ÁLGEBRA NOS ANOS INICIAIS: PRIMEIRAS REFLEXÕES

ÁLGEBRA NOS ANOS INICIAIS: PRIMEIRAS REFLEXÕES À LUZ DE
UMA REVISÃO DE LITERATURA
Miriam Criez Nóbrega Ferreira
Universidade Federal do ABC, UFABC.
(E-mail: [email protected])
Alessandro Jacques Ribeiro
Universidade Federal do ABC, UFABC.
(E-mail: [email protected])
Resumo
Este trabalho está sendo desenvolvido no âmbito de pesquisa de mestrado sob o tema
“Formação de professores que ensinam matemática nos anos iniciais” e está incluído no
projeto “Conhecimento Matemático para o Ensino de Álgebra: uma abordagem
baseada em perfis conceituais”, vinculado ao Programa Observatório da Educação
(Obeduc), financiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível
Superior (Capes), sob coordenação do segundo autor dessa comunicação. Ainda em fase
de desenvolvimento, nossa pesquisa tem por objetivo investigar os conhecimentos
profissionais dos professores que ensinam matemática nos anos iniciais do Ensino
Fundamental, tematizando a Álgebra, no que se refere aos números, as operações e as
suas propriedades. Neste trabalho, de caráter bibliográfico, apresentamos uma revisão
de literatura sobre o pensamento algébrico, a qual deverá sustentar o desenvolvimento
de atividades matemáticas na/para a formação de professores que ensinam matemática
nos anos iniciais, atividades estas que deverão compor as próximas fases de nossa
pesquisa. Procuramos, neste texto, discorrer sobre a diferenciação entre aritmética e
álgebra e as diferentes compreensões do que se entende por pensamento algébrico.
Dentre os principais resultados e conclusões que emergem de nossa revisão de
literatura, destacamos a existência de pesquisas, nacionais e internacionais, que
demonstram que os alunos já têm condições/habilidades de pensar algebricamente desde
pequenos, ainda que não consigam operar simbolicamente, e, portanto, podem estar
sujeitos a intervenções que os levem ao desenvolvimento desta forma de pensar.
Observamos ainda que, dentre os autores por nós estudados, vários apresentam em
comum uma preocupação com um ensino que conduza os alunos a dar um maior
significado à sua aprendizagem em álgebra. Por fim, indicamos que, a partir das
conclusões provenientes desta revisão da literatura, desenvolveremos nossa investigação
a qual tem como foco o desenvolvimento profissional do professor, investigando seus
conhecimentos sobre a álgebra nos anos iniciais, tomando como lentes teóricas de
nossas análises, os estudos de Lee Shulmann e Deborah Ball.
Palavras-chave: Álgebra nos anos iniciais. Pensamento algébrico. Formação de
professores nos anos iniciais.
Álgebra nos anos iniciais: iniciando nossa conversa
Os programas curriculares de matemática dos anos iniciais do Ensino
Fundamental e em seus correspondentes livros didáticos iniciam o trabalho com a
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matemática a partir do sistema de numeração decimal, passando para as operações,
geralmente obedecendo a ordem, adição, subtração, multiplicação e divisão –
utilizando-se, muitas vezes, a resolução de problemas como meio para permear os
diferentes anos/ciclos e finalizando com as frações e os números decimais. Dentro do
tema “números e operações”, cabe ao professor dos anos iniciais desenvolver os
aspectos que envolvem a aritmética, para então, só a partir daí, no terceiro ciclo do
Ensino Fundamental, começar o ensino formal da álgebra (BRASIL, 1998).
Em entrevista concedida à Revista Nova Escola (2009), Barbara Brizuela,
pesquisadora argentina, radicada há 15 anos nos Estados Unidos e docente da Faculdade
de Educação da Universidade de Tufts, em Boston, afirma que muitos alunos têm
problemas com Matemática quando chegam aos 13 ou 14 anos, e que a deficiência pode
não ser deles, mas sim, estar relacionada à forma como estamos conduzindo o ensino da
álgebra. É neste sentido que a referida pesquisadora sugere que, ensinar álgebra nos
primeiros anos da escolaridade não é precoce, “as crianças pequenas não sabem falar e,
nem por isso, os adultos deixam de conversar com elas. Elas não escrevem e não leem,
mas sabe-se que é preciso ler para elas e deixar que tentem escrever” (BRIZUELA,
2009).
Antes de nos aprofundarmos na questão acima apresentada, que seja, sobre a
viabilidade do ensino da álgebra nos anos iniciais, vamos nos deter em algumas
perguntas que são importantes para o desenvolvimento de nosso trabalho: a atividade
algébrica pode acontecer conjuntamente com a aritmética, ainda que a linguagem
simbólica algébrica não esteja presente? Como diferentes autores compreendem o
pensamento algébrico? Como fazer a disposição da álgebra e da aritmética no
currículo?
Aritmética e álgebra: alguns limites de uma diferenciação
Com as referidas questões “em mãos”, iniciamos nossa jornada, retomando uma
discussão que permanece na comunidade de educadores matemáticos há tempos: não é
clara uma distinção entre aritmética e álgebra – se é que ela existe! Assim sendo,
entendemos ser fundamental abordar tal discussão em nosso trabalho.
Iniciamos nossas discussões com Lins e Gimenez (2001) que, na introdução do
livro Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI, consideram não existir
nada mais enraizado na comunidade de educadores matemáticos do que a ideia de que
aprender aritmética deve vir antes de aprender álgebra e, tal cisão, faz parte também de
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nosso imaginário como alunos que fomos, e professores que somos. E para incentivar a
existência de mais investigações sobre o assunto, esses mesmos autores lançam um
desafio: “O que precisamos fazer é entender de que modo álgebra e aritmética se ligam,
o que elas têm em comum. Feito isso, teremos encontrado uma verdadeira raiz, o que
nos permitirá repensar a educação aritmética e algébrica de forma única” (LINS e
GIMENEZ, 2001, p. 113).
Colaborando com as reflexões sobre esta (possível) diferenciação, Carraher,
Schliemann, Brizuela e Earnest (2006), pesquisadores que demonstram a viabilidade de
se trabalhar com a álgebra nos anos iniciais, ao tentar entender melhor o porquê da
diferenciação entre álgebra e aritmética, apresentam duas justificativas para o início do
ensino desta última ser anterior à primeira. Um primeiro aspecto se refere à natureza do
próprio conteúdo matemático e, um segundo, está relacionado às restrições do
desenvolvimento cognitivo do aluno.
Com relação à natureza da matemática, os autores fazem referência à história,
uma vez que no desenvolvimento da matemática, a álgebra surge historicamente após a
aritmética e neste sentido pode-se abstrair que esta última precederia o ensino da
álgebra, à semelhança do processo histórico. Segundo os autores, “o fato da álgebra
emergir historicamente após a aritmética e como uma generalização desta, sugere para
muitas pessoas que a álgebra deve vir em seguida da aritmética no currículo”
(CARRAHER, SCHLIEMANN, BRIZUELA E EARNEST, 2006, p. 89).
Ainda discutindo a distinção entre aritmética e álgebra, os autores acima
apresentam que, dentro da história da matemática, ficou evidenciada uma clara
demarcação que resultou em uma tensão entre estas duas áreas da matemática, uma vez
que, enquanto a aritmética trata das operações que envolvem números em particular, a
álgebra trata com números generalizados, variáveis e funções. Além disso, os autores
apontam que, enquanto nos anos iniciais trabalha-se com fatos numéricos, fluência no
cálculo e situações-problema envolvendo valores particulares, mais tarde, na
continuidade de seus estudos, os alunos utilizarão as letras para significar qualquer
número ou conjunto de números (CARRAHER, et al, 2006, p. 89).
Provavelmente, ao se questionar sobre o porquê da álgebra não estar presente no
currículo dos anos iniciais, o leitor mesmo poderia responder que os alunos não têm
condições cognitivas para entendê-la, e, portanto, não poderia ser ensinada antes.
Destacamos que Carraher, et al, (2006), enfatizam que a álgebra tem sido pensada em
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algumas circunstâncias como, inapropriada para os alunos pequenos, estando bem além
de suas capacidades, muito embora estes autores não concordem com esta afirmação.
Filloy e Rojano (1989, apud CARRAHER, et al, 2006) colocam que o
pensamento aritmético evolui muito lentamente – do concreto para o abstrato – para o
pensamento algébrico e que existe um ponto de corte separando um tipo de pensamento
do outro. Em suas discussões, Filloy e Rojano se referem a este corte como uma quebra
no desenvolvimento das operações. No mesmo sentido, Herscovics e Linchevski (1994,
apud CARRAHER, et al, 2006) sugerem a existência de uma lacuna entre a álgebra e a
aritmética a qual é caracterizada como uma inabilidade dos alunos para operar
espontaneamente com ou sobre as incógnitas. Apesar de esses autores reconhecerem
que as crianças pequenas rotineiramente resolvem problemas que contem termos
desconhecidos (p.e. 5 + ? = 8), esses autores argumentam que os alunos resolvem tais
problemas sem ter que representar ou operar sobre as incógnitas. Em vez disso, os
alunos simplesmente usam procedimentos de contagem ou a operação inversa para
chegar aos resultados. Embora alguns autores tenham considerado o uso de operações
inversas como uma evidência da manifestação do pensamento algébrico, outros têm
considerado estes procedimentos como meramente pré-algébrico, ainda dentro de um
pensamento aritmético.
Na busca da diferenciação dos problemas algébricos e aritméticos, Sá e Fossa
(2008), ao contrário dos argumentos de Herscovics e Linchevski (1994), definem um
problema algébrico como sendo “... aquele em que, na sua resolução operacional, são
usadas de maneira explícita ou implícita as propriedades aditivas ou multiplicativas da
igualdade”. (SÁ e FOSSA, 2008, p. 270), ou seja, quando a pergunta do problema não
está isolada e onde o sinal de igualdade tem a função de equilíbrio entre as partes.
(TRIVILIN e RIBEIRO, 2015 trazem discussão semelhante, no que tange aos
conhecimentos dos professores).
Por outro lado, para definir um problema aritmético, Sá e Fossa (2008) apontam
como sendo “... aquele problema que, em sua resolução operacional, não são usadas de
maneira implícita ou explícita as propriedades aditivas ou multiplicativas da igualdade
(p. 269)’. Em outras palavras, um problema pode ser entendido como aritmético quando
a sua pergunta está localizada após o sinal de igualdade, sendo assim o sinal de
igualdade tem o significado “apenas” operacional (TRIVILIN e RIBEIRO, 2015).
Outro trabalho que achamos essencial discutir é o de Blanton e Kaput (2005), no
qual os autores apontam a aritmética como uma das formas do pensamento algébrico,
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quando essa expressa e formaliza as generalizações (aritmética generalizada), referindose ao raciocínio sobre as operações e as propriedades associadas aos números.
Segundo Canavarro (2007), observa-se que existe uma relação intrínseca entre
álgebra e aritmética:
É a partir da estrutura da Aritmética que se podem construir os
aspectos sintáticos da Álgebra, o que implica analisar as expressões
aritméticas não em termos do valor numérico obtido através do
cálculo, mas em termos da sua forma (por exemplo, concluir que 33 +
8 = 8 + 33 não porque ambos constituem 41, mas porque na adição a
ordem das parcelas é indiferente). (CANAVARRO, 2007, p. 89)
Como pudemos ver, existem conceituações diferenciadas para a tênue linha – se
é que ela existe – que separa a aritmética e a álgebra. Mas, pelo que pudemos perceber,
as pesquisas mais recentes, assim como o nosso entendimento da questão, indicam para
uma associação destas duas área da matemática, integração essa que pode colabor para
uma maior compreensão, por parte do aluno, da estrutura que sustenta o fazer
matemático.
Ainda tentando seguir a provocação de Lins e Gimenez (2001), que nos sugere ir
além desta diferenciação, buscando o que existe de comum entre elas, agregaremos à
nossa discussão algo que pode fazer parte tanto da aritmética quanto da álgebra: o
pensamento algébrico.
O que é o pensamento algébrico? O que é pensar algebricamente?
Após trazermos algumas reflexões acerca “do que é aritmética” e “do que é
álgebra”, entendemos ser essencial nos debruçarmos agora, em torno de outra questão
bastante controversa, mas muito instigante: o pensamento algébrico. Fundamentados em
nossa revisão de literatura podemos afirmar, seguramente, que não existe uma visão
única na comunidade de educadores matemáticos com respeito ao que significa o
pensamento algébrico, o pensar algebricamente.
Canavarro (2007) salienta que o conceito de pensamento algébrico é diferente da
visão geral tradicional prevalecente da álgebra, a qual é derivada do ensino escolar de
décadas: “A Álgebra escolar tem estado associada à manipulação dos símbolos e à
reprodução de regras operatórias, tantas vezes aplicadas mecanicamente e sem
compreensão, parecendo os símbolos terem adquirido um estatuto de primazia per si”
(CANAVARRO, 2007, p. 88). Para esta autora, o pensamento algébrico apresenta dois
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aspectos relevantes: a consideração de outras linguagens que não somente as letras e a
ênfase nos significados e na compreensão.
Outra contribuição importante para nossas discussões, acerca do pensamento
algébrico, está o trabalho de Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), os quais, ao se
referirem a uma situação-problema na qual o enunciado é tipicamente de uma situação
algébrica, alertam que não é só porque o enunciado traz aspectos deste campo
conceitual, que o modo de resolução se dará por meio do pensamento algébrico:
De fato, caso essa resolução ocorresse pelo método de tentativas, não
poderíamos, a rigor, caracterizá-la como algébrica. Por outro lado, se
o plano de resolução prever, de forma retórica ou simbólica, operações
com quantidades incógnitas e o emprego de leis aritméticas que
legitimem as transformações entre os membros de uma igualdade,
então, seguramente, os elementos do pensamento algébrico deverão aí
se manifestar. (FIORENTINI, MIORIM e MIGUEL, 1993, p. 88)
Podemos abstrair destas colocações que a diferenciação entre aritmética e
álgebra, para além de sua objetivação, reside no percurso cognitivo que o aluno
desenvolve para realizar determinada tarefa, ou seja, é uma ação do sujeito sobre o
objeto.
Ao pensar como se desenvolve o pensamento algébrico dos alunos nos anos
iniciais de escolaridade, Blanton e Kaput (2005) o definem como:
um processo no qual os alunos generalizam ideias matemáticas de um
conjunto particular de exemplos, estabelecem generalizações por meio
do discurso de argumentação, e expressam-nas, cada vez mais, em
caminhos formais e apropriados à sua idade (p.413).
Semelhante à conceituação de Blanton e Kaput (2005), no que tange ao aspecto
da generalização, Cyrino e Oliveira (2011, p. 103) significam o pensamento algébrico,
“como um modo de descrever significados atribuídos aos objetos da álgebra, às relações
existentes entre eles, à modelação, e à resolução de problemas no contexto de
generalização destes objetos”.
Já para Carraher e Schliemann (2014), o pensamento algébrico pode ser
compreendido como a combinação entre a operação com incógnitas, o pensamento com
variáveis e suas relações, e as estruturas algébricas. Eles ressaltam ainda que, os alunos
podem pensar algebricamente mesmo sem usar a notação algébrica.
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Em outro trabalho, o qual tematiza os currículos de matemática e o ensino de
álgebra, Kieran (2004) analisa a categorização da álgebra escolar dos currículos de
alguns países com o objetivo de buscar semelhanças entre eles. Em suas conclusões, ela
aponta para a possibilidade de haver um quadro comum que considere o pensamento
algébrico nos primeiros anos, compartilhado não somente dentro do currículo dos anos
iniciais, mas também entre os anos iniciais e os anos posteriores. Considerando este
quadro comum, o qual traz atividades que a autora chama de meta nível (tradução
nossa), ela apresenta a sua definição de pensamento algébrico para os anos iniciais:
O pensamento algébrico nos anos iniciais envolve o desenvolvimento
de formas de pensar dentro de atividades para as quais a letra-símbolo
pode ser usada como uma ferramenta, mas que não são exclusivos de
álgebra, tais como, analisar as relações entre quantidades, perceber as
estruturas, estudar as mudanças, generalizando, resolução de
problemas, modelagem, justificando, provando, e prevendo
(KIERAN, 2004, p. 149, tradução nossa).
Aqui, Kieran, à semelhança de Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), também
coloca que o pensamento algébrico é uma forma de desenvolver um tipo de pensamento,
e neste sentido, pode ou não estar presente em atividades didáticas consideradas como
algébricas.
Em uma última definição de pensamento algébrico, Fiorentini, Fernandes e
Cristóvão (2005), defendem que o seu desenvolvimento deva ocorrer desde os anos
iniciais do ensino fundamental, mesmo sem a estruturação de uma linguagem algébrica
simbólica, sendo considerado como pensamento algébrico quando o aluno:
[...] estabelece relações/comparações entre expressões numéricas
ou padrões geométricos; percebe e tenta expressar as estruturas
aritméticas de uma situação-problema; produz mais de um modelo
aritmético para uma mesma situação-problema; ou, reciprocamente,
produz vários significados para uma mesma expressão numérica;
interpreta uma igualdade como equivalência entre duas grandezas
ou entre duas expressões numéricas; transforma uma expressão
aritmética em outra mais simples; desenvolve algum tipo de
processo de generalização; percebe e tenta expressar regularidades
ou invariâncias; desenvolve/cria uma linguagem mais concisa ou
sincopada ao expressar-se matematicamente [...] (FIORENTINI,
FERNANDES E CRISTÓVÃO, 2005, p. 5)
Diante de todas as discussões, reflexões e caracterizações acima apresentadas,
podemos verificar que, para além das diferenças entre álgebra e aritmética, existem
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semelhanças e, entre elas, está o entendimento do pensamento algébrico como uma
forma de estruturação do pensamento, a qual pressupõe a generalização de situações
particulares à ideias gerais que constituem as operações e suas propriedades. Em síntese,
segundo vários autores por nós investigados, e ratificando a nossa própria compreensão:
“A generalização está no coração do pensamento algébrico” (SCHLIEMANN,
CARRAHER e BRIZUELA, 2007, p.12).
Reflexões finais: por que álgebra nos anos iniciais?
Nesta investigação procuramos trazer elementos que nos ajudasse a pensar a
viabilidade do trabalho com a álgebra nos anos iniciais. Para tanto fizemos uma breve
apresentação de algumas compreensões do que se entende por aritmética e por álgebra,
e as possíveis relações entre estas duas áreas da matemática. Trouxemos também alguns
autores que discutem o pensamento algébrico.
Rompendo com o senso comum e com o currículo que prevê o ensino da álgebra
apenas nos anos finais do Ensino Fundamental e, a partir do estudo de literatura, ora
realizado, consideramos que álgebra e o pensamento algébrico devem estar presentes
nas aulas dos alunos que frequentam as classes dos anos iniciais. Os estudos realizados
com os alunos menores (BLANTON e KAPUT, 2005; BRIZUELLA e SCHLIEMANN,
2004; CANAVARRO, 2007; CYRINO e OLIVEIRA, 2011; CARRAHER et al, 2006;
RUSSELL, SCHIFTER, e BASTABLE, 2011; SCHLIEMANN, CARRAHER, e
BRIZUELA, 2007; SILVA e SAVIOLI, 2012) demonstram que eles já têm
condições/habilidades de pensar algebricamente desde pequenos, ainda que não
consigam operar simbolicamente.
Considerando, portanto, que os alunos são capazes de operar mentalmente
dentro de uma perspectiva do pensar algébrico, e, sendo assim, podem estar sujeitos a
intervenções que os levem ao desenvolvimento desta forma de pensar, traçamos nosso
trabalho dentro de uma proposta de trabalho na qual a educação aritmética e a educação
algébrica possam ser desenvolvidas, ainda que sem o uso da notação algébrica, de forma
única e não fragmentada, já nos anos iniciais do Ensino Fundamental.
Entretanto, e aí situa-se a nossa região de inquérito, para que tal abordagem seja,
de fato, levada para as escolas e para as salas de aula, precisamos investigar se e como
os professores que ensinam matemática nos anos iniciais compreendem, do ponto de
vista da álgebra, o ensino de números, operações e suas propriedades. É nesta temática
que nossa pesquisa de mestrado vem sendo desenvolvida.
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