Filtragem Adaptativa - Departamento de Engenharia de

Filtragem Adaptativa
Charles Casimiro Cavalcante
[email protected]
Grupo de Pesquisa em Telecomunicações Sem Fio – GTEL
Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Teleinformática
Universidade Federal do Ceará – UFC
http://www.gtel.ufc.br/∼charles
c C. C. Cavalcante
Filtragem Adaptativa
“Filtros adaptativos, os quais têm como meta transformar os sinais
portadores de informação em versões ‘limpas’ ou ‘melhoradas’,
ajustam suas caracterı́sticas de acordo com os sinais encontrados.
Eles formam os exemplos mais simples de algoritmos no campo de
aprendizado de máquinas.”
Philip A. Regalia, 2005
IEEE Control Systems Magazine, Agosto de 2005
c C. C. Cavalcante
Filtragem Adaptativa
Conteúdo do curso
1
Introdução
2
Revisão de Processos Estocásticos
3
Filtragem Linear Ótima
4
Algoritmos Recursivos no Tempo
5
Método dos Mı́nimos Quadrados
6
Estruturas Alternativas de Filtragem Adaptativa
7
Tópicos Avançados
c C. C. Cavalcante
Filtragem Adaptativa
Parte VI
Método dos Mı́nimos Quadrados
c C. C. Cavalcante
Filtragem Adaptativa
Algoritmo RLS
O algoritmo Recursive Least Squares (mı́nimos quadrados
recursivos) é uma implementação recursiva da solução ótima
Idéia: otimizar o filtro para os erros quadrados até o instante
atual
Melhor adequação para sistemas que apresentam rápidas
variações
c C. C. Cavalcante
Filtragem Adaptativa
Algoritmo RLS - cont.
Formalismo
Dadas n amostras de x(n), d(n), y(n) e e(n), busca-se w(n) que
minimiza
n
X
λn−i · e2 (i)
(139)
i=0
em que 0 ≪ λ ≤ 1 é o fator de esquecimento (ponderação)
Solução:
λn−i x(i)d(i)






c C. C. Cavalcante
Filtragem Adaptativa
w(n) = R−1
D (n) · pD (n)
n
P
RD (n) =
λn−i x(i)xT (i)
i=0
pD (n) =
n
P
i=0





Equações normais
(140)
Algoritmo RLS - cont.
Algoritmo
w(n) = R−1
D (n) · pD (n)
w(n + 1) = R−1
D (n + 1) · pD (n + 1)
(141)
Podemos então escrever
w(n + 1) = R−1
D (n + 1) [λpD (n) + d(n + 1)x(n + 1)]
(142)
Mas
pD (n) = RD (n) · w(n)
1
=
RD (n + 1) − x(n + 1)xT (n + 1) w(n)
λ
c C. C. Cavalcante
Filtragem Adaptativa
(143)
Algoritmo RLS - cont.
Algoritmo - cont.
Assim, temos
T
w(n + 1) = R−1
D (n + 1) RD (n + 1)w(n) − x(n + 1)x (n + 1)w(n)
+ d(n + 1)x(n)]
(144)
Logo, temos
w(n + 1) = w(n) + R−1
D (n + 1)x(n + 1)e(n + 1)
(145)
em que
e(n + 1) = d(n + 1) − wT (n)x(n + 1)
(erro a priori)
RD (n + 1) = λRD (n) + x(n + 1)xT (n + 1)
c C. C. Cavalcante
Filtragem Adaptativa
Algoritmo RLS - cont.
Algoritmo - cont.
Problema: inversão de matriz é uma operação custosa.
Mas temos um resultado importante
Lema da inversão de matrizes
Seja A = B + CDCT
−1 T −1
A−1 = B−1 − B−1 C CT B−1 C + D−1
C B
No nosso caso
A = RD (n + 1);
C = x(n + 1);
c C. C. Cavalcante
B = λRD (n);
D=I
Filtragem Adaptativa
(146)
Algoritmo RLS - cont.
Algoritmo - cont.
Assim, temos
#
"
−1
T (n + 1)R−1 (n)
(n)x(n
+
1)x
R
1
−1
D
D
R−1
D (n + 1) = λ RD (n) −
(n)x(n
+
1)
λ + xT (n + 1)R−1
D
(147)
e definindo-se o ganho de adaptação:
g(n) = R−1
D (n)x(n)
c C. C. Cavalcante
Filtragem Adaptativa
(148)
Algoritmo RLS - cont.
Algoritmo - cont.
Assim temos as seguintes equações
g(n + 1) =
R−1
D (n + 1) =
R−1
D (n)x(n + 1)
λ + xT (n + 1)R−1
D (n)x(n + 1)
1 −1
(n)
RD (n) − g(n + 1)xT (n + 1)R−1
D
λ
w(n + 1) = w(n) + g(n + 1)e(n)
(149)
(150)
(151)
Condições iniciais: R−1
D (0) e λ, outros parâmetros nulos, recebe-se
x(n + 1) e d(n + 1)
c C. C. Cavalcante
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Algoritmo RLS - cont.
Então, o algoritmo RLS é dado pela sequência cı́clica das seguintes
equações:
(149)
(150)
c C. C. Cavalcante
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(151)
Algoritmo RLS - cont.
Algoritmo RLS - resumo
g(n + 1) =
R−1
D (n)x(n + 1)
λ + xT (n + 1)R−1
D (n)x(n + 1)
1 −1
(n)
RD (n) − g(n + 1)xT (n + 1)R−1
D
λ
w(n + 1) = w(n) + g(n + 1)e(n)
R−1
D (n + 1) =
c C. C. Cavalcante
Filtragem Adaptativa
Comparação RLS versus LMS
complexidade
velocidade de
convergência
desajuste
estabilidade
LMS
∼M
depende de Rx
∼µ
estável para µ
apropriado
c C. C. Cavalcante
RLS
∼ M2
não depende das
estatı́sticas
pode convergir
para zero quando
g(n) → 0
possı́vel
estabilidade
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