Rotação de Espelhos Planos

Rotação de Espelhos Planos
Introdução
Um assunto que costuma aparecer em provas, isoladamente ou como parte de um exercício envolvendo outros tópicos, é a
rotação de espelhos planos. Neste artigo, exploraremos os aspectos teóricos, resolveremos um exercício do IME usando o
conceito apresentado e serão deixadas algumas questões de vestibulares como trabalho do aluno.
Nos espelhos planos, temos que p = p ' . Só por este fato, já podemos perceber que a rotação do espelho implicará na rotação
da imagem de um objeto fixo. Vejamos a seguir:
B
A
p
Espelho
p’
E
F
A’
B’
Figura 2 - Formação de Imagem
Observe que tanto o objeto AB como a imagem A’B’ são horizontais. Agora, girando o espelho de um ângulo α, podemos
perceber que a imagem girará de um ângulo β. Isto ocorre porque AM = MA' e BN = NB ' . Queremos encontrar uma
relação entre α e β.
A
O
B
M
A’
β
N
α
B’
Figura 2 - Rotação do Espelho
Para facilitar nosso trabalho, traçamos uma reta paralela ao espelho, passando por A’.
Espelho
r
s
A
O
B
M
β
A’
N
α
T
B’
Espelho
Figura 3
Como r e s são paralelas, podemos concluir que o ângulo α da figura é igual ao ângulo NÂ’T.
NAˆ ' T = α
Além disso, como AB é horizontal, o ângulo AÔM também vale α.
AOˆ M = α
Porém, como os segmentos AM e MA’ são iguais, podemos concluir que os triângulos OAM e OA’M são congruentes (caso
Lado-Ângulo-Lado). Logo, o ângulo A’ÔM é igual ao AÔM, ou seja, igual a α.
ΔOAM ≡ ΔOA' M ⇒ A' Oˆ M = AOˆ M = α
Novamente, pelo fato de as retas r e s serem paralelas, podemos perceber que A’ÔM é igual a B’Â’T.
B ' Aˆ ' T = A' Oˆ M = α
Pela figura, vemos que
β = B ' Aˆ ' T + NAˆ ' T = α + α .
Provamos, então, que a imagem gira o dobro do ângulo de giro do espelho. Os giros ocorrem no mesmo sentido.
Observação importante: Tudo o que foi discutido acima é válido quando o espelho gira de forma a se aproximar ou se
afastar do objeto. Repare na figura 1. Imagine o espelho girando em um plano que é perpendicular ao plano da folha, passando
por EF. Este giro não mudaria a posição do espelho em relação ao objeto. Logo, nada aconteceria com a imagem.
Tente fazer em casa Æ Segure um espelho plano com os braços esticados, de frente para seu rosto. Agora gire as mãos
lateralmente, como se girasse o volante de um carro. Perceba que nada ocorre com sua imagem.
A partir desta conclusão, muitas questões podem ser resolvidas mais facilmente usando a rotação de espelhos planos. A seguir,
vamos resolver uma questão bastante trabalhosa, que caiu no IME em 1997, utilizando a rotação do espelho.
Exercício Resolvido
(IME 1997_1998) Um objeto é lançado da superfície de um espelho, segundo um ângulo de 30º com a horizontal, com
velocidade inicial V0. Sabendo que o espelho está inclinado de 30º, conforme a figura, determine:
a) o tempo gasto para que o objeto atinja o espelho.
b) As componentes vertical e horizontal, em função do tempo, do vetor velocidade da imagem do objeto lançado.
Dados: aceleração da gravidade: g
30º
30º
Solução
Na letra (a), a solução não depende do assunto tratado neste estudo. Para a letra (b), vamos supor que o espelho estivesse
inicialmente na horizontal.
G
g
V0
30º
Vamos analisar como são os vetores velocidade e aceleração da imagem para o espelho horizontal.
• A componente horizontal da velocidade do objeto é a mesma para a imagem, uma vez que a imagem anda para a
direita com a mesma velocidade que o objeto.
• A componente vertical da velocidade do objeto é para cima. Logo, a componente vertical da velocidade da imagem é
para baixo, já que quando o objeto sobe, a imagem desce ( p = p ' ).
• A aceleração da gravidade da imagem é para cima, pelo mesmo argumento da componente vertical da velocidade.
Logo, para a imagem, os vetores são assim:
IMAGEM
30º
G
g
V0
Mas o espelho da questão não é horizontal. Para transformarmos nosso diagrama atual no diagrama proposto pela questão,
precisamos girar o espelho de 30º com a horizontal.
30º
Porém, já vimos que o giro do espelho causa, na imagem, um giro com o dobro do ângulo. Logo, todos os vetores da imagem
precisam ser girados de 60º.
IMAGEM
30º
V0
G
g
ANTES
y
x
IMAGEM
30º
60º
60º
G
g
DEPOIS
V0
Como a aceleração é constante, temos dois Movimentos Uniformemente Variados: horizontal e vertical.
G
⎧
V0 = 0
MUV Horizontal ⎨ G
G
⎩a = g x = g .sen60
G
⎧⎪
V0 = −V0
MUV Vertical ⎨ G
G
⎪⎩a = g y = g. cos 60
Como V = V0 + a.t , temos as componentes a seguir:
Imagem
⎧ Vhorizontal = g .sen60.t
⎨
⎩Vvertical = −V0 + g . cos 60.t
Exercícios Propostos
1. (ITA 1993) Um raio luminoso incide com um ângulo θ em relação à normal, sobre um espelho plano refletor. Se esse
espelho girar de um ângulo igual a θ em torno de um eixo que passa pelo ponto P e é perpendicular ao plano da figura, qual o
ângulo de rotação do raio refletido?
(A) θ.
(B) 3,5θ.
(C) 2,1θ.
(D) 2,0θ.
(E) 4,0θ.
2. (UFRJ 2005) Um experimento muito simples pode ser realizado para ilustrar as leis da reflexão da luz. Inicialmente, um
monitor posiciona uma pessoa num ponto A de um pátio, de forma que, por meio de um espelho plano vertical E, a pessoa
possa ver um pequeno objeto luminoso O. Em seguida, o monitor faz um giro de 15o, horizontalmente, no objeto, em torno do
ponto de incidência P, como mostra a figura. Todos os raios luminosos considerados estão em um mesmo plano horizontal.
Calcule quantos graus se deve girar o espelho, em torno do ponto P, para que o objeto possa ser novamente visualizado pela
pessoa que permanece fixa no ponto A, olhando na mesma direção.
3. (ITA 2001 - Adaptada) Considere as seguintes afirmações:
I. Se um espelho plano transladar de uma distância d ao longo da direção perpendicular a seu plano, a imagem de um objeto
fixo transladará de 2d.
II. Se um espelho plano girar de um ângulo α em torno de um eixo fixo perpendicular à direção de incidência da luz, o raio
refletido girará de um ângulo 2α.
III. Para que uma pessoa de altura h possa observar seu corpo inteiro em um espelho plano, a altura deste deve ser de no
mínimo 2 h/3.
Então, podemos dizer que
(A) apenas I e II são verdadeiras.
(B) apenas I e III são verdadeiras.
(C) apenas II e III são verdadeiras.
(D) todas são verdadeiras.
(E) todas são falsas.
4. (IME 2002_2003) Um espelho plano, de superfície infinita,desloca-se na horizontal com velocidade constante v. Um
objeto puntiforme se desloca na vertical também com velocidade constante v e, no instante t = 0, as posições do espelho e do
objeto estão em conformidade com a figura.
Considerando que no instante t = α ocorre o choque do objeto com o espelho, determine:
a) As componentes vertical e horizontal da velocidade da imagem do objeto refletida no espelho.
b) O instante α em que o objeto e o espelho se chocam.
5. (IME 2007_2008) Um radar Doppler foi projetado para detectar, simultaneamente, diversos alvos com suas
correspondentes velocidades radiais de aproximação. Para isso, ele emite uma onda eletromagnética, uniformemente
distribuída em todas as direções e, em seguida, capta os ecos refletidos que retornam ao radar.
Num experimento, o radar é deslocado com velocidade constante v em direção a um par de espelhos, conforme ilustra a figura
abaixo. Calcule os vetores de velocidade relativa (módulo e direção) de aproximação dos quatro alvos simulados que serão
detectados pelo radar após as reflexões no conjunto de espelhos, esboçando para cada um dos alvos a trajetória do raio
eletromagnético no processo de detecção.
Dado:
π
π
<θ< .
4
3
Sugestão SEI: Encontre as velocidades das quatro imagens formadas pela associação de espelhos. Depois, faça a velocidade
relativa entre cada uma delas e o objeto.
Respostas
1.
2.
3.
4.
D
7º30’
A
a) Imagem
b) α =
5.
V
⎧
⎪Vhorizontal = 2
⎨
V
⎪Vvertical = −
2
⎩
( 3 + 3)
( 3 − 1)
d (3 − 3 )
.
v
2
Primeiras imagens: Vrel = 2v.senθ
Segundas imagens:
Vrel = 2v.sen2θ