Da Terra á Lua

Da Terra á Lua
A força gravítica – Uma interacção
fundamental
Da leitura do texto surgiram as
questões:
Por que cai a maçã?
Que levou Newton a concluir que a força
causadora da queda da maçã na sua
cabeça era do mesmo tipo da que fazia a
lua mover-se em volta da Terra?
Por que razão a Lua não cai nas nossas cabeças?
Isaac Newton
25 Dezembro 1642 - 20 March 1727
• Nasceu em Inglaterra no ano da
morte de Galileu.
• Publicou as leis no tratado de
Philosophiae Naturalis Principia
Mathematica no qual escreveu...
Interacções
Porque cai a maçã?
Todos os corpos se atraem entre si, devido a
terem massa.
As interacções representam acções
simultâneas entre corpos
que são representadas por forças
Podem ser por contacto ou à distância
Interacções por contacto
A mão que empurra o carrinho
exerce uma força sobre ele
Para existir uma força tem de haver
uma interacção entre dois corpos:
um exerce a força e outro sofre a
acção dessa força
Interacções à distância
Se um corpo deixar de
ter suporte, cai para
Terra porque ela atrai
todas as coisas na
direcção do seu centro e
é igualmente atraída por
elas.
Esta interacção mútua
chama-se interacção
gravítica
Força gravítica que a terra exerce sobre os
corpos – o peso.
Lei de Acção e Reacção 3ª Lei de
Newton
Se um corpo A exerce uma força sobre o corpo
B, então o corpo B exerce, simultaneamente,
sobre A uma força com a mesma intensidade e
direcção, mas com sentido oposto:


FA, B   FB , A
Estas forças, traduzem a acção recíproca
entre dois corpos, constituem um par acção e
reacção
Par acção – reacção entre o
martelo e o prego
F p,m
F m,p
F m,p – Força exercida pelo martelo, no prego
F p,m -
Força exercida pelo prego, no martelo
Par acção - reacção entre um objecto e a mesa
F mesa / bola
F mesa / bola
Fg
F bola / mesa
Fg – peso da bola
F mesa/bola – força exercida
pela mesa, na bola
Fg e F mesa /bola NÃO constituem
um par acção-reacção
F bola/mesa - força exercida
pela bola, na mesa
F mesa/bola – força exercida
pela mesa, na bola
Fbola/mesa e F mesa /bola formam
um par acção-reacção
Outros pares acção - reacção
F t, r
F
r, t
F r, t - Força exercida pelo rapaz, na
trave
F t, r - Força exercida pela trave,
no rapaz
F L,T - Força exercida pela Lua, na
Terra
F T,L - Força exercida pela Terra, na
Lua
Terceira Lei de Newton ou Lei da Ação Reação


« ... Para qualquer ação há sempre uma
reação oposta e de igual intensidade...»
Ação e reação têm:
A mesma linha de ação
A mesma intensidade
Sentidos opostos
Pontos de aplicação em corpos diferentes
Lei da Gravitação Universal. Da queda
da maçã à primeira unificação das
forças
Newton percebeu que as forças
responsáveis pelas quedas de corpos à
superfície da Terra tinham a mesma origem
que as forças responsáveis pelas órbitas
dos planetas.
Por isso, a Terra também atrai a Lua e a Lua
atrai a Terra. Como a lua se move em volta da
Terra não a vemos cair……
Nascia assim a gravitação universal e a primeira
unificação de forças que pareciam diferentes.
Forças gravitacionais
São forças sempre atractivas e que têm acção até ao infinito.
Como o seu alcance é infinito são responsáveis pela estabilidade dinâmica de
todo o Universo.
Dependem da existência de massa.
F2,1
m1
F1,2
m2
F2,1 – Força que m2 exerce sobre m1
F1,2 – Força que m1 exerce sobre m2
Lei da gravitação universal
Entre quaisquer duas partículas materiais de
massa M e m, existem forças de atracção
mútuas com a direcção da recta que as une e
cujo valor pode ser determinado pela
seguinte expressão:
m
M
Fg  G
mM
R
2
G = 6,672 x 10-11Nm2kg-2
G é a constante de gravitação Universal
R= distância do centro de M
ao centro de m
Por que não cai a lua sobre as
nossas cabeças?..
Numa primeira análise e como podemos deduzir
da leitura do texto de Carlos Fiolhais, o
movimento de um corpo não depende apenas da
força mas também das condições iniciais:
No caso da maçã, quando cai, parte do repouso,
enquanto que a lua, quando sujeita à força de
atracção da Terra, estaria animada de uma certa
velocidade.
É o facto da lua ter velocidade que lhe permite estar em
órbita
Mais tarde voltaremos a esta questão
Ordem de grandeza de algumas interacções
Força
Intensidade
(ordem de
grandeza) / N
Força gravitacional Terra- vírus
10-20
Força gravitacional maçã-maçã
10-12
Interacção electromagnética electrão-protão
no átomo de hidrogénio
10-7
Força gravitacional Terra-maçã
100
Força gravitacional Terra-homem
103
Força para acelerar um automóvel
104
Força entre dois protões
104
Força originada pelos motores de um avião
comercial
107
Força originada pelos motores dos foguetões
Apolo no lançamento
1010
Força gravitacional Terra- Sol
1022
Questão1:
Quais são as forças exercidas entre dois
corpos de massas 1kg à distância de
1m? Essas forças são suficientes para
mover os corpos?
b) Dois corpos estão a uma dada distância.
Que acontecerá à força gravítica que
exercem um sobre o outro se :
i) a massa de um deles duplicar?
ii) a distância entre eles duplicar?
( G = 6,67 x 10-11N m2/kg2 )
a)
Resposta
a)
F G
Mm
11 1x1
11

6
,
67
x
10
x

6
,
67
x
10
N
2
2
r
1
Como são forças muito pequenas, não são suficientes para mover os
corpos. O efeito das forças gravíticas só é visível quando uma das
massas é muito grande, como acontece quando um dos corpos é um
planeta ou uma estrela.
b) i) A lei de Gravitação Universal indica que, se uma das massas
duplicar, a força também duplica, pois é directamente proporcional às
duas massas
ii) Se a distância duplicar, o seu quadrado quadriplica, e a força fica
quatro vezes menor, uma vez que é inversamente proporcional ao
quadrado da distância.
Questão 2
Newton estudou um corpo pequeno, como
uma maçã, que cai à superfície da Terra, e
a Lua, um corpo grande, que se move em
volta da Terra. Qual é maior, a força que a
Terra exerce sobre a Lua, ou a força que a
Terra exerce sobre a maçã? Considere
uma maçã de 100g. Que outros dados
necessita para a resposta?
Resposta
Dados necessários além da massa da maçã,
mmaçã= 0,100 kg, são:
M T  6,0 x10 24 kg
M L  7,3x10 22 kg
rTerraàLua  3,84 x108 m
RT  6400km
A Lua tem massa maior mas está mais longe.
Resposta (continuação)
FT / maçã  G
M T mmaçã
2
T
R
 6,67 x10
11
6,0 x10 24 x0,100
x
 0,98 N
3 2
(6400 x10 )
FT / Lua  2,0 x10 20 N
FT / L
2,0 x10 20

 2,0 x10 20
FT / maçã
0,98
A Terra exerce uma força sobre a Lua muito maior
do que a força que exerce sobre a maçã
Que outros tipos de interacções
fundamentais existem na Natureza?

Interacção nuclear forte

Interacção electromagnética

Interacção nuclear fraca

Interacção gravitacional
Interacção nuclear forte
É a mais intensa das quatro.
É responsável pela coesão do núcleo
atómico.
O facto de conseguir manter unidos os
protões nucleares (cargas positivas que se
repelem) faz com que tenha de ser muito
intensa.
Tem um alcance muito curto, 10-15m (ordem
de grandeza do núcleo atómico).
Não se fazem sentir fora do núcleo.
Interacção Nuclear Forte
Protão
Neutrão
•
A força forte mantém os quarks ligados no interior dos protões e dos
neutrões.
•
Os quarks up têm carga +2/3 e os quarks down têm carga -1/3. Manter
unidas partículas de cargas iguais a curta distância requer uma força
extremamente forte.
A estabilidade nuclear está associada à força
nuclear forte
Interacção nuclear forte:



É responsável pela coesão do
núcleo dos átomos.
É responsável pelas reacções termonucleares que
ocorrem por exemplo no centro das estrelas, em
particular pela transformação do hidrogénio em hélio,
explosões
de
bombas
atómicas
que
são
acompanhadas pela libertação de energia.
Por causa dela é que o Sol e as estrelas brilham.
Interacção Nuclear Fraca
É responsável por fenómenos como:


•
•
a radioactividade (desintegração de núcleos
pesados como o urânio ,o tório ou o actínio,…, em
núcleos mais leves como o chumbo + núcleos de
hélio + electrões + fotões)
decaimento Beta de um neutrão para um protão +
electrão (partícula β) + anti-neutrino (νe)
Permite explicar a taxa de ocorrência das reacções nucleares em
algumas estrelas.
O tempo de vida do Sol depende das características desta força.
As forças nucleares, forte e fraca exercem-se a distâncias
bastante inferiores às da dimensão do núcleo do átomo.
Força Electromagnética: unificação entre
forças eléctricas e magnéticas
No século XIX, Hans CHRISTIAN OERSTED descobriu
que uma corrente eléctrica cria um campo magnético.
Poucos anos mais tarde, Michael Faraday verificou a
ocorrência do processo inverso: movendo um íman
perto de um circuito eléctrico sem pilha, obtém-se
uma corrente eléctrica. As forças eléctricas e
magnéticas estão por isso relacionadas.
Interacção electromagnética
•
•
•
Manifesta-se não só à escala macroscópica
como a nível microscópico.
É responsável não só pelos fenómenos
magnéticos e eléctricos como pelos
fenómenos químicos e bioquímicos
Contendo o átomo partículas em movimento
e com carga eléctrica, muitas das
interacções a esse nível resultam de forças
desta natureza.
Força gravitacional
 Entre corpos com massa.
 É sempre atractiva.
 Está na origem da
formação das galáxias,
das estrelas e dos planetas.
 É responsável pelo movimento
satélites, dos corpos celestes e
galáxias.
dos
das
Interacções: alcance e intensidade
Interacção
Intensidade
(relativa)
Nuclear Forte
1
Electromagnética
10
-2
Alcance (m)
-15
10

(1/r2)
-5
Nuclear Fraca
10
Gravidade
10
-38
-17
10

(1/r2)
Agentes/ exemplo
Núcleos (quarks e
partículas por eles
formadas)
Partículas
carregadas
electricamente
Alguns quarks
(desintegração
radioactiva)
Todas as partículas
com massa (Sistema
solar)
Lei Fundamental da
Dinâmica
2ª lei de Newton
Forças diferentes aplicadas em corpos de
igual massa produzem o mesmo efeito?

Inicialmente uma ventoinha ligada.

Regista o tipo de gráfico posição-tempo.

Regista como variou a velocidade atendendo
ao seu valor inicial (v0 = 0 m/s)

Regista o valor da aceleração adquirida pelo
carro.
Exp. 1
Exp. 2
Forças diferentes aplicadas em corpos de
igual massa produzem efeitos diferentes.


O carro sujeito à
força F1, de uma
ventoinha, adquiriu
velocidades
de
acordo
com
o
gráfico ao lado.
Repetindo a
experiência com
forças de
intensidade
diferente obtêm-se
valores de
aceleração de
acordo com o
gráfico
F/N
1,2
0,6
0
0
0,6
1,2
a / m.s-2
Forças diferentes produzem efeitos diferentes.


-
-

Quando a velocidade é nula a
força faz mover o corpo.
Se o corpo está em movimento
e a força aplicada tem a mesma
direcção da velocidade, só varia
o seu módulo:
a velocidade aumenta se a força
aplicada tiver o mesmo sentido;
a velocidade diminui se a força
aplicada tiver sentido oposto.
Se a força não tem a mesma
direcção da velocidade o corpo
muda de direcção e o
movimento passa de rectilíneo
para curvilíneo
Geralmente uma força altera o módulo e a
direcção da velocidade


Se a força actua na
direcção da 
velocidade, Fx , faz
alterar o seu módulo
Se a força actua
perpendicularmente

à velocidade, Fy , faz
alterar a sua
direcção
A força da Terra sobre a Lua
(gravitacional) altera a direcção
da velocidade mas não o seu
módulo.
Exp. 3
Exp. 4
Exp. 5
Segunda Lei de Newton

A aceleração adquirida por uma partícula é
directamente proporcional à resultante das
forças que nela actuam.
F
constante
a =
F
m
a =
F=ma
Os vectores F e a têm a mesma direcção e sentido

O efeito das forças depende da massa. Da segunda
série de experiências, podemos concluir que, para a
mesma força, a aceleração experimentada pelo carro
é inversamente proporcional à massa.
|a| » 1/m
Lançamento
deo um
objecto
paraaceleração
cima
Qual
a direcção e
sentido
do vector
?
Até atingir a altura máxima
velocidade e aceleração têm
sentidos opostos
Depois de atingir a altura máxima
velocidade e aceleração têm o
mesmo sentido
Movimento acelerado
Movimento retardado
v2= 0
Fg – força gravítica
v2= 0
g
g
F
v1
F
g - aceleração da gravidade
g
g
Fg = m g
g
v3
g
F
F
g
g
v0
g tem direcção vertical e
sentido de cima para baixo
v4
g
g
F
F
g
g
Aceleração
Os conceitos de velocidade e aceleração estão relacionados, mas muitas vezes fazse uma interpretação incorrecta desta relação.
A aceleração relaciona a variação de velocidade com o tempo em
que produz essa variação, isto é, mede a rapidez com que a
velocidade varia. Assim:

Uma aceleração grande significa que a velocidade varia rapidamente.

Uma aceleração pequena significa que a velocidade varia lentamente.

Uma aceleração nula significa que a velocidade não varia.
A aceleração diz-nos como varia a velocidade e não como é a
velocidade.
Portanto um móvel pode ter uma velocidade grande e uma aceleração
pequena (ou nula) e vice-versa.
Aceleração média
Tipos de movimentos e a variação de velocidade
A aceleração média traduz a relação entre a variação da
velocidade e o tempo em que esta ocorre. Traduz-se por:
Como
am = Dv/ Dt
am = (v2 - v1)/ Dt
Dt

é sempre positivo, a m
é
sempre um vector com a direcção

e sentido de Dv
O sinal de Dv dá-nos o sinal da aceleração
No Sistema Internacional, a unidade de aceleração média é o metro por
segundo quadrado, m/s2 ou ms-2.
Se
a velocidade aumenta, movimento acelerado.
Se
a velocidade diminui, movimento retardado.
Se
a velocidade é constante, movimento uniforme.
Características do vector
aceleração média

O vector aceleração média, relativamente ao referencial escolhido
e para uma trajectória rectilínea, tem as seguintes características:

Direcção – a da tangente à trajectória (direcção da trajectória);

Sentido - o do movimento do móvel no acelerado; contrário ao do
movimento no retardado.

Módulo – igual ao valor da aceleração média
v1
am
v2
v e am têm o mesmo sentido - movimento acelerado
v1
am
v2
v e am têm sentidos opostos - movimento retardado
Características do vector
aceleração média

O vector aceleração média, relativamente ao
referencial escolhido e para uma trajectória
curvilínea, tem as seguintes características:
A
Dv
z
0
v1
A aceleração média tem a
direcção e o sentido de
am
- v1
v2
B
Dv
v2
y
x
O vector aceleração média aponta para a concavidade da curva.
Aceleração
Para se saber como está a variar a velocidade num dado instante
define-se a grandeza aceleração. Assim aceleração é o valor limite
da aceleração média quando intervalo de tempo tende para zero.
a = lim am
Dt0
ou
a = lim (Dv/ Dt)
Dt0
O vector aceleração, a
pode ser decomposto
em duas componentes:
at
z
0
x
Componente tangencial
a
an
at
an
y
traduz a variação do valor da
velocidade por unidade tempo
Componente normal
traduz a variação na direcção
da velocidade.