o Cálculo Operacional de Heaviside

Máquinas Eléctricas
Resenha Histórica
d
O C á l c u l o O p e r a c i o n a l de H e a v i s i de
1 = 1
p
ωp ·1 = sen ωt
p2+ω 2
p ·1 = e–αt
p+α
p ·1 = eαt
p–α
1 ·1 = 1 1 – e–αt
p+α
α
1 ·1 = t – 1 + e –αt
α α2
p(p+α)
α2
p
·1 = 1 · e–βt – e–αt
(p+α)·(p+β)
α–β
p2
·1 = cos ωt
p2+ω 2
ωp ·1 = senh ωt
2
p –ω2
p2 ·1 = cosh ωt
p2–ω2
–αt
p
·1 = e ·sen ωt
ω
p 2+2αp+ω o2
TABELA
No estudo dos fenómenos transitórios e m
Electrotecnia
surge
a
necessidade
de
formulação e de integração de equações
diferenciais.
Quando não estavam acessíveis métodos de
computação numérica recorreu-se ao cálculo
operacional, através do qual se substituiu nas
equações fundamentais as derivadas por u m
operador diferencial (p = d /dt) e as equações
resultantes foram tratadas e resolvidas como
equações algébricas em p. A diferenciação e a
integração eram, neste método, processos
inversos.
As funções de entrada são do tipo unidade de
variação brusca, ou escalão unitário: tem valor
para t < 0 e o valor permanece unitário para
t > 0. Normalmente o sistema em estudo está
relaxado, isto é as condições de estudo iniciais
correspondem às do sistema em equilíbrio.
Considerando a função de entrada e m
escalão unitário 1, Oliver Heaviside (1850–1925)
1
tn
estipulou que:
·1
=
.
n
p
n!
O método começou por ser aplicado a o
estudo de fenómenos representados
por
equações diferenciais lineares de coeficientes
constantes e que ocorriam em sistema e m
repouso a que, bruscamente, era aplicada uma
acção.
Assim, num circuito eléctrico a aplicação,
brusca, de uma força electromotriz unitária,
seria o equivalente matemático, da aplicação de
uma bateria de tensão unitária ao sistema no
instante inicial
O cálculo operacional começou a ser
aplicado por Heaviside em 1881, tendo sido
desenvolvido de uma forma empírica (“por
instinto”) e não
ligada
ao corpo
dos
© Manuel Vaz Guedes, 1997
conhecimentos em Matemática da sua época.
Esta atitude valeu-lhe uma incompreensão d a
parte dos matemáticos. Só em 1914 começou a
ser encontrada uma justificação formal para os
trabalhos de Heaviside.
Presume-se que Heaviside encontrou o
método de tratamento de equações diferenciais
comparando directamente a solução obtida por
sucessivas integrações com o tratamento
algébrico do seu operador.
No caso do circuito RLC, a aplicação do
cálculo operacional de Heaviside leva a que seja
estabelecida directamente como equação que
rege o fenómeno (equação integro-diferencial)
1
1
E·1 = R·i + pL·i +
·i = i·(R + pL +
)
pC
pC
= i·Z(p)
em que Z(p) é a impedância operacional.
Retirando (operação algébrica) o valor de
i = (E/Z(p))·1, ou i(p) = (E/Z(p)).(1/p), o
que permite escrever
1
i(p) = E ·
ou
L·p2 + R·p + (1/C)
1
= E·
em que x1 e x2
(p+x1)(p+x2)
são as raízes da equação algébrica de segunda
ordem em p que constitui o denominador. N o
domínio do tempo a solução resulta d a
avaliação (em sentido contrário) da expressão
estipulada por Heaviside, ou recorrendo a uma
tabela,
i(t) = A·exp(–x1·t) + B·exp(–x2·t)
Actualmente deste método de resolução
apenas subsiste o aspecto de notação, e de
estabelecimento da equação diferencial.
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