aquela.
 Exemplo 2 – Uma experiência do
efeito fotolétrico. Realizando uma experiência do
efeito fotoelétrico com a luz de determinado
comprimento de onda, você verifica que é
necessário uma diferença de potencial invertida de
1.25 V para anular a corrente. Determine:
(a) a energia cinética máxima;
(b) a velocidade máxima dos
fotoelétrons emitidos.

(a) Kmax
Solução:
 e V0  Kmax  1.6 1019 1.25
Kmax  1.25eV
(b)
 Exemplo 1 - Um filme de silício
torna-se um bom condutor elétrico quando
iluminado com fótons de energia de 1.14 eV ou
superior (Este comportamento é denominado de
fotocondutividade.) Qual é o comprimento de onda
correspondente?

Solução:
hc
hc

E
34
6.6262 10  3 108

E
1.98786 1025
  m 
EJ 
E

1
2
K max  me  vmax
 K max  e V0
2
2 K max
2  2 1019
vmax 
 vmax 
me
9.111031
vmax  6.63 105
m
s
Essa velocidade equivale a 1/500 da
velocidade da luz; logo, podemos utilizar a
equação não relativística para a energia cinética.
 Exemplo 3 – Experiência para
determinar e e h. Para um certo material do
catodo na experiência do efeito fotoelétrico,
verifica-se um potencial de corte de 1.0 V para
uma luz de comprimento de onda de 600 nm, 2.0 V
para 400 nm e 3.0 V para 300 nm. Determine a
função trabalho para esse material e a constante de
Planck.
Como
19
1eV  1.6 10
J  1J  6.25 1018 eV
1.98786 1025
  m 
EJ 
  nm  
1241.875
E  eV 
  nm  
1241.875
1.14
1
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nf 
 Solução:
Como e V0  h 
f 
h

V0   f 
e
e
2
n f  7.26 1029 fótons s
A partir dessa forma,vemos que a
inclinação da reta é igual a h/e e a interseção com
o eixo vertical (correspondente a f = 0) ocorre no
ponto (0,-/e). As frequências obtidas pela relação
c    f são:
f (Hz)

(nm)
c
3 108
600
f f
 f  0.50 1015

400
300
Do gráfico:

43 103 J s
5.92 1026 J fóton
600 109
0.75 1015
1.0 1015

 1 (interseção vertical).
e
  1eV    1.6 1019 J
Inclinação:
V0 3.0  (1.0)
V
J .s

 0  4.0 1019
15
f
110  0
f
C
h V0
h

  4.0 1019
e f
e
19
h  4.0 10  e  h  4.0 1019 1.6 1019
h  6.4 1034 J  s
 Exemplo 4 – Fótons de uma rádio
FM. Uma estação de rádio transmite ondas com
frequência 89.3 MHz com potência total igual a
43.0 kW.
(a) Qual é o módulo do momento linear
de cada fóton?
(b) Quantos fótons ela emite por
segundo?
 Solução:
(a) Energia de cada fóton:
E  h  f  E  6.6262 1034  89.3 106
E  5.92 1026 J
Cada fóton tem um momento linear dado
por:
E
5.92 1026
p  p
c
3 108
p  1.97 1034 kg  m s
3
(b) A estação emite 43.10 J a cada
segundo. A taxa de emissão de fótons é:
Como é muito grande o número de
fótons que deixam a emissora de rádio a cada
segundo, os saltos de energia desses pequenos
pacotes individuais não são percebidos, fazendo
com que a energia irradiada pareça um fluxo
contínuo.
 Exemplo 5 – Luz do Sol. A
superfície do Sol possui uma temperatura
aproximadamente igual a 5800 K. Com boa
aproximação, podemos considerá-la um corpo
negro.
(a) Qual é o comprimento de onda max
que fornece a intensidade do pico?
(b) Qual é a potência total irradiada por
unidade de área?
 Solução:
Usando a Lei do deslocamento de Wien:
2.9 103  m  K 
2.9  mm  K 
m 
 m 
T
T
3
2.9 10  m  K 
m 
 m  500nm
5800
(b) Usando a Lei de Stefan-Boltzman:
1
P    A  e T 4
P
I    T 4
A
I  5.67 108  58004
W
I  6.42 107 2
m
MW
I  64.2 2
m
Esse valor enorme indica a intensidade na
superfície do Sol. Quando a potência irradiada
2
atinge a Terra, a intensidade cai para 1400W/m
porque ela se espalha para fora do Sol e atinge a
área muito grande de uma superfície esférica cujo
raio é a distância entre a Terra e o Sol.
 Exemplo 6 – Calcule a intensidade da luz
emitida da superfície do Sol no intervalo entre
600nm e 605.5 nm. Lei da radiação de Planck:
I   
2  h  c 2
h c

5   k T
  e
 1


 Solução:
Como resultado exato:
2
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2
2  h  c 2
I   I   d   
d
hc

1
600.0 5   k T
 e
 1


Com:
Constante de Boltzmann:
600.5
k  1.3811023
Constante de Planck:
h  6.62 1034 J .s
Essa integral não pode ser calculada com
base em funções familiares. , logo, aproximamos a
área pelo produto da altura medida no
comprimento de onda médio  = 602.5 nm vezes
a largura do intervalo ( = 5.0 nm). Inicialmente,
calculamos:
3
6.62 1034 J .s  3 108 ms
hc

1  k  T 6.025 107 m 1.3811023 KJ  5800 K
hc
 4.116
1  k  T
I   
2  6.62 1034   3 108 
c  3 108

Solução:
A intensidade no intervalo de 5 nm entre
os limites de 600.0 nm e 605.0 nm é,
aproximadamente igual a:
I       7.811013  5 109
W
m2
MW
I       0.39 2
m
Ou seja, 0.6% da intensidade luminosa
total proveniente do Sol se encontra entre os
limites de 600.0 nm e 605.0 nm
 Exemplo 7 – Mostre que, usando a Lei da
radiação de Planck:
2  h  c
 h c

 5   e  k T  1




2
2  h  c
2 5  k 4 4
I

d


d




0
0 5  hc  15c2  h3 T
   e  k T  1


2
E que, a constante de Stefan-Boltzmann é dada
por:
2 5  k 4
15c 2  h3
W
  5.6705 10
m2  K 4
8
c

 d  
d  
dx
2
c
c
2
d
c
d   

c
c
d  d   2 d
2
c 


2
2  h  c
c
0  c 5  h    2 d
k T
    e  1

  

d  
2

I       3.9 105

 A 
x   e x  1


5

2


 6.025 10    e 6.025107 1.38110 23 5800  1


7
13 W
I    6.025 10 m   7.8110
m3
I   
m
s
1

0

6.621034 3108
7 5
Velocidade da luz no vácuo:
Essa integral vc não acha nem a pau!!
Sugestão:
http://integrals.wolfram.com
2  h  c 2
 h c

 5   e  k T  1


I    6.025 107 m  
J
K

2  h
3
d
c 2 0 khT
e 1
Use agora:

x3
1  2 
0 e x  1dx  240   
4
 Exemplo 8 - Planck utilizou uma fórmula
que ele obteve para a densidade de energia do
espectro
do
corpo
negro,
considerando
modificações importantes na distribuição clássica
feita por Boltzmann; seu resultado para a
distribuição de energia foi dado por:
h
E   
e
h
k T
1
A fórmula para a densidade de energia do
espectro do corpo negro, utilizando essa
distribuição de energia, é dada pela relação de
Planck:
 T  d 
8hc

1
5
e
hc
 k T
d
1
3
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Aqui h é a chamada constante de Planck e
vale:
h  6,63  10 34 J  s
: Comprimento de onda da radiação
 : densidade de energia.
k: Constante de Boltzmann:
k  1,38  10
23 J
K




hc
T  40 hc
1
8 hc
1
hc 
 k T
   6  hc
 5
e

0
2


  hc
 2  k T 



 k T
e  k T  1
 1
e







40 hc

6
1
hc
e  k T
c: velocidade da luz: c  3,0 10
8 m
s
Multiplicando cada termo da equação acima por:
2
 hkcT   7
 1
e

 40 hc
Teremos:
hc
 hc

hc
  e  k T  1  e  k T 
0
5  k T


Chamando de :
hc
  k T
x
  e x  1  e x   0
5
x
e x  1  e x   0
5
x
x
Dividindo por e teremos:
x
e x  1   0
5
Ou seja:
Encontre a equação oriunda da relação:
T
0

T
  8 hc
1 

    5 hkcT

e
 1

x
f ( x)  e  x   1  0
5
Inserindo a função: f(x) = Exp(Neg(x))+x/5-1 e
elaborando o gráfico pelo programa, teremos:
Figura - Gráfico de f(x)
Gráfico de f(x)
8


7,5
T    8 hc 
1
8 hc  
1


7

 5


6,5

     5  hkcT
   hkcT
6
e
1
 1 
e

5,5
5


4,5


hc
4
T  8 hc
1
8 hc
1
   k T  
3,5
  5  6  hc
 5
e

1


2

3


  hc
  

2,5

e  k T  1
e  k T  1

2


1,5




1
0,5


0


hc
-0,5
T  40 hc
1
8 hc
1
  h  c 
 k T
-1
 
 hc
 5
e


2
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5
   6
  h c
    k  T  

x


 k T
e  k T  1
e
 1









Observando que existe uma raiz no intervalo


hc
[4,5].
Função f(x) = Exp(Neg(x))+x/5-1
T  40 hc
1
8 hc
1
h  c 
   6  hc
 5
e  k T  2
2
Resolvendo
pelo método de Newton,

h

c


 
  k T



e  k T  1
encontramos:
e  k T  1







f(x)
4
A figura a seguir mostra as curvas teórica e
experimental.
Figura do exemplo 8 – Gráfico representando
a intensidade de radiação de um corpo negro em
função do comprimento de onda da radiação.
hc
8 hc
1
hc
 k T
e

0
2
7
h

c
 
k T



k

T
1
 1
e



4
8
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x  4,96511423175275  1,64002145197628E  12
Usando:
x  4,96511423175275
5
x(i)
x(i+1)
5
4,96513568735116
4,96513568735116
4,96511423175275
4,96511423175275
4,96511423175275
h  6,63  10 34 J  s
 = 4.8.10 m
k: Constante de Boltzmann:
-7
J
K
c: velocidade da luz: c  3,0 10
8 m
s
x
hc
6.63 1034  3.0 108
  T 
  k T
4,96511423175275 1,38 1023
hc
x
   T  2.9011103
  k T
2.9011103

m  K 
T
Para achar a temperatura do Sol:
hc
6.63 1034  3.0 108
x
 4,96511423175275 
  k T
4.8 107 1,38 1023  T
T
6.63 1034  3.0 108
4.8 10 1,38 1023  4,96511423175275
T  6047.63K
7
 Exemplo10 : Sua nave passa a 0.999c
da Terra. Depois de 10 anos viajando (medido no
seu tempo) você retorna à Terra com a mesma
velocidade e leva os mesmos 10 anos para voltar
(medido no seu tempo). Quanto tempo passará na
Terra, desprezando efeitos da desaceleração?
1
t    t0   
1
1
t 
1
 0.999c 
c2
t  222.7
(ida)
2
 Exemplo 11: Uma régua de
comprimento próprio 1 m move-se com velocidade
v relativa a você. Você mede um comprimento de
0.914m. Qual é a velocidade v?
L  Lp  1 
 Exemplo 9 - A radiação solar chega
em todos os comprimentos de onda ou freqüências,
mas principalmente entre 200 e 3000 nanômetros
(ou 0,2-3 mícrons). O máximo de emissão se
verifica no comprimento de onda de 0,48 mícrons.
A distribuição corresponde aproximadamente
àquela de um corpo negro a 5770K. Assim:
k  1,38  10 23
T  448a
v2
c2
10
v  c  1
v2
c2
L2
L2p
0.9142
12
v  0.406  c
v  c  1
 Exemplo 11: Um avião supersônico
move-se a uma velocidade de 1000 m/s (3 vezes a
velocidade do som) ao longo de um eixo x em
relação a você. Um segundo avião, move-se com
velocidade de 500 m/s em relação ao primeiro
avião e para longe de você. Qual a velocidade do
segundo avião em relação a você?
vx  v
vv
1 2 x
c
 vv 
vx  v  vx  1  2 x 
c 

 vv 
vx  v  vx  1  2 x 
c 

vv
vx  v  vx  vx  2 x
c

v

v


vx  1  x 2   v  vx
c 

v  vx
vx 
v  v
1 x 2
c
vx  v 1000  500

 5.6 1012
c2
3 108
v  vx
m
vx 
 ~ 500  1000  1500
1 0
s
vx 
 Exemplo 12 (Ler): A experiência de
Michelson-Morley mostrou que a velocidade da
luz tem o mesmo valor, c, medida em direções
perpendiculares em um sistema de referência que
se supõe estar em movimento em relação através
do referencial do éter.
Assim, a velocidade da luz no vácuo
independe do movimento do observador e do
movimento da fonte.
5
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6
Aparato experimental do experimento de Michelson-Morley,
em 1887. As partes ópticas foram montados em uma laje de
arenito quadrado 5 pés, que foi lançada em mercúrio, reduzindo
assim as tensões e vibrações durante a rotação que afectaram os
experimentos anteriores. As observações podem ser feitas em
todas as direcções ao rodar o aparelho em relação ao plano
horizontal. [From R.S. Shankland, “The Michelson-Morley
Experiment.” Copyright © November 1964 by Scientific
American, Inc. All rights reserved.]
 Exemplo 13: A massa do Sol é 2.0.1030kg
e seu raio RS = 7.108 m e sua temperatura na
superfície vale aproximadamente TS = 5700 K.
(a) Calcule a massa perdida pelo Sol por
segundo devido à radiação emitida.
(b) Calcule o tempo necessário para que a
massa do Sol diminua 1 %.
 Solução:
P  A  e    T 4  P  3.68 1026W
E
m  c2
P
P
t
t
m P
m
kg
 2
 4.1109
t c
t
s
MS 1
2.0 1030
1
  t 

100 m
100
4.1109
t  4.88 1018 s
t
4.88 1018 s
t


 1.55 1011 a
Tano 365  24  3600
Tano
t 
 Exemplo 14. Estime a temperatura TE da
Terra, assumindo que a radiação que ela emite está
em equilíbrio térmico com a radiação emitida pelo
Sol.
Dados:
Raio do Sol
RS  7 108 m
Raio da Terra
RT  6.4 106 m
Distância Terra - Sol
rTS  1.5 1011 m
Temperatura da
TS  5800K
superfície do Sol
Dado: Potência recebida pela Terra:
  RE2
PE 
 PS
4  rTS2
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Física Moderna – Exercícios Resolvidos e Lista de Problemas de Revisão
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 Exercícios:
1. Nos espectros de corpo negro abaixo,
determine a frequência da radiação emitida por
cada corpo para o pico do comprimento de onda
correspondente e a energia do fóton para esse
comprimento de onda, em unidades J e em
unidades eV (elétron-Volt).
7
 pico 
c
 pico
E  J   h   Hz 
E  eV  
1240
  nm 
2. No problema 1, verifique com Lei do
deslocamento de Wien o comprimento de onda do
pico de radiação para cada emissão do corpo negro
apresentado. Transforme em nm (nano-metro):
1nm = 10-9 m = 10-6 mm
  mm  
T(K)
6000
Mostre que, para interferência construtiva
de ordem m: (m = 0,1,2,3,...)
2.9
T (K )
5000
4000
ym  m 
3000

(nm)
3. A figura ilustra o padrão de
interferência criado quando a luz monocromática
passa por fendas.
D
d
4. A luz vermelha familiar emitida por um
laser de hélio-neônio (usado para fazer varreduras
nos sistemas de verificação nas saídas de lojas e
em muitas outras aplicações) possui comprimento
de onda igual a 632.8 nm. Se sua potência de saída
for igual a 2.00 mW, quantos fótons de luz esse
laser emitirá em cada segundo?
E
hc

 h  6.62 1034 J  s
Plaser 
Elaser
t
5. Sua nave passa a 0.9998c da Terra.
Depois de 5 anos viajando (medido no seu tempo)
você retorna à Terra com a mesma velocidade e
leva os mesmos 5 anos para voltar (medido no seu
7
Física Moderna – Exercícios Resolvidos e Lista de Problemas de Revisão
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tempo). Quanto tempo passará na
desprezando efeitos da desaceleração?
t    t0   
8
Terra,
1
v2
1 2
c
6. Um interferômetro de Michelson é
usado com luz de comprimento de onda de 635.78
nm. Sabendo que o observador vê a figura de
interferência através de um telescópio com uma
ocular com linhas de referência, quantas franjas
passam através dessas linhas quando o espelho M2
sofre um deslocamento exatamente igual a 1.1 cm?
ym

2
 Solução:
O comprimento de onda é:

c
 200m
f
Uma vez que a onda resultante é detectada
em distâncias muito maiores do que 400 m,
podemos utilizar a equação:
d  sen  m  
para determinar as direções das franjas de
intensidade máxima, ou seja, os valores de  para
os quais a diferença de caminho é igual a zero ou a
um número inteiro de comprimento de onda.
7. Em uma experiência de Young de
fenda dupla, a distância entre as fendas é igual a
0.20 mm e a tela está a uma distância de 1.0 m. A
terceira franja brilhante (sem contar a franja
brilhante que se forma no centro da tela) forma-se
a uma distância de 7.5 mm do centro da franja
central. Calcule o comprimento de onda da
radiação utilizada.
8. Interferência produzida por uma
estação de rádio. Uma estação de rádio com
freqüência de 1500 kHz (nas vizinhanças da parte
superior da banda de rádio AM) opera com duas
antenas idênticas com dipolos verticais que
oscilam em fases, separadas por uma distância de
400m. Para distâncias muito maiores que 400 m,
em que direções a intensidade da radiação
transmitida torna-se máxima? (Isso não é apenas
um problema hipotético. Geralmente se orienta a
energia irradiada por uma emissora de rádio em
determinadas direções em vez de se produzir uma
radiação uniforme em todas as direções. Diversos
pares de antenas alinhadas ao longo de uma reta
comum costumam ser usadas para se obter a
configuração da radiação desejada).
m
d
m  200
m  0  sen 
 0   0
400
1 200 1
m  1  sen 
    300
400 2
2  200
m  2  sen 
 1    900
400
sen 
Os ângulos para intensidade
(interferência destrutiva) são:
mínima
1

m  
2
sen  
d
Obtendo os ângulos para m = -2,-1 0, 1:
1

 m    200
2
sen  
400
1

m 
2
sen  
2
  14.5; 48.6
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9. Sabe-se que a área total do corpo humano é
igual a 1.20m2 e que a temperatura da superfície é
300C = 303K. Calcule a taxa total de transferência
de calor do corpo por radiação. Se o meio
ambiente está a uma temperatura de 200C, qual é a
taxa resultante do calor perdido pelo corpo por
radiação? A emissividade e do corpo é próxima da
unidade, independentemente da cor da pele.
Dados: Lei de Stefan-Boltzmann:
H  A  e    Ti 4
9
H  A  e    Ts4  Ti 4 
E
W
m K4
2
10. Área do filamento de uma lâmpada
de tungstênio. A temperatura de operação do
filamento de tungstênio de uma lâmpada
incandescente é igual a 2450K e sua emissividade
é igual a 0.35. Calcule a área da superfície do
filamento de uma lâmpada de 150 W supondo que
toda a energia elétrica consumida pela lâmpada
seja convertida em ondas eletromagnéticas pelo
filamento. (Somente uma fração do espectro
irradiado corresponde à luz visível.)
11. Raios de estrelas. A superfície quente
e brilhante de uma estrela emite energia sob a
forma de radiação eletromagnética. É uma boa
aproximação considerar e = 1 para estas
superfícies. Calcule os raios das seguintes estrelas
(supondo que elas sejam esféricas):
(a) Rigel, a estrela brilhante azul da
constelação Órion, que irradia energia com uma
taxa de 2.7.1032W e a temperatura na superfície é
igual a 11000K.
(b) Procyon B (somente visível usando
um telescópio), que irradia energia com uma taxa
de 2.1.1023W e a temperatura na sua superfície é
igual a 10000K.
(c) Compare suas respostas com o raio da
Terra, o raio do Sol e com a distância entre a Terra
e o Sol. (Rigel é um exemplo de uma estrela
supergigante e Procyon B é uma estrela anã
branca.
E
Como:
Elaser
 Elaser  Plaser  t
t
 1.00 103 1  Elaser  1.00 103 J
Plaser 
Elaser
Elaser
1.00 103
 n fotons 
E
3.14 1019
fótons
n fotons  3.18 1015
s
n fotons 
Constante de Stefan-Boltzmann:
  5.67 108
6.62 1034  3 108

632.8 109
E  3.14 1019 J
hc
13. Um fóton dos raios gama emitido
durante o decaimento de um núcleo radioativo de
cobalto -60 possui energia igual a 2.135.10 -13J.
Calcule a freqüência e o comprimento de onda
dessa radiação eletromagnética.
 Solução:
E  h f  f 
f 
E
h
2.135 1013
 f  3.22 1020 Hz
34
6.62 10
c  f
c
3 108
 
f
3.22 1020
  9.311013 m
14. Até que distância deve-se colocar o
espelho M2 do interferômetro de Michelson para
que 1800 franjas de luz de um laser de hélioneônio (He-Ne  = 633 nm) se desloquem através
de uma linha de referência no campo visual?

Solução:
ym

 y  1800
633
2
2
y  569700nm
y  569700 106 mm
y  0.570mm
12. A luz vermelha familiar emitida
por um laser de hélio-neônio (usado para fazer
varreduras nos sistemas de verificação nas saídas
de lojas e em muitas outras aplicações) possui
comprimento de onda igual a 632.8 nm. Se sua
potência de saída for igual a 1.00 mW, quantos
fótons de luz esse laser emitirá em cada segundo?

Solução:
A
energia de cada fóton será:
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15. Um interferômetro de Michelson é
usado com luz de comprimento de onda de 605.78
nm. Sabendo que o observador vê a figura de
interferência através de um telescópio com uma
ocular com linhas de referência, quantas franjas
passam através dessas linhas quando o espelho M2
sofre um deslocamento exatamente igual a 1 cm?

Solução:
ym
10
m2

m2
2
1102 
605.78 109
y

 m  33015
10